Funkce a limita

Petr Hasil

Prednaska z matematiky

Podporeno projektem Prurezova inovace studijnıch programu Lesnicke a drevarske fakulty MENDELU v Brne (LDF)s ohledem na disciplıny spolecneho zakladu (reg c CZ1072200280021) za prispenı financnıch prostredku EU

a statnıho rozpoctu Ceske republiky

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 1 70

Obsah

1 Funkce IIPrehled elementarnıch funkcıOperace s funkcemiInverznı funkceTransformace grafu funkce

2 Limita funkceOkolı boduLimita funkceSpojitost funkceVypocet limit

3 Prıklady

4 Wolfram|Alpha

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 2 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Definice (Zakladnı elementarnı funkce)

Obecna mocnina mnohocleny goniometricke cyklometrickeexponencialnı a logaritmicke (a hyperbolicke a hyperbolometricke) funkcese nazyvajı zakladnı elementarnı funkce

Definice (Elementarnı funkce)

Funkce ktere lze zıskat konecnym poctem sectenı odectenı vynasobenıpodelenı a slozenı zakladnıch elementarnıch funkcı se nazyvajı elementarnıfunkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 4 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr x2 Obr x2 x4

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 5 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr x2radicx

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 6 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr x3 Obr x3 x5

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 7 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 1x 1

x2

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 8 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)xObr log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 9 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)x log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 10 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x

Obr cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 11 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 12 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x arcsin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 13 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cos x arccos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 14 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x Obr cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 15 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Definice (Zakladnı elementarnı funkce)

Obecna mocnina mnohocleny goniometricke cyklometrickeexponencialnı a logaritmicke (a hyperbolicke a hyperbolometricke) funkcese nazyvajı zakladnı elementarnı funkce

Definice (Elementarnı funkce)

Funkce ktere lze zıskat konecnym poctem sectenı odectenı vynasobenıpodelenı a slozenı zakladnıch elementarnıch funkcı se nazyvajı elementarnıfunkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 4 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr x2 Obr x2 x4

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 5 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr x2radicx

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 6 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr x3 Obr x3 x5

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 7 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 1x 1

x2

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 8 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)xObr log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 9 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)x log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 10 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x

Obr cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 11 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 12 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x arcsin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 13 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cos x arccos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 14 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x Obr cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 15 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr x2 Obr x2 x4

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 5 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr x2radicx

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 6 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr x3 Obr x3 x5

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 7 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 1x 1

x2

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 8 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)xObr log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 9 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)x log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 10 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x

Obr cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 11 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 12 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x arcsin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 13 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cos x arccos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 14 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x Obr cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 15 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr x2radicx

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 6 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr x3 Obr x3 x5

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 7 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 1x 1

x2

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 8 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)xObr log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 9 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)x log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 10 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x

Obr cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 11 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 12 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x arcsin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 13 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cos x arccos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 14 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x Obr cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 15 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr x3 Obr x3 x5

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 7 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 1x 1

x2

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 8 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)xObr log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 9 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)x log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 10 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x

Obr cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 11 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 12 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x arcsin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 13 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cos x arccos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 14 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x Obr cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 15 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 1x 1

x2

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 8 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)xObr log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 9 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)x log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 10 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x

Obr cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 11 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 12 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x arcsin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 13 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cos x arccos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 14 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x Obr cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 15 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)xObr log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 9 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)x log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 10 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x

Obr cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 11 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 12 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x arcsin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 13 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cos x arccos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 14 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x Obr cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 15 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr 2x (

12

)x log2 x log 1

2x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 10 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x

Obr cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 11 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 12 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x arcsin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 13 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cos x arccos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 14 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x Obr cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 15 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x

Obr cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 11 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 12 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x arcsin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 13 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cos x arccos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 14 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x Obr cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 15 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x cos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 12 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x arcsin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 13 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cos x arccos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 14 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x Obr cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 15 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr sin x arcsin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 13 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cos x arccos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 14 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x Obr cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 15 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cos x arccos x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 14 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x Obr cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 15 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x Obr cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 15 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x cotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 16 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr tg x arctg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 17 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Prehled elementarnıch funkcı

