«Методы оптимальных решений» · 2013-02-04 · 2.1 Цели и задачи дисциплины: Целями освоения дисциплины «Методы

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования «АМУРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

(ФГБОУ ВПО «АмГУ»)

Кафедра высшей математики и информатики

УТВЕРЖДАЮ Зав. кафедрой ОМиИ

Г.В.Литовка «11» сентября 2012г.

Учебно-методический комплекс дисциплины

«Методы оптимальных решений»

Основной образовательной программы для направления подготовки 080100.62 – Экономика

Благовещенск 2012

УМКД разработан доцентом кафедры ОМиИ Торопчиной Г.Н. Рассмотрен и рекомендован на заседании кафедры общей математики и информатики Протокол заседания кафедры от «11» сентября 2012г. № 1 Заведующий кафедрой ______________ / Г. В. Литовка / Утвержден Протокол заседания УМСС по направлению подготовки «Экономика» от « » _______________ 2012г. №_____ Председатель УМСС _________________ /_________________

1. Общие положения

Учебно-методический комплекс дисциплины «Методы оптимальных решений» является частью основной образовательной программы по направлению подготовки 080100.62 – Экономика, разработанной в Амурском государственном университете. Учебно-методический комплекс дисциплины (далее - УМКД) – это совокупность учебных и учебно-методических материалов, обеспечивающих организационную и содержательную целостность системы обучения по дисциплине «Методы оптимальных решений», способствующих оптимизации процесса обучения и эффективному усвоению студентами учебной программы. Учебно-методический комплекс дисциплины включает:

Общие положения; Рабочую программу учебной дисциплины; Краткое изложение программного материала; Методические указания (рекомендации); Методические материалы, определяющие порядок и содержание рубежного

контроля и промежуточной аттестации; Контрольно-измерительные материалы; Глоссарий.

Учебно-методический комплекс дисциплины разработан в соответствии с нормативными и организационно-распорядительными документами:

1. Федеральный закон о высшем и послевузовском образовании от 7 августа 1996 года в редакции от 28 февраля 2008 года.

2. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по направлению подготовки 033300.62 «Религиоведение», утвержденный 23 декабря 2010 г. № 2008.

3. Типовое положение об образовательном учреждении высшего профессионального образования (высшем учебном заведении), утвержденное Постановлением Правительства Российской Федерации от 14 февраля 2008 г., № 71.

4. Письмо Рособрнадзора от 17.04.2006, № 02-55-77ин/ак «О новых критериях показателя государственной аккредитации высших учебных заведений».

5. Учебный план бакалавров по направлению «Экономика». 6. Положение о проведении текущего контроля и промежуточной аттестации

обучающихся.

2. РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

2.1 Цели и задачи дисциплины: Целями освоения дисциплины «Методы оптимальных решений » являются изучение разделов решения оптимизационных задач, накопление необходимого запаса сведений по математике (основные определения, теоремы, правила), а также освоение математического аппарата, помогающего моделировать, анализировать и решать экономические задачи, помощь в усвоении математических методов, дающих возможность изучать и прогнозировать процессы и явления из области будущей деятельности студентов; развитие логического и алгоритмического мышления, способствование формированию умений и навыков самостоятельного анализа исследования экономических проблем, развитию стремления к научному поиску путей совершенствования своей работы. Материалы курса могут быть использованы для разработки и применения численных методов решения задач из многих областей знания, для построения и исследования математических моделей таких задач. Дисциплина является модельным прикладным аппаратом для изучения студентами экономического факультета математической компоненты своего профессионального образования.

Основными задачами курса являются:

освоение понятийного аппарата, терминологии, определений и формулировок, используемых в современной практике управления, а также теоретических моделей и методологии их применения в экономике;

умение составлять математические модели для экономических задач; умение классифицировать задачи математического программирования и находить

методы их решения; решение задач аналитически и умение давать экономическую интерпретацию

результата; ознакомление с прикладными моделями, описывающими функционирование

моделируемых систем в экономической деятельности; выработка практических навыков построения и анализа теоретических моделей и их

приложений в условиях рыночной экономики. 2.2. Место дисциплины в структуре ООП: дисциплина «Методы оптимальных решений» относится к циклу Б.2 Математический и естественнонаучный цикл, Базовая часть. Входные знания, умения и компетенции студентов должны соответствовать дисциплинам «Линейная алгебра», «Математический анализ» и «Теория вероятностей и математическая статистика». Дисциплина «Методы оптимальных решений» является предшествующей практически для следующих дисциплин: «Эконометрика», «Маркетинг», «Менеджмент», «Экономика фирмы», «Управление проектами», «Бизнес-планирование», «Планирование инвестиционной деятельности с применением прикладных программ», «Экспертные методы и системы», «Финансовая математика», «Управление проектами», «Организация и планирование производства и предприятия», «Экономика и организация инвестиционной деятельности предприятия», «Управление затратами и результатами деятельности предприятия», «Стратегическое планирование развития регионов и городов», «Макроэкономическое планирование и прогнозирование», «Современные методы внутрифирменного планирования», «Теория игр». 2.3. Требования к результатам освоения дисциплины: Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

- способен собрать и проанализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);

- способен выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты, обосновывать их и представлять результаты работы в соответствии с принятыми в организации стандартами (ПК-3);

- способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);

- способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5);

- способен на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, анализировать и содержательно интерпретировать полученные результаты (ПК-6);

- способен использовать для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-10);

- способен принять участие в совершенствовании и разработке учебно-методического обеспечения экономических дисциплин (ПК-15). В результате изучения дисциплины студент должен: Знать: основы методов оптимальных решений, необходимые для решения экономических задач; Уметь: применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования для решения экономических задач; Владеть: навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач; методикой построения, анализа и применения математических моделей для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов. 2.4. Структура и содержание дисциплины (модуля)

2.4.1 Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетные единицы (108 часов).

Вид учебной работы Всего часов (четвертый

семестр)

Аудиторные занятия (всего) 54

В том числе: -

Лекции 18

Практические занятия (ПЗ) 36

Самостоятельная работа (всего) 54

В том числе: -

Расчетно-графические работы 24

Тестирование 10

Контрольная работа 10

Зачет 10

108 Общая трудоемкость час

зач. ед. 3

2.5. Содержание разделов дисциплины

Раздел 1. ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Тема 1. Введение. Общая задача линейного программирования Определение задачи линейного программирования. Построение математических моделей простейших экономических задач линейного программирования. Задача о рационе. Задача об использовании ресурсов. Задача о раскрое материалов. Формы записи задач линейного программирования (симметричная, каноническая, матричная, векторная).

Тема 2. Теоретические основы методов линейного программирования Основные понятия методов линейного программирования. Замена неравенств уравнениями. Выпуклые множества точек. Свойства задачи линейного программирования. Тема 3. Графический метод решения задач линейного программирования

Область решений системы ограничений задачи линейного программирования. Область допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования. Случаи, возникающие при решении задачи линейного программирования графическим методом. Алгоритм графического метода. Тема 4. Симплексный метод решения задач линейного программирования Геометрическая интерпретация симплексного метода. Нахождение максимума линейной функции. Нахождение минимума линейной функции. Определение первоначального допустимого базисного решения. Особые случаи симплексного метода. Симплексные таблицы. Тема 5. Двойственные задачи Математическая модель двойственной задачи линейного программирования. Связь математических моделей прямой и двойственной задач. Правила построения двойственных задач. Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов. Первая теорема двойственности. Вторая теорема двойственности. Нахождение решения двойственной задачи из симплексной таблицы прямой задачи. Экономический смысл дополнительных переменных прямой и двойственной задач. Чувствительность решения задачи линейного программирования к изменению коэффициентов целевой функции и запасов ресурсов. Решение вопроса о целесообразности выпуска предприятием новых видов продукции на прежней ресурсной базе.

Тема 6. Транспортная задача Постановка транспортной задачи в матричной форме. Свойства транспортной задачи.

Модели транспортной задачи (открытая и закрытая). Методы построения опорного плана (метод северо-западного угла, метод минимального элемента, метод двойного предпочтения, метод Фогеля). Метод потенциалов. Критерий оптимальности базисного распределения поставок. Алгоритм метода потенциалов.

Тема 7. Транспортная задача с ограниченной пропускной способностью Постановка транспортной задачи с ограниченной пропускной способностью. Алгоритм

решения транспортных задач с ограниченной пропускной способностью. Тема 8. Задача о назначениях Постановка задачи о назначениях. Алгоритм решения задачи о назначениях.

Планирование загрузки оборудования с учетом максимальной производительности станков. Выбор инвестиционных проектов в условиях ограниченности финансовых ресурсов.

Тема 9. Задача целочисленного программирования Постановка задачи целочисленного программирования. Графический метод решения

задач целочисленного программирования. Метод Гомори. Прогнозирование эффективного использования производственных площадей.

Раздел 2. Элементы нелинейное программирование

Тема 1. Постановка задачи нелинейного программирования. Теорема Куна-Таккера. Формулировка общей задачи математического программирования. Классификация задач нелинейного программирования. Понятие о функции Лагранжа. Теорема Куна-Таккера для общей и выпуклой задач математического программирования. Экономическая интерпретация множителей Лагранжа в оптимуме задачи математического программирования. Тема 2. Динамическое программирование и его экономические приложения. Формулировка задачи динамического программирования. Принцип оптимальности Беллмана. Алгоритм решения задач динамического программирования. Экономические приложения: бизнес-планирование, управление проектами, управление реновацией основных средств производства. 2 часа ТЕМА 3. СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ СЕТЬ ПРОЕКТА. КРИТИЧЕСКИЙ ПУТЬ, ВРЕМЯ ЗАВЕРШЕНИЯ ПРОЕКТА. РЕЗЕРВЫ СОБЫТИЙ, РЕЗЕРВЫ ОПЕРАЦИЙ.

2.5.1 Тематический план учебной дисциплины

В том числе аудиторные СРС Наименование разделов и тем Всего всег

о лекц. семин. всего

без преп.

с преп.

Задачи линейного программирования Тема 1. Введение. Общая задача линейного программирования. Построение математических моделей простейших экономических задач линейного программирования

5 2,5 0,5 2 2,5 2,5 0

Тема 2. Теоретические основы методов линейного программирования 5 2,5 0,5 2 2,5 2,5 0

Тема 3. Графический метод решения задач линейного программирования 6 3 1 2 3 3 0

Тема 4. Симплексный метод решения задач линейного программирования 4 2 2 2 2 0

Тема 5. Двойственные задачи. Правила построения двойственных задач 16 8 2 6 8 8 0

Тема 6. Транспортная задача. Модели транспортной задачи (открытая и закрытая). Методы построения опорного плана. Метод потенциалов для решения транспортной задачи

8 4 2 2 4 4 0

Тема 7. Транспортная задача с ограниченными пропускными способностями 4 2 2 2 2 0

Тема 8. Задача о назначениях 8 4 2 2 4 4 0 Тема 9. Задачи целочисленного программирования. Метод Гомори 12 6 2 4 6 6 0

Элементы нелинейного программирования

Тема 1.Задачи нелинейного программирования Методы одномерной оптимизации 12 6 2 4 6 6

ТЕМА 2.ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ 12 6 2 4 6 6 ТЕМА 3.СЕТЕВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

16 8 4 4 8 8

ИТОГО 108 54 18 36 54 54 0 2.5.2 Разделы дисциплины и междисциплинарные связи с обеспечиваемыми

(последующими) дисциплинами

№ № разделов данной дисциплины, необходимых для изучения обеспечиваемых (последующих) дисциплин

№ п/п

Наименование обеспе-чиваемых (последую-щих) дисциплин 1 2

1. Макроэкономика * * 2. Эконометрика * * 4 Маркетинг * * 5 Менеджмент * * 6 Экономика фирмы * * 7 Управление проектами * * 8 Бизнес-планирование * * 9 Планирование

инвестиционной деятельности с применением прикладных программ

*

10 Экспертные методы и системы

* *

11 Финансовая математика * * 12 Управление проектами * * 13 Бизнес-планирование * * 14 Организация и

планирование производства и предприятия

* *

16 Экономика и организация инвестиционной деятельности предприятия

* *

17 Экономика и организация инновационной деятельности предприятия

* *

18 Управление затратами и результатами деятельности предприятия

* *

19 Инновационное управление трудом

* *

20 Инвестиции * * 21 Международные

инвестиции * *

22 Государственное регулирование экономики

* *

23 Стратегическое планирование развития регионов и городов

* *

25 Макроэкономическое планирование и прогнозирование

* *

26 Современные методы внутрифирменного планирования

*

27 Теория игр *

2.5.3. Разделы дисциплин и виды занятий

№

п/п

Наименование раздела (модуля) дисциплины

Лекц. Практ. зан.

СРС Всего час.

1 Линейное программирование 10 24 34 68

2 Элементы нелинейного

программирования

8 12 20 40

2.6. Лабораторный практикум не предусмотрен

2.7. Практические занятия (семинары)

№ п/п

№ раздела дисциплины

Тематика практических занятий (семинаров) Трудо-емкость

(час.) 1 1 Составление математических моделей для

содержательных задач. 2

2 1 Теоретические основы методов линейного программирования. Классические методы оптимизации

2

3 1 Графический метод решения задачи линейного программирования.

2

4 1 Симплекс-метод. 2 5 1 Составление и решение двойственных задач. 2 6 1 Анализ на чувствительность. 2 7 1 Контрольная работа 2 8 9

1 Транспортные задачи. Построение начального плана перевозок. Метод потенциалов. Открытые транспортные задачи. Задачи с дополнительными условиями

4

10 1 Задача о назначениях 2 11 1 Задачи целочисленного программирования. Метод

Гомори. Метод ветвей и границ.

2

12 1 Контрольная работа. 2 13 2 Метод множителей Лагранжа в оптимуме задачи

математического программирования. 2

14 2 Методы одномерной оптимизации 2 15 2 Метод динамического программирования.

Экономические примеры. 2

16 2 Метод динамического программирования. 2

Экономические примеры. 17 2 Сеть проекта. Критический путь, время завершения

проекта. Резервы событий, резервы операций 2

18 2 Оптимизация сетевого графика 2

2.8. Примерная тематика курсовых работ – курсовые работы не предусмотрены. 2.9. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов

2.9.1 Текущий контроль работы студентов В течение преподавания курса «Методы оптимальных решений» в качестве текущей аттестации бакалавров используются такие формы, как выполнение и защита расчетно-графических работ, собеседование при приеме результатов домашних заданий с оценкой и контрольных работ с оценкой. В течение семестра запланировано выполнение двух расчетно-графических работ, двух контрольных работ и тестирование по каждому из двух разделов. По итогам обучения проводится зачет. Текущий контроль знаний студентов осуществляется с применением балльно-рейтинговой системы. Она предусматривает еженедельный мониторинг и оценку в баллах учебной активности и уровня знаний по дисциплине. Рейтинговая оценка студента по дисциплине складывается из оценки за работу в семестре максимально 60 баллов и зачетной работы – максимально 40 балов. Таким образом, максимально возможное количество баллов, которыми оценивается успеваемость за семестр по дисциплине, равно 100. При пропуске рейтингового теста или контрольной работы в течение семестра по документально подтвержденной уважительной причине студент имеет право написать их в дни консультаций преподавателя группы. В случае пропуска теста по неуважительной причине или при неудовлетворительной оценке за тест (менее половины от максимально возможного балла), переписывание теста возможно только в течение последней недели семестра (не белее двух встреч с преподавателем на все тесты и контрольные работы). Баллы, полученные студентом в таком случае, учитываются с коэффициентом 0,8. Студент, активно участвовавший в учебном процессе (доклады, рефераты, выступления на олимпиадах и конференциях) может быть поощрен лектором потока или заведующим кафедрой дополнительными баллами (как правило, не более 5 баллов за семестр). В течение семестра студенты выполняют рейтинговые мероприятия, которые доводятся до их сведения в начале семестра.

2.9.2 Контрольные вопросы для текущего контроля знаний РАЗДЕЛ 1

Основные понятия теории оптимизации. 1. Что такое оптимальное программирование? 2. Опишите общий вид задачи оптимизации, охарактеризуйте ее элементы. 3. Что такое оптимальное решение с точки зрения оптимизационной задачи, и как

такое оптимальное решение может соотноситься с желаемым? 4. Опишите классификацию методов оптимального программирования. 5. Что каждый из них собой представляет, для решения каких задач может быть

применим на практике? 6. Кто является автором метода линейного программирования? 7. Общий вид задачи линейного программирования. 8. Опишите общий вид задачи ЛП, охарактеризуйте ее основные элементы.

9. Какие разновидности задач линейного программирования вы можете назвать, чем они отличаются друг от друга, как соотносятся друг с другом?

10. Что понимается под задачей линейного программирования? 11. Где применяются задачи линейного программирования? 12. В чем различие задач линейного и нелинейного программирования? 13. Что понимается под математической моделью экономической задачи? 14. Сформулируйте задачу о рационе. 15. Сформулируйте задачу об использовании ресурсов. 16. Приведите примеры задач линейного программирования. 17. Какие существуют виды математических моделей? 1. Дайте определение выпуклого множества точек. 2. Дайте определения внутренней, граничной, угловой точек. 3. Дайте определения замкнутой, ограниченной, неограниченной области. 4. Дайте определения n-мерного многогранника, n-мерной многогранной области. 5. Что такое пересечение выпуклых областей? 6. Сформулируйте свойства задач линейного программирования. 7. Какие переменные называются основными (базисными)? 8. Какие переменные называются неосновными (свободными)? 9. Какое решение задачи линейного программирования называется допустимым? 10. Какое решение задачи линейного программирования называется базисным? 11. Что такое опорный план задачи? 12. Как привести задачу линейного программирования к каноническому виду? 1. От чего зависит количество измерений пространства, в котором можно реализовать

графическую иллюстрацию решения задачи? 2. Какие задачи можно решать с помощью графического метода? 3. Что является решением каждого неравенства системы? 4. Дайте определение области решения системы (ОР)? 5. Дайте определение области допустимых решений (ОДР). 6. Что такое линия уровня? 7. Как построить вектор нормали? Какую роль играет вектор нормали? 8. В каком случае задача имеет альтернативный оптимум? 9. Назовите возможные случаи решения задачи линейного программирования. 10. В каком случае задача линейного программирования не имеет решения? 11. Алгоритм графического метода. 1. Сформулируйте идею симплексного метода. 2. Какие задачи можно решить с помощью симплексного метода? 3. В чем заключается геометрический смысл симплексного метода? 4. Как связаны симплекс-метод и геометрическая интерпретация решения задачи ЛП? 5. Что такое базисные (основные) и независимые (неосновные) переменные задачи? 6. Зачем необходимо деление переменных задачи на эти две группы? 7. Что такое дополнительные переменные, для чего они нужны? 8. Что такое симплекс? 9. Каковы характеристики начального опорного решения задачи? 10. Опишите свойства задачи ЛП (предпосылки применения симплекс-метода) 11. Охарактеризуйте последовательность действий при решении задачи ЛП симплекс-

методом 12. Как построить первоначальный допустимый план задачи? 13. В чем заключается правило перехода к лучшему решению? 14. Сформулируйте критерий оптимальности найденного решения для задачи

нахождения минимума линейной функции. 15. Сформулируйте критерий оптимальности найденного решения для задачи

нахождения максимума линейной функции.

16. Сформулируйте алгоритм составления симплексных таблиц. 17. В чем заключается правило «прямоугольника»? 18. Какой элемент называется ключевым? Как его найти? 19. Какое решение называется вырожденным? 20. В каком случае задача линейного программирования не имеет решения? 21. Сформулируйте критерий альтернативного оптимума. 1. Какая задача называется двойственной? 2. Сформулируйте правила построения двойственных задач. 3. В чем заключаются особенности построения несимметричных двойственных

задач? 4. Сформулируйте свойства двойственных задач. 5. Какова взаимосвязь параметров и переменных взаимно двойственных задач? 6. Какие виды двойственных задач существуют? В чем их отличие? 7. Как соотносятся основные и дополнительные переменные взаимно двойственных

задач. 8. Что такое невязки? 9. Что такое объективно обусловленные оценки и в чем заключается их смысл? 10. Опишите метод одновременного решения взаимно двойственных задач. 11. Сформулируйте экономическую интерпретацию задачи, двойственной задаче об

использовании ресурсов. 12. В чем заключается первая теорема двойственности? Ее экономический смысл. 13. В чем заключается вторая теорема двойственности? 1. Сформулируйте общую постановку транспортной задачи и ее цель. 2. Какие транспортные задачи называются закрытыми? 3. Какие транспортные задачи называются открытыми? 4. Каковы правила приведения открытой модели транспортной задачи к закрытой? 5. Можно ли транспортную задачу решить симплексным методом? 6. Назовите известные методы построения опорного плана транспортной задачи. 7. Какой из методов построения опорного плана транспортной задачи является

близким к оптимальному? 8. Как определить количество занятых клеток в распределительной таблице

транспортной задачи? 9. Назовите метод построения оптимального плана транспортной задачи. 10. Сформулируйте теорему о потенциалах. Каков её экономический смысл? 11. Алгоритм метода потенциалов. 12. Как вычисляют оценки при проверке на оптимальность в распределительной

таблице? 13. Сформулируйте критерий оптимальности базисного распределения поставок. 14. При каких условиях транспортная задача имеет бесконечное множество

оптимальных планов перевозок? 15. Что называется циклом? 16. Что называется ценой цикла? 17. Каковы правила построения цикла в распределительной таблице? 18. В каком случае транспортная задача имеет вырожденное решение? 19. Как исключить вырожденность в транспортных задачах? 20. Какие экономические задачи можно отнести к транспортным моделям? 1. Постановка транспортной задачи с ограниченной пропускной способностью. 2. Постройте математическую модель транспортной задачи с ограниченными

пропускными способностями. 3. Какова цель транспортной задачи с ограниченными пропускными способностями? 4. Какие условия должны соблюдаться, чтобы задача имела план? 5. Когда задача считается решенной?

6. Сформулируйте критерий оптимальности задачи. 7. В каком случае задача является неразрешимой? 8. Какой метод рекомендуется применять на начальном этапе исследования задачи? 9. Какой метод применяется для решения расширенной задачи? 1. Постановка задачи о назначениях. 2. Постройте математическую модель задачи о назначениях. 3. Каковы особенности математической модели задачи о назначениях? 4. Что называется матрицей эффективности задачи о назначениях? 5. Назовите известные методы решения задачи о назначениях. 6. В чем заключается метод потенциалов? 7. В чем заключается венгерский метод? 8. Какие матрицы называются эквивалентными? 9. Сформулируйте теорему Эгервари. 10. Почему оптимальный вариант назначения, полученный венгерским методом,

может не совпадать с оптимальным вариантом назначения, полученным методом потенциалов?

11. Совпадает ли значение функции при всех альтернативных вариантах? 12. Назовите недостаток венгерского метода. 1. Постановка задачи целочисленного программирования. 2. Какие задачи относят к задачам целочисленного программирования? 3. Назовите известные методы решения задач целочисленного программирования. 4. В чем заключается метод Гомори? 5. Что называют целой частью числа? 6. Что называют дробной частью числа? 7. В каком случае задача линейного программирования не имеет целочисленного

решения? 8. Какая задача называется частично целочисленной? 9. В чем заключается графический метод решения задач целочисленного

программирования? 10. Как составляется дополнительное ограничение для обеспечения целочисленности

решения? Раздел 2

1. Что такое инструментальные переменные и параметры математической модели? В чем состоит их отличие? 2. Что такое допустимое множество? 3. Что такое критерий оптимизации и целевая функция? 4. Что такое линии уровня целевой функции? 5. Дайте формулировку детерминированной статической задачи оптимизации. 6. Назовите причины неопределенности в параметрах математической модели и объясните ее влияние на решение. 7. Приведите примеры использования математических моделей для описания поведения экономических агентов. 8. Что такое рациональное поведение с точки зрения теории оптимизации? 9. Как методы оптимизации используются при принятии экономических решений? 10. Расскажите об использовании оптимизации в задачах идентификации параметров математических моделей. 11. Что такое глобальный максимум критерия и оптимальное решение? 12. Достаточное условие существования глобального максимума (теорема Вейерштрасса). 13. Назовите причины отсутствия оптимального решения. 14. Что такое локальный максимум? 15. Сформулируйте общую задачу нелинейного программирования.

16. Сформулируйте необходимое условие локального максимума в общей задаче нелинейного программирования. 17. Что такое функция Лагранжа? 18. Дайте определение седловой точки функции Лагранжа. 19. Сформулируйте и докажите достаточное условие оптимальности с помощью функции Лагранжа. 20. Сформулируйте условие дополняющей нежесткости и дайте его экономическую интерпретацию. 21. Дайте определение выпуклого множества. 22. Какие свойства имеют выпуклые множества? 23. Дайте определение опорной гиперплоскости. 24. Дайте определение разделяющей гиперплоскости. 25. Сформулируйте и проиллюстрируйте теорему об отделимости выпуклых множеств. 26. Сформулируйте понятие выпуклой и вогнутой функций. 27. Что такое строгая выпуклость функции? 28. Сформулируйте достаточное условие выпуклости функции. 29. Какие свойства имеют выпуклые функции? 30. Сформулируйте выпуклую задачу нелинейного программирования. 31. Сформулируйте теорему о глобальном максимуме в выпуклом случае. 32. Приведите содержательный пример выпуклой задачи нелинейного программирования. 33. Сформулируйте теорему Куна-Таккера. 34. Дайте экономическую интерпретацию множителей Лагранжа. 35. Как решения выпуклой задачи оптимизации зависят от параметров? 54. Сформулируйте постановку задачи многокритериальной оптимизации. 55. Приведите примеры многошаговых систем в экономике. 56. В чем состоят особенности динамических задач оптимизации? 57. Приведите примеры динамической задачи оптимизации. 58. Что такое многошаговые динамические модели? 59. Что такое непрерывные динамические модели? 60. Что такое управление и переменная состояния в динамических моделях? 61. Приведите примеры задания критерия в динамических задачах оптимизации. 62. В чем состоит метод динамического программирования в многошаговых задачах оптимизации? 63. Сформулируйте принцип оптимальности и запишите уравнение Беллмана. 64. Как задача оптимизации многошаговой системы сводится к задаче математического программирования? 65. Что такое граф; вершина графа: дуга графа? 66. Чем эйлеров граф отличается от гамильтонова графа? 67. Что такое плоский граф и орграф? 68. Какова общая характеристика сетевых методов управления? 69. Каковы достоинства и недостатки сетевых методов управления? 70. Что такое сетевой график? 71. Назовите основные виды сетевых моделей. 72. Чем метод PERT отличается от метода CPM? 73. Что такое работа, фиктивная работа, событие сетевого графика? 74. Назовите общие правила построения сетевого графика. 75. Какова роль фиктивных работ при построении сетевого графика? 76. Что такое критический путь сетевого графика и каков его экономический смыл? 77. Что такое свершения события сетевого графика? 78. Что такое ранние и поздние сроки свершения события сетевого графика? 79. Опишите алгоритм расчёта ранних и поздних сроков свершения событий сетевого

графика.

80. Что такое полный резерв времени работы сетевого графика? 81. Опишите алгоритм расчёта полного резерва времени работы сетевого графика. 82. Что такое линейный график работ сетевого графика? 83. Что такое шкала потребления ресурса сетевого графика? 84. Опишите алгоритм расчёта линейного графика и шкалы потребления ресурса сетевого

графика. 85. Что такое оптимизация сетевого графика; укажите цели и виды оптимизации сетевого

графика.

2.9.3 ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЗАЧЕТУ 1. Постановка оптимизационной задачи. 2. Постановка классической задачи потребления. 3. Задача линейного программирования. Определение, постановка задачи. Понятие плана, оптимального плана. 4. Экономико-математическая модель задачи об использовании ресурсов. 5. Экономико-математическая модель задачи о рационе. 6. Общая ЗЛП. Стандартная ЗЛП. Каноническая ЗЛП. 7. Матричная и векторная формы записи общей ЗЛП. 8. Свойства ЗЛП. Выпуклые множества точек. 9. Замена неравенств уравнениями. 10. Геометрическая интерпретация ЗЛП. 11. Идея симплексного метода. Построение первоначального опорного плана. 12. Теорема о возможности улучшения плана для задачи на минимум. Критерий оптимальности. 13. Теорема о возможности улучшения плана для задачи на максимум. Критерий оптимальности. 14. Алгоритм симплексного метода. Алгебра метода (все формулы). 15. Алгоритм метода искусственного базиса. 16. Понятие о двойственных задачах. Экономическая интерпретация задачи, двойственной задаче об использовании ресурсов. 17. Правила построения двойственных задач. 18. Симметричные двойственные задачи. Первая теорема двойственности. 19. Несимметричные двойственные задачи. Вторая теорема двойственности. Условия дополняющей нежесткости. 20. Постановка транспортной задачи в матричной форме. Свойства транспортной задачи. 21. Построение первоначального опорного плана ТЗ. 22. Алгоритм метода северо-западного угла. 23. Алгоритм метода минимального элемента. 24. Алгоритм метода двойного предпочтения. 25. Алгоритм метода Фогеля. 26. Метод потенциалов. Критерий оптимальности для метода потенциалов. Алгоритм метода потенциалов. 27. Транспортная задача с ограниченной пропускной способностью. Критерий оптимальности плана. Алгоритм. 28. Задача о назначениях. 29. Задача целочисленного программирования. 30. Метод Гомори. Экономические примеры задач целочисленного программирования.

2.9.4 Примерные вопросы и задачи тестов и контрольной работ

1. Дана задача линейного программирования:

1 1 2 2

1 2

1 2

1 2

1 2

( ) min;2 12,

3 2 36,2,

, 0.

f X c x c xx xx x

x xx x

Верно утверждение: 1. (6, 6)X является допустимым планом данной задачи. 2. (8, 6)X является опорным (базисным) планом данной задачи. 3. (4, 8)X не является допустимым планом данной задачи.

4. (6, 4)X не может быть оптимальным ни при каком выборе значений 1 2,c c . Требуется выбрать правильные ответы. 2. Дана симплекс-таблица, полученная на некотором этапе решения задачи ЛП

B 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x b

5x – 3 3 0 3 1 0 0 3

3x 2 –1 1 – 3 0 0 0 8

6x 2 5 0 2 0 1 0 6

7x 1 2 0 1 0 0 1 2

f – 3 4 0 – 5 0 0 0 15 Верно утверждение: 1. Согласно данной симплекс-таблице, опорным является план

А. (0,0,8,0,3,2,6)X . Б. (0,0,3,8,0,6,2)X . В. (0,0,3,0,8,6,2)X . Г. (0,0,8,0,3,6,2)X .

2. Если ввести в базис переменную 1x , то из базиса будет выведена переменная

А. 7x . Б. 6x . В. 3x . Г. 5x .

3. Если ввести в базис переменную 4x , то приращение ( )f X будет равно А. 10. Б. 15. В. 20. Г. 5. Требуется дать числовой ответ. 3. Дана таблица, полученная на некотором этапе решения транспортной задачи

ПН ПО 1 20b 2 15b 3 25b 4 40b

1 20a 5 –

3 –

4 10

2 10

2 30a 3 –

5 –

2 –

1 30

3 50a 4 20

2 15

5 15

3 –

Верно утверждение:

1. Потенциалы строк 1 2 3( , , )U u u u и столбцов 1 2 3 4( , , , )V v v v v , при условии

1 0u , равны А. (0, 2,1)U , (3,1, 4, 3)V . Б. (0, 1,1)U , (3,1, 4, 2)V . В. (0, 1,1)U , (3,1, 3, 2)V . Г. (0, 1, 2)U , (2, 0, 3, 2)V .

2. Оценки ij свободных переменных (клеток) равны

А. 2 22 6 0

2 Б.

2 21 5 0

1 В.

2 21 5 1

0 Г.

3 32 6 0

1

3. При переходе к новому опорному плану приращение целевой функции равно А. –10. Б. –20. В. 0. Г. –15. Требуется дать числовой ответ. 3. Дан сетевой график проекта, время начала которого равно нулю.

1. Найдите полный резерв времени работы (2, 3) . 2. Найдите критическое время проекта. Примеры тестовых заданий к разделу «Линейное программирование» 1) В каком случае задача линейного программирования (ЛП) в стандартной форме с

двумя переменными имеет единственное решение: а) б) x2 x2

n n x1 x1

в) x2

n x1

2) Какой из случаев в задании 1) соответствует множеству решений: а) из задания 1) б) из задания 1) в) из задания 1)

3) В каком случае не существует решения: а) из задания 1) б) из задания 1) в) из задания 1)

5 1

5 6

3

4

17 9

1 8 3 4

2

4) Случай не существования решения в задании 1) обусловлен:

а) неограниченностью целевой функции; б) несовместности системы ограничений – неравенств; в) верно и а) и б).

5) Базисное решение задачи ЛП будет допустимым, если в симплекс – таблице: а) все свободные члены (кроме строки целевой функции) будут отрицательными; б) все свободные члены (кроме строки целевой функции) будут положительными; в) все свободные члены (кроме строки целевой функции) будут неотрицательными;

6) Ограничения в задаче ЛП несовместны, если в симплекс – таблице: а) в любой строке (кроме строки целевой функции), имеющей отрицательный

свободный член, нет ни одного отрицательного элемента; б) в любой строке (кроме строки целевой функции), имеющей положительный

свободный член, все элементы положительны; в) в любой строке (кроме строки целевой функции), имеющей отрицательный

свободный член, все элементы отрицательны.

7) Целевая функция задачи ЛП будет иметь максимальное значение, если в симплекс – таблице: а) в строке целевой функции все элементы, кроме свободного члена, отрицательны; б) в строке целевой функции все элементы, кроме свободного члена, положительны; в) в строке целевой функции все элементы, кроме свободного члена, равны нулю.

