SANTIAGO ANTUNES DE MAYOLO FICMomento lineal y su conservacin

El momento lineal o cantidad de movimiento, , de un cuerpo es el producto de su masa por su velocidad: = Es una magnitud vectorialMdulo: p = m.vDireccin y sentido: el mismo que la velocidad.Unidades: Kg.m.s-1

El momento lineal informa del movimiento de un cuerpo en proporcin a su masa. As dos cuerpos tienen momentos lineales diferentes si sus masas son distintas aunque se muevan con la misma velocidad (ej.: un camin a 20 Km/h posee ms cantidad de movimiento que una bicicleta a 20 Km/h), o si se mueven a distinta velocidad aunque tengan la misma masa. El momento lineal de un cuerpo puede cambiar a lo largo del tiempo si cambia su velocidad (ej.: un coche que acelera o frena), o si cambia su masa (ej.: un cohete que va quemando combustible)

El momento lineal para un sistema de partculas es el vector suma de los momentos lineales de las partculas individuales: +

Variacin del momento lineal:

En Dinmica se define la magnitud fuerza como la variacin temporal del momento lineal:

La variacin del momento lineal de una partcula con respecto al tiempo es igual a la fuerza resultante. Dicho de otra forma, la fuerza resultante que acta sobre una partcula se emplea en variar el momento lineal de la partcula.Esta formulacin permite deducir las leyes de Newton como un caso particular cuando la masa es constante.

Conservacin del momento lineal

Como , si cte. Este resultado se conoce como principio de conservacin del momento lineal, que puede expresarse:

Si sobre una partcula o un sistema de partculas no acta ninguna fuerza o la resultante de las fuerzas exteriores es nula, el momento lineal permanece constante.

El principio de conservacin es fundamental en la dinmica de colisiones. Por ejemplo para un sistema de dos partculas: = cte; es decir, la suma de los momentos lineales de cada partcula vale lo mismo antes y despus de la colisin; o dicho de otro modo: cuando dos partculas interaccionan, la variacin de la cantidad de movimiento de una de ellas es igual y de sentido opuesto a la variacin de la cantidad de movimiento de la otra.

La Fsica no admite excepciones al principio de conservacin en la naturaleza. Cuando en un experimento se observa que no se cumple, se propone la existencia de alguna partcula desconocida. Esto ha llevado al descubrimiento del neutrn y del neutrino.

Momento angular de una partcula

El momento angular de una partcula de masa m con respecto a un punto O es el producto vectorial del vector posicin de la partcula respecto al punto O, por su momento lineal o cantidad de movimiento :

Como p = m . v , siendo v la velocidad con que se mueve la partcula de masa m, el momento angular de la partcula se puede escribir como:

= x m .

es una magnitud vectorial de:

Mdulo: L = m v r sen, siendo el ngulo que forman y .

Siempre que y sean paralelos, el momento angular es cero

Direccin: Perpendicular al plano que forman y Sentido: viene dado por la regla del sacacorchos.

Las unidades del momento angular en el SI son Kg. m2 /s

Variacin del momento angular:Tan importante como valor de una magnitud fsica es su variacin con el tiempo.

la derivada del vector posicin respecto al tiempo es la velocidad y el producto vectorial de esta por la la cantidad de movimiento es cero ya que son vectores paralelos.

Se ha definido el momento de una fuerza, con respecto al mismo punto O, como el producto vectorial de y . Este resultado es fundamental para el estudio de las rotaciones; su significado fsico es que el momento de la fuerza tiende a cambiar la direccin del movimiento.

Teorema de conservacin del momento angular

Si el momento de la fuerza neta que acta sobre la partcula es nulo, el momento angular se conserva.

Si = 0 = constante.

Esto ocurre cuando la fuerza neta es cero, o cuando la fuerza es paralela a como ocurre en el caso de las fuerzas centrales.

CINEMATICA DEL SOLIDO RIGIDO

INTRODUCCIN:

Cinco son los movimientos posibles del slido rgido que se estudian:

1. Traslacin A - rectilnea B curvilnea.2. Rotacin alrededor de un eje fijo.3. Movimiento plano general.4. Movimiento alrededor de un punto fijo.5. Movimiento General.

