. .

2020

517.2(075.8) 22.161 73

23:

. . , . . , . . , . . ,

. . , . .

. .,

. . .

23 . : / . . [ .] ;

. . , , . – :

, 2020. – 86 . ISBN 978-5-93299-461-0

, 2008-2019

. . " ". –

. , - .

517.2(075.8) 22.161 73

ISBN 978-5-93299-461-0 © . , 2020

Светлой памяти

Евгения Александровича Ивина

посвящается

Математический анализ

Второй семестр

4

1 Функции двух переменных

В этом разделе мы будем рассматривать функции двух веще-

ственных переменных f(x, y). График такой функции представля-

ет собой поверхность в пространстве c декартовыми координатами

x, y, z, которая задается уравнением z = f(x, y). Областью определе-

ния тогда удобно представлять себе расположенной в координатной

плоскости xOy.

Задача. Найти область определения функции f(x, y) = ln x√y.

Решение. Областью определения служи первая четверть (без гра-

ницы) координатной плоскости xOy. В самом деле, переменная x

стоит под логарифмом, а y — под знаком квадратного корня и в зна-

менателе, откуда x > 0 и y > 0.

1.1. Нарисуйте область определения функции

а) f(x, y) =√

9− x2 − y2,

б) f(x, y) =

√

4− x2 − y2

ln(x2 + y2 − 1).

1.1 Сечения и линии уровня

Линией уровня функции z = f(x, y) называется любое множество

точек (любая кривая), которое в плоскости xOy задается уравне-

нием c = f(x, y), где c — произвольное фиксированное число. Гео-

метрически линия уровня представляет собой сечение поверхности

z = f(x, y) плоскостью перпендикулярной оси z.

Часто бывает полезно рассматривать не только линии уровня, но и

произвольные сечения нашей поверхности. Сечения позволяют по-

нять, что представляет собой поверхность, задаваемая уравнение

z = f(x, y).

5

Задача. Что представляют собой линии уровня функции z = x2+y2?

Нарисовать их. Что будет получаться в сечениях вертикальными

плоскостями (то есть плоскостями, параллельными оси z)?

Решение. Выберем некоторое c > 0, тогда уравнение x2 + y2 = c

задает окружность радиуса√c - с центром в точке (0, 0). К примеру,

для c = 4 линия уровня – это окружность радиуса 2. Если c = 0, то

линия уровня состоит из одной точки (0, 0). Если c < 0, то уравнение

x2+ y2 = c не имеет решений, а значит, вся наша поверхность лежит

выше координатной плоскости xOy. Теперь вполне можно предста-

вить, что это за поверхность и нарисовать ее.

Сечения вертикальными плоскостями представляют собой парабо-

лы (например, сечение плоскостью y = 0 — это парабола z = x2).

Эта поверхность называется эллиптическим параболоидом, потому

что горизонтальные сечения — это эллипсы (в нашем случае даже

окружности), а вертикальные сечения — параболы.

Ее можно также получить, вращая параболу z = x2 вокруг оси z (ее

оси симметрии).

1

4

y

x

z

x

y

1.2. Дана функция z(x, y) = −x2 − y2 − 1. Какие у нее линии

уровня? Нарисовать поверхность, задаваемую данной функци-

ей.

6

1.3. Дана функция z(x, y) = (x−1)2+y2+2. Какие у нее линии

уровня? Нарисовать поверхность, задаваемую данной функци-

ей.

1.4. Для следующих функций нарисовать линии уровня:

а) z(x, y) = 1− x− y;

б) z(x, y) = x2 + y2;

в) z(x, y) =√

x2 + y2;

г) z(x, y) = 4x2 + y2;

д) z(x, y) = −xy;

е) z(x, y) = x2 − y2.

Что получается в сечениях этих фигур различными верти-

кальными плоскостями?

1.5. Нарисуйте множества точек, удовлетворяющих следующим

уравнениям

а) z = 1− x− y; (плоскость)

б) x2 + y2 + z2 = 9; (сфера, частный случай эллипсоида)

в) z = 4x2 + y2; (эллиптический параболоид)1

г) z = y2 − x2; (гиперболический параболоид)

1Название эллиптический, как говорилось выше, объясняется видом ли-

ний уровня. К примеру, уравнение 4x2 + y2 = 4 ⇔ x2 + ( y2)2 = 1 задает

эллипс – овал, который получается из окружности единичного радиуса

растяжением в два раза по оси y.

7

д) x2 + y2 − z2 = 1; (однополостный гиперболоид)

е) x2 + y2 − z2 = −1; (двуполостный гиперболоид)

ж) z =√

x2 + y2. (конус)

1.2 Приращение, частные производные,дифференциал

Теперь научимся вычислять частные производные функции двух

переменных. Определяются они следующим образом: вычисляем про-

изводную по одной переменной, считая другую переменную некото-

рым фиксированным числом. Частные производные обозначаются

символами ∂f∂x

и ∂f∂y

, но часто для удобства используется более ко-

роткая запись: f ′x и f ′

y.

Формально частные производные в точке (x, y) определяются сле-

дующим образом:

∂f

∂x= lim

∆x→0

f(x+∆x, y)− f(x, y)

∆x,

∂f

∂y= lim

∆y→0

f(x, y +∆y)− f(x, y)

∆y.

Задача. Найти частные производные первого порядка функции f =

x2 + y3 − xy2 − sin(xy) + 3.

Решение. Сначала зафиксируем y (смотрим на y, как на число) и

вычислим производную по x:

f ′x = 2x− y2 − y cos(xy).

Теперь x – некоторое постоянной число, а y — переменная, по которой

дифференцируем:

f ′y = 3y2 − 2xy − x cos(xy).

8

1.6. Найти дифференциал и частные производные первого по-

рядка функции

а) z(x, y) = 9xy + 4x2 − y + 10;

б) z(x, y) = xy − x2 − 2y2 + x+ 10y − 8.

1.7. Найти дифференциал и частные производные первого по-

рядка функции

а) z(x, y) =√

x2 + y2;

б) z(x, y) = ex ln y + cos y + 1.

1.8. Найти частные производные первого порядка

а) f(x, y) = 3x2 + y2 − 5xy + x3y4 − 1;

б) f(x, y) = xey + sin(x+ 2y) +√x;

в) z = xyexy;

г) z = x2+y2

ln(x2+y2) .

1.9. Найти частные производные первого порядка функции

а) z = x2 + y2 − 1;

б) z = cos(2x− 3y);

в) z = x · e−y;

г) z = ln(√x+

√y).

1.10. Найти частные производные первого порядка функции

f(x+ y), если f — произвольная функция одной переменной.

1.11. Найти частные производные первого порядка функции

f(x/y), если f — произвольная функция одной переменной.

9

1.3 Частные производные второго порядка

Частные производные второго порядка определяются аналогично

тому, как это делалось в случае функции одной переменной.

f ′′xx = (f ′

x)′x f ′

yy = (f ′y)

′y f ′

xy = (f ′x)

′y.

Последняя производная называется смешанной. Для хороших функ-

ций (а мы только с такими будем иметь дело) порядок, в котором

вычисляется смешанная производная, не имеет значения:

f ′′xy = f ′′

yx.

Пример. Вычислим частные производные второго порядка для функцииf(x, y) =

x2 + y3 − xy2 − sin(xy) + 3 из предыдущего примера:

f ′′xx = (f ′

x)′x = (2x− y2 − y cos(xy))′x = 2 + y2 sin(xy),

f ′′yy = (f ′

y)′y = (3y2 − 2xy − x cos(xy))′y =

= 6y − 2x+ x2 sin(xy),

f ′′xy = (f ′

x)′y = (2x− y2 − y cos(xy))′y =

= −2y − (cos(xy)− xy sin(xy)) =

= −2y − cos(xy) + xy sin(xy).

При вычислении смешанной производной мы воспользовались

правилом дифференцирования произведения. Известные нам прави-

ла дифференцирования (т. е. вычисления производных) суммы, раз-

ности, произведения и частного выполняются и для частных произ-

водных. Правило дифференцирования сложной функции несколько

усложнится, с соответствующей формулой мы познакомимся ниже.

1.12. Найти частные производные второго порядка функции

10

а) f(x, y) = x2 + y2x;

б) f(x, y) = x sin(x+ y);

в) f(x, y) = cosx2

y;

г) f(x, y) = ln(x+ y2).

1.13. Найти частные производные первого и второго порядка

функции

а) f(x, y) = xy − x2 − 2y2 + x+ 10y − 8 в точке (2; 0);

б) f(x, y) = x3y2 + x sin y в точке (1; π).

1.14. Найти частные производные второго порядка функций из

задачи 1.6.

1.15. Найти частные производные первого и второго порядка

функции

а) f(x, y) = 4x2(x−y+5y2);

б) f(x, y) = y sin(xy);

в) f(x, y) = ln(xy)y

;

г) f(x, y) =√

x2 + y3.

1.16. Найти частные производные первого и второго порядка

функции

а) f(x, y) = 3 + 10x− xy − 5x2 + yx3 + y3 в точке (1; 0);

б) f(x, y) = 4y cos 2x− x− y2 + y sinx в точке (π; 2).

1.17. Вычислить частные производные первого порядка по x и

по y функций

f(x, σ) =1√2πσ

e−x2

2σ2

и

f(x, y, ρ) =1

2π√

1− ρ2exp

(

−x2 − 2ρxy + y2

2(1− ρ2)

)

.

11

1.4 Производная сложной функции, производ-ная по направлению, производная неявнойфункции

В случае функций двух переменных можно определить производ-

ную не только по x и y, но и по любому направлению. Производная

функции f(x, y) по направлению ~v = (v1, v2) определяется следую-

щим образом:

L~vf =

⟨−−→gradf,

~v

|~v|

⟩

.

Здесь−−→gradf = (f ′

x, f′y), |~v| =

√

v21 + v22 , а угловыми скобками обозна-

чено скалярное произведение.

Задача. Найти производную функции f(x, y) = x3 +2xy2 − 3xy+10

по направлению ~v = (3, 4) в точке (−1, 1).

Решение. Сначала вычислим частные производные f ′x = 3x2+2y2−

3y, f ′y = 4xy − 3x и подставим точку, получим f ′

x = 2, f ′y = −1.

Поэтому−−→gradf = (2,−1).

Найдем длину вектора ~v: |~v| =√32 + 42 = 5. Отсюда ~v

|~v| =

( 25, −1

5). Чтобы найти производную по направлению, остается посчи-

тать скалярное произведение:

L~vf =

⟨−−→gradf,

~v

|~v|

⟩

= 2 · 25+ (−1) · −1

5= 1.

1.18. Найти производную функции f по направлению ~v:

а) f(x, y) = x2 + xy3, ~v = (−1; 3);

б) f(x, y) = cosx2

y, ~v = (0; 5);

в) f(x, y) = ex ln y + cos y + 1, ~v = (−6; 8);

г) f(x, y) = 1−cosx1−cos y , ~v = (3; 4).

Пусть имеется функция z(u, v), в которой u и v сами являются

функциями от x и y. Тогда зависимость

z(u(x, y), v(x, y))

12

называется сложной функцией. Следующие формулы позволяют на-

ходить частные производные ∂z∂x

и ∂z∂y

:

∂z

∂x=∂z

∂u· ∂u∂x

+∂z

∂v· ∂v∂x

;

∂z

∂y=∂z

∂u· ∂u∂y

+∂z

∂v· ∂v∂y.

1.19. Найти ∂z∂x

и ∂z∂y

, если

а) z(u, v) — произвольная, u(x, y) = x+ y, v(x, y) = x− y;

б) z(u, v) — произвольная, u(x, y) = x+ y, v(x, y) = xy;

в) z(u, v) — произвольная, u(x, y) = xy, v(x, y) = x/y;

г) z(u, v) = u ln v, u(x, y) = 5x− y, v = x2 + y2.

1.20. Дана сложная функция z(u, v). Найти z′x и z′y в точке

x0 = 0, y0 = 1, если u = x2 + y3 и v = x ln y.

1.21. Пусть z(x, y) = f(x2 + y2), где f — произвольная. Пока-

зать, что выполнено соотношение x∂z

∂y− y

∂z

∂x= 0.

1.22. Пусть z(x, y) =y2

3x+ f(xy), где f — произвольная. Пока-

зать, что выполнено соотношение x2 ∂z

∂x− xy

∂z

∂y+ y2 = 0.

До сих пор мы имели дело с функциями вида z = f(x, y). Но

часто бывает, что зависимость z от x и y неявная: F (x, y, z) = 0. Не

имея возможности выразить z через x и y, мы тем не менее можем

найти частные производные z′x и z′y:

z′x = −F′x

Fzи z′y = −F

′y

Fz.

13

Задача. Функция z(x, y) задана неявно F = zx−2x2y+z3+4 = 0.

Найти z′x и z′y.

Решение. Сначала найдем частные производные от функции F :

F ′x = (zx− 2x2y + z3 + 4)′x = z − 4xy,

F ′y = (zx− 2x2y + z3 + 4)′y = −2x2,

F ′z = (zx− 2x2y + z3 + 4)′z = x+ 3z2.

Теперь найдем нужные производные

z′x = −z − 4xy

x+ 3z2и z′y =

2x2

x+ 3z2.

1.23. Найти z′x и z′y, если функция z(u, v) задана неявно урав-

нением 2yx3 + yz + z2 = 0.

1.24. Найти z′x и z′y, если функция z(u, v) задана неявно урав-

нением x2 + yz − sin(xy) + z3x = 0.

1.25. Найти ∂2z∂x∂y

, где функция z = z(x, y) задана неявно урав-

нением F (sin(x+ y+ z), ex−y+z) = 0, где F (u, v) – дифференци-

руемая функция.

1.5 Аппроксимации первого и второго поряд-ков

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной в виде

графика функции f(x, y) в точке (x0, y0) имеет вид

z = f(x0, y0) + f ′x · (x− x0) + f ′

y · (y − y0).

Выражение в правой части этого уравнения является приближением

первого порядка нашей функции f(x, y) около точки (x0, y0) (аппрок-

симация первого порядка).

14

Задача. Написать уравнение касательной плоскости функции f(x, y) =

x3 − y3 − xy + 10 в точке (1, 2).

Решение. Вычисляем частные производные:

f ′x = 3x2 − y, f ′

y = −3y2 − x.

Вычисляем значения функции и ее частных производных в точке

(1, 2):

f(1, 2) = 1− 8− 2 + 10 = 1,

f ′x(1, 2) = 3− 2 = 1,

f ′y(1, 2) = −12− 1 = −13.

Теперь записываем уравнение касательной плоскости:

z = 1 + 1 · (x− 1)− 13 · (y − 2) = x− 13y + 26.

Как вы помните, формула Тейлора позволяет с некоторой по-

грешностью заменять функцию многочленом, поэтому мы называем

ее приближением или аппроксимацией для нашей функции. В общем

виде формула Тейлора выглядит несколько громоздко, поэтому мы

ограничимся разложениями до первого и до второго порядков.

Формула разложения f(x, y) в точке (x0, y0) в ряд Тейлора до

первого порядка:

f(x, y) = f(x0, y0) + f ′x(x0, y0) · (x− x0)+

+ f ′y(x0, y0) · (y − y0) + o(

√

(x− x0)2 + (y − y0)2).

Формула разложения f(x, y) в точке (x0, y0) в ряд Тейлора до

15

второго порядка:

f(x, y) = f(x0, y0) + f ′x(x0, y0) · (x− x0) + f ′

y(x0, y0) · (y − y0)+

+1

2(f ′′

xx(x0, y0) · (x− x0)2 + 2f ′′

xy(x0, y0) · (x− x0)(y − y0)+

+ f ′′yy(x0, y0) · (y − y0)

2) + o((x− x0)2 + (y − y0)

2).

Запись o((x−x0)2+(y−y0)2) читается как «о-малое» и, как прежде,

отвечает за погрешность (за разницу между исходной функцией и ее

рядом Тейлора).

Задача. Разложить функцию из предыдущего примера в ряд Тей-

лора до второго порядка в указанной там же точке.

Решение. До первого порядка мы уже разложили – это касательная

плоскость. Вычислим частные производные второго порядка:

f ′′xx = (3x2 − y)′x = 6x,

f ′′yy = (−3y2 − x)′y = −6y,

f ′′xy = (3x2 − y)′y = −1.

Их значения в точке (1, 2):

f ′′xx(1, 2) = 6, f ′′

yy(1, 2) = −12, f ′′xy(1, 2) = −1.

Ряд Тейлора второго порядка для нашей функции имеет следующий

вид:

f(x, y) = 1 + 1 · (x− 1)− 13 · (y − 2)+

+1

2(6 ·(x−1)2−2 ·(x−1)(y−2)−12 ·(y−2)2)+ o((x−1)2+(y−2)2).

Это выражение можно оставить в полученном виде, а можно рас-

крыть скобки и немного упростить:

f(x, y) = 26 + x− 13y + 3(x− 1)2 − (x− 1)(y − 2)−− 6(y − 2)2 + o((x− 1)2 + (y − 2)2).

16

А если не поленимся и раскоем все скобки, то получим

f(x, y) = 3− 4x+ 12y + 3x2 − xy − 6y2 + o((x− 1)2 + (y − 2)2).

Многочлен 3 − 4x + 12y + 3x2 − xy − 6y2 является аппроксимацией

второго порядка нашей функции.

1.26. Написать уравнение касательной плоскости

а) f(x, y) = 3xy3 − x3 − 2x2y + y2 в точке (−2; 1);

б) f(x, y) = y2 sinx+ y в точке (0; 3).

1.27. Разложить функции из предыдущего номера в ряд Тей-

лора до второго порядка в указанных точках.

1.28. Разложить функцию f(x, y) = 5y2+25xy+4x2−16x+y+11

в ряд Тейлора до второго порядка в точке (0; 0).

1.29. Разложить функции в ряд Тейлора до второго порядка в

точке (0; 0):

а) f(x, y) = ex − sin 2y; б) f(x, y) =√

1 + x2 + y2.

1.30. Написать уравнение касательной плоскости и найти век-

тор нормали

а) f(x, y) = 3x+ 6y − x2 − xy + y2 в точке (−3; 5);

б) f(x, y) = (2x2 + y2)e−(x2+y2) в точке (1; 0).

1.31. Написать уравнения касательной плоскости и нормали

f = x2

2 − y2 в точке (2;−1).

17

1.32. Разложить функцию f(x, y) = 2x2 − xy − y2 − 6x− 3y + 5

в ряд Тейлора до второго порядка в точке (1;−2).

1.33. Разложить функцию f(x, y) = x2 − 2xy + y2 − 6x+ 6y − 7

в ряд Тейлора до второго порядка в точке (1; 1).

1.34. Разложить функции в ряд Тейлора до второго порядка в

точке (0; 0):

а) f(x, y) = x2 + y2 − 1;

б) f(x, y) =√

1− x2 − y2;

в) f(x, y) = ln(1 + x2 + y2);

г) f(x, y) = ln(1 + x+ y);

д) f(x, y) = e−x · sin y;е) f(x, y) = e−2x · cos 3y.

1.6 Экстремум функции двух переменных

Когда мы имели дело с функцией, зависящей от одной перемен-

ной y = f(x), то в точке экстремума выполнялось равенство f ′x = 0.

Аналогично образом обстоит дело и для функций двух переменных.

Необходимым условием экстремума является равенство нулю част-

ных производных первого порядка. Иными словами, если точка (x0, y0)

является точкой экстремума, то в этой точке f ′x = 0 и f ′

y = 0. Обрат-

ное, вообще говоря, неверно. Точки, в которых выполняются равен-

ства f ′x = 0 и f ′

y = 0, называются критическими точками.

Достаточное условие экстремума можно сформулировать с по-

мощью производных второго порядка следующим образом. Если в

критической точке (x0, y0) выполняется система,{

f ′′xx < 0

f ′′xx · f ′′

yy − (f ′′xy)

2 > 0,

18

то (x0, y0) — точка максимума.

Если же выполняется система,

{

f ′′xx > 0

f ′′xx · f ′′

yy − (f ′′xy)

2 > 0,

то (x0, y0) — точка минимума.

Если f ′′xx · f ′′

yy − (f ′′xy)

2 < 0, то экстремума нет (седловая точка).

В случае, когда f ′′xx · f ′′

yy − (f ′′xy)

2 = 0, сразу утверждать ничего

конкретного нельзя. Требуется дополнительное исследование.

Обратите внимание, что производные второго порядка вычисля-

ются именно в этой точке (x0, y0).

Задача. Исследовать на экстремум функцию

f(x, y) = 9x+ 6y − 9x2 − 3xy − y2 + 1.

Решение. Находим частные производные порядка и приравни-

ваем их к нулю:

{

f ′x = 9− 18x− 3y = 0

f ′y = 6− 3x− 2y = 0

⇔{

y = 3− 6x

6− 3x− 2y = 0⇔

⇔{

y = 3− 6x

6− 3x− 2(3− 6x) = 0⇔{

y = 3− 6x

9x = 0⇔{

y = 3

x = 0

Итак, имеем одну критическую точку (0, 3). Определим ее тип, то

есть выясним, является ли она максимумом, минимумом или седлом.

Для этого посчитаем вторые частные производные:

f ′′xx = −18, f ′′

yy = −2, f ′′xy = −3. Тогда имеем следующую систему:

{

f ′′xx = −18 < 0

f ′′xx · f ′′

yy − (f ′′xy)

2 = (−18) · (−2)− (−3)2 = 36− 9 > 0

Значит, (0, 3) – точка максимума. Чтобы найти максимальное значе-

ние функции, надо подставить эту точку в функцию, откуда полу-

чаем максимальное значение fmax = f(0, 3) = 18− 9 + 1 = 10.

19

1.35. Исследовать на экстремум функцию двух переменных:

а) f(x, y) = x2 − xy + y2 − 2x+ y;

б) f(x, y) = x3 − 3xy − 3y;

в) f(x, y) = 8x3 − 2xy − y;

г) f(x, y) = 2x3 + xy2 + 5x2 + y2 + 1;

д) f(x, y) = ex2−y(5− 2x+ y);

е) f(x, y) = x3 + y3 − 3xy;

ж) f(x, y) = −x3 + 8y3 + 6xy;

з) f(x, y) = xy − xy.

1.36. Исследовать на экстремум функцию двух переменных:

а) f(x, y) = 1 + 2y + 4xy − 8x3;

б) f(x, y) = 4x+ 2y − 4x2 − y2 + 4;

в) f(x, y) = 3x+ 12y − x2 − 2xy − 4y2 + 5;

г) f(x, y) = 54x3 + 3xy2 + 45x2 + y2 + 2.

1.7 Условный экстремум функции двух пере-менных

Часто возникает задача поиска экстремума функции f(x, y) при

дополнительном условии g(x, y) = 0. То есть функция f(x, y) рас-

сматривается только в точках, удовлетворяющих уравнению g(x, y) =

0, и среди них ищутся экстремальные.

В простейшем случае из уравнения g(x, y) = 0 удается выразить

одну из переменных через другую. Тогда задача сведется к исследо-

ванию на экстремум функции одной переменной.

20

Также можно это сделать, если зависимость g(x, y) = 0 между x

и y может быть задана параметрически

{

x = ϕ(t)

y = ψ(t)

Заменив в f(x, y) переменные x и y их выражениями через t, полу-

чим функцию от одной переменной f(t).

Если этого сделать не удается, то придется пользоваться ме-

тодом Лагранжа. Сначала составляется вспомогательная функция

Лагранжа

F (x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y),

вычисляются частные производные F ′x, F ′

y , F ′λ и ищутся критические

точки, то есть решается система:

F ′x = 0

F ′y = 0

F ′λ = 0

Если у функции f(x, y) есть точки условного экстремума, то они на-

ходятся среди критических точек функции Лагранжа. Но для того,

чтобы определить, какие из критических точек являются экстрему-

мами и какие из них максимум, а какие минимум, приходится про-

водить некоторые дополнительные исследования. Например, можно

попытаться сделать это графически.

Если условие задано неравенством, например, g(x, y) > 0, то за-

дача решается в два шага. Сначала ищем безусловный экстремум

в области g(x, y) > 0, затем находим условный экстремум функции

f(x, y) при ограничении g(x, y) = 0. Найденные значения сравнива-

ются.

21

Задача. Определить условные экстремумы функции f(x, y) =

3x2 − xy + 1 при ограничении y − 2x = 2.

Решение. Первый способ. Выразим из условия y и подставим в

функцию f :

y = 2x+ 2 ⇒ f(x) = 3x2 − x(2x+ 2) + 1 = x2 − 2x+ 1.

Функция f(x) имеет минимум в точке x = 1. Значит, функция f(x, y) =

3x2 −xy+1 имеет условный минимум в точке x = 1, y = 2 · 1+2 = 4,

минимальное значение равно

f(1, 4) = 3 · 12 − 1 · 4 + 1 = 0.

Второй способ. Составим функцию Лагранжа

F (x, y, λ) = 3x2 − xy + 1 + λ(y − 2x− 2)

и посчитаем частные производные F ′x, F ′

y, F′λ:

F ′x = 6x− y − 2λ = 0

F ′y = −x+ λ = 0

F ′λ = y − 2x− 2 = 0

⇔

6x− y − 2x = 0

x = λ

y − 2x− 2 = 0

⇔

⇔

y = 4x

x = λ

4x− 2x− 2 = 0

⇔

x = 1

y = 4

λ = 1

Итак, точка (1, 4, 1) – это критическая точка функции Лагранжа.

Но метод Лагранжа не говорит нам, какая именно это точка (точка

максимума, минимума, или она вообще не является экстремальной).

Поэтому, в данном случае, лучше пользоваться первым способом.

1.37. Определить условные экстремумы функции f(x, y):

а) f(x, y) = x+ 2y при ограничении x+ y = 2;

б) f(x, y) = xy2 при ограничении x+ 2y = 4;

22

в) f(x, y) = 2x2 + y2 при ограничении x+ y − 2 = 0;

г) f(x, y) = x2 + 2y2 при ограничении x2 + y2 = 1;

д) f(x, y) = x2 + 6x− 2y + 1 при ограничении x2 + y − 4 = 0;

е) f(x, y) = 10x+ y при ограничении x2 + y2 = 1;

ж) f(x, y) = 6− 4x− 3y при ограничении x2 + y2 = 1;

з) f(x, y) = x2 − 4xy + 4y2 при ограничении x2 + 4y2 = 16;

и) f(x, y) = −−y+x−4√2

при ограничении x2 + y2 = 1;

к) f(x, y) = x2 + y2 − 12x+ 16y при ограничении x2 + y2 = 25;

л) f(x, y, z) = xy + yz при ограничениях x2 + y2 = 2 и yz = 2;

м) f(x, y) = x+ y при ограничении x+ y = 2;

н) f(x, y) = x2 + 2y2 при ограничении x2 + y2 = 1.

1.38. Определить условные экстремумы функции f(x, y) в об-

ласти:

а) f(x, y) = x− 2y − 3 в треугольнике x ≥ 0, y ≥ 0, x+ y ≤ 1;

б) f(x, y) = x2 + 2y2 − 2x− 8y + 5 в треугольнике x ≥ 0, y ≥ 0,

x+ y ≤ 4;

в) f(x, y) = x2 + y2 − xy + x+ y в треугольнике x ≤ 0, y ≤ 0,

x+ y ≥ −3;

г) f(x, y) = x2 + y2 − 12x+ 16y в круге x2 + y2 ≤ 25;

д) f(x, y) = x3 + y2 в круге x2 + y2 6 1;

е) f(x, y) = ln(x+ y) в круге (x− 2)2 + (y − 2)2 6 1.

1.8 Метод наименьших квадратов

Пусть функция y(x) задана только в нескольких точках x:

x1 x2 x3 . . . xn

y1 y2 y3 . . . yn

23

Метод наименьших квадратов позволяет построить функцию f(x)

некоторого заранее установленного типа, которая наилучшим обра-

зом аппроксимирует2 исходную зависимость y(x). В данном разделе

рассматриваются линейные аппроксимации. Если тип зависимости

неизвестен, то ее подбор — это отдельная задача, которую мы здесь

не рассматриваем. Определенное представление о характере зависи-

мости можно сделать по виду расположения точек (xi, yi) на коор-

динатной плоскости.

«Наилучшим образом» означает, что сумма S =n∑

i=1

(yi − f(xi))2

минимальна. Из этого условия и ищется функция f(x). Отметим, что

S – это сумма квадратов3 погрешностей, так как разность yi − f(xi)

показывает, на какую величину отличается значение нашей функции

f(x) от исходной y(x) в точке xi.

Пусть, к примеру, нам требуется построить линейную аппрокси-

мацию, то есть найти функцию f(x) = kx + b. Чтобы минимизи-

ровать S нужно воспользоваться нашими знаниями по нахождению

экстремума функции двух переменных, откуда определяются коэф-

фициенты k и b. При решении задач не требуется каждый раз это

проделывать: для нахождения коэффициентов k и b будем пользо-

ваться следующей системой

(

n∑

i=1

x2i

)

k +

(

n∑

i=1

xi

)

b =

(

n∑

i=1

xiyi

)

(

n∑

i=1

xi

)

k + nb =

(

n∑

i=1

yi

)

Достаточно посчитать суммы

n∑

i=1

xi = x1 + x2 + . . .+ xn,n∑

i=1

x2i = x2

1 + x22 + . . .+ x2

n,

n∑

i=1

yi = y1 + y2 + . . .+ yn,n∑

i=1

xiyi = x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn.

2То есть f(x) является приближением функции y(x).3Отсюда и название.

24

и решить линейную систему уравнений на параметры k и b.

Задача. Методом наименьших квадратов построить линейную

аппроксимацию функции y(x):

x −1 1 3 5

y 0 3 2 3

Решение. Вычисляем суммы

n∑

i=1

xi = −1 + 1 + 3 + 5 = 8,n∑

i=1

x2i = (−1)2 + 12 + 32 + 52 = 36,

n∑

i=1

yi = 0+ 3+ 2+ 3 = 8,n∑

i=1

xiyi = (−1) · 0 + 1 · 3+ 3 · 2 + 5 · 3 = 24.

Составляем и решаем систему на k и b{

36k + 8b = 24

8k + 4b = 8⇔

{

9k + 2b = 3

b = 2− 2k⇔

{

k = 25

b = 65

Искомая аппроксимация: f(x) = 25x+ 6

5.

1.39. Методом наименьших квадратов построить линейную ап-

проксимацию следующих функций, заданных таблично:

а)x 1 2 3 4

y 1 3 2 4б)

x −3 −1 0 2 3

y 0 2 4 1 5

Дать оценку y для x = 3/2.

1.40. Построить аппроксимацию следующих функций, задан-

ных таблично:

а)x −1 0 1 2

y −1 0 1 8б)

x −3 −1 0 2

y 10 2 1 5

Дать оценку y для x = −1/2.

25

2 Неопределенный интеграл

2.1 Табличные интегралы

Определение. Функция F (x) называется первообразной для функ-

ции f(x), если

F ′(x) = f(x).

Пример. Для функции f(x) = 3x2 первообразной будет функция

F (x) = x3, так как

F ′(x) = (x3)′ = 3x2 = f(x).

Ясно, что x3 +5 также является первообразной для 3x2, потому что

(x3 +5)′ = 3x2. Производная от числа равна нулю, поэтому первооб-

разной будет являться любая функция вида x3 + C, где C – произ-

вольное число.

Определение. Неопределенным интегралом функции f(x) на-

зывается множество всех ее первообразных, оно обозначается как∫

f(x)dx.

Если функция f(x) на некотором интервале имеет первообразную

F (x), то∫

f(x)dx = F (x) + C,

где C – произвольное число.

В записи∫

f(x)dx дифференциал dx означает, что интегрирование

ведется по переменной x.

Приведем список неопределенных интегралов основных элемен-

тарных функций:

26

1.∫

1 dx = x+ C

2.∫

xn dx =xn+1

n+ 1+ C, n 6= −1

3.∫ 1

xdx = ln |x|+ C

4.∫

ex dx = ex + C

5.∫

sinx dx = − cosx+ C

6.∫

cosx dx = sinx+ C

7.∫ 1

cos2 xdx = tg x+ C

8.∫ 1

sin2 xdx = − ctg x+ C

9.∫ 1√

1− x2dx = arcsin x+ C

10.∫ 1

1 + x2dx = arctg x+ C

Вопрос. Почему∫

1√1−x2

dx = − arccos x + C, хотя arcsin x 6=− arccos x?

Далее константу C для сокращения записи писать не бу-дем не всегда.

Операция интегрирования обладает свойством линейности, то есть

1)

∫

(f(x) + g(x))dx =

∫

f(x)dx+

∫

g(x)dx;

27

2)

∫

k · f(x)dx = k ·∫

f(x)dx.

Задача. Найти интеграл

∫ (

2x+√x− 5

x+ 3ex

)

dx.

Решение. Используя свойство линейности интеграла, достаточ-

но найти интеграл от каждого слагаемого. Для первых двух слагае-

мых пользуемся формулой 2 из таблицы:

∫

2xdx = 2

∫

xdx = 2 · x2

2= x2,

∫ √xdx =

∫

x12 dx =

x32

32

=2

3x

32 .

Для оставшихся слагаемых применяем формулы 3 и 4:∫

5

xdx = 5

∫

1

xdx = 5 ln x,

∫

3exdx = 3

∫

exdx = 3ex.

Окончательно имеем∫ (

2x+√x− 5

x+ 3ex

)

dx = x2 +2

3x

32 − 5 lnx+ 3ex + C.

Задача. Найти интеграл

∫ (

3 sinx+7

sin2 x− 2

x3

)

dx.

Решение. Аналогично предыдущему пользуемся линейностью

интеграла и таблицей:∫

3 sinxdx = 3

∫

sinxdx = −3 cos x,

∫

7

sin2 xdx = 7

∫

1

sin2 xdx = −7 ctg x,

28

∫

2

x3dx = 2

∫

x−3dx = 2 · x−3+1

−3 + 1= 2 · x

−2

−2= −x−2 = − 1

x2.

Поэтому

∫ (

3 sin x+7

sin2 x− 2

x3

)

dx = −3 cosx− 7 ctg x+1

x2+ C.

В следующих задачах требуется найти интегралы.

2.1.∫

(cosx+ x4 − 71+x2 + e5x) dx.

2.2.∫

(3x+ 5√x− 4 sinx+ 2e2x)dx.

2.3.∫

( 3√1−x2

− 1cos2 x

+ 3x4 )dx.

2.4.∫

1+tg2 xsin2 x

dx.

2.5.∫

(2 + 1x2 )

2dx.

2.6.∫

x−2x2−3x+2dx.

2.7.∫ (

1−xx

)2dx.

2.8.∫

(

ax+ a2

x2 + a3

x3

)

dx.

2.9.∫

1+x√xdx.

2.10.∫

(2x + 3x)2 dx.

2.11.∫

(x+2x

+ 5x) dx.

2.12.∫

3−x+x2

3√x

dx.

2.2 Замена переменных

Замена переменных — это один из стандартных приемов, позво-

ляющих свести искомый интеграл к табличному.

Пример. Вычислим интеграл∫

cos 3xdx.

Чтобы свести интеграл к табличному, заменим 3x на t. При замене

29

переменной интегрировать необхоимо по новой переменной t, поэто-

му находим дифференциал: dt = d(3x) = (3x)′dx = 3dx. Здесь мы

воспользовались формулой

df(x) = f ′(x)dx

для дифференциала функции. Итак, вместо 3x подставляем t, а вме-

сто dx — 13dt. Получаем

∫

cos 3xdx =

∫

cos t · 13dt =

1

3·∫

cos tdt = −1

3sin t = −1

3sin 3x.

В последнем переходе мы вернулись к исходной переменной x.

Задача. Вычислить интеграл∫

32x−5dx.

Решение. Делаем замену t = 2x − 5. Тогда dt = d(2x − 5) = (2x −5)′dx = 2dx, а, значит, dx = 1

2dt. Получаем табличный интеграл.

∫

3

2x− 5dx =

∫

3

t· 12dt =

3

2·∫

1

tdt =

3

2ln t =

3

2ln(2x − 5).

Вышеприведенные интегралы можно было посчитать и без замены.

Достаточно просто догадаться, какая будет первообразная, то есть

как-то подобрать функцию, производная которой будет равна подын-

тегральной функции. Например, догадаться, что∫

e5xdx = 15e5x.

Задача. Вычислить интеграл∫

x2√x3 − 8 dx.

Решение. Сделаем замену t = x3−8. Выражаем дифференциал dt =

d(x3 − 8) = (x3 − 8)′dx = 3x2dx, а, значит, x2dx = 13dt. Переписываем

наш интеграл через новую переменную:

∫

x2√

x3 − 8 dx =

∫

√

x3 − 8 · x2dx =

∫ √t · 1

3dt =

1

3·∫ √

t dt.

30

Вычислим полученный интеграл:

1

3·∫ √

t dt =1

3·∫

t12 dt =

1

3· t

32

32

=2

9· t 32 =

=2

9(x3 − 8)

32 =

2

9

√

(x3 − 8)2.

Догадаться до нужной замены не всегда бывает просто. Поэтому не

отчаивайтесь, если следующие задачи будут получаться не сразу.

В следующих задачах нужно взять интегралы с помощью замены

переменной.

2.13.∫

dx3x−5

.

2.14.∫

sin 2x dx.

2.15.∫ √

1− x dx.

2.16.∫

2 cos 4x dx.

2.17.∫

3x2

x3−7dx.

2.18.∫

(2x+ 5)4 dx.

2.19.∫

1−ex

e2xdx.

2.20.∫

dxx lnx

.

2.21.∫

sin2 x cos x dx.

2.22.∫

x−1x2+5x−6

dx.

2.23.∫ sin(

√x)√

xdx.

2.24.∫

exdx1−ex .

2.25.∫

cos x esin x dx.

2.26.∫ sin(ln x)

xdx.

2.27.∫

dx2x+1

.

2.28.∫

dx4x2+1

.

2.29.∫

xex2

dx.

2.30.∫

dxsin2(2x+π/4)

.

2.31.∫

x2−2x+1

dx.

2.32.∫

x dx√1−x2

.

2.33.∫

arcsin3 x dx√1−x2

.

2.34.∫

x dx3−2x2 .

2.35.∫

x dx(1+x2)2

.

2.36.∫

x dx4+x4 .

2.37.∫

sin 1x· dxx2 .

2.38.∫

dx√x(1+x)

.

2.39.∫

exdx2+ex

.

2.40.∫

ln2 xx

dx.

2.41.∫

dxx lnx ln lnx

.

2.42.∫

sin3 x cosx dx.

2.43.∫

x cos x2 dx.

2.44.∫

tg xdx.

2.45.∫

ctg 2x dx.

2.46.∫

sin x dx√cos 2x

.

31

2.3 Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям часто позволяет находить ин-

тегралы от произведения функций.

∫

f · g′ dx = f · g −∫

f ′ · g dx

Задача. Найти∫

ln x dx.

Решение. Пусть f = lnx, а g′ = 1. Тогда f ′ = 1x, g = x. Применяем

формулу:

∫

ln x dx = x · ln x−∫

1

x· xdx = x · ln x−

∫

1dx = x ln x− x.

В следующих задачах вычислить интеграл методом интегриро-

вания по частям.

2.47.∫

ex · sin 2xdx.2.48.

∫

ln(7x− 1)dx.

2.49.∫

x · sin 5xdx.2.50.

∫

x · e−x/3dx.

2.51.∫

x cosx dx.

2.52.∫

x sinx dx.

2.53.∫

x2 cosx dx.

2.54.∫

x2 sinx dx.

2.55.∫

xex dx.

2.56.∫

x2e2x dx.

2.57.∫

x ln xdx.

2.58.∫

x2 ln xdx.

2.59.∫

ln(x2 + 1) dx.

2.60.∫

x arcsin x dx.

2.61.∫

xe5xdx.

32

2.4 Интегрирование тригонометрическихфункций

2.62.∫

sin2 xdx,

2.63.∫

cos5 xdx,

2.64.∫

sin3 xcos4 x

dx,

2.65.∫

tg5 x dx,

2.66.∫

sin6 x dx

2.67.∫

cos4 x dx,

2.68.∫

sin2 x cos4 x dx.

2.5 Интегрирование рациональных функций

Рациональными функциями называются дробиP (x)

Q(x), где P, Q

– это многочлены. Чтобы найти интеграл от такой функции надо

представить ее в виде суммы простейших дробей вида

1

(x− a)kи

bx− c

(x2 + px+ q)k.

Делается это с помощью метода неопределенных коэффициен-

тов, который мы разберем на примере.

Интеграл от простейшей дроби несложной заменой сводится к

табличному.

Если степень многочлена P не меньше степени Q, то сначала сле-

дует поделить P на Q «уголком» с остатком R, а уже потом дробьRQ

разложить в сумму простейших.

Пример. Вычислить∫ 4x− 5

x2 − x− 2dx.

Решение. Покажем, как разложить подинтегральную дробь в сум-

му простейших

4x− 5

x2 − x− 2=

4x− 5

(x+ 1)(x − 2)=

a

x+ 1+

b

x− 2.

Коэффициенты a и b найдем, приведя правую часть к общему зна-

менателю и приравняв числители обеих частей.

a

x+ 1+

b

x− 2=a(x− 2) + b(x+ 1)

(x+ 1)(x− 2)=

(a+ b)x− 2a+ b

(x+ 1)(x− 2).

33

Числитель должен совпадать с числителем исходной дроби 4x − 5,

поэтому получаем систему на коэффициенты:{

a+ b = 4

−2a+ b = −5⇔{

a = 3

b = 1

Поэтому 4x−5x2−x−2

= 3x+1

+ 1x−2

и остается проинтегрировать две полу-

ченные простейшие дроби∫ (

3

x+ 1+

1

x− 2

)

dx = 3 ln |x+ 1|+ ln |x− 2|+ C.

Задача. Вычислить∫ x2 − x+ 5

x2 − 2x+ 2dx.

Решение. Степень числителя такая же, как у знаменателя, поэтому

сначала поделим x2 − x+ 5 на x2 − 2x+ 2:

x2 − x+ 5

x2 − 2x+ 2=x2 − 2x+ 2 + x+ 3

x2 − 2x+ 2= 1 +

x+ 3

x2 − 2x+ 2.

В знаменателе выделим полный квадрат, так как корней у него нет:∫

1 +x+ 3

x2 − 2x+ 2dx = x+

∫

x+ 3

(x− 1)2 + 1dx.

Просматривается замена t = (x − 1)2, поэтому x + 3 представим в

виде x− 1 + 4:∫

x+ 3

(x− 1)2 + 1dx =

∫

x− 1

(x− 1)2 + 1dx+

∫

4

(x− 1)2 + 1dx.

В первом интеграле делаем замену, а второй интеграл – табличный:

∫

x− 1

(x− 1)2 + 1dx+

∫

4

(x− 1)2 + 1dx =

=1

2

∫

dt

t+ 1+ 4arctg(x− 1) =

1

2ln |t+ 1|+ 4 arctg(x− 1) =

=1

2ln((x− 1)2 + 1) + 4 arctg(x− 1).

Получаем окончательный ответ:∫

x2 − x+ 5

x2 − 2x+ 2dx = x+

1

2ln(x2 − 2x+ 2) + 4 arctg(x− 1).

34

В следующих задачах найти интегралы от рациональных функ-

ций

2.69.∫

x2

x+1dx.

2.70.∫

dxx2+4x+5

.

2.71.∫

dxx2−4x+3

.

2.72.∫

2x+3(x−2)(x+5)

dx.

2.73.∫

x(x+1)(x+2)(x+3)

dx.

2.74.∫

x−1x2+3x+2

dx.

2.75.∫

x2+6x+6x2+4x+5

dx.

2.76.∫

xx3−3x+2

dx.

2.77.∫

x3+1x3−5x2+6x

dx.

35

3 Определенный интеграл

Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [a; b] обознача-

етсяb∫

a

f(x) dx и формально его можно определить через предел:

b∫

a

f(x) dx = limn→∞

(

n∑

k=1

f(ck) ·b− a

n

)

Отрезок разбивается на n одинаковых отрезков длины b−an

. При этом

ck – это некоторая точка из k-того отрезка. Символn∑

k=1

означает

суммирование от 1 до n, то есть в нашем случае

n∑

k=1

f(ck) = f(c1) + f(c2) + f(c3) + . . .+ f(cn).

Если вышеуказанный предел существует, то он и называется опреде-

ленным интегралом.

Но работать с таким определением интеграла в дальнейшем мы

не будем. От определенного интеграла нам нужен только его геомет-

рический и экономический смысл.

Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [a, b] – это

площадь криволинейной трапеции под кривой y = f(x).

Отметим, что если криволинейная трапеция лежит ниже оси Ox, то

ее площадь берется со знаком минус (см. рисунок).

x

y

f(x)

a b

S1

S2

S3

S4

S5

∫ b

af(x)dx = S1 − S2 + S3 − S4 + S5

Из определения сразу вытекает такой факт:

36

Если функция f(x) нечетная, тоa∫

−a

f(x) dx = 0. Действительно, гра-

фик нечетный функции симметричен относительно нуля, поэтому

площадь под графиком справа от начала координат равна площади

под графиком слева, взятой со знаком минус, поэтому в сумме полу-

чается ноль (см. рисунок). Например,10∫

−10

sinx dx = 0.

x

y

f(x)

a

b

∫ b

af(x)dx = 0

Для четной функции тоже можно сформулировать полезный факт.

Ее график симметричен относительно оси Oy, поэтому площадь под

графиком справа равна площади слева. Поэтому для четной функ-

цииa∫

−a

f(x) dx = 2 ·a∫

0

f(x) dx.

Например,5π∫

−5π

cosx dx = 2 ·5π∫

0

cos x dx.

Для определенного интеграла сохраняются свойства линейности, как

и для для неопределенного интеграла. Приведем одно особенное свой-

ство определенного интеграла:

b∫

a

f(x) dx =

c∫

a

f(x) dx+

b∫

c

f(x) dx.

где c – точка из отрезка [a; b].

Например,3∫

−2

ex dx =0∫

−2

ex dx+3∫

0

ex dx.

Задача. Дана четная функция f(x). Пусть10∫

−4

f(x) dx = 12. Найти

37

−4∫

−10

f(x) dx, если4∫

0

f(x) dx = 3.

Решение. В силу четности функции4∫

0

f(x) dx =0∫

−4

f(x) dx. Далее,

10∫

−4

f(x) dx =

0∫

−4

f(x) dx+

4∫

0

f(x) dx+

10∫

4

f(x) dx.

По условию10∫

−4

f(x) dx = 12 и0∫

−4

f(x) dx =4∫

0

f(x) dx = 3, поэтому

12 = 3 + 3 +

10∫

4

f(x) dx ⇒10∫

4

f(x) dx = 12− 3− 3 = 6.

Еще раз воспользуемся четностью и получим ответ:

−4∫

−10

f(x) dx =

10∫

4

f(x) dx = 6.

3.1. Вычислить интегралπ∫

−π

x2 sin xdx.

3.2. Функция f(x) нечетная. Известно, что8∫

−6

f(x) dx = 2.

Найти−6∫

−8

f(x) dx.

3.3. Функция f(x) четная. Пусть+∞∫

−∞f(x) dx = 10. Известно, что

+∞∫

−3

f(x) dx = 7. Найти3∫

0

f(x) dx.

3.4. Функция f(x) четная. Пусть+∞∫

−∞f(x) dx = 8.

Известно, что5∫

−∞f(x) dx = 6. Найти

0∫

−5

f(x) dx.

38

3.5. Пусть в предыдущей задаче еще известно, что2∫

−5

f(x) dx = 1.

Найти0∫

−2

f(x) dx и5∫

2

f(x) dx.

3.1 Формула Ньютона—Лейбница

Основным соотношением между производной и интегралом яв-

ляется формула Ньютона—Лейбница.

Предположим, что на отрезке [a; b] дана функция f(x). Пусть

F (x) — ее первообразная, то есть такая функция, что F ′(x) = f(x)

при x ∈ [a; b]. Тогда справедлива формула Ньютона—Лейбница

b∫

a

f(x) dx = F (b)− F (a).

Таким образом, чтобы найти определенный интегралb∫

a

f(x) dx, надо

вычислить первообразную функции f и вычислить разность ее зна-

чений в точках b и a.

Задача. Найти4∫

1

2x dx.

Решение. Сначала находим неопределенный интеграл∫

2x dx =

x2 = F (x). Затем подставляем концевые точки: F (4) = 42 = 16 и

F (1) = 12 = 1. Получаем ответ

4∫

1

2x dx = F (4)− F (1) = 16− 1 = 15.

Принято следующее обозначение: F (b)− F (a) = F |ba .

Задача. Найти3∫

−2

(3x2 − 4x3 + 3√x) dx.

39

Решение. Ищем первообразную:∫

(x2−x3+3√x) dx = x3−x4+2x

32 .

Вычисляем ответ:

8∫

−1

(x2 − x3 + 3√x) dx = (x2 − x3 + 2x

32 )∣

∣

∣

8

−1=

= (82 − 83 + 2 · 8 32 )− ((−1)2 − (−1)3 + 2 · (−1)

32 ) =

= (64− 512 + 8)− (1 + 1 + 2) = −440− 4 = −444.

Рассмотрим теперь пример с заменой переменных.

Задача. Найти6∫

2

9√3x− 2 dx.

Решение. Чтобы найти неопределенный интеграл∫

9√3x− 2 dx,

нужно сделать замену. Пусть t = 3x − 2, тогда dt = d(3x − 2) = 3dx.

Откуда∫

3√3x− 2 · 3 · dx =

∫

3√t dt = 3

∫ √t dt = 2t

32 = 2(3x − 2)

32 .

Остается подставить точки:

6∫

2

9√3x− 2 dx = 2(3x − 2)

32

∣

∣

∣

6

2= 2(3 · 2− 2)

32 − 2(3 · 6− 2)

32 =

= 2 · 8− 2 · 64 = 16− 128 = −112.

Задача. Найти1∫

0

2xex2

dx.

Решение. Сделаем замену x2 = t, dt = dx2 = 2xdx. Откуда∫

2xex2

dx =

∫

ex2

2xdx =

∫

et dt = et = ex2

.

Вычисляем определенный интеграл

1∫

0

2xex2

dx = ex2∣

∣

∣

1

0= e1 − e0 = e− 1.

40

В следующих задачах требуется вычислить определенные инте-

гралы.

3.6.2∫

−2

x2 dx.

3.7.1∫

0

(x3 − 3√x)dx.

3.8.1∫

0

x2+1√xdx .

3.9.π∫

0

sin 2x dx.

3.10.3∫

2

ex−2dx.

3.11.1∫

−1

xex2

dx.

3.12.

π2∫

0

cos3 x dx.

3.13.e∫

1

2 lnxxdx .

3.14.4∫

1

dx√5x−4

.

3.15.3∫

2

3x2

x3−7dx.

3.16.12∫

0

x√2x+1

dx .

3.17.

√π∫

0

x cosx2dx.

3.18.2∫

1

2xx2−16

dx.

3.19.π2∫

π2

4

sin√x√

xdx.

3.20.3∫

−1

3√x dx.

3.21.π∫

0

sinx dx.

3.22.

√3∫

1/√3

dx1+x2 .

3.23.1/2∫

−1/2

dx√1−x2

.

3.24.ln 2∫

0

xe−x dx.

3.25.π∫

0

x sin xdx.

3.26.6∫

0

dx√4x+1

.

3.27.

√π∫

−√π

x sinx2dx.

41

3.2 Несобственные интегралы

Несобственными интегралами первого рода называются инте-

гралы, у которых хотя бы один из пределов интегрирования равен

бесконечности.

Это интегралы вида:+∞∫

a

f(x) dx,a∫

−∞f(x) dx,

+∞∫

−∞f(x) dx. Опре-

деляются они следующим образом:

+∞∫

a

f(x) dx = limb→∞

b∫

a

f(x) dx = limb→∞

F (b)− F (a).

Если limb→∞

F (b) = ∞, то интеграл называют расходящимся, в против-

ном случае, сходящимся.

Задача. Найти∞∫

1

1xdx.

Решение. Так как∫

1xdx = ln |x|, то

∞∫

1

1

xdx = ln |x||∞1 = lim

b→∞ln |b| − ln 1 = ∞− 0 = ∞.

Задача. Найти0∫

−∞exdx.

Решение. Первообразная ex есть ex, поэтому

0∫

−∞

exdx = ex|0−∞ = e0 − limb→−∞

eb = 1− 0 = 1.

Как видим, этот несобственный интеграл сходится.

Несобственными интегралами второго рода называются инте-

гралы, в которых подынтегральная функция не определена или име-

ет разрыв в концевой точке промежутка интегрирования. Пусть, на-

пример, f(x) – непрерывная функция на (a; b], а в точке a функция

42

имеет разрыв. Тогда интеграл определяется следующим образом

b∫

a

f(x) dx = limε→0

b∫

a+ε

f(x) dx = F (b)− limε→0

F (a + ε).

Если существует конечный предел, то интеграл называется сходя-

щимся, в противном случае, – расходящимся.

Задача. Найтиe∫

0

1xdx.

Решение. Функция не определена в нуле.

e∫

0

1

xdx = ln |x||e0 = ln e− lim

ε→0ln |ε| = 1 +∞ = ∞.

Интеграл расходится.

Вычислить несобственные интегралы

3.28.+∞∫

0

e−3x dx.

3.29.+∞∫

2

2x3 dx.

3.30.+∞∫

e

dxx ln x

.

3.31.2∫

0

dxx lnx

.

3.32.+∞∫

1

e2xdx.

3.33.+∞∫

0

2−x dx.

3.34.+∞∫

1

dxx2 .

3.35.

12∫

0

dxx2 .

3.36.+∞∫

1

dxx

.

3.37.+∞∫

−∞

dx1+x2 .

3.38.

√3∫

−∞

dx1+x2 .

3.39.+∞∫

2

dxx2+2x−3

.

3.40.1∫

0

dx√x.

3.41.1∫

0

dxx

.

3.42.1∫

0

lnx dx.

3.43.1∫

−1

dx√1−x2

.

43

3.44.+∞∫

0

xe−x dx.

3.45.0∫

−∞xe−x2

dx.

3.46.+∞∫

−∞xe−x2

dx.

3.47.+∞∫

0

xe−ax dx.

3.48.+∞∫

0

x2eax dx.

3.3 Геометрическое, экономическое и механи-ческое приложения интеграла.

Определенный интеграл имеет различные экономические прило-

жения. Например, если производительность4 f(t) является непре-

рывной функцией от времени, то объем V , выработанной продукции

за время T , есть интеграл

V =

T∫

0

f(t)dx.

Задача. Найти объем продукции, выпущенной за 10 часов, если

производительность меняется с течением времени по закону f(t) =

−0, 03t2 + 0, 5t+ 6.

Решение. Вычислим интеграл от производительности по отрезку

[0, 10]:

V =

10∫

0

(−0, 03t2 + 0, 5t+ 6)dx = (−0, 01t3 + 0, 25t2 + 6t)|100 = 75.

Вторая основная задача анализа, по мнению Ньютона состоит в

следующем: «Пусть дана скорость движения; требуется найти длину

4Количество произведенной продукции за единицу времени.

44

пройденного пути5». Пусть, например, f(t) — скорость движения в

данный момент t, требуется найти длину проходимого пути за неко-

торый промежуток времени. Оказывается, чтобы найти пройденный

путь, надо посчитать интеграл от скорости по рассматриваемому от-

резку времени.

Пример. Скорость машины, движущейся по прямой, меняется по

закону f(t) = 3 + 4 3√t, где t — время в секундах. Какой путь будет

пройден за первые восемь секунд, то есть при 0 6 t 6 8?

Решение. Достаточно посчитать интеграл

8∫

0

(3 + 43√t)dt.

Находим первообразную∫

(3 + 4 3√t)dt = 3t+ 3t

43 и подставляем зна-

чения в концах отрезка:

8∫

0

(3 + 43√t)dt = (3t+ 3t

43 )∣

∣

∣

8

0= 3 · 8 + 3 · 8 4

3 = 24 + 16 = 40.

Значит, за первые 8 секунд машина проедет 40 метров.

3.49. Машина едет по прямой и ее скорость в момент времени t за-

дается формулой f(t) = t2 + 2t+ 4, где t — время в секундах. Найти

путь, пройденный за первые 9 секунд.

3.50. Скорость машины, движущейся по прямой, меняется по закону

f(t) = 1+ 1t+ 4

t2, где t — время в секундах. Какой путь будет пройден

при 1 6 t 6 2?

5Первая задача анализа, если вы помните, звучала так: «Пусть дана

длина проходимого пути; требуется найти скорость движения в данное вре-

мя.» Для этого нам требовалось найти производную.

45

С помощью интеграла мы можем вычислять площади6 фигур,

которые ограничены некоторыми функциями. Рассмотрим две функ-

ции f1(x) и f2(x) и пусть f2(x) > f1(x) при x ∈ [a; b]. Тогда площадь

фигуры, ограниченной графиками наших функций при x ∈ [a; b] рав-

на интегралуb∫

a

(f2(x)− f1(x))dx.

Задача. Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми

y = 1− x и y = x2 − 1.

Решение. Сперва сделаем рисунок и разберемся, площадь ка-

кой фигуры нужно найти. Из рисунка видно, что надо вычислить

площадь фигуры, лежащей между прямой y = 1 − x и параболой

y = x2 − 1.

x

y

−2

3

−1

−1

1

1

y=1−

x

y = x2 − 1

Далее надо выяснить, по какому отрезку следует интегрировать.

6А для функций, зависящих от двух переменных, – объемы.

46

Для этого найдем точки пересечения наших графиков. Приравни-

ваем правые части уравнений:

1− x = x2 − 1 ⇒ x2 + x− 2 = 0 ⇒ x1 = −2 и x2 = 1.

Отсюда получаем, что интегрировать надо от −2 до 1. На отрезке

[−2; 1] функция y = 1 − x больше, чем y = x2 − 1 (ее график выше

на этом отрезке). Поэтому, чтобы найти площадь фигуры, остается

посчитать интеграл:

1∫

−2

((1− x)− (x2 − 1))dx =

1∫

−2

(2− x− x2))dx =

=

(

2x− x2

2− x3

3

)∣

∣

∣

∣

1

−2

=

(

2− 1

2− 1

3

)

−(

−4− 4

2+

8

3

)

=

= 2− 1

2− 1

3+ 4 + 2− 8

3=

9

2.

В следующих задачах нужно найти площадь фигуры, ограниченной

указанными линиями.

3.51. y = 3x− x2, y = 0.

3.52. y = x2, y = x.

3.53. y = 4− x2, y = x2 − 2.

3.54. y = x, y = x3.

3.55. y = x4 − 2x2, y = 0.

3.56. f(x) = 1(x+1)(x+2)

, x = 1, x = 2, y = 0.

47

4 Дифференциальные уравнения

4.1 Простейшие дифференциальные уравнения

Уравнения, в которые входят функция и ее производные, называ-

ются дифференциальными. Решениями уравнений, которые мы про-

ходили в школе служили числа или множества чисел. Решением диф-

ференциального уравнения, т. е. соотношения между функцией и ее

производными нескольких порядков, служит не число, а функция.

Приведем примеры дифференциальных уравнений: f ′(t) = f(t),

f ′′(t) = 5f ′(t)+ t+1, f ′′(t)+ t2 ·f ′(t) = sin t. «Законы природы выра-

жаются дифференциальными уравнениями,» — И. Ньютон. Многие

процессы в физике, химии, биологии, экономике и в социологии опи-

сываются ими.

В простейшем случае для решения дифференциального урав-

нения достаточно посчитать соответствующий интеграл. Например,

y′ = 2x ⇔ y = x2+C. Таким образом, решением является семейство

функций y(x) = x2 + C.

Решить следующие простейшие дифференциальные уравнения.

4.1. y′ = 1.

4.2. y′′ = 1− 6x.

4.3. y′′′ = ex + x2.

4.4.

{

y′ = 2xex2

y(0) = 5.

4.5.

{

y′ = tg x

y(0) = 1.

4.2 Уравнения с разделяющимися переменны-ми

Применение метода разделения переменных проиллюстрируем на

примере.

Задача. Решить уравнение xy′ = 1.

48

Решение. Сначала представим y′ в виде dydx . В уравнении x dy

dx =

1 надо «разделить» переменные, то есть y оставить в правой части,

а x перебросить влево.

xdy

dx= 1 ⇔ dy =

1

xdx.

Остается проинтегрировать последнее равенство:

∫

dy =

∫

1

xdx ⇔ y = ln |x|+ C.

Решить уравнения.

4.6. y′ = y.

4.7. xydx+ (x+ 1)dy = 0.

4.8. x2y2y′ + 1 = y.

4.9. xy′ + 2y = xy.

4.10. 3x2ydx = −2√4− x3dy.

4.11. yx2dy − ln xdx = 0.

4.12.

{

(1 + x2)y3dx− (y2 − 1)x3dy = 0

y(1) = −1.

4.13.

{

x2(2yy′ − 1) = 1

y(1) = 0.

4.14. ex+ydx+ ydy = 0.

4.15. y′ = (x+ y)2.

4.16. (2x+ 3y − 1)dx+ (4x+ 6y − 5)dy = 0.

4.17. y′ + 1 =√x+ y + 1.

4.18. y′ =√4x+ 2y − 1.

4.19. xy′ = x+ y.

4.20. (x+ 2y)dx − xdy = 0.

4.21. xy′ = y − xeyx .

4.22. (y +√xy)dx = xdy.

4.23. xy′ − y = x tg yx.

4.24. (y2 − 2xy)dx+ x2dy = 0.

49

4.3 Однородные линейные дифференциальныеуравнения с постоянными коэффициента-ми

Научимся для начала решать такие уравнения второго порядка,

то есть уравнения вида y′′ + py′ + qy = 0, где p и q – это некоторые

числа. Для решения такого уравнения надо решить соответствующее

характеристическое уравнение λ2 + pλ + q = 0 и, в зависимости от

корней, записать ответ. Возможны три варианта:

а) если уравнение имеет два различных вещественных корня λ1 и λ2,

то решением исходного дифференциального уравнения будут функ-

ции вида C1eλ1x + C2e

λ2x;

б) в случае если корни совпали λ1 = λ2 = λ, решение имеет вид

(C1 + C2x)eλx;

в) если же характеристическое уравнение имеет комплексные корни

α±iβ, тогда решением будет следующее семейство функций eαx(C1 sin βx+

C2 cosβx).

Задача. Решить уравнение y′′ + 4y′ + 5y = 0.

