Nocões de Trigonometria

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    TPICOS DE REVISO

    MATEMTICA II NOES DE TRIGONOMETRIA

    Prof. Rogrio Rodrigues

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    I) INTRODUO :

    Trigonometria (do grego trignon "tringulo" + metron "medida") um ramo da matemtica que estuda os tringulos, particularmente tringulos em um plano onde um dos ngulos do tringulo mede 90 graus (tringulo retngulo). Tambm estuda especificamente as relaes entre os lados e os ngulos dos tringulos; as funes trigonomtricas, e os clculos baseados nelas. A trigonometria tem aplicaes importantes em vrios ramos, tanto como na matemtica pura, quanto na matemtica aplicada e, consequentemente, nas cincias naturais. O estudo da trigonometria tem suas origens nos primrdios das civilizaes, particularmente naas aplicaes arqutetnicas. Ainda hoje, os profissionais ligados construo civl usam conceitos de trigonometria nos processos mais elementares. Exemplo disso o clculo do caimento dos telhados: quando se diz, por exemplo, que um telhado tem um caimento de 10%, omesmo que dizer que o ngulo desse telhado com a horizontal tal que sua tangente 0,1. Veja figura abaixo. P

    Q R

    tg = =

    = 0,1 = 10%

    II) RAZES TRIGONOMTRICAS NO TRINGULO RETNGULO : Um tringulo dito retngulo quando possui um ngulo reto (90o). Nesse caso, tem-se:

    A

    B C

    Hipotenusa : lado oposto ao ngulo reto (AC) Catetos: lados que formam o ngulo reto (AB e BC)

    Em relao a um dos ngulos agudos ( ou ), tem se um cateto oposto e um cateto adjacente . Por exemplo, em relao ao ngulo , de medida , tem-se:

    Cateto oposto : AB Cateto adjacente: BC

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    Com isto, so definidas as seguintes razes ou relaes trigonomtricas:

    II.1) Seno de um ngulo agudo :

    a razo entre a medida do cateto oposto ao ngulo e a medida da hipotenusa do tringulo. Em relao figura anterior, temos:

    sen = (equao 1)

    II.2) Cosseno de um ngulo agudo :

    a razo entre a medida do cateto adjacente ao ngulo e a medida da hipotenusa do tringulo. Em relao figura anterior, temos:

    cos = (equao 2)

    II.3) Tangente de um ngulo agudo :

    a razo entre a medida do cateto oposto ao ngulo e a medida do cateto adjacente do tringulo. Em relao figura anterior, temos:

    tg = (equao 3)

    III) PROPRIEDADES E RELAES SECUNDRIAS:

    A

    B C

    Considere-se a figura acima. De acordo com as definies anteriores, temos:

    1o) sen = (equao 4) 2o) cos = (equao 5)

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    3o) tg = (equao 6)

    III.1) Propriedades:

    a) Os ngulos de medidas e do tringulo ABC da figura anterior so complementares, ou seja, somam 90o. + = 90o e so complementares b) Comparando as equaes 1 e 5, 2 e 4, 3 e 6, verificamos que: Se dois ngulos de medidas e so complementares, ento:

    sen = cos e cos = sen

    tg =

    III.2) Relaes secundrias :

    a) Dividindo-se, membro a membro, as equaes 1 e 2, tem-se = . = que igual a tg , ou seja, tg = !"# ! b) Elevando-se ao quadrado as equaes 1 e 2 e somando-se as equaes resultantes, tem-se

    sen2 =

    $%&$%&

    sen2 + cos2 =

    $%& ' $%&$%& =

    $%&$%& = 1

    cos2 =

    $%&$%&

    sen2 + cos2 = 1

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    III.3) Valores notveis :

    MEDIDA SENO COSSENO TANGENTE GRAU RAD

    30 pipipipi / 6

    ( *( ** 45

    pipipipi / 4 (( (( 1 60

    pipipipi / 3 *( ( *

    90 pipipipi / 2 1 0 No definido

    Exercicios resolvidos :

    1) No tringulo ABC, tem-se AB = 8 cm, AC = 12 cm e BC = 30o. Calcule a rea do tringulo ABC.

    Resoluo:

    B

    8

    h 30o

    C A 12

    1o) Traando-se a altura h, tem-se, direita um tringulo retngulo de hipotenusa AB. Ento, sen 30o = +,- =

    +. . Consultando-se a tabela acima. temos sen 30o = +.=/0

    2h= 8 h= 4 cm.

    2o)Como a rea do tringulo o semi-produto da base e da altura, tem-se: S = 12.4/2 = 24 cm2.

    2) Num tringulo retngulo os ngulos agudos tm medidas m e n, tais que cos m = 12 . Calcule a) sen m e tg m. b) sen n, cosn e tg n.

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    Resoluo:

    1o) como sen2m + co2m = 1, tem-se sen2m + 312 40 = 1 sen2m = 1 - 1/5 =

    /1/5 sen m =

    = 6/1/5 ; mas como m ngulo agudo, sen m = 6/1/5 sen m = *7 . Da, tem-se o valor de tg m = 8 8=

    /12 .

    7* =

    ** , que racionalizado tg m =

    *9* .

    2o) Como m e n so complementares, tem-se: sen n = cos m =

    12

    cos n = sen m = *

    7

    tg n = 1/tg m = *9*

    IV) O CICLO TRIGONOMTRICO : O tringulo o modelo primitivo para o estudo trigonomtrico, mas limitado a ngulos menores do que 90o (ngulos agudos). Vamos, a partir de agora, adotar um modelo geomtrico que permita trabalhar com qualquer medida de ngulo: a circunferncia orientada, que chamaremos de Ciclo trigonomtrico. Suas propriedades so registradas a seguir.

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    1o) Circunferncia de raio unitrio associada ao plano cartesiano de tal modo que seu centro a origem do plano cartesiano e sua origem (0o) o ponto A. Ento, a partir do ponto A, marca-se qualquer arco AP, associado a um ngulo central AP. Exemplo da figura: arco AP = 30o. 2o) Cada arco da circunferncia trigonomtrica pode ser marcado no sentido anti-horrio (POSITIVO) ou horrio (NEGATIVO). Todo arco cuja medida precedida do sinal + marcado, a partir do ponto A, no sentido anti-horrio e, do mesmo modo, todo arco de medida precedida do sinal marcado, a partir do ponto A, no sentido horrio.

    3o) Todo ponto da circunferncia trigonomtrica equivale a um arco e vice-versa. As coordenadas de cada ponto so cartesianas do tipo (xP , yP) em que xP o cosseno do arco associado ao ponto e yP o seno do mesmo arco; veja a justificativa a seguir:

    a) O ponto P assinala o arco AP associado ao ngulo central PA = . No tringulo POxP , temos sen = cateto oposto/hipotenusa = yP/OP; como o raio da circunferncia unitrio, sen = yP . No mesmo tringulo, cos = cateto adjacente/hipotenusa = xP/OP; cos = xP . Ento as coordenadas do ponto P so dadas por P(cos , sen ) . Como exemplo, se = 30o , temos P(cos 30o , sen 30o) ou P( 10 , ( ).

    b) O eixo das tangentes paralelo ao eixo das ordenadas (eixo y) e tangencia a circunferncia em sua origem; sua orientao a mesma do eixo y: positivo para cima e negativo para baixo. A tangente de um arco determinada pelo prolongamento do raio na

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    extremidade do arco. Observe, como exemplo, o arco AP associado ao ngulo central PA = : prolongando-se o raio OP, encontra-se o ponto B no eixo das tangentes. No tringulo AOB, tem-se tg = cateto oposto/cateto adjacente = AB/AO, como AO = raio= =1, tem-se tg = AB . do mesmo modo, o arco AQ, do 2o quadrante, tem sua tangente determinada pelo prolongamento do raio QO, determinando-se o ponto C; ento, a tangente do ngulo central associado ao arco AQ (AC). Pode-se montar o seguinte quadro de sinais:

    QUADRANTE INTERVALO DO CICLO sen cos tg EM GRAUS EM RAD. 1o 0 < < 90

    0 < < pi/2 + + + 2o 90 < < 180

    pi/2 < < pi + - - 3o 180 < < 270

    pi < < 3pi/2 - - + 4o 270 < < 360 3pi/2< < 2pi - + -

    c) Todo ponto associado a um arco negativo tem sua verso positiva e vice-versa. Se um arco tem medida indicada por , ele, no sentido positivo, ser 360o :

    o caso , por exemplo, dos pares -30o e 330o, -110o e 250o, - 2pi/5 e 8pi/5, ....

    d) Como a circunferncia trigonomtrica cclica, cada ponto determina infinitos arcos, dependendo do nmero de voltas completas que se percorre, sempre passando por cada ponto. Por exemplo, saindo-se do 0o, passa-se pelo ponto P, que determina um arco de 300, determinando-se os arcos 30o = 0 voltas + 30o = 0. 360o + 30o = 0. 2pi + pi/6 rad = pi/6 rad 390o = 1 volta + 30o = 1. 360o + 30o = 1. 2pi + pi/6 rad = 13pi/6 rad 750o = 2 voltas + 30o = 2. 360o + 30o = 2. 2pi + pi/6 rad = 25pi/6 rad 1110o = 3 voltas + 30o = 3. 360o + 30o = 3. 2pi + pi/6 rad = 37pi/6 rad

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    Todos esses arcos so chamados de arcos cngruos, pelo fato de se posicionarem no mesmo ponto do ciclo; 30o ou pi/6 chamado de menor determinao desses arcos. De um modo geral, se a menor determinao de um ponto no ciclo corresponde a um arco de medida , sua expresso