Obr cotg x arccotg xccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 18 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Operace s funkcemi

Operace s funkcemi

Platı

(f plusmn g)(x) = f (x)plusmn g(x)

(f middot g)(x) = f (x) middot g(x)

Definicnı obor techto funkcı je prunikem definicnıch oboru puvodnıchfunkcı tj

D(f plusmn g) = D(f ) cap D(g) = D(f middot g)

Platı (f

g

)(x) =

f (x)

g(x)

Definicnı obor nove funkce je prunikem definicnıch oboru funkcı f a gzuzeny o body v nichz je g(x) = 0 tj

D

(f

g

)= D(f ) cap D(g) x g(x) = 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 20 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Operace s funkcemi

Dalsı operacı je skladanı funkcı

Definice (Slozena funkce)

Nechtrsquo u = g(x) je funkce s definicnım oborem D(g) a oborem hodnotH(g) Nechtrsquo y = f (u) je funkce s definicnım oborem D(f ) supe H(g)

Slozenou funkcı (f g)(x) rozumıme prirazenı ktere forallx isin D(g) priradıy = f (u) = f

(g(x)

) Funkci g nazyvame vnitrnı slozkou a funkci f vnejsı

slozkou slozene funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 21 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Operace s funkcemi

Prıklad

FunkceF (x) = sin x2

je slozena z funkcı f (x) = sin x a g(x) = x2 tak ze

F (x) = (f g)(x) = f(g(x)

)

FunkceG (x) =

3radic

e2xminus4

je slozena z funkcı f (x) = 3radicx g(x) = ex h(x) = 2x minus 4 tak ze

G (x) = (f g h)(x) = f(g(h(x)

))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 22 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Operace s funkcemi

Poznamka

Pri urcovanı definicnıch oboru slozenych funkcı je vhodne postupovatzevnitr Kazdy definicnı obor je prunikem vsech zıskanych podmınek Naprje-li F (x) =

radicf (x) najdeme nejprve D(f ) pote zjistıme ve kterych

bodech je f (x) lt 0 a ty odstranıme tj

D(F ) = D(f ) x f (x) lt 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 23 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Operace s funkcemi

Tedy mimo definicnı obory zakladnıch funkcı musıme brat v uvahu napru funkce

F (x) = f (x)g(x) ze g(x) 6= 0

F (x) =radicf (x) ze f (x) ge 0

F (x) = loga f (x) ze f (x) gt 0

F (x) = tg f (x) ze f (x) 6= (2k + 1)π2 k isin Z

F (x) = cotg f (x) ze f (x) 6= kπ k isin Z

F (x) = arcsin f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

F (x) = arccos f (x) ze f (x) isin [minus1 1]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 24 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Prosta funkce)

Nechtrsquo f je funkce a M sube D(f ) Rekneme ze funkce f je na mnozine Mprosta jestlize pro kazdou dvojici x1 x2 isin M platı

x1 6= x2 rArr f (x1) 6= f (x2)

Poznamka

Graf proste funkce protına vsechny vodorovne prımky nejvyse jednou

Je-li funkce na mnozine M ryze monotonnı pak je na nı prosta

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 26 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Inverznı funkce

Definice (Inverznı funkce)

Nechtrsquo f je prosta funkce Funkci f minus1 ktera kazdemu y isin H(f ) prirazujeprave to x pro ktere platı y = f (x) se nazyva inverznı funkcı k funkci f Pıseme x = f minus1(y)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 27 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Inverznı funkce

Platı

D(f minus1) = H(f ) H(f minus1) = D(f ) je-li funkce prosta(f minus1)minus1

= f

Grafy funkcı f a f minus1 jsou symetricke podle osy I a III kvadrantu(prımky y = x)

Je-li funkce f rostoucıklesajıcı je take funkce f minus1 rostoucıklesajıcı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 28 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Inverznı funkce

Vypocet inverznı funkce

Iverznı funkci k funkci f urcıme tak ze v predpisu y = f (x) zamenımepromenne x a y tım dostaneme x = f (y) Z teto rovnice pak vyjadrımeje-li to mozne promennou y

K elementarnı funkci je inverznı funkcı jina elementarnı funkce

f (x) f minus1(x)

x2 (x ge 0)radicx

x2 (x le 0) minusradicx

x3 3radicx

ex ln xax (a 6= 1) loga xsin x (x isin [minusπ

2 π2 ]) arcsin x

cos x (x isin [0 π]) arccos xtg x (x isin (minusπ

2 π2 )) arctg x

cotg x (x isin (0 π)) arccotg x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 29 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Inverznı funkce

Poznamka

Pro vsechna x pro ktera ma zapis smysl platı

(f f minus1)(x) = (f minus1 f )(x) = x

Prıklad

Urcete inverznı funkci k funkci f a urcete D(f ) H(f ) D(f minus1) a H(f minus1)

f (x) = 3xminus42 f (x) = esin x

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 30 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = 3xminus42

y =3x minus 4

2 x =

3y minus 4

22x = 3y minus 4

3y = 2x + 4

y =2x + 4

3rArr f minus1(x) =

2x + 4

3

D(f ) = H(f ) = D(f minus1) = H(f minus1) = R

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 31 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Inverznı funkce

f (x) = esin x

y = esin x x = esin y ln(middot)ln x = sin y arcsin(middot)

arcsin ln x = y rArr f minus1(x) = arcsin ln x

D(f ) = R funkce f je prosta pro x isin[minusπ

2 π2

]= H(f minus1)

D(f minus1) ln x rArr x gt 0 rArr x isin (0infin)arcsin ln x rArr ln x isin [minus1 1]

minus1 le ln x le 1 e(middot) rArr eminus1 le x le e rArr x isin[

1

e e

]

D(f minus1) = (0infin) cap[

1e e]

=[

1e e]

Celkem tedy H(f ) = D(f minus1) =[

1e e]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 32 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Funkce II Transformace grafu funkce

Transformace grafu funkce

Nechtrsquo je dana funkce y = f (x) a nenulova realna cısla a b

Uvazujme funkci y = f (x + a) Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo doleva (je-li a gt 0) nebo doprava (pro a lt 0) ato o velikost cısla a

Uvazujme funkci y = f (x) + b Tato funkce ma vuci puvodnı funkcigraf posunuty budrsquo nahoru (je-li b gt 0) nebo dolu (pro b lt 0) a too velikost cısla b

Obr f (x) = (x + 1)3 Obr f (x) = x3 + 1ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 34 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Okolı bodu

Definice (Okolı bodu)

Libovolny otevreny interval I isin R obsahujıcı bod x0 isin R nazyvame okolıbodu x0 aznacıme jej O(x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 36 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Okolı bodu

Specialnı typy okolı bodu

δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = (x0 minus δ x0 + δ)

Prstencove (ryzı) δ-okolı bodu x0

Oδ(x0) = Oδ(x0) x0 = (x0 minus δ x0) cup (x0 x0 + δ)

Leve a prave δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0] O+δ (x0) = [x0 x0 + δ)

Leve a prave prstencove δ-okolı bodu x0

Ominusδ (x0) = (x0 minus δ x0) O+δ (x0) = (x0 x0 + δ)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 37 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita funkce)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 limitu rovnu cıslu L jestlize proforallε gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platı f (x) isin Oε(L)Pıseme

limxrarrx0

f (x) = L popr f (x)xrarrx0minusminusminusrarr L

Obr x2

Nepresne ale ilustrativne

ldquoJe-li x blızko x0 pak je f (x)blızko Lrdquo

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 39 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Jednostranne limity)

Pouzijeme-li v definici limity O+δ (x0) mısto Oδ(x0) zıskame definici limity

zpravalim

xrarrx+0

f (x) = L

Podobne pouzijeme-li v definici limity Ominusδ (x0) mısto Oδ(x0) zıskamedefinici limity zleva

limxrarrxminus0

f (x) = L

Veta (Jednoznacnost)