8) Полученное оптимальное решение задачи ЛП является альтернативным, если в симплекс-таблице: а) в строке целевой функции все элементы, кроме свободного члена, одного знака и

среди них нет нулевых элементов; б) в строке целевой функции все элементы, включая свободный член, одного знака и

среди них нет нулевых элементов; в) в строке целевой функции все элементы, кроме свободного члена, одного знака и

среди них есть хотя бы один нулевой элемент.

9) Для двойственной задачи, какое из высказываний всегда истинно: а) число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом

ограничений другой задачи; б) число неравенств в системе ограничений одной задачи совпадает с числом

переменных другой задачи; в) число переменных одной задачи совпадает с числом переменных другой задачи.

10) Какое из высказываний всегда справедливо для оптимальных решений двойственных задач: а) оптимальные значения целевых функций совпадают; б) оптимальные значения целевых функций всегда равны нулю; а) оптимальные значения целевых функций всегда должны различаться.

11) Имеется задача ЛП:

z = 2x1+3x2

0xx24x4x

6xx

21

21

21

0x0x

2

1

Определить графическим способом, какое решение является оптимальным: а) xmax = (3; 4); zmax = 18 б) xmax = (2; 4); zmax = 16 в) xmax = (2; 5); zmax = 19

12) Имеется задача ЛП:

z = 2x1+3x2

0xx24x4x

6xx

21

21

21

0x0x

2

1

Определить графическим способом, какое решение доставляет min функции z:

а)

98;

95xmin ;

б) 1;1xmin ;

в)

98;

94xmin

13) Имеется следующая задача ЛП: z = 2x1+3x2 max

21x35x

16xx218x3x

1

2

21

21

0x0x

2

1

Решением этой задачи является: а) xmax = (3; 2); б) xmax = (6; 4); в) xmax = (1; 38);

14) Имеется задача ЛП: z = 3x1+3x2 max

2xx1xx28xx

21

21

21

0x0x

2

1

Геометрическим методом установить, какое решение доставляем max: а) x = (с; 2с), 1≤с≤3; б) x = (с; 8-с), 3≤с≤6; в) x = (с; 2с), 3≤с≤6.

15) Имеется задача ЛП: z = 1+2x1-3x2 min

1x2x1xx24xx

21

21

21

0x0x

2

1

Установить геометрическим способом, что:

а) min достигается в точке х = (1; 3) б) min достигается в точке х = (1; 1) в) решение не существует, т.к. Fmin = ∞

16) Имеется задача ЛП: z = 2x1-x2+3x3-2x4+x5 min

5,0x5,0x5,0x2xx

5,1x5,0x5,0x

531

43

532

xi ≥ 0, i = 1,5 Используя симплекс-метод установить, какое решение является верным:

а) х = (0,5; 1,5; 0; 2; 0) б) х = (1,5; 0,5; 0; 2; 0) в) х = (2; 0; 0; 0,5; 1,5) а) 1)

17) Имеется задача ЛП: z = 2x1+3x2 max

2x3x27xx

5xx33x2x

21

21

21

21

0x0x

2

1

Двойственная задача будет иметь вид: а) F = 3y1-6y2+y3-y4 max

2y3yyy23y2yy3y

4321

4321 4,10y

ii

б) F = 2y1+3y2

2y3y27yy

5yy33y2y

21

21

21

21

0y0y

2

1

в) F = 3y1-5y2+7y3-2y4 min

3y3yyy22y2yy3y

4321

4321 4,10y

ii

18) Имеется задача ЛП: F = -x1+x2 max

3xx32xx2

1x2x

21

21

21

0x0x

2

1

Двойственная задача имеет решение:

а) zmin = 5

11

б) zmin = 53

в) zmin = 51

19) Имеется следующее распределение поставок: 1

20 3

10 3

3 3 2 30

4 1 0

2 10

а) оно является оптимальным б) оно не является оптимальным


20 3

0 3

10 3

3

2

30 4

1

10 2

10 а) оно оптимально б) оно не оптимально


10 2

10 5

40 3

1

10 6

5

2

110 6

3

100 7

4

а) оно оптимально б) оно не оптимально


2

20 5

40 3

1

20 6

5

2

100 6

3

90 7

4

10 а) оно оптимально б) оно не оптимально

2.9.5 Примерный зачетный тест

1. Сетевое планирование – совокупность, каких методов организационных и контрольных мероприятий?

а)расчётных; б)теоретических; в)графических ;г) производственных.

2. Что называют планом выполнения некоторого комплекса взаимосвязанных работ?

а)комплекс работ; б)сетевое планирование; в)сетевая модель; г) ожидание.

3. Что является главными элементами сетевой модели?

а)работа б)событие; в)процесс; г) ответы а и б.

4. Момент завершения какого-либо процесса?

а)событие; б)работа; в)ожидание; г) зависимость.

5. Производственная деятельность по созданию и обработки чего-либо.

а) операция; б) работа; в) стадия; г) фаза.

6. Отдельное действие в ряде других подобных.

а) операция; б) работа; в) стадия; г) фаза.

7. Пусть – последовательность событий и …

а) процессов; б) методов; в) работ; г) фаз.

8. Событие, из которого не выходит ни одна работа, кроме завершающего события:

а) хвостовое событие; б) тупиковое событие; в) петля; г) завершающее событие.

9. Как называется сетевой график, имеющий несколько завершающих событий?

а) многоцелевой; б) одноцелевой; в) нецелевой; г) много событийный.

10. Сколько работ может непосредственно связывать два события на сетевом графике?

а) ни одной; б) несколько; в)2; г) 1.

11. Как в сетевом графике называют замкнутый контур?

а) петля; б) круг; в) узел; г) замкнутый многоугольник.

12. Сколько «хвостовых событий» может быть в сетевом графике?

а)1; б)2; в)3; г) 4.

13. Какое событие не имеет последующих работ?

а) исходное событие; б) начальное событие; в) завершающее событие; г) простое событие.

14. Что называют событием?

а) момент завершения пути; б) момент завершения фазы; в) момент завершения полного пути; г) момент завершения процесса.

15. Путь, начало которого совпадает с исходным событием, а конец – с завершающим:

а)полный путь; б) критический путь; в) путь между событиями; г)путь предшествующий событию.

16. Что является объектом и языком исследования в экономико-математическом моделировании: a) различные типы производственного оборудования и методы его конструирования; b) экономические процессы и специальные математические методы; c) компьютерные программы и языки программирования.

17. Какое матричное уравнение описывает замкнутую экономическую модель Леонтьева: a) (E – A)*X = C; b) A*X = X; c) A*X = E.

18. Какое допущение постулируется в модели Леонтьева многоотраслевой экономики: a) выпуклость множества допустимых решений; b) нелинейность существующих технологий; c) линейность существующих технологий. 18. Какое уравнение называется характеристическим уравнением матрицы А: а) (E – A)*X = Y; b) A*X = B; c ) |A - E| = 0. 19. Множество n – мерного арифметического точечного пространства называется

выпуклым, если: a. вместе с любыми двумя точками А и В оно содержит и весь отрезок АВ; b. счетно и замкнуто; c. равно объединению нескольких конечных множеств. 20. Какая задача является задачей линейного программирования: a. управления запасами; b. составление диеты; c. формирование календарного плана реализации проекта. 21. Задача линейного программирования называется канонической, если система

ограничений включает в себя: a. только неравенства; b. равенства и неравенства; c. только равенства. 22. Тривиальными ограничениями задачи линейного программирования называются

условия: a. ограниченности и монотонности целевой функции; b. не отрицательности всех переменных; c. не пустоты допустимого множества. 23. Если в задаче линейного программирования допустимое множество не пусто и

целевая функция ограничена, то: a. допустимое множество не ограничено; b. оптимальное решение не существует; c. существует хотя бы одно оптимальное решение. 24. Симплекс-метод предназначен для решения задачи линейного программирования: a. в стандартном виде; b. в каноническом виде; c. в тривиальном виде. 25. Неизвестные в допустимом виде системы ограничений задачи линейного

программирования, которые выражены через остальные неизвестные, называются: a. свободными;

b. базисными; c. небазисными. 26. Правильным отсечением в задаче целочисленного программирования называется

дополнительное ограничение, обладающее свойством: a. оно должно быть линейным; b. оно должно отсекать хотя бы одно целочисленное решение; c. оно не должно отсекать найденный оптимальный нецелочисленный план. 27. Какой из методов целочисленного программирования является комбинированным: a. симплекс-метод; b. метод Гомори; c. метод ветвей и границ. 28. Какую особенность имеет динамическое программирование как многошаговый

метод оптимизации управления: a. отсутствие последействия; b. наличие обратной связи; c. управление зависит от бесконечного числа переменных. 29. Вычислительная схема метода динамического программирования: a. зависит от способов задания функций; b. зависит от способов задания ограничений; c. связана с принципом оптимальности Беллмана. 30. Какую задачу можно решить методом динамического программирования: a. транспортную задачу; b. задачу о замене оборудования; c. принятия решения в конфликтной ситуации. 31. Метод скорейшего спуска является: a. методом множителей Лагранжа; b. градиентным методом; c. методом кусочно-линейной аппроксимации. 32. Множители Лагранжа в экономическом смысле характеризуют: a. доход, соответствующий плану; b. издержки ресурсов; c. цену (оценку) ресурсов. 33. Функция нескольких переменных называется сепарабельной, если она может быть

представлена в виде: a. суммы функций одной переменной; b. произведения функций нескольких переменных; c. суммы выпуклых функций. 34. Главными элементами сетевой модели являются: a. игровые ситуации и стратегии; b. состояния и допустимые управления; c. события и работы. 35. В сетевой модели не должно быть: a. контуров и петель; b. собственных векторов; c. седловых точек. 36. Критическим путем в сетевом графике называется: a. самый короткий путь; b. самый длинный путь; c. замкнутый путь. 37. Математической основой методов сетевого планирования является: a. аналитическая геометрия; b. теория электрических цепей;

c. теория графов. 38. Какая из данных экономико-математичеких моделей является однофакторной: a. модель материализованного технического прогресса; b. модель расширенного воспроизводства; c. модель естественного роста.

2.10 УЧЕБНОБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Основная литература: 1. Бережная Е.В. Математические методы моделирования экономических систем [Текст] : учеб. пособие: рек. УМО вузов / Е.В. Бережная, В.И. Бережной. - М. : Финансы и статистика, 2001, 2002, 2003. - 368 с. 2. Красс М.С. Математика для экономистов [Текст] : учеб. пособие: рек. УМО вузов / М. С. Красс, Б. П. Чупрынов. - СПб. : Питер, 2005, 2006. - 464 с. 3. Вентцель Е.С. Исследование операций. Задачи, принципы, методология [Текст] : учеб. пособие: рек. Мин. обр. РФ / Е.С. Вентцель. - М. : Высш. шк., 2001. - 208 с.

Дополнительная литература: 1.Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория [Текст] : [учеб. пособие] / М. Интрилигатор ; пер. с англ. Г. И. Жукова. - М. : Айрис-пресс, 2002. - 566 с. 2. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике, 4-е издание. – М.: Дело и Сервис, 2004. (7экз.)

3.Федосеев В.В. Экономико-математические методы и модели в маркетинге [Текст] : учеб. пособие: рек. Мин. обр. РФ / В.В. Федосеев, Н.Д. Эриашвили; Ред. В.В. Федосеев. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ-ДАНА, 2001. - 160 с 4.Шелобаев С.И. Экономико-математические методы и модели : учебное пособие для вузов. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005 .

5.Исследование операций в экономике [Текст] : учеб. пособие : рек. Мин. обр. РФ / под ред. Н. Ш. Кремера. - М. : Маркет ДС, 2007. - 408 с. - (Университетская серия). - Библиогр. : с. 389. 6.Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности [Текст] : учебник: рек. Мин. обр. РФ / Г. П. Фомин. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : Финансы и статистика, 2005,2009. - 640с. Средства обеспечения освоения дисциплины 1. Пакет прикладных программ Statgraphic Plus 3.0 2. Пакет прикладных программ Statistica 12.0 3. Программа Microsoft Excel Программное обеспечение и Интернет-ресурсы

www.exponenta.ru 2.11.МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ (МОДУЛЯ)

Для проведения аудиторных занятий необходим стандартный набор специализированной учебной мебели и учебного оборудования, а также мультимедийное оборудование для демонстрации презентаций на лекциях. Для проведения лабораторных занятий, а также организации самостоятельной работы студентов необходим компьютерный класс с рабочими местами, обеспечивающими выход в Интернет.

Реализация учебной программы должна обеспечиваться доступом каждого студента к информационным ресурсам – библиотечному фонду и сетевым ресурсам Интернет. Для использования ИКТ в учебном процессе необходимо наличие программного обеспечения,

позволяющего осуществлять поиск информации в сети Интернет, систематизацию, анализ и презентацию информации, экспорт информации на цифровые носители 3. Краткое изложение программного материала

В данном разделе излагается содержание лекций. Модуль 1. Задачи линейного программирования Лекция 1. Задача линейного программирования Цель лекции: рассмотреть понятие и классификацию методов математического моделирования; постановку и решение задачи линейного программирования.

1. Понятие и типы моделей Курс «Методы оптимальных решений» объединяет комплекс экономических и математических дисциплин, предназначенных для изучения экономики. Экономико-математические методы и модели имеют общий с другими экономическими дисциплинами объект исследования - экономику как социально-экономическую систему. Однако предмет исследования курс «Методы оптимальных решений» имеет свой собственный. Он изучает разные стороны своего объекта исследования и прежде всего количественные взаимосвязи и закономерности. При этом используются особые научные методы, которые сами становятся объектом исследования. О значении и оценке мировым научным сообществом экономико-математических методов можно судить по количеству лауреатов Нобелевской премии по экономике, проводивших свои исследования на стыке экономики и математики. Нобелевская премия по экономике начала присуждаться с 1969 года. Лауреатами этой премии стали более 36 выдающихся ученых-экономистов, в том числе 26 ученых-экономистов за исследования на стыке экономики и математики. Выявление количественных взаимосвязей и закономерностей в социально-экономической системе облегчается при использовании информационных технологий. Однако реальный синтез экономической теории, статистики, математики и информатики еще впереди и, как нам представляется, принесет в будущем немало открытий. При этом существенную роль будут играть различные модели. В общем виде модель можно определить как условный образ (упрощенное изображение) реального объекта (процесса), который создается для более глубокого изучения действительности. Метод исследования, базирующийся на разработке и использовании моделей, называется моделированием. Необходимость моделирования обусловлена сложностью, а порой и невозможностью прямого изучения реального объекта (процесса). Значительно доступнее создавать и изучать прообразы реальных объектов (процессов), т.е. модели. Можно сказать, что теоретическое знание о чем-либо, как правило, представляет собой совокупность различных моделей. Эти модели отражают существенные свойства реального объекта (процесса), хотя на самом деле действительность значительно содержательнее и богаче. Подобие между моделируемым объектом и моделью может быть физическое, структурное, функциональное, динамическое, вероятностное и геометрическое. При физическом подобии объект и модель имеет одинаковую или сходную физическую природу. Структурное подобие предполагает наличие сходства между структурой объекта и структурой модели. При выполнении объектом и моделью под определенным воздействием сходных функций наблюдается функциональное подобие. При наблюдении за последовательно изменяющимися состояниями объекта и модели отмечается динамическое подобие. Вероятностное подобие отмечается при наличии сходства между

процессами вероятностного характера в объекте и модели. Геометрическое подобие имеет место при сходстве пространственных характеристик объекта и модели. На сегодняшний день общепризнанной единой классификации моделей не существует. Однако из множества моделей можно выделить словесные, графические, физические, экономико-математические и некоторые другие типы моделей. Словесная или монографическая модель представляет собой словесное описание объекта, явления или процесса. Очень часто она выражается в виде определения, правила, теоремы, закона или их совокупности. Графическая модель создается в виде рисунка, географической карты или чертежа. Например, зависимость между ценой и спросом может быть выражена в виде графика, на оси ординат, которого отложен спрос (D), а на оси абсцисс - цена (Р). Кривая нам наглядно иллюстрирует, что с ростом цены спрос падает, и наоборот. Конечно, данную зависимость можно выразить и словесно, но графически она намного нагляднее (рис.). D

P

Рис. Графическая модель, отображающая зависимость между спросом и ценой Физические или вещественные модели создаются для конструирования пока еще несуществующих объектов. Создать модель самолета или ракеты для проверки ее аэродинамических свойств значительно проще и экономически целесообразнее, чем изучать эти свойства на реальных объектах. Экономико-математические модели отражают наиболее существенные свойства реального объекта или процесса с помощью системы уравнений. Единой классификации экономико-математических моделей также не существует, хотя можно выделить наиболее значимые их группы в зависимости от признака классификации. По степени агрегирования объектов моделирования различают модели:

* микроэкономические; * одно-, двухсекторные (одно-, двухпродуктовые); * многосекторные (многопродуктовые); * макроэкономические; * глобальные.

По учету фактора времени модели подразделяются на: * статические;

* динамические. В статических моделях экономическая система описана в статике, применительно к одному определенному моменту времени. Это как бы снимок, срез, фрагмент динамической системы в какой-то момент времени. Динамические модели описывают экономическую систему в развитии. По цели создания и применения различают модели:

* балансовые; * эконометрические; * оптимизационные; * сетевые; * систем массового обслуживания; * имитационные (экспертные).

В балансовых моделях отражается требование соответствия наличия ресурсов и их использования. Параметры эконометрических моделей оцениваются с помощью методов математической статистики. Наиболее распространены эконометрические модели, представляющие собой системы регрессионных уравнений. В данных уравнениях отражается зависимость эндогенных (зависимых) переменных от экзогенных (независимых) переменных. Данная зависимость в основном выражается через тренд (длительную тенденцию) основных показателей моделируемой экономической системы. Эконометрические модели используются для анализа и прогнозирования конкретных экономических процессов с использованием реальной статистической информации. Оптимизационные модели позволяют найти из множества возможных (альтернативных) вариантов наилучший вариант производства, распределения или потребления. Ограниченные ресурсы при этом будут использованы наилучшим образом для достижения поставленной цели. Сетевые модели наиболее широко используются в управлении проектами. Сетевая модель отображает комплекс работ (операций) и событий и их взаимосвязь во времени. Обычно сетевая модель предназначена для выполнения работ в такой последовательности, чтобы сроки выполнения проекта были минимальными. В этом случае ставится задача нахождения критического пути. Однако существуют и такие сетевые модели, которые ориентированы не на критерий времени, а, например, на минимизацию стоимости работ. Модели систем массового обслуживания создаются для минимизации затрат времени на ожидание в очереди и времени простоев каналов обслуживания. Имитационная модель наряду с машинными решениями содержит блоки, где решения принимаются человеком (экспертом). Вместо непосредственного участия человека в принятии решений может выступать база знаний. В этом случае ЭВМ, специализированное программное обеспечение, база данных и база знаний образуют экспертную систему. Экспертная система предназначена для решения одной или ряда задач методом имитации действий человека, эксперта в данной области. По учету фактора неопределенности модели подразделяются на:

* детерминированные (с однозначно определенными результатами); * Стохастические (с различными, вероятностными результатами).

По типу математического аппарата различают модели: * линейного и нелинейного программирования; * корреляционно-регрессионные; * матричные; * сетевые; * теории игр; * теории массового обслуживания и т.д.

2. Постановка задачи линейного программирования

2.1. Математическая модель задачи линейного программирования В общем случае задача математического программирования может быть

сформулирована следующим образом: найти вектор 1( , , )nx xx , доставляющий экстремальное значение (максимум или минимум) целевой функции Z , т.е.

1max(min) ( , , )nZ f x x при ограничениях

1( , , ) , 1, ,

0, 1, .j n j

i

g x x b j m

x i n

Линейное программирование (ЛП) — раздел математического программирования, в котором рассматриваются задачи оптимизации, в которых целевая функция Z и все функции ( 1, )jg j m , входящие в систему ограничений, линейны

(первой степени) относительно переменных ( 1, )ix i n . В случае n переменных 1, , nx x математическая постановка задачи линейного программирования может быть записана в следующем виде (т.н. стандартная форма задачи линейного программирования):

1 1

11 1 1 1

21 1 2 2

1 1

max(min) , целевая функция

,,

ограничения

,

0, 1, . условия неотрицательности переменных

n n

n n

n n

m mn n m

i

z c x c x

a x a x ba x a x b

a x a x b

x i n

(1.1)

Свойство линейности модели (1.1) формально означает линейность всех входящих в нее функций (целевой функции и ограничений). Линейность предполагает выполнение следующих свойств:

1. Пропорциональность предполагает, что значения левых частей неравенств ограничений и целевой функции прямо пропорциональны значениям переменных;

2. Аддитивность означает, что общий вклад всех переменных в значение целевой функции и левых частей ограничений является прямой суммой вкладов от различных переменных.

Часто дополнительно предполагают, что должно быть выполнено свойство делимости, согласно которому переменные могут принимать произвольные значения из некоторой непрерывной области.

Вектор (план) 1( , , )nx xx , удовлетворяющий системе ограничений называется допустимым решением (планом). Допустимый план, доставляющий целевой функции экстремальное значение, называется оптимальным решением (планом), а само экстремальное значение целевой функции — значением задачи.

Оптимальный план будем обозначать x , экстремальное значение целевой функции (значение задачи) ( )z z x .

Отметим, что, оптимальное решение в задаче линейного программирования, вообще говоря, не обязательно существует, возможны следующие случаи:

1. Оптимального решения не существует; 2. Существует единственное оптимальное решение; 3. Имеется бесконечное множество оптимальных решений (доставляющих

одно и то же значение целевой функции). На практике встречаются задачи линейного программирования не только в указанной выше стандартной форме (1.1), но и в канонической форме, в которой все ограничения представлены равенствами, а также задачи в общей постановке, в которых присутствуют как ограничения типа неравенств, так и ограничения типа равенств, при этом некоторые переменные могут и не иметь ограничений на знак. Приведение задачи линейного программирования к одному из указанных специальных видов осуществляется с помощью достаточно несложных эквивалентных

преобразований. Необходимость представления задачи линейного программирования в том или ином виде часто диктуется выбранным способом решения: так, например, основным алгоритмом решения задач линейного программирования является симплекс-метод, который требует представления задачи в канонической форме.

2.2. Трактовка задачи линейного программирования как задачи о наилучшем использовании ресурсов

Рассматривается некоторая производственная единица, которая исходя из конъюнктурных возможностей рынка, технических или технологических возможностей и имеющихся ресурсов (финансовых, временных и т.п.) может выпускать n различных видов продукции (товаров), обозначаемыми индексами ( 1, )i i n . Предприятие при производстве этих видов продукции вынуждено ограничиваться имеющимися видами материальных запасов, технологий, других производственных факторов (сырья, рабочей силы, оборудования и т.п.). Все эти виды факторов, необходимых для производства (и, следовательно, ограничивающих производство), называют ресурсами. Пусть число ресурсов равно m , им приписывается индекс ( 1, )j j m . Они ограничены и их количества равны соответственно 1, , mb b соответствующих единиц. Вектор

1( , , )mb bb называется вектором ресурсов. Известна мера полезности (экономическая выгода) производства продукции

каждого вида, исчисляемая, например, по цене товара, его прибыльности, издержкам производства, степени удовлетворения потребителей и т.п. Пусть в качестве такой меры рассматривается цена реализации ( 1, )ic i n . Вектор 1( , , )nc cc называется вектором цен.

Известны также коэффициенты ija , показывающие сколько единиц i -го ресурса необходимо для производства единицы продукции j -го вида. Эти коэффициенты

называются технологическими коэффициентами, а матрица 11 1

1

n

m mn

a a

a a

A

,

составленная из этих коэффициентов — технологической матрицей. Через 1( , , )nx xx обозначим план производства, показывающий в каких

количествах нужно производить указанные виды продукции. Тогда задача нахождения производственного плана, максимизирующего объем

реализации при имеющихся ограничениях является задачей линейного программирования указанного выше вида (1.1).

В матричном виде, учитывая введенные обозначения, эта задача может быть записана следующим образом

max ,,

.

cxAx bx 0

2.3. Пример задачи линейного программирования Небольшая компания Reddy Mikks производит два вида красок: для наружных и

внутренних работ. Краска обоих видов поступает в продажу: доход от продажи одной тонны краски для наружных работ составляет $5000, а краски для внутренних работ — $4000. Для производства обоих видов краски используются сырье двух типов — А и В. Максимально возможные ежедневные запасы сырья составляют 24 и 6 тонн, соответственно. Исходные данные: расход сырья для производства одной тонны краски

каждого вида, максимально возможные запасы сырья и доход от продажи краски каждого вида приведены в Табл. 1.1. Табл. 1.1 Исходные данные для задачи о производстве красок

Расход сырья (в тоннах) на тонну краски

для наружных работ для внутренних работ

Максимально возможный ежедневный

запас сырья (в тоннах)

Сырье А 6 4 24 Сырье В 1 2 6

Доход (в $1000) на тонну краски 5 4

После изучения рынка сбыта отдел маркетинга компании ограничил ежедневное производство краски для внутренних работ до 2 т. (из–за отсутствия надлежащего спроса), а также поставил условие, чтобы ежедневное производство краски для внутренних работ никогда не превышало более чем на одну тонну производства краски для внешних работ.

Компания хотела бы определить, каким образом она может увеличить свой ежедневный доход. Решение. Задача (модель) линейного программирования, как и любая задача исследования операций, включает в себя три основных элемента, подлежащие определению и формализации:

1. Переменные, значения которых подлежат изменению; 2. Целевая функция, которую необходимо оптимизировать; 3. Ограничения, которым должны удовлетворять переменные.

Введем обозначения:

1x — ежедневный объем производства краски для наружных работ;

2x — ежедневный объем производства краски для внутренних работ.

В соответствии с этими обозначениями, целями компании и имеющимися ограничениями получаем следующую математическую модель

1 2

1 2

1 2

1 2

2

1

2

max 5 4 ,6 4 24,

2 6,1,2,0,0.

z x xx xx xx x

xxx

(1.2)

3. Геометрическая интерпретация и графический метод решения задач линейного программирования

3.1. Геометрическая интерпретация задачи ЛП Геометрическая интерпретация дает возможность наглядно представить структуру

задачи, выявить ее особенности и открывает путь к исследованию более сложных свойств. На практике графически можно решить только задачи линейного программирования с двумя переменными.

Напомним, что в общем случае задача линейного программирования с двумя переменными может быть записана в виде

1 1 2 2

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

1

2

max ,,,

,0,0.

m m m

z c x c xa x a x ba x a x b

a x a x bxx

(1.3)

Еще раз отметим, что задача может состоять как в максимизации, так и в минимизации целевой функции. В дальнейшем будем рассматривать задачу максимизации, так как все утверждения легко переносятся на случай минимизации целевой функции с учетом того, что min max( )z z . Каждое из ограничений задает на плоскости 1 2Ox x некоторую полуплоскость, которая, как известно, является выпуклым множеством. Отсюда следует, что область допустимых решений задачи (1.3) — выпуклое множество (как пересечение выпуклых множеств). В практически важных случаях область допустимых решений чаще всего представляет собой либо выпуклый многоугольник, либо выпуклую многоугольную область.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию целевой функции. Выбирая произвольные значения целевой функции 0z , такие, что 0 1 1 2 2z c x c x получаем семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня целевой функции. Задача состоит в нахождении максимального значения целевой функции для точек 1 2( , )x x , образующих область допустимых решений, т.е. в нахождении предельного положения линии уровня целевой функции, соответствующего ее максимальному значению. Вектор градиента целевой функции 1 2grad z ( ; )c c c перпендикулярен к прямым, образующим линии уровня целевой функции и указывает направление наискорейшего возрастания целевой функции.

Из геометрической интерпретации элементов задачи линейного программирования вытекает следующий порядок ее графического решения. Графический метод решения основан на теореме об оптимальных экстремальных точках, которая говорит о том, что если в задаче линейного программирования существует оптимальное решение, то существует и оптимальная экстремальная (угловая) точка. Под экстремальной точкой здесь понимается угловая точка (вершина) множества допустимых решений задачи ЛП.

1. С учетом системы ограничений на плоскости 1 2Ox x построить множество (пространство) допустимых решений, т.е. точек, удовлетворяющих всем ограничениям модели;

2. Выбрать произвольное значение 0z (например 0 0z ) и построить соответствующую линию уровня целевой функции 1 1 2 2 0c x c x z .

3. Построить вектор градиента целевой функции, т.е. вектор 1 2( ; )c cc , указывающий направление наискорейшего возрастания целевой функции;

4. В задаче на максимум перемещать линию уровня целевой функции параллельно в направлении вектора градиента c до тех пор, пока она имеет общие точки с пространством допустимых решений. В задаче на минимум линию уровня перемещаем в направлении, противоположном вектору c .

5. Крайняя (угловая) точка, лежащая на пересечении линии уровня и пространства допустимых решений и будет оптимальным решением.

6. Определить координаты крайней (угловой) точки, которые и образуют оптимальный план 1 2( ; )x x x . Вычислить оптимально значение целевой функции ( )z z x в найденной точке, соответствующей оптимальному решению.

При решении задачи линейного программирования возможны следующие случаи: 1. Оптимальный план единственный: линия уровня и область допустимых

решений в предельном положении имеют единственную общую точку; 2. Оптимальных планов бесконечно много: в предельном положении линия

уровня проходит через сторону области допустимых решений; 3. Область допустимых решений состоит из одной точки, в которой целевая

функция достигает одновременно максимального и минимального значений; 4. Задача не имеет решения: целевая функция не ограничена, линия уровня,

сколько бы ее ни перемещали, не имеет предельного положения; 5. Область допустимых решений — пустое множество (т.е. система

ограничений задачи несовместна), задача не имеет решения.

3.2. Графическое решение задачи Reddy Mikks Решим графически задачу компании Reddy Mikks о производстве краски (1.2). Для

удобства перенумеруем ограничения 1 2

1 2

1 2

1 2

2

1

2

max 5 4 ,6 4 24, (1)

2 6, (2)1, (3)2, (4)0,0.

z x xx xx xx x

xxx

Условия неотрицательности переменных 1 0x и 2 0x показывают, что пространство допустимых решений будет лежать в первом квадранте.

Каждому из ограничений (1) – (4) на плоскости 1 2Ox x соответствует полуплоскость. Пересечение этих полуплоскостей образует пространство допустимых решений — многоугольник ABCDEF (см. рис. 1).

Возьмем значение целевой функции равное 10 (значение выбрано произвольно) и построим соответствующую линию уровня целевой функции 1 25 4 10x x . Направление возрастания целевой функции можно определить с помощью вектора градиента. В данном случае градиент целевой функции равен вектору (5;4)c (для определения направления возрастания целевой функции можно также просто взять большее значение, например 15, и построить соответствующую ему линию уровня). Таким образом, при движении в направлении, задаваемым вектором (5;4) целевая функция возрастает. Целевая функция будет возрастать до тех пор, пока прямые (линии уровня), соответствующие возрастающим значениям этой функции, пересекают пространство допустимых решений. Точка пересечения пространства допустимых решений и прямой, соответствующей максимально возможному значению целевой функции, и будет точкой оптимума.

В нашей задаче оптимальное решение соответствует точке C , являющейся пересечением прямых, соответствующих ограничениям (1) и (2). Координаты этой точки

*1 3x и *

2 1,5x являются оптимальным решением задачи, при этом значение целевой функции равно * 21z (см. Рис.1.1).

Рис.1.1

Лекция 2. Двойственные задачи линейного программирования Цель лекции: рассмотреть виды двойственных задач, теоремы двойственности и их применение.

1. Прямая и двойственная задачи С каждой задачей ЛП однозначным образом связана некоторая другая задача ЛП, называемая двойственной задачей. Исходную задачу линейного программирования будем называть прямой. Таким образом, двойственная задача — это задача, формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из прямой задачи. Кроме формально-математических соотношений между этими задачами можно установить содержательно-экономические взаимосвязи. Прямая и двойственная задачи ЛП так тесно связаны, что оптимальное решение одной задачи можно получить непосредственно (т.е. без дополнительных вычислений) из симплекс-таблицы, представляющей оптимальное решение другой задачи. Правила построения двойственных задач в канонической форме можно представить в виде таблицы (табл.2.1). Прямая и двойственная задачи в этих правилах равноправны, поэтому какую задачу считать прямой, а какую — двойственной зависит от контекста проблемы.. Задача, двойственная к двойственной, совпадает с исходной прямой задачей. Табл.2.1 Правила построения двойственной задачи

Задача максимизации Задача минимизации

Ограничения Переменные 0 0 = Свободная

Переменные Ограничения

0

0

Свободная =

Пример. Прямая задача:

1 2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 3

max 5 12 42 10,

2 3 8,, , 0.

z x x xx x x

x x xx x x

Прямая задача в канонической форме: 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

max 5 12 4 02 10,

2 3 0 8,, , , 0.

z x x x xx x x x

x x x xx x x x

Двойственная задача: 1 2

1 2

1 2

1 3

1 2

min 10 82 5,

2 12,3 4,0, свободная переменная.

w y yy y

y yy yy y

2. Экономическая интерпретация двойственной задачи Как уже было отмечено выше, исходную задачу линейного программирования можно рассматривать как модель оптимального распределения ограниченных ресурсов (использования сырья), в которой целевая функция выражает прибыль или доход от производственной деятельности и подлежит максимизации. Соответствующая ей двойственная задача имеет экономическую интерпретацию как задача определения цен на ресурсы.

Приведем еще раз общую постановку прямой задачи линейного программирования как задачи оптимального распределения ресурсов:

1 1

11 1 1 1

21 1 2 2

1 1

max ,,,

,

0, 1, .

n n

n n

n n

m mn n m

i

z c x c xa x a x ba x a x b

a x a x b

x i n

(2.1)

Двойственная к этой задача может быть сформулирована как задача определения цен на ресурсы. Предположим, что вместо организации производства имеется возможность продажи ресурсов и необходимо определить цены на них. Обозначим эти цены через 1, , my y .