Estudiaremos tres de ellos:

1. Traslacin.

Un cuerpo slido rgido realiza un movimiento de traslacin cuando, considerando un segmento entre dos puntos A y B del cuerpo, este se mantiene siempre paralelo a s mismo, durante todo el movimiento. Considerando el cuerpo rgido como un conjunto continuo de puntos materiales, cada punto material describir, en el movimiento, una trayectoria determinada y a todos los dems puntos materiales describirn trayectorias equidistantes entre s.Si la traslacin es rectilnea, las trayectorias son rectas y paralelas entre s (equidistantes), y si la traslacin es curvilnea, las trayectorias de los puntos materiales son curvas planas o alabeadas equidistantes entre s.

Ejemplos:

Traslacin rectilnea.

AABBXYZ

Figura 1: traslacin rectilnea

Traslacin curvilnea.YXABBAZ

Figura 2: traslacin curvilnea

Figura 3: vector posicin en una traslacin

En un movimiento de traslacin rectilnea o curvilnea segn se muestra en la figura 3, el vector posicin del punto B es:

(1)

A lo llamaremos vector de B con respecto a A y es constante.Derivando la (1) tenemos:

(2)

Es decir en un instante dado la velocidad de B es igual, a la velocidad de A y a la de cualquier otro punto material del slido rgido (ya sea un movimiento de traslacin rectilnea o curvilnea).

Si derivamos la (2) con respecto al tiempo:

(3)

Es decir que la aceleracin del punto B es la misma que la del punto A y a la de cualquier otro punto material del slido rgido.

Figura 4: vectores velocidad y aceleracin en una traslacin.

Conclusin: en un slido en movimiento de traslacin todos sus puntos tienen la misma velocidad instantnea y la misma aceleracin instantnea.

2. Movimiento de rotacin de un slido rgido alrededor de un eje fijo (que lo atraviesa).

Considerando un sistema de coordenadas rectangulares donde el eje Z coincide con el eje e de rotacin del slido rgido.

Considerando la base ortogonal O()

Figura 5: slido rgido girando alrededor de un eje fijo.

Siendo: y

;

entonces

Esta expresin es el mdulo del producto vectorial entre l vector velocidad angular de rotacin y el radio vector posicin del punto P.

Entonces de la relacin entre velocidades:

La velocidad angular es la misma para todos los puntos materiales del cuerpo rgido y l vector posicin depende de la posicin del punto material con respecto al punto O. Todos los puntos materiales del cuerpo giran describiendo circunferencias alrededor del eje de rotacin, en planos paralelos y en un mismo plano son circunferencias concntricas. Cada punto tiene su propia velocidad lineal.

Adems: (5)Por lo tanto la velocidad angular es un vector que esta sobre el eje Z, que es el eje de rotacin.Derivando la ecuacin (5) con respecto al tiempo tenemos:

pero:

entonces:

(6)

resolviendo: Recordando que en una circunferencia se cumple: siendo h = r . sen

(7)

Haciendo h = r de cada circunferencia, se puede comparar las expresiones (6) y (7). Se observa que:

es la aceleracin tangencial y es la aceleracin normal o centrpeta de cada punto del slido rgido.Por otro lado:

Es decir que l vector aceleracin angular est tambin sobre el eje de rotacin.Ecuaciones que definen el movimiento de rotacin de un slido rgido alrededor de un eje fijo, pueden referirse directamente a la descripcin del punto del cuerpo.

Sabemos que para un movimiento circular:

(8)Siendo m la velocidad angular media y la instantnea:

(9)Siendo am la aceleracin angular media y a la aceleracin angular instantnea.

En el caso de movimiento de rotacin uniforme: = cte. m = .

De (8) obtenemos: = o + . ( t - to ) y si to = 0 = o + . t espacio medido en funcin del ngulo recorrido en movimientos circular

Si el movimiento de rotacin uniformemente acelerado: = cte. am = w.

De (9) = o + . ( t - to ) y si to = 0

w = wo + . t velocidad angular en funcin del tiempo en movimientos circular Conocido el ngulo descrito; entonces se expresa:

y si 0, entonces:

espacio medido en funcin del ngulo de barrido y del tiempo.

Recordando que en MRUA

podemos deducir la ecuacin velocidad angular en funcin del ngulo descripto

Movimiento de rotacin alrededor de un eje fijo de cada uno de los puntos de un slido rgido. Depende de la posicin del cuerpo.