Решение. Находим корни характеристического уравнения λ2 +

4λ + 5 = 0 ⇔ λ1,2 = −4±√−4

2 = −2 ± i. В данном случае α = −2,

β = 1. Записываем ответ y = e−2x(C1 sin x+ C2 cosx).

Когда же порядок уравнения выше, то сначала надо разложить

характеристическое уравнение на множители, а потом для каждого

сомножителя записать решение. Сумма всех этих решений и даст

ответ исходного уравнения.

Задача. Решить уравнение y′′′ − 3y′ + 2y = 0.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид λ3−3λ+2 =

0. Разложим его на множители:

(λ3 − λ)− (2λ− 2) = 0 ⇔ λ(λ2 − 1)− 2(λ− 1) = 0 ⇔

⇔ λ(λ− 1)(λ+ 1)− 2(λ− 1) = 0 ⇔ (λ− 1)(λ2 + λ− 2) = 0.

50

Последнее уравнение равносильно (λ− 1)2(λ+ 2) = 0.

Имеем λ1 = −2 и кратный корень λ2 = λ3 = 1. Для λ1 = −2

решением будет C1e−2x, для λ2 = λ3 = 1 — (C2 +C3x)e

x. Складывая

их, получим решение исходного уравнения:

y = C1e−2x + (C2 + C3x)e

x.

Решить уравнения

4.25. y′′ + y′ − 2y = 0.

4.26. y′′ + 4y′ + 3y = 0.

4.27. y′′ − 2y′ = 0.

4.28. y′′ − 4y′ + 5y = 0.

4.29. y′′ + 2y′ + 10y = 0.

4.30. y′′′ − 4y′ = 0.

4.31. y′′′ − 8y = 0.

4.32. y′′ − 2y′ + y = 0.

4.33. 4y′′ + 4y′ + y = 0.

4.34. yV − 6yIV + 9y′′′ = 0.

4.35. y′′ − 7y′ + 12y = 0.

4.36. y′′ + 6y′ + 9y = 0.

4.37. y′′ + 2y′ + 4y = 0.

4.4 Неоднородные линейные дифференциаль-ные уравнения с постоянными коэффици-ентами

Чтобы решить уравнение y′′ + py′ + qy = f(x), сначала следует

найти решение yодн однородного уравнения y′′ + py′ + qy = 0, за-

тем отыскать частное решение yчаст исходного неоднородного урав-

нения (его можно попробовать угадать). Ответом будет функция

y = yодн + yчаст.

Задача. Решить уравнение y′′ − y′ = 2e2x.

Решение. Характеристическое уравнение для однородного урав-

нения y′′ − y′ = 0 имеет вид λ2 − λ = 0 ⇔ λ(λ − 1) = 0. Откуда

51

λ1 = 0 и λ2 = 1. Для λ1 = 0 решением будет C1e0x = C1, для λ2 = 1

— C2ex. Складывая их, получим решение однородного уравнения:

yодн = C1 + C2ex.

Остается найти частное (то есть какое-нибудь) решение неоднородно-

го уравнения. Легко заметить, что yчаст = e2x подходит. Записываем

окончательный ответ

y = yодн + yчаст = C1 + C2ex + e2x.

Когда правая часть линейного дифференциального уравнения

с постоянными коэффициентами является квазимногочленом, т. е.

функцией вида

Pn(x)ekx, Pn(x)e

αx sin βx, Pn(x)eαx cos βx

или их линейной комбинацией, то вид частного решения однозначно

определяется следующим образом:

Прав.я часть Корни хар. ур. Вид частного решения

Pn(x)ekx λ1 = λ2 = k x2Qn(x)e

kx

λ1 = k, λ2 6= k xQn(x)ekx

λ1 6= k, λ2 6= k Qn(x)ekx

Pn(x)eαx sin βx λ1,2 = α± iβ xQn(x)e

αx(a sin βx+ b cos βx)

λ1,2 6= α± iβ Qn(x)eαx(a sin βx+ b cos βx)

Здесь Pn(x) и Qn(x) – многочлены степени n, которые надо найти

подстановкой в исходное уравнение так же, как и коэффициенты a,

b.

Если правая часть состоит из суммы f1 + f2 + . . . + fn функций

приведенного в таблице вида, то сначала ищется частное решение

для каждой fi, а их сумма будет частным решением для уравнения

с исходной правой частью.

Задача. Решить уравнение y′′ + y = 6 cos 2x.

52

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид λ2 + 1 =

0 ⇔ λ1,2 = ±i. Поэтому однородное уравнение имеет решение

yодн = C1 sin x+ C2 cosx.

Остается найти частное решение неоднородного уравнения. Оно ищет-

ся в виде a sin 2x+ b cos 2x. Подставляем его в исходное уравнение:

(a sin 2x+ b cos 2x)′′ + a sin 2x+ b cos 2x = 6 cos 2x ⇔

⇔ (2a cos 2x− 2b sin 2x)′ + a sin 2x+ b cos 2x = 6 cos 2x ⇔

⇔ −3a sin 2x− 3b cos 2x = 6 cos 2x ⇔ −3a = 0, −3b = 6 ⇔

⇔ a = 0, b = −2 ⇒ yчаст = −2 cos 2x.

Получаем ответ:

y = yодн + yчаст = C1 sinx+ C2 cosx− 2 cos 2x.

Задача. Решить уравнение y′′ + 2y′ − 8 = e2x − 8x.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид λ2+2λ−8 =

0 ⇔ λ1 = 2, λ2 = −4. Поэтому однородное уравнение имеет решение

yодн = C1e2x + C2e

−4x.

Ищем частные решения отдельно для правой части e2x и отдельно

для −8x.

Один из корней характеристического уравнения равен 2. Поэто-

му для слагаемого e2x в правой части частное решение имеет вид

yчаст1 = axe2x, Подставляем yчаст1 = axe2x в исходное уравнение:

(axe2x)′′ + 2(axe2x)′ − 8axe2x = e2x ⇔

⇔ (ae2x + 2axe2x)′ + 2(ae2x + 2axe2x)− 8axe2x = e2x ⇔

⇔ (2ae2x + 2ae2x + 4axe2x) + 2ae2x − 4axe2x = e2x ⇔

⇔ 6ae2x = e2x ⇒ a =1

6⇒ yчаст1 =

1

6xe2x.

53

Частное решение с правой частью −8x ищем в виде yчаст2 =

ax+b (общий вид многочлена первой степени). Подставляем yчаст2 =

ax+ b в исходное уравнение:

(ax+ b)′′ + 2(ax+ b)′ − 8(ax+ b) = −8x ⇔

⇔ −8ax+ 2a− 8b = −8x ⇒ −8a = −8, 2a− 8b = 0 ⇒

⇒ a = 1, b =1

4⇒ yчаст2 = x+

1

4.

Сумма общего однородного решения и двух частных дает реше-

ние исходного уравнения:

y = yодн + yчаст1 + yчаст2 = C1e2x + C2e

−4x +1

6xe2x + x+

1

4.

Решить уравнения

4.38. y′′ − 2y′ − 3y = e4x.

4.39. y′′ − 2y′ − 3y = xe−x.

4.40. y′′ + y = 4xex.

4.41. y′′ − y = 2ex − x2.

4.42. y′′ + y′ − 2y = 3xex.

4.43. y′′ + y′ − 2y = ex + e−2x.

4.44. y′′ − 3y′ + 2y = sin x.

4.45. y′′ + y = 4 sinx.

4.46. y′′ − 5y′ + 4y = 4x2e2x.

4.47. y′′ − 3y′ + 2y = x cosx.

4.48. y′′+3y′−4y = e−4x+xe−x.

4.49. y′′ + y = x sinx.

4.50. y′′ − 5y′ = 3x2 + sin 5x.

4.51. y′′ − 7y′ + 12y = 4xe2x.

4.52. y′′ − 7y′ + 12y = e3x.

4.53. y′′ + 6y′ + 9y = 4x e−x.

4.54. y′′ + 6y′ + 9y = 2e−3x.

4.55. y′′+6y′+9y = 2e−2x cosx.

4.56. y′′+2y′+4y = 3(x+1)e−x.

4.57. y′′ − 2y′ + y = ex

x.

4.58. y′′ + 3y′ + 2y = 1ex+1

.

4.59. y′′+2y′+4y = 2e−x sin x.

4.60. y′′ + 4y′ = 2 cosx cos 3x.

4.61. y′′ − 4y′ + 8y = e2x + sin 2x.

4.62. y′′ − 7y′ + 12y = 10e2x cosx.

4.63. y′′ + 2y′ + 4y = 2√3e−x(sin

√3x+ cos

√3x).

54

4.5 Линейные дифференциальные уравненияпервого порядка с переменными коэффи-циентами

Это уравнения вида a(x)y′ + b(x)y = c(x). Основным методом ре-

шения таких уравнений является метод вариации постоянной. Для

этого сначала надо решить однородное уравнение y′ + a(x)y = 0,

например, методом разделяющихся переменных. Затем подставить

его решение yодн = C · f(x) в исходное уравнение, считая константу

функцией от x, то есть C = C(x). Из полученного уравнения найти

C(x) = g(x) +C1. Окончательным ответом будет служить семейство

функций y = (g(x) + C1)f(x).

Задача. Решить уравнение xy′ − y = x2ex.

Решение. Итак, решаем однородное уравнение xy′ − y = 0. Для

этого воспользуемся методом разделяющихся переменных

xy′ − y = 0 ⇔ xy′ = y ⇔ x · dydx

= y ⇔ dy

y=dx

x.

Отметить, что y = 0 является решением. Теперь предположим, что

y не является нулевым решением, и разделим исходное уравнение на

y. Далее,

dy

y=dx

x⇔ ln |y| = ln |x|+ const ⇔ yодн = Cx.

Теперь подставим функцию C(x)x в исходное уравнение:

x(C(x)x)′ − C(x)x = x2ex ⇔ x(C ′(x)x+ C(x))− C(x)x = x2ex,

откуда C ′(x) = ex ⇔ C(x) = ex + C1. Остается записать ответ

y = (ex + C1)x.

55

4.64. y′ − 2y = e2x.

4.65. xy′ − 2y = 2x4.

4.66. y = x(y′ − x cosx).

4.67. y′ + yx= xe

x2 .

4.68. 2x(x2 + y)dx = dy.

4.69. (2x+ 1)y′ = 4x+ 2y.

4.70. (xy + ex) dx− xdy = 0.

4.71. x2y′ + xy + 1 = 0.

4.72. (xy′ − 1) ln x = 2y.

4.73. xy′ + (x+ 1) y = 3x2e−x.

4.74. (x+ y2) y′ = y.

4.75. (2ey − x)y′ = 1.

4.76. xy′ + y = 1√x.

Уравнения Бернулли

Это уравнения вида y′ +a(x)y = b(x)yn. Если поделить обе части

на yn и сделать замену z = 1yn−1 , то исходное уравнение7 станет

линейным относительно новой переменной z, а именно, примет вид

z′

1− n+ a(x)z = b(x).

Решить уравнения

4.77. y′ + yx= −xy2.

4.78. y′ + 2y = y2ex.

4.79. (x+ 1)(y′ + y2) = −y.4.80. xy′ + 2y + x5y3ex = 0.

7Если не забыть при этом, что z′ = (1− n) y′

yn .

56

4.6 Системы линейных дифференциальныхуравнений с постояннымикоэффициентами

Это системы вида

y1 = a11y1 + . . .+ a1nyn,

...................................

yn = an1y1 + . . .+ annyn

в которых требуется найти функции y1, . . . , yn. Более кратко эту

систему можно записать в векторной записи

y = Ay,

где y = (y1, . . . , yn), A =

a11 . . . a1n

................

an1 . . . ann

Мы рассмотрим следующий метод решения таких задач:

1) Находим собственные значения и собственные векторы матри-

цы A;

2) для простого значения λi и соответствующего вектора ~vi ре-

шение имеет вид Cieλix~vi;

3) для корня λ кратности k, у которого имеется k линейно неза-

висимых векторов решение имеет вид C1~v1eλx + . . .+ Ck~vke

λx;

4) для корня λ кратности k, у которого имеется m < k линейно

независимых векторов решения ищутся в виде произведения мно-

гочлена степени k − m на eλx, причем коэффициенты многочлена

определяются подстановкой в систему;

5) общее решение системы есть сумма решений для каждого λi.

Задача. Решить систему

{

y1 = 3y1 − y2

y2 = 4y1 − y2.

57

Решение. Первый способ. Выразим из первого уравнения y2 и

подставим во второе.

{

y2 = 3y1 − y1,

3y1 − y1 = 4y1 − 3y1 + y1⇔

{

y2 = 3y1 − y1,

y1 − 2y1 + y1 = 0

Решим второе уравнение. Корнем его характеристического уравне-

ния является 1 кратности 2, поэтому

y1 = (C1 + C2x)ex.

Подставляем в первое уравнение и находим

y2 = (2C1 − C2 + 2C2x)ex.

Второй способ. Находим собственные значения матрицы

(

3 −1

4 −1

)

.

∣

∣

∣

∣

∣

3− λ −1

4 −1− λ

∣

∣

∣

∣

∣

= (3− λ)(−1 − λ) + 4 = λ2 − 2λ+ 1 = 0 ⇒ λ = 1.

Для λ = 1 кратности 2 будет только один собственный вектор, по-

этому решения надо искать в виде произведения многочлена степени

2 − 1, умноженного на eλx, то есть y1 = (ax + b)ex, y2 = (cx + d)ex.

Подставляем их в систему и находим коэффициенты a, b, c, d.

{

aex + (ax+ b)ex = 3(ax+ b)ex − (cx+ d)ex

cex + (cx+ d)ex = 4(ax+ b)ex − (cx+ d)ex⇔

⇔{

(2a − c)x+ 2b− a− d = 0,

(4a − 2c)x+ 4b− 2d− c = 0⇔

2a− c = 0

2b− a− d = 0

4a− 2c = 0

4b− 2d− c = 0

⇔

⇔{

c = 2a

2b− a− d = 0⇔

a = C1

b = C2

c = 2C1

d = 2C2 − C1

58

Отсюда получаем ответ:

y1 = (C2 + C1x)ex, y2 = (2C2 − C1 + 2C1x)e

x.

Задача. Решить систему

y1 = y1 − y2 + y3,

y2 = y1 + y2 − y3,

y3 = 2y1 − y2

Решение. Сначала находим собственные значения и собствен-

ные векторы матрица

A =

1 −1 1

1 1 −1

2 −1 0

.

Находим λ1 = 1, λ2 = 2, λ3 = −1, векторы ~v1 = (1, 1, 1), ~v2 = (1, 0, 1),

~v3 = (1,−3,−5). Поэтому собственному значению λ1 = 1 соответ-

ствует решение C1ex~v1 = (C1e

x, C1ex, C1e

x), для λ2 = 2 – C2e2x~v2 =

(C2e2x, 0, C2e

2x), для λ3 = −1 –

C3e−x~v3 = (C3e

−x,−3C3e−x,−5C3e

−x).

Решением системы служит сумма

C1eλ1x~v1 + C2e

λ2x~v2 + C3eλ3x~v3,

то есть

y1 = C1ex + C2e

2x + C3e−x,

y2 = C1ex − 3C3e

−x,

y2 = C1ex + C2e

2x − 5C3e−x.

В случае комплексных собственных значений λ1,2 = α± iβ и со-

ответствующего собственного вектора (a, b) решение можно записать

следующим образом

y1 = C1Re (aeαx(cos βx+ i sin βx)) + C2Im (aeαx(cos βx+ i sin βx)),

59

y2 = C1Re (beαx(cos βx+ i sinβx)) + C2Im (beαx(cos βx+ i sinβx))

Задача. Решить систему{

y1 = −y1 − 5y2,

y2 = y1 + y2

Решение. Матрица системы имеет вид(

−1 −5

−1 −1

)

.