Оценки могут быть установлены исходя из следующих требований, отражающих несовпадающие интересы организаций продающих и покупающих ресурсы:

1. Покупающая организация стремится минимизировать общую стоимость покупаемых ресурсов;

2. Предприятие, продающие ресурсы, может уступить их только по таким ценам, при которых оно получит за них выручку, не меньшую той, что могло бы получить, организовав собственное производство.

Эти требования приводят нас к следующей задаче линейного программирования: 1 1

11 1 1 1

12 1 2 2

1 1

min ,,,

,

0, 1, .

m m

m m

m m

n mn m n

j

w b y b ya y a y ca y a y c

a y a y c

y j m

(2.2)

Задачи линейного программирования (2.1) и (2.2) являются парой взаимно двойственных задач линейного программирования. Таким образом, задача об определении оптимального плана производства и задача об определении оптимальных цен на ресурсы являются взаимно двойственными.

3. Основные теоремы двойственности. Теорема 1. Для любых допустимых решений 1( , , )nx xx и 1( , , )my yy прямой и двойственной задач линейного программирования справедливо неравенство

1 1

n m

i i j ji j

z c x b y w

.

Теорема 2 (критерий оптимальности). Если для некоторых допустимых решений *x и *y пары двойственных задач выполняется равенство * *( ) ( )z wx y , то *x и *y являются

оптимальными решениями соответствующих задач (справедливо и обратное утверждение). Так как величина z соответствует величине дохода (прибыли) и, учитывая, что на оптимальном решении z w и jb — количество ресурса ( 1, )j j m , получаем, что переменные 1, , my y представляют собой стоимость единицы ресурса j . Переменные

1, , my y часто называются двойственными оценками (ценами) или теневыми ценами. Соотношение теорем 1 и 2 показывают, что до тех пор, пока суммарный доход от всех видов деятельности строго меньше суммарной стоимости всех использованных ресурсов, решение как прямой, так и двойственной задачи не может быть оптимальным. Оптимум может быть достигнут только тогда, когда все потребляемые ресурсы использованы полностью, т.е. цена всей произведенной продукции и суммарная оценка ресурсов совпадают. Теорема 3. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то и другая имеет оптимальное решение, причем экстремальные значения целевых функций двойственных задач равны. Если одна из двойственных задач неразрешима вследствие неограниченности целевой функции на множестве допустимых решений, то другая задача не имеет допустимых решений. Экономическое содержание этой теоремы состоит в том, что если задача определения оптимального плана производства разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукции, полученная при реализации оптимального плана, совпадает с суммарной оценкой ресурсов. Совпадение значений целевых функций является критерием оптимальности планов. Таким образом, оценки ресурсов выступают

как инструмент балансирования затрат и результатов. Двойственные оценки гарантируют рентабельность оптимального плана, т.е. равенство общей оценки продукции и ресурсов, и обуславливают убыточность любого другого плана, отличного от оптимального. Кроме того, справедливы также следующие утверждения:

1. Если прямая и двойственная задачи имеют допустимые решения, то обе задачи имеют и оптимальные решения, причем значения целевых функций этих задач совпадают;

2. Если хотя бы одна из задач (прямая или двойственная) не имеют допустимого решения, то обе задачи не имеют оптимальных решений.

Теорема 4. Для того, чтобы планы *x и *y пары двойственных задач были оптимальными, необходимо и достаточно выполнения условий:

* *

1

* *

1

0, 1, ,

0, 1, .

m

j ij i ji

n

i ij j ij

x a y c j n

y a x b i m

Эти условия иногда называют условиями дополняющей нежесткости. Из них следует, что если какое–либо ограничение одной из задач на оптимальном решении обращается в строгое неравенство, то соответствующая компонента оптимального плана двойственной задачи должна равняться нулю. Если же какая-либо компонента оптимального плана положительна, то соответствующее ограничение в двойственной задаче на ее оптимальном решении должно обращаться в строгое неравенство:

* *

1

* *

1

* *

1

* *

1

0 , 1, ,

0 1, ,

0 , 1, ,

0, 1, .

m

j ij i ji

m

ij i j ji

n

i ij j ij

n

ij j i ij

x a y c j n

a y c x j n

y a x b i m

a x b y i m

Экономически это означает, что если в некотором оптимальном плане расход некоторого ресурса строго меньше его запаса, то в оптимальном решении соответствующая двойственная оценка единицы этого ресурса равна нулю. Условие оптимальности (в задаче максимизации) говорит о том, что деятельность любого вида следует наращивать до тех пор, пока доход от нее превышает возможные издержки (стоимость ресурсов), затрачиваемых на ее поддержку. Справедливо и обратное утверждение. Таким образом, дефицитный ресурс имеет положительную оценку, а недефицитный — нулевую оценку. Двойственные оценки показывают приращение целевой функции, вызванное малым изменением свободного члена соответствующего ограничения, т.е.:

* *( ) i iz x y b . При 1ib имеем * *( ) iz x y . Отсюда следует, что величина двойственной оценки

численно равна изменению целевой функции при изменении соответствующего свободного члена ограничений на единицу. Правило получения оптимального решения одной задачи из оптимальной симплекс-таблицы другой основано на утверждении: Для любой итерации симплекс-таблицы прямой или двойственной задачи

коэффициент при -ой разность между левой и правойпеременной в строке частями -го неравенстваодной задачи другой задачи

jz j

4. Двойственная задача проблемы Reddy Mikks Для прямой задачи (1.2) производства красок компании Reddy Mikks двойственной является следующая задача линейного программирования

1 2 3 4

1 2 3

1 2 3 4

min 24 6 2 ,6 5,4 2 4,

0, 1, 4.j

w y y y yy y yy y y y

y j

Так как оптимальным решением прямой задачи является * * * * *1 2 1 23; 1,5; 0,75; 0,5; 21x x s s z , то оптимальным решением этой двойственной

задачи является следующее: * * * * *1 2 3 40,75; 0,5; 0; 21y y y y w .

Оптимальное решение двойственной задачи показывает, что стоимость единицы первого ресурса (сырье A) составляет $750 за тонну, второго (сырье B) — $500 за тонну. Эти значения совпадают со значениями, полученными выше в 3.4 графическим способом, и справедливы, если значение первого ресурса увеличивается не более чем на 12 тонн, а второго — не более чем на 0,67 тонн. Таким образом, увеличение запаса первого ресурса с 24 до 36 тонн приведет к увеличению дохода на величину 12 $750 $9000 . Аналогичное увеличение запаса второго ресурса с 6 до 6,67 тонн приводит к увеличению дохода на величину 0,67 $500 $335 . Еще раз подчеркнем, что подобные расчеты справедливы только тогда, когда увеличение запасов используемых ресурсов не выходит за полученные выше интервалы значений. Для третьего и четвертого ресурсов двойственные оценки равны нулю, что указывает на то, что эти ресурсы недефицитны. Лекция 3. ЦЕЛОЧИСЛЕННОЕ ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАМИРОВАНИЕ Цель лекции: рассмотреть методы решения задач целочисленного линейного программирования. 1.Общая формулировка задачи

Некоторые задачи линейного программирования требуют целочисленного решения. К ним относятся задачи по производству и распределению неделимой продукции (выпуск станков, телевизоров, автомобилей и т.д.). В общем виде математическая модель задачи целочисленного программирования имеет вид

при ограничениях:

Оптимальное решение задачи, найденное симплексным методом, часто не является целочисленным. Его можно округлить до ближайших целых чисел. Однако такое округление может дать решение, не лучшее среди целочисленных решений, или привести к решению, не удовлетворяющему системе ограничений. Поэтому для нахождения целочисленного решения нужен особый алгоритм.

2. Графический метод

В случае двухмерной задачи проблема решается относительно просто путем выявления всех целочисленных точек, близких к границе множества планов, построения "выпуклой целочисленной оболочки" (выпуклого множества планов, содержащего все целочисленные планы) и решения задачи над этим множеством.

3. Метод Гомори последовательных отсечений

B общем случае выдвигается идея последовательного отсечения нецелочисленных оптимальных планов: обычным симплексным методом отыскивается оптимальный план и, если он нецелочисленный, строится дополнительное ограничение, отсекающее найденный оптимальный план, но не отсекающее ни одного целочисленного плана.

Симплексным методом находят оптимальное решение задачи. Если решение целочисленное, то задача решена. Если же оно содержит хотя бы одну дробную координату, то накладывают дополнительное ограничение по целочисленности и вычисления продолжают до получения нового решения. Если и оно является нецелочисленным, то вновь накладывают дополнительное ограничение по целочисленности. Вычисления продолжают до тех пор, пока не будет получено целочисленное решение или показано, что задача не имеет целочисленного решения.

Пусть получено оптимальное решение X опт = (f1, f2, ... , fr, 0, ..., 0), которое не является целочисленным, тогда последний шаг симплексной таблицы имеет следующий вид:

где r — ранг системы ограничений; hi,r+1 — коэффициент симплексной таблицы i-й строки, (r + 1)-го столбца; fi — свободный член i-й строки.

Пусть fi и хотя бы одно hij (j = nr ,1 , r = r,1 ) — дробные числа. Обозначим через [fi] и [hij] целые части чисел fi и hij. Определение 1. Целой частью числа fi называют наибольшее целое число, не

превосходящее числа fi. Дробную часть чисел fi и hij обозначим {fi} и {hij}, она определяется следующим

образом:

Пример.

Если fi и хотя бы одно значение hij дробны, то с учетом введенных обозначений целых и

дробных чисел дополнительное ограничение по целочисленности примет вид

{hi,r+l} xr+1 + {hi,r+2} xr+2 + • • • + {hi,п} xп ≥ {fi}. П р и м е ч а н и я . 1) Если fi — дробное число, а все hij — целые числа, то задача линейного программирования не имеет целочисленного решения.

2) Ограничение целочисленности может быть наложено не на все переменные, а лишь на их часть. В этом случае задача является частично целочисленной.

Например, если ограничение имеет вид

то дополнительное ограничение принимает вид

Можно уменьшить объем преобразований, если руководствоваться следующими правилами:

1. Выбирать в качестве базового для построения дополнительного ограничения уравнение, определяющее компоненту плана с наибольшей дробной частью;

2. Для ввода в базис опорного плана расширенной задачи выбирать переменную, для которой достигается минимум из отношений абсолютных значений j к значениям fkj;

3. Если одна из ранее введенных дополнительных переменных вошла в базис, ее и соответствующее ей уравнение можно отбросить (эта ситуация связана с появлением более жесткого условия, перекрывающего действие ранее введенного).

Рассмотрим для примера простую двухмерную задачу, чтобы иметь возможность дать геометрическую интерпретацию процесса отсечений.

Максимизировать

L(X) = 3 X1 + X2 при условиях

2 X1 + 3 X2 6 2 X1 - 3 X2 3

X1 0, X2 0 - целые.

Вводим ослабляющие переменные

X3 = 6 - [2 X1 + 3 X2] 0 X4 = 3 - [2 X1 - 3 X2] 0

и решаем задачу до получения оптимального плана:

Получен оптимальный нецелочисленный план X =(2.25 , 0.5) с L(X)=7.25.

Берем первое уравнение (согласно наибольшей дробной части компоненты плана) и строим дополнительное ограничение:

Определяем вектор, подлежащий вводу в базис опорного плана расширенной задачи, согласно минимуму отношений j к значениям fkj.

Так как соответствует X4, то определяем, из какого уравнения выражать

X4 по обычному правилу:

Поскольку этот минимум соответствует третьему (дополнительному) уравнению, то без использования искусственного базиса получаем оптимальный нецелочисленный план расширенной задачи X=(2.1, 0.6).

По первому уравнению строим очередное дополнительное ограничение:

Из определяем, что вводу в базис новой задачи (с четырьмя

уравнениями) подлежит переменная S1. Так как соответствует четвертому (очередному дополнительному) уравнению, то опять-таки без использования искусственного базиса получаем оптимальный нецелочисленный план X=(15/8, 3/4).

По второму уравнению строим очередное дополнительное ограничение:

Из минимума отношений j к значениям fkj определяем, что вводу в базис новой задачи (с четырьмя уравнениями) подлежит переменная S2. Так как выбор определяется дополнительным уравнением, то опять-таки без использования искусственного базиса получаем оптимальный нецелочисленный план X =(1, 4/3):

По четвертому уравнению строим новое ограничение:

видим необходимость ввода в базис переменной X3 на основе последнего уравнения и получаем оптимальный целочисленный план X=(1,1):

Заметим, что объем последних симплексных таблиц можно было уменьшить за счет удаления строк и столбцов для дополнительных переменных, вошедших в базис.

Проиллюстрируем выполненный процесс в графической форме, выразив предварительно все переменные через X1 и X2:

Полученный рисунок демонстрирует, что каждое очередное дополнительное ограничение отсекает от множества планов окрестность очередного нецелочисленного оптимального плана. Более того, видно, что после возникновения условия S3 0 влияние предыдущих дополнительных ограничений отсутствует.

Ряд задач относят к категории частично целочисленных программ, если в них предъявляется требование целочисленности

лишь к некоторому множеству переменных. Дополнительное ограничение в такой частично целочисленной линейной программе может быть выбрано в форме: где

(здесь Akj - коэффициенты выбранного уравнения).

Например, решая задачу минимизации линейной формы

рис.1

2 X1 + 2 X2 + 5 X3 при условиях:

3 X1 + 2 X2 + X3 5 -X1 + X2 + 4 X3 7 X1 - X2 + 2 X3 4

X1, X2, X3 0 X1, X2 - целые,

мы приходим к оптимальному плану, определяемому таблицей вида

Так как наибольшую дробную часть имеет (среди целочисленных по условиям задачи) компонента X1, то выбираем третье уравнение и строим дополнительное ограничение в виде

т.е.

4. Метод ветвей и границ

Пусть – множество всех допустимых допустимых решений. Метод основан на разбиении множества на два непересекающихся подмножества и на вычислении оценок каждого из них. Далее подмножество с минимальной оценкой (стоимостью) разбивается на два подмножества и вычисляются их оценки. На каждом шаге выбирается подмножество с наименьшей из всех полученных на этом шаге оценок и производится его разбиение на два подмножества. В конце концов получаем подмножество, содержащее один цикл, стоимость которого минимальна.

Как и в случае метода Гомори, здесь решение начинается с поиска оптимального плана без учета целочисленности. Если компонента Xk найденного плана равна нецелочисленной величине T, то строятся две расширенные задачи с дополнительными ограничениями Xk [T] и Xk [T] + 1 соответственно (квадратные скобки здесь определяют целую часть).

Так получив оптимальный план X = (2.25, 0.5) со значением L(X)=7.25 для задачи, рассмотренной в п.3, построим две задачи. Первая из них получается из исходной добавлением ограничения X2 0, или с учетом неотрицательности X2=0; вторая получается добавлением условия X2 1. Решение первой из этих задач дает нецелочисленный оптимальный план X = (1.5, 0) c L(X)=4.5.

Pешение второй задачи (после серии симплексных преобразований) дает нецелочисленный оптимальный план X=(1.5,1) c несколько большим значением L(X)= 5.5. значением L(X)= 5.5.

Соответственно, берем эту ветвь и строим две подзадачи с условиями X1 1 и X1 2. При решении второй из них обнаруживается противоречивость ограничений; первая же дает оптимальный план X =(1,1).

Идея метода очень проста, но быстрота полученного решения является кажущейся. Во многих задачах метод ветвей и границ может потребовать существенной глубины просмотра и дает решение с гораздо большими затратами, чем метод Гомори. Тем не менее существует много задач, эффективно решаемых методом ветвей и границ.

5. Задачи, приводимые к целочисленным

Существует ряд задач, по своей природе не требующих целочисленности искомого плана, но решаемых, в частности, методами целочисленного линейного программирования. К ним относятся задачи с дискретным множеством планов, задачи с разрывной целевой функцией, задачи с кусочно-линейными функциями, задачи с относительным произволом при выборе ограничений и другие.

Пример 1. Пусть некоторая переменная Xk может принимать конечное множество значений T1, T2, .., Tm. Если провести ее замену

где j 0 - целые / j = 1 .. m /, то во всяком решении такой целочисленной линейной по j программы одно из значений j равно 1, а остальные равны нулю, то есть Xk будет равно одному из указанных выше значений.

Кстати, подобные задачи в приложениях встречаются достаточно часто (выбор площадки для строительства предприятия, выбор фирмы для выполнения строительных работ и т.п.).

Пример 2. Рассмотрим задачу с разрывной целевой функцией. Пусть одно из слагаемых в целевой функции равно

(если эта функция определяет, например, затраты на добычу угля, то A можно понимать как первичные затраты на строительство шахты и В - текущие затраты на единицу добычи; при отсутствии нужды в добыче угля затраты отсутствуют).

Проведя замену

где Xk M , M - верхняя граница для Xk или очень большое число, 0 1, - целое, получаем решение целочисленной линейной программы с =0 (Xk=0 ) или с =1 (Xk>0).

Пример 3. В ряде задач не требуется одновременного выполнения всех ограничений. Пусть стоит задача поиска экстремума L(X) при условиях:

1. все компоненты вектора X неотрицательны; 2. справедливо хотя бы одно из m условий

Найдем верхние оценки M1, M2, ... , Mm для значений и ограничения задачи запишем в обычной безальтернативной форме:

Xj 0, j = 1 .. n.

Если в решении такой целочисленной линейной программы некоторое k=1, то хотя бы k-е ограничение исходной задачи выполняется.

Например, если стоит задача поиска экстремума некоторой линейной формы при ограничениях

2 X1 + 3 X2 6 или 3 X1 + 2 X2 6, X1 0, X2 0,

то множество планов невыпукло и традиционная симплексная процедура недопустима.

рис.2

Если провести замену ограничений к виду

2 X1 + 3 X2 -6- M 0 3 X1 + 2 X2 -6- M(1- ) 0,

0 1 - целое, X1 0, X2 0,

то получаем частично целочисленную программу, решаемую вышеуказанными приемами.

Лекция 4. Линейные задачи транспортного типа

Цель лекции: рассмотреть постановку и решение задач транспортного типа

1. Постановка транспортной задачи

Транспортные модели (задачи) — специальный класс задач линейного программирования. Под термином "транспортные задачи" понимается широкий круг задач не только транспортного характера. Общим для них является, как правило, распределение ресурсов, находящихся у m производителей (поставщиков), по n потребителям этих ресурсов. Различают два типа транспортных задач: но критерию стоимости (план перевозок оптимален, если достигнут минимум затрат на его реализацию) и по критерию времени (план оптимален, если на его реализацию затрачивается минимум времени).В классической постановке эти модели описывают перемещение (перевозку) какого-либо товара из пункта отправления (например, места производства продукции) в пункт назначения (склад, магазин и т.п.). Назначение транспортной задачи — определение объемов перевозок из пунктов отправления в пункты назначения с минимальной суммарной стоимостью перевозок. При этом должны быть учтены ограничения, связанные с объемом предложения (производства) и спроса (потребности). Предполагается, что стоимость перевозки по маршруту прямо пропорциональна объему груза, перевозимого по этому маршруту.

Наиболее часто встречаются следующие задачи, относящиеся к транспортным:

прикрепление потребителей ресурса к производителям; привязка пунктов отправления к пунктам назначения; взаимная привязка грузопотоков прямого и обратного направлений; отдельные задачи оптимальной загрузки промышленного

оборудования; оптимальное распределение объемов выпуска промышленной

продукции между заводами-изготовителями и др.

В общем виде задача транспортного типа может быть сформулирована следующим образом.

Имеется m пунктов производства (иногда их называют пунктами отправления) с объемами производства, равными 1, , ma a соответственно. Рассматривается также n пунктов потребления (пунктов назначения) с объемами потребления (спросом) 1, , nb b соответственно. Известны транспортные издержки (затраты) по перевозке единицы продукции из каждого пункта производства в каждый из пунктов потребления: ijc — стоимость перевозки единицы продукции из пункта производства i в пункт потребления j ( 1, ; 1,i m j n ). Задача состоит в определении плана перевозки продукции из пунктов производства в пункты потребления, минимизирующего суммарные транспортные расходы и удовлетворяющего ограничениям на объемы предложения и спроса.

Обозначим через [ ]ij m nC c матрицу транспортных издержек (тарифов).

Рассмотрим матрицу перевозок (переменных) [ ]ij m nX x где ( 1, ; 1, )ijx i m j n — количество единиц продукции, которые необходимо доставить из i -го пункта производства в j -й пункт потребления. Предполагается, что все 0ijx .

С учетом введенных обозначений математическая модель транспортной задачи принимает вид:

1 1

1

1

min

, 1, ;

, 1, ;

0, 1, ; 1, .

m n

ij iji j

n

ij ij

m

ij ji

ij

z c x

x a i m

x b j n

x i m j n

(4.1)

Для наглядности модель транспортного типа можно представить в виде таблицы

4.1 (называемой также транспортной или распределительной таблицей):

Табл.4.1 Транспортная таблица

Транспортную таблицу 4.1 называют иногда табличной или матричной моделью

транспортной задачи.

Транспортным задачам присущи следующие особенности:

распределению подлежат однородные ресурсы; условия задачи описываются только уравнениями; все переменные выражаются в одинаковых единицах измерения; во всех уравнениях коэффициенты при неизвестных равны единице; каждая неизвестная встречается только в двух уравнениях системы

ограничений.

Транспортные задачи могут решаться симплекс-методом. Однако перечисленные особенности позволяют для транспортных задач применять более простые методы решения.

Задачи транспортного типа часто представляют в сетевой постановке, в которой каждому пункту производства или потребления соответствует своя вершина, а возможным способам перевозки — ребро сети с указанной стоимостью перевозки единицы продукции. Для сетевых моделей (задач о кратчайшем пути, максимальном потоке и т.д.) разработаны специальные эффективные методы решения.

Необходимо отметить целочисленный характер транспортной задачи (в первую очередь ее решения), поэтому транспортные задачи относятся также к целочисленному программированию, для которого тоже существуют специальные алгоритмы решения.

2. Условие разрешимости транспортной задачи Для того чтобы транспортная задача (4.1) имела допустимые планы необходимо и

достаточно выполнение равенства

1 1

m n

i ji j

a b

.

Это условие называют также условием баланса, если оно выполнено, то транспортную задачу называют сбалансированной. Транспортную модель также называют закрытой, если суммарный объем производства равен суммарному спросу, т.е. выполняется условие баланса.

Если выполняется одно из условий

a) Перепроизводство 1 1

m n

i ji j

a b

; Дефицит 1 1

m n

i ji j

a b

,

то модель транспортной задачи называют открытой (несбалансированной). Для разрешимости транспортной задачи с открытой моделью необходимо преобразовать ее в закрытую:

1. При выполнении условия a) необходимо ввести ( 1)n -й фиктивный пункт

потребления, объем спроса которого равен величине дисбаланса 11 1

m n

n i ji j

b a b

.

Соответствующие стоимости перевозок 1 ( 1, )i nc i m полагаются равными нуля или, при наличие дополнительной информации, соответствующим значениям штрафов за хранение продукции на складе производителя и т.п.

2. При выполнении условия b) вводится фиктивный пункт производства 1mA ,

объем производства которого равен величине дисбалансу 11 1

n m

m j ij i

a b a

. Стоимости

перевозок 1 ( 1, )m jc j n от этого фиктивного поставщика полагаются равными нулю или, при наличии дополнительной информации, соответствующим значениям штрафов за недопоставку продукции и т.п. Например, чтобы гарантировать удовлетворение спроса некоторого пункта потребления в задаче с условием дефицита можно назначить очень высокую стоимость перевозок (штраф) от фиктивного пункта производства до этого пункта потребления.

3. Пример транспортной задачи Автомобильная компания MG Auto имеет три завода, расположенных в городах А,

В и С и два центра сбыта, расположенных в городах D и F. Объемы производства заводов компании в следующем квартале составят соответственно 1000, 1500 и 1200 автомобилей. Ежеквартальные потребности центров сбыта составляют 2300 и 1400 автомобилей. Расстояния между заводами и центрами сбыта приведены в

Табл. 4.2.

Табл. 4.2 Расстояние между заводами и центрами сбыта компании MG Auto (в км.)

Центр сбыта D Центр сбыта F Завод А 1 000 2 690 Завод В 1 250 1 350 Завод С 1 275 850

Транспортная компания оценивает свои услуги в 8 ед. за перевозку одного

автомобиля на расстояние в один км. MG Auto хотела бы составить оптимальный план снабжения продукцией своих

центров сбыта. Учитывая расстояния и стоимость перевозки одного автомобиля, получаем

следующую матрицу стоимостей перевозок (с учетом округления) по маршрутам ( Табл. 4.23). Табл. 4.2 Стоимость перевозок 1 автомобиля компании MG Auto

Центр сбыта D Центр сбыта F Завод А 80 215 Завод В 100 108 Завод С 102 68

Основываясь на этих данных, математическая модель задачи принимает вид:

11 12 21 22 31 32

11 12

21 22

31 32

11 21 31

12 22 32

min 80 215 100 108 102 681000,1500,1200,

2300,1400,

0, 1, 2,3; 1, 2.ij

z x x x x x xx xx xx xx x xx x xx i j

Эта сбалансированная модель транспортной задачи, так как суммарное предложение равно суммарному спросу.

Задание. Как изменится модель задачи компании MG Auto если завод В, вследствие технических неполадок, уменьшил выпуск продукции до 1 300 автомобилей? Центр сбыта D уменьшит потребность в продукции до 1 900 автомобилей?

4. Построение начального решения Общая транспортная модель с m пунктами отправления и n пунктами назначения имеет m n ограничений в виде равенств. Поскольку транспортная модель всегда может быть сбалансирована, то одно из этих равенств избыточно. Таким образом, транспортная модель имеет 1m n независимых ограничений и, следовательно, начальное базисное решение состоит из 1m n базисных переменных. Специальная структура транспортной модели позволяет использовать специальные методы построения начального решения (в общем случае метод Фогеля дает лучшее начальное решение). Предварительно проверив закрытость модели (сбалансированность совокупного спроса и

предложения), приступаем к выбору начального опорного плана. Руководствуемся правилом: на очередной выбранный маршрут ставить

максимальную допустимую перевозку, исчерпывая тем самым возможности поставщика или потребителя. 4.1. Метод северо-западного элемента.

Рассмотрим простейший, так называемый способ северо-западного угла. Пояснить его проще всего будет на конкретном примере. Условия транспортной задачи заданы транспортной таблицей. Таблица № 4.4

В1 В2 В3 В4 В5 Запасы а>i А1 10 8 5 6 9 48 А2 6 7 8 6 5 30 А3 8 7 10 8 7 27 А4 7 5 4 6 8 20

Заявки bj 18 27 42 12 26 125

Будем заполнять таблицу перевозками постепенно начиная с левой верхней ячейки ("северо-западного угла" таблицы). Будем рассуждать при этом следующим образом. Пункт В1 подал заявку на 18 единиц груза. Удовлетворим эту заявку за счёт запаса 48, имеющегося в пункте А1 , и запишем перевозку 18 в клетке (1,1). После этого заявка пункта В1 удовлетворена, а в пункте А1 осталось ещё 30 единиц груза. Удовлетворим за счёт них заявку пункта В2 (27 единиц), запишем 27 в клетке (1,2); оставшиеся 3 единицы пункта А1 назначим пункту В3. В составе заявки пункта В3 остались неудовлетворёнными 39 единиц. Из них 30 покроем за счёт пункта А2, чем его запас будет исчерпан, и ещё 9 возьмём из пункта А3. Из оставшихся 18 единиц пункта А3 12 выделим пункту В4; оставшиеся 6 единиц назначим пункту В5, что вместе со всеми 20 единицами пункта А4 покроет его заявку. На этом распределение запасов закончено; каждый пункт назначения получил груз, согласно своей заявки. Это выражается в том, что сумма перевозок в каждой строке равна соответствующему запасу, а в столбце - заявке. Таким образом, нами сразу же составлен план перевозок, удовлетворяющий балансовым условиям. Полученное решение является опорным решением транспортной задачи: Таблица № 4.5

В1 В2 В3 В4 В5 Запасы а i

А1 10

18

8

27

5

3 6 9 48

А2 6 7 8

30 6 5 30

А3 8 7 10

9

8

12

7

6 27

А4 7 5 4 6 8

20 20

Заявки bj 18 27 42 12 26 125 4.2. Метод минимального элемента.

1. В транспортной матрице определяется ячейка с наименьшей стоимостью перевозки (если таких ячеек несколько, выбор среди них произволен).

2. Переменной, соответствующей ячейки определенной выше, присваивается максимально возможное значение перевозки, допускаемое ограничениями на спрос и предложение.

3. Затем исключают из рассмотрения (вычеркивается) строку (столбец), соответствующую пункту производства (потребления) ограничения для которого выполнено полностью (исчерпан запас продукции или удовлетворен спрос). В соответствии с присвоенным значением переменной корректируется величины оставшегося неудовлетворенным предложения (спроса). Если одновременно удовлетворяются ограничения по предложению и спросу, т.е. могут быть одновременно исключены строка и столбец, то вычеркивается только строка или только столбец. При этом объем спроса (предложения), соответствующий невычеркнутому столбцу (строке) полагается равным нулю.

4. Просматриваются невычеркнутые ячейки, и выбирается среди них новая ячейка с минимальной стоимостью. Далее переходим к п. 2. Процесс продолжается до тех пор, пока не останется лишь одна невычеркнутая строка или столбец и не будут выполнены все ограничения по спросу и предложению. В результате получается допустимый план, который содержит 1n m заполненных ячеек.

4.3. Метод Фогеля.

1. Для каждой строки (столбца), которой соответствует строго положительный объем предложения (спроса), вычисляется штраф путем вычитания наименьшей стоимости из следующей по величине стоимости в рассматриваемой строке (столбце).

2. Определяется строка или столбец с наибольшим штрафом. Если таковых несколько, выбор произволен. Из выделенной строки или столбца выбирается ячейка, которой соответствует минимальная стоимость, и соответствующей переменной присваивается наибольшее значение перевозки, позволяемой ограничениями. Затем, в соответствии с присвоенным значением переменной корректируются величины оставшегося неудовлетворенным спроса (предложения). Строка или столбец, соответствующие выполненному ограничению, удаляются из рассмотрения (вычеркиваются из таблицы). Если одновременно выполняются ограничения и по спросу и по предложению, вычеркивается только строка или только столбец. Причем оставшейся строке (столбцу) приписывается нулевое значение предложения (спроса).

3. а) Если не вычеркнута только одна строка или только один столбец с нулевым спросом или предложением, вычисления заканчиваются. б) Если не вычеркнута только одна строка (столбец) с положительным предложением (спросом), в этой строке (столбце) методом наименьшего элемента находятся значения переменных и вычисления заканчиваются. в) Если всем невычеркнутым строкам и столбцам соответствуют нулевые объемы предложения и спроса, методом наименьшего элемента находятся

нулевые базисные переменные, и вычисления заканчиваются. г) Во всех остальных случаях необходимо перейти к шагу 1.

5. Алгоритм решения транспортной задачи Проверка плана транспортной задачи на оптимальность основывается на критерии

оптимальности, связанном с задачей, двойственной к рассматриваемой транспортной задаче (4.1):

1 1max ,

, 1, ; 1, ,

m n

i i j ji j

i j ij

w a u b v

u v c i m j n

в которой * *, , 1, ; 1, ,i ju v i m j n — двойственные переменные.

Учитывая теоремы двойственности имеем, что если * *[ ]ij m nX x — оптимальный план

прямой транспортной задачи, то ему соответствует система из m n чисел *iu и *

jv ,

удовлетворяющих условиям: * *i j iju v c для * 0ijx * *i j iju v c для * 0ijx ( 1, ; 1,i m j n ).

Числа *iu и *

jv называют потенциалами соответственно строки и столбца.

Таким образом, для оптимальности плана транспортной задачи необходимо существование такой системы потенциалов * *, , 1, ; 1, ,i ju v i m j n что выполнены

следующие условия: 1. Каждой занятой клетке транспортной таблицы соответствует сумма

потенциалов, равная стоимости перевозки этой клетки, т.е. i j iju v c ; 2. Каждой свободной клетке соответствует сумма потенциалов, не

превышающая стоимость перевозки этой клетки, т.е. i j iju v c . Эти утверждения представляют собой содержание теоремы о потенциалах. На ней

основан специальный метод решения транспортных задач, названный методом потенциалов.

Так как число занятых клеток на единицу меньше числа потенциалов, то для определения системы потенциалов одну из них необходимо придать произвольное числовое значение (обычно полагают равное нулю), после чего остальные потенциалы определяются однозначно.

5.1. Метод потенциалов. 1. Каждой строке i и каждому столбцу j транспортной таблицы поставить в

соответствие значение потенциала iu и jv соответственно. Для этого положить один

из потенциалов равным произвольному значению (обычно полагают 1 0u ). После

этого, исходя из соотношений i j iju v c для занятых (базисных) клеток,

последовательно вычислить значения остальных потенциалов. 2. Для исследования плана на оптимальность необходимо вычислить для каждой

свободной (незанятой) клетки значение оценки ij i j ijs u v c . Если все оценки

0 ( 1, ; 1, )ijs i m j n , то план оптимален. Если при этом все оценки 0ijs , то

полученный оптимальный план единственный. В случае, если хотя бы одна оценка 0ijs , то имеется бесконечное множество оптимальных планов с одним и тем же

значением целевой функции. 3. Если хотя бы для одной клетки оценка удовлетворяет условию 0ij i j ijs u v c , то

рассматриваемый план не является оптимальным и его можно улучшить за счет той клетки, для которой 0ij i j ijs u v c . Если таких клеток несколько, то наиболее

быстро оптимальное решение может быть получено за счет той клетки, для которой положительное значение оценки наибольшее. Экономически оценка ijs показывает,

на сколько единиц уменьшатся транспортные издержки от назначения перевозки единицы продукции в данную клетку. Так, например, если 10lks , то при

назначении 1lkx транспортные издержки уменьшатся на 10 единиц.

4. Итак, пусть оценка 0lks , т.е. положительное значение переменной lkx позволяет улучшить план. Так как должно быть выполнено условие баланса, то одна из ранее положительных переменных должно обратиться в нуль.

Для того чтобы улучшить план перевозок необходимо построить цикл, который начинается и заканчивается в ячейке ( , )l k . Цикл состоит из последовательности горизонтальных и вертикальных отрезков, соединяющих вершины — занятые (базисные) ячейки в текущем плане, и ячейку, соответствующую вводимой переменной. Для любой вводимой переменной можно построить только один замкнутый цикл. Вершинам этого цикла условно приписываются знаки, которые чередуются: свободной клетке — плюс, следующей (по или против часовой стрелки) — минус, следующей — снова плюс и т.д. Из перевозок, расположенных в вершинах, отмеченных знаком минус выбирается наименьшее значение, обозначим его . Это значение прибавляется к значениям перевозок, расположенным в положительных вершинах и вычитается из перевозок в отрицательных вершинах. В результате этого одна клетка из отрицательных вершин, ранее занятая, освобождается и баланс не нарушится. Если одновременно несколько занятых клеток могут принять нулевые значения, то освобождается только одна из них, а остальные продолжают считаться занятыми, хотя и с нулевыми значениями перевозок.

5.1. Изменение стоимости перевозки для незанятой клетки. Для определения пределов изменения необходимо придать стоимости изменение ,

вычислить новую оценку для той клетки, стоимость перевозки которой изменилась, и записать условие оптимальности плана — неположительность этой оценки, это даст нам необходимое неравенство

5.3. Изменение стоимости перевозки для занятой (базисной) клетки. Изменение стоимости влияет на потенциалы, поэтому необходимо придать стоимости

изменение , затем вычислить новые потенциалы и новые оценки всех свободных клеток. План останется оптимальным до тех пор, пока оценки всех свободных клеток неположительны — это даст нам необходимые неравенства.

3. Одновременное увеличение объема производства и спроса. а) Если одновременно на увеличиваются объемы пункта производства и пункта

потребления которым соответствует ненулевая перевозка, то ее значение просто

увеличивается на величину . б) Если одновременно на увеличиваются объемы пункта производства и пункта

потребления между которыми нет перевозки, то необходимо составить цикл, начинающийся в рассматриваемой свободной ячейке, вершинами которого являются занятые ячейки. Вершинам цикла приписываются знаки: вершине, соседней со свободной— плюс, следующей — минус и т.д. Затем значения перевозок в положительных вершинах увеличиваются на , а значения перевозок в отрицательных вершинах — уменьшаются на . Заметим, что при этом состав занятых ячеек не изменяется, изменяются значения переменных в них.

6. Анализ чувствительности транспортной модели Напомним, что элементы транспортной таблицы — стоимости перевозок формально

являются коэффициентами целевой функции, объемы спроса и предложения — правыми частями ограничений математической модели транспортной задачи, а каждой клетке транспортной таблицы соответствует переменная.

Анализ чувствительности позволит определить, в каких пределах могут изменяться эти параметры при условии неизменности оптимального плана.

7.Усложненные задачи транспортного типа

Ряд экономических задач легко сводимы к транспортной задаче. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся ситуации в экономике предприятия.

7.1. Отдельные поставки от определенных поставщиков некоторым потребителям должны быть исключены (из-за отсутствия необходимых условий хранения, чрезмерной перегрузки коммуникаций и т.д.). Это ограничение требует, чтобы в матрице перевозок, содержащей оптимальный план, определенные клетки оставались свободными. Последнее достигается искусственным завышением затрат на перевозки cij в клетках, перевозки через которые следует запретить. При этом производят завышение величины cij до таких значений, которые заведомо больше всех и с которыми их придется сравнивать в процессе решения задачи.

7.2. На предприятии необходимо определить минимальные суммарные затраты на производство и транспортировку продукции. С подобной задачей сталкиваются при решении вопросов, связанных с оптимальным размещением производственных объектов. Здесь может оказаться экономически более выгодным доставлять сырье из более отдаленных пунктов, но зато при меньшей его себестоимости. В таких задачах за критерий оптимальности принимают сумму затрат на производство и транспортировку продукции.

7.3. Ряд транспортных маршрутов, по которым необходимо доставить грузы, имеют ограничения по пропускной способности. Если, например, по маршруту AiBj можно провести не более q единиц груза, то Bj -й столбец матрицы разбивается на два

столбца - и . В первом столбце спрос принимается равным разности между

действительным спросом и ограничением q: , во втором – равным

ограничению q, т.е. . Затраты cij в обоих столбцах одинаковы и равны данным, но в

первом столбце , в клетке, соответствующей ограничению i, вместо истинного тарифа

cij ставится искусственно завышенный тариф M (клетка блокируется). Затем задача решается обычным способом.

7.4. Поставки по определенным маршрутам обязательны и должны войти в оптимальный план независимо от того, выгодно это или нет. В этом случае уменьшают запас груза у поставщиков и спрос потребителей и решают задачу относительно тех поставок, которые необязательны. Полученное решение корректируют с учетом обязательных поставок.

7.5. Экономическая задача не является транспортной, но в математическом отношении подобна транспортной, т.к. описывается аналогичной моделью, например, распределение производства изделий между предприятиями, оптимальное закрепление механизмов по определенным видам работы.

7.6. Необходимо максимизировать целевую функцию задачи транспортного типа. В этой ситуации при составлении опорного плана в первую очередь стараются заполнить клетки с наиболее высокими значениями показателя cij . Выбор клетки, подлежащей заполнению при переходе от одного допустимого плана к другому, должен производиться

не по минимальной отрицательной разнице , а по максимальной

положительной разнице . Оптимальным будет план, которому в последней таблице сопутствуют свободные клетки с неположительными элементами: все разности

.

7.7. Необходимо в одно время распределить груз различного рода по потребителям. Задачи данного типа называются многопродуктовыми транспортными задачами. В этих задачах поставщики m родов грузов разбиваются на m условных поставщиков, а потребители n родов грузов разбиваются на n условных потребителей. С учетом этой разбивки составляют полную транспортную таблицу. При этом заметим, что некоторые маршруты AiBj должны быть блокированы (закрыты), поскольку в данной постановке задачи грузы разного рода не могут заменять друг друга. Этим маршрутам AiBj должна соответствовать очень высокая стоимость перевозки. Многопродуктовую задачу не всегда обязательно описывать одной моделью. Например, если поставки грузов различного рода независимы, тот задачу можно представить в виде комплекса транспортных задач по каждому роду груза. Однако если между грузами различного рода существует связь (например, одни из грузов можно заменить другими), то в общем случае исходную модель (задачу) не удается разбить на комплекс простых транспортных задач.

Рассмотрим пример задачи транспортного типа.

Задача. Одно фермерское хозяйство (A1) имеет продовольственное зерно двух видов: 3 тыс. тонн – III класса и 4 тыс. тонн - IV класса. Второе фермерское хозяйство (A2) также имеет зерно двух видов: 5 тыс. тонн – III класса и 2 тыс. тонн - IV класса. Зерно должно быть вывезено на два элеватора: на первый элеватор (B1) необходимо поставить 2 тыс. тонн пшеницы III класса, 3 тыс. тонн пшеницы IV класса и остальные 2 тыс. тонн пшеницы любого класса.

Аналогично второй элеватор (B2) должен получить 8,25 тыс. тонн, из них пшеницы - 1 тыс. тонн III класса и 1,5 тыс. тонн IV класса.

Стоимость перевозки в д.е. 1 тонны зерна составляет: из пункта A1 в пункты B1 и B2 - 1 и 1,5 соответственно; из пункта A2 в пункты B1 и B2 - 2 и 1 д.е. соответственно.

Составить оптимальный план перевозок.

Решение

Каждого поставщика условно разбиваем на две части согласно двум видам зерна

( и ; и ), аналогично потребителей разбиваем на три части (пшеница III

класса, IV класса и любой класс): , и , а также , и . Потребности превышают запасы, поэтому вводим фиктивного поставщика A3. Часть клеток в таблице запираем большими числами М; например, в клетке (1; 2) стоит большое число. Это

значит, что поставщик не может удовлетворить потребителя пшеницей IV класса за счет имеющейся пшеницы III класса.

С учетом сделанных замечаний составим первую таблицу (табл. 4.6).

Таблица 4.6

Исходные данные

Перевозки от фиктивного поставщика не производятся, поэтому

. Величина М намного больше cij . Применяя метод потенциалов, в итоге получим таблицу с оптимальным решением (табл. 4.7).

Таблица 4.7

Оптимальное решение

Анализ решения. Первый поставщик поставит на первый элеватор (B1) пшеницу III класса ( x12 = 2); пшеницу IV класса (x22 = 3), а также пшеницу любого класса (III или IV) (x13 = 1 ; x23 = 1). Второй поставщик (A2) поставит на второй элеватор (B2) пшеницу III класса (x31 = 1), пшеницу IV класса (x45 = 1,5) и частично любую пшеницу (x36 = 4; x46 = 0,5). Потребность элеватора в любой пшенице не удовлетворена на 1,25 тыс. тонн (x56 = 1,25). Минимальные затраты на перевозку составили: Zmin = 14 д.е.

Лекция 5. РАСПРЕДЕЛИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Цель лекции: дать понятие о распределительных задачах и рассмотреть методы их решения.

1.Общие замечания

Выше рассмотрена классическая транспортная задача, на которой показано, как используется метод потенциалов для нахождения оптимального плана. В экономике предприятия такие задачи встречаются крайне редко. Обычно при составлении экономико-математической модели задачи транспортного типа приходится вводить целый ряд дополнительных ограничений, а затем пользоваться методом потенциалов.

Рассмотрим некоторые из подобных задач.

1.1. Задача о назначении персонала

Пусть имеется m категорий претендентов в количестве Ai ( i= 1 .. m ) и n групп вакантных должностей по Bj ( j = 1 .. n ) в каждой. Известны оценки Cij использования претендента i-й категории на должности из j-й группы. Задача состоит в распределении претендентов по должностям с максимальной суммарной эффективностью. Эта задача отличается от транспортной лишь требованием максимизации целевой функции. В процессе решения такой задачи достаточно выбирать начальный опорный план по максимальной эффективности назначения и добиваться значений ij 0. 1.2. Транспортная задача в сетевой постановке

Задача возникает при транспортировке в сети с промежуточными узлами и ограничениями на пропускные способности коммуникаций. Такого рода задачи решаются более сложными методами, в частности, известным "венгерским методом", базирующимся на соотношениях двойственности.

1.3. Транспортная задача по критерию времени

Здесь критерий оптимальности связан не с затратами, а с временем выполнения комплекса перевозок (в чрезвычайной ситуации выполнить переброску груза в минимальные сроки, не считаясь с затратами). Эти задачи решаются опять-таки посредством постановки двойственной задачи с привлечением алгоритма поиска "максимального потока в транспортной сети" (этот же алгоритм используется в упомянутом венгерском методе). 1.4. Распределительные задачи

Указанная группа задач выступает своеобразным расширением транспортной задачи и возникает при закреплении ресурсов по видам работ, при закреплении транспортных средств за маршрутами, при составлении топливно-энергетических балансов, при планировании военных операций с максимальным поражением целей, при распределении заказов между фирмами и т. п.

Примером одной из такого рода задач может служить задача.

Имеется m типов автомашин в количествах Ai ( i = 1 .. m), которые должны быть закреплены за n маршрутами с объемами перевозок, равными Bj (j = 1 .. n). Расходы на эксплуатацию и объем перевозок одной машины i -го типа на j -м маршруте равны Cij и Lij. Требуется найти распределение с минимальными эксплуатационными затратами. 1.5. Задача о максимальном потоке

Рассматривается транспортная сеть, в которой выделены пункты - источники (воды, нефти, газа, вагонов) и стоки (потребители). Каждой дуге (отрезку), связывающей пункты i и j, сопоставлено число dij > 0 , называемое пропускной способностью дуги - максимальное допустимое количество вещества (воды, газа, самолетов, вагонов и т. п.), которое может проходить по соответствующей дуге в единицу времени. Требуется найти максимальный поток в такой сети (чтобы не лопались трубы при избыточном давлении, безопасный режим движения и пр.).

Рассмотрим решение подобных задач.

2. Общая распределительная задача

Общая распределительная задача ЛП – это РЗ, в которой работы и ресурсы (исполнители) выражаются в различных единицах измерения. Типичным примером такой задачи является организация выпуска разнородной продукции на оборудовании различных типов.

Исходные параметры модели РЗ

1) n – количество исполнителей; 2) m – количество видов выполняемых работ; 3) ia – запас рабочего ресурса исполнителя iA ( n,1i ) [ед.ресурса];

4) jb – план по выполнению работы jB ( m,1j ) [ед. работ];

5) ijc – стоимость выполнения работы jB исполнителем iA [руб./ед. работ];

6) ij – интенсивность выполнения работы jB исполнителем iA

[ед. работ/ед.ресурса].

Искомые параметры модели РЗ

1) ijx – планируемая загрузка исполнителя iA при выполнении работ jB

[ед. ресурса];

2) кijx – количество работ jB , которые должен будет произвести исполнитель iA

[ед. работ]; 3) XL – общие расходы на выполнение всего запланированного объема работ

[руб.].

Этапы построения модели

I. Определение переменных. II. Построение распределительной матрицы (см. табл.5.1). III. Задание ЦФ. IV. Задание ограничений.

Таблица 5.1 Общий вид распределительной матрицы

Работы, jB Исполнители, iA

1В 2В … mB Запас ресурса,

ед.ресурса

1А 11

11c 12

12c … m1

m1c 1a

2А 21

21c 22

22c … m2

m2c 2a

… … … … … …

nA 1n

1nc 2n

2nc … nm

nmc na

План, ед.работы 1b 2b … mb

Модель РЗ

n

1i

m

1jminijxijijсXL ; (5.1)

, m1,j ;n1,i 0x

,m1,j ,bx

,n1,i ,ax

ij

n

1ijijij

m

1jiij

где ijxij – это количество работ j-го вида, выполненных i-м исполнителем.

Этапы решения РЗ I. Преобразование РЗ в ТЗ: 1) выбор базового ресурса и расчет нормированных производительностей ресурсов

i :

j баз

iji

; (5.2)

2) пересчет запаса рабочего ресурса исполнителей ia :

iii aa [ед. ресурса]; (5.3)

3) пересчет планового задания jb :

j баз

jj

bb

есурсар .едработ .ед

есурсар .едработ.ед; (5.4)

4) пересчет себестоимостей работ:

j базijij cc

есурсар .ед.руб

есурсар .едработ .едработ.ед.руб

. (5.5)

II. Проверка баланса пересчитанных параметров

m

1jj

n

1ii ba и построение

транспортной матрицы.

III. Поиск оптимального решения ТЗ *ij

'* 'xX .

IV. Преобразование оптимального решения ТЗ '*X в оптимальное решение РЗ *X , причем переход *'* XX выполняется по формуле (5.6)

i

'ij

ijx

x

[ед. ресурса], (5.6)

где ijx и 'ijx – соответственно элементы решения РЗ и ТЗ.

V. Определение количества работ *кij

*к xX , соответствующее оптимальному

решению РЗ *X :

ijijкij xx

работ .едресурса .ед

ресурса .едаботр .ед. (5.7)

VI. Определение ЦФ распределительной задачи )X(L * согласно (5.1).

Задача 5.1.На фабрике эксплуатируются три типа ткацких станков, которые могут выпускать четыре вида тканей. Известны следующие данные о производственном процессе:

производительности станков по каждому виду ткани, м/ч

146108219151242183024

ij ;

себестоимость тканей, руб./м

253614231312

cij ;

фонды рабочего времени станков ( ia ): 90, 220, 180 ч; планируемый объем выпуска тканей ( jb ): 1200, 900, 1800, 840 м.

Требуется распределить выпуск ткани по станкам с целью минимизации общей себестоимости производства ткани.

Решение

Пусть переменные ijx – это время, в течение которого i-й станок будет выпускать

j-ю ткань. Сведем исходные данные задачи в распределительную таблицу (табл.5.2).

Таблица 5.2 Распределительная матрица задачи №5.1

Ткани Станки В1 В2 В3 В4

Фонд времени ia ,

ч

А1 2 ( ijс )

( ij ) 24 1

30 3

18 1

42 90

А2 3

12 2

15 4

9 1

21 220

А3 6

8 3

10 5

6 2

14 180

Объем выпуска jb , м 1200 900 1800 840

ЦФ имеет смысл себестоимости выпуска запланированного количества ткани всех видов

.minx28x30x30x48 x21x36x30x36 x42x54x30x48

x142x65x103x86 x211x94x152x123 x421x183x301x242XL

34313231

24232221

14131211

34333231

24232221

14131211

Ограничения имеют вид

. 4,1j ; 3,1i0x

,840x14x21x42,1800x6x9x18

,900x10x15x30,1200x8x12x24

м выпуска, объемам по ,180xxxx,220xxxx

,90xxxx ч времени, фондам по

ij

342414

332313

322212

312111

34313231

24232221

14131211

Преобразуем РЗ в ТЗ, т.е. представим исходную задачу в виде, когда ткани производит только один станок – базовый и все параметры задачи согласуем с его характеристиками. В качестве базового можно выбирать любой из станков. Мы выберем станок с максимальной производительностью, т.е. 1А . По формуле (5.2) определим

производительности станков i , нормированные относительно производительности базового станка:

14242

1818

3030

2424

1 ;

21

4221

189

3015

2412

2 ;

31

4214

186

3010

248

3 .

Таким образом, базовый станок работает в два раза быстрей второго станка и в три раза быстрей третьего.

Пересчитаем фонды времени станков по формуле (6.3):

90190a '1 [ч]; 101

21220a '

2 [ч]; 6031180a '

3 [ч].

Из этих величин следует, что тот объем работ, который второй станок выполняет за свой фонд времени 220 ч базовый станок сможет выполнить за 110 ч. Аналогично объем работ, который третий станок выполняет за 180 ч базовый выполнит за 60 ч.

Пересчитаем плановое задание по формуле (5.4):

5024

1200b '1 [ч]; 30

30900b '

2 [ч]; 10018

1800b '3 [ч]; 20

42840b '

4 [ч].

Отсюда следует, что план выпуска первого вида ткани базовый станок выполнит за 50 ч, второго вида – за 30 ч и т.д.

Пересчет себестоимостей производим по формуле (5.5), например:

54183c'13 [руб./ч]; 72243c21 [руб./ч]; 84422c'

34 [руб./ч].

В полученной ТЗ условие баланса не выполняется, т.к. суммарный фонд времени станков больше, чем это необходимо для выполнения плана по выпуску всех тканей (260 ч > 200 ч). Введем фиктивный столбец фВ и запишем все пересчитанные параметры РЗ в

транспортную матрицу (см. табл.5.3). Фиктивные тарифы для упрощения приравняем к нулю.

Таблица 5.3 Транспортная матрица задачи №5.1

Ткани Станки В1 В2 В3 В4 ВФ Фонд времени

a , ч А1

48

30

54

42

0 90

А2 72

60

72

42

0 110

А3 144

90

90

84

0 60

Объем выпуска jb ,

ч 50 30 100 20 60

Для упрощения вместо оптимального решения рассмотрим опорный план СЗУX , найденный методом северо-западного угла.

фСЗУ

6000

00002090000103050

X [ч].

Преобразуем опорный план ТЗ СЗУX в опорный план РЗ СЗУX согласно (5.6)

фСЗУX

18000

000040180000103050

[ч].

Таким образом, первый станок должен 50 ч производить ткань первого вида, 30 ч – ткань второго вида и 10 ч – ткань третьего вида. Второй станок должен 180 ч производить ткань третьего вида и 40 ч – ткань четвертого вида. А третий станок будет простаивать, не выпуская ткань вообще, т.к. согласно решению, его загрузка находится в фиктивном

столбце ( ф35 180x ).

Определим, сколько метров ткани каждого вида должны произвести станки по формуле (5.7)

0

0

0000840162000

01809001200Xк

СЗУ [м].

Определим общую себестоимость производства по формуле (5.1), используя

вычисленные значения элементов матрицы кСЗУX

160208401162041803900112002XL (руб.).

Задача 5.2. Задача о назначениях – это РЗ, в которой для выполнения каждой работы требуется один и только один ресурс (один человек, одна автомашина и т.д.), а каждый ресурс может быть использован на одной и только одной работе. То есть ресурсы не делимы между работами, а работы не делимы между ресурсами. Таким образом, задача о назначениях является частным случаем ТЗ. Задача о назначениях имеет место при назначении людей на должности или работы, автомашин на маршруты, водителей на машины, при распределении групп по аудиториям, научных тем по научно-исследовательским лабораториям и т.п.

Пусть, имеется n исполнителей, которые могут выполнить n различных работ. Известна стоимость ijc (затраты, издержки) от выполнения i -м исполнителем j -й работы

( , 1,i j n ). Необходимо так назначить исполнителей на работы, чтобы добиться минимальной суммарной стоимости такого назначения при условии, что каждый исполнитель может быть назначен только на одну работу и каждую работу может выполнять только один исполнитель.

Исходные параметры модели задачи о назначениях

1. n – количество ресурсов, m – количество работ. 2. 1ai – единичное количество ресурса iA ( n,1i ), например: один работник;

одно транспортное средство; одна научная тема и т.д. 3. 1b j – единичное количество работы jB ( m,1j ), например: одна

должность; один маршрут; одна лаборатория. 4. ijc – характеристика качества выполнения работы jB с помощью ресурса iA .

Например, компетентность i-го работника при работе на j-й должности; время, за которое i-е транспортное средство перевезет груз по j-му маршруту; степень квалификации i-й лаборатории при работе над j-й научной темой.

Искомые параметры

1. ijx – факт назначения или не назначения ресурса iA на работу jB :

.работу ю-j на назначен ресурс й-i если , 1

,работу ю-j на назначен не ресурс й-i если ,0ijx

2. XL – общая (суммарная) характеристика качества распределения ресурсов по работам. Таблица 5.4

Общий вид транспортной матрицы задачи о назначениях

Работы, jB

Ресурсы, iA 1В 2В … mB Количество

ресурсов

1А 11c 12c … m1c 1

2А 21c 22c … m2c 1 … … … … … …

nA 1nc 2nc … nmc 1

Количество работ 1 1 … 1

m

1jj

n

1ii ba

Модель задачи о назначениях

minxcXLn

1i

m

1jijij

;

. m1,j ;n1,i ,1,0

x

,m1,j 1x

,n1,i 1x

ij

n

1iij

n

1jij

Задача о назначениях является частным случаем транспортной задачи, но

(5.8)

специфическая структура задачи позволила разработать так называемый "Венгерский метод" ее решения. В некоторых случаях, например, когда ijc – это

компетентность, опыт работы или квалификация работников, условие задачи может требовать максимизации ЦФ, в отличие от (5.1). В этом случае ЦФ XL заменяют на

XLXL1 и решают задачу с ЦФ minXL1 , что равносильно решению задачи с ЦФ maxXL .

Для решения задачи о назначениях можно воспользоваться методом Фогеля или венгерским методом. Венгерский метод является модификацией симплекс-метода и основывается на том, что оптимальное решение задачи не изменится, если ко всем элементам какой-либо строки или столбца матрицы стоимостей прибавить или вычесть константу. Венгерский метод.

1. В исходной матрице стоимостей для каждой строки определяется минимальный элемент и вычитается из всех элементов строки.

2. В матрице, полученной на предыдущем шаге, для каждого столбца определяется минимальный элемент и вычитается из всех элементов этого столбца.

3. Так как мы рассматриваем задачу на минимум, то оптимальному назначению соответствуют нулевые элементы матрицы, полученной на предыдущем шаге.

4. В некоторых случаях нулевые элементы, полученные в матрице стоимостей на предыдущих шагах, не позволяют непосредственно получить решение. В этом случае необходимо:

4.1. В последней матрице, полученной выше, провести минимальное число горизонтальных и вертикальных линий по строкам и столбцам так, чтобы вычеркнуть в матрице все нулевые элементы;

4.2. Найти наименьший не вычеркнутый элемент, вычесть его из всех не вычеркнутых элементов и прибавить к элементам, стоящим на пересечении проведенных на предыдущем шаге линий.

4.3. Произвести назначение на нулевые элементы матрицы стоимостей. Если это невозможно — повторить шаг 4.

Пример задачи о назначениях Трое студентов хотели бы немного заработать в свободное время. В фирме, в

которую они обратились, есть три вида работ, которые они могли бы выполнить. При собеседовании (которое проводилось раздельно) менеджер спросил у каждого, сколько за каждый вид работ они хотят получить. Результаты собеседования представлены в Табл. 35.

Табл. 35 Результаты собеседования

Работа 1 Работа 2 Работа 3 Студент 1 15 10 9 Студент 2 9 15 10 Студент 3 10 12 8

Как менеджеру, основываясь на этой информации, наиболее эффективным образом (для

фирмы) распределить работы между студентами?

Модуль 2. Лекция 6. ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Цель: рассмотреть принцип оптимальности Беллмана и его применение к решению практических задач. Динамическое программирование представляет собой математический аппарат, позволяющий быстро находить оптимальное решение в случае, когда анализируемая ситуация не содержит факторов неопределённости, но имеется большое количество вариантов поведения, приносящих различные результаты, среди которых необходимо выбрать наилучший. Динамическое программирование подходит к решению некоторого класса задач путем их разложения на части, небольшие и менее сложные задачи. В принципе, задачи такого рода могут быть решены путем перебора всех возможных вариантов и выбора среди них наилучшего, однако часто такой перебор весьма затруднителен. В этих случаях процесс принятия оптимального решения может быть разбит на шаги (этапы) и исследован с помощью метода динамического программирования.

Решение задач методами динамического программирования проводится на основе сформулированного Р.Э. Беллманом принципа оптимальности: оптимальное поведение обладает тем свойством, что каким бы ни было первоначальное состояние системы и первоначальное решение, последующее решение должно определять оптимальное поведение относительно состояния, полученного в результате первоначального решения.

Т.е. планирование каждого шага должно проводиться с учетом общей выгоды, получаемой по завершении всего процесса, что и позволяет оптимизировать конечный результат по выбранному критерию. Вместе с тем динамическое программирование не является универсальным методом решения. Практически каждая задача, решаемая этим методом, характеризуется своими особенностями и требует проведения поиска наиболее приемлемой совокупности методов для ее решения. Кроме того, большие объемы и трудоемкость решения многошаговых задач, имеющих множество состояний, приводят к необходимости отбора задач малой размерности либо использования сжатой информации. Динамическое программирование применяется для решения таких задач, как распределение дефицитных капитальных вложений между новыми направлениями их использования; разработка правил управления спросом или запасами; разработка принципов календарного планирования производства и выравнивания занятости в условиях колеблющегося спроса на продукцию; составления календарных планов текущего и капитального ремонтов оборудования и его замены; поиск кратчайших расстояний на транспортной сети, формирование последовательности развития коммерческой операции и т.д. Пусть процесс оптимизации разбит на n шагов. На каждом шаге необходимо определить два типа переменных - переменную состояния S и переменную управления X. Переменная S определяет, в каких состояниях может оказаться система на данном k-ом шаге. В зависимости от S на этом шаге можно применить некоторые управления, которые характеризуются переменной X. Применение управления X на k-ом шаге приносит некоторый результат Wk(S, Xk) и переводит систему в некоторое новое состояние S' (S, Xk). Для каждого возможного состояния на k-ом шаге среди всех возможных управлений выбирается оптимальное управление X*

k, такое, чтобы результат, который достигается за шаги с k-ого по n-ый оказался оптимальным. Числовая характеристика этого результата называется функцией Беллмана Fk(S) и зависит от номера шага k и состояния системы S.

Все решение задачи разбивается на два этапа. На первом этапе, который называют условной оптимизацией, отыскивается функция Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего. После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-ого по первый, производится второй этап решения задачи, который называется безусловной оптимизацией. В общем виде задача динамического программирования формулируется следующим образом: требуется определить такое управление

*X , переводящее систему из начального

состояния S0 в конечное состояние Sn, при котором целевая функция F(S0,*

X ) принимает наибольшее (наименьшее) значение. Особенности математической модели динамического программирования заключаются в следующем: 1) задача оптимизации формулируется как конечный многошаговый процесс управления; 2) целевая функция (выигрыш) является аддитивной и равна сумме целевых функций каждого шага:

),(1

1 k

n

kkk XSFF

3) выбор управления Xk на каждом шаге зависит только от состояния системы к этому шагу Sk-1 и не влияет на предшествующие шаги (нет обратной связи); 4) состояние системы Sk после каждого шага управления зависит только от предшествующего состояния системы Sk-1, и этого управляющего воздействия Xk (отсутствие последействия) и может быть записано в виде уравнения состояния: Sk=fk (Sk-1, Xk), k = 1, n; 5) на каждом шаге управление Xk зависит от конечного числа управляющих переменных, а состояние системы Sk зависит от конечного числа параметров; 6) оптимальное управление представляет собой вектор

*X , определяемый

последовательностью оптимальных пошаговых управлений: ),...,,...,,( ***2

*1 nk XXXXX ,

число которых и определяет количество шагов задачи. Условная оптимизация. Как уже отмечалось выше, на данном этапе отыскивается функция Беллмана и оптимальные управления для всех возможных состояний на каждом шаге, начиная с последнего в соответствии с алгоритмом обратной прогонки. На последнем, n-ом шаге найти оптимальное управление *

nX и значение функции Беллмана Fn(S) не сложно, так как Fn(S) = max{Wn(S, Хn)}, где максимум ищется по всем возможным значениям Хn).

Дальнейшие вычисления производятся согласно рекуррентному соотношению, связывающему функцию Беллмана на каждом шаге с этой же функцией, но вычисленной на предыдущем шаге:

Fk(S) = max{Wk(S, Xk) + Fk+1(S’(S,Xk ))} (6.1) Этот максимум (или минимум) определяется по всем возможным для k и S значениям переменной управления X. Безусловная оптимизация. После того, как функция Беллмана и соответствующие оптимальные управления найдены для всех шагов с n-го по первый (на первом шаге k=1 состояние системы равно ее начальному состоянию S0), осуществляется второй этап решения задачи. Находится оптимальное управление на первом шаге X1, применение которого переведет систему в состояние S1(S, х1*), зная которое, можно, пользуясь результатами условной оптимизации, найти оптимальное управление на втором шаге, и так далее до последнего n-го шага. Рассмотрим примеры решения трёх задач с использованием динамического программирования, содержание которых требует выбора переменных состояния и управления.

2. Задача об оптимальном распределении инвестиций Требуется вложить имеющиеся Т единиц финансовых средств в n предприятий, прибыль gi(xi) от которых в зависимости от количества вложенных средств xi определяется таблицей, так, чтобы суммарная прибыль со всех предприятий была максимальной. g1 g2 … gi … gn x1 g1(x1) g2(x1) … gi(x1) … gn(x1) x2 g1(x2) g2(x2) … gi(x2) … gn(x2) xi … … … gi(xi) … … xn G1(xn) g2(xn) … gi(xn) … gn(xn) g1(xi) - прибыль i-ого предприятия при вложении в него хi средств Математическая модель задачи будет следующей: Определить вектор ),...,,...,,( ***

2*1 nk XXXXX , удовлетворяющий условиям

,1

Txn

ii

xi≥ 0, I=1,n и обеспечивающий максимум целевой функции

n

iiii xgxXF

1

*max)()(

Процесс оптимизации разобьем на n шагов, и на k-ом шаге будем оптимизировать инвестирование не всех предприятий, а только предприятий с k-го по n-е. При том на них расходуются не все средства, а некоторая меньшая сумма Ck≤T, которая и будет являться переменной состояния системы. Переменной управления на k-ом шаге назовем величину хk средств, вкладываемых в k-оe предприятие. В качестве функции Беллмана Fk(Ck) на k-ом шаге в этой задаче можно выбрать максимально возможную прибыль, которую можно получить с предприятий с k-го по n-е при условии, что на их инвестирование осталось Ck средств. Очевидно, что при вложении в k-e предприятие хk средств, получим прибыль gk(хk), а система к (k+1)-ому шагу перейдёт в состояние Ck+1=Ck - хk, т.е. на инвестирование предприятий с (k+l)-гo до n-го останется Ck+1 средств. Таким образом, на первом шаге условной оптимизации при k=n функция Беллмана представляет собой прибыль только с n-ого предприятия. При этом на его инвестирование может выделяться количество средств Ck, 0≤Ck≤Т. Очевидно, чтобы получить максимум прибыли с этого последнего предприятия, надо вложить в него все эти средства, т.е. Fn(Cn)=gn(Cn) и xn=Cn. На каждом из последующих шагов для вычисления функции Беллмана следует использовать результаты, полученные на предыдущем шaгe. Максимально возможная прибыль, которая может быть получена с предприятий k по n будет равна Fk(Ck) = max {gk(xk) +Fk+1(Ck -хk)}, k=1,n. (6.2) xk ≤Ck Максимум этого выражения достигается на некотором значении х*k, которое и является оптимальным управлением на k-ом шаге для состояния системы Ck. Аналогично можно отыскать функции Беллмана и оптимальные управления вплоть до шага k=l. Функция Беллмана F1(C1) представляет собой максимально возможную прибыль со всех предприятий (с 1-ого по n-ое), а значение x*1, на котором достигается максимум прибыли, является оптимальным количеством средств, которые необходимо вложить в 1-ое предприятие. Далее, для всех последующих шагов вычисляется величина Ck= Ck-1 - Xk и оптимальным управлением на k-ом шаге является то значение Хk, которое доставляет максимум прибыли при соответствующем состоянии системы Ck. Пример 6.1. Распределить Т = 40 ден. ед. по трём предприятиям с целью получения максимальной суммарной прибыли. Прибыль с предприятий задаётся таблицей 6.1: Таблица 6.1

X g1 g2 g3 0 0 0 0

10 17 21 19 20 23 25 24 30 34 30 29 40 40 37 32

Решение. I этап. Условная оптимизация 1 шаг. k=З. Предполагаем, что все средства 40 ден. ед. переданы на инвестирование третьего предприятия. В этом случае максимальная прибыль составит F3(C3) = 32, см таблицу 6.2.

Таблица 6.2 x3

C3 0 10 20 30 40 F3(C3) X*3

0 0 - - - - 0 0 10 - 19 - - - 19 10 20 - - 24 - - 24 20 30 - - - 29 - 29 30 40 - - - - 32 32 40

2 шаг. k=2. Определяем оптимальную стратегию инвестирования во второе и третье предприятие. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет иметь вид: F2(C2) = max {g2(x2) +F3(C2 – х2)}. x2 ≤C2 На его основе рассчитывается таблица 6.3.


C2 0 10 20 30 40 F2(C2) X*2

0 0 + 0 - - - - 0 0 10 0+19 21 + 0 - - - 21 10 20 0+24 21+19 25 + 0 - - 40 10 30 0+29 21+24 25+19 30 + 0 - 45 10 40 0+32 21+29 25+24 30+19 37+0 50 10

3 шаг. k=1. Определяем оптимальную стратегию инвестирования в первое и остальные предприятия. При этом рекуррентное соотношение Беллмана будет иметь вид: F1(C1) = max {g1(x1) +F2(C1 – х1)}. x1 ≤C1 На его основе рассчитывается таблица 6.4.


C1 0 10 20 30 40 F1(C1) X*1

0 0 + 0 - - - - 0 0 10 0+21 17 + 0 - - - 21 0 20 0+40 17+21 23 + 0 - - 40 0 30 0+45 17+40 23+21 34 + 0 - 57 10 40 0+50 17+45 23+40 34+21 40+0 63 20

II этап. Безусловная оптимизация. 1-й шаг. По данным табл. 6.4. максимальный доход при инвестировании 40 ден. ед. между тремя предприятиями составляет: F1(5)=63. При этом первому предприятию нужно выделить х1 = 20 ден. ед.

2-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю второго и третьего предприятий. С2=С1 - х*1= 40 - 20 = 20. По данным табл. 6.3 находим, что оптимальный вариант распределения денежных средств размером 20 ден. ед.. между вторым и третьим предприятиями составляет: F2(3)=40 ден. ед. при выделении второму предприятию х2 = 10 ден. ед.. 3-й шаг. Определяем величину оставшихся денежных средств, приходящуюся на долю третьего предприятия: С3=С2 - х*2= 20 – 10 = 10 ден. ед. По данным табл. 6.2 находим F3(2) = 19 и х*3 = 10 ден. ед. Таким образом, оптимальный план инвестирования предприятий Х*=(20,10,10), обеспечивающий максимальный доход, равный F(40) = g1(20) + g2(10) + g3(10)=23 + 21 + 19 = 63 ден. ед.

3. Задача выбора стратегии обновления оборудования Важной экономической проблемой является своевременное обновление оборудования: станков, автомобилей, компьютеров и др. Старение оборудования включает физический и моральный износ, в результате чего растут затраты на ремонт и обслуживание, снижается производительность труда и ликвидная стоимость. Задача состоит в определении оптимальных сроков замены старого оборудования. Критерием оптимальности являются либо доход от эксплуатации оборудования (задача максимизации), либо суммарные затраты на эксплуатацию (задача минимизации) в течение планируемого периода. Эксплуатация оборудования планируется в течение n лет, но оборудование имеет тенденцию с течением времени стареть и приносить всё меньшую годовую прибыль r(t), где t - возраст оборудования. При этом есть возможность: либо в начале любого года продать устаревшее оборудование за цену s(t), которая также зависит от возраста, и купить новое оборудование за цену Р; либо оставить оборудование в эксплуатации. Требуется найти оптимальный план замены оборудования с тем, чтобы суммарная прибыль за все n лет была максимальной, учитывая, что к началу эксплуатационного периода возраст оборудования составляет t0 лет.

Входными данными в этой задаче являются:

r(t) – доход от эксплуатации в течении одного года оборудования возраста t лет; S(t) - остаточная стоимость оборудования; Р - цена нового оборудования; t0 - начальный возраст оборудования.

t 0 1 … n r r(0) r(1) … r(n) S S(0) S(1) … S(n)

Остановимся на k- ом шаге решения задачи. Переменной управления на k-ом шаге является логическая переменная, которая может

принимать два значения: С - сохранить, З - заменить оборудование в начале k-го года.

Переменной состояния системы на k-ом шаге является переменная t.

Функцию Беллмана Fk(t) определим как максимально возможную прибыль от эксплуатации оборудования за годы с k-го по n-й, если к началу k-го года возраст оборудования составлял t лет. Применяя то или иное управление, мы переводим систему в некоторое новое состояние, а именно, если в начале k-го года мы оборудование сохраняем, то к началу следующего (k+l)-гo года его возраст увеличится на 1 (состояние системы станет t+1), за этот год оно принесёт прибыль r(t), и максимально возможная прибыль за оставшиеся годы (с (k+l)-гo по n-й) составит Fk+1(t+l). Если же в начале k-го года принимаем решение на замену оборудования, то мы продаём старое оборудование

возраста t лет за цену S(t), покупаем новое оборудование за цену Р и эксплуатируем новое оборудование в течение k-го года, что приносит за этот год прибыль r(0). К началу следующего года возраст оборудования составит 1 год, и за все годы с (k+l)-ro по n-й максимально возможная прибыль будет Fk+1(l). Из этих двух вариантов управления выбираем тот, который приносит большую прибыль. Уравнение Беллмана на каждом шаге имеет вид

)(),1()0()()(),1()(

max)(1

1

ЗFrPtSCtFtr

tFk

kk (6.3)

Функцию Беллмана для первого шага (k=n) легко вычислить - это максимально возможная прибыль только за последний n-й год:

)(),0()()(),(

max)(ЗrPtS

CtrtFn (6.4)

Вычислив значение функции Fn(t) по формуле (6.4), далее можно посчитать Fn-1(t), затем Fn-2(t) и так далее до F1(t0). F1(t0) представляет собой максимально возможную прибыль за все годы (с 1-ого по n-й). Этот максимум достигается при некотором управлении, применяя которое на первом году, мы определяем возраст оборудования к началу второго года (в зависимости от того, какое управление является для первого года оптимальным, это будет 1 или t0+1). Для данного возраста оборудования по результатам, полученным на этапе условной оптимизации, мы смотрим, при каком управлении достигается максимум прибыли за годы со 2 по n-й и так далее. На этапе безусловной оптимизации отыскиваются годы, в начале которых следует произвести замену оборудования. Пример 6.2. Найти оптимальный план замены оборудование на период продолжительностью 6 лет, если годовая прибыль и остаточная стоимость в зависимости от возраста задаются таблицей. Стоимость нового оборудования равна 14 ден. ед., возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составляет 1 год.

T 0 1 2 3 4 5 6 r(t) 10 9 9 8 8 7 6 S(t) 12 10 9 8 6 5 4

Решение. I этап. Условная оптимизация. 1 шаг. k=6. Возможные состояния системы t=1,2,…,6. Расчет будет вестись по формуле (6.4):

)(9101410

9max)1(6 СF

)(910149

9max)2(6 СF

)(810148

8max)3(6 СF

)(810146

8max)4(6 СF

)(710145

7max)5(6 СF

)(610144

6max)6(6 СF

2 шаг. k=5. Возможные состояния системы t=1,2,…,5. Расчет будет вестись по формуле (6.3):

)(189101410

99max)1(5 СF

)(17910149

89max)2(5 СF

)(16910148

88max)3(5 СF

)(15910146

78max)4(5 СF

)(13910145

67max)5(5 СF

3 шаг. k=4. Возможные состояния системы t=1,2,…,4. Расчет будет вестись по формуле (6.3):

)(2618101410

179max)1(4 СF

)(251810149

169max)2(4 СF

)(231810148

158max)3(4 СF

)(211810146

138max)4(4 СF

4 шаг. k=3. Возможные состояния системы t=1,2,3. Расчет будет вестись по формуле (6.3):

)(3426101410

259max)1(3 СF

)(322610149

239max)2(3 СF

)(302610148

218max)3(3 ЗF

5 шаг. k=2. Возможные состояния системы t=1,2. Расчет будет вестись по формуле (6.3):

)(4134101410

329max)1(2 СF

)/(393410149

309max)2(2 ЗСF

6 шаг. k=1. Возможные состояния системы t=1. Расчет будет вестись по формуле (6.3):

)(4841101410

399max)1(1 СF

II этап. Безусловная оптимизация Представим результаты вычисления функции Беллмана в виде следующей таблицы:

t k

1 2 3 4 5 6

1 48 2 41 39

3 34 32 30 4 26 25 23 21 5 18 17 16 15 13 6 9 9 8 8 7 6

Выделенное значение функции Беллмана соответствует замене. Максимально возможная прибыль от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 6-ой F1(l)= 48 и достигается, если замену оборудования провести один раз - в начале третьего года его эксплуатации.

4. Выбор оптимального пути в транспортной сети Транспортная сеть состоит из n узлов, некоторые из которых соединены магистралями. Стоимость проезда по каждой из таких магистралей известна и отмечена на схеме. Найти оптимальный маршрут проезда из 1-го пункта в n-ый. Рассмотрим решение данной задачи на конкретном примере. Пусть сеть состоит из 10 узлов (будем называть их также городами), соединённых магистралями согласно схеме: 5 6 10 9 7 6 3 8 8 4 6 11 9 5 Стоимость проезда из пункта i в пункт j равна tij, и элементы этой матрицы занесены в схему. Требуется найти оптимальный маршрут из 1-ого пункта в 10-ый. В данной задаче имеется серьёзное ограничение - двигаться по магистралям можно только слева направо. Это даёт нам возможность разбить всю транспортную сеть на пояса и отнести каждый из десяти пунктов к одному из четырёх поясов. Будем говорить, что пункт принадлежит k-ому поясу, если из него можно попасть в конечный (10-ый) пункт ровно за k шагов, т.е. с заездом ровно в k-1 промежуточный пункт. Таким образом, пункты 7, 8 и 9 принадлежат к первому поясу, 5 и 6 - ко второму, 2, 3 и 4 - к третьему и 1 - к четвертому. На k-ом шаге будем находить оптимальные маршруты из городов k-ого пояса до конечного пункта. Оптимизацию будем производить с хвоста процесса, и потому, добравшись до k-ого шага, мы не можем знать, в какой именно из городов k-ого пояса мы попадём, двигаясь из пункта 1. Поэтому для каждого из этих городов мы должны будем найти оптимальный маршрут до конечного пункта. Очевидно, что минимально возможная стоимость проезда из городов k-ого пояса до пункта 10 будет зависеть только от того, в каком из городов этого пояса мы оказались. Номер S города, принадлежащего k-ому поясу, и будет называться переменной состояния данной системы на k-ом шаге. Нужно помнить, что добравшись до k-ого шага, мы уже осуществили предыдущие шаги, в частности, нашли оптимальные маршруты по перемещению из любого города (k-l)-oго пояса в конечный пункт. Таким образом, находясь в некотором городе S k-ого пояса, мы должны принять решение о том, в какой из городов (k-l)-oгo пояса следует отправиться, а направление дальнейшего движения уже известно нам из предыдущих шагов. Номер J города (k-1)-ого пояса будет являться переменной управления на k-ом шаге. Функция Беллмана на k-ом шаге решения задачи дает нам возможность рассчитать минимальную стоимость проезда из города S (k-ого пояса) до конечного пункта. Для первого шага (k=1) эту величину отыскать не сложно - это стоимость проезда из городов 1-ого пояса непосредственно до конечного пункта: F1(i)=Ci10. Для последующих же шагов стоимость проезда складывается

из двух слагаемых - стоимости проезда из города S k-ого пояса в город J (k-l)-oгo пояса и минимально возможной стоимости проезда из города J до конечного пункта, т.е. Fk-1(J). Таким образом, функциональное уравнение Беллмана на k-ом шаге решения будет иметь вид:

Fk(S)=min {tsj+Fk-1(j)}. j

Минимум стоимости достигается на некотором значении J*, которое и является оптимальным направлением движения из пункта S в сторону конечного пункта. На четвёртом шаге мы попадаем в 4-ый пояс, и состояние системы становится определённым S=1. Функция Беллмана F4(1) представляет собой минимально возможные затраты по перемещению из 1-ого пункта в 10-ый. Оптимальный маршрут можно найти, просмотрев результаты всех шагов в обратном порядке, учитывая, что выбор некоторого управления J на k-ом шаге приводит к тому, что состояние системы на (k-1)-ом шаге становится определённым. Решение. I этап. Условная оптимизация 1 шаг. k=1. F1(S)=ts10.

S\J 10 F1(S) J* 7 9 9 10 8 3 3 10 9 11 11 10

2 шаг. k=2. Функциональное уравнение на данном шаге принимает вид: F2(S)=min {tsj+F1(j)}. j

Результаты расчета по приведенной формуле приведены в следующей таблице: S\J 7 8 9 F2(S) J* 5 6+9 6+3 - 9 8 6 8+9 4+3 5+11 7 8

3 шаг. k =3. Функциональное уравнение на данном шаге принимает вид:

F3(S)=min {tsj+F2(j)}. j

Результаты расчета по приведенной формуле приведены в таблице: S\J 5 6 F3(S) J* 2 5+9 - 14 5 3 7+9 - 16 5 4 - 9+7 16 6

4 шаг. k =4. Функциональное уравнение на данном шаге принимает вид:

F4(S)=min {tsj+F3(j)}. j

Результаты расчета по приведенной формуле приведены в таблице: S\J 2 3 4 F4(S) J* 1 10+14 8+16 6+16 22 4

II этап. Безусловная оптимизация. На этапе условной оптимизации получено, что минимальные затраты на проезд из пункта 1 в пункт 10 составляют F4(1) =22, что достигается следующим движением по магистралям. Из пункта 1 следует направится в пункт 4, затем из него в пункт 6, затем в пункт 8 и из него в пункт 10. Таким образом, оптимальный маршрут будет 1-4-6-8-10.

Лекция 7. НЕЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ Цель: Рассмотреть некоторые методы решения задач нелинейного программирования.

1. Постановка задачи нелинейного программирования Нелинейное программирование — это математический аппарат для поиска экстремума нелинейных функций при наличии ограничений. В общем виде задача нелинейного программирования (НП) записывается так: найти min f(x1, x2,...., xn) (7.1)

при условиях

g1(x1, x2,...., xn) ≤ 0; g2(x1, x2,...., xn) ≤ 0; . . . . . . . . . . . . . . . . . (7.2) gm(x1, x2,...., xn) ≤ 0; где f(x1, x2,...., xn) и/или ограничения gi(x1, x2,...., xn) - нелинейные функции переменных x1, x2,...., x n. Условие gi(x1, x2,...., xn) = 0, можно заменить на два: gi(x1, x2,...., xn) ≤ 0 и gi(x1, x2,...., xn) ≥ 0. В отличие от линейного программирования для нелинейного программирования отсутствуют универсальные методы решения типа симплекс-метода. Это связано с тем, что допустимое множество решений R(x1, x2,...., xn), определяемое условиями (7.2), в общем случае не является выпуклым, а, кроме того, даже в случае выпуклости R(x1, x2,...., xn) множество его крайних точек не будет конечным. В связи с указанными обстоятельствами методы нелинейного программирования разрабатываются лишь под специальные классы задач. Решение задачи нелинейного программирования состоит в определении оптимального плана (вектора) х*єХ (X Rn) такого, что f(х*) ≤ f(х) на множестве X векторов х = (x1, x2,...., xn). Если множество X выпукло и функция f выпукла на X, то задача (7.1)-(7.2) является задачей выпуклого программирования (ВП). Если f - выпуклая функция, то (– f) называется вогнутой функцией. При этом х* - точка минимума f является точкой максимума (– f) и наоборот. Свойства выпуклых функций:

1. Если gi(x) в (2) - выпуклы, то Х - выпуклое множество.

2. Сумма выпуклых функций является выпуклой функцией.

3. Если выпуклая функция f имеет в точке х° локальный минимум, то этот минимум

является и глобальным.

4. Стационарная точка выпуклой дифференцируемой функции является точкой

глобального минимума. В случае строгой выпуклости функции эта точка -

единственная.

Наличие этих свойств объясняет тот факт, что из всех методов решения задач нелинейного программирования наиболее разработанными являются методы решения задач выпуклого программирования, которые, в основном, приведены далее. Так как max (-f) = -min f, то достаточно рассмотреть задачи на минимум.

2. Примеры моделей задач выпуклого программирования: 1. Определение потребности в ресурсах с целью максимизации выпуска продукции для производственной функции f: f(x) → max, 0≤xi ≤ bi, i=1, ..., n.

2. Определение потребности в ресурсах с целью максимизации прибыли:

F=P0f(x)-(p, х) → max, 0≤xi ≤ bi, i=1, ..., n, где P0 - цена продукта, р = (р1, ...,рn) - вектор цен ресурсов. 3. Распределение ресурсов между отраслями, производящими потребительские продукты, с целью максимизации уровня их потребления ψ(у): где у =(y1,..., уn) - вектор потребления продуктов: ψ(у) → max, 0≤yi ≤ fi, i=1, ..., m;

n.1,...,j ,0x , j1

n

jj bx

Предполагается, что f(x) и ψ(у) - вогнутые функции.

3. Решение задач НП с ограничениями-равенствами Основным среди точных методов решения задач нелинейного программирования данного типа является метод множителей Лагранжа. ТЕОРЕМА 1 Если х* - точка локального минимума дифференцируемой функции f(x), то при ограничениях gi(х)=0, удовлетворяющих некоторому условию регулярности, для функции Лагранжа

L(x, λ )=f(x)+

m

iii xg

1)( (7.3)

существует вектор множителей Лагранжа λ*=(λ*1,..., λ*m) такой, что

njxxg

xxf

xxL

j

im

ii

jj

,1 ,0*)(*)(),(

1

***

(7.4)

mixgxLi

i

,1 ,0)(),( ***

(7.5)

Замечания: 1) Множители Лагранжа λ*i, (i=l,...,m) имеют произвольные знаки. 2) Если f и gi выпуклы, то необходимые условия (7.4) -(7.5) являются и достаточными для существования решения х* задачи (7.1)-(7.2). 3) Требование регулярности связано с существованием решения системы (7.4)-(7.5).

Метод множителей Лагранжа позволяет отыскивать максимум или минимум функции f(x1, x2,...., xn) при ограничениях - равенствах, т.е. в (7.2.) все ограничения являются равенствами. Основная идея метода заключается в переходе от задачи на условный экстремум к задаче отыскания безусловного экстремума некоторой специально построенной функции Лагранжа. Пусть требуется найти

min f(x1, x2,...., xn) (7.6) при ограничениях g1(x1, x2,...., xn) = 0; . . . . . . . . . . . . . . . . . (7.7) gm(x1, x2,...., xn) = 0; Составим функцию Лагранжа следующего вида:

L(x1, x2,...., xn; λ1, λ2,...., λm) =f(x1, x2,...., xn) + ).,...,,(1

21 n

m

iii xxxg

(7.8)

Для того чтобы вектор Х0 = {х0j}, j= 1,n являлся решением задачи (7.6) -(7.7), необходимо

существование такого вектора Λ0={λ01, λ0

2, ..., λ0m}, чтобы пара векторов (Х0, Λ0)

удовлетворяла системе уравнений:

n1,j ,0),( 00

jxXL

(7.9)

m1,i ,0)(),(

000

XgXL

ii

(7.10)

Метод множителей Лагранжа состоит из следующих шагов: Шаг 1. Составляем функцию Лагранжа вида (7.8).

Шаг 2. Составляем систему нелинейных уравнений (7.9) - (7.10). Шаг 3. Находим решения системы нелинейных уравнений (Xs*, Λs*) и исследуем

функцию f(X) в окрестности точек Xs* на максимум (минимум).

Пример 7.1. Найти условный экстремум следующей задачи НП:

(x1-2)2 + (х2-З)2 → min при условии x1+х2 = 7.

Решение. Составим функцию Лагранжа:

L(х1 х2, λ) = (x1-2)2 + (х2-З)2 +λ(7 - x1- х2). Уравнения (2.5) - (2.7) в данном случае принимают вид:

,0)2(2),,(1

1

21

xxxxL

,0)3(2),,(2

1

21

xxxxL

.07),,(

2121

xxxxL

Решая эту систему, находим ее корни: х01=3, х0

2= 4, λ0 = 2. Далее исследуем характер функции f(x1, х2) в окрестности точки (х0

1=3, х02=4), для этого находим

02)( ;02)(22

02

2221

02

11

xXff

xXff ;

0)(

21

02

2112

xxXfff

Так как f11(X0) > 0 и ,02221

1211 ffff

то функция выпукла, и в точке X0 имеем абсолютный

минимум. Ответ. Оптимальный план х*=(3, 4). Пример 7.2. В двух цехах предприятия нужно изготовить 20 изделий некоторой продукции. Затраты, связанные с изготовлением х1 изделий в 1-м цехе, равны 5х2

1 руб., а затраты при изготовлении х2 изделий во 2-м цехе равны 10х2+ 5х2

2 руб. Составить план производства изделий в двух цехах с минимальными затратами. Математическая модель задачи: f =5х2

1+10х2+ 5х22 → min

х1+х2 =20 х1 ≥ 0; х2 ≥0.

Решение. Запишем функцию Лагранжа L=5х2

1+10х2+5х22 + λ(х1+х2 - 20)

Для данной функции получим в точке экстремума:

11

10xxL =0

01010 22

xxL

02021 xxL

Решая эту систему уравнений, получим: х1= 10,5; х2= 9,5; λ=-105 Так как функция f выпукла как сумма выпуклых функций на выпуклом множестве: отрезке прямой х1+х2 =20, лежащем в 1-й четверти, то полученная стационарная точка х=(10,5; 9,5) является точкой глобального минимума. Ответ. Оптимальный план х*=(10,5; 9,5) изделий. Пример 7. 3. Найти экстремум функции методом множителей Лагранжа для следующей задачи:

f(X)=x1x2x3 при условиях

x1 + x2 +x3= 6 x1x2+x1x3+x2x3=12

Составляем функцию Лагранжа L(X,Λ) = x1x2x3+ λ1(6 - x1 - x2 -x3) + λ2 (12- x1x2-x1x3-x2x3),

а затем систему уравнений:

0)( 3221321

xxxxxL

0)( 3121312

xxxxxL

0)( 2121213

xxxxxL

0)(6 3211

xxxL

0)((12 3231212

xxxxxxL

Сложив первые три уравнения с учетом последних двух равенств получим λ1 + 4λ2 = 4;

4)4( 1

2

;

Умножим первое уравнение на x1, второе на x2, а третье на x3 и затем сложив их получим: 3x1x2x3 - 6λ1 - 24 λ2 = 0, x1x2x3= 2 (λ1 +4λ2) = 8. Таким образом, получаем следующую систему: x1x2x3= 8; x1+x2+x3= 6 x1x2+x1x3+x2x3=12 Ее вещественное решение x°1=x°2=x°3=2. Определим характер функции f(x1,x2,x3) окрестности Х0 = (2; 2; 2):

0)( ;0)( ;0)(23

02

3322

02

2221

02

11

xXff

xXff

xXff ;

f12=f21=f31=f12=f13=f23=f32=2 Исследуем f(x1,x2,x3) на выпуклость-вогнутость

021

2

xf 04

0220

2221

12112

ffff

0162022

20222

20022202220

333231

232221

131211

3 fffffffff

Так как знаки определителей чередуются, то функция f(x1,x2,x3) вогнута, и в точке Х0(x°1=2; x°2= 2; x°3= 2) - максимум.

4. Решение задач НП с ограничениями - неравенствами Имеется задача НП в общем случае ограничений-неравенств:

min f(X) (7.11) при условиях gi(X) ≤ 0, i=1,m. (7.12) Допустим, что функция f(X) и все gi(X), i=1, т выпуклы по X. Такая задача носит название задачи выпуклого программирования и множество решений R(X), определяемое условиями (7.12), является выпуклым. Для задачи (7.11) -(7.12) справедлива следующая теорема Куна - Таккера. Теорема 2. Пусть f, gi(X), i= 1,т обладают непрерывными частными производными на некотором открытом множестве Rn, содержащем X*. Если X* является точкой минимума f(X) при ограничениях gi(X)≤0, i=1,т, удовлетворяющих некоторому дополнительному условию регулярности, то существуют такие неотрицательные множители Лагранжа λ1, λ2, .... λm, для которых выполняются следующие условия:

njxxg

xxf

xxL

j

im

ii

jj

,1 ,0*)(*)(),(

1

***

(7.13)

m1,i ;0*)( Xg ii (7.14) Последнее условие называют условием дополняющей не жесткости. Если функции f(X) и gi(X) - выпуклы по X, то условия оптимальности (7.13) и (7.14) будут не только необходимыми, но и достаточными. В этом случае условие существования решения Х и Λ, удовлетворяющего (7.13) и (7.14), которое называют условием регулярности, примет вид

X, gi(X) < 0, для всех i = 1,т. Пользуясь теоремой Куна - Таккера, задачу НП решают так:

Шаг 1. Составляют функцию Лагранжа L(X,Λ) = ).()(1

XgXf i

m

ii

Шаг 2. Составляют систему уравнений вида (7.13) - (7.14). Шаг 3. Находят ее решение (X*, Λ*). Заметим, что в отличие от задачи с ограничениями-равенствами вектор Λ* должен в этом случае удовлетворять условию не отрицательности. Выше была рассмотрена задача НП (7.11) - (7.12), когда на переменные {xi} не накладывались условия не отрицательности. Часто в задачах исследования операций приходится решать задачи, в которых переменные хi, должны удовлетворять условию хi 0 для всех i = 1, п. Основные положения теории могут быть легко распространены на этот случай. В этом случае к ограничению (7.12) следует добавить следующее ограничение:

хi 0, i = 1, п (7.15) Это ограничение в общем виде можно записать как:

hj(X)0, j=1,n. Задача теперь оказывается заданной в каноническом виде. Применим к ней теорему

Куна — Таккера, для чего составим функцию Лагранжа

n

jjji

m

ii XhXgXfXL

11

),()()(),,( (7.16)

где j 0 множители, связанные с ограничениями (2.15). Условия теоремы Куна - Таккера для (7.16) выглядят так:

n1,j ,0)()(),,(

1

jj

in

ii

jj xXg

xXf

xXL (7.17)

μjxj=0, μj 0, j = 1, п (2.18) λigi(X)=0, λi 0, i = 1,m. (2.19)

Условия (7.17) и (7.18) можно записать в следующей эквивалентной форме:

,0)()(),(

1

jj

in

ii

jj xXg

xXf

xXL (7.20)

n1,j ,0),( 0

j

j

xxXL (7.21)

Условия (7.21) представляют собой условия дополняющей не жесткости для

ограничений не отрицательности. Таким образом, получили необходимые условия для

оптимального решения задачи НП вида (7.11- 7.12), которые могут быть сформулированы

в следующей теореме.

Теорема 3. Пусть задача НП имеет вид: min f(X)

при условиях: gi(X) ≤ 0, i=1,m хi 0, i = 1,п а функции f(X) и gi(X) дифференцируемы и выпуклы по X. Вектор X0 0 является оптимальным решением задачи тогда и только тогда, когда существует такой вектор Λ0 0, что пара (Х0, Λ0) является седловой точкой функции Лагранжа L (X, Λ), т. е. выполняются следующие условия:

n1,j ,0),( 00

jxXL

,0),( 000

j

j

xx

XL

,0)(),( 000

XgXLi

i

λigi(X0) = 0, i=1,m Если задача вогнутого программирования, то ее решение определяется

следующими уравнениями:

n1,j ,0),( 00

jxXL

,0),( 000

j

j

xx

XL

,0)(),( 000

XgXLi

i

m1,i ,0),( 000

i

i

XL

Пример 7.4.

Предприятие выпускает два вида изделий А и Б. Нормы расхода на производство каждого вида изделия приведены в таблице, При этом известно, что сырья имеется 12 т, а оборудования 30 станко-часов.

Таблица

Нормы расхода ресурсов на 1 изделие

Ресурсы

Изделие А Изделие Б

Запас ресурсов

Сырье, т 3 2 12 Оборудование, станко-час

5 6 30

Оптовые цены, руб. 9 7 Определить оптимальный план реализации продукции, если себестоимость одного изделия соответственно равна: 5+0,l x1 руб. и 4 + 0,1 х2 руб., где x1 и x2 - план выпуска изделий А и Б вида. Математическая модель задачи. Прибыль предприятия при плане x=(x1; x2) равна f=[9 - (5 +0,l x1)] x1+ [7 - (4+ 0,l x2)] x2 = 4 x1 + 3 x2 – 0,1 x2

1 – 0,1 x22

Для удобства решения перейдем от задачи f→max, к задаче F = -f-→min. Тогда ее модель получит вид: F=0,1 x2

1 + 0,1 x22 – 4 x1 – 3 x2 →min

3x1 + 2x2 ≤ 12 5x1 + 6x2 ≤ 30 х1 ≥ 0; х2 ≥0.

Решение. Функция Лагранжа задачи получит вид:

L= 0,1x21+ 0,1x2

2–4x1–3x2+λ1(3x1+2x2-12)+λ2(5x1+6x2-30) Для данной функции получим в точке экстремума:

05342,0 2111

xxL

06232,0 2122

xxL

0)1223( 211 xx 0)3065( 212 xx

При решении данной системы уравнений рассмотрим четыре случая: 1. λ1=0, λ2=0. Этот случай соответствует предположению о том, что х* - внутренняя точка X. Тогда: 0,2x1– 4 = 0 0,2x2– 3 = 0 Откуда x1=20; x2= 15. Но эта точка не принадлежит X, так как условия (2) не выполняются. 2. λ1>0, λ2=0. Из λ1>0 и (2.11) следует, что точка х* лежит на границе 3x1+2x2-12=0. Отсюда получаем систему линейных уравнений вида: 0,2x1–4+3λ1=0 0,2x2–3+2λ1=0 3x1+2x2 –12=0 Решив данную систему уравнений, получаем: x1=2; x2 =3; λ1=1,2; λ2=0. 3. λ1=0, λ2>0 невозможен. 4. λ1>0, λ2>0 невозможен. Ответ. х*=(2; 3) изделий.

5. Квадратичное программирование Частным случаем нелинейного программирования является квадратичное программирование, которое предназначено для решения специального класса задач НП, в которых целевая функция квадратичная, а все ограничения линейны. В матричном виде эта задача записывается так:

найти

n

i

n

jjiij

n

jjj

TT xxcxbCXXXBXf1 11 2

121)(max (7.22)

при ограничениях AX ≤ A0 или A0 –AX ≥ 0 (7.23) где С = || сij||, i,j= 1,n симметричная, отрицательно определенная матрица,

...

An 1,j m;1,i A ;..

0

10

0n)(m

1

m

ij

n a

a

a

b

b

B

Заметим, что если С - отрицательно определенная матрица, то квадратичная форма ХTCХ вогнута, и, следовательно, задача (7.22) — (7.23) является задачей вогнутого программирования. Применив к задаче (7.22) — (7.23) теорему Куна — Таккера для вогнутого программирования, получим необходимые и достаточные условия оптимальности в виде следующей теоремы. Вектор Х≥0 является оптимальным решением задачи квадратичного программирования тогда и только тогда, когда существуют такие т-мерные векторы Λ, W≥0 и п-мерный вектор V≥0, что выполняются следующие условия:

В+СХ—АTΛ+V==0; (7.24) A0 - AX—W=0; (7.25)

VT = 0; (7.26) WTΛ=0. (7.27)

Условия (7.24) — (7.25) образуют систему из п + т линейных уравнений с 2(п + т) неизвестными (векторы X, Λ, V, W). Условия (7.26) - (7.27) — это условия дополняющей нежесткости, которые накладывают дополнительные ограничения на переменные X, Λ, V, W, а именно; если х0

j > 0, то v0j = 0; и наоборот, если х0

j= 0, то v0j ≥0; если λi > 0, то w0

j = 0, i=1, т, и наоборот. В силу этих условий искомое решение системы (7.24) - (7.25) должно быть одним из допустимых базисных, и для его отыскания можно применить любой из известных методов ЛП, в частности метод искусственных переменных. Пример 7.5. Найти условный экстремум для следующей задачи:

max f(x1, x2) = (32x1+120x2 - 4x21 - 15 x2

2) при условиях

2x1 + 5x2 ≤ 20 2x1 - x2 = 8 x1≥0, x2≥0.

Решение.

Так как ,08)(21

2

11

xxff

,030008

2221

1211

ffff

то f(x1,x2) вогнута и имеется задача квадратичного программирования. Составляем функцию Лагранжа:

L(x1, x2, λ1, λ2) = (32x1+120x2 -4x21-15x2

2+ λ1(20 - (2x1+5x2)) + λ2(8 - (2x1–x2)) Применив теорему Куна - Таккера, получим следующие условия для оптимального решения:

;022832 2111

xxL

;0530120 2122

xxL

;05220 211

xxL

;028 212

xxL

;011

xxL ;02

2

xxL ;01

1

L

Введя в систему свободные переменные v1, v2, w1, получим следующую систему уравнений:

32 - 8x1 - 2λ1- 2λ2+v1= 0; 120 - 30x2 -5λ1+ λ2+v2=0; 20 - 2х1 - 5x2 - w1 = 0; 8 – 2x1 + x2 = 0 и условия дополняющие не жесткость: x1λ1 = 0; x2λ2 = 0; λ1w1 = 0.

Поскольку второе ограничение исходной задачи выполняется как строгое равенство, то на переменную λ2 нет ограничения на не отрицательность. Сделаем следующую замену переменных: λ2= λ3- λ4, где λ3≥0 и λ4 ≥0. Запишем систему в эквивалентном виде

8x1+2λ1+2λ3- 2λ4 - v1= 32; 30x2 +5λ1- λ3+ λ4 - v2 = 120; 2х1 + 5x2 + w1 = 20; 2x1 - x2 = 8

Данную систему уравнений можно решить симплекс методом с введением искусственных переменных. Так введя искусственные переменные у1, у2, и у3 в первое, второе и четвертое ограничения, приходим к следующей задаче ЛП: Найти min М(у1+ у2+ у3) при условиях

8x1+2λ1+2λ3- 2λ4 - v1+ у2= 32; 30x2 +5λ1- λ3+ λ4 - v2 + у3= 120; 2х1 + 5x2 + w1 = 20; 2x1 - x2 + у1= 8

Решаем данную задачу симплекс-методом при дополнительном ограничении на нежесткость. После четвертой итерации получаем оптимальное решение, удовлетворяющее условиям дополняющей нежесткости: х°1=5, х°2=2; λ°1= 28/3; λ°2 = λ°3 - λ°4 = -40/3; max f(x1,x2) = 240.

6. Градиентный метод решения задач выпуклого программирования Рассмотренные методы дают точное решение задач выпуклого программирования. Однако если граница множества Х является достаточно сложной или система ограничений имеет громоздкий вид, то применение этих методов затруднительно. В этом случае применяют приближенные, или численные, методы решения. Заметим, что для задач нелинейного программирования они определяют локальный, а не глобальный экстремум. Рассмотрим один из этих методов, когда ограничения в (7.2) задаются линейными неравенствами. Пусть min f(x) = f(х*) на Х Для отыскания х* выбирают

последовательность векторов х0, х1, х2, ..., хk,... таких, что хk єХ и f(х0)> f(х1)> f(x2)>… . Если f(x) строго выпукла на X, то из f(хk) f(х*) при к можно ожидать, что хk х*. Поэтому, обрывая последовательность {хk} на некотором шаге, получим для достаточно малого заданного >0 оценку |f(хk) - f(хk+1)|< . Число характеризует точность решения хk

х*. Алгоритм градиентного метода. Сначала задается начальная точка х0. Если точка хk (к=1, 2, ...) известна, то для получения следующей точки хk+1 заменяется функция f(x) в окрестности хk линейной функцией

nn

kkk

xxxfx

xxfx

xxfF

)(....)()(

22

11

.

Тем самым получим задачу линейного программирования на максимум целевой функции F. Пусть ее решение будет zkєХ. Тогда следующую точку хk+1 находят на отрезке, соединяющем точки zk и хk, то есть хk+1= tzk+ (1-t)хk, или хk+1= xk+ t(zk - хk), 0 < t < l. Число t определяют из условия f1(x)=- f(x) max на указанном отрезке. Рассмотрим алгоритм градиентного метода на данных примера 7.4. Решение. Для f(x)=4x1- 0,1х2

1+ З x2 - 0,1х22 max получим градиент

).x0,2-3 ;2,04(;)( 2121

xxf

xfxf

Пусть х0=(1; 1) и =0,1. Тогда f(х0)=6,8 1 итерация. f(х0)=(3,8; 2,8). Находим, что точка z0 максимума F1 есть (1,5; 3,75). Применяя соотношение (22), получим: x1

1=1+t(l,5-1)=1+0,5t x1

2=1+ t(3,75-1)=1+2,75t. Для точек x є [z0; x0] имеем: f(x)= 1(t)= 4(l+0,5t)+3(l+2,75t)-0,l(l+0,5t)2-0,l(l+2,75t)2max на 0≤t≤1. 1

1(t)= 2+8,25-0,1(1+0,5t)-0,55(1+2,75t) = 0, откуда 9,6=1,5675t. Так как t>0, то возьмем максимальное допустимое значение t=1, чтобы не выйти из области X. Тогда x1

1=1,5; x1

2=3,75 или x1=(1,5; 3,75); f(xl) =15,6 и f(xl)- f(xo)≈8,8>ε. II итерация. f(х1)=(3,7; 2,25). F2=3.7x1 +2,25х2max. Находим, что точка max F2 есть zl=(4; 0). Из равенства (22) для точки x2 получаем: x2

1=1,5; x22

x21=l,5+t(4-l,5)=l,5+2,5t

x22=3,75+t(0-3,75)=3,75-3,75t.

Для точек x є [z1; x1] имеем: f(x)=2(t)=4(1,5+2,5t)+3(3,75 - 3,75t) - 0,1(1,5 + 2,5t)2 - 0,1(3,75-3,75t)2max; 1

2(t)= 10-11,25-0,5(1,5+2,5t)-0,75(3,75-3,75t)=0; 0,8125=4,0625t=> t=0,2 и х2=(2; 3). f(x2) = 15,7; f(x2) - f(xl) ≈15,7-15,6l<0,l= ε. Ответ: Оптимальный план х*=(2; 3) с точностью ε =0,1. Лекция 8. Сетевое планирование и управление (СПУ)

Цель: освоение методики и приобретение практических навыков в применении сетевого планирования и управления производством. 1. Введение

Система методов сетевого планирования и управления (СПУ) – совокупность методов планирования и управления разработкой народнохозяйственных комплексов, научными исследованиями, конструкторскими и технологическими роботами,

разработкой изделии нового вида, строительством и реконструкцией зданий и сооружений, капитальным ремонтом основных фондов путем применения сетевых графиков.

Система СПУ позволяет: формировать календарный план реализации некоторого комплекса работ; выявлять и мобилизовать резервы времени, трудовые, материальные и

денежные ресурсы; осуществлять управление комплексом работ по принципу «ведущего звена» с

прогнозированием и предупреждением возможных срывов в ходе работ; повышать эффективность управления в целом при четком распределении

ответственности между руководителями разных уровней и исполнителями работ. Диапазон применения СПУ весьма широк: от задач, касающихся деятельности

отдельных лиц, до проектов, в которых участвуют сотни организаций и десятки тысяч людей.

Модели сетевого планирования и управления предназначены для составления плана выполнения некоторого комплекса взаимосвязанных работ (операций) в как можно более краткий срок. Этот план задается специфическим образом – в виде сети, графическое изображение которой называется сетевым графиком, а четкое определение всех временных взаимосвязей предстоящих работ является отличительной особенностью сетевых моделей. Методы СПУ используются при планировании сложных комплексных проектов, например, таких как:

строительство и реконструкция каких-либо объектов; выполнение научно-исследовательских и конструкторских работ; подготовка производства к выпуску продукции; перевооружение армии; развертывание системы медицинских или профилактических мероприятий.

Характерной особенностью таких проектов является то, что они состоят из ряда отдельных, элементарных работ. Они обуславливают друг друга так, что выполнение некоторых работ не может быть начато раньше, чем завершены некоторые другие. Например, укладка фундамента не может быть начата раньше, чем будут доставлены необходимые материалы; эти материалы не могут быть доставлены раньше, чем будут построены подъездные пути; любой этап строительства не может быть начат без составления соответствующей технической документации и т.д. СПУ состоит из трех основных этапов:

1. Структурное планирование. 2. Календарное планирование. 3. Оперативное управление.

Структурное планирование начинается с разбиения проекта на четко определенные операции, для которых определяется продолжительность. Затем строится сетевой график, который представляет взаимосвязи работ проекта. Это позволяет детально анализировать все работы и вносить улучшения в структуру проекта еще до начала его реализации. Календарное планирование предусматривает построение календарного графика, определяющего моменты начала и окончания каждой работы и другие временные характеристики сетевого графика. Это позволяет, в частности, выявлять критические операции, которым необходимо уделять особое внимание, чтобы закончить проект в директивных срок. Во время календарного планирования определяются временные характеристики всех работ с целью проведения оптимизации сетевой модели, которая улучшает эффективность использования какого-либо ресурса.

В ходе оперативного управления используются сетевой и календарный графики для составления периодических отчетов о ходе выполнения проекта. При этом сетевая модель может подвергаться оперативной корректировке, вследствие чего будет разрабатываться новый календарный план остальной части проекта. 2. СТРУКТУРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

Основными понятиями сетевых моделей являются понятия события и работы. Работа - это некоторый процесс, приводящий к достижению определенного

результата и требующий затрат каких-либо ресурсов, имеет протяженность во времени. По своей физической природе работы можно рассматривать как: действие: заливка фундамента бетоном, составление заявки на материалы,

изучение конъюнктуры рынка; процесс: старение отливок, выдерживание вина, травление плат; ожидание: ожидание поставки комплектующих, пролеживание детали в очереди к

станку. По количеству затрачиваемого времени работа может быть: действительной, т.е. требующей затрат времени; фиктивной, не требующей затрат времени и представляющей связь между какими-

либо работами: передача измененных чертежей от конструкторов к технологам, сдача отчета о технико-экономических показателях работы цеха вышестоящему подразделению.

Событие - момент времени, когда завершаются одни работы и начинаются другие. Событие представляет собой результат проведенных работ и, в отличие от работ, не имеет протяженности во времени. Например, фундамент залит бетоном, старение отливок завершено, комплектующие поставлены, отчеты сданы и т.д. Таким образом, начало и окончание любой работы описываются парой событий, которые называются начальным и конечным событиями. Поэтому для идентификации конкретной работы используют код работы (i,j), состоящий из номеров начального (i-го) и конечного (j-го) событий, например (2,4); 3-8; 9,10.

i jработа i,j

На этапе структурного планирования взаимосвязь работ и событий изображаются с помощью сетевого графика, где работы изображаются стрелками, которые соединяют вершины, изображающие события. Работы, выходящие из некоторого события не могут начаться, пока не будут завершены все операции, входящие в это событие.

...

...

н

н

н

нк

к

к

к Событие, не имеющее предшествующих ему событий, т.е. с которого начинается

проект, называют исходным, событие. Событие, которое не имеет последующих событий и отражает конечную цель проекта, называется завершающим.

ИЗ

При построении сетевого графа необходимо следовать следующим правилам: длина стрелки не зависит от времени выполнения работы;

...

1

15

4

стрелка не обязательно должна представлять прямолинейный отрезок;

для действительных работ используются сплошные, а для фиктивных -

пунктирные стрелки;

каждая операция должна быть представлена только одной стрелкой;не должно

быть параллельных работ между одними и теми же событиями, для избежания такой ситуации используют фиктивные работы;

следует избегать пересечения стрелок;

не должно быть стрелок, направленных справа налево;

номер начального события должен быть меньше номера конечного события;

1

2

34

не должно быть висячих событий, кроме исходного;

не должно быть тупиковых событий, кроме завершающего;

не должно быть циклов.

Поскольку работы, входящие в проект могут быть логически связаны друг с другом, то необходимо всегда перед построением сетевого графика дать ответы на следующие вопросы: 1. Какие работы необходимо завершить непосредственно перед началом рассматриваемой работы? 2. Какие работы должны непосредственно следовать после завершения данной работы?

3. Какие операции могут выполняться одновременно с рассматриваемой работой?

3. КАЛЕНДАРНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ Применение методов СПУ в конечном счете должно обеспечить получение календарного плана, определяющего сроки начала и окончания каждой операции. Построение сети является лишь первым шагом на пути к достижению этой цели. Вторым шагом является расчет сетевой модели, который выполняют прямо на сетевом графике, пользуясь простыми правилами. Характеристики элементов сетевой модели

При расчетах для сетевой модели определяются следующие характеристики ее элементов. Характеристики событий К временным параметрам событий относятся:

ранний срок наступления события i - T iр ;

поздний срок наступления события i - T iп ;

резерв времени наступления события i - R i .

T iр - это время, необходимое для выполнения всех работ, предшествующих

данному событию i. T iп - это такое время наступления события i, превышение которого вызовет

аналогичную задержку наступления завершающего события сети. R i - это такой промежуток времен, на который может быть отсрочено наступление

этого события без на рушения сроков завершения разработки в целом. Значения временных параметров записываются прямо в вершины на сетевом графике

следующим образом.

i T iр

TпiRi

1. Ранний срок свершения события характеризует самый ранний срок завершения

всех путей, в него входящих. Этот показатель определяется «прямым ходом» по графу модели, начиная с начального события сети.

2. Поздний срок свершения характеризует самый поздний срок, после которого остается ровно столько времени, сколько требуется для завершения всех путей, следующих за этим событием. Этот показатель определяется «обратным ходом» по графу модели, начиная с завершающего события сети.

3. Резерв времени события показывает, на какой максимальный срок можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения всего комплекса работ.

Резервы времени для событий на критическом пути равны нулю, R(i) = 0. МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ СОБЫТИЙ

Расчет ранних сроков свершения событий ведется от исходного к завершающему

событию. 1) Для исходного события T i T iпр 0 .

2) Для всех остальных событий T i T k t k ik i

р рmax ,

, где максимум берется

по всем работам k i, , входящим в событие i.

i T iр

...

k1

k2

kn

tk i1

tk i2

tk in

...

Поздние сроки свершения событий рассчитываются от завершающего к исходному

событию. 3) Для завершающего события T i T iп р .

4) T i T j t i jпj i

п

min , , где минимум берется по всем работам i j, ,

выходящим из события i.

i

...

...Tпi

j1

j2

jn

tij1

tij2

tijm

Tпj1

Tпj2

Tпjm 5) R i T i T iп р .

На основе ранних и поздних сроков событий можно определить временные параметры

работ сети. Характеристики работы (i,j)

К наиболее важным временным параметрам работы относятся: ранний срок начала работы T i jнр , ;

поздний срок начала работы T i jпн , ;

ранний срок окончания работы T i jор , ;

поздний срок окончания работы T i jпо , ;

полный резерв R i jп , ;

свободный резерв R i jс , .

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ВРЕМЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ РАБОТ

1) T i j T iнр р, ;

2) T i j T j t i jпн п, , или T i j T i j t i jпн по, , , ;

3) T i j T i t i jор р, , или T i j T i j t i jо нр р, , , ;

4) T i j T jпо п, ;

5) R i j T j T i t i jп п, ,р ;

6) R i j T j T i t i jс , ,р р .

1. Резервы времени работ: • полный резерв – максимальный запас времени, на который можно отсрочить

начало или увеличить длительность работы без увеличения длительности критического пути. Работы на критическом пути не имеют полного резерва времени;

• частный резерв – часть полного резерва, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив позднего срока ее начального события;

• свободный резерв – максимальный запас времени, на который можно задержать начало работы или (если она началась в ранний срок) увеличит ее продолжительность, не изменяя ранних сроков начала последующих работ;

• независимый резерв –– запас времени, при котором все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие – начинаются в ранние сроки. Использование этого резерва не влияет на величину резервов времени других работ.

Замечания. Работы, лежащие на критическом пути, резервов времени не имеют. Если на критическом пути Lкр лежит начальное событие i работы (i,j), то Rп(i,j)=Rl(i,j). Если на Lкр лежит конечное событие j работы (i,j), то Rп(i,j)=Rc(i,j). Если на Lкр лежат и событие i, и событие j работы (i,j), а сама работа не принадлежит критическому пути, то Rп(i,j)=Rc(i,j)=Rп(i,j)

Характеристики путей Путь - это любая последовательность работ в сетевом графике, в которой конечное событие одной работы совпадает с начальным событием следующей за ней работы. Полный путь - это путь от исходного до завершающего события. Критический путь - максимальный по продолжительности полный путь. Подкритический путь - полный путь, ближайший по длительности к критическому пути.

Продолжительность пути равна сумме продолжительностей составляющих ее работ.

Резерв времени пути равен разности между длинами критического пути и рассматриваемого пути.

Резерв времени пути показывает, на сколько может увеличиться продолжительность работ, составляющих данный путь, без изменения продолжительности срока выполнения всех работ.

В сетевой модели выделяют так называемый критический путь. Критический путь Lкр состоит из работ (i,j), у которых полный резерв времени равен нулю Rп(i,j)=0, кроме этого, резерв времени R(i) всех событий i на критическом равен 0. Длина критического пути определяет величину наиболее длинного пути от начального до конечного события сети и равна )()( NtNtt пpkp . Заметим, что в проекте может быть несколько критических путей. Работы, лежащие на критическом пути, называют критическими. Они имеют ряд особенностей, в частности, начальные и конечные события критических работ имеют нулевые резервы событий.

Эту особенность критических работ можно использовать при поиске критического пути. Для этого надо выявить все события, имеющие нулевой резерв.

Однако требование нулевых резервов событий является необходимым, но не достаточным условием критического пути.

При поиске критических путей на сетевом графике следует использовать следующие условия его критичности:

необходимое условие – нулевые резервы событий, лежащих на критическом пути;

достаточное условие – нулевые полные резервы работ, лежащих на критическом пути. Разность между продолжительность критического пути Tкр и

продолжительностью любого другого пути TL называется полным резервом времени пути L, т.е. R T TL к L р . Этот резерв показывает, на сколько в сумме может быть

увеличена продолжительность всех работ данного пути L, чтобы при этом не изменился общий срок окончания всех работ, т.е. Tкр [ксерокс].

R i jп , показывает максимальное время, на которое может быть увеличена

продолжительность работы i j, или отсрочено ее начало, чтобы продолжительность проходящего через нее максимального пути не превысила продолжительности критического пути. Важнейшее свойство полного резерва работы i j, заключается в том, что если его использовать частично или полностью, то уменьшится полный резерв у работ, лежащих с работой i j, на одних путях. Т.о. полный резерв времени принадлежит

не одной данной работе i j, , а всем работам, лежащим на путях, проходящим через эту работу.

3. Коэффициент напряженности работ Для оценки трудности своевременного выполнения работ служит коэффициент

напряженности работ:

)(),(1

)(

))((),(

''max

kpkp

п

kpkp

kpн ТТ

jiRТТ

ТLТjiK

где Т(Lтах(i,j)) – продолжительность максимального пути проходящего через работу (i,j);

Т’кр – продолжительность отрезка пути Lтах(i,j), совпадающего с критическим

путем. Видно, что Кн(i,j) < 1. Чем ближе Кн(i,j) к 1, тем сложнее выполнить данную работу

в установленный срок. Напряженность критических работ полагается равной 1. Все работы сетевой модели могут быть разделены на 3 группы: напряженные (Кн(i,j) > 0,8), надкритические (0,6 < Кн(i,j) < 0,8) и резервные (Кн(i,j) < 0,6).

В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ, что возможно при переводе всех работ в первую группу.

4. Коэффициент свободы работ.

Для анализа сетевой модели используется коэффициент свободы (i,j), который показывает степень свободы или независимости циклов работ, имеющих свободный резерв времени, а также показывает, во сколько раз можно увеличить длительность работы t(i,j), не влияя на сроки свершения всех событий и остальных работ сети:

.

Если (i,j)=1, то это указывает на отсутствие независимого резервного времени для работы (i,j).

Конечным результатом выполняемых на сетевой модели расчетов является календарный график, который иногда называют графиком привязки, и график загрузки.

График привязки отображает взаимосвязь выполняемых работ во времени и строится на основе данных о ранних сроках начала и окончания работ. Для удобства дальнейшей работы на этом графике могут быть указаны величины полных и свободных резервов работ. По вертикальной оси графика привязки откладываются коды работ, по горизонтальной оси - длительность работ (раннее начало и раннее окончание работ).

График привязки можно построить без предварительного расчета ранних сроков начала и окончания всех работе, используя только данные о продолжительности работ. При этом необходимо помнить, что работа i j, может начать выполняться только после

того как будут выполнены все предшествующие ей работы k j, .

Пример 7.1. Дан сетевой график; цифры над дугами означают продолжительность каждой из работ; цифры в скобках – интенсивность потребления ресурса.

Необходимо:

найти критический путь (или пути), показать их на графике; найти критический срок выполнения проекта; найти ранние и поздние сроки свершения событий и записать их в

соответствующий сектор кружочка; найти резерв времени каждого события и записать его в нижнем секторе

кружочка; найти полные резервы времени каждой из работ проекта и записать их отдельной

строкой; построить линейный график работ; построить шкалу потребления ресурса.

Решение. Перерисовываем сетевой график, разбив каждый из кружочков на секторы.

1

2

3

4

5(3) 6(4)

2(7) 3(6)

1. Выделение критического пути. Находим все полные пути сетевого графика:

1) 1 – 2 – 4; 1t 5+6=11 (временных единиц).

2) 1 – 2 - 3 – 4; 2t 5+0+2=7.

3) 1 – 3 – 4; 3t 3+2=5.

Критический путь – это путь наибольшей протяжённости, т. е. первый путь; крt =11. Отмечаем на графике критические работы двойной чертой. 2. Определение ранних сроков свершения событий.

По определению для первого (исходного) события ранний и поздний сроки совпадают и равны нулю, т.е.

)1()1( пр tt =0.

)2;1()1(max)2( ttt рр =0+5=5;

30 ;05max)3;1()1( );3;2()2(max)3( ttttt ррр =5;

25 ;65max)4;3()3( );4;2()2(max)4( ttttt ррр =11.

Записываем найденные значения в левый сектор каждого кружочка.

3. Определение поздних сроков свершения событий. По определению для завершающего события ранний и поздний сроки совпадают и равны критическому сроку, т.е.

крпр ttt )4()4( =11.

211)4;3()4(min)3( ttt пg =9;

09 ;611min)3;2()3( );4;2()4(min)2( ttttt ппg =5.

Записываем найденные значения в правый сектор каждого кружочка. 4. Определение резервов свершения событий.

)1()1()1( рп ttR 0 - 0=0;

)2()2()2( рп ttR 5 - 5=0;

5(3) 6(4)

2(7) 3(6)

1

0 0 0

1

3

4

1 2

0 5

0

1

0

9 5 4

5

1

)3()3()3( рп ttR 9 - 5=4;

)4()4()4( рп ttR 11 - 11=0.

Результаты записываем в нижний сектор каждого кружочка. 4. Определение полных резервов времени каждой работы.

)2;1()1()2()2;1( tttR рпп 5 – 0 - 5= 0;

)3;1()1()3()3;1( tttR рпп 9 – 0 - 3= 6;

)4;2()2()4()4;2( tttR рпп 11 – 5 – 6 =0;

)4;3()3()4()4;3( tttR рпп 11 – 5 – 2 =4.

Таким образом, резервы времени имеют только критические работы и события.

5. Построение линейного графика работ.

Строим систему координат; горизонтальная ось – это ось времени, вертикаль 0t соответствует событию 1. Каждую работу откладываем в виде горизонтального отрезка, длина которого в выбранном масштабе равна продолжительности работы. При построении учитывается то обстоятельство, что работа (2;3) – фиктивная. Это означает, что работа (3;4) может начаться только после окончания самой поздней из работ – (1;2) или (1;3), входящих в событие 3, т.е. после окончания работы (1;2).

Над каждой работой проставлена интенсивность потребления ресурса. 5. Построение шкалы потребления ресурса.

1) Строим дополнительную временную ось. 2) Проектируем на дополнительную временную ось шкалу потребления ресурса;

тем самым определяем промежутки равной интенсивности. 3) Суммируем интенсивность потребления ресурса каждой из работ, проходящей

над данным промежутком. В результате шкала потребления ресурса построена.

0 0 2 4 0 6 8 10 12 t

1

2 4

1 3

2 3

4

6

3

4

7

t

9 3 11 4

Лекция 9. ОПТИМИЗАЦИЯ СЕТЕВЫХ МОДЕЛЕЙ

ЦЕЛЬ: знакомство с методикой и приобретение навыков проведения оптимизации сетевых моделей

1.Оптимизация сетевых графиков. Оптимизация сетевого графика представляет процесс улучшения организации выполнения комплекса работ с учетом срока его выполнения. Оптимизация проводится с целью сокращения длины критического пути, выравнивания коэффициентов напряжен-ности работ, рационального использования ресурсов. В первую очередь принимаются меры по сокращению продолжительности работ, находящихся на критическом пути. Это достигается: • перераспределением всех видов ресурсов, как временных (использование резервов времени некритических путей), так и трудовых, материальных, энергетических (например, перевод части исполнителей, оборудования с некритических путей на работы критического пути); при этом перераспределение ресурсов должно идти, как правило, из зон менее напряженных, в зоны, объединяющие наиболее напряженные работы; • сокращением трудоемкости критических работ за счет передачи работ на другие пути, имеющие резервы времени; • параллельным выполнением работ критического пути; • пересмотром топологии сети, изменением состава работ и структуры сети. Для оптимизации сетевой модели, выражающейся в перераспределении ресурсов с ненапряженных работ на критические для ускорения их выполнения, необходимо как можно более точно оценить степень трудности своевременного выполнения работ, а также цепочек пути. Более точным инструментом решения этой задачи по сравнению с полным резервом является коэффициент напряженности, который может быть вычислен одним из двух способов по приводимой ниже формуле:

.`),(1

``)(

),( max

kpkpkpkp

kpH tt

jiRtt

tLtjiK

kpkp

n

kpkp

kpLH TT

jiRTTTT

jiK`),(

1``

),( max

где t(Lmax), TLmax – продолжительность максимального пути, проходящего через работу (i,j); t`kp, T`kp – продолжительность отрезка рассматриваемого пути, совпадающего с критическим путем. Коэффициент напряженности изменяется от нуля до единицы, причем чем он ближе к единице, тем сложнее выполнить данную работу в срок. Самыми напряженными являются работы критического пути, для которых он равен 1. На основе этого коэффициента все работы СМ могут быть разделены на три группы: • напряженные (Кн(i,j)> 0,8); • подкритические (о,6 < Kн(i,j)< 0,8); • резервные (Kн(i,j)<0,б). В результате перераспределения ресурсов стараются максимально уменьшить общую продолжительность работ, что возможно при переводе всех работ в первую группу. 2. Оптимизация использования ресурса рабочей силы

При оптимизации использования ресурса рабочей силы сетевые работы чаще всего стремятся организовать таким образом, чтобы:

Количество одновременно занятых исполнителей было минимальным;

Выровнять потребность в людских ресурсах на протяжении срока выполнения проекта.

Для проведения подобных видов оптимизации необходим график загрузки. На графике загрузки по горизонтальной оси откладывается время, например в днях,

по вертикальной – количество человек, занятых работой в каждый конкретный день. Для построения графика загрузки необходимо:

На графике привязки над каждой работой написать количество е исполнителей; Подсчитать количество работающих в каждый день исполнителей и отложить на

графике загрузки. Для удобства построения и анализа, графики загрузки и привязки следует

располагать один над другим Описанные виды оптимизации могут быть выполнены с помощью сдвига работ,

который осуществляется за счет резервов времени: свободного или полного. После сдвига работы, работники выполняют ее уже в другие дни, и поэтому для каждого дня изменяется количество исполнителей занятых одновременно.

Резервы работ можно определить без специальных расчетов, только с помощью графика привязки.

3. Оптимизация по критерию "время - затраты"

Целью оптимизации по критерию "время - затраты" является сокращение времени выполнения проекта в целом. Эта оптимизация имеет смысл только в том случае, когда длительность выполнения работ может быть уменьшена за счет задействования дополнительных ресурсов, что влечет повышение затрат на выполнение работ. Для оценки величины дополнительных затрат, связанных с ускорением выполнения той или иной работы, используются либо нормативы, либо данные о выполнении аналогичных работ в прошлом.

Исходными данными для проведения оптимизации являются: T i jн , - нормальная длительность работы;

T i jу , - ускоренная длительность;

C i jн , - затраты на выполнение работы в нормальный срок;

C i jу , - затраты на выполнение работы в ускоренный срок.

Т.о. каждая работа имеет некоторый максимальный запас времени для сокращения своей длительности Z i j T i j T i jн уmax , , , .

Затраты

Продолжительность

C i jн ,

C i jу ,

T i jн , T i jу ,

Z i jmax ,

Для анализа сетевой модели в данном виде оптимизации используется коэффициент

нарастания затрат (коэффициент ускорения)

k i jC i j C i jT i j T i j

у н

н у,

, ,, ,

,

который имеет смысл затрат денежных средств для сокращения длительности выполнения работы i j, на один день.

ОБЩАЯ СХЕМА ПРОВЕДЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИИ

1. Проводится расчет сети исходя из нормальных длительностей работ. 2. Определяется сумма затрат на выполнение всего проекта при нормальной продолжительности работ. 3. Рассматривается возможность сокращения продолжительности проекта. Поскольку этого можно достичь за счет уменьшения продолжительности какой-либо критической работы, то только такие операции подвергаются анализу [Таха].

3.1. Для сокращения выбирается критическая работа с min коэффициентом нарастания затрат k i j, , у которой есть запас сокращения времени.

3.2. Определяется время t i j, , на которое необходимо сжать длительность

работы i j, . При этом руководствуются следующими соображениями. 3.2.1. Максимально возможный запас времени для сокращения работы на текущий

момент Z i j, ограничивается значением T i jу , , т.е.

Z i j t i j T i jт у, , , , где t i jт , - текущее время выполнения работы

( t i j T i jт н, , только для работ еще не подвергшихся сокращению).

3.2.2. Кроме критического пути длительностью Tкр в сети есть подкритический

путь длительностью Tп . Критический путь нельзя сократить больше, чем T T Tк п р , поскольку в этом случае критический путь перестанет быть

таковым, а подкритический путь наоборот станет критическим. 3.2.3. Исходя из вышесказанного, время сокращения длительности выбранной

работы i j, равно t t i j Z i j Tт , min , , . Другими словами, если разность между длительностью критического и подкритического путей T меньше текущего запаса времени сокращения работы Z i j, , то имеет смысл сокращать работу только на T дней. В противном случае можно сокращать работу полностью на величину Z i j, .

4. В результате сжатия критической операции получают новый календарный план, возможно с новыми критическими и подкритическими путями, и обязательно с новыми более высокими затратами на выполнение проекта. Это происходит вследствие удорожания ускоренной работы. Общая стоимость проекта увеличивается на

C k i j t , . 5. Переход на шаг 3, который повторяется до тех пока не будет достигнута цель. В результате оптимизации строится график "Время - затраты"

Затраты

Время

A

B

Tпр maxTпр min

Cпр min

Cпр max

4. ПРИМЕР ПРОВЕДЕНИЯ ОПТИМИЗАЦИИ

Провести максимально возможное уменьшение сроков выполнения проекта при минимально возможный дополнительных затратах.

Нормальный режим Ускоренный режим

( , )i j T i jн , C i jн , T i jу , C i jу ,

k i j( , )

1 2, 8 100 6 200 50

1 3, 4 150 2 350 100

2 4, 2 50 1 90 40

2 5, 10 100 5 400 60

3 4, 5 100 1 200 25

4 5, 3 80 1 100 10

1

2

3 4

5

8

4

2

10

5

3

0

0

8

4 10

1818

15

8

10

0

0

0

56

1. Исходя из нормальных длительностей работ получаем следующие характеристики сетевой модели.

Общие затраты на проект C С i jп нi j

р( , )

( , )0 580 руб.

Длительность проекта Tкр0 18 дней.

Критический путь Lкр , ,0 1 2 5 или Lкр , ; ,0 1 2 2 5 .

Подкритический путь Lп0 1 2 4 5 , , , или Lп

0 1 2 2 4 4 5 , ; , ; , , Tп0 13

дней. 2. Для ускорения выбираем работу 1 2, с k( , )1 2 50 руб./день. Текущий запас

сокращения или предел сокращения работы 1 2, на данный момент равен

Z0 1 2 8 6 2, . Разность между продолжительностью критического и подкритического путей T 18 13 5 дней. Поэтому согласно п.3.2. сокращаем

работу 1 2, на t min ,2 5 2 дня. Новое текущее значение t1 1 2 8 2 6,

дней, а запас ее дальнейшего сокращения полностью исчерпан, т.е. Z1 1 2 0( , ) . Новый сетевой график имеет вид.

1

2

3 4

5

4

2

10

5

3

0

0

6

4 9

1616

13

6

8

0

0

0

56

6

3. Исходя из новой длительности работы 1 2, получаем.

Затраты на работу 1 2, возросли на 2 50 100 дня р . р .убдень

уб , поэтому

общие затраты на проект составили Cпр1 580 100 680 руб.


Критический путь Lкр , ; ,1 1 2 2 5 .

Подкритический путь Lп1 1 3 3 4 4 5 , ; , ; , , Tп

1 12 дней.

4. Работу 1 2, не имеет смысла рассматривать, т.к. Z1 1 2 0( , ) . Для рассмотрения

остается единственная критическая работа 2 5, с k( , )2 5 60 руб./день и пределом

сокращения Z1 2 5 10 5 5( , ) дней. T 16 12 4 дня, поэтому сокращаем работу ( , )2 5 на t min ,5 4 4 дня. Новое текущее значение

t 2 2 5 10 4 6, дней, а запас ее дальнейшего сокращения Z2 2 5 1( , ) день. Новый сетевой график имеет вид.

1

2

3 4

5

4

2

6

5

3

0

0

6

4 9

1212

9

6

4

0

0

0

00

6

5. Исходя из новой длительности работы ( , )2 5 получаем.

Затраты на работу ( , )2 5 возросли на 4 60 240 дня р . р .убдень

уб , поэтому

общие затраты на проект составили Cпр2 680 240 920 руб.


Два критических пути Lкр , ; ,2 1 2 2 5 и Lкр , ; , ; ,2 1 3 3 4 4 5 .


2 11 дней. 6. Появление нескольких критических путей говорит о том, что для дальнейшего

сокращения длительности проекта необходимо уменьшать длину всех критических

путей одновременно. Из первого кр. пути Lкр , ; ,2 1 2 2 5 можно сократить

только работу ( , )2 5 с пределом сокращения Z2 2 5 1( , ) , а из второго пути - работу ( , )4 5 с k( , )4 5 10 руб./день и пределом сокращения

Z2 4 5 3 1 2( , ) дня. T 13 12 1 день, поэтому сокращаем работу ( , )2 5 и работу ( , )4 5 на t min , ,1 2 1 1 день, где первые два элемента при

выборе минимума это Z2 2 5 1( , ) и Z2 4 5 2( , ) . Новое текущее значение

t 3 2 5 6 1 5, дней, и запас ее дальнейшего сокращения исчерпан

Z3 2 5 0( , ) , для работы ( , )4 5 новое текущее значение t3 4 5 3 1 2, дня и

Z3 4 5 1( , ) день. Новый сетевой график имеет вид.

1

2

3 4

5

4

2

5

5

2

0

0

6

4 9

1111

9

6

4

0

0

0

00

6

7. Исходя из новой длительности работ( , )2 5 и 4 5, получаем.

Затраты на работу ( , )2 5 возросли на 1 60 60 дня р . р .убдень

уб , а для работы

4 5, на 1 10 10 дня р . р .убдень

уб , поэтому общие затраты на проект

составили Cпр3 920 60 10 990 руб.


Два критических пути Lкр , ; ,3 1 2 2 5 и Lкр , ; , ; ,3 1 3 3 4 4 5 .


3 10 дней.

8. Поскольку все критические операции пути Lкр , ; ,3 1 2 2 5 сжаты до

установленного предела T i jу , , то дальнейшее сокращение продолжительности проекта невозможно. Результаты проведенной оптимизации иллюстрируются графиком.

Под параметрами работ C i jн , и C i jу , понимаются так называемые прямые

затраты, т.е. косвенные затраты типа административно-управленческих во внимание не принимаются. Однако их влияние учитывается при выборе окончательного календарного плана проекта. В отличие от прямых затрат косвенные затраты при уменьшении продолжительности проекта убывают, что показано на графике. Оптимальный календарный план соответствует минимуму общих затрат (точка А).

11 T181612

580

680

920

990

min общих затрат

А

Прямые затраты

Косвенные затраты

C Общие затраты

5. НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ ВРЕМЕНИ ВЫПОЛНЕНИЯ ОПЕРАЦИЙ Завершающим этапом сетевого планирования является определение

продолжительности выполнения отдельных работ или совокупных процессов. В детерминированных моделях длительность работ считается неизменной. В реальных условиях время выполнения разнообразных работ зависит от большого числа как внутренних, так и внешних факторов и поэтому считается случайной величиной. Для установления длительности любых работ необходимо в первую очередь пользоваться соответствующими нормативами или нормами трудовых затрат. А при отсутствии исходных нормативных данных продолжительность всех процессов и работ может быть установлена различными методами, в том числе и с применением экспертных оценок.

В процессе сетевого планирования экспертные оценки длительности предстоящих работ обычно устанавливаются ответственными исполнителями. По каждой работе, как правило, дается несколько оценок времени: минимальная, максимальная и наиболее вероятная. Если определять продолжительность работ только по одной оценки времени, то она может оказаться далекой от реальности и привести к нарушению всего хода работ по сетевому графику. Оценка продолжи-тельности работ выражается в человеко-часах, человеко-днях или других

единицах времени. Минимальное время — это наименьшее из возможных рабочее время выполнения проектируемых процессов. Вероятность осуществления работы за такое время часто бывает невелика. Максимальное время — это наибольшее время выполнения работы с учетом риска и крайне неудачного стечения как внутренних факторов, так и внешних обстоятельств. Наиболее вероятное время — это возможное или близкое к реальным условиям выполнения процессов рабочее время.

Полученная наиболее вероятная оценка времени не может быть принята в качестве нормативного показателя ожидаемого времени выполнения каждой работы, так как в большинстве случаев эта оценка является субъективной и во многом зависит от опыта ответственного исполнителя работ. Поэтому для определения ожидаемого времени выполнения каждой работы экспертные оценки подвергаются статистической обработке. При допущении, что вероятность продолжительности любой работы соответствует закону нормального рас-пределения, ожидаемое время ее выполнения можно рассчитать по следующей формуле:

6

4 maxmin tttT нвож

Продолжительность ожидаемого времени при допустимой ошибке, не превышающей 1%, может быть рассчитана и по двум оценкам:

5

23 maxmin ttTож

Рассчитанные по этим формулам усредненные значения продолжительности работ позволяют рассматривать вероятностную модель сетевого графика как детерминированную.

4. Методические рекомендации

4.1 Методика изучения теоретического материала (на что необходимо обращать внимание при изучении материала):

1. Первичное чтение одного параграфа темы; 2. Повторное чтение этого же параграфа темы с фиксированием наиболее

значительных по содержанию частей; 3. Поработка материала данного параграфа (терминологический словарь, словарь

персоналий); 4. После такого прохождения всех параграфов одной темы, повторное (третий

раз) чтение параграфов этой темы с фиксированием наиболее значительных по содержанию частей;

5. Прохождение тренировочных упражнений по теме; 6. Прохождение тестовых упражнений по теме; 7. Возврат к параграфам данной темы для разбора тех моментов, которые были

определены как сложные при прохождении тренировочных и тестовых упражнений по теме;

8. После прохождения всех тем раздела, закрепление пройденного материала на основе решения задач.

4.2. Методические указания по подготовке к семинарским (практическим) занятиям 1. Проработка теоретического материала данного параграфа

(терминологический словарь, словарь персоналий); 2. Прохождение тренировочных упражнений по теме; 3. Прохождение тестовых упражнений по теме;

4. Возврат к параграфам данной темы для разбора тех моментов, которые были определены как сложные при прохождении тренировочных и тестовых упражнений по теме;

5. После прохождения всех тем раздела, закрепление пройденного материала на основе решения задач.

4.3. Методические рекомендации по самостоятельной работе студентов.

4.3.1. Самостоятельная работа

В различных проблемах принятия решений возникают самые разнообразные задачи оптимизации. Для их решения применяются те или иные методы, точные или приближенные. Задачи оптимизации часто используются в теоретико-экономических исследованиях. Достаточно вспомнить оптимизацию экономического роста страны с помощью матрицы межотраслевого баланса Василия Леонтьева или микроэкономические задачи определения оптимального объема выпуска по функции издержек при фиксированной цене (или в условиях монополии) или минимизации издержек при заданном объеме выпуска путем выбора оптимального соотношения факторов производства (с учетом платы за них). Кроме затронутых выше методов решения задач оптимизации, напомним о том, что гладкие функции оптимизируют, приравнивая 0 производную (для функций нескольких переменных - частные производные). При наличии ограничений используют множители Лагранжа. Эти методы рассмотрены в курсах высшей математики и потому опущены здесь, однако их следует повторить.

Самостоятельная работа студентов является одной из важных форм учебного процесса, способствующей приобретению глубоких знаний, твердых навыков и умений, развитию творческих способностей.

Основной формой самостоятельной работы являются индивидуальные задания (расчетно-графические работы, типовые расчеты), главная функция которых обучающая.

Весь курс в соответствии с рабочей программой разделен на основные разделы или модули. По каждому разделу предусмотрено индивидуальное задание, выдаваемое на определенный срок, указанный в графике учебного процесса. Эти задания частично выполняются на практических занятиях под руководством преподавателя. Выполненная работа проверяется и оценивается (в баллах) преподавателем и заносится в графу ИНО (интегральная оценка знаний). В заключение проводится промежуточный контроль: защита задания в форме собеседования или контрольной работы. Контрольная работа также является важной формой самостоятельной работы, позволяющая объективно оценить знания, полученные студентом по данному разделу, и своевременно организовать дополнительную работу, если эти знания неудовлетворительны. 4.3.2. Темы рефератов (докладов) к практическим занятиям На самостоятельное изучение выносятся следующие вопросы (в форме рефератов по теме):

1. Максимизация полезности. Исследование модели потребительского спроса. Компенсационные эффекты; Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике, 4-е издание. – М.: Дело и Сервис, 2004., с.135-156 2. Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов; Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. – М.: ЮНИТИ, 2005, с.292-300 3. Основы теории игр. Игры с ненулевой суммой и кооперативные игры; Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике, 4-е издание. – М.: Дело и Сервис, 2004, с.217-232

4. Применение аппарата теории игр для анализа микроэкономических проблем Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике, 4-е издание. – М.: Дело и Сервис, 2004., с.109-126 5. Предварительный анализ и сглаживание временных рядов экономических

показателей; Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. – М.: ЮНИТИ, 2005, с.124-131 6. Тренд-сезонные экономические процессы и их анализ; Федосеев В.В. Экономико-математические методы и прикладные модели. – М.: ЮНИТИ, 2005, с.292-300 Шмойлова Р.А. Теория статистики. Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2002, с.350-382 7. Таблицы распределения и их использование; Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике, 4-е издание. – М.: Дело и Сервис, 2004., с.237-243 8. Имитационное моделирование Казаков О.Л. Экономико-математическое моделирование: учеб.-метод. пособие. - М.: МГИУ, 2006, с.216-147 9. Марковский случайный процесс. Уравнение Колмогорова. Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. –М.: ЮНИТИ, 2006, с.335-345. 10. СМО с отказами и с ожиданием Кремер Н.Ш. Исследование операций в экономике. –М.: ЮНИТИ, 2006, с.347-353 11. Адаптивные модели прогнозирования Советов Б.Я. Моделирование систем: Учебник для вузов. - М.: Высшая школа, 1998, с.311-327 12. Модель инфляции. Эконометрическая оценка NAIRU. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике, 4-е издание. – М.: Дело и Сервис, 2004, с.329-341 13. Производственные функции Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике, 4-е издание. – М.: Дело и Сервис, 2004, с.156-177 14. Комбинация ресурсов, минимизирующая издержки при фиксированном

объеме выпуска. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике, 4-е издание. – М.: Дело и Сервис, 2004, с.191-211 15. Модели макроэкономической динамики Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике, 4-е издание. – М.: Дело и Сервис, 2004, с.212-236

4.3.3. Правила, которых следует придерживаться при написании рефератов:

- Объем не менее 10 страниц формата А4, вместе с титульной страницей и списком литературы. - Список литературы должен присутствовать обязательно. - Текст и формулы набрать в редакторе WORD.

4.3.4. Методические указания по выполнению контрольных и расчетно-графических работ

В контрольной и расчетно-графической работах должно быть отражено полное решение предложенных задач со всеми промежуточными выкладками и пояснениями (для

выявления правильности понимания студентом материала). Если студент дает только ответ без решений, то задача считается не выполненной.

4.4. МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ ДЛЯ ПРЕПОДАВАТЕЛЕЙ 4.4.1. Методические указания для преподавателей

1. Закрепление теоретического материала изучаемой темы с помощью решения практических задач (работа у доски, индивидуальная работа студентов);

2. При рассмотрении тех моментов, которые были определены как сложные, при прохождении тренировочных и тестовых упражнений по теме, необходимо рассмотреть несколько возможных вариантов решения;

3. Обсуждение полученных результатов со студентами.

4.4.2. Методические рекомендации для преподавателей математики на фа-культетах естественнонаучного направления

В качестве средств обучения могут быть использованы учебники, учебные пособия, электронные ресурсы.

В процессе обучения рекомендуем преподавателям использовать основные методы обучения, применяемые в высшей школе.

1. Информационно-рецептивный метод. Обучаемые усваивают знания в готовом виде, сообщенные преподавателем, почерпнутые из книжных источников иди электронных ресурсов. Подобная деятельность необходима, так как она позволяет в сжатые сроки вооружать студента основными математическими определениями, теоремами, формулами и образцами способов деятельности.

2. Репродуктивный метод (метод организации воспроизведения способов деятельности). К этому методу относятся: решение типовых задач, ответы на теоретические вопросы.

3. Метод проблемного обучения. Преподаватель не просто излагает материал, а ставит проблему, формулирует познавательную задачу, показывает с помощью студентов логический путь решения проблемы. Здесь обучаемый становится соучастником поиска.

4. Эвристический (частично-поисковый) метод. После ознакомления обучаемых с материалом (определениями, математическими моделями, теоремами) перед ними ставится познавательная поисковая задача (лучше, если студенты сами ее выдвинут). Путем соответствующих заданий обучаемые подводятся к самостоятельным выводам. Таким образом, организуются активный учебный поиск, связанный с переходом к творческому, продуктивному мышлению.

5. Исследовательский метод. После постановки проблемы, формулирования задач, обучаемые самостоятельно работают над литературой, выдвигают гипотезу, ищут пути ее решения.

Рекомендуем использовать некоторые частно-дидактические методы обучения. 1. Мотивационное обеспечение учебной деятельности. Применение этого метода

предполагает создание условий, при которых студентом осознается важность изучаемого материала для своей последующей деятельности. При этом полезны задачи прикладного содержания, соответствующие приобретаемой профессии.

2. Выделение базисного материала, концентрация учебного материала вокруг базисного. Применение этого метода облегчает процесс усвоения и запоминания,

освобождает от необходимости изучать некоторые частные, второстепенные вопросы, способствует формированию обобщенных знаний.

3. Пропедевтика вводимых понятий, новых теорем, формул. Перед изучением материала ограничиваются наглядными соображениями, не строгими рассуждениями, интуитивными представлениями о понятиях. Использование догадок, интуиции в обучении развивает мышление, интерес, улучшает запоминание. 4. Выбор методически обоснованного, с учетом знаний студентов и их умения мыслить, уровня строгости изучаемого материала. При обучении студентов естественнонаучного направления следует иметь в виду, что излишняя формализация материала препятствует полноценному его усвоению, развитию интуиции и может привести к потере интереса к предмету. 5. Создание проблемных ситуаций, возможностей для студентов самим делать обобщения, выводы, открытия. 6. Составление и применение алгоритмов. Алгоритмы организуют познавательный процесс, являются средством достижения результата, формируют у студента четкий стиль мышления. Их применение способствует более прочному усвоению материала. 7. Математическое моделирование. Математическая модель есть приближенное описание какого-либо класса явлений внешнего мира, выраженное с помощью математической символики. Анализ математической модели позволяет проникнуть в сущность изучаемых явлений. При построении математических моделей необходимо выделять основные этапы: • формализацию: • решение задачи внутри построенной модели на языке той теории, в рамках которой находится модель: • интерпретации полученного результата к исходной задаче. В математических курсах модели различного вида встречаются очень часто: функциональном, графическом, знаковом и других выражениях. Особенно наглядны задачи практического содержания, в которых отчетливо выделяются все указанные три этапа математического моделирования. 8. Обучение с использованием информационных технологий. Размещение сотрудниками кафедры своих учебных материалов в сети Интернет позволяет студенту осваивать материал в соответствии с требованиями преподавателя в любое удобное для него время. Любой способ учебной деятельности целесообразно представить как цепь управляемых ситуаций, направленных на стимулирование и развитие познавательной и практической активности студента. Методика чтения лекций, организации практических занятий и самостоятельной работы должна содействовать развитию познавательной активности студентов, формированию необходимых компетенций!. В практике необходимы лекции, предусматривающие как продуктивную, так и репродуктивную деятельность студента. При применении активных методов обучения доминирующими видами деятельности являются частично-поисковые, творческие, исследовательские. Важными моментами таких лекций являются: • постановка проблемы: • определение базовых -знаний, необходимых для ее решения; • создание атмосферы частично-поисковой деятельности: • организация исследовательской деятельности: • сравнение результатов исследования с точным результатом: • корректировка определений, выводов, полученных студентами; • самостоятельная работа студентов по специальным заданиям. Система задач и упражнений на практических и лабораторных занятиях должна давать целостное представление о функциях задач: • обучающей (формирование у студентов системы математических знаний, умений, компетенций): • развивающей (развитие математического мышления): • воспитывающей (формирование познавательного интереса):

• контролирующей (проверка качества усвоения изучаемого материала). Задания для самостоятельной: работы включают в себя задачи и упражнения: 1) тренировочного типа (в форме домашних заданий к практическим и лабораторным занятиям; самостоятельная работа над книгой пли конспектом лекции по отбору и систематизации учебного материала): 2) реконструктивно-вариативного типа (при выполнении этих заданий студенты применяют правила, теоремы в различных ситуациях; реконструируют известный учебный материал или способы решения задач с целью их приложения к решению заданной задачи с измененными условиями). 3) эвристического типа (при выполнении заданий такого типа студенты приобретают опыт поисковой деятельности, самостоятельного анализа задачи, обобщения, нахождения ее способа решения).

4.5. Методические указания по составлению и решению самостоятельных (домашних) задач

Самостоятельное составление и решение различного рода задач позволяют подготовить студента к решению реальных задач, с которыми он столкнется в практической деятельности. Как правило, реальные задачи первоначально выглядят не как те задачи, с которыми студент встречается на занятиях – ключевые параметры приходится выделять самим, самим же искать связи между ними, отслеживать массивы данных и строить разрешающие алгоритмы. Иными словами, и постановку (формулирование) задачи, и поиск ее решения приходится проводить самостоятельно, без подсказки.

К подобной работе нужно подготовиться заранее. То обстоятельство, что поставленную задачу придется решать своими силами, только

поможет при ее формулировании. Решая задачу, поставленную в задачнике, который содержит наряду с этой еще множество других задач, как правило, не ставится под сомнение квалификация его составителя. При обращении к условиям задачи в процессе решения существует уверенность, что составитель задачника позаботился о том, чтобы этих условий хватило для получения ответа. Иное дело, когда задачу поставили самостоятельно.

Первые формулировки вообще редко бывают удачными — при попытке решения возникают вопросы, ответы на которые требуют тем или иным образом подкорректировать первоначальную формулировку. Порой это приходится делать несколько раз. Все дело в том, что окончательная, до конца продуманная и хорошо уравновешенная, формулировка задачи появляется лишь тогда, когда уже совершенно ясен и процесс ее решения, и вполне осязаем ответ. Обычно задача помещается в задачник только после этого.

Для того чтобы сделать поиск рабочих материалов более осмысленным и определенным, сначала обозначается тема (например, сети, линейные задачи или игры). Сами материалы разрешается выбирать из печатных изданий (газет, журналов, справочников, атласов, альбомов, книг) или из всемирной паутины. Использовать учебники и/или учебные пособия не рекомендуется — это лишит студента столь необходимой самостоятельности и заметно снизит эффект от предлагаемого занятия. В отдельных случаях допускается предложение собственных условий заданий (разумеется, при непременной ее содержательности). Ограничения на количественные показатели в заданиях подобраны так, чтобы поиск их решений не был чрезмерно утомителен.

5. Методические материалы, определяющие

порядок и содержание рубежного контроля и промежуточной аттестации

5.1. Формы текущего, промежуточного, рубежного и итогового контроля В качестве форм текущего, промежуточного, рубежного контроля используются:

1) устный опрос;

2) тестирование; 3) написание контрольных работ; 4) выполнение домашних и расчетно-графических работ. В качестве итогового контроля проводится зачет. В ходе изучения курса «Методы оптимальных решений» в качестве текущей аттестации используются такие формы, как тестирование, выполнение и защита расчетно-графических работ, выполнение контрольных работ с оценкой. собеседование при приеме результатов домашних заданий. В течение семестра запланировано выполнение двух расчетно-графических работ и двух контрольных работ. После каждого занятия выдается домашнее задание.

5.2. Материалы для практических (лабораторных) занятий 5.2.1. Основные понятия

1. Изобразить линии уровня ( , )f x y C следующих функций для указанных констант С. Рассчитать величину градиента в общем виде и найти его значения в указанных точках iM . Изобразить найденные градиенты в виде векторов, исходящих из заданных точек. а) 2 2( , ) ( 1) ( 2)f x y x y при С = 0 ; 1; 4, M1 = (1;–2), M2 = (2; –2), M3 = (–1; –2); б) ( , )f x y xy при С = 0; 1; –1, M1 = (0;0), M2 = (0;1), M3 = (1;1), M4 = (–1; –1), M5 = (1; –1); в) yxyxf 32 ),( при С = 0; 5; –5, M1 = (0;0), M2 = (1;1), M3 = (–1; –1);

г) ( , ) sinf x y y x при С = 0; 1; –1, M1 = (0;0), M2 = ( 2 ;2), M3 = (π ; –1).

2. Найти градиент и производную по направлению l заданной функции в точке M . Для задачи а) изобразить вектор l и градиент заданной функции в указанной точке. Указание: все векторы следует изображать исходящими из заданной точки M . а) 3 2 2( , ) 2 1f x y x x y xy ; (1; 2)M MNl ; (4; 6)N ; б) ( , , )f x y z xy yz zx ; (2;1;3)M ; MNl ; (5;5;15)N ;

в) ( , , ) x

f x y z tg zy

, М (2;1;0), (1;1; 2)l .

3. В следующих задачах изобразить множество допустимых решений и проверить выполнение условий теоремы Вейерштрасса о существовании глобального максимума. Если теорема Вейерштрасса не применима, указать, какие условия не выполняются. Определить, существует ли решение задачи.

а)

04)1()1(

приmax),(

2,1

22

21

22

2121

xxx

xxxxf

; б)

1 22 2

1 2 1 2 2

1 2 2

21 2

1,2

( , ) max , где( , ) при 4( , ) 0 при 4

при 4

0

f x xf x x x x xf x x x

x xx

;

в)

04242

приmax),(

2,1

21

21

22121

xxxxx

xxxxf

; г)

09382

приmax),(

2,1

21

21

22121

xxxxx

xxxxf

;

д)

042

0)1(

приmax),(

2,1

21

312

2121

xxx

xx

xxxxf

; е)

00)1(

приmax),(

2,1

212

121

xxx

xxxf

.

4. Прибыль некоторой фирмы, производящей единственный товар, задается функцией

f (p, x )= p x – g(x), где p – цена товара, устанавливаемая фирмой, x –количество проданного товара, зависящее от цены, g(x) – затраты на производство и транспортировку товара, которые будем считать пропорциональными x с некоторым положительным коэффициентом c. Заранее известно, что p ≥ pmin > 0, где pmin -- заданное число.

Рассмотрите описанные ниже ситуации и составьте их математические модели. Изобразите графики функций x(p) и f(p, x(p)). Выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса? Существует ли цена, являющаяся решением задачи максимизации прибыли фирмы? Если решение не существует, назовите причину этого. а) Фирма является монополистом, причем объем продаж x определяется функцией x(p)= b/p, где b>0. б) Фирма выходит с произведенным товаром на рынок, на котором есть такая установившаяся цена p0, что p0 > c ≥ pmin. Пусть объем продаж фирмы определяется назначаемой ею ценой p следующим образом

x = 0 при p > p0;

x = 0.1 b/p0 при p = p0; x = b/p при pmin ≤ p < p0.

в) В случае зависимости продаж от цены, описанной в ситуации б), фирма решила, что цена на ее продукцию должна быть строго меньше p0.

г) Пусть в случае зависимости продаж от цены, описанной в ситуации б), имеет место pmin≤p0<c, а фирма не может существовать при неположительной прибыли.

д) Пусть в случае зависимости продаж от цены, описанной в ситуации б), имеет место pmin≤p0<c, а фирма не может производить товар при отрицательной прибыли. 5. Найти все локальные экстремумы следующих функций. Существует ли глобальный экстремум данной функции на всем множестве ее определения? Если да, найти его. Ответ обосновать. а) 2 2 2 4 2z x y x y ; б) 2 2( , ) 4 4 3f x y x y xy ;

в) 2 2( )x yz e ;

д) 2z1636622 22233 yzzyxyxu ; е) zxyzxyzyxf ,, . 6. Методом Лагранжа найти локальные условные экстремумы следующих функций. Определить, выполняются ли в данных задачах условия теоремы Вейерштрасса. Найти глобальные экстремумы, если они существуют, или обосновать их отсутствие. Оценить,

насколько изменятся значения функций в точках экстремума, если константы в правых частях условий связи увеличатся на 0,01. а) xyyxf ; при 122 yx ; б) zyxzyxf 22;; при 36222 zyx . 7. Фирма получила заказ на производство 2700 деталей по цене 10 тыс. рублей за штуку. Для выполнения заказа требуются ресурсы двух видов А и В. При полном расходовании х единиц ресурса А и у единиц ресурса В можно изготовить 4 3 yx деталей. Рыночная цена единицы ресурса А составляет 1 тыс. рублей, единицы ресурса В – 27 тыс. рублей. Определить оптимальный план приобретения ресурсов (т.е. величины х и у) и прибыль от выполнения заказа. Оценить, насколько изменится прибыль при оптимальном приобретении ресурсов, если размер заказа увеличится на одну деталь. Издержками считать затраты на приобретение ресурсов. 8. Предприятие производит продукцию двух видов: А и В. Производство х единиц продукции вида А обходится предприятию в xx 2 тыс. рублей, а производство у единиц продукции вида В – в yy тыс. рублей. Цена единицы продукции вида А на рынке составляет 4 тыс. рублей, а продукции вида В - 2 тыс. рублей. Определить оптимальный план производства (т.е. найти оптимальные значения х и у) и прибыль при условии, что предприятие затратило на приобретение ресурсов для производства указанных видов продукции 2340 тыс. рублей. Оценить, насколько изменится прибыль при оптимальном планировании производства, если затраты увеличить на 1 тыс. рублей. Издержками считать затраты на производство. 5.2.2. Нелинейное программирование 1. Следующие задачи нелинейного программирования: а) Привести к стандартному и унифицированному виду (прямые ограничения представлены в виде функциональных). б) Изобразить допустимое множество и линии уровня целевой функции. Определить, выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения? в) Вычислить и изобразить на рисунке направления градиентов целевой функции и функций, описывающих активные ограничения, в указанных и угловых точках. г) На рисунке проверить выполнение условий Якоби и Куна-Таккера в указанных и угловых точках. д) В точках, где выполняются условия Якоби и Куна-Таккера, разложить градиент целевой функции по градиентам функций, задающих активные ограничения в этих точках, и найти множители Лагранжа. е) Изобразить линии уровня целевой функции и проверить наличие или отсутствие в этих точках локального и глобального максимумов. ж) Оценить графически, существуют ли еще точки, в которых выполняются условия Куна-Таккера, и найти эти точки. Определить (графически) наличие или отсутствие локального максимума в них.

1)

2 21 2

1 2

1 2

max1

, 0

x xx xx x

1 10; 0 , 0;1 , 1; 0 , ;

2 2

, (3/4; 1/4); (1/2; 1/4);

2)

04)1()1(

max

2,1

22

21

22

21

xxx

xx

(0;1), (2;3);

3)

09382max

2,1

21

21

221

xxxxx

xx; 4)

1 2

32 1

1 2

max

1 0, 0

x x

x xx x

; 5)

2 23 11 22 2

1 2

1 2

1 2

( ) ( ) max1

2 2, 0

x xx xx xx x

.

2. Определить с обоснованием, являются ли множества, заданные указанными ограничениями, выпуклыми и изобразить их. а) 2 4, 2 4, 0, 0x y x y x y ; б) 646 ,12 yxyx2 ;

в) 643x ,1 yyx 22 1 ; г) 9)1()1( ,1)1()1( 22 yxyx 22 ; д) 0)1( 22 yx ;

е) 00 ,02 , y xyx . 3. Определить, будут ли выпуклы (вогнуты) заданные функции на заданных множествах. а) функция yxyxf 2, на E2;

б) функция 2xyxf , на E2;

в) функция yxyxf 2, на E2;

г) функция 22 1, yxyxf на E2;

д) функция 22 2, 1 3f x y x y x y на множестве

S = { , 3 3 1, 0, 0}x y x y x y ;

е) функция yxyxyxf 222 31, на квадрате с вершинами )}1;1(),1;1(),1;1(),1;1{( ;

ж) функция )( 22, yxeyxf на множестве 2 2 1, 2x y x y ;

з) функция 223, yyxxyxf на прямоугольнике с вершинами {(0;0),(1;0),(0;4),(1;4)};

и) функция xxyyxyxyxf 221

61

61, 2233 на прямоугольнике с вершинами

{(1; 1), (1; -1), (-1; 1), (-1; -1)}. 4. Являются ли следующие задачи задачами выпуклого программирования? Ответ обосновать. а) max yxyxf 2, при 2 4, 2 4, 0, 0x y x y x y ;

б) max yxyxf 2, при 646 ,12 yxyx2 ; в) max yxyxf 2, при 646 ,12 yxyx2 ;

г) max2 yxyxf , при 643x ,1 yyx 22 1 ;

д) min2 yxyxf , при 643x ,1 yyx 22 1 ;

е) max)3( 2 yxyxf , при 643x ,1 yyx 22 1 ;

ж) max)4 22 yxyxf 2(, при 0)1( 22 yx ;

з) min)4 22 yxyxf 2(, при 0)1( 22 yx . 5. В следующих задачах нелинейного программирования выполнить следующие задания и ответить на вопросы: а) Привести задачу к стандартному и унифицированному виду (прямые ограничения представлены в виде функциональных). б) Изобразить допустимое множество и линии уровня целевой функции. Определить, выполняются ли условия теоремы Вейерштрасса о существовании решения? в) Является ли данная задача задачей выпуклого программирования? г) Возможно ли применение теоремы Куна-Таккера в данной задаче? Почему? д) Рассматривая различные наборы активных ограничений, увеличивая их количество, начиная с нуля, аналитически найти точку, в которой выполняются условия Куна-Таккера. Указать такую точку и продемонстрировать выполнение условий Куна-Таккера на рисунке.

1)1 2

2 21 2

1 2

2 max

1, 0

x xx x

x x

; 2)

2 21 2

1 2

1 2

( 1) ( 1) max3 2 1

, 0

x xx x

x x

;

3)

2 21 2

1 2

1 2

1 2

( 2) ( 2) max2 2

2 2, 0

x xx x

x xx x

; 4)

2 21 2

2 21 2

1,2

( 1) ( 2) max

( 2) ( 1) 40

x xx x

x

;

5)

2 21 2

2 21 2

1,2

( 1) ( 2) max

( 1) ( 3) 40

x xx x

x

; 6)

2 21 2

21 2

1 2

1 2

2 max4

1, 0

x xx xx xx x

;

7)

2 21 2

21 2

1 2

1 2

2 ( 4) ( 2) max4

1, 0

x xx xx xx x

; 8)

01)1()2(

1)1(

max

2,1

22

21

22

21

2

xxx

xx

x

.

6. Фирма производит два вида товаров: А и В. Для производства x единиц товара А и y единиц товара В требуется заранее приобрести xyyxyxg 22),( кг сырья. Из-за ограничений на объем склада количество сырья не должно превышать 2100 кг. Доход от реализации единицы товара А составляет $2000, а от реализации единицы товара В – $1000. Определить план выпуска, максимизирующий доход. Оценить, на сколько изменится доход, если объем склада увеличить на 1 кг. - 7. Решить задачу а) 1 2 3( ) 3 2 maxf x x x x при 2)1(3 2

322

21 xxx , x1≥0, x2≥ 0, x3≥ 0;

б) 1 2 3( ) 2 4 4 maxf x x x x при 6)2(4 23

22

21 xxx , x1≥0, x2≥ 0, x3≥ 0;

в) 1 2 3( ) 2 3 maxf x x x x при 2 2 21 2 32( 1) 3( 1) 5x x x , x1≥0, x2≥ 0, x3≥ 0.

При этом:

1. Проверить, выполняется ли для данной задачи нелинейного программирования условия теоремы Вейерштрасса;

2. Проверить, является ли данная задача задачей выпуклого программирования; 3. Проверить возможность использования условий Куна-Таккера (необходимость и

достаточность) в данной задаче; 4. Найти решение рассматриваемой задачи нелинейного программирования на основе

проверки выполнения условий Куна-Таккера в градиентной форме для различных наборов активных ограничений;

5. Выписать функцию Лагранжа и условия Куна-Таккера в алгебраической форме с использованием функции Лагранжа; проверить выполнение условий Куна-Таккера в решении, найденном в предыдущем пунк

5.2.3. Линейное программирование

1. Привести задачи линейного программирования к стандартной и канонической формам:

а)

01232

63275

max52

4,2,1

421

43

321

4321

xxxx

xxxxx

xxxx

; б)

0;0123

54232

min32

21

31

21

31

321

xxxx

xxxx

xxx

; в)

01232

632723

43

2,3,4

421

43

321

421

xxxx

xxxxx

xxx min

.

2. Составить задачи линейного программирования для следующих проблем и решить графически: а) Озеро можно заселить двумя видами рыб: А и В. В озере имеется два вида пищи: Р1 и Р2. Средние потребности в пище рыбы вида А составляют 0,5 ед. корма Р1 и 1,5 ед. корма Р2 на 1 кг рыбы в день. Потребности в пище рыбы вида В составляют 2 ед. корма Р1 и 1 ед. корма Р2 на 1 кг рыбы в день. Ежедневный запас пищи поддерживается на уровне 500 ед. Р1 и 900 ед. Р2. Каковы должны быть массы отдельных видов рыб для того, чтобы максимизировать общую массу рыбы в озере? б) Имеется 2 вида кормов А и B, которые можно купить по ценам $8 и $10 за килограмм. В одном килограмме корма А содержится 50 г питательного вещества М и 100 г питательного вещества N. Для корма В соответствующие цифры составляют 100 г и 50 г. Сколько требуется закупить кормов А и B, чтобы общее количество питательных веществ М и N составляло не менее 4 кг и 5 кг соответственно, а расходы были минимальны? Вычислить минимальные расходы. в) Фабрика по производству мороженого может выпускать два сорта мороженого: молочное и сливочное. При производстве мороженого используют три вида сырья: молоко, дешевые наполнители и дорогие наполнители, запасы которых составляют 5 т, 3 т и 5,7 т соответственно. Известны удельные затраты сырья для каждого из сортов и цены продукции. Для молочного мороженого они составляют 0,5 кг,0,1 кг и 0,4 на 1 кг мороженого, а для сливочного – 0,2 кг, 0,3 и 0,5 кг на 1 кг мороженого. Цена молочного мороженого составляет 200 рублей за 1 кг, а сливочного – 300 рублей за 1 кг. Требуется построить план производства, который обеспечивает максимум дохода, и найти оптимальный доход. 3. Составить математические задачи оптимизации для следующих проблем и решить их. Дать интерпретацию оптимальных значений двойственных переменных. Провести анализ чувствительности оптимального значение критерия по отношению к изменениям объемов используемого сырья. Найти пределы, в которых данные значения двойственных переменных могут быть использованы для расчета влияния изменения объемов сырья.

а) Имеется два вида сырья: S1 и S2 в количествах 800 и 1400 кг. Можно изготовить три вида продукции: Р1, Р2 и Р3. Затраты сырья на кг продукции составляют соответственно: 4;2;5 и 2;6;5. Цена готовых изделий: $8; $14; $10. При планировании максимизируется доход. б) На заводе имеется запас олова и свинца в объеме 3 тонн и 5 тонн соответственно. Из этих металлов завод может изготовить три вида сплавов этих металлов: с содержанием олова 20 %, 30 % и 50 %. Сплав первого вида завод может реализовать по цене $80 за кг, второго – $140, третьего – $200. Составить план производства, максимизирующий доход, и вычислить этот доход. - в) Фирма по производству творожной пасты может выпускать два сорта пасты, используя три вида сырья – молоко, наполнители и специальные добавки. Затраты молока на килограмм пасты первого вида составляют 0.1 кг, а второго вида – 0.5 кг. Затраты наполнителей на килограмм пасты первого вида составляют 0.2 кг, а второго вида – 0.1 кг. Наконец, затраты добавок на килограмм пасты первого вида составляют 0.1 кг, а при производстве второго вида пасты не используются. Запасы молока составляют 350 кг, наполнителей – 160 кг, добавок – 60 кг. Цена 1 кг первого вида пасты составляет 200 рублей, а второго вида – 300 рублей. Найти план производства, максимизирующий доход от продажи творожной пасты, и соответствующее значение дохода. Записать двойственную задачу, найти ее решение и дать интерпретацию двойственным переменным. Провести анализ чувствительности к малым изменениям запасов. 5. Для каждой из следующих задач ЛП перейти к двойственной задаче, решить ее графически и найти решение исходной задачи.

а)

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1,2,3,4

4 18 30 5 min3 4 32 4 3

0

x x x xx x x xx x x x

x

; б)

0240034122

2400624max33234

5,4,3,2,1

54321

54321

54321

xxxxxx

xxxxxxxxxx

.

5.2.5. Многокритериальная оптимизация

1. Пользуясь определением доминирования по Парето и возможностью изобразить на плоскости совокупность критериальных векторов, выделить Парето-эффективное

множество решений из конечного множества допустимых решений },...,,{ 921 xxxX , каждое из которых оценивается по двум максимизируемым критериям, то есть

)(),()( 21iii xfxfxf :

а) )3 ,1()( 1 xf , )1 ,3()( 2 xf , ).51 ,5.1()( 3 xf , )1 ,5()( 4 xf , )1 ,2()( 5 xf , )1 ,1()( 6 xf , )5 ,1()( 7 xf , )5.0 ,5.1()( 8 xf , )2 ,0()( 9 xf ;

б) )1 ,3()( 1 xf , )3 ,0()( 2 xf , )2.5 ,5.2()( 3 xf , )1 ,5()( 4 xf , )2 ,2()( 5 xf , )1 ,1()( 6 xf , )5 ,1()( 7 xf , )4 ,2()( 8 xf , )2 ,0()( 9 xf .

2. Пользуясь определением доминирования по Парето, выделить Парето-эффективное

множество решений из конечного множества допустимых решений },,,{ 4321 xxxxX , каждое из которых оценивается по трем максимизируемым критериям, то есть

)(),(),()( 321iiii xfxfxfxf :

а) )1 ,1 ,3()( 1 xf , )3 ,3 ,1()( 2 xf , )2 ,3 ,4()( 3 xf , )3 ,2 ,4()( 4 xf ; б) )2 ,2 ,4()( 1 xf , )4 ,4 ,2()( 2 xf , )4 ,2 ,3()( 3 xf , )4 ,3 ,1()( 4 xf .

3. Пусть в задаче многокритериальной максимизации множество достижимых критериальных векторов Z уже построено. Выделить паретову границу )(ZP множества Z и указать идеальную точку z*. При каких значениях максимизация свертки

21 )1( zz , где 10 , позволяет выделить вершины и ребра )(ZP ? а) 0, ,5.2 ,62 ,62:, 211212121 zzzzzzzzzZ ,

б) 0, ,162 ,10,8:, 212121221 zzzzzzzzzZ .

4. В следующих задачах линейной многокритериальной максимизации с двумя переменными и двумя критериями изобразить множество допустимых решений, построить и изобразить множество достижимых критериальных векторов Z, выделить его паретову границу )(ZP и указать идеальную точку z*. Найти Парето-эффективное множество в пространстве решений: а) 0 ,2- ,42:, 2,1212121 xxxxxxxX и 22211 ,2 xzxxz ;

б) 0 ,2- ,4:, 2,1212121 xxxxxxxX и 22211 , xzxxz . 5. В задаче многокритериальной максимизации с двумя критериями множество допустимых решений X является многогранником, а критерии – линейны. Пусть задано целевое множество G ={( 1z , 2z ): 11 €zz , 22 €zz }. Сформулировать задачу целевого программирования при условии, что отклонение от целевого множества задается функцией )€( ,)€( max )€,( 222111 zzzzzz . Изобразить множества Z и P(Z), целевое множество G, идеальную точку z*, линии уровня )€,( zz и графически решить задачу целевого программирования. Записать задачу целевого программирования в виде задачи линейного программирования. а) 0 ,2- ,82:, 2,1212121 xxxxxxxX , 22211 ,2 xzxxz , 5.1€1 z ,

3€2 z , 2 , 1 21 . б) 0 ,44 ,42:, 2,1212121 xxxxxxxX , 21221 3 , xxzxz , 3€1 z , 2€2 z ,

1 , 2 21 . 6. Потребитель, имеющий сумму денег 6S , решает, в каких объемах 01 x и 02 x купить на рынке товары двух видов. Запасы товаров на рынке ограничены: 11 x и 12 x , цены известны потребителю: 61 p и 12 p .

От своей покупки потребитель хочет получить побольше полезности: 43

24

1

11 xxy , но при этом истратить поменьше денег: 22112 xpxpy . Требуется определить Парето-эффективные объемы покупок 0

201

0 , xxx , решив задачу однокритериальной оптимизации с параметром С: max1 xy по Xx при

SCxy ;02 fix с использованием условий Куна-Таккера.

7. Рассматривается задача двухкритериальной максимизации 1 1 1 2 3 2 2 1 2 3( ) 6 max, ( ) 4 9 maxz F x x x x z F x x x x

на множестве допустимых решений 3X E : 2 2 2

1 2 3 1 2 33( 1) 2, 0, 0, 0.x x x x x x Найти Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев

1 2 1 2( , ) 0,7 0,3 .z z z z

5.2.6. Оптимизация динамических систем 1. Путешественник должен добраться из пункта А в пункт Б, посетив по дороге несколько промежуточных пунктов: а) на первом этапе путешественник может добраться из пункта А до одного из промежуточных пунктов 1, 2, 3 или 4, причем расстояния до этих пунктов равны 450, 250, 350 и 500 км соответственно; б) на втором этапе путешественник должен добраться из выбранного им пункта 1, 2, 3 или 4 до одного из промежуточных пунктов 5, 6, 7 или 8. Расстояние от пункта 1 до пункта 5 равно 400 км, до пункта 6 – 350 км, а в пункты 7 или 8 из пункта 1 дороги нет. Расстояние от пункта 2 до пункта 5 равно 500 км, до пункта 6 – 450 км, до пункта 7 – 500 км, а в пункт 8 из пункта 2 дороги нет. Расстояние от пункта 3 до пункта 6 равно 450 км, до пункта 7 – 400 км, до пункта 8 – 400 км, а в пункт 5 из пункта 3 дороги нет. Наконец, расстояние от пункта 4 до пункта 7 равно 400 км, до пункта 8 – 300 км, а в пункты 5 или 6 из пункта 4 дороги нет; в) на третьем этапе путешественник должен добраться из выбранного им пункта 5, 6, 7 или 8 до одного из промежуточных пунктов 9 или 10. Расстояние от пункта 5 до пункта 9 равно 400 км, а в пункт 10 из пункта 5 дороги нет. Расстояние от пункта 6 до пункта 9 равно 350 км, до пункта 10 – 450 км. Расстояние от пункта 7 до пункта 9 равно 550 км, до пункта 10 – 350 км. Наконец, расстояние от пункта 8 до пункта 10 равно 300 км, а в пункт 9 из пункта 8 дороги нет. г) на четвертом этапе путешественник должен добраться из выбранного им пункта 9 или 10 до конечного пункта Б. Расстояние от пункта 9 до пункта Б равно 500 км. Расстояние от пункта 10 до пункта Б равно 400 км.

Найти кратчайший маршрут, применив метод динамического программирования (то есть, выписав уравнение Беллмана и решив его). 2. Финансово-промышленная группа выделяет 4 миллиона рублей для инвестирования трех предприятий. Ожидается, что на i-м предприятии инвестированные средства хi принесут прибыль в размере Fi(хi) миллионов рублей, i=1,2,3. Предполагается, что сумма денег, вложенных в одно предприятие, может принимать только целочисленные значения, т.е. {0,1, 2, 3, 4}ix . Определить максимальную суммарную прибыль и оптимальное распределение инвестиций между предприятиями. Решить задачу методом динамического программирования.

3. Фирма вырабатывает план замены однотипного оборудования. Планирование производится на 7 лет вперед, после чего фирма прекращает существование, распродав оборудование по остаточной стоимости. Считается, что замена может осуществляться в начале любого года (практически моментально), причем частичная замена оборудования невозможна (т.е. или менять все, или не менять ничего). Стоимость приобретения нового оборудования и замены старого оборудования на новое составляет p миллионов рублей. После замены старое оборудование продается по остаточной стоимости. Известно, что прибыль от реализации продукции, произведенной за год на оборудовании,

X F1 F2 F3 0 0 0 01 1,5 2 1,72 2 2,1 2,43 2,5 2,3 2,74 3 3,5 3,2

X F1 F2 F3 0 0 0 01 0,5 0,6 0,82 1 1,1 1,23 1,5 1,5 1,34 2 1,7 1,5

а) б)а)

эксплуатировавшемся до этого t лет, 10;0t , определяется формулой ttF 5)(

миллионов рублей. Остаточная стоимость определяется формулой tptG 2)1()(

миллионов рублей. Определить план замены оборудования, максимизирующий суммарную прибыль от

производственной деятельности с учетом затрат на оборудование и дохода от его продажи, при условии, что в начальный момент времени имеется оборудование,

прослужившее 1 год. а) p=9 миллионов рублей;

б) p=17 миллионов рублей. 4. Динамика фирмы описывается моделью (в безразмерных переменных)

Kt+1 =Kt + (1 – ut) δ Kt , K0 = 1, Ct+1 = Ct + ut δ Kt , C0 = 0,

где t = 0,1,2,…, T-1. В этой модели Kt – стоимость основных фондов к началу периода [t, t+1]; Ct – суммарные дивиденды с момента 0 до начала периода [t, t+1]; ut – доля дивидендов в период [t, t+1] в прибыли фирмы, которая считается равной δ Kt, где δ – заданный постоянный параметр. Величина ut является управлением в модели, причем 0 ≤ ut ≤ 1, t=0,1,2,…,T-1.

Пользуясь методом динамического программирования, построить оптимальное управление, максимизирующее суммарные дивиденды за весь период времени [0, T], то есть СT. а) δ = 0.6; T = 4; б) δ = 0.4; T = 4.

5.3. Контрольно-измерительные материалы.

5.3.1.Домашние работы

Задание 1 (критический путь). Пользуясь печатным или электронным источником, отыскать задачу, приводящую к

необходимости проведения комплекса работ за возможно более короткое время с не менее чем десятью видами работ разной продолжительности.

Затем необходимо: 1. упорядочить работы, 2. составить рабочую таблицу, описывающую работы, их последовательность и

продолжительность, 3. пользуясь созданной таблицей, построить ориентированную сеть, 4. найти критический путь в построенной сети и выделить критические работы, 5. правильно оформить полученный ответ — указать найденный критический путь

(например, выделить фломастером), выписать критические работы, найти общую временную протяженность критического пути, сделать необходимые выводы и проинтерпретировать полученные результаты

Задание 2 (задача линейного программирования). 1. Пользуясь печатным или электронным источником, отыскать задачу (с вполне

конкретными данными), приводящую к задаче линейного программирования. Число п неизвестных, подлежащих определению, должно подчиняться условию п ≥ 2, а число т линейных неравенств –условию т ≥ 2.

2. Составить соответствующую систему линейных неравенств. 3. Наглядно-графическим способом найти экстремальное значение заданной целевой

функции и соответствующие значения неизвестных. 4. Правильно оформить полученный ответ, сделать необходимые выводы и

проинтерпретировать полученные результаты. Задание 3 (транспортная задача).

1. Пользуясь печатным или электронным источником, отыскать задачу (с вполне конкретными данными), приводящую к сбалансированной транспортной задаче. Число т пунктов отправления должно подчиняться неравенству т ≥ 4, а число п пунктов назначения — неравенству ≥ 5.

2. Составить соответствующую таблицу. 3. Найти какое-нибудь опорное решение. 4. Действуя пошагово, преобразовать найденное опорное решение в оптимальное. 5. Правильно оформить полученный ответ, сделать необходимые выводы и

проинтерпретировать полученные результаты. Задание 4 (задача целочисленного программирования).

1. Пользуясь печатным или электронным источником, отыскать задачу (с вполне конкретными данными), приводящую к задаче целочисленного программирования. Число п неизвестных, подлежащих определению, должно подчиняться условию п ≥ 2, а число т линейных неравенств – условию т ≥ 3.

2. Составить соответствующую систему линейных неравенств. 3. Методом ветвей и границ (сопровождаемым аккуратно выполненными чертежами)

найти экстремальное значение заданной целевой функции и соответствующие целочисленные значения неизвестных.

4. Правильно оформить полученный ответ, сделать необходимые выводы и проинтерпретировать полученные результаты.

5.3.2. Расчетно-графические работы 1. «Линейные оптимизационные модели и линейное программирование»

Задача. На изготовление двух видов продукции Р1 и Р2 требуется три вида сырья S1, S2, S3. Запасы каждого вида сырья ограничены и составляют соответственно b1, b2, и b3 условных массовых единиц. При принятой технологии количество сырья Pj, необходимое для производства единицы продукции Si, известно (см. табл. 1).

Таблица 1

Продукция Сырье

P1 P2 Запасы сырья

S1 a11 a12 b1

S2 a21 a22 b2

S3 a31 a32 b3

Прибыль c1 c2 В последней строке таблицы сj значения прибыли (в условных денежных единицах), получаемой предприятием от реализации единицы каждого вида продукции. Требуется составить такой план выпуска продукции видов P1 и P2, при котором суммарная прибыль от реализации всей продукции была бы максимальной.

Значения параметров задачи вычислить по формулам: , 0,1 , 0,2T T T

ij ij i i j jа a b b n c c n ,

где n – последняя цифра номера группы студента. Значения Ti

Tij ba , и T

jс приведены в табл.2 , где m – номер студента в списке группы (узнать у преподавателя).

Содержание работы

1. Составить математическую модель планирования производства, записав соответствующую задачу линейного программирования в стандартном виде (1 балл). Указать смысл всех используемых обозначений и математических выражений (2 балла).

2. Записать задачу линейного программирования в каноническом виде (2 балла). 3. Изобразить графически множество допустимых планов для задачи, записанной в

стандартном виде (3 балла). 4. Составить таблицу соответствия вершин многоугольника допустимых планов для

задачи в стандартном виде и точек допустимого множества задачи, записанной в каноническом виде (5 баллов).

5. Найти графическим методом оптимальный план выпуска продукции (3 балла). 6. Провести анализ чувствительности в отдельности для каждого из параметров b1, b2, b3:

построить графики зависимостей f*(bi), i = 1,2,3, для всего диапазона возможных значений bi интервала [0, +∞) (9 баллов); найти их угловые коэффициенты, дать им экономическую интерпретацию в терминах решаемой задачи (3 балла).

7. Провести анализ чувствительности в отдельности для каждого из параметров с1, с2: построить графики зависимостей f*(сj), j = 1,2, для всего диапазона возможных значений сj интервала [0, +∞) (6 баллов).

8. Записать двойственную задачу и решить ее аналитически (3 балла). Пояснить полученные результаты с использованием графиков f*(bi) (2 балла).

9. Найти графическим методом оптимальный план при условии целочисленности количеств выпускаемой продукции (привести отдельный рисунок) (3 балла).

10. Решить задачу линейного программирования (в непрерывной и целочисленной постановках) на компьютере с использованием программы Microsoft Excel. Привести распечатку полученных решений, сравнить их с полученными вручную и сделать вывод (4 балла). Распечатать отчеты по результатам, устойчивости и пределам (для непрерывной постановки) и объяснить смысл всех содержащихся в них данных (4 балла).

5.3.3. Контрольные вопросы См. рабочую программу

Программное обеспечение и Интернет-ресурсы

№ Наименование ресурса Краткая характеристика 1 http://www.iqlib.ru Интернет-библиотека образовательных

изданий, в которой собраны электронные учебники, справочные и учебные пособия. Удобный поиск по ключевым словам отдельным темам и отраслям знаний

2 http://elibrary.ru Научная электронная библиотека журналов

6. Глоссарий терминов.

Аддитивность - свойство величин, состоящее в том, что значение величины,

соответствующее целому объекту, равно сумме значений величин, соответствующих его частям при любом разбиении объекта на части. Характеристика системы аддитивна, если она равна сумме тех же характеристик для всех составляющих систему подсистем и элементов.

Адекватность модели - ее соответствие моделируемому объекту или процессу. При моделировании имеется в виду адекватность не вообще, а по тем свойствам мо-дели, которые для исследования считаются существенными.

Аппроксимация - приближенное выражение сложной функции с помощью более простых, что часто значительно упрощает решение задачи.

Вариантные прогнозы - прогнозы, основанные на сопоставлении различных вариантов возможного развития экономики при разных предположениях относительно того, как будет развиваться техника, какие будут приниматься экономические меры и т. д.

Векторная оптимизация - решение задач математического программирования, в которых критерий оптимальности представляет собой вектор, компонентами которого являются в свою очередь различные несводимые друг к другу критерии оптимальности подсистем, входящих в данную систему, например критерии разных социальных групп в социально-экономическом планировании.

Верификация имитационной модели - проверка соответствия ее поведения предположениям экспериментатора.

Вероятностная модель - модель, которая в отличие от детерминированной модели содержит случайные элементы. Таким образом, при задании на входе модели некоторой совокупности значений, на ёе выходе могут получаться различающиеся между собой результаты в зависимости от действия случайного фактора.

Взаимозаменяемость ресурсов — возможность использования разных ресурсов для достижения оптимума. Именно этим обусловлена проблема выбора: там, где нет заменяемости, нет и выбора, и тогда фундаментальное понятие оптимальности теряет смысл.

Генетический прогноз («поисковый») — прогноз, показывающий, к каким состояниям придет прогнозируемый объект в заданное время при определенных начальных условиях.

Глобальное моделирование или моделирование глобального развития — область исследований, посвященная разработке моделей наиболее масштабных социальных, экономических и экологических процессов, охватывающих земной шар.

Градиентные методы решения задач математического программирования - методы, основанные на поиске экстремума (максимума или минимума) функции путем последовательного перехода к нему с помощью градиента этой функции.

Декомпозиционные методы решения оптимальных задач - основанные на рациональном расчленении сложной задачи и решении отдельных подзадач с последующим согласованием частых решений для получения общего оптимального решения.

Дескриптивная модель - модель, предназначенная для описания и объяснения наблюдаемых фактов или прогноза поведения объектов - в отличие от нормативных моделей, предназначенных для нахождения желательного состояния объекта (например, оптимального).

Детерминированная модель - аналитическое представление закономерности, операции и т. п., при которых для данной совокупности входных значений на выходе системы может быть получен единственный результат. Такая модель может отображать как вероятностную систему (тогда она является некоторым ее упрощением), так и детерминированную систему.

Детерминированная система - такая система, выходы которой (результаты действия, конечные состояния и т.п.) однозначно определяются оказанными на нее управляющими воздействиями.

Динамическая система - всякая система, которая изменяется во времени (в отличие от статической системы). Математически это принято выражать через переменные (координаты), изменяющиеся во времени. Процесс изменения характеризуется тра-екторией (т. е. наборами координат, каждая из которых является функцией времени).

Динамические модели межотраслевого баланса - частный случай динамических моделей экономики, основаны на принципе межотраслевого баланса, в который дополнительно вводятся уравнения, характеризующие изменения отраслевых связей во времени.

Итеративные (итерационные) методы решения задач - заключаются в том, что вычислительный процесс начинают с некоторого пробного (произвольного) допустимого решения, а затем применяют алгоритм, обеспечивающий последовательное улучшение этого решения.

Итерация - повторное применение математической операции (с измененными данными) при решении вычислительных задач для постепенною приближения к нужному результату. Итеративные расчеты на ЭВМ характерны для решения экономических (особенно оптимизационных и балансовых) задач. Чем меньше требуется пересчетов, тем быстрее сходится алгоритм.

Коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты) в межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимостной (руб.).

Критерий оптимальности - показатель, выражающий меру экономического эффекта принимаемого хозяйственного решения для сравнительной оценки возможных решений (альтернатив) и выбора наилучшего из них (например, максимум прибыли, минимум трудовых затрат, кратчайшее время достижения цели и т. д.)

Коэффициенты полных материальных затрат в межотраслевом балансе - средние затраты i-го продукта на производство конечного продукта j по всей цепи сопряженных производств. Таким образом, они складываются из прямых затрат каждой отрасли на данный продукт и косвенных затрат.

Коэффициенты прямых затрат (технологические коэффициенты) в межотраслевом балансе - средние величины непосредственных затрат продукции одной отрасли (в качестве средств производства) на выпуск единицы продукции другой отрасли. Они могут быть выражены в натуральной форме (кВт/ч и т. д.) или стоимостной (руб.).

Математическое программирование (оптимальное программирование) — область математики, объединяющая различные математические методы и дисциплины: линейное программирование, нелинейное программирование, динамическое программирование, выпуклое программирование и др. Общая задача матема-тического программирования состоит в нахождении оптимального (максимального или минимального) значения целевой функции, причем значения переменных должны принадлежать некоторой области допустимых значений.

Матричные модели - модели, построенные в виде таблиц (матриц). Они отображают соотношения между затратами на производство и его результатами, нормативы затрат, производственную и экономическую структуру хозяйства. Применяются в межотрас-левом балансе, матричном плане предприятия и др.

Машинная имитация - экспериментальный метод изучения объекта с помощью электронных вычислительных машин, Процесс имитации заключается в следующем: сначала строится математическая модель изучаемого объекта (имитационная модель), затем эта модель преобразуется в программу работы ЭВМ.

Межотраслевой баланс (МОБ) - каркасная модель экономики, таблица, в которой показываются многообразные натуральные и стоимостные связи в народном хозяйстве. Анализ МОБ дает комплексную характеристику процесса формирования и использова-ния совокупного общественного продукта в отраслевом разрезе.

Объективно обусловленные (оптимальные) оценки - одно из основных понятий линейного программирования. Это оценки продуктов, ресурсов, работ, вытекающие из условий решаемой оптимизационной задачи. Их называют также двойственными оценками, разрешающими множителями, множителями Лагранжа и целым рядом других терминов.

Ограничения модели - запись условий, в которых действительны расчеты, использующие эту модель. Обычно представляя собою систему уравнений и неравенств, они в совокупности определяют область допустимых решений (допустимое множество). Распространены линейные и нелинейные ограничения (на графике первые изображаются прямыми, вторые — кривыми линиями).

Определенность в системе - ситуация, когда имеется точная информация о возможных состояниях системы в случае принятия тех или иных решений.

Оптимальное планирование - комплекс методов, позволяющих выбрать из многих возможных (альтернативных) вариантов плана или программы один оптимальный вариант, т. е. наилучший с точки зрения заданного критерия оптимальности и определенных ограничений.

Оптимальное программирование - применение в экономике методов математического программирования.

Оптимальное управление - основное понятие математической теории оптимальных процессов (принадлежащей разделу математики под тем же названием: оптимальное управление); означает выбор таких управляющих параметров, которые обеспечивали бы наилучшее, с точки зрения заданного критерия, протекание процесса, или, иначе, наилучшее поведение системы, ее развитие к цели по оптимальной траектории.

Оптимизационная задача - экономико-математическая задача, цель которой состоит в нахождении наилучшего (с точки зрения какого-то критерия) распределения наличных ресурсов. Решается с помощью оптимизационной модели методами математического программирования.

Оптимизация - 1) процесс нахождения экстремума функции, т. е. выбор наилучшего варианта из множества возможных; 2) процесс приведения системы в наилучшее (оптимальное) состояние. Очередь — в теории массового обслуживания — последовательность требований или заявок, которые, заставая систему обслуживания занятой, не выбывают, а ожидают ее освобождения (затем они обслуживаются в том или ином порядке). Очередью можно назвать также и совокупность ожидающих (простаивающих) каналов или средств обслуживания.

Пассивный (безусловный) статистический прогноз - прогноз развития, основанный на изучении статистических данных за прошлый период и переносе выявленных закономерностей на будущее. При этом внешние факторы, воздействующие на систему, принимаются неизменными и считается, что ее развитие основывается только на собственных, внутренних тенденциях.

Предельные и приростные величины в экономике. Предельная величина характеризует не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение. Поскольку в экономике большинство процессов (например, рост производства или изменение его эффективности) являются функциями ряда аргументов (факторов), то предельные величины здесь обычно выступают как частные производные процесса по каждому из факторов.

Прогнозирование - система научных исследований качественного и количественного характера, направленных на выяснение тенденций развития народного хозяйства и поиск оптимальных путей достижения целей этого развития.

Прогнозирование спроса - исследование будущего (возможного) спроса на товары и услуги в целях лучшего обоснования соответствующих производственных планов. Прогнозирование подразделяется на краткосрочное (конъюнктурное), среднесрочное и долгосрочное.

Производственная функция - экономико-математическое уравнение, связывающее переменные величины затрат (ресурсов) с величинами продукции (выпуска). Математически производственные функции (ПФ) могут быть представлены в различных формах — от столь простых, как линейная зависимость результата производства от одного исследуемого фактора, до весьма сложных систем уравнений, включающих рекуррентные соотношения, которыми связываются состояния изучаемого объекта в разные периоды времени. Широко распространены мультипли-кативные формы ПФ.

Равновесие - состояние экономической системы, которое характеризуется равенством спроса и предложения всех ресурсов.

Регрессия - зависимость среднего значения какой-либо случайной величины от некоторой другой величины или нескольких величин. Распределение этих значений называется условным распределением у при данном х. Множественная регрессия в определенных условиях позволяет исследовать влияние причинных факторов.

Рекурсия - в общем смысле вычисление функции по определенному алгоритму. Примерами таких алгоритмов являются рекуррентные формулы, выводящие вычисление заданного члена последовательности (чаще всего числовой) из вычисления нескольких предыдущих ее членов.

Статистическое моделирование - способ исследования процессов повеления вероятностных систем в условиях, когда неизвестны внутренние взаимодействия в этих системах.

Стохастическая имитация — вид машинной имитации, отличающийся от детерминированной тем, что включает в модель в том или ином виде случайные возмущения, отражающие вероятностный характер моделируемой системы.

Устойчивость решения — обычно, говоря об устойчивости решения задачи, имеют в виду, что малые изменения каких-либо характеристик, например, начальных условий, ограничений или целевого функционала, не приводят к качественному изменению ре-шения.

Целевая функция в экстремальных задачах - функция, минимум или максимум которой нужно найти. Это ключевое понятие оптимального программирования. Найдя экстремум целевой функции и, следовательно, определив значения управляемых переменных, которые k нему приводят, мы тем самым находим оптимальное решение задачи.

Шкалы — системы чисел или иных элементов, принятых для оценки или измерения каких-либо величин. Шкалы используются для оценки и выявления связей и отношений между элементами систем. Особенно широко их применение для оценки величин, выступающих в роли критериев качества функционирования систем, в частности, критериев оптимальности при решении экономико-математических задач.

Вершины, прилегающие к одному и тому же ребру, называются смежными.

Вырожденный опорный план - опорный план, число ненулевых компонент которого меньше числа ограничений.

Геометрическое программирование. Под задачами геометрического программирования понимают задачи наиболее плотного расположения некоторых объектов в заданной двумерной или трехмерной области. Такие задачи встречаются в задачах раскроя материала для производства каких-то изделий и т.п. Это - еще недостаточно разработанная область математического программирования и имеющиеся здесь алгоритмы в основном ориентированы на сокращение перебора вариантов с поиском локальных минимумов.

Граф это множество точек или вершин и множество линий или ребер, соединяющих между собой все или часть этих точек.

Дерево это связный граф без циклов.

Динамическое программирование. Для отыскания оптимального решения планируемая операция разбивается на ряд шагов (этапов) и планирование осуществляется последовательно от этапа к этапу. Однако выбор метода решения на каждом этапе производится с учетом интересов операции в целом.

Задачами теории массового обслуживания является анализ и исследование явлений, возникающих в системах обслуживания. Одна из основных задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые обеспечивают заданное качество функционирования, например, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди.

Игра - математическая модель конфликтной ситуации, стороны, участвующие в конфликте, называются игроками, а исход конфликта - выигрышем.

Канонической форма задачи ЛП является задачей на максимум (минимум) некоторой линейной функции F, ее система ограничений состоит только из равенств (уравнений). При этом переменные задачи х1, х2 , ..., хn являются неотрицательными.

Компьютерная модель — это модель, реализованная средствами программной среды.

Линейное программирование состоит в нахождении экстремального значения линейной функции многих переменных при наличии линейных ограничений, связывающих эти переменные.

Математическая модель любой задачи линейного программирования включает в себя:

максимум или минимум целевой функции (критерий оптимальности); систему ограничений в форме линейных уравнений и неравенств; требование неотрицательности переменных.

Математические моделирование – наука, занимающаяся разработкой и практическим применением методов наиболее оптимального управления организационными системами.

Модель – материальный или мысленно представляемый объект, который в процессе исследования замещает объект-оригинал так, что его непосредственное изучение дает новые знания об объекте-оригинале.

Моделировaние – это изучение объектa путем построения и исследования его модели, осуществляемое с определенной целью и состоит в зaмене экспериментa с оригинaлом экспериментом нa модели.

Метод аппроксимации Фогеля - один из группы методов определения первоначального опорного плана транспортной задачи. Данный метод состоит в следующем:

1. на каждой итерации находят разности между двумя наименьшими тарифами во всех строках и столбцах, записывая их в дополнительные столбец и строку таблицы;

2. находят max Δcij и заполняют клетку с минимальной стоимостью в строке (столбце), которой соответствует данная разность.

Метод двойного предпочтения - один из группы методов определения первоначального опорного плана транспортной задачи.

Метод минимальной стоимости - один из группы методов определения первоначального опорного плана транспортной задачи. Суть метода заключается в том, что из всей таблицы стоимостей выбирают наименьшую, и в клетку, которая ей соответствует, помещают меньшее из чисел ai , или bj.

Метод потенциалов - один из методов проверки опорного плана транспортной задачи на оптимальность.

Метод северо-западного угла - один из группы методов определения первоначального опорного плана транспортной задачи.

Нелинейное программирование. Целевая функция и ограничения могут быть нелинейными функциями.

Оптимальный план ЗЛП - решение задачи линейного программирования, т. е. такой план, который входит в допустимую область и доставляет экстремум целевой функции.

Открытая ТЗ - если общее количество груза в пунктах отправления и общая потребность

в пунктах назначения не совпадают ( )

Принцип оптимальности динамического программирования - каково бы ни было состояние системы в результате какого-либо числа шагов, на ближайшем шаге нужно выбирать управление так, чтобы оно в совокупности с оптимальным управлением на всех последующих шагах приводило к оптимальному выигрышу на всех оставшихся шагах, включая выигрыш на данном шаге. Простая цепь - маршрут, в котором все вершины попарно различны.

Решение – всякий определенный набор зависящих параметров.

Симплекс метод - алгоритм последовательного улучшения плана, позволяющий осуществлять переход от одного допустимого базисного решения к другому таким

образом, что значение целевой функции непрерывно возрастают и за конечное число шагов находится оптимальное решение.

Седловой точкой действительной функции f (x,y), определённой для всех x € A, y € B, называется точка (x0 , y0 ), где x € A, y € B, если выполнены следующие условия:

1. x € A, f (x , y0x,y0) f (x0 , y0), 2. x € В, f (x0 , y0) f (x0 , y).

Стандартная форма задачи линейного программирования является задачей на максимум (минимум) линейной целевой функции. Система ограничений ее состоит из одних линейных неравенств типа «≤» или «≥». Все переменные задачи неотрицательны.

Стационарная точка - точка X* , в которой все частные производные функции Z = f (Х) равны 0.

Стохастическое линейное программирование. Бывает много практических ситуаций, когда коэффициенты ci целевой функции, коэффициенты aij в матрице коэффициентов, коэффициенты ограничений bi - являются случайными величинами. В этом случае сама целевая функция становится случайной величиной, и ограничения типа неравенств могут выполняться лишь с некоторой вероятностью. Приходится менять постановку самих задач с учётом этих эффектов и разрабатывать совершенно новые методы их решения. Соответствующий раздел получил название стохастического программирования.

Транспортная задача - в общем виде состоит в определении оптимального плана перевозок некоторого однородного груза из m пунктов отправления A1, A2 , ..., Am в n пунктов назначения B1, B2 , ..., Bn .

Целевая функция - функция в математическом программировании, для которой требуется найти экстремум.

Цепь маршрут, в котором все ребра попарно различны.

Цикл замкнутый маршрут, являющийся цепью.

Циклом называют замкнутую ломаную линию, все вершины которой лежат в занятых ячейках, кроме одной, расположенной в свободной клетке, подлежащей заполнению, а звенья параллельны строкам и столбцам, причем в каждой строке (столбце) лежит не более 2-х вершин.

Элементы решения – параметры, совокупность которых образует решение

Documents

«Методы оптимальных решений» · 2013-02-04 · 2.1 Цели и задачи дисциплины: Целями освоения дисциплины «Методы