Notas de aula - 4

Prof.Paulo Alessio Definies, exerccios e algumas figuras foram extrados do referencial bibliogrfico. Notas de aulas no comercializveis. Utilizadas para apoio s aulas. 2012/2

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PROBABILIDADE e ESTATSTICA (4 Parte)

12. Distribuies Discretas de Probabilidade (Varivel Aleatria Discreta). 12.1 Introduo.

Algumas variveis aleatrias adaptam-se muito bem a uma srie de problemas prticos e aparecem com bastante frequncia.

Muitas variveis aleatrias associadas a experimentos aleatrios tm propriedades similares e, portanto, podem ser descritas atravs de um modelo, ou seja, de uma mesma distribuio de probabilidade. Cada distribuio parte de pressuposies bem definidas. Um cuidado especial deve ser tomado ao escolher a distribuio de probabilidade que descreva corretamente as observaes que so geradas no experimento aleatrio.

12.2 Distribuio Uniforme. Seja X uma varivel cujos possveis valores so representados por x1, x2, x3, ..., xk Dizemos que

X segue o Modelo Uniforme se atribui a mesma probabilidade 1/k a cada um desses k valores, isto , sua distribuio de probabilidade dada por P(X = xi) = 1/k com i = 1, 2, 3, ... k. Exemplo. Uma rifa tem 100 bilhetes numerados de 1 a 100. Todos os nmeros tem a mesma probabilidade de ocorrncia, com probabilidade de 1/100 para cada um. A varivel aleatria em questo, o nmero sorteado, segue o Modelo Uniforme.

Exerccio. Usando as definies de mdia e de varincia mostrar que:

E(X) = = 2

1+k e

12122

=k

De fato:

12.3 Distribuio de Bernoulli. Experimentos que podem levar a apenas dois resultados so geralmente chamados de

Experimentos de Bernoulli (Jacques Bernoulli, 1654 1705, matemtico suo, foi o primeiro a descrever tais experimentos, no sculo XVII).

Alguns exemplos de experimentos de Bernoulli: a) lanar uma moeda e observar se ocorre cara ou no; b) lanar um dado e observar se ocorre quatro ou no;

c) numa linha de produo, observar se um item, tomado ao acaso, ou no defeituoso; d) verificar se um servidor de uma intranet est ou no ativo.

Seja um experimento de Bernoulli, s pode ocorrer um de dois resultados, ou sucesso ou fracasso, e associamos uma varivel aleatria X aos possveis resultados, de forma que:

X = 1 se o resultado for um sucesso, X = 0 se o resultado for um fracasso. A varivel aleatria assim definida tem Distribuio de Bernoulli. Sendo p a probabilidade de ocorrer um sucesso, a probabilidade de ocorrer um fracasso ser q

= 1 p e a funo probabilidade da Distribuio de Bernoulli ser:

p para x = 1

P(X = x) = ou ainda, qp xxxXP == 1.)( q = 1 p para x = 0

X 0 1 P(xi) q p


2 Exerccio. Usando as definies de mdia e de varincia mostrar que:

E(X) = = p e qp.2 = De fato:

Esta distribuio tem importncia como geradora de novas distribuies, conforme veremos a seguir. Exemplo.

Numa grande indstria txtil, 80% dos funcionrios so mulheres. Seja X a varivel aleatria que assume o valor 1 quando um funcionrio aleatoriamente escolhido uma mulher e 0 quando o funcionrio um homem. Uma vez que considerado sucesso quando o funcionrio aleatoriamente escolhido uma mulher, e 80% dos funcionrios so mulheres, temos que: p = 0,8 e q = 0,2

16,02,08,08,0)( 2 ==== xeXE Observao: A probabilidade de sucesso, p, uma proporo populacional, ou seja, uma proporo de sucessos obtida ao longo do tempo. No exemplo anterior, a proporo da populao (composta por todos os funcionrios da indstria) 0,8. Se uma amostra de 100 funcionrios fosse tomada ao acaso e destes, 65 fossem mulheres, ento 0,65 seria a proporo de mulheres nesta amostra de 100 elementos. Quanto maior a amostra, mais prxima a proporo amostral estar da proporo populacional. Exerccio. Uma urna tem 30 bolas brancas e 20 verdes. Retira-se uma bola dessa urna. Seja X o nmero de bolas verdes retiradas, calcular E(X) e V(X).

