Matrice_i_upotreba_matrica_na_reљavanje_sistema

7/31/2019 Matrice_i_upotreba_matrica_na_reavanje_sistema

1/34

MATRICE I UPOTREBA

MATRICA NA RESAVANJE

SISTEMA

Daliborka Micic

(seminarski rad)

Matematicki fakultetBeograd

Godina 2007.


2/34

MATRICE I UPOTREBA MATRICA NARESAVANJE SISTEMA

Matrice je u matematiku uveo engleski matematicar A.Cauley1 (1821-1895) usvom radu iz 1857.god. Matrice predstavljaju sisteme brojeva sa kojima mozemoracunati gotovo kao sa brojevima, pa one u izvesnom smislu uopstavaju brojeve.

1 Definicija i vrste matrica

Neka su K polje i m, n prirodni brojevi. Pod matricom formata m n nadpoljem K podrazumevamo svaku uredenu m-torku elemenata skupa Kn.

Tj. ako su m, n dva prirodna broja, matrica nad poljem K tipa m n jetabela oblika

A =

a11 . . . a1j . . . a1na21 . . . a2j . . . a2n

. . .

ai1 . . . aij . . . ain

. . .am1 . . . amj . . . amn

ciji su clanovi ili elementi aij K (i = 1, . . . , m,j = 1, . . . , n)

Matrica koja sadrzi samo jednu vrstu (red) zove se matrica vrste, a ako sadrzisamo jednu kolonu zove se matrica kolona ili vektor kolona:

A =

a1 a2 a3 . . . an

B =

b1b2. . .bn

Prema Silvesteru2

definicija matrice glasi:Skup m n elemenata poredanih u pravilno j semi od m redova i n kolonaobrazuje matricu tipa (formata,dimenzije) m n ili (m,n) gde prvi broj mpokazuje broj redova, a drugi broj n broj kolona.

Sve matrice oznacavamo velikim stampanim slovima abecede: A, B, C, . . . ,X, Y, Z i mozemo ih zapisati na sledeci nacin:

A =

a11 . . . a1j . . . a1na21 . . . a2j . . . a2n

. . .ai1 . . . aij . . . ain

. . .am1 . . . amj . . . amn

ili (aij)mn ili samo (aij )

ako se tip zna iz konteksta. Semu mozemo zatvoriti na jedan od sledecih nacina: , ( ) , { } , [ ] .

1cita se Kejli2J.J.Silvester,1850

1


3/34

Ako su elementi matrice realni brojevi matrica se zove realna, a ako imakompleksnih elemenata matrica je kompleksna itd.

Moze se desiti da je u nekoj matrici broj redova jednak broju kolona3. Takvamatrica naziva se kvadratna matrica.

Ako se u matrici A svi redovi uzmu za kolone u istom redosledu, odnosnokolone za redove takode u istom redosledu, nastaje nova matrica koja se zove

transponovana matrica matrice A. Oznacavamo je sa A ili AT ili A*.

Npr.

A =

6 1 23 5 2

AT =

6 31 5

2 2

Postoje i takozvane specijalne matrice i to su:

1. Nula matrica je matrica ciji su svi elementi jednaki nuli.

Npr.

O = 0 0 0

0 0 0 2. Dijagonalna matrica je ona kvadratna matrica kojoj su svi elementi

izvan glavne dijagonale nule.

Npr.

A =

1 0 00 5 0

0 0 2

Ako su dijagonalnoj matrici svi elementi na glavnoj dijagonali razliciti odnule, takva matrica naziva se regularna dijagonalna matrica.

3. Skalarna matrica je regularna dijagonalna matrica ciji su svi elementi

na glavnoj dijagonali medusobno jednaki.

Npr.

B =

5 0 00 5 0

0 0 5

4. Jedinicna matrica je skalarna matrica kojoj su svi elementi na glavnojdijagonali jedinice i oznacava se sa E.

Npr.

E = 1 0 0

0 1 00 0 1

3m=n

2


4/34

5. Simetricna matricaje ona kvadratna matrica koja je simetricna u odnosuna glavnu dijagonalu.

Npr.

S =

5 6 76 4 27 2 1

6. Antisimetricna ili kososimetricna matrica je ona kvadratna matricaciji su elementi simetricni u odnosu na glavnu dijagonalu, ali su razlicitogznaka. Zbog toga elemeni glavne dijagonale mogu biti samo nule.

Npr.

T =

0 5 15 0 2

1 2 0

7. Trougaona matrica je kvadratna matrica kojoj su svi elementi ispod iliiznad glavne dijagonale jednaki nuli. Ako su svi svi elementi ispod glavnedijagonale nule, onda se takva matrica zove gornja ili desna trougaonamatrica, a ako su svi elementi iznad glavne dijagonale nule, takva matricase naziva donja ili leva trougaona matrica.

Npr.

A =

5 1 70 2 3

0 0 4

B =

2 0 02 9 0

1 5 4

3


5/34

2 Operacije sa matricama

2.1 Jednakost matrica

Dve matrice A = (aij ) i B = (bij ) (i = 1, . . . , m;j = 1, . . . , n) jenake suonda i samo onda ako su istog tipa i ako su im odgovarajuci elementi jednaki

tj. A=B onda i samo onda ako su zadovoljene jednakosti aij = bij (i=1, .. . , m;j=1, . . . , n).Iz definicije jednakosti dve matrice i svojstva jednakosti brojeva sledi da je

jednakost matrice tipa m n:

1. Refleksivna ako je A=A

2. Simetricna ako iz A=B sledi B=A

3. Tranzitivna ako iz A=B i B=C sledi A=C

gde su A = (aij ), B = (bij ), C = (cij), (i=1, .. . , m; j=1, . . . , n)

Primer 1: Date su matrice

A = 2 7 1

x 4 0

i B =

j + 3 7 15 4 z

Koji uslovi treba da budu ispunjeni da bi matrice A i B bile jednake?Ove matrice su istog tipa 2 3. Tako da je ispunjen potreban uslov za jednakostmatrica. Treba jos izjednaciti odgovarajuce elemente:2 = j + 3, x = 5 i z = 0 tj. za j = 1, x = 5 i z = 0 matrice A i B su jednake.