Funkce ma v kazdem bode nejvyse jednu limitu limitu zprava limituzleva

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 40 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Rozsırena mnozina realnych cısel)

Rozsırenou mnozinou realnych cısel Rlowast rozumıme mnozinu realnych cısel Rrozsırenou o body minusinfin a +infin tj

Rlowast = R cup minusinfin+infin

Body plusmninfin nazyvame nevlastnı body zatımco body mnoziny R nazyvamevlastnı body

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 41 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Limita funkce

Pro a isin R definujeme

a +infin =infin

aminusinfin = minusinfin

infin+infin =infin

minusinfinminusinfin = minusinfin

infin middotinfin =infin

(minusinfin) middot (minusinfin) =infin

infin middot (minusinfin) = minusinfin

| plusmninfin| =infinaplusmninfin = 0

Je-li a gt 0 pak a middot infin =infin a middot (minusinfin) = minusinfin

Je-li a lt 0 pak a middot infin = minusinfin a middot (minusinfin) =infin

Poznamka

Nejsou definovany vyrazy

infinminusinfin plusmninfin middot 0 plusmninfinplusmninfin

Tyto vyrazy nazyvame neurcite vyrazy

Samozrejme nenı definovano delenı nulou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 42 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Okolı nevlastnıho bodu)

Okolım O(infin) bodu infin rozumıme libovolny interval tvaru (ainfin) a isin Ra podobne okolım bodu minusinfin interval tvaru (minusinfin a) Ryzım okolımnevlastnıch bodu rozumıme totez co okolım techto bodu

Pouzitım okolı nevlastnıch bodu v definici limity zıskame definici tzvnevlastnı limity a limity v nevlastnım bode Definice limity se pak pro tytospecialnı prıpady zjednodusı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 43 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Nevlastnı limita)

Rekneme ze funkce f ma v bode x0 nevlastnı limitu +infin (minusinfin) jestlizepro forallY gt 0 existuje δ gt 0 takove ze pro forallx isin Oδ(x0) platıf (x) gt Y (f (x) lt minusY )

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 44 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Limita funkce

Definice (Limita v nevlastnım bode)

Rekneme ze funkce f ma limitu L v nevlastnım bode +infin (minusinfin) jestlizepro forallε gt 0 existuje X gt 0 takove ze pro forallx gt X (forallx lt minusX ) platıf (x) isin Oε(L)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 45 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Limita funkce

Pouzite pojmy

Limitulimxrarrx0

f (x) = L

nazyvame

vlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 L isin R

nevlastnı limita ve vlastnım bode jestlize x0 isin R L isin plusmninfinvlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 isin plusmninfin L isin R

nevlastnı limita v nevlastnım bode jestlize x0 L isin plusmninfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 46 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Limita funkce

Veta (Existence limity)

Funkce f ma ve vlastnım bode x0 limitu prave tehdy kdyz ma v tomtobode obe jednostranne limity a ty si jsou rovny tj

limxrarrx0

f (x) = L hArr limxrarrxminus0

f (x) = limxrarrx+

0

f (x) = L

Poznamka

Limita neexistuje jestlize

neexistuje nektera (nebo obe) jednostranne limity

jednostranne limity jsou ruzne

Toho lze vyhodne vyuzıt pri dukazu neexistence limity

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 47 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Limita funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 48 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Limita funkce

Nenı-li mozne cıslo do funkce dosadit jinak nez ldquolimitnerdquo muzemepredstavu o limitnım chovanı funkce zıskat i empiricky a to dosazovanımblızkych cısel Podıvejme se na chovanı funkce sin x

x pro x rarr 0+

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001sin xx 0 841470985 0 998334167 0 999983333 0 999999833 0 999999998

Z tabulky vidıme ze hodnoty se blızı jednicce A skutecne limxrarr0+

sin xx = 1

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 49 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Limita funkce