R. E(X) = 2/5 e V(X) = 6/25 12.4 Distribuio Binomial.

Trata-se de uma distribuio de probabilidade adequada aos Experimentos de Bernoulli. Seja um experimento dentro das seguintes condies:

So realizadas n provas independentes; Cada prova admite dois resultados possveis, um chamado sucesso e o outro fracasso; As probabilidades p, de sucesso, e q = 1 p, de fracasso, permanecem constantes em todas

as provas; Associando uma varivel aleatria X igual ao nmero de sucessos nessas n provas, X poder

assumir os valores 0, 1, 2, 3, ..., n. So muitas as variveis aleatrias que possuem tais caractersticas. A mais familiar,

provavelmente, o lanamento de uma moeda n vezes, por exemplo: n = 20. Cada prova, ou experimento, admite apenas dois resultados: cara ou coroa sem prejuzo para o clculo, pode-se admitir que sucesso, por exemplo dar coroa, enquanto o fracasso verificado quando o resultado for cara.

Outros exemplos de experimentos binomiais: Respostas de um teste como diversas questes do tipo V ou F; Escolha entre um produto bom ou defeituoso; Sexo das crianas nascidas em determinada maternidade; Atirar em um alvo, atingindo-o ou no; Fumantes ou no fumantes em um grupo de adultos; Alunos de uma escola vacinados ou no vacinados.

Frmula do clculo da probabilidade de certo nmero de x sucessos em n provas dada por: qpC

xnxx

nxXP

== ..)( onde: X = Varivel Aleatria (V.A.) p = probabilidade de sucesso q = probabilidade de fracasso, q = 1 p n = nmero de provas ou repeties do experimento x = nmero de sucessos n x = nmero de fracassos.


3 Usaremos a notao X ~ b(n,p) para identificar que a v. a. X segue o modelo Binomial com

parmetros n e p. De fato:

Observao. A expresso obtida para P(X = x) a expresso do termo geral do desenvolvimento do binmio

de Newton ( ) qpCqpCqpCpq nnnnnnnnonn +++=+ ...11100 da o nome Distribuio Binomial. 12.4.1 Medidas Caractersticas.

Mdia, Esperana Matemtica (Valor Esperado). [ ] pnXEx

.== Varincia. [ ] qpnXVar

x..

2)( ==

Desvio padro. qpnx

..= A repetio de ensaios de Bernoulli independentes d origem ao modelo Binomial. Assim, os

clculos da mdia e varincia de uma distribuio Binomial podem ser obtidos encarando a varivel binomial X como uma soma de n variveis independentes tipo Bernoulli. De fato:

Exerccios. 1) Admite-se que uma vlvula eletrnica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0,3 de funcionar mais de 600 h. Se ensaiarmos 10 vlvulas, qual ser a probabilidade de que, entre elas:

a) exatamente uma funcione mais de 600 h?

b) exatamente 3 funcionem mais de 600 h?

c) Determine a mdia (esperana matemtica), a varincia e o desvio padro.

2) Um veterinrio est estudando o ndice de natalidade em porcos sujeitos inseminao artificial. Para tal, coletou informaes sobre a varivel nmero de nascidos vivos em cada uma das 100 inseminaes realizadas com o mesmo reprodutor. A tabela a seguir apresenta os dados. (MAGALHES, 2008 p. 74) N nascidos vivos 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Frequncia observada 1 6 7 23 26 21 12 3 1 O veterinrio informa que 11 ou mais filhotes nascidos vivos uma ocorrncia muito rara e pode ser desprezada para efeito de modelagem matemtica. Ele sugere considerar a varivel nmero de filhotes nascidos vivos, representada pelo modelo Binomial com parmetros n = 10 e p = 0,5. O que voc acha da sugesto do veterinrio? Obs. Mesmo no tendo havido nenhuma observao do valor 0 ou 10, o veterinrio sugeriu o modelo e uma varivel que contm esses valores, pois apesar de no serem comuns eles podem aparecer.

3) Numa fbrica, 3% dos artigos produzidos so defeituosos. O fabricante pretende vender 4.000 peas e recebeu 2 propostas:

Proposta 1: o comprador A prope examinar uma amostra de 80 peas. Se houver 3 ou menos defeituosas, ele paga 60 unidades monetrias (u.m.) por pea; caso contrrio, ele paga 30 u.m. por pea.