Ее собственные значения λ1,2 = ±2i. Найдем собственный вектор

~v = (a, b):{

(−1 − 2i)a− 5b = 0,

a+ (1− 2i)b = 0

Откуда ~v = (a, b) = (2i− 1, 1). Можем записать ответ:

y1 = C1Re ((2i− 1)(cos 2x+ i sin 2x))+

+ C2Im ((2i− 1)(cos 2x+ i sin 2x)),

y2 = C1Re (cos 2x+ i sin 2x) + C2Im (cos 2x+ i sin 2x).

Выполнив преобразования, окончательно получаем

y1 = C1(− cos 2x− 2 sin 2x) + C2(2 cos 2x− sin 2x),

y2 = C1 cos 2x+ C2 sin 2x.

Неоднородную систему

y1 = a11y1 + . . .+ a1nyn + f1(x),

............................................

yn = an1y1 + . . .+ annyn + fn(x)

можно решить методом вариации постоянных. То есть сначала най-

ти решение однородной системы, а затем подставить его в исходную

неоднородную, считая Ci функциями от x. После нахождения Ci(x)

60

их надо подставить в общее решение однородной системы. Это и бу-

дет решение неоднородной системы.

Пример. Решить систему{

y1 = 2y1 + y2 + 2e2x,

y2 = y1 + 2y2

Решение. Матрица(

2 1

1 2

)

,

соответствующая однородной системе, имеет собственные значения

λ1 = 1 и λ2 = 3. Им соответствуют собственные векторы ~v1 = (1,−1),

~v2 = (1, 1). Решение однородной системы имеет вид

y1 = C1ex + C2e

3x,

y2 = −C1ex + C2e

3x.

Подставим эти решения в исходную систему, считая C1 и C2 функ-

циями от x:

C ′1e

x + C1ex + C ′

2e3x + 3C2e

3x =

= 2C1ex + 2C2e

3x − C1ex + C2e

3x + 2e2x

−C ′1e

x − C1ex + C ′

2e3x + 3C2e

3x =

= C1ex + C2e

3x − 2C1ex + 2C2e

3x

Упрощая, получаем{

C ′1e

x + C ′2e

3x = 2e2x

−C ′1e

x + C ′2e

3x = 0

Складывая, находим

2C ′2e

3x = 2e2x ⇒ C ′2 = e−x ⇒ C2 = −e−x + C3.

Подставляя во второе уравнение, имеем

C ′1 = ex ⇒ C1 = ex + C4.

61

Подставив эти выражения для C1 и C2 в общее решение однородной

системы, получим решение исходной системы:

y1 = (ex + C4)ex + (−e−x + C3)e

3x = C4ex + C3e

3x,

y2 = −(ex + C4)ex + (−e−x + C3)e

3x = −C4ex + C3e

3x − 2e2x.

В следующих задачах требуется решить систему y = Ay.

4.81. A =

(

3 0

0 −2

)

.

4.82. A =

(

1 0

0 1

)

.

4.83. A =

(

1 1

2 0

)

.

4.84. A =

(

3 −2

4 −1

)

.

4.85. A =

(

2 1

3 4

)

.

4.86. A =

(

1 −1

−4 1

)

.

4.87. A =

(

1 1

−2 3

)

.

4.88. A =

(

1 −3

3 1

)

.

4.89. A =

(

2 1

−1 4

)

.

4.90. A =

(

−3 2

−2 1

)

.

4.91. A =

1 −2 −1

−1 1 1

1 0 −1

.

4.92. A =

2 −1 1

1 2 −1

1 −1 2

.

4.93. A =

3 −1 1

1 1 1

4 −1 4

.

4.94. A =

4 −1 −1

1 2 −1

1 −1 2

,

4.95. A =

1 −1 1

1 1 −1

0 −1 2

.

4.96. A =

2 1 0

0 2 4

1 0 −1

.

62

4.97. A =

2 −1 −1

2 −1 −2

−1 1 2

. 4.98. A =

4 −1 0

3 1 −1

1 0 1

.

4.99. A =

2 1 0

−1 3 −1

−1 2 3

. 4.100. A =

2 2 −1

1 0 2

−2 1 −1

.

Решить системы неоднородных уравнений

4.101.

{

y1 = y1 + 2ex,

y2 = y1 + x2

4.102.

{

y1 = y2 − 5 cos x,

y2 = 2y1 + y2

4.103.

{

y1 = 2y2 − y1 + 1,

y2 = 3y2 − 2y1

4.104.

{

y1 = 2y1 + y2 + ex,

y2 = −2y1 + 2x

4.105.

{

y1 = y1 + 2y2,

y2 = y1 − 5 sin x

4.106.

{

y1 = y1 − y2 +1

cos x,

y2 = 2y1 − y2

4.107.

{

y1 = 2y1 − y2,

y2 = y1 + 2ex

4.108.

{

y1 = 3y1 − 2y2,

y2 = 2y1 − y2 + 15ex√x

4.109.

{

y1 = 2y1 + 4y2 − 8,

y2 = 3y1 + 6y2

4.110.

{

y1 = 2y1 + y2 + 2ex,

y2 = y1 + 2y2 − 3e4x

63

5 Разностные уравнения

Линейным разностным уравнением n-порядка с постоянными ко-

эффициентами называются уравнения следующего вида

anyk+n + . . .+ a1yk+1 + a0yk = fk, k = 0, 1, 2 . . . .

Здесь коэффициенты ai – произвольные числа, а yk+i и fk являют-

ся функциями целочисленного аргумента, то есть yk+i = y(k + i),

fk = f(k), где i, k ∈ Z. Если правая часть уравнения fk равна нулю,

то уравнение называется однородным. В противном случае,– неодно-

родным.

Решение однородных уравнений сводятся к нахождению корней

характеристического уравнения. Только в отличии от дифференци-

альных уравнений основную роль играет не экспонента, а степенная

функция λk. Например, для уравнения первого порядка yk+1−ayk =

0 характеристическое уравнение имеет вид λ − a = 0, значит реше-

нием однородного уравнения служит семейство yk = Cak.

Решение неоднородного уравнения складывается из общего ре-

шения однородного уравнения и частного решения неоднородного

уравнения.

Аналогично линейным дифференциальным уравнениям научим-

ся решать уравнения второго порядка. Уравнения более высокого

порядка сводятся к ним.

5.1 Однородные линейные разностные урав-нения

Рассматриваем линейные однородные уравнения второго поряд-

ка

ayk+1 + byk + cyk−1 = 0.

а) Если характеристическое уравнение

aλ2 + bλ+ c = 0

64

имеет вещественные корни λ1, λ2, то решение разностного уравнения

имеет вид

yk = C1λk1 + C2λ

k2 .

б) Если корни совпали λ1 = λ2 = λ, то

yk = C1λk + C2kλ

k.

в) В случае комплексных корней λ1,2 = α ± iβ = r(cosϕ ± i sinϕ),

решением будет следующим

yk = rk(C1 cos kϕ+ C2 sin kϕ).

Задача. Решить уравнение yk+1 + 2yk + 2yk−1 = 0.

Решение. Характеристическое уравнение λ2 + 2λ + 2 = 0 име-

ет корни λ1,2 = −1 ± i. Найдем тригонометрическую форму λ1,2 =

r(cosϕ± i sinϕ):

r =√

α2 + β2 =√2, ϕ = arcsin

β

r= arccos

α

r.

Значит, λ1,2 =√2(cos 3π

4± i sin 3π

4), поэтому решением разностного

уравнения будет семейство

yk = (√2)k(C1 cos k

3π

4+ C2 sin k

3π

4).

Решить уравнения

5.1. yk+1 − yk + 2yk−1 = 0.

5.2. yk+1 − 5yk + 6yk−1 = 0.

5.3. yk+1 − 8yk + 20yk−1 = 0.

5.4. yk+1 − 2yk + 2yk−1 = 0.

5.5. yk+1 + 10yk + 26yk−1 = 0.

5.6. yk+1 + 4yk + 13yk−1 = 0.

5.7. yk+2 + 4yk+1 + 4yk = 0, y0 = 1, y1 = 4;

5.8. yk+2 + 3yk+1 + 2yk = 0, y0 = 2, y1 = 1;

5.9. yk+2 + yk = 0, y0 = 2, y1 = 1;

5.10. yk+1 = yk + yk−1, y0 = 0, y1 = 1.

65

5.2 Неоднородные линейные разностные урав-нения

Обозначим y0k – общее решение однородного, а y1k – общее решение

неоднородного уравнения. Их сумма будет общим решением неодно-

родного линейного уравнения с постоянными коэффициентами

yk = y0k + y1k.

Частное решение уравнения anyk+n + . . . + a1yk+1 + a0yk = fk бу-

дем искать методом неопределенных коэффициентов. Пусть правая

часть имеет вид

fk = rk(Pn(k) cosϕk +Qn(k) sinϕk),

где Pn(k) иQm(k) – многочлены степени n иm соответственно. Тогда

частное решение ищется в виде

y1k = ksrk(Rl(k) cosϕk + Tl(k) sinϕk),

где s = 0, если r и ϕ не являются модулем и аргументом корня

характеристического уравнения, и s равно кратности этого корня в

противном случае. Степень l многочленов Rl(k) и Tl(k) – это наи-

большая из степеней n и m.

Задача. Решить уравнение yk+1 − 2yk = 1 + k.

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид λ − 2 = 0,

откуда находим частное решение однородного уравнения

y0k = C12k.

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде ak + b,

так как справа стоит многочлен первой степени. Для нахождения

коэффициентов a и b подставляем y1k = ak+ b в исходное уравнение:

a(k + 1) + b− 2(ak + b) = 1 + k ⇔ −ak + a− b = k + 1.

66

Приравниваем коэффициенты при степенях, находим a = −1 и b =

−2. Таким образом, найдено частное решение y1k = −k−2 и остается

записать общее решение неоднородного уравнения

yk = C12k − k − 2.

Найти частное решение уравнения

5.11. yk+1 − 2yk = k2 − 2k − 1.

5.12. 2yk − yk+1 = k2k.

5.13. 2yk − yk+1 = sin k.

5.14. yk+1−yk = 2yk−1−(−1)k .

5.15. yk+1− 34yk+

18yk−1 =

(

12

)k.

5.16. yk+1 − yk − 12yk−1 = 4k.

Найти общее решение уравнения

5.17. 3yk+1 + 17yk − 6yk−1 =(

13

)k.

5.18. yk+1 − 5yk + 6yk−1 = 2k.

5.19. 2yk+1 − 5yk + 2yk−1 = 2 cos k.

5.20. yk+1 + yk − 5yk−1 + 3yk−2 = 1.

67

6 Числовые ряды. Признаки сходимо-

сти

Числовым рядом называют выражение a1 + a2 + . . . + an + . . .,

представляющее собой бесконечную сумму, и обозначают символом∑∞

n=1 an. Элементы последовательности {an}∞n=1 называют членами

ряда; an — n-м или общим членом ряда. Чтобы придать выраже-

нию∑∞

n=1 an формальный смысл, рассматривают последователь-

ность частичных сумм {SN}∞N=1, где SN =∑N

n=1 an. Говорят, что

ряд∑∞

n=1 an сходится, а его сумма равна S, если сходится последо-

вательность его частичных сумм и limN→∞

SN = S.

Задача. Исследовать на сходимость и вычислить сумму ряда

а)∞∑

n=1

qn, |q| < 1, б)∞∑

n=1

(−1)n, в)∞∑

n=1

1

n(n+ 1).

Решение. а) По условию члены ряда образуют бесконечно убы-

вающую геометрическую прогрессию, поэтому SN = q · 1−qN

1−q, откуда

находим

S = limN→∞

SN = limN→∞

q · 1− qN

1− q=

q

1− q.

б) Легко видеть, что последовательность частичных сумм представ-

ляется в виде

SN =

{

−1, N − нечетное

0, N − четное.

Такая последовательность предела не имеет, поэтому ряд расходится.

в) Найдем частичную сумму SN в явном виде:

SN =N∑

n=1

1

n(n+ 1)=

N∑

n=1

(

1

n− 1

n+ 1

)

=

(

1

1− 1

2

)

+

+

(

1

2− 1

3

)

+ . . .+

(

1

N− 1

N + 1

)

= 1− 1

N + 1.

68

Теперь нетрудно вычислить предел

S = limN→∞

SN = limN→∞

(

1− 1

N + 1

)

= 1.

Необходимым признаком сходимости ряда является условие

limn→∞

an = 0; в том случае, когда оно не выполняется, ряд заведомо

расходится.

Задача. Исследовать на сходимость ряд∑∞

n=12n+13n−1

.

Решение. Поскольку

limn→∞

an = limn→∞

2n+ 1

3n− 1=

2

36= 0,

то ряд расходится.

Иногда сумму числового ряда удается вычислить, однако чаще

всего при рассмотрении рядов исследуется вопрос о сходимости. Осо-

бую роль при этом играют признаки сходимости знакоположитель-

ных рядов:

1. Рассмотрим ряды∑∞

n=1 an и∑∞

n=1 bn, где an > 0, bn > 0. Пред-

положим, что начиная с некоторого номера n0, выполняется нера-

венство 0 6 an 6 bn, ∀n > n0. Тогда из сходимости ряда∑∞

n=1 bn,

следует сходимость ряда∑∞

n=1 an; из расходимости ряда∑∞

n=1 an

следует расходимость ряда∑∞

n=1 bn.

2. Если для знакоположительного ряда∑∞

n=1 an, an > 0, выполня-

ется условие an ∼ C · np, n → ∞, то а) при p < −1 ряд сходится, б)

при p > −1 ряд расходится.

3. Признак Даламбера. Если an > 0, ∀n > 1 и limn→∞

an+1

an= q, то а)

при q < 1 ряд сходится, б) при q > 1 ряд расходится.

4. Интегральный признак Коши. Если f(x) — неотрицательная воз-

растающая функция, то ряд∑∞

n=1 f(n) сходится или расходится од-

новременно с несобственным интегралом+∞∫

1

f(x)dx.

Задача. Исследовать на сходимость ряд

а)∞∑

n=1

1√

n(n+ 1), б)

∞∑

n=1

1000n

n!, в)

∞∑

n=2

1

n ln2 n.

69

Решение. а) Так как

an =1

√

n(n+ 1)=

1

n√1 + n−1

∼ 1

n, n→ ∞,

то ряд расходится.

б) По признаку Даламбера

an+1

an=

1000n+1

(n+ 1)!· n!

1000n=

1000

n+ 1→ 0, n→ ∞,

поэтому ряд сходится.

в) Используем интегральный признак сходимости для функции f(x) =1

x ln2 x:

+∞∫

2

dx

x ln2 x= (ln x = t) =

+∞∫

ln 2

dt

t2< +∞.

Из последнего неравенства заключаем, что ряд сходится.

Вопрос о сходимости знакопеременного ряда представляет собой

более сложную задачу, но иногда разрешается методами, описанны-

ми выше. Для этого различают понятия абсолютной и условной схо-

димости. Говорят, что ряд∑∞

n=1 an сходится абсолютно, если схо-

дится ряд∑∞

n=1 |an|; в этом случае исходный ряд также сходится.

Если же ряд∑∞

n=1 an сходится, а ряд∑∞

n=1 |an| расходится, то ряд∑∞

n=1 an называют условно (не абсолютно) сходящимся. Поскольку

члены ряда∑∞

n=1 |an| неотрицательны, к нему применимы признаки

сходимости знакоположительных рядов.

Задача. Исследовать на сходимость ряд∞∑

n=1

(−1)n

n2 .

Решение. Поскольку ряд∑∞

n=1 |an| =∑∞

n=11n2 сходится, то ис-

ходный ряд также сходится.

Среди признаков сходимости для знакопеременных рядов можно

выделить следующие.

1. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд

b1 − b2 + b3 − b4 + . . .+ (−1)n−1bn + . . . ,

70

где bn > 0, сходится, если а) bn+1 6 bn и б) limn→∞

bn = 0.

2. Признак Дирихле. Ряд∑∞

n=1 anbn сходится, если а) частичные

суммы AN =∑N

n=1 an ограничены и б) bn монотонно стремятся к

нулю при n→ ∞.

Задача. Исследовать на сходимость ряд∑∞

n=1(−1)n

n.

Решение. Так как элементы последовательности

{bn = 1n}∞n=1 монотонно стремятся к нулю, то по признаку Лейбница

ряд сходится. Такое же заключение можно сделать, если воспользо-

ваться признаком Дирихле, взяв в качестве an = (−1)n и bn = 1n.

Вычислить сумму ряда или установить расходимость рядов в сле-

дующих задачах.

6.1.∞∑

n=1

(−1)n−1

2n−1 .

6.2.∞∑

n=1

(

12n + 1

3n

)

.

6.3.∞∑

n=1

n.

6.4.∞∑

n=1

2n−12n

.

6.5.∞∑

n=1

1(3n−2)(3n+1)

.

6.6.∞∑

n=1

(−1)nn2n−1

.

6.7.∞∑

n=1

qn sinnα, |q| < 1.

6.8.∞∑

n=1

qn cosnα, |q| < 1.

6.9.∞∑

n=1

(√n+ 2− 2

√n+ 1 +

√n)

.

6.10.∞∑

n=1

sinnx.

Исследовать сходимость знакоположительных рядов.

6.11.∞∑

n=1

1n√

n+1.

6.12.∞∑

n=1

12n3+5

.

6.13.∞∑

n=1

n2+3n+12n4+n3−n

.

6.14.∞∑

n=1

√6n5+10

n3+n2 .

6.15.∞∑

n=1

3√

n6+n2+10√4n5+3n−1

.

6.16.∞∑

n=1

ln(1 + 3n3+2

).

6.17.∞∑

n=1

sin π6n

.

6.18.∞∑

n=1

(n!)2

(2n)!.

71

6.19.∞∑

n=1

n!nn .

6.20.∞∑

n=1

2nn!nn .

6.21.∞∑

n=1

3nn!nn .

6.22.∞∑

n=1

1(n+1) ln(n+1) .

6.23.∞∑

n=2

1n lnp n

.

6.24.∞∑

n=3

1n lnp n(ln lnn)q

.

Исследовать сходимость знакопеременных рядов.

6.25.∞∑

n=1

(−1)n(2n−1)2n

.

6.26.∞∑

n=1

(−1)n√n

.

6.27.∞∑

n=1

(−1)n(n−1)

2

2n.

6.28.∞∑

n=1

(−1)n(

2n+1003n+1

)n

.

6.29.∞∑

n=1

sin πn4

n.

6.30.∞∑

n=1

(−1)n√

nn+100

.

6.31.∞∑

n=1

sin(π√n2 + 1).

6.32.∞∑

n=1

(−1)n

n√n.

Исследовать ряды на абсолютную и условную сходимость.

6.33.∞∑

n=1

(−1)n

2n.

6.34.∞∑

n=1

(−1)nn√n2+3

.

6.35.∞∑

n=1

(−1)n(

2n+52n+1

)n

.

6.36.∞∑

n=1

(−1)nn ln n2

n2+1.

6.37.∞∑

n=1

ln(

1 + (−1)n

np

)

.

6.38.∞∑

n=1

(−1)n

(n+(−1)n)p.

6.39.∞∑

n=1

(−1)n (n−1)n+1

1

10√n

.

6.40.∞∑

n=1

sinn·sinn2

n.

72

Ответы

1.6. а) z′x = 9y + 8x, z′y = 9x − 1, dz = (9y + 8x)dx + (9x − 1)dy;

б) z′x = y−2x+1, z′y = x−4y+10, dz = (y−2x+1)dx+(x−4y+10)dy.

1.7. а) z′x = x√x2+y2

, z′y = y√x2+y2

, dz = x√x2+y2

dx + y√x2+y2

dy;

б) z′x = ex ln y, z′y = ex

y− sin y, dz = (ex ln y)dx+ ( e

x

y− sin y)dy.

1.8. а) f ′x = 6x − 5y + 3x2y4, f ′

y = 2y − 5x + 4x3y3; б) f ′x = ey +

cos(x+2y)+ 12√x, f ′

y = xey+2 cos(x+2y); в) f ′x = yexy+xy2exy , f ′

y =

xexy + x2yexy ; г) f ′x = 2x ln(x2+y2)−2x

ln2(x2+y2), f ′

y = 2y ln(x2+y2)−2y

ln2(x2+y2).

1.9. а) z′x = 2x, z′y = 2y; б) z′x = −2 sin(2x−3y), z′y = 3 sin(2x−3y);

в) z′x = e−y, z′y = −xe−y; г) z′x = 12√x(

√x+

√y), z′y = 1

2√

y(√x+

√y).

1.10. z′x = f ′(x+ y), z′y = f ′(x+ y).

1.11. z′x = 1yf ′(x

y), z′y = − x

y2 f′(x

y).

1.12. а) f ′′xx = 2, f ′′

xy = 2y, f ′′yy = x; б) f ′′

xx = 2 cos(x + y) −x sin(x + y), f ′′

xy = cos(x + y) − x sin(x + y), f ′′yy = −x sin(x + y); в)

f ′′xx = −2 sin x2−4x2 cos x2

y , f ′′xy = 2x sinx2

y2 , f ′′yy = 2 cos x2

y3 ; г) f ′′xx =

−1(x+y2)2

, f ′′xy = −2y

(x+y2)2, f ′′

yy = 2x−2y2

(x+y2)2.

1.13. а) f ′x = −3, f ′

y = 12, f ′′xx = −2, f ′′

xy = 1, f ′′yy = −4;

б) f ′x = 3π2, f ′

y = 2π − 1, f ′′xx = 6π2, f ′′

xy = 6π − 1, f ′′yy = 2.

1.14. а) z′′xx = 8, z′′yy = 0, z′′xy = 9; б) z′′xx = −2, z′′yy = −4, z′′xy = 1.

1.15. а) f ′x = 12x2−8xy+40xy2, f ′

y = −4x2+40x2y, f ′′xx = 24x−8y+

40y2, f ′′xy = −8x+80xy, f ′′

yy = 40x2; б) f ′x = y2 cos(xy), f ′

y = sin(xy)+

xy cos(xy), f ′′xx = −y3 sin(xy), f ′′

xy = 2y cos(xy) − xy2 sin(xy), f ′′yy =

2x cos(xy)− x2y sin(xy); в) f ′x = 1

xy , f′y = 1−ln(xy)

y2 , f ′′xx = −1

x2y, f ′′

xy =

−1xy2 , f

′′yy = −3+2 ln(xy)

y3 ; г) f ′x = x√

x2+y3, f ′

y = 3y2

2√

x2+y3, f ′′

xx =

y3

(x2+y3)3/2, f ′′

xy = −3xy2

2(x2+y3)3/2, f ′′

yy = 3y(y3+4xy2)

4(x2+y3)3/2.

1.16. а) f ′x = 0, f ′

y = 0, f ′′xx = −10, f ′′

xy = 2, f ′′yy = 0; б) f ′

x =

−3, f ′y = 0, f ′′

xx = −32, f ′′xy = −1, f ′′

yy = −2.

1.18. а)(−2x − y3 + 9y2x)/√10; б) − (cos x2)

y2 ; в) (−3ex ln y + 4 ex

y−

4 sin y)/5; г) ( 3 sin x1−cos y

− 4(1−cosx) sin y

(1−cos y)2)/5.

1.19. а) f ′x = z′u + z′v, f

′y = z′u − z′v; б) f ′

x = z′u + yz′v, f′y = z′u + xz′v;

в) f ′x = yz′u+

1yz′v, f

′y = xz′u− x

y2 z′v; г) f ′

x = 5 ln(x2+y2)+ 2x(5x−y)

x2+y2 , f ′y =

73

− ln(x2 + y2) + 2y(5x−y)

x2+y2 .

1.20. z′x = 0, z′y = 3z′u(1, 0).

1.23. z′x = − 6yx2

y+2z, z′y = − 2x3+z

y+2z.

1.24. z′x = − 2x−y cos(xy)+z3

y+3z2x, z′y = − z−x cos(xy)

y+3z2x.

1.25. 0.

1.26. а) z = −x− 24y + 17; б) z = 9x+ y.

1.27. а) −18− 2x+ 44y − 17y2 + 17xy + 4x2; б) −9x+ y + 6xy.

1.28. 5y2 + 25xy + 4x2 − 16x+ y + 11.

1.29. а) 1 + x− 2y + x2

2; б) 1 + 1

2x2 + 1

2y2.

1.30. а) z = −31 + 4x + 19y, ~n = 1

3√

42(4, 19,−1); б) z = 2e−1, ~n =

(0, 0, 1).

1.31. z = 2x+ 2y − 1, ~n = 13(2, 2,−1).

1.32. 2x2 − xy − y2 − 6x− 3y + 5.

1.33. x2 − 2xy + y2 − 6x+ 6y − 7.

1.34. а) x2+y2−1; б) 1− x2+y2

2; в) x2+y2; г) x+y− 1

2x2−xy− 1

2y2;

д) y − xy; е) 1− 2x+ 2x2 − 92y2.

1.35. а) минимум в точке (1, 0); б) седло в точке (−1, 1); в) седло в

точке (− 12 , 3); г) минимум в точке (0, 0), максимум в точке (− 5

3 , 0),

седло в точках (−1,±2); д) седло в точке (1,−2); е) седло в точке

(0, 0), минимум в точке (1, 1); ж) седло в точке (0, 0), минимум в

точке (−1, 12); з) седло в точке (e, 1).

1.36. а) седло в точке (− 12, 32); б) максимум в точке ( 1

2, 1); в)

максимум в точке (0, 32); г) минимум в точке (0, 0), максимум в

точке (− 59, 0), седло в точках (− 1

3,±2).

1.37. а) экстремумов нет; б) fmin = 0 в точке (4, 0), fmax = 6427

в

точке ( 43, 43); в) fmin = 8

3в точке ( 2

3, 43); г) fmin = 1 в точках (±, 0),

fmax = 2 в точках (0,±); д) fmin = −10 в точке (−1, 3); е) fmax =√101 в точке ( 10√

101, 1√

101), fmin = −

√101 в точке (− 10√

101,− 1√

101);

ж) fmin = 1 в точке ( 45, 35), fmax = 11 в точке (− 4

5,− 3

5); з) fmin = 0

в точках (±2√2,±

√2), fmax = 32 в точках (±2

√2,∓

√2); и) fmax =

2+ 2√2 в точке (− 1√

2, 1√

2), fmin = −2 + 2

√2 в точке ( 1√

2,− 1√

2); к)

fmin = −75 в точке (3,−4), fmax = 125 в точке (−3, 4); л) fmin = 1

в точках (±1,∓1,∓2), fmax = 3 в точках (±1,±1,±2).

74

1.38. а) fmin = −5 в точке (0, 1), fmax = −2 в точке (1, 0); б)

fmin = −4 в точке (1, 2), fmax = 13 в точках (4, 0); в) fmin = −1 в

точке (−1,−1), fmax = 6 в точках (−3, 0) и (0,−3); г) fmin = −75

в точке (3,−4), fmax = 125 в точке (−3, 4); д) fmin = −1 в точке

(−1, 0), fmax = 1 в точках (0,±1) и (1, 0); е) fmax = ln(√2 + 4) в

точке (2 +√

22, 2 +

√2

2), fmin = ln(4−

√2) в точке (2−

√2

2, 2−

√22).

1.39. а)y = 45x+ 1

2; б)y = 21

38x+ 87

38.

1.40. а)y = 145x+ 3

5; б) y = x− 4.

2.1. sinx+ 15x5 − 7 arctg x+ 1

5e5x.

2.2. 32x

2 + 56x

65 + 4 cos x+ e2x.

2.3. 3 arcsin x− tg x− x−3.

2.4. −2 ctg 2x.

2.5. 4x− 4x− 1

3x3 .

2.6. ln |x− 1|.2.7. x− 2 ln |x| − 1

x.

2.8. a ln |x| − a2

x− a3

2x2 .

2.9. 2√x+ 2

3x

32 .

2.10. 4x

ln 4+ 9x

ln 9+ 2 6x

ln 6.

2.11. x+ 2 ln |x|+ 5x

ln 5 .

2.12. 92x

23 − 3

5x

53 + 3

8x

83 .

2.13. 13ln |3x− 5|.

2.14. − 12cos 2x.

2.15. − 23(1− x)

32 .

2.16. 12sin 4x.

2.17. ln |x3 − 7|.2.18. 1

10(2x+ 5)5.

2.19. − 12e

−2x + e−x.

2.20. ln | ln x|.2.21. 1

3sin3 x.

2.22. ln |x+ 6|.2.23. −2 cos

√x.

2.24. − ln |1− ex|.2.25. esin x.

2.26. − cos(ln x).

75

2.27. 12 ln |2x+ 1|.

2.28. 12arctg 2x.

2.29. 12ex

2

.

2.30. − 12ctg(2x + π

4).

2.31. 12x2 − x− ln |1 + x|.

2.32. −√1− x2.

2.33. 14arcsin4 x.

2.34. − 14ln |3− 2x2|.

2.35. − 12+2x2 .

2.36. 14arctg x2

2.

2.37. cos 1x.

2.38. 2 arctg√x.

2.39. ln(ex + 2).

2.40. 13ln3 x.

2.41. ln | ln lnx|.2.42. 1

4sin4 x.

2.43. 12 sinx2.

2.44. − ln | cosx|.2.45. 1

2ln | sin 2x|.

2.46. − 1√2ln |

√2 cos x+

√cos 2x|.

2.47. ex

5(−2 cos 2x+ sin 2x).

2.48. 7x−17

ln |7x− 1| − 7x−17.

2.49. 125 sin 5x− x

5 cos 5x.

2.50. −3(x + 3)e−x3 .

2.51. cos x+ x sinx.

2.52. sin x− x cosx.

2.53. x2 sinx− 2 sinx+ 2x cosx.

2.54. −x2 cos x+ 2 cos x+ 2x sin x.

2.55. (x− 1)ex.

2.56. 14(2x2 − 2x+ 1)e2x.

2.57. 12x2 ln x− 1

4x2.

2.58. 19x

3(3 lnx− 1).

2.59. x ln(x2 + 1)− 2x+ 2arctg x.

76

2.60. 12x

2 arcsin x+ 14x

√1− x2 − 1

4 arcsin x.

2.61. 125(5x− 1)e5x.

2.62. − 14sin 2x+ 1

2x.

2.63. 115

sinx(3 cos4 x+ 4 cos2 x+ 8).

2.64. 1−3 cos2 x3 cos3 x

.

2.65. 14tg4 x− 1

2tg2 x+ 1

2ln(1 + tg2 x).

2.66. − 16sin5 x cos x− 5

24sin3 x cos x− 5

16sin x cos x+ 5

16x.

2.67. 14sinx cos3 x+ 3

8sinx cosx+ 3

8x.

2.68. − 16sin x cos5 x+ 1

24sin x cos3 x+ 1

16sin x cos x+ 1

16x.

2.69. 12x2 − x+ ln |1 + x|.

2.70. arctg(x+ 2).

2.71. 12ln |x−3

x−1|.

2.72. ln |(x− 2)(x+ 5)|.2.73. − 3

2 ln |x+ 3| − 12 ln |1 + x|+ 2 ln |x+ 2|.

2.74. −2 ln |x+ 1|+ 3 ln |2 + x|.2.75. x+ ln(x2 + 4x+ 5)− 3 arctg(x+ 2).

2.76. − 13x−3

+ 29ln |x− 1| − 2

9ln |2 + x|.