POZOR ndash nejde o neprustrelnou metodu

x 1 0 1 0 01 0 001 0 0001 middot middot middotsin π

x 0 0 0 0 0 middot middot middot

Pritom limxrarr0+

sin πx neexistuje

(Zkuste dosazovat nahodna cısla blızıcı se k nule zpravaNapr sin π

0003

= minus0 8660253055)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 50 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost)

Rekneme ze funkce f je spojita v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zleva v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrxminus0

f (x) = f (x0)

Rekneme ze funkce f je spojita zprava v bode x0 isin R jestlize

x0 isin D(f ) a limxrarrx+

0

f (x) = f (x0)

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 52 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Spojitost funkce

Definice (Spojitost na intervalu)

Rekneme ze funkce je spojita na intervalu I je-li spojita v kazdem jehovnitrnım bode a v krajnıch bodech (pokud patrı do I ) je spojita zlevaresp zprava

Definice (Body nespojitosti)

Body ve kterych nenı funkce f spojita nazyvame body nespojistosti

Poznamka

Elementarnı funkce jsou spojite v kazdem bode sveho definicnıho oboru

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 53 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Weierstrassova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak je f na Iohranicena a nabyva zde sve nejvetsı a nejmensı hodnoty

Veta (Prvnı Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I = [a b] a nechtrsquo platıf (a) middot f (b) lt 0 Pak existuje alespon jedno cıslo c isin (a b) takove zef (c) = 0

Veta (Druha Bolzanova veta)

Nechtrsquo je funkce f spojita na uzavrenem intervalu I Pak f nabyva vsechhodnot mezi svou nejvetsı a nejmensı hodnotou

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 54 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Spojitost funkce

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 55 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Pravidla pro pocıtanı s limitami)

Nechtrsquo a isin Rlowast k isin R a nechtrsquo f g Rrarr R Jestlize majı funkce f a g vbode a limitu pak platı

limxrarra

k = k

limxrarra

[f (x)plusmn g(x)

]= lim

xrarraf (x)plusmn lim

xrarrag(x)

limxrarra

[f (x) middot g(x)

]= lim

xrarraf (x) middot lim

xrarrag(x)

limxrarra

[k middot f (x)

]= k middot lim

xrarraf (x)

limxrarra

f (x)g(x) =

limxrarra

f (x)

limxrarra

g(x) pro limxrarra

g(x) 6= 0

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 56 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Spojitost funkce

Prıklad

limxrarr2

(x2 + 3x) = 4 + 3 middot 2 = 10

limxrarrinfin

(arctg x + arccotg x) = π2 + 0 = π

2

limxrarr0minus

1x cos x = minusinfin middot 1 = minusinfin

limxrarrinfin

1x middotex = 1

infinmiddotinfin = 0

limxrarr0+

( 1x + ln x) =infinminusinfin = neurcity vyraz

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 57 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Spojitost funkce

Veta (Limita slozene funkce)

Je-li funkce f spojita pak platı

limxrarrx0

f(g(x)

)= f(

limxrarrx0

g(x))

Poznamka

Pri vypoctech limit vzdy nejprve dosadıme x = x0

Prıklad

limxrarr0+ ln 1x =

∥∥lninfin∥∥ =infin

limxrarrminusinfin arctg eminusx =∥∥arctginfin

∥∥ = π2

limxrarr0+ ln sin x =∥∥ln 0+

∥∥ = minusinfin

limxrarr0minus1

sin x =∥∥ 1

sin 0minus = 10minus

∥∥ = minusinfin

limxrarr0+1

sin x =∥∥ 1

sin 0+ = 10+

∥∥ =infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 58 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Vypocet limit

Veta

Jestlize pro vsechna x isin Oδ(x0) platı f (x) = g(x) a existuje limitalimxrarrx0

g(x) = L pak

limxrarrx0

f (x) = L

Odtud plyne ze funkci lze pri vypoctu limity vhodne upravovat

Prıklad

limxrarr2

x2 minus x minus 2

x minus 2=∥∥0

0

∥∥ = limxrarr2

(x minus 2)(x + 1)

x minus 2= lim

xrarr2(x + 1) = 3

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 60 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Vypocet limit