Proposta 2: o comprador B prope examinar 40 peas. Se todas forem perfeitas, ele est disposto a pagar 65 u.m. por pea; caso contrrio, ele paga 20 u.m. por pea. Qual a melhor proposta?


4 Soluo com o uso do Excel. Soluo do exerccio 1 - item a

Soluo com o uso do programa R. Comando: dbinom(x, N, p) determina a probabilidade para o valor x Comando: pbinom(x, N, p) determina a probabilidade acumulada at o valor x Comando: sum(dbinom(0:x, N, p)) determina a probabilidade acumulada at o valor x

Seja X uma v.a. com distribuio Binomial com N = 10 e p = 0,35. Calcule: a) P(X = 7)

b) P(X < 8) = P(X 7)

ou Soluo com o programa Sisvar.


5 12.5 Distribuio Geomtrica.

Seja o experimento que consiste em se repetir uma prova de Bernoulli tantas vezes quantas forem necessrias at se obter o primeiro sucesso. Se forem provas independentes e de mesma probabilidade de sucesso p, ento o nmero de tentativas necessrias X ter Distribuio Geomtrica, sendo sua distribuio dada por:

q xpxXPxP 1.)()( === x = 1, 2, 3, ... A varivel aleatria X representa o nmero de realizaes necessrias at conseguir o primeiro sucesso. Usaremos a notao X ~ G(p). De fato:

Exerccio. Mostrar que: 1)(1

=

=iixp

12.5.1 Medidas Caractersticas.

Mdia, Esperana Matemtica (Valor Esperado). [ ]p

XEx

1==

Varincia. [ ]pq

XVarx 2

2)( ==

Desvio padro. pq

x=

De fato: Propriedade.

A distribuio geomtrica tem a propriedade de no ter memria, isto , a probabilidade de que o nmero de provas at o 1 sucesso seja s+t, sabendo-se que as s primeiras provas foram fracassos, igual a probabilidade de o nmero de provas at o 1 sucesso ser igual s t provas restantes, ou seja: P(X = s + t / X > s) = P(X = t) F F F ... F F F ... F S

s t

s+t De fato.

Exerccio. O custo de lanamento de um foguete de $ 1.000.000,00. Se o lanamento falhar ocorrer

um custo extra de $ 500.000,00 em virtude de consertos na plataforma de lanamento. A probabilidade de um lanamento ser bem sucedido de 0,3. Os lanamentos so efetuados at que haja um bem sucedido. a) Qual a probabilidade de serem lanados mais de 3 foguetes? b) Sabendo-se que at o segundo lanamento ainda no houve sucesso, qual a probabilidade de se conseguir sucesso no quarto lanamento? c) Qual o custo esperado do projeto?

Soluo com o uso do programa R. Comando: dgeom((x 1), p) a v.a. X representa o nmero de realizaes necessrias at conseguir o primeiro sucesso. No exerccio anterior. Qual a probabilidade de serem lanados mais de 3 foguetes? P(X> 3) = 1 P(X 3) = 1 P(X = 1) P(X =2) P(X =3)

Comando: sum(dgeom((x1 1): (xn 1) , p)) retorna ao valor da distribuio acumulada de probabilidade para v.a. X variando, inclusive, de x1 at xn.


6 Para o caso acima: P(X = 1) + P(X =2) + P(X =3)

12.6 Distribuio de Pascal. Nas condies em que foi definida a distribuio geomtrica, se considerarmos X o nmero de

tentativas at se obter o r-simo sucesso, teremos uma distribuio de Pascal. Em outras palavras a distribuio consiste em repetir um experimento de Bernoulli, independentemente, at conseguir r sucessos. A varivel aleatria X que representa o nmero de realizaes necessrias para isso, tem funo de probabilidade dada por:

qpCrxrr

xxXPxP

=== ..)()( 11 , x = r, r+1, r+2, ... onde p a probabilidade de sucesso em cada realizao do experimento, q = (1 p) e r o nmero de sucessos.

De fato


Mdia, Esperana Matemtica (Valor Esperado). [ ]prXE

x==

Varincia. [ ]p

qrXVar

x 22

)(.

==

Desvio padro. p

qrx

.

= De fato:

Exerccio. Num processo de fabricao 20% dos objetos produzidos so defeituosos. Qual a

probabilidade de precisarmos retirar somente 10 objetos para ter 5 defeituosos? Em outras palavras, qual a probabilidade do 5 objeto defeituoso aparecer na 10 retirada?