Vemos en la figura 5 que el punto n es un punto que se encuentra a una distancia del eje de rotacin. Durante la rotacin del cuerpo, el punto P describe una circunferencia de radio n, que se encuentra en una plano perpendicular al eje de rotacin e, cuyo centro B se encuentra en el mismo eje. Entonces sabemos que la velocidad lineal de P tiene como mdulo

v = . h (10)

Ya que en un instante dado, tiene el mismo valor para todos los puntos del cuerpo, resulta, de la formula (10), que el mdulo de las velocidades lineales de los puntos del cuerpo en rotacin son proporcionales a sus distancias al eje de rotacin.

Figura 6: vector velocidad lineal para cada punto de un slido rgido en un instante determinado.

Para hallar la aceleracin total del punto P, sabemos que:

(11)

La desviacin del vector de la aceleracin total respecto al radio de la circunferencia que describe el punto es:

Figura 7: posicin del vector aceleracin total del punto P de un slido en rotacin.

Pero:

Entonces: (12)

Como en un instante dado y tienen el mismo valor para todos los puntos del cuerpo, de las formulas (11) y (12) se deduce que las aceleraciones de todos los puntos de un cuerpo slido en rotacin son proporcionales a sus distancias al eje de rotacin y forman en el instante dado el mismo ngulo con los radios hi de las circunferencias que describen los puntos.

en un instantedado

Figura 8: vector aceleracin total de un slido rgido en un instante determinado.

Las formulas (10), (11) y (12) permiten determinar la velocidad y la aceleracin lineal de cualquier punto del cuerpo si se conoce la ley de rotacin del cuerpo, es decir, la velocidad angular , la aceleracin angular y la distancia entre el punto dado y el eje de rotacin hi.

Recprocamente, si se conoce el movimiento de un punto del cuerpo, sobre la base de las mismas formulas es posible determinar el movimiento de todos los otros puntos del cuerpo, as como todas las caractersticas del movimiento del cuerpo completo. Se pueden determinar y .

Ejemplo:Un rbol que gira a n = 90 r.p.m. (revoluciones por minuto), despus de desconectar el motor adquiere un movimiento uniforme retardado y se detiene al cabo de t1 = 40seg. Determinar el nmero de revoluciones efectuadas por el rbol durante ese tiempo.Solucin: como el rbol est en rotacin uniformemente retardada, entonces:

(a)

y (b)

Sabemos que la velocidad angular que tena antes de desconectar el motor, a sea la velocidad angular inicial es:

En el instante en que el rbol, t = t1 la velocidad angular w1 = 0. Poniendo estos valores en (b), tenemos:

Si representamos el nmero de revoluciones hechas por el rbol hasta que se detiene por N (n son las revoluciones por minuto), el ngulo de rotacin en el mismo perodo de tiempo ser a 1 = 2 . . N. Usando la (a):

entonces:

MMSYX

o

3. Movimiento plano paralelo del cuerpo slido.

Por movimiento plano paralelo (o simplemente plano) se entiende el movimiento del cuerpo slido durante el cual todos sus puntos se desplazan paralelamente a un plano fijo.

Figura 9: movimiento plano paralelo de un slido rgido, respecto al plano .

Biela-manivela

Muchas piezas de mecanismos y mquinas efectan un movimiento plano, por ejemplo, una rueda mvil sobre un segmento de va rectilnea, una biela de un mecanismo de Biela manivela; etc.El movimiento de rotacin de un cuerpo slido, es un caso particular del movimiento plano.Examinaremos la seccin S del cuerpo situada en un plano OXY paralelo al plano . (figura 9)Si tenemos un movimiento plano, todos los puntos del cuerpo situados sobre la recta MM perpendiculares a la seccin S, es decir, al plano , se desplazan de un modo idntico. Por eso, para el estudio del movimiento de todo el cuerpo es suficiente estudiar el movimiento de una seccin S en el plano OXY. En la figura (10) haremos coincidir el plano OXY con el plano del dibujo y en ves del cuerpo entero representaremos solamente su seccin S.

XAYAAB

YX

Figura 10: seccin S de un slido rgido incluido en el plano OXY paralelo al plano .

Es evidente que la posicin de la seccin S en el plano OXY se determina por la posicin de un segmento cualquiera de la seccin (figura 10). A su vez, la posicin del segmento puede ser determinada si se conoce las coordenadas en XA y YA del punto A y en ngulo formado por el eje X con el segmento medido en sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj.Al punto A, lo llamamos polo.