Nasledujıcı veta jiz byla pouzita v nekterych prıkladech

Veta

Nechtrsquo limxrarrx0 f (x) = k 6= 0 a limxrarrx0 g(x) = 0 Existuje-li prstencoveokolı bodu x0 takove ze pro kazde x z tohoto okolı platı

f (x)g(x) gt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = +infin

f (x)g(x) lt 0 pak limxrarrx0

f (x)g(x) = minusinfin

rarr Veta platı i pro jednostranne okolı a limity

rarr Pri vypoctu limity typu∥∥k

0

∥∥ kde k 6= 0 k isin R je potreba urcit obejednostranne limity a zjisit zda jsou si rovny Pokud ne limitaneexistuje

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 61 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

Limitalimxrarr1

x

x minus 1=∥∥1

0

∥∥neexistuje nebotrsquo

limxrarr1+

x

x minus 1=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

x minus 1=∥∥ 1

0minus

∥∥ = minusinfin

Limitalimxrarr1

x

(x minus 1)2=∥∥1

0

∥∥ = +infin

nebotrsquo

limxrarr1+

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin limxrarr1minus

x

(x minus 1)2=∥∥ 1

0+

∥∥ = +infin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 62 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

limxrarrx0

f (x)g(x) =

∥∥ kplusmninfin k isin R

∥∥ = 0

Veta (Limita polynomu a rac lom funkce v plusmninfin)

Platı

limxrarrplusmninfin

(anxn + anminus1x

nminus1 + middot middot middot+ a1x + a0) = limxrarrplusmninfin

anxn

limxrarrplusmninfin

anxn + middot middot middot+ a0

bmxm + middot middot middot+ b0= lim

xrarrplusmninfin

anxn

bmxm

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 63 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Vypocet limit

Prıklad

limxrarrminusinfin

(minus2x5 + 3x4 minus 2x + 8) = limxrarrminusinfin

(minus2x5)

=∥∥minus2 middot (minusinfin)

∥∥ = +infin

limxrarrinfin

2x3+3x2minus1x4minus2x+2

= limxrarrinfin

2x3

x4 = limxrarrinfin

2x =

∥∥ 2infin∥∥ = 0

limxrarrminusinfin

3x2+2xminus1minusx2minus8x+5

= limxrarrminusinfin

3x2

minusx2 = limxrarrminusinfin

(minus3) = minus3

limxrarrinfin

x4+3x2+2xminus1minus4x2+3x+5

= limxrarrinfin

x4

minus4x2 = limxrarrinfin

x2

minus4 = 1minus4 middot lim

xrarrinfinx2 = minusinfin

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 64 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Limita funkce Vypocet limit

Poznamka

Neurcite vyrazy typu 00 infininfin lze resit pomocı derivacı ndash tzv LrsquoHospitalova

pravidla

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 65 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Prıklady

Prıklad

Nacrtnete graf funkce

f (x) = 2minus arcsin(x + 1)

Resenı

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 67 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Prıklady

Prıklad

Urcete definicnı obor funkce

f (x) = lnx minus 1

2 + xminus arcsin

x

4

ResenıD(f ) = [minus4minus2) cup (1 4]

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 68 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70

Wolfram|Alpha

Definicnı obor funkce ~domain of sqrt(x+2)(x-1)

Obor hodnot funkce ~range of x^2-5x+3

Graf funkce ~ ~plot y=x^3-1 for x from -2 to 25

plot y=tan(x) for x from -pi to 2pi and y from -10 to 10

Inverznı funkce ~inverse of x^5

Prusecıky grafu funkcı ~intersections of y=3x^2+x-4 and y=2x+6

Vypocet limity ~ ~limit (x+3)(2-x^2) as x-gt1

limit 3^(1x)-7 as x-gt-infinity

Jednostranna limita ~ ~limit e^(cot(x)) as x-gt2pi from left

lim_(x-gt(2 pi)^-) e^(cot(x))

ccopy Petr Hasil (MENDELU) Funkce a limita Matematika MT 70 70