Zopakujte si základní informace ke zkoušce:

n Test obsahuje 30 úloh a na jeho řešení máte 90 minut čistého času.

n V průběhu testu můžete používat přiložené vzorce, prázdný sloupec je určen na vaše poznámky.

n U každé úlohy je jen jedna správná odpověď.

n Za každou správnou odpověď získáte bod, za špatnou 1/4 bodu ztrácíte.

n Nejlepší je řešit nejdříve snadné úlohy a k náročnějším se vrátit.

n Nebuďte nervózní z toho, že nevyřešíte všechno, to se povede málokomu

MatematikaNÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY

T��� � ÚNORA 2018

D���� ������ �������: 2. února 2018 P���� �������� �����: 962P���� ����: 30

P������� �����������: 23,4 %

S������ �������� ���� �������� �����

M��. ����� �����: 30 M��. �������� �����: 30 M��. ����� �����: -7,5 M��. �������� �����: -1,8 P������� �����: 14,5

PŘEHLED VZORCŮ

© Scio® 2018 Matematika

Kvadratická rovnice: 2 0ax bx c ; 2

1,2

4

2

b b acx

a

; x1 + x2 =

b

a ;

1 2

cx x

a ; 0a

Goniometrické funkce:

2 2sin cos 1x x

tg cotg 1,2

x x x k

sin 2 2 sin cosx x x ; 2 2cos2 cos sinx x x

xx cos2

πsin

;

πcos sin

2x x

cos

tg cotg ,2 sin

xx x x k

x

π sin π

cotg tg , 2 12 cos 2

xx x x k

x

sin sin cos cos sinx y x y x y

cos cos cos sin sin x y x y x y

2

cos1

2sin

xx ;

2

cos1

2cos

xx

x 0 6

π

4

π

3

π

2

π

sin x 0 1

2

1

22

1

23 1

cos x 1 1

23

1

22

1

2 0

Trigonometrie: sinová věta:

sin

sin

b

a;

sin

sin

c

b;

sin

sin

a

c

kosinová věta: 2 2 2 2 cosa b c b c ; 2 2 2 2 cosb a c a c ; 2 2 2 2 cosc a b a b

Logaritmus: log log logz z zx y x y ; log log logz z z

xx y

y ; log logk

z zx k x ; log y

z x y x z

Aritmetická posloupnost: 1 1na a n d ; 12

n n

ns a a

Geometrická posloupnost: 1

1

n

na a q ; 1

1, 1

1

n

n

qs a q

q

Geometrická řada: 1

1, 1

1s a q

q

Kombinatorika: ( ) !P n n ;

V k nn

n k( , )

!

!

;

!,

! !

n nC k n

k k n k

;

1; =

1 1

n n n n n

k n k k k k

1 2

1 2

1 2

( ... )!’( , , ..., )

! !... !

k

k

k

n n nP n n n

n n n

; ’ , kV k n n ;

1 1’ ,

1

n k n kC k n

k n

Binomická věta: 1 2 2 1....1 2 1

n n n n n nn n n

a b a a b a b a b bn

Analytická geometrie: velikost vektoru: 1 2( ; )u u u je: 2 2

1 2u u

Kosinus odchylky přímek 1 1 1 1: 0p a x b y c a

2 2 2 2: 0p a x b y c je 1 2 1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

cosa a b b

a b a b

Vzdálenost bodu M[m1;m2] od přímky p: ax + by + c = 0 je 1 2

2 2

a m b m cMp

a b

Středový tvar rovnice kružnice: 2 2 2x m y n r ; elipsy:

2 2

2 21

x m y n

a b

; e

2 = a

2 – b

2

Středový tvar rovnice hyperboly:

2 2

2 21

x m y n

a b

;

1

2

2

2

2

b

ny

a

mx; e

2 = a

2 + b

2

Vrcholová rovnice paraboly: 2

2 , ;2

py n p x m F m n

;

22 , ;

2

px m p y n F m n

Objemy a povrchy těles:

Kvádr Válec Jehlan Kužel Koule

Objem a b c 2r v 1

3S v

21π

3r v

34π

3r

Povrch 2(ab+ac+bc) 2π r r v S+Q π r r s 24π r

Matematika

© Scio 2018 3

1.

Kladné číslo C je dělitelné třemi a číslo D je kladné celé. Je

ciferný součet součinu C·D dělitelný třemi?

(A) nelze obecně rozhodnout

(B) ano, vždy

(C) jen pokud je i číslo D dělitelné třemi

(D) ne, nikdy

(E) jen pokud je číslo D sudé

2.

Které z následujících čísel je prvkem intervalu

14

10 ; π;3

?

(A) 1

(B) 2

(C) 3

(D) 4

(E) 5

3.

Kterou z následujících číslic lze doplnit na místo hvězdičky do

čísla 278* tak, aby vzniklé přirozené číslo bylo prvočíslem?

(A) 1

(B) 4

(C) 5

(D) 7

(E) 9

4.

Proběhnou dva procesy: Při prvním procesu se nejprve původní

cena zboží c sníží o p %, p ≤ 100. Částku, o niž se původní

cena takto sníží, označme a. Při druhém procesu se původní

cena zboží c zvýší o p %. Částku, o niž se původní cena takto

zvýší, označme b. Platí:

(A) a < b

(B) a = b

(C) a > b

(D) Vztah mezi a a b závisí na původní ceně zboží c.

(E) Vztah mezi a a b závisí na počtu procent p.

5.

Číslo π 1 2 π se rovná číslu:

(A) 2π 1

(B) 3

(C) 1

(D) 1

(E) 2π 3

Matematika

© Scio 2018 4

6.

Negací výroku „Tato souprava metra může přepravit nejvýše

242 sedících osob.“ je výrok:

(A) Tato souprava metra může přepravit nejvýše 241 sedících osob.

(B) Tato souprava metra může přepravit nejvýše 243 sedících osob.

(C) Tato souprava metra může přepravit alespoň 241 sedících osob.

(D) Tato souprava metra může přepravit alespoň 242 sedících osob.

(E) Tato souprava metra může přepravit alespoň 243 sedících

osob.

7.

Výraz 2 2 3

4 1 2

2 2 2

2 2

x x x

x

je pro 1x roven:

(A) 1

(B) 12

(C) 2

(D) 22

(E) 32

8.

Číslo

2

300

3

je rovno číslu:

(A) 1

100

(B) 1

100

(C) 1

10

(D) 10

(E) 100

9.

Všechny reálné kořeny rovnice 1 1 4x x leží

v intervalu:

(A) 5

2;2

(B) 5

; 32

(C) 7

3;2

(D) 7

; 42

(E) 9

4;2

Matematika

© Scio 2018 5

10.

Řešením soustavy nerovnic

3 3 2 8 x x

11 10 x x

v množině je množina:

(A) ; 10 7;

(B) 5; 1

(C) 5; 1

(D) ; 10 1; 7

(E) 1; 7

11.

Diskriminant kvadratické rovnice

2

05

x a

s neznámou x

a libovolným reálným parametrem a je roven:

(A) 2a

(B) 28a

(C) 0

(D) 1

(E) 4

12.

Výraz 2 2

2

x x

x

je pro přípustné hodnoty proměnné x roven

výrazu:

(A) 2x

(B) 2x

(C) 2x

(D) 2 x

(E) 2x

13.

Zvětšíme-li počet prvků o dva, zvětší se počet jejich permutací

(bez opakování) dvacetkrát. Původní počet prvků je roven číslu:

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6

Matematika

© Scio 2018 6

14.

Uvažujeme množinu všech přirozených čísel ležících

v intervalu 6; 840 . Pravděpodobnost, že při náhodném

výběru jednoho z nich bude vybráno číslo dělitelné šesti, je:

(A) 28

165

(B) 28

167

(C) 28

169

(D) 27

167

(E) 27

169

15.

Počet všech možností, kterými lze z čísel 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10

vybrat tři různá tak, že jejich součet je číslo sudé, je roven:

(A) 45

(B) 50

(C) 55

(D) 60

(E) 65

16.

V krabici je 12 párů bílých, 10 párů černých a 8 párů hnědých

ponožek. „Pár“ znamená spojení dvojice ponožek stejné barvy.

Poslepu postupně taháme z krabice jednotlivé páry a nevracíme

je. Nejmenší počet párů, které musíme takto vytáhnout,

abychom s jistotou vytáhli alespoň jeden černý nebo jeden bílý

pár ponožek, je:

(A) 9

(B) 10

(C) 11

(D) 12

(E) 13

17.

Počet všech řešení rovnice

2 2 2sin sin 2 1 cosx x x

v intervalu 0;2π je roven:

(A) 2

(B) 3

(C) 4

(D) 5

(E) 6

Matematika

© Scio 2018 7

18.

Které z následujících čísel nepatří do oboru hodnot funkce

1:

2f y

x

?

(A) −7

(B) −2

(C) 0

(D) 2

(E) 7

19.

Pro které reálné číslo x tvoří čísla 1 1a x ,

2 1a x ,

3a x tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti?

(A) 1

2x

(B) 1

3x

(C) 0x

(D) 1

3x

(E) 3x

20.

Součet

1 1 1

4 4 4

log 3 log 8 log 6

se rovná číslu:

(A) −1

(B) 0

(C) 1

(D) 4

(E) 5

21.

Posloupnost na je dána předpisem 2 12n n na a a . Je-li

1 3a a 2 9a , je

4a rovno:

(A) 9

(B) 11

(C) 16

(D) 18

(E) 21

Matematika

© Scio 2018 8

22.

V definičním oboru funkce 2

3log

49

xy

x je celých čísel

právě:

(A) 11

(B) 10

(C) 9

(D) 8

(E) 7

23.

Pan Novák se rozhoduje, zda jako dopravní prostředek na

služební cestu použije letadlo nebo vysokorychlostní vlak.

K dispozici má údaje uvedené v následující tabulce:

Dopravní

prostředek

Průměrná

rychlost

Doba potřebná k odbavení

a cestu na letiště/nádraží

letadlo 800 km/h 2 h

vysokorychlostní

vlak

300 km/h 0,5 h

Doba na odbavení je započítána dohromady pro odjezd i

příjezd. Minimální vzdálenost, od které je doba cestování

letadlem kratší nebo stejná jako vlakem, je:

(A) 500 km

(B) 640 km

(C) 720 km

(D) 880 km

(E) 960 km

24.

V trojúhelníku ABC na obrázku body A1, A2,..., A7 rozdělují

stranu AB na osm shodných dílů, body C1, C2,..., C7 rozdělují

na osm shodných dílů stranu BC. Úsečky A1C1, A2C2,…, A7C7

jsou rovnoběžné se stranou AC, která má délku 24 cm. Součet

délek (v cm) všech úseček A1C1, A2C2,…, A7C7 je roven:

(A) 80

(B) 82

(C) 84

(D) 86

(E) 88

Matematika

© Scio 2018 9

25.

Jestliže bod 1

; 22

S

je středem úsečky AB , kde

2; 2A

, potom bod B je:

(A) 1;3 2B

(B) 1;3 2B

(C) 1; 3 2B

(D) 1; 3 2B

(E) Neplatí žádná z možností (A) až (D).

26.

V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C

je dáno: tg 1 , 8ct cm. Obsah trojúhelníku ABC je:

(A) 8 cm2

(B) 16 cm2

(C) 24 cm2

(D) 32 cm2

(E) 64 cm2

27.

Střed S kružnice na obrázku má od její tětivy AB vzdálenost

9 cm; středový úhel ASB má velikost π

3. Obsah výseče (v cm

2)

ohraničené menším obloukem AB a úsečkami AS, BS je roven:

(A) 12π

(B) 16π

(C) 18π

(D) 20π

(E) 24π

Matematika

© Scio 2018 10

28.

Přímka y x q , kde q , je tečnou paraboly

2 1 0y x právě tehdy, když q se rovná:

(A) 9

8

(B) 5

4

(C) 3

2

(D) 7

4

(E) 2

29.

V krychli ABCDEFGH je sestrojen šestiúhelník, jehož vrcholy

leží na středech jednotlivých hran krychle podle obrázku.

Velikost úhlu YTX je:

(A) 85°

(B) 100°

(C) 110°

(D) 120°

(E) 132°

30.

V rovině jsou dány body 1; 2A , 4; 4B , 5;C p , kde p

je reálný parametr. Tyto body netvoří vrcholy trojúhelníka

pro p rovno:

(A) 4

(B) 2 (C) 0

(D) 2

(E) 4

Matematika

© Scio 2018 11