12.7 Distribuio Hipergeomtrica. Consideremos um conjunto de N elementos, r dos quais tm uma determinada caracterstica )( Nr . Sero extrados n elementos )( Nn sem reposio. A distribuio de probabilidade da v.

a. X , igual ao nmero de elementos com a referida caracterstica que estaro entre os n retirados dita hipergeomtrica.

A funo de probabilidade calculada por:

CCC

n

N

xn

rN

x

rxXPxP

===

.)()( x = 0, 1, 2, ... (r ou n).

De fato:


Mdia, Esperana Matemtica (Valor Esperado). [ ] pnXEx

.== Varincia. [ ]

1..

2)(

==

NnNqpnXV

x onde p = r/N

Desvio padro. 1

...)(

==

NnNqpnXV

x Exerccio.

Uma caixa contm 12 lmpadas das quais 5 esto queimadas. So escolhidas 6 lmpadas ao acaso para iluminao de uma sala. Qual a probabilidade de que:


7 a) exatamente 2 estejam queimadas? b) pelo menos uma esteja boa?

Soluo com o uso do Excel.

Soluo com o uso do programa R. Comando: dhyper(x, r, (N r), n) determina a probabilidade para o valor x Comando: phyper(x, r, (N r), n) determina a probabilidade acumulada at o valor x

12.8 Distribuio Multinomial ou Polinomial. Uma generalizao da Distribuio de Probabilidade Binomial resulta a Distribuio de

Probabilidade Multinomial (Polinomial). Assim, considere a possibilidade de k alternativas, isto , repartirmos o Espao Amostral em k eventos A1, A2, ... , Ak, mutuamente exclusivos (disjuntos), com probabilidades p1, p2, ... , pk, tais que p1 + p2 + ... + pk = 1. Ento n provas, a probabilidade de que A1 ocorra X1 vezes, A2 ocorra X2 vezes, ... Ak ocorra Xk vezes igual a:

pppxxx

xXxXxX kxxxnP k

kkk ...2.1.!...!.!

!),...,,( 2121

2211 ====

Exerccio. Uma fbrica tem sua produo composta de 30% da mquina A, 20% da mquina B, e 50% da mquina C. Retirando-se 9 peas da produo qual a probabilidade de serem 4 da mquina A, 2 da mquina B e 3 da mquina C?

12.9 Distribuio de Poisson. Na distribuio binomial a varivel aleatria o nmero de sucessos em n provas

independentes do experimento. Vamos agora analisar uma varivel aleatria X que denota o nmero de sucessos num intervalo contnuo, que pode ser um intervalo de tempo, comprimento, superfcie, etc. Por exemplo, o nmero de falhas de um determinado sistema num intervalo de 4 horas, o nmero de defeitos por metro quadrado de uma chapa de ao, o nmero de avies que chegam a um aeroporto por dia, etc. A varivel aleatria definida com essas caractersticas tem distribuio de Poisson.

Um experimento de Poisson possui as seguintes caractersticas: O nmero de sucessos que ocorrem num intervalo ou uma regio especificada independente daqueles que ocorrem em qualquer outro intervalo de tempo ou regio. A probabilidade de ocorrncia de um nico sucesso durante um intervalo ou numa regio proporcional ao comprimento do intervalo ou regio e no depende do nmero de sucessos que ocorrem fora deste intervalo ou regio.


8 A distribuio de Poisson representa um modelo probabilstico adequado para o estudo de um

grande nmero de fenmenos observveis. Eis alguns exemplos: Chamadas telefnicas por unidade de tempo; Defeitos por unidade de rea; Acidentes por unidade de tempo; Chegada de clientes a um supermercado por unidade de tempo; Nmero de glbulos sanguneos visveis ao microscpio por unidade de rea; Nmero de partculas emitidas por uma fonte de material radioativo por unidade de tempo.

Seja X uma varivel aleatria igual ao nmero de ocorrncias (sucessos) quando se realizam (ou se observam) resultados de fenmenos semelhantes aos dos exemplos anteriores, X poder assumir os valores: 0, 1, 2, ...

Ao aplicar o modelo de Poisson, o interesse poder ser, por exemplo, calcular a probabilidade de receber cinco chamadas telefnicas, em trs minutos, em dado aparelho: P(X = 5).

A funo de probabilidade de uma varivel aleatria X de Poisson :

P(x) = P( X = x) = !

.

.

x

ex

, x = 0, 1, 2, ...

Onde: = parmetro da distribuio, o nmero mdio de sucessos que ocorrem num determinado intervalo ou regio taxa de ocorrncia. e = base dos logaritmos naturais (2,71828...) x = nmero de ocorrncias (sucessos).

12.9.1 Medidas Caractersticas. Mdia, Esperana Matemtica (Valor Esperado). [ ] == XE

x

Varincia. [ ] == XVx2 )( Desvio padro. == )( XVx

12.9.2 Aproximao das Distribuies de Probabilidades Binomiais com as Probabilidades da Distribuio de Poisson.

Na aplicao do modelo de distribuio binomial, quando n for grande (n > 50), e n.p < 5, possvel obter as probabilidades binomiais por meio do modelo de Poisson.

Exerccios.

1-) Se um banco espera receber, em mdia, 3 cheques sem fundo por dia, qual a probabilidade de, num dia qualquer, receber: a) 4 cheques sem fundo; b) No mximo 2 cheques sem fundo; c) Cinco cheques sem fundo em dois dias consecutivos.

2-) Experincias passadas indicam que, em mdia, h duas chamadas por hora em certo telefone. Vamos calcular as probabilidades de, em uma hora, o telefone receber: a) nenhuma chamada, b) uma chamada e c) cinco chamadas.


9 Soluo com o uso do Excel. Soluo do item a do exerccio 2.

Soluo com o uso do programa R. Comando: dpois(x, ) determina a probabilidade para x ocorrncias. Comando: ppois(x, ) determina a probabilidade acumulada de 0 a x ocorrncias. Soluo Exerccio 1 item (a)

Soluo Exerccio 1 item (b)

Soluo com o uso do programa Sisvar.

3) O pessoal de inspeo de qualidade afirma que os rolos de fita isolante apresentam, em mdia, uma emenda a cada 50 metros. Admitindo-se que a distribuio do nmero de emendas dada por Poisson, vamos calcular as probabilidades: a) de nenhuma emenda em um rolo de 125 metros. b) a probabilidade de ocorrerem no mximo duas emendas em um rolo de 125 metros: c) a probabilidade de ocorrer pelo menos uma emenda em um rolo de 100 metros.


10 Exerccios. 1) Uma moeda jogada 10 vezes. Calcule as seguintes probabilidades: a) de ocorrer seis caras; R. 0,2051 b) de dar pelo menos duas caras; R. 0,9893 c) de no dar nenhuma coroa; R. 0,00098 d) de dar pelo menos uma coroa; R. 0,9990 e) de no dar 5 caras e 5 coroas. R. 0,7539

2) Pequenos motores so guardados em caixas de 50 unidades. Um inspetor de qualidade examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 5 motores. Se nenhum motor for defeituoso, a caixa aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os 50 motores so testados. H 6 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja necessrio examinar todos os motores dessa caixa? R. 0,4874 3) Em 320 famlias com quatro crianas cada uma, quantas se esperaria que tivessem: a) nenhuma menina? R. 20 b) trs meninos? R. 80 c) quatro meninos? R. 20

4) Um dado lanado 10 vezes. Qual a probabilidade de terem aparecido duas vezes o nmero 2, duas vezes o nmero 5, trs vezes o nmero 1 e uma vez os demais resultados? R. 0,0025 5) Se 5% das lmpadas de determinada marca so defeituosas, ache a probabilidade de que, numa amostra de 100 lmpadas, escolhidas ao acaso, tenhamos: a) nenhuma defeituosa; R. 0,95100 b) trs defeituosas; R. 3 973100. .0,05 0,95C c) mais do que uma boa. R. 1 0,05100 95. 0,0599

6) As lmpadas coloridas produzidas por uma fbrica so 60% verdes, 30% azuis e 10% amarelas. Em 5 lmpadas, encontre a probabilidade de que duas sejam verdes, uma azul e duas amarelas. R. 0,0324 7) A mdia de chamadas telefnicas em uma hora trs. Qual a probabilidade de: a) receber exatamente trs chamadas numa hora? R. 0,2240 b) receber quatro ou mais chamadas em 90 minutos? R. 0,6577

8) Num determinado processo de fabricao 10% das peas so consideradas defeituosas. As peas so acondicionadas em caixas com 5 unidades cada uma. a) Qual a probabilidade de haver exatamente 3 peas defeituosas numa caixa? R. 0,0081 b) Qual a probabilidade de haver duas ou mais peas defeituosas numa caixa? R. 0,0815

9) Revisadas as provas de um livro, verificou-se que h, em mdia, 2 erros em cada 5 pginas. Em um livro de 100 pginas, estimar quantas no precisam ser modificadas por no apresentarem erros. R. 67 10) Um fabricante de peas de automveis garante que uma caixa de suas peas conter, no mximo, 2 defeituosas. Se a caixa contm 18 peas, e a experincia tem demonstrado que esse processo de fabricao produz 5% das peas defeituosas, qual a probabilidade de que uma caixa satisfaa a garantia? R. 0,942

11) Numa pintura de paredes, aparecem defeitos em mdia na proporo de um defeito por metro quadrado. Qual a probabilidade de aparecerem trs defeitos numa parede de 2 x 2 metros? R. 0,1954

12) Qual a probabilidade de um apostador acertar uma quadra na Mega Sena com uma aposta de 6 dezenas? R. 0,00043

13) Uma mquina produz tela de arame em rolos de 1 m de largura. Cada 10 m corridos de tela apresentam, em mdia, 5 defeitos, situados ao acaso em qualquer ponto da tela. Pensa-se reformar


11 essa mquina para permitir que ela produza tela de 1,20 m de largura. Admitindo-se que essa reforma no modifique a taxa de incidncia dos defeitos por rea unitria da tela, qual a probabilidade de uma amostra de 7,5 m de comprimento da nova produo apresentar 9 defeitos? R. 0,0232 14) Qual a probabilidade de obter ao menos uma vez o ponto 3 em n jogadas de um dado? R. 1 (5/6)n 15) Uma loja atende em mdia dois clientes por hora. Calcule a probabilidade de em uma hora: a) atender exatamente dois clientes. R. 0,2707 b) atender trs clientes. R. 0,1804

16) Jogue um dado oito vezes. Calcule a probabilidade de aparecer dois nmeros 2; dois nmeros 5 e os demais nmeros, uma vez. R. 0,006 ou 35/5832 17) Sabendo-se que a USAir detm 20% dos vos domsticos nos EUA. Supondo que os acidentes areos sejam eventos independentes e aleatrios, e admitindo ainda que a USAir seja to segura quanto as outras companhias de aviao. Determine a probabilidade de que em sete acidentes areos, quatro ocorram com avies da USAir. R. 0,02867 18) Uma caixa contm 5 bolas vermelhas, 3 brancas e 2 azuis. Uma amostra com seis bolas retirada com reposio, isto , cada bola recolocada antes da seguinte ser retirada. Encontre a probabilidade de: a) 3 serem vermelhas, 2 brancas e 1 azul. R. 0,135 b) 2 vermelhas, 3 brancas e 1 azul. R. 0,0810 c) 2 de cada cor aparecerem. R. 0,0810 19) Uma moeda equilibrada lanada sucessivamente, de modo independente, at que ocorra a primeira cara. Seja X a varivel aleatria que conta o nmero de lanamentos at a ocorrncia da cara. Determine: a) P(X 3 ) R. 0,875 b) P(X > 2 ) R. 0,25 20) Uma fbrica de pneus verificou que, ao testar seus pneus nas pistas, havia em mdia um estouro de pneu a cada 5.000 km. a) qual a probabilidade de que num teste de 3.000 km haja no mximo um pneu estourado? R. 0,878 b) qual a probabilidade de que um carro ande 8.000 km sem estourar nenhum pneu? R. 0,2019 21) Num lote de 100 peas produzidas numa fbrica, 10 so defeituosas. Escolhendo-se 5 peas, pede-se:

a) a probabilidade de no se obter peas defeituosas; R. 0,584 b) a probabilidade de se obter pelo menos uma defeituosa. R. 0,416

22) Um dado viciado de modo que a face 6 aparece 0,3 das vezes, a face oposta, 1, aparece 0,1 das vezes e cada uma das outras faces aparece 0,15 das vezes. O dado lanado 6 vezes. Encontre a probabilidade de: a) cada face aparecer uma vez. R. 0,0109 b) as faces 4, 5 e 6 duas vezes. R. 0,0041 23) Certo posto de bombeiros recebe em mdia trs chamadas por dia. Calcular a probabilidade de: a) receber quatro chamadas em um dia. R. 0,168 b) receber trs ou mais chamadas num dia. R. 0,5768 24) Nos sinais de um transmissor ocorrem distores aleatrias a uma taxa mdia de 1 por minuto. Qual a probabilidade de o nmero de distores em uma mensagem de 3 minutos ser 3 ou mais? R. 0,5768 25) Uma firma compra lmpadas por centenas. Examina sempre uma amostra de 15 lmpadas para verificar se esto boas. Se uma centena inclui 12 lmpadas queimadas, qual a probabilidade de se escolher uma amostra com pelo menos uma lmpada queimada? R. 87,47% 26) Em um canal de comunicao digital, a probabilidade de se receber um bit com erro de 0,0002. Se 10.000 bits forem transmitidos por esse canal, qual a probabilidade de que mais de quatro bits sejam recebidos com erro? R. 0,0527


12 27) Numa sala de aula com 10 alunos, 3 tm olhos azuis. Se duas alunas so sorteadas aleatoriamente, qual a probabilidade de:

a) ambas terem olhos azuis; R. 1/15 b) nenhuma ter olhos azuis; R. 7/15 c) pelo menos uma ter olhos azuis. R. 8/15

28) Suponha que X tenha distribuio binomial com n = 100 e p = 0,02. Use a aproximao de Poisson para encontrar P(X = 5). R. 0,0361 29) O sangue humano foi classificado em quatro tipos: A, O, B e AB. Numa certa populao, as probabilidades destes tipos so respectivamente: 0,40; 0,45; 0,10; e 0,05. Qual a probabilidade de que em cinco indivduos escolhidos ao acaso haja: a) dois do tipo A e um de cada um dos outros? R. 0,0216 b) trs do tipo A e dois do tipo O? R. 0,1296 30) Uma caixa contm 12 lmpadas das quais 5 esto queimadas. So escolhidas 6 lmpadas ao acaso para a iluminao de uma sala. Qual a probabilidade de que:

a) exatamente duas estejam queimadas? R. 0,3787 b) pelo menos uma esteja boa ? R. 1

31) Placas de vdeo so expedidas em lotes de 30 unidades. Antes que a remessa seja aprovada, um inspetor escolhe aleatoriamente cinco placas do lote e as inspeciona. Se nenhuma das placas inspecionadas for defeituosa, o lote aprovado. Se uma ou mais forem defeituosas, todo o lote inspecionado. Supondo que haja trs placas defeituosas no lote, qual a probabilidade de que o controle de qualidade aponte para a inspeo total? R. 0,4335 32) Suponha 400 erros de impresso distribudos aleatoriamente em um livro de 500 pginas. Encontre a probabilidade de que dada pgina contenha: a) nenhum erro. R. 0,4493 b) exatamente dois erros. R. 0,1438 33) Um usurio de transporte coletivo chega pontualmente s 8 horas para pegar o seu nibus. Devido ao trnsito catico, a demora pode ser qualquer tempo entre 1 e 20 minutos (admita que o relgio pule de minuto em minuto). Pergunta-se: a) Qual a probabilidade de demorar mais de 10 minutos? R. 0,5 b) Qual a probabilidade de demorar pelo menos 5 minutos mas no mais que 10 minutos? R. 0,3 c) Qual a probabilidade da demora no chegar a 5 minutos? R. 0,2 d) Se um amigo chegou 10 minutos atrasado e vai pegar o mesmo nibus (que ainda no passou), qual a probabilidade do amigo esperar at 3 minutos? R. 0,3 (MAGALHES, 2008, P. 76, Exerccio 3) 34) Sendo X uma varivel seguindo o modelo Binomial com parmetros n=15 e p = 0,4; pergunta-se: a) P(X 14) R. 0,0025% b) P(8 < X 10) R. 8,57% c) P(X < 2 ou X 11) R.1,45% d) P(X 11 ou X > 13) R. 0,93% e) P(X > 3 e X < 6) R. 31,27% f) P(X 13 / X 11) R. 99,73% (MAGALHES, 2008, p. 77, Exerccio 5) 35) Calcule a funo de distribuio (funo acumulada de probabilidade) da varivel X nos casos: a) X Bernoulli com p = 0,6 b) X ~ b(4; 0,20) (MAGALHES, 2008, P. 77, Exerccio 7) 36) Sendo X ~ G(0,4), calcule: a) P(X = 4) R. 8,64% b) P(3 X < 5) R. 23,04% c) P(x > 2/ X 3) R. 18,37% d) P(X 2) R. 60% e) P(4 < X 6) R. 4,7% Exerccio equivalente a (MAGALHES, 2008, P. 83, Exerccio 1). 37) Considere uma varivel aleatria X assumindo os valores 0, 1, 2, ..., 5 e tal que P(X = j) = k x 0,8 x 0,2j , j = 0, 1, 2, ..., 5. a) Para qual valor de k a expresso acima uma funo de probabilidade? R. aprox. 1


13 b) Calcule P(X = 3/ X < 5). R. 0,0064 38) Qual a probabilidade de um apostador acertar uma quina ao jogar um carto com 10 dezenas na Mega Sena? R. 0,025% 39) Um profissional sai a procura de emprego sabendo que em sua rea ele tem probabilidade 0,30 de ser aceito em uma vaga.Seja X a varivel aleatria igual ao nmero de empregos a que ele se candidata, at ser aceito. Qual a distribuio de probabilidade da varivel aleatria X, escreva sua funo de probabilidade e sua mdia. R. P(x) = 0,3.0,7x 1 E(x) = 3,33 40) Um avicultor recebe 3 propostas para a compra da sua produo de ovos. Proposta A: so examinados 15 ovos, se existir no mximo um de baixa qualidade, paga-se 150 por unidade, caso contrrio 80 por unidade. Proposta B: so examinados 20 ovos, se existir 3 ou menos de baixa qualidade, paga-se 120 por unidade, caso contrrio 60 por unidade. Proposta C: so examinados 18 ovos e paga-se 200 por unidade se no houver nenhum de baixa qualidade, caso contrrio 90 por unidade. Qual a melhor proposta para o avicultor se a porcentagem de baixa qualidade de 10%? R. Prop. A 118,43 Prop. B 112,02 Prop. C 106,50 Melhor proposta A. 41) A probabilidade de se encontrar aberto o sinal de trnsito numa esquina 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessrio passar pelo local 5 vezes para encontrar o sinal aberto pela primeira vez? R. 0,0819 42) Qual a probabilidade de que um dado deva ser lanado 15 vezes para que na 15 vez ocorra a face 6 pela primeira vez? R. 0,01298 43) A probabilidade de que um sinal de trnsito esteja aberto numa esquina 0,20. Qual a probabilidade de que seja necessrio passar pelo local 10 vezes para encontr-lo aberto pela 4 vez? R. 0,0352 44) Uma firma classifica suas contas a receber em trs tipos A, B e C.Tem-se informao de que 50% das contas a receber so do tipo A, 20% so do tipo B e 30% do tipo C. Para fins de avaliao, toma-se uma amostra ao acaso de 5 dessas contas. Suponha que o processo amostral no altere as propores existentes de contas dos tipos A, B e C de modo significante. Determine a probabilidade de que na amostra de 5, 2 (duas) das contas so do tipo A, 1 (uma) do tipo B e 2 (duas) do tipo C. R. 0,135 (Prova para Analista Tcnico Susep/2001) 45) Do Livro Noes de Probabilidade e Estatstica (MAGALHES, 2008) pg. 84 Exerccios 3, 4, 5 e 6 e da Seo 3.4 1, 2 e 3. Excel nas Distribuies de Probabilidade informaes complementares.

Determinao da Distribuio Binomial no Excel.

1) Abrir a planilha Excel: 2) Na barra de ferramentas do Excel abrir Colar Funo ; 3) Selecione a categoria Estatstica e a funo DISTRBINOM:

4) Em CUMULATIVO (ao escrever VERDADEIRO, apresenta a probabilidade acumulada at aquele valor). Ao escrever FALSO a funo apresenta a probabilidade no ponto.

Determinao da Distribuio Poisson no Excel. Seguir os mesmos procedimentos anteriores. Em Nome da Funo selecionar POISSON.

Determinao da Distribuio Hipergeomtrica no Excel. Seguir os mesmos procedimentos anteriores. Em Nome da Funo selecionar DIST. HIPERGEOM.

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Notas de aula - 4