Primer 2: Koji uslovi treba da budu ispunjeni da bi matrice A i B bile jednake?

A =

2 + x 75 4 y1 9

B =

5 75 2z 9

Posto su matrice istog tipa 3 2 izjednacavamo odgovarajuce elemente:2 + x = 5, 4 y = 2, 1 = z tj. za x = 3, y = 2 i z = 1 matrice su jednake.

2.2 Sabiranje i oduzimanje matrica

Sabiranje i oduzimanje matrica moguce je samo sa matricom istog tipa, avrsi se sabiranjem odnosno oduzimanjem odgovarajucih elemenata.

Zbir matrica istog tipa A = (aij ) i B = (bij) (i = 1, 2, . . . , m;j = 1, 2, . . . , n)je matrica istog tipa:

S = A + B =

mi=1

nj=1

(aij + bij)

Primer 1: Date su matrice A i B

A =

5 7 34 9 3

2 1 8

B =

0 6 12 3 2

5 2 5

4


6/34

naci njihov zbir.

A+B =

5 7 34 9 3

2 1 8

+

0 6 12 3 2

5 2 5

=

5 + 0 7 + 6 3 + 14 + 2 9 + 3 3 + 2

2 + 5 1 + 2 8 + 5

=

5 13 46 12 5

7 3 13

Za sabiranje matrica vaze zakoni:1. Komutacije: A + B = B + A

2. Asocijacije: A + (B + C) = (A + B) + C

3. Neutrala: O + A = A + O

gde su A = (aij ), B = (bij ), C = (cij), O4 = (oij ),(i=1, 2, . . . , m;

j=1, 2, . . . , n)Dokaz: Neka je A = (aij), B = (bij ), C = (cij ) i O nula matrica tada:

1. A + B = (aij ) + (bij ) = (aij + bij) = (bij ) + (aij ) = B + A zbog komuta-tivnosti sabiranja u K.

2. A + (B + C) = (aij)+((bij) + (cij)) = (aij )+ (bij + cij) = (aij + bij + cij) =(aij + bij) + (cij) = ((aij ) + (bij)) + (cij ) = (A + B) + C

3. A + O = (aij ) + (0) = (aij + 0) = (aij ) = (0 + aij) = (0) + (aij) = O + A

Za svaku matricu A = (aij ) postoji suprotna matrica istog tipa A = (aij )

tako da je A+(A) = (aij )+(aij) = (aij aij) = (oij ) = O, pa je nula matricaneutralna matrica za sabiranje i oduzimanje. Matrica -A naziva se suprotnamatrica matrice A.

Za dve matrice istog tipa A = (aij ) i B = (bij ) (i=1, 2, . . . , m; j=1, 2, .. . ,n) postoji samo jedna matrica D istog tipa takva da je

A = B + D

Matrica D je razlika matrica A i B i pise se:

D = A B = (aij bij) (i = 1, 2, . . . , m;j = 1, 2, . . . , n)

Primer 2: Date su matrice A i B

A =

5 7 34 2 9

B =

4 3 64 1 7

naci njihovu razliku.

AB =

5 7 32 4 9

4 3 64 1 7

=

5 4 7 3 3 62 4 4 1 9 7

=

1 4 3

2 3 2

4O je nula matrica

5


7/34

2.3 Mnozenje matrica skalarom

Proizvod matrice A = (aij) i elementa iz polja K je matrica (aij ) kojuobelezavamo sa A. Operacija A naziva se mnozenje matrice skalarom.

Matrica se mnozi brojem tako sto se svi njeni elementi pomnoze tim bro-jem; ili obrnuto, tj. moguce je staviti zajednicki cinilac svih elemenata matrice

ispred matrice. Ako je = 0 dobija se nova matrica, ako je = 0 dobija senula matrica, za = 1 dobija se suprotna matrica tj. matrica -A.

Primer 1: Data je matrica A. Odrediti matrice (-3A), 0A, (-1A).

A =

5 1 43 2 8

3A =

15 3 129 6 24

0A =

0 0 00 0 0

1A =

5 1 43 2 8

Za mnozenje matrica skalarom vazi:

1. Zakon komutacije: A = A

2. Zakon asocijacije: ()A = A = (A)

3. Dva zakona distribucije: ( + )A = A + A

(A + B) = A + B

4. Zakon jedinice: 1A = A1

gde su i brojevi, a A = (aij ), B = (bij) matrice tipa m n.Dokaz: Neka je A = (aij) i B = (bij)

1. A = (aij ) = (aij ) = (aij ) = (aij ) = A

2. ()A = ()(aij ) = (()aij ) = (aij ) = (aij ) = ((aij )) =(A)

3. ( + )A = ( + )(aij ) = (( + )aij ) = (aij + aij ) = (aij ) + (aij ) =(aij ) + (aij ) = A + A(A+B) = ((aij )+ (bij )) = (aij +bij) = ((aij +bij)) = (aij +bij ) =(aij ) + (bij ) = (aij ) + (bij ) = A + B

4. 1A = 1(aij) = (1aij) = (aij 1) = (aij )1 = A1

Opetacija transponovanja ima sledece osobine:

1. (AT)T = A

2. (A + B)T = AT + BT

3. (A)T = AT

Dokaz:

1. Ocigledno je

2. ((aij ) + (bij))T = (aij + bij)

T = (aji + bji) = (aji) + (bji) = (aij)T + (bij )

T

3. ((aij ))T = (aij )T = (aji) = (aji) = (aij )T

6


8/34

2.4 Mnozenje matrice matricom

Proizvod matrice A i B definise se samo onda ako je bro j redova matrice Bjednak broju kolona matrice A. Za takve matrice kazemo da su saglasne.

