Parte 2: MECÁNICA CUÁNTICAParte 2: MECÁNICA CUÁNTICA

1. Los postulados de la Mecánica Cuántica.2. Estados Estacionarios.3. Relación de Incertidumbre de Heisenberg.g4. Teorema de compatibilidad.

11

Un breve repaso de Mecánica Clásica1 Partícula clásica: su estado1. Partícula clásica: su estado

queda determinado a partir de su posición y su cantidad de movimientocantidad de movimiento.

2. Ambas variables tienen valores precisos, bien d f d d

mdefinidos en cada instante de tiempo.

3. Siempre es posible, al r v3. Siempre es posible, al

menos en principio, medir ambos valores sin perturbar apreciablemente

F

perturbar apreciablemente el sistema.

4. Conociendo las fuerzas que actúan sobre la partícula la vmdF )( actúan sobre la partícula, la aplicación de la 2ª ley de Newton permite determinar su estado en cualquier

dtF )(

22

su estado en cualquier instante de tiempo, a partir de las condiciones iniciales.

LOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICALOS POSTULADOS DE LA MECÁNICA CUÁNTICA

Postulado 1: La descripción del estado cuánticocuántico

Postulado 2: La descripción de las magnitudes físicasfísicas

Postulado 3: Resultados de las medidas. Postulado 4: Probabilidades de los resultados Postulado 4: Probabilidades de los resultados Postulado 5: La medida. El colapso del vector

de estadode estado. Postulado 6: La ecuación de Schrödinger.

33

Postulado 1: La descripciónPostulado 1: La descripción del estado cuánticoCada sistema cuántico tiene asociado un

espacio de Hilbert Hespacio de Hilbert H.El estado del sistema se representa por

t d Hun vector de H.

Sistema S Espacio de Hilbert H

H Estado de S

Postulado 2: La descripción pde las magnitudes físicasCada magnitud física del sistema está

representada por un operadorrepresentada por un operador autoadjunto (observable).

d O d d ÂMagnitud A Operador autoadjunto: Â

55

Postulado 3: Los resultados de las medidasCuando se mide una magnitud física de un sistema cuántico los únicos valoresun sistema cuántico, los únicos valores que se pueden obtener son los valores propios del operador que la representa.

ˆ ;i i i iA R

1 2, , ............., n Resultados posibles al medir A:

66

Postulado 4:ProbabilidadesPostulado 4:Probabilidades de los resultados

La probabilidad de obtener un determinado t l l did i l lautovalor en la medida, es igual al

cuadrado del módulo del producto escalar del autovector correspondiente a dicho autovalor, por el vector de estado delautovalor, por el vector de estado del

sistema.

2( ) | | |i iP 77

Postulado 5: La medida. ElPostulado 5: La medida. El colapso del vector de estado.El vector de estado inmediatamente después

de la medida es el vector propiode la medida es el vector propio correspondiente al valor obtenido de dicha

magnitudmagnitud.Se produce lo que se denomina “colapso del

vector de estado”vector de estado”.

Ejemplo n=2 (espacio de Hilbert bidimensional) Estado: Estado: Magnitud: Observable:

V l i

A

AR y R Valores propios:

Vectores propios: Probabilidades:

1 2R y R

2 2( ) | | | | |P

1 2 , i j ijy

1 1 2 2c c 2 22 2 2

2 2

( ) | | | | |

( ) ( ) | | | | 1

P c

P P

2 21 1 1( ) | | | | |P c

2 21 2 1 2( ) ( ) | | | | 1P P c c

Ejemplo gráfico (NO RIGUROSO) del colapso:

)( t2

MEDIDA

991MEDIDA

11)( t

Vector propio 2

Aestado

De la magnitud A

Vector propio 1

De la magnitud A

Se mide la magnitud A

g

SISTEMA

Estado después de la

α

Estado después de la medida=vector propio 1

α1

Se obtiene uno de los1010

Se obtiene uno de los autovalores

Postulado 6: La ecuación dePostulado 6: La ecuación de SchrödingerLa evolución temporal del vector de estado del sistema,

cuando no se producen medidas, está gobernada por p , g pla ecuación de Schrödinger:

)(|ˆ)(| tHtdi )(|)(| tHtdt

i

l b bl i d l í d l i tH

346 626 10h h J

es el observable asociado a la energía del sistema, y se denomina Hamiltoniano.

t d Pl k

H

34; 6.626 10 .2

h J s

cte de Planck.

1111

• La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal, de primer orden en el tiempo. Por tanto, la suma de dos soluciones es también solución de la ecuación. El operador de evolución, definido por:p

0 0ˆ| ( ) ( , ) | ( ) , .t U t t t es linea l

• Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, el operador de evolución puede expresarse de la forma siguiente:

00

ˆ ˆ

0 00

1ˆ ˆ( , )!

t

t

ni iHdt H t t n

n

iU t t e e t t Hn

0 !n n • Se puede demostrar que el operador de evolución es unitario:

10 0

ˆ ˆ( , ) ( , )U t t U t t

HSistema S Espacio de Hilbert H

E t d d S HEstado de S

Magnitud física “A” de Operador hermítico: AMