26/10/2012

Trigonometria

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O significado da palavra trigonometria, vem do grego e resulta da conjunção de três palavras:

Tri – trêsGonos – ânguloMetrein - medir

Trigonometria significa, o estudo das medidas dos triângulos.

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Aplicações da Trigonometria

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Triângulo retângulo7

Triângulo retângulo é todo triângulo que apresenta um ângulo reto, ou seja, um ângulo de 90°.

catetocateto

hipotenusa

cateto

catetohipotenu

sa

A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo;

Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos internos é sempre 180°;

Como num triângulo retângulo um dos ângulos é reto, a soma dos outros dois ângulos agudos (menores que 90º) é sempre 90°;

Quando a soma de dois ângulos internos é igual a 90°, dizemos que esses ângulos são complementares.

Teorema de Pitágoras

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Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos.

c = 4

b = 3a = 5

a2=b2+c2

52=32+ 42

25=9+ 1625=25

Relações Trigonométricas num triângulo retângulo12

Seno CossenoTangente

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Exemplo de aplicação:

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Exemplo de aplicação:

Exemplo de aplicação:17

Cálculo de seno, cosseno e tangente dos ângulos notáveis

Seno, cosseno e tangente de 30° e 60º

senα=cateto opostohipotenusa

cosα=cateto adjacentehipotenusa

tgα=cateto opostocateto adjacente

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Seno, cosseno e tangente de 45°

senα=cateto opostohipotenusa

cosα=cateto adjacentehipotenusa

tgα=cateto opostocateto adjacente

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Construção da Tabela Trigonométrica

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Relações entre seno, cosseno e tangente21

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Observe a situação a seguir:

Um fio elétrico será instalado entre um poste P e uma casa, separados por um lago em um terreno plano. Como calcular o comprimento do fio necessário para a instalação?

Pela necessidade de solucionar problemas relacionados a triângulos que não são retângulos, se desenvolveram formas de trabalhar com senos e cossenos de ângulos obtusos ( maiores que 90°).

Teorema ou Lei dos Senos

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A lei dos senos pode ser utilizada em qualquer triângulo. No caso de triângulos retângulos, basta considerar sen 90° = 1.

Aplicação da Lei dos Senos25

A Lei dos Senos é geralmente usada, quando são conhecidos 2 ângulos internos e a medida do cateto oposto a um desses ângulos.

Teorema ou Lei dos Cossenos26

A Lei dos Cossenos é geralmente usada, quando são conhecidas as medidas de dois lados e o ângulo formado por eles.

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Exemplo:

Área de um triângulo

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29Existem problemas em que se deseja calcular a área de um triângulo e não são conhecidas as medidas da base e altura. Nesses casos, a área pode ser calculada de duas maneiras diferentes:

1ª maneira: Área de um triângulo em função da medidas de dois lados e do ângulo compreendido entre eles.

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2ª maneira: Fórmula de Heron

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CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA

CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA: Arcos Simétricos

IIQ :180 °−α π−α

IIIQ :180°+ α π+α IV :360 °−α

2 π-α

IQ : α

90°= π2

180°= π

270°= 3π2

360°=2π

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Sinal COSSENO:

= 30°

= 45°

= 60°

90°

120° =135° =

150° =

210° =

225° =

240° =

270°

= 300°= 315°

= 330°

= 2π=360 °Cosseno

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Sinal TANGENTE:

= 30°

= 45°

= 60°

90°

120° =135° =

150° =

210° =

225° =

240° =

270°

= 300°= 315°

= 330°

= 2π=360 °

Tangente

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= 30°

= 45°

= 60°

90°

120° =135° =

150° =

210° =

225° =

240° =

270°

= 300°= 315°

= 330°

= 2π =360 °

Tangente

Seno

Cosseno

Sinal SENO:

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OUTRAS RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

Secante: o sinal da secante é o mesmo do cosseno sec x= 1cos x

Cossecante: o sinal da cossecante é o mesmo do seno

cossec x= 1sen x

Cotangente: o sinal da cotangente é o mesmo da tangente.

cot gx= cos xsen x

Para iniciar desenhando a circunferência clique em "círculo de raio fixo", como mostra a figura abaixo.

1) Nomear o circulo, dando 1 ao tamanho do RAIO2) Personalizar cor e estilo3) Usar botão direito e janela de edição para acertar informações do centro do círculo

Por uma questão de conveniência, o centro de nossa circunferência será a origem. Para determinar o centro como o ponto (0,0) basta alterar os valores de x e y para 0, na janela de edição desse ponto.

Para uma visualização com os eixos coordenados basta clicar na opção exibir grade ,no menu de comandos do software.

Localizaremos tambémos pontos (1,0), (0,1), (-1,0) e (0,-1). Para localizá-los, clique na opção ponto , no menu de comandos. Para editá-los, basta clicar com o botão direito do mouse e digitar a coordenada do ponto em "nome".

Caso o nome do ponto - ou de qualquer outro objeto - não esteja aparecendo, clique em exibir nomes dos objetos , na janela de edição do próprio objeto.

Veja figura a seguir:

Desenharemos agora retas que "passam em cima" dos eixos coordenados (essa construção será feita para auxiliar futuramente na construção do triângulo, onde estudaremos as funções seno e cosseno).

Assim, para construir essas retas basta clicar em reta . Clique no ponto (-1, 0) e logo após em (1, 0) para construir a reta r que "passa em cima" do eixo das abscissas - ou primeiro em (1, 0) e depois em (-1, 0).

Para construir a reta s, que "passa em cima" do eixo das ordenadas, basta selecionar a opção perpendicular . Clique então sobre a reta construída anteriormente e logo após clique no ponto (0, 1) - ou no ponto (0, -1). (Poderíamos também construir essa segunda reta da mesma maneira como construímos a primeira)

Obs: Para visualizar se as retas foram de fato construídas, selecione exibir grade duas vezes, para que os eixos coordenados sejam ocultos.

Veja figura a seguir:

Para a construção do triângulo, primeiro devemos construir um ponto P sobre a circunferência - escolheremos aqui um ponto localizado no primeiro quadrante.

Logo após, vamos construir uma reta que seja paralela à reta r e passe por P. Construiremos também uma reta que seja paralela à reta s passando por P. Para construir uma reta paralela à outra, clique em paralela .

Essa construção está representada abaixo:

Para a construção do triângulo, selecione a opção polígono . Clique na origem, no ponto P, na interseção das retas s e paralela-s e finalize o triângulo clicando novamente na origem.

Você pode editar o triângulo clicando com o botão direito do mouse sobre ele.

Você pode também determinar o ângulo compreendido entre P, a origem e o eixo das abscissas. Para tanto, basta, primeiramente, desenhar um ponto Q sobre o eixo x perto da origem. Clique em ângulo e selecione esses três vértices que irão compreender esse ângulo. Você pode editar também o ângulo, selecionando nele com o botão direito do mouse sobre ele. Para permitir uma visão do ângulo menos "poluída", você pode ocultar esse ponto Q, editando-o.

Você pode animar sua construção! Para isso, clique em animar um ponto . Em seguida, clique no ponto P, no círculo e novamente no ponto P.

Continuação....

I) Seno e Cosseno de um arco

1. Utilizando a opção mover ponto no menu de comandos, você pode mover o ponto P e observar o que ocorre com suas coordenadas.a) Mova o ponto P até que o ângulo formado seja de 45º (o ângulo é formado por P, origem e eixo das abscissas). Tente estimar o valor do seno deste ângulo, através das relações no triângulo retângulo (lembre-se de que o raio da circunferência mede 1). Tente estimar também o valor do cosseno de 45º.b) De modo semelhante, estime o valor do seno e do cosseno de 30º.

2. Quando consideramos uma circunferência de raio igual a 1, a que conclusão podemos chegar sobre as coordenadas do ponto P, ou seja, qual o significado da coordenada x do ponto P? Qual o significado da coordenada y desse ponto?

EXEMPLO DE APLICAÇÃO

3. Considere agora o primeiro quadrante (ângulos entre 0 e 90º) do círculo. Os valores para o seno de um arco (arco é o "pedacinho" da circunferência de extremos (1,0) e P, como se fosse a borda de uma fatia de pizza) nesse quadrante são positivos ou negativos? Quanto aos valores do cosseno, são positivos ou negativos?

4. Considere agora o segundo quadrante (ângulos entre 90º e 180º). Observe que os quadrantes do círculo trigonométrico são deteminados no sentido anti-horário. Os valores para o seno de um arco nesse quadrante são positivos ou negativos? Quanto aos valores do cosseno, são positivos ou negativos?

5. Considere agora o terceiro quadrante (ângulos entre 180º e 270º). Os valores para o seno de um arco nesse quadrante são positivos ou negativos? Quanto aos valores do cosseno, são positivos ou negativos?

EXEMPLO DE APLICAÇÃO...

6. Considere agora o quarto quadrante (ângulos entre 270º e 360º). Os valores para o seno de um arco nesse quadrante são positivos ou negativos? Quanto aos valores do cosseno, são positivos ou negativos?

7. Para determinar o sinal do seno de um arco, basta olharmos até que quadrante um arco está desenhado. O valor do seno de um arco é medido através de qual eixo coordenado? Em quais quadrantes o valor do seno será positivo? Onde ele será negativo? Por quê?

8. Para determinar o sinal do cosseno de um arco, basta olharmos até que quadrante um arco está desenhado. O valor do cosseno de um arco é medido através de qual eixo coordenado? Em quais quadrantes o valor do cosseno será positivo? Onde ele será negativo? Por quê?

EXEMPLO DE APLICAÇÃO...

9. Utilizando a construção feita no Régua e Compasso, determine o valor máximo do seno de um arco. Detemine também o valor mínimo. Com relação ao cosseno, qual seu valor máximo e mínimo?

10. Determine o seno e o cosseno dos seguintes ângulos:

a) 0º b) 90º c) 180º d) 270º e) 360º

11. Disponha em ordem crescente o seno e o cosseno dos seguintes ângulos: 20º, 170º, 260º, 300º.

12. Disponha em ordem crescente os seguintes números reais:

a) sen 50º, sen 100º, sen 200º, sen 300ºb) cos 50º, cos 100º, cos 200º, cos 300º

EXEMPLO DE APLICAÇÃO...

Podemos obter valores de senos e cossenos de arcos dos 2º, 3º e 4º quadrantes, usando os valores do 1º quadrante. Assim, observe as figuras abaixo e determine:

a) os ângulos que estão faltando (aqueles que possuem um ponto de interrogação)

b) o valor do seno e do cosseno dos quatro ângulos de cada figura

REDUÇÃO AO PRIMEIRO QUADRANTE

Este trabalho não foi montado com ideias exclusivamente minhas. Fiz diversas pesquisas na INTERNET buscando situações semelhantes àquelas que tinham relação com o meu planejamento original.

Este trabalho não é uma cópia, mas estão aqui presentes diversos elementos idênticos aos utilizados pelos seus criadores.

Uma vez disponível na REDE, o material encontrado está destinado ao aprendizado do conteúdo.

Numa eventual aula, com recursos digitais, não está descartada a hipótese de substituir este trabalho pelo acesso direto a alguns links citados nas referências.

JULIO CESAR FACINA NETTO

Considerações Finais

Referências

http://www2.mat.ufrgs.br/~mat01074/20072/grupos/quefren_queops/lista_rec.htm

http://www2.mat.ufrgs.br/~mat01074/20072/grupos/quefren_queops/tutorial_rec.htm

http://pt.wikipedia.org/wiki/Projeto_de_aprendizagem

http://programaamigodevalor.ning.com/?utm_source=google&utm_medium=cpc&utm_term=educacao&utm_campaign=amigo_valor

http://stg2.novoser.com.br/SER_PP'%20CDConvSim/000895/trigonometria4.swf

http://www.serprofessoruniversitario.pro.br/m%C3%B3dulos/metodologia-da-pesquisa/instrumentos-de-coleta-de-dados-em-pesquisas-educacionais#.UHm5N2-jatZ

http://www.google.com.br/url?sa=t&rct=j&q=&esrc=s&source=web&cd=1&ved=0CCEQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.pmerechim.rs.gov.br%2Fuploads%2Ffiles%2FRevis%25C3%25A3