Rezultat mnozenja je matrica koja ima onoliko redova koliko ih ima matricaA i onoliko kolona koliko ih ima matrica B.

Ako su date matrice A = (aij)mn i B = (bjp)nk, matrica C = (cip)mkciji su clanovi

cip =

ni=1

aij bip = ai1bip + . . . + ainbnp

(i = 1, . . . , m , p = 1, . . . , k) se naziva proizvod matrica A i B i obelezava se saC = A B.

Primer 1: Date su matrice A i B. Odrediti njihov proizvod.

A =

3 24 5

9 5

B =

2 30 1

C = A B =

3 24 5

9 5

2 3

0 1

=

3 2 + 2 0 3 3 + 2 14 2 + 5 0 4 3 + 5 1

9 2 + 5 0 9 3 + 5 1

=

6 118 17

18 32

Primer 2: Odrediti proizvod matrica A i B ako su

A =

6 0 50 4 8

B =

2 7 11 5 8

2 6 9

C = A B

= 6 0 5

0 4 8

2 7 11 5 82 6 9

=

6 2 + 0 (1) + 5 2 6 (7) + 0 (5) + 5 (6) 6 (1) + 0 8 + 5 9

0 2 + (4) (1) + 8 2 0 (7) + (4) (5) + 8 (6) 0 (1) + (4) 8 + 8 9

=

2 12 5120 28 40

Mnozenje matrice matricom u opstem slucaju nije komutativno tj. AB =BA. Mnozenje je komutativno ako je matrica A tipa m n, a matrica B tipan m.

Primer 3: Date su matrice A i B. Proveriti da li su matrice A i B komu-tativne.

A =

5 72 4

1 3

B =

2 1 70 1 4

7


9/34

A B =

5 72 4

1 3

2 1 7

0 1 4

=

5 2 + 7 0 5 1 + 5 1 5 7 + 7 42 2 + 4 0 2 1 + 2 1 2 7 + 4 41 2 + 3 0 1 1 + 1 1 1 7 + 3 4

=

10 12 634 6 30

2 4 19

B A =

2 1 70 1 4

5 72 41 3

=

2 5 + 1 2 + 7 1 2 7 + 1 4 + 7 30 5 + 1 2 + 4 1 0 7 + 1 4 + 4 3

=

19 36 16

A B = B A

Primer 4: Proveriti da li vazi A B = B A, ako je

A =

1 23 4

B =

2 4

6 4

A B =

1 23 4

2 4

6 4

= 1 2 + 2 (6) 1 (4) + 2 (4)3 2 + 4 (6) 3 (4) + 4 (4)

=

10 1218 28

B A =

2 4

6 4

1 23 4

=

2 1 + (4) 3 2 2 + (4) 4

6 1 + (4) 3 (6) 2 + (4) 4

= 10 1218 28 A B = B A

Svaka matrica reda n za jedno sa jedinicnom matricom istog reda cine komu-tativan par tj. AE = EA gde jedinicna matrica ima ulogu neutralnog elementa.

8


10/34

Proizvod matrice A reda n sa nula matricom istog reda je nula matrica redan (A 0 = 0 A = 0).

Medutim, kao rezultat mnozenja dve matrice A i B moze biti nula matrica ionda kada ni jedna od matrica A i B nije nula matrica. Takve matrice zovu sedelioci nule.

Primer 5: Pomnoziti matrice M i N

M =

2 16 3

4 2

N =

1 12 2

M N =

2 16 3

4 2

1 1

2 2

=

2 1 + (1) 2 2 1 + (1) 26 1 + (3) 2 6 1 + (3) 2

4 1 + 2 2 4 1 + 2 2

=

0 00 0

Proizvod dve dijaonalne matrice je takode dijagonalna matrica istog reda itaj proizvod je komutativan.

Primer 6: Odrediti proizvod matrica A i B ako je

A =

2 0 00 3 0

0 0 5

B =

1 0 00 1 0

0 0 2

A B = 2 0 00 3 0

0 0 5

1 0 00 1 00 0 2

= 2 0 00 3 00 0 10

= 1 0 00 1 00 0 2

= 2 0 00 3 00 0 5

Normalna matricaje realna matrica koja je komutativna sa svojom transpono-vano matricom. Ako je A AT = AT A onda le realna matrica A komutativna.

Primer 7: Data je matrica A

A =

0 3

3 0

Izracunati proizvod date matrice i njenog transponata.

A AT =

0 3

3 0

0 33 0

=

9 00 9

= 9

1 00 1

9


11/34

Za mnozenje matrica vaze stavovi:

1. levi i desni zakon distribucije mnozenja prema sabiranju tj.

A (B + C) = A B + A C

(A + B) C = A C + B C

2. vazi zakon asocijacije za mnozenje tj.

A (B C) = (A B ) C

gde su matrice A i B saglase, kao i matrice B i C

3. (A B ) = (A) B gde je realan broj.

Dokaz:

1. Ako je A = (aij ), B = (bjk ) i C = (cjk ) imamo

(aij )((bik) + (cjk )) = (aij )(bjk + cjk ) =

j aij (bjk + cjk )

=

=

j aij(bjk ) +

j aij (cjk )

= (aij )(bjk ) + (aij)(cjk )

i isto tako za drugu distributivnost

2. Neka je A = (aij), B = (bjk ), C = (ckp) pri cemu smatramo da su matricesaglasne, tada je

(A B ) C = [(aij bjk)] (ckp) =

j

aijbjk

[ckp]

=

k

(

j

aij bjk )ckp

=

k,j

aij bjkckp

i neposredno se vidi da se do istog rezultata dolazi drugim redosledommnozenja

3. analogno prethodnim

Prilikom mnozenja matrica, matrice se mogu napisati u pogodnijem obliku,takozvana Falkova metoda.