Durante el movimiento los valores de Xa, Ya y varan. Para saber la ley de movimiento del cuerpo, hay que conocer:

(13)

Llamadas ecuaciones del movimiento plano del cuerpo slido.

Demostraremos que el movimiento plano se compone de movimientos de traslacin y rotacin. De traslacin, haciendo que la seccin S siempre siga paralela al plano (traslacin) y que el eje de rotacin sea perpendicular al plano o sea a la seccin S (rotacin).ABB

Posicin finalXPosicin inicialYAABYXA

Figura 11: movimiento plano paralelo como composicin de movimiento de traslacin y rotacin.

Mediante una traslacin curvilnea, paralela al plano , o sea en el plano OXY, pasamos de la posicin inicial P1 a la posicin final de la traslacin curvilnea P1 y luego con una rotacin alrededor de un eje perpendicular a y que pasa por A2 , llegaremos a la posicin final P2.Sabemos que en el espacio siempre podemos pasar de una posicin inicial a la final mediante la traslacin conveniente y una rotacin conveniente. En el movimiento plano: la traslacin es paralela a un plano y la rotacin alrededor de un eje es perpendicular al plano.Determinacin de la trayectoria de los puntos del cuerpo.Estudiaremos ahora el movimiento de diferentes puntos del cuerpo slido, es decir, determinaremos sus trayectorias, velocidades y aceleraciones.XXAYAAB

YX

bY

Figura 12: posicin de un punto de seccin S en un movimiento plano en un instante determinado.

Comencemos por definir las trayectorias. Examinaremos el punto M del cuerpo cuya posicin en la seccin S se termina por la distancia b = AM del polo A y por el ngulo BAM = (figura 12).Las ecuaciones de las coordenadas X e Y del punto M son:

(14)Donde YA, XA y son funciones del tiempo t conocidas por las ecuaciones (13).Las igualdades (14), que determinan la ley del movimiento del punto M, en el plano OXY, dan simultneamente la ecuacin de la trayectoria de este punto en forma paramtrica. Para obtener una ecuacin ordinaria rectangular, eliminaremos en (14) el tiempo t.(despejando t de una de ellas y reemplazando ese valor t en la otra)

Determinacin de las velocidades de los puntos del cuerpo.Repetimos, el movimiento plano del cuerpo slido se compone de un movimiento de traslacin, cuando en cada instante todos los puntos del cuerpo tienen la misma velocidad instantnea vA del polo y un movimiento de rotacin alrededor de ese polo.Demostraremos que la velocidad de cualquier punto M del cuerpo es la suma geomtrica de las velocidades correspondientes a cada uno de estos movimientos.

Figura 13: posicin y velocidad de un punto de la seccin S en un movimiento plano en un instante determinado.

l vector posicin del punto M en el instante t, respecto al sistema de referencia es:

Es decir, la magnitud es la velocidad del polo A; la magnitud es la velocidad del punto M con respecto a A

Cuando es constante en magnitud pero no en direccin, porque el cuerpo gira respecto del polo.

Entonces:

En este caso, la del punto M en su movimiento de rotacin alrededor del polo A, ser:

(recordar )

Siendo: y donde es la velocidad angular de rotacin del cuerpo.

De este modo, la velocidad de todo punto M del cuerpo es la suma geomtrica de la velocidad de otro punto cualquiera A, tomando como polo y de la velocidad de rotacin del punto M, alrededor de este polo y la aceleracin Ejemplo:

Hallar la velocidad del punto M de la llanta de una rueda, que se desplaza (trasladndose y rotando, sin resbalar) sin rozamiento sobre un riel, si la velocidad de traslacin del centro C de la rueda es igual a y el ngulo OKM = creciendo desde

Figura 14: posicin y velocidad del punto M de la llanta de una rueda animada de movimiento plano.

Tomando como polo el punto C, cuya velocidad de traslacin es conocida, hallaremos que:

donde y en mdulo

siendo r, el radio de la rueda

El valor de la velocidad angular lo hallaremos teniendo en cuenta que el punto K de la rueda no resbala por el riel, y por lo tanto, en el instante en que la rueda toca el riel en el punto K, la velocidad de K es nula: .Por otra parte, lo mismo que para el punto M:

donde

Ya que para el punto K, y estn dirigidas a lo largo de la misma recta, entonces, como ser de donde, tienen igual mdulo y sentido contrario.Entonces:

Observando la figura 14, el tringulo KCM es issceles, pues tiene dos lados iguales, que son los radios de la circunferencia y el ngulo externo es igual a la suma de los ngulos interiores no adyacentes.