2.77. x+ 16ln |x|+ 28

3ln |3− x| − 2

9ln |x− 2|.

3.1. 0.3.2. −2.

3.3. 2.3.4. −2.

3.5. 3; −5.

3.6. 163 .

3.7. − 12.

3.8. 125.

3.9. 0.3.10. e− 1.

3.11. 0.3.12. 2

3.

3.13. 1.3.14. 6

5.

3.15. 2 ln 2 + ln 5.

3.16. 563.

77

3.17. 0.3.18. − ln 5 + 2 ln 2.

3.19. 2.3.20. − 3

4+ 9

√3

4.

3.21. 2.3.22. π

6.

3.23. π3.

3.24. − 12ln 2 + 1

2.

3.25. π.3.26. 2.3.27. 0.3.28. 1

3.

3.29. 14.

3.30. ∞.

3.31. ∞.

3.32. ∞.

3.33. 1ln 2

.

3.34. 1.3.35. ∞.

3.36. ∞.

3.37. π.3.38. 5π

6.

3.39. 14ln 5.

3.40. 2.3.42. ∞.

3.42. −1.

3.43. π.3.44. 1.3.45. − 1

2.

3.46. 0.3.47. Расходится при a 6 0, 1

a2 при a > 0.

3.48. Расходится при a > 0, −2a3 при a < 0.

3.49. 360.3.50. ln 2 + 3.

78

3.51. 92 .

3.52. 16.

3.53. 8√3.

3.54. 12.

3.55. 16√2

5.

3.56. ln 98.

4.1. x+ C.

4.2. −x3 + 12x

2 + C1x+ C2.

4.3. ex + 160x5 + C1x

2 + C2x+ C3.

4.4. ex2

+ 4.

4.5. ln | cosx|+ 1.

4.6. Cex.4.7. Ce−x(x+ 1).

4.8. y2

2+ y + ln |y − 1| = − 1

x+ C, y = 1.

4.9. Cex

x2 .

4.10. Ce√

4−x3.

4.11. 12y2 = − 1

x(ln x+ 1) + C.

4.12. x−2 + y−2 = 2(

1 + ln∣

∣

∣

xy

∣

∣

∣

)

.

4.13. xy2 = x2 − 1.

??. ex − e−y(y + 1) = C.

4.15. −x − tg(−x + C).

4.16. x+ 2y + 3 ln(2x+ 3y − 7) = C.

4.17. x− 2√x+ y + 1 = C.

4.18. x−√4x+ 2y − 1 + 2 ln(

√4x+ 2y − 1 + 2) = C.

4.19. x(ln x+ C).

4.20. Cx2 − x.

4.21. −x ln(ln x+ C).

4.22. − 2y√xy

+ lnx = C.

4.23. sin yx = Cx.

4.24. x(y − x) = Cy, y = 0.

4.25. C1e−2x + C2e

x.

4.26. C1e−3x + C2e

−x.

4.27. C1 + C2e2x.

79

4.28. e2x(C1 sinx+ C2 cosx).

4.29. e−x(C1 sin 3x+ C2 cos 3x).

4.30. C1 + C2e−2x + C3e

2x.

4.31. C1e2x + e−x(C2 sin

√3x+ C3 cos

√3x).

4.32. ex(C1 + C2x).

4.33. e−12x(C1 + C2x).

4.34. C1 + C2x+ C3x2 + e

3x4 (C4 sin

3√3

4x+ C5 cos

3√3

4x).

4.35. C1e3x + C2e4x.

4.36. e−3x(C1 + C2x).

4.37. e−x(C1 sin√3x+ C2 cos

√3x).

4.38. C1e−x + C2e

3x + 15e4x.

4.39. C1e−x + C2e

3x − 116e−x(2x2 + x).

4.40. C1 cosx+ C2 sinx+ 2ex(x− 1).

4.41. C1ex + C2e

−x + ex(x− 12 ) + x2 + 2.

4.42. C1ex + C2e

−2x + 16(3x2 − 2x)ex.

4.43. C1ex + C2e

−2x + 19e−2x(−e3x − 3x+ 3xe3x − 1).

4.44. C1ex + C2e

2x + 110

sinx+ 310

cosx.

4.45. C1 cosx+ C2 sinx− 2x cosx.

4.46. C1ex + C2e

4x + e2x(−2x2 + 2x− 3).

4.47. C1ex + C2e

2x + x10(cos x− 3 sin x)− 1

50(17 sin x+ 6 cos x).

4.48. C1ex + C2e

−4x − e−4x

900(180x + 150xe3x + 25e3x + 36).

4.49. C1 sinx+ C2 cosx− 14x(− sin x+ x cosx).

4.50. C1e5x + C2 − 1

5x3 − 3

25x2 − 6

125x+ 1

50(cos 5x− sin 5x).

4.51. C1e3x + C2e

4x + e2x(2x+ 3).

4.52. C1e3x + C2e

4x − xe3x.

4.53. e−3x(C1x+ C2) + e−x(x− 1).

4.54. e−3x(C1x+ C2 + x2).

4.55. e−3x(C1x+ C2) + e−2x sin x.

4.56. e−x(C1 sin√3x+ C2 cos

√3x+ x+ 1).

4.57. ex(C1x+ C2 + x(lnx− 1)).

4.58. C1e−x + C2e

−2x + (e−2x + e−x) ln(ex + 1).

4.59. e−x(C1 sin√3x+ C2 cos

√3x+ sinx).

4.60. C1e−4x + C2 +

120(2 sin 2x− cos 2x) + 1

32(sin 4x− cos 4x).

4.61. e2x(C1 sin 2x+C2 cos 2x)+14e2x(cos 2x+1)+ 1

20(sin 2x+2 cos 2x).

80

4.62. C1e3x + C2e

4x + e2x(cos x− 3 sinx).

4.63. e−x(C1 cos√3x+ C2 sin

√3x− x cos

√3x+ x sin

√3x).

4.64. (x+ C)e2x.

4.65. (x2 + C)x2.

4.66. x sin x+ Cx.

4.67. 1x(2e

x2 (x2 − 4x+ 8) + C).

4.68. −x2 − 1 + Cex2

.

4.69. 1 + (2x + 1)(ln(2x+ 1) + C).

4.70. ex(ln x+ C).

4.71. − ln x+Cx

.

4.72. − ln x+ C ln2 x.

4.73. (x3+C)e−x

x.

4.74. (y + C)2 = x+ C2.

4.75. ln(

12x± 1

2

√x2 + C

)

.

4.76. 2√x+Cx

.

4.77. 1(x+C)x

.

4.78. 1ex+Ce2x

.

4.79. 1(x+1)(ln(x+1)+C)

.

4.80. y2(2ex + C) = 1x4 .

4.81. y1 = C1e3x, y2 = C2e

−2x.

4.82. y1 = C1ex, y2 = C2e

x.

4.83. y1 = C1e2x + C2e

−x, y2 = C1e2x − 2C2e

−x.

4.84. y1 = C1ex cos 2x + C2e

x sin 2x, y2 = C1ex(cos 2x + sin 2x) +

C2ex(sin 2x− cos 2x).

4.85. y1 = C1ex + C2e

5x, y2 = −C1ex + 3C2e

5x.

4.86. y1 = C1e−x + C2e

3x, y2 = 2C1e−x − 2C2e

3x.

4.87. y1 = e2x(C1 cosx + C2 sinx), y2 = e2x((C1 + C2) cos x + (C2 −C1) sin x).

4.88. y1 = ex(C1 cos 3x+ C2 sin 3x), y2 = ex(C1 sin 3x− C2 cos 3x).

4.89. y1 = (C1 + C2x)e3x, y2 = (C1 + C2 + C2x)e

3x.

4.90. y1 = (C1 + 2C2x)e−x, y2 = (C1 + C2 + 2C2x)e

−x.

4.91. y1 = C1 + 3C2e2x, y2 = −2C2e

2x + C3e−x, y3 = C1 + C2e

2x −2C3e

−x.

4.92. y1 = C2e2x+C3e

3x, y2 = C1ex+C2e

2x, y3 = C1ex+C2e

2x+C3e3x.

81

4.93. y1 = C1ex + C2e

2x + C3e5x, y2 = C1e

x − 2C2e2x + C3e

5x, y3 =

−C1ex − 3C2e

2x + 3C3e5x.

4.94. y1 = C1e2x + (C2 + C3)e

3x, y2 = C1e2x + C2e

3x, y3 = C1e2x +

C3e3x.

4.95. y1 = (C1 + C2x)ex + C3e

2x, y2 = (C1 − 2C2 + C2x)ex, y3 =

(C1 − C2 + C2x)ex + C3e

2x.

4.96. y1 = C1 + C2x + 4C3e3x, y2 = C2 − 2C1 − 2C2x + 4C3e

3x, y3 =

C1 − C2 + C2x+ C3e3x.

4.97. y1 = (C1 + C3x)ex, y2 = (C2 + 2C3x)e

x, y3 = (C1 − C2 − C3 −C3x)e

x.

4.98. y1 = (C1 + C2x + C3x2)e2x, y2 = (2C1 − C2 + (2C2 − 2C3)x +

2C3x2)e2x, y3 = (C1 − C2 + 2C3 + (C2 − 2C3)x+ C3x

2)e2x.

4.99. y1 = C1e2x + e3x(C2 cosx + C3 sin x), y2 = e3x((C2 + C3) cos x +

(C3 −C2) sinx), y3 = C1e2x + e3x((2C2 −C3) cos x+(2C3 +C2) sin x).

4.100. y1 = C2 cos x+ (C2 + 2C3) sin x, y2 = 2C1ex + C2 cosx + (C2 +

2C3) sin x, y3 = C1ex + C3 cosx− (C2 + C3) sinx.

4.101. y1 = C1ex + C2e

−x + xex − x2 − 2, y2 = C1ex − C2e

−x + (x −1)ex − 2x.

4.102. y1 = C1e2x + C2e

−x − 2 sin x − cosx, y2 = 2C1e2x − C2e

−x +

sin x+ 3 cos x.

4.103. y1 = (C1 + 2C2x)ex − 3, y2 = (C1 + C2 + 2C2x)e

x − 2.

4.104. y1 = C1ex cos x + C2e

x sinx + ex + x + 1, y2 = C1ex(− cos x −

sin x) + C2ex(cos x− sinx)− 2ex − 2x− 1.

4.105. y1 = C1e−x + 2C2e

2x − cosx + 3 sin x, y2 = −C1e−x + C2e

2x +

2 cosx− sin x.

4.106. y1 = C1 cos x+C2 sin x+x(cosx+sin x)+(cos x−sinx) ln | cosx|, y2 =

(C1 − C2) cos x+ (C1 + C2) sin x+ 2 cos x ln | cos x|+ 2x sinx.

4.107. y1 = (C1 + C2x− x2)ex, y2 = (C1 − C2 + x(C2 + 2)− x2)ex.

4.108. y1 = (C1 + 2C2x − 8x5/2)ex, y2 = (C1 + 2C2x − C2 − 8x5/2 +

10x3/2)ex.

4.109. y1 = 2C1e8x − 2C2 − 6x+ 1, y2 = 3C1e

8x + C2 + 3x.

4.110. y1 = C1ex+C2e

3x+xex−e4x, y2 = −C1ex+C2e

3x−(x+1)ex−2e4x.

5.1. yk = (√2)k(C1 sin kϕ+ C2 cos kϕ), ϕ = arctg

√7.

82

5.2. yk = C12k + C23

k.

5.3. yk = (√20)k(C1 sin kϕ+ C2 cos kϕ), ϕ = arctg 1

2.

5.4. yk = (√2)k(C1 sin

kπ4

+ C2 coskπ4).

5.5. yk = (√26)k(C1 sin kϕ+ C2 cos kϕ), ϕ = − arctg 1

5.

5.6. yk = (√13)k(C1 sin kϕ+ C2 cos kϕ), ϕ = − arctg 3

2.

5.7. yk = (−2)k(1− 3k).

5.8. yk = (−1)k(5− 3 · 2k).5.9. yk = 2 cos kπ

2+ sin kπ

2.

5.10. yk = 1√5·(

(

1+√5

2

)k

−(

1−√

52

)k)

.

5.11. y1k = −k2.5.12. y1k = 2k−2(k − k2).

5.13. y1k = 2−cos 15−4 cos 1

· sin k + sin 15−4 cos 1

· cos k.5.14. y1k = 1

3 · (−1)kk.

5.15. y1k = 4k · 2−k.

5.16. y1k = k7· 4k.

5.17. yk = C1(13)k + C2(−6)k + k

19· 3−k.

5.18. yk = C12k + C23

k − k · 2k.5.19. yk = C12

k + C22−k + cos k

2 cos 1−5/2.

5.20. yk = C1 + C2k + C3(−3)k + 18k2.

6.1. 23.

6.2. 32.

6.3. Расходится.

6.4. 3.6.5. 1

3 .

6.6. Расходится.

6.7. q sinα1−2q cosα+q2

.

6.8. q cosα−q2

1−2q cosα+q2.

6.9. 1−√2.

6.10. Расходится.

6.11. Сходится.

6.12. Сходится.

6.13. Сходится.

6.14. Расходится.

83

6.15. Расходится.

6.16. Сходится.

6.17. Расходится.

6.18. Сходится.

6.19. Сходится.

6.20. Сходится.

6.21. Расходится.

6.22. Расходится.

6.23. Сходится при p > 1.

6.24. Сходится при p > 1, q произвольном и при p = 1, q > 1.

6.25. Сходится.

6.26. Сходится.

6.27. Сходится.

6.28. Сходится.

6.29. Сходится.

6.30. Сходится.

6.31. Сходится.

6.32. Расходится.

6.33. Сходится условно.

6.34. Расходится.

6.35. Расходится.

6.36. Сходится условно.

6.37. Абсолютно сходится при p > 1; условно сходится при 12 < p 6

1.

6.38. Абсолютно сходится при p > 1; условно сходится при 0 < p 6

1.

6.39. Сходится условно.

6.40. Сходится условно.

84

Оглавление

1 Функции двух переменных . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1 Сечения и линии уровня . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Приращение, частные производные,

дифференциал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Частные производные второго порядка . . . . . 10

1.4 Производная сложной функции, производная

по направлению, производная неявной функции 12

1.5 Аппроксимации первого и второго порядков . . 14

1.6 Экстремум функции двух переменных . . . . . 18

1.7 Условный экстремум функции двух переменных 20

1.8 Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . 23

2 Неопределенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.1 Табличные интегралы . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.2 Замена переменных . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Интегрирование по частям . . . . . . . . . . . . 32

2.4 Интегрирование тригонометрических

функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.5 Интегрирование рациональных функций . . . . 33

3 Определенный интеграл . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1 Формула Ньютона—Лейбница . . . . . . . . . . 39

3.2 Несобственные интегралы . . . . . . . . . . . . 42

3.3 Геометрическое, экономическое и механическое

приложения интеграла. . . . . . . . . . . . . . . 44

4 Дифференциальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . 48

4.1 Простейшие дифференциальные уравнения . . 48

85

4.2 Уравнения с разделяющимися переменными . 48

4.3 Однородные линейные дифференциальные урав-

нения с постоянными коэффициентами . . . . . 50

4.4 Неоднородные линейные дифференциальные урав-

нения с постоянными коэффициентами . . . . . 51

4.5 Линейные дифференциальные уравнения пер-

вого порядка с переменными коэффициентами 55

4.6 Системы линейных дифференциальных

уравнений с постоянными

коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5 Разностные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.1 Однородные линейные разностные уравнения . 64

5.2 Неоднородные линейные разностные уравнения 66

6 Числовые ряды. Признаки сходимости . . . . . . . . . 68

Ответы 73

86

25.02.2020 . 60 × 84/16 . .

. . . 5,00. 110 . 56.

« »

( )

, 160014, . , . , 56 . (8172) 59-78-03, e-mail: common@vscc.ac.ru