Demonstrativni primer: Odrediti proizvod matrica A i B u redosledu A B.

A =

3 11 0

2 45 2

B =

6 1 3

5 4 0

B = 6 1 35 4 0

A =

3 11 0

2 45 2

13 1 96 1 38 14 640 13 15

= A B

10


12/34

Rezultat mnozenja dve matrice moze se proveriti pompcu zbira elemenata pokolonama ili pomocu zbira elemenata po vrstama.

Kod proveravanja sumiranjem elemenata po kolonama treba sabirati ele-mente matrice A po kolonama i njihove se sume redom ispisu ispod matrice A uvidu pridodate matrice vrste SA. Zatim se formira proizvod SA B ko ji se ispiseispod matrice B u vidu matrice vrste SA B. Prvi element matrice SA B mora

biti jednak sumi elemenata prve kolone proizvoda A B, drugi element sumi ele-menata druge kolone proizvoda A B, treci element sumi elemenata trece koloneA B,. . . , n-ti element sumi elemenata n-te kolone proizvoda A B.

B =6 1 3

5 4 0

A =

3 1 13 1 91 0 6 1 3

2 4 8 14 65 2 40 13 159 3 39 -3 -27

= A B

(9 6 + 3 (5)) = 54 15 = 39(9 1 + 3 (4)) = 9 12 = 3(9 (3) + 30) = 27 + 30 = 27

Proveravanje sumiranjem elemenata po vrsti vrsi se analogno proveravanjupo kolonama. Saberu se elementi matrice B po vrstama i njihove sume se ispisuredom sa desne stranice matrice B u vidu matrice kolone SB. Zatim se formiraproizvod A SB koji se ispise sa desne strane matrice A B u vidu matrice koloneASB. Prvi element matrice ASB mora biti jednak sumi elemenata prve vrsteproizvoda A B, drugi element sumi elemenata druge vrste proizvoda A B itd.

Kod gornjeg primera bice:

B =6 1 3 4

5 4 0 9

A =

3 1 13 1 9 31 0 6 1 3 4

2 4 8 14 6 285 2 40 13 15 38

2.5 Stepenovanje kvadratne matrice i matricni polinom

Ako je matrica A kvadrana matrica onda proizvod:

A A A . . . A nfaktora

= An

predstavlja n-ti stepen marice A gde je A0 = E. Stepen kvadratne matrice Adefinisan je pomocu:

11


13/34

An =

E za n = 0A za n = 1A An1 za n > 1

Ako su p i q negativni celi brojevi, tada je:

Ap Aq = Ap+q (Ap)q = Ap q

Primer 1: Ako je data matrica A izracunati A2.

A =

2 10 3

A2 = A A =

2 10 3

2 10 3

=

4 50 9

Primer 2: Odrediti B3 ako je

B =

1 32 4

B3 = B2 B =

1 32 4

1 32 4

1 32 4

=

7 15

10 22

1 32 4

= 37 81

54 118 Pod matricnim polinomom podrazumeva se zbir

P(A) = anAn + an1A

n1 + an2An2 + . . . + a1A

1 + a0

gde su an, an1, an2, . . . , a1, a0 skalari, a A kvadratna matrica.Ako se u polinomu P(x) = a0 + a1x + . . . + anxn umesto x stavi kvadratna

matrica A dobija se matricni polinom

P(A) = a0 + a1A + . . . anAk

Ako je P(A)=0 onda je matrica A resrnje (koren) polinoma P(x).

Primer 3: Dat je polinom P(x) = x2 4x 5 i matrica

A =

1 2 22 1 2

2 2 2

.

12


14/34

Naci P(A) i pokazati da je P(A)=0.P(A) = A2 4A + 5A0

A2 =

1 2 22 1 22 2 2

1 2 22 1 22 2 2

=

9 8 88 9 88 8 9

A2 4A + 5E =

9 8 88 9 8

8 8 9

4 8 88 4 8

8 8 4

5 0 00 5 0

0 0 5

=

0 0 00 0 0

0 0 0

2.6 Particija matrica

Ako se iz matrice A tipa m n izdvoje oni elementi koji leze u ma ko jihr redova (m r) koji ne moraju biti uzastopni i s kolona (n s) dobice se

submatrica tipa r s date matrice.Ako je r = s submatrica ce biti kvadratna. Ona je razlicita od polazne

matrice ako je bar jedan od brojeva r i s manji od odgovarajuceg broja polaznematrice.

Sami elementi matrice mogu se smatrati kao njene submatrice reda 1, redovidate matrice su submatrice tipa (1, k), a kolone submatrice tipa (m, 1) itd.

Matricu mozemo razdeliti na bilo koji nacin crtama izmedu redova i kolonana submatrice razlicitih tipova, pa onda matricu A smatramo kao matricu cijisu elementi matrice koje cemo obeleziti sa Aij ili velikim slovima.

A =

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

=

A11 A12A21 A22

M =

1 7 63 5 4

8 0 2

=

A BC D

gde je

A =

1 73 5

, B =

64

, C = [ 8 0 ] , D = [ 2 ]

Matrice ciji su elementi matrice naziva se super matrica.Rasclanjivenje matrice u submatrice zove se particija (razdvajanje) matrica.

Ona se koristi radi lakseg izracunavanja. Sabiranje matrica, koje su razdeljene

na blokove , moguce je samo onda ako je particija izvrsena na isti nacin.

Primer 1: Date su matrice A i B. Naci zbir ovih dveju matrica koristeci par-ticiju.

13


15/34

A =

5 2 17 4 6

2 1 8

B =

3 9 21 2 0

7 1 2

A + B =

57

+

31

2 14 6

+

9 22 0

2

+

7

1 8

+

1 2

=

88

11 32 6

5

2 10

=

8 11 38 2 65 2 10

Kada se particija matrica primenjuje kod mnozenja mora se voditi racuna

o tome da broj kolona leve matrice mora biti jednak broju redova desne matrice.

Primer 2: Date su matrice A i B. Izracunati proizvod ovih matrica koristeciparticiju.

A =

1 2 30 1 2

B =

2 00 1

1 1

A B = 1 2

0 1 2 0

0 1 + 3

2 1 1 =

2 20 1

+

3 32 2

=

5 12 1

14


16/34

3 Determinante

Ako je A =

a11 a12a21 a22

kvadratna matrica reda 2, njena determinanta je

brojdetA = a11a22 a12a21 = (1)

0a11a21 + (1)1a12a21

detA oznacavamo i kao Pod determinantom matrice A

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

. . .

. . .an1 an2 . . . ann

podrazumevamo zbir

det A = (1)a11a22 . . . ann

gde sumiranje ide preko svih permutacija skupa {1, 2, . . . , n} i gde je brojinverzija permutacija .

Da bi razlikovali determinante od matrica, determinante pisemo kao:

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

. . .

. . .an1 an2 . . . ann

Za n=2

detA = (1)0

a11a12 + (1)1

a12a21

Za n=3

detA =a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

= (1)0a11a22a33 + (1)1a12a23a31 + (1)

2a13a21a32 +

(1)3a13a22a31 + (1)4a11a23a32 + (1)

5a12a21a33

= a11a22a33 a12a23a31 + a13a21a32 a13a22a31 +

a11a23a32 a12a21a33

Za izracunavanje determnante koristi se Sarusovo pravilo: Prve dve kolonedopisati s desne strane determinante pa prema dijagonalama napisati svih sestproizvoda.

15


17/34

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

+ + +

Primer 1: Sarusovim pravilom izracunati determinatu:

2 3 11 2 3

2 4 5

2 3 1 2 31 2 3 1 2

2 4 5 2 4= 20 18 + 4 + 4 24 15 = 29

Osobine determinanti

1. Ako je i-ta vrsta proizvod skalara i vrste ai = b tada je

det(. . . , b, . . .) = det(. . . , b , . . .)

2. Ako su svi elementi jednog reda ili jedne kolone matrice A jednaki nulitada je detA = 0

3. A = (aij), A = (aij ), A = (aij )

Neka svaki element jednog reda matrice A ima oblik aij = a

ij +a

ij , a ostaliredovi se poklapaju sa onim od A i A, tada je detA = detA + detA

4. Ako u jednoj determinanti uzajamno izmenjaju mesta dva reda determi-nanta menja znak.

5. det(A B ) = detA detB

6. Ako su odgovrajuci elementi dva razlicita reda jednaki, determinanta jenula.Posmatrajmo determinantu

=

a11 a12 . . . a1n. . .

ar1 ar2 . . . arn. . .

as1 as2 . . . asn

. . .an1 an2 . . . ann

Ako su po pretpostavci elementi reda r i s jednaki i ako red r i red sizmenjaju mesta dobija se determinanta = , a jasno je = jersu mesta izmenjali jednaki elementi, pa je = = 0

16


18/34

7. Ako se svi elementi jednog reda pomnoze brojem k, pa se dobijeni proizvodidodaju odgovarajucim elementima nekog drugog reda determinanta se nemenja.

=

a11 a12 . . . a1n. . .

. . . arj . . .

. . . asj . . .. . .

an1 an2 . . . ann

=

a11 a12 . . . a1n. . .

. . . arj . . .

. . . karj + asj . . .. . .

an1 an2 . . . ann

Sve osobine iskazane za vrste vaze i za kolone

8. Jedna determinana se ne menja ako vrste i kolone medusobno zamenemesta

17


19/34

4 Minori i algebarski komplementi

Neka je Aij kvadratna matrica reda n-1 dobijena izostavljanjem i-tog reda ij-ote kolone matrice A koja je reda n.

Za determinantu detAij = ij kazemo da je minor matrice A ili njenedeterminante koji odgovara elementu aij.

Posmatrajmo matricu

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

. . .

. . .an1 an2 . . . ann

Ako izostavimo prvi red i drugu kolonu, determinanta novodobijene matriceimace sledeci oblik

detA12 = 12 =a21 a23 . . . a2n

. . .

an1 an3 . . . ann

Za izraz (1)i+j ij = aij kazemo da je algebarski komplement elementa aij .Tada vaze jednakosti

detA = ai1ai1 + ai2a

i2 + . . . + aina

in

. . .detA = a1j a

1j + a2j a

2j + . . . + anja

nj

= aij = (1)ijij

Primer 1: Izracunati vrednost determinante

1 1 1 11 2 1 42 3 1 53 1 2 11

= 1(1)1+12 1 4

3 1 51 2 11

+ 1(1)1+21 1 42 1 53 2 11

+

+1(1)1+31 2 42 3 53 1 11

+ 1(1)1+41 2 12 3 13 1 2

= 142

Izracunavanje pomenute determinante mnogo je jednostavnije primenom os-obine 7:

1 1 1 11 2 1 42 3 1 53 1 2 11

1 1 1 12 3 0 53 2 0 41 1 0 9

2 3 53 2 41 1 9

2 5 133 1 311 0 0

= 142

18


20/34

Kriterijum za nesingularnost kvadratne matrice A reda n i formulu za odredivanjeinverzne matrice dobijamo kao posledicu jedne od osobina determinanti. Neka

je data kadratna matrica A reda n u kojoj fiksiramo dva reda i i k.

A =

a11 a12 . . . a1n. . .

ar1 ar2 . . . arn. . .

as1 as2 . . . asn. . .

an1 an2 . . . ann

Svaki element reda k zamenimo odgovarajucim elementom reda i.

A =

a11 a12 . . . a1n. . .

ar1 ar2 . . . arn. . .

as1 as2 . . . asn. . .

an1 an2 . . . ann

Bice = detA = 0 jer su dva reda jednaka. S druge strane, minori elemnatareda k u jednaki su minorima elemenata k u .

Ako razvijemo determinantu po elementima reda k dobijamo:

ai1a

k1 + ai2a

k2 + . . . + aina

kn = 0

i neka je A = (aij) kvadratna matrica reda n, a a

ij algebarski komplementelementa aij u matrici A.

Matrica A = (aij ) zove se adjungovana matrica matrice A u oznaci adjA =

A gde je aij = a

ij . Adjungovana matrica se dobija iz reciprocne transpono-vanjem tj. zamenom mesta vrstama i kolonama.

Za svaku kvadratnu matricu A reda n tacna je jednakost

AA = (detA)E = AA

Dokaz: Radi jednostavnosti dokaza uvodimo oznake

A = B = (bij); bij = a

ij; A B = C = (cij )

A =

a11 a12 . . . a1n. . .

an1 an2 . . . ann

; B =

b11 b12 . . . b1n. . .

bn1 bn2 . . . bnn

Red i matrice A i j kolona matrice B daju cij matrice C, pa tako:

cij = ai1b1j + aib2j + . . . + ainbnj

Kako je b1j = a1j = a

j1; b2j = a

2j = a

j2 itd.

cij = ai1a

j1 + ai2a

j2 + . . . + aina

jn =

detA za i = j

0 za i = j

19


21/34

A B = A A = C =

detA 0 0 . . . 00 detA 0 . . . 0

. . .0 0 0 . . . detA

= (detA)E

Iz relacije

1detA

A

A = 1detA

(A A) = 1detA

(detA)E = E

A

1

detAA

=

1

detA(A A) =

1

detA(detA)E = E

20


22/34

5 Inverzne matrice

Za kvadratnu matricu A kazemo da je nesingularna (regularna) ako postojimatrica B takva da je

A B = E i E = B A (1)

Matrica koja nije nesingularna zove se singularna i takva matrica nema svojuinverznu matricu.

Ako pretpostavimo da za kvadratnu matricu A , pored matrice B postojimatrica C koja ima osobinu A C = E = C A, koristeci asocijativnost proizvodamatrica, dobijamo da je:

C = E C = (B A)C = B(A C) = B E = B

Matrica B za koju je A B = E i E = B A se obelezava sa B = A1 i nazivainverzna matrica za matricu A.

Prema ovome, inverzna matrica za nesingularnu matricu je jednoznacnoodredena. Pa, relaciju (1) imamo u obliku

A A1 = A1 A = E

Postoje jos neke osobine za nesingularnost matrica. Ako su A i B nesingu-larne matrice tada je:

1. A1 nesingularna matrica, pri cemu je (A1)1 = A

2. AB nesingularna matrica, pri cemu je (AB)1 = B1A1

A =

a11 a12a21 a22

A1 =

x11 x12x21 x22

Prema (1) sledi:

a11 a12a21 a22 x11 x12x21 x22 = 1 00 1 Kvadratna matrica A je nesinglarna ako i samo ako je = a11a22 a22 = 0.

Ovo tvrdjenje sledi iz cinjenice da je inverzna matrica jedinstvena i jednakostiAA = E = AA iz koje sledi da je

A1 =1

detAA ako je detA = 0 (2)

gde je A adjungovana matrca matrice A.5 Jednakost (2) je ujedno i formula zanalazenje inverzne matrice matrice A. Za kvadratnu matricu reda 2 ona glasi:

A1 =1

a22 a12

a21 a11 detA = 0 je potreban i dovoljan uslov za nesingularnost matrice A tj. kvadratnamatrica A je nesingularna ako i samo ako je detA = 0.

5videti odeljak 4

21


23/34

Primer 1: Za matricu A odrediti inverznu matricu A1.

A =

2 34 7

= 2 7 3 4 = 2; adjA =7 3

4 2

; A1 =1

2

7 3

4 2Primer 2: Naci inverznu matricu matrice A ako je

A =

3 4 52 3 1

3 5 1

A11 =

3 15 1

= 8 A12 =

2 13 1

= 5 A13 =

2 33 5

= 1

A21 =

4 55 1

= 29 A22 =

3 53 1

= 18 A23 =

3 43 5

= 3

A31 = 4 53 1 = 11 A32 = 3 52 1 = 7 A33 = 3 42 3 = 1

detA =7 11 0

2 3 15 8 0

=7 11

5 8= 1 adjA =

8 29 115 18 7

1 3 1

A1 =1

detAadjA =

1

1

8 29 115 18 7

1 3 1

=

8 29 115 18 7

1 3 1

Primer 3: Naci inverznu matricu matrice A ako je

A =

1 34 5

A11 = 5 A12 = 4 A21 = 3 A22 = 1

= 1 5 4 3 = 7; adjA =

5 3

4 1

A1 =1

7

5 3

4 1

=

5/7 3/7

4/7 1/7

22


24/34

6 Sistemi linearnih jednacina

Operacije mnozenja matrica i inverzna matrica vezane su za resenje sistemalinearnih jednacina. U tom cilju obrazujemo sistem od n linearnih jednacina san nepoznatih:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2. . .

an1x1 + an2x2 + . . . + annxn = bn

(3)

Od koeficijenata uz nepoznatu obrazujemo kvadratnu maricu A, od nepo-znatih matricu kolonu X i od slobodnih clanova matricu kolonu B.

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

. . .an1 an2 . . . ann

; X =

x1x2. . .xn

; B =

b1b2. . .bn

Operacija mnozenja matrice prevodi sistem (3) u linearnu jednacinu

A X = B (4)

gde je X nepoznata matrica . Da bi odredili matricu X matrica A mora da budenesingularna tj. da ima inverznu matricu A1. Jednacinu (4) mnozimo s levasa A1 i dobijamo ekvivalentnu matricnu jednacinu

A1(AX) = (A1B) = X = A1B (5)

Sistem (3) je saglasan ako je skup resenja neprazan. U suprotnom je nesa-glasan. Saglasan sistem je odreden, ako je skup resenja jednoclan. U suprotnom

je neodreden.Ako su svi slobodni clanovi sistema nule, takav sistem se naziva homogen.

Svaki homogen sistem je saglasan jer uvek ima resenje (0,. . . ,0).Nacin resavanja linearnog sistema od dve jednacine sa dve nepoznate

a11x1 + a12x2 = b1

a21x1 + a22x2 = b2

A =

a11 a12a21 a22

; X =

x1x2

; B =

b1b2

AX = B X = A1B

X =

x1x2

= A1B =

a11 a12a21 a22

1

b1b2

= 1a11a12 a12a21

a22 a12a21 a11

b1b2

=1

a11a12 a12a21

b1a22 b2a12b2a11 b1a21

23


25/34

Uvedimo oznake:

= a11a22 a12a21 ; 1 = b1a22 b2a12 ; 2 = b2a11 b1a22

X =

x1

x2

=

1

1

2

X1 =

1

X2 =2

Brojevi , 1, 2 su determinante drugog reda. Preciznije, ako je

A =

a11 a12a21 a22

kvadratna matrica drugog reda, za broj a11a22 a12a21 kazemo da je determi-nanta matrice A u oznaci

detA =a11 a12a21 a22

Sistem je saglasan ako je = 0. Ako je = 0 i 1, 2 = 0 sistem jenesaglasan. Ako je = 0 i 1 = 2 = 0 i neki od minora matrice A ra-zlicit od nule sistem je saglasan i neodreden, a ako je = 0 i 1 = 2 = 0 isvi minori matrice A su jednaki nuli onda sistem ima beskonacno mnogo resenja.

Primer 1: Resiti sistem linearnih jednacina

2x + 3y = 1

x 2y = 4

xy

=

2 31 2

1

14

=

1

7

2 31 2

14

=

1

7

14

7

=

2

1

Primer 2: Resiti matricnu jednacinu ako je

A = 5 137 10 B = 2 71 4 A X = BIz A X = B X = A1B

detA = 41 A11 = 10 A12 = 7 A21 = 13 A22 = 5

A1 =1

detAadjA =

1

41

10 13

7 5

=

10/41 13/41

7/41 5/41

X = A1B = 10

41

13

41

741

541

2 71 4 = 10

412 + 13

411 10

417 + 13

414

741

2 + 541

1 741

7 + 541

4

=

7

41 8

41

9

41

29

41

24


26/34

Primer 2: Resiti matricnu jednacinu XA+I=A gde je

A =

1 2 11 1 2

2 1 1

XA + I = A XA = A I X = (A I)A1

; detA = 4

A11 =

1 21 1

= 1 A12 =

1 22 1

= 3 A13 =

1 12 1

= 1

A21 =

2 11 1

= 1 A22 =

1 12 1

= 1 A23 =

1 22 1

= 3

A31 =

2 11 2

= 3 A32 =

1 11 2

= 1 A33 =

1 21 1

= 1

A1 = 1detAadjA = 1

4 1 1 33 1 1

1 3 1

X = (A I)A1 =

0 2 11 0 2

2 1 0

1

4

1 1 33 1 1

1 3 1

=1

4

0 + 6 1 0 2 + 3 0 2 11 + 0 2 1 + 0 + 6 3 + 0 2

2 + 3 + 0 2 1 + 0 6 1 + 0

=1

4

5 1 3

3 5 1

1 3 5

=

5/4 1/4 3/4

3/4 5/4 1/4

1/4 3/4 5/4

25


27/34

7 Rang matrice

Neka je A pravougaona matrica reda m n

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

. . .an1 an2 . . . ann

U matrici A izdvojimo k redova, numerisanih sa i1, i2, . . . , ik i k kolona nu-

merisanih sa j1, j2, . . . , jk. Elementi koji se nalaze u presecima izdvojenih redovai kolona obrazuju determinantu:

ai1j1 ai1j2 . . . ai1jkai2j1 ai2j2 . . . ai2jk

. . .aikj1 aikj2 . . . aikjk

za koju kazemo da je minor matrice A.Rang matrice A jednak je najvecem prirodnom bro ju k za koji postoji minor

k = 0, pri cemui je svaki minor reda veceg od k jednak nuli.

Primer 1: Odrediti rang matrice

A =

1 2 1 12 4 2 2

1 4 3 5

Rang matrice ne moze biti veci od 3. Posto su prva dva reda proporcionalna sviminori reda tri jednaki su nuli i obelezava se sa r(A). Kako je

2 41 4

= 4 dobija se r(A) = 2

Rang matrice se ne menja pri elementarnim transformacijama:

pri zameni mesta dvema vrstama odnosno kolonama

ako sve elemente jednog reda (kolone) pomnozimo bro jem p, pa dobijeneproizvode dodamo odgovarajucim elementima drugog reda (kolone).

Primer 2: Naci rang matrice

A =

1 1 1 12 3 1 1

3 4 0 2

A =

1 1 1 12 3 1 1

3 4 0 2

=

1 1 1 11 2 2 0

1 2 2 0

=

1 1 1 11 2 2 0

0 0 0 0

r(A) = 2

Primer 3: Naci rang matrice A za razlicite vrednosti parametra ako je

A =

1 1 12 1 3

1 10 0 0

26


28/34

A =

1 1 12 1 3

1 10 0 0

=

1 1 11 1 3 3 0

1 10 0 0

= 1 1 11 1 3 3 00 9 3 3 0

9 3 = 0 i 3 = 0 = 3 = 3

1. Za = 3

A =

1 3 1 11 10 0 0

0 0 0 0

r(A) = 2

2. Za = 3 r(A) = 3

27


29/34

8 Teorema KronekerKapeli-a

Do sada smo pomocu determinanti resavali sistem od n linearnih jednacinasa n nepoznatih. Ovde cemo promatrati opsti slucaj, sistem od m linearnih

jednacina sa n nepoznatih.

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2. . .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm

(6)

Formiramo matrice

A =

a11 a12 . . . a1na21 a22 . . . a2n

. . .am1 am2 . . . amn

B =

a11 a12 . . . a1n b1a21 a22 . . . a2n b2

. . .am1 am2 . . . amn bm

gde je A matrica sistema (6), a B prosirena matrica istog sistema.

Sistem ima resenja ako i samo ako matrice A i B ima ju isti rang tj. r(A) =r(B).Ako je ovaj uslov ispunjen i ako je k rang matrice B, tada za k=n ( n < m)

sistem ima samo jednu n-torku resenja, a za k < n beskonacno mnogo resenja.

Primer 1:x1 + x2 + x3 + x4 = 1

x1 + x2 + 2x3 + x4 = 2x1 + x2 x3 + x4 = 1

A =

1 1 1 11 1 2 1

1 1 1 1

=

1 0 1 01 0 2 0

1 0 1 0

r(A) = 2

B = 1 1 1 1 11 1 2 1 2

1 1 1 1 1

= 1 0 1 0 01 0 2 0 01 0 1 0 0

r(B) = 2

r(A) = r(B)

x2 = c x4 = z

x1 + x3 = 1 c zx1 + 2x3 = 2 c z/ (1)

x1 + x3 = 1 c zx1 2x3 = 2 + c + z/ (1)

x1 + x3 = 1 c zx3 = 1x1 = c z

28


30/34

(x1, x2, x3, x4) = (c z,c, 1, z)

Primer 2: Resiti sistem jednacina

x1 x2 + x3 = 1x1 + x2 x3 = 1

x1 x2 x3 = 1x1 + x2 + x3 = 0

A =

1 1 11 1 11 1 11 1 1

Kako je minor determinante A

1 1 11 1 11 1 1

=1 1 11 1 12 0 0

= 21 1

1 1= 4 = 0

zakljucujemo da je r(A) = 3, a kako je

B =1 1 1 11 1 1 11 1 1 1

=1 1 1 11 1 1 10 0 2 0

= 0 2 20 0 21 1 1

= 2 20 2

= 4 = 0

Kako je r(A) = r(B) sistem nema resenja.

Primer 3: Resiti sistem linearnih jednacina i u zavisnosti od vrednosti realnogparametra a diskutovati resenje.

x + y + z = 3x ay + 2z = 1

2x + 2y az = 4

A =

1 1 11 a 2

2 2 a

B =

1 1 1 31 a 2 1

2 2 a 4

B =

1 1 1 31 a 2 1

2 2 a 4

= 1 1 1 30 a 1 1 20 4 a + 2 2

=

1 1 1 30 a 1 1 2

0 a2 a 6 0 2a 6

29


31/34

1. Ako je a = 3 i a = 2 onda je r(A) = r(B) = 3, pa sistem ima jedinstenoresenje:

(x,y,z) = (3/(a + 2), 2/(a 2))

2. Ako je a = 3,onda je r(A) = r(B) = 2, pa sistem ia beskonacno mnogoresenja:

(x,y,z) = (5 5k,k, 4k 2)

3. Ako je a = 2, onda je r(A) = 2 = r(B) = 3, pa sistem nema resenja.

30


32/34

Matrice imaju vaznu ulogu u savremenoj matematici, kako u cistoj, takoi u primenjenoj. Takode se pojavljuju u fizici, psihologiji, ekonomiji,statistici,tehnici, geodeziji itd. Naglom razvitku matrice u novije vreme doprinela je icinjenica da se na racunskim masinama mogu izvrsiti racunske operacije kojesu definisane medu matricama. Uz pomoc racunskih masina mogu se za sveganekoliko sati izvoditi racuni za koje bi inacetrebalo nekoliko godina. Zato ma-

trice imaju tako siroku primenu.

31


33/34

Sadrzaj

1 Definicija i vrste matrica 1

2 Operacije sa matricama 4

2.1 Jednakost matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Sabiranje i oduzimanje matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.3 Mnozenje matrica skalarom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Mnozenje matrice matricom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Stepenovanje kvadratne matrice i matricni polinom . . . . . . . . 112.6 Particija matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Determinante 15

4 Minori i algebarski komplementi 18

5 Inverzne matrice 21

6 Sistemi linearnih jednacina 23

7 Rang matrice 26

8 Teorema KronekerKapeli-a 28

32


34/34

Literatura

[1] Dr MIROSLAV MARJANOVIC, Mr JOVO TAUZOVIC, TODORMALBASKI, Matematika za vise tehnicke skole

[2] Dr GOJKO KALAJDZIC, Linearna algebra

[3] Dr KOVINA RAKOCEVIC, Dr MIODRAG IVOVIC, Dr VLADIMIRPAVLOVIC, Matematika kroz primere i zadatke sa elementima teorije

[4] Dr ALEKSANDAR LIPKOVSKI, Linearna algebra i analiticka geometrija

[5] STOJAN RADENOVIC, Linearna algebra

33

Documents

Matrice_i_upotreba_matrica_na_reљavanje_sistema