Adems, el ngulo formado por los vectores y es igual a pues sus lados son respectivamente perpendiculares y como

deducimos que los vectores y tienen los mismos mdulos. Segn la propiedad geomtrica del rombo, los ngulos entrey y entre y tambin son iguales a .

Como las diagonales del rombo son recprocamente perpendiculares, tenemos:

el extremo superior del dimetro vertical (en O) tenemos la velocidad absoluta ya que y cos 0 = 1 y entonces

y observemos que y

Es decir en el punto K se cortan y y las velocidades absolutas (suma geomtrica de las velocidades puras de rotacin y traslacin) y son perpendiculares a sus direcciones.El punto K, que permanece fijo en ese instante, puede considerarse como un centro instantneo de rotacin (o eje perpendicular al plano de traslacin).

Podemos estudiar el caso de movimiento plano, desde otro punto de vista.Volvemos al comienzo. Siempre se puede descomponer el movimiento plano en una traslacin y una rotacin. Estudiaremos el caso de una circunferencia que est rotando sin resbalar sobre un riel rectilneo.Veremos que este movimiento puede considerarse como una serie de rotaciones puras instantneas, alrededor de centros instantneos (ejes instantneos) de rotacin.

=+CCCCCrrrrr

Figura 15: movimiento plano como descomposicin de una traslacin y una rotacin.

Estudiaremos primero la rotacin pura.

Si conocemos r y w, entonces: v = r

y si conocemos v y r, entonces:

En el punto M:

Figura 16: posicin y velocidad en una rotacin pura.

En el punto A:

Como segundo paso consideramos la traslacin pura. Tenemos:

Figura 17: posicin y velocidad en una traslacin pura.

velocidad de traslacin del punto C = w . r , porque una rueda sin resbalar (sin deslizarse), cuando da una vuelta completa, el ngulo de rotacin ser: = 2 . Radianes y el punto C (como tambin el K de la figura) se habr trasladado un distancia 2 . . r y la velocidad de traslacin de C ser siendo T el perodo o sea el tiempo que tarda en dar una vuelta completa. Entonces, como:

entonces: (15)Como los dos mdulos son iguales y los sentidos de los dos vectores son contrarios, entonces el punto K, en ese instante, permanecen en equilibrio. Adems por las consideraciones anteriores:

velocidades absolutas (totales)

O sea que podemos considerar, en ese instante, como si todos los puntos estn rotando alrededor del centro instantneo de rotacin K, que cambia de posicin constantemente.

Ejemplo:Sea de nuevo una llanta que rueda con movimiento rectilneo. Determinar directamente la velocidad absoluta del punto M, con ayuda del centro instantneo de rotacin.

Figura 18: velocidades del punto M y del punto K en el movimiento de una llanta.

Solucin: el punto K de contacto, es el centro instantneo de rotacin, porque .

Por consiguiente . Ya que el ngulo KDM es recto, abarca el dimetro KD, y el vector pasa por el punto D (lo mismo para todos los puntos de la circunferencia).

Pero: por (15)

Observando la figura 18 se ve que la velocidad lineal del punto C es el producto de la velocidad angular instantnea por el radio de giro de C respecto a K.

Comparando con: , se obtiene que: Entonces en el centro instantneo de rotacin K, toda rotacin instantneamente tiene velocidad angular w.

Observando la figura 18:

pero:

queda:

Despejando w:

Donde: es la velocidad del punto M.

Curva Base y Curva Ruleta.El centro instantneo de rotacin K de un cuerpo rgido, describe en el espacio una curva llamada BASE y con respecto a la superficie sobre la que se mueve, describe otra curva llamada RULETA. Ambas curvas son tangentes en K, en un instante determinado. Puede interpretarse:

Figura 19: Curva Base y Curva Ruleta de un slido rgido que rueda sobre una superficie tal como que la cuerva Ruleta rueda sobre la curva Base.

En el caso de una circunferencia que rueda sobre un riel, la curva BASE es el propio riel, fijando las sucesivas posiciones del centro k en el espacio y la curva RULETA, o sea, las sucesivas posiciones de k fijndolas con respecto a la rueda, es la propia circunferencia.Si consideramos la placa unida fijamente a la ruleta y hacemos rotar la ruleta sobre la base, obtenemos el movimiento total de la chapa en el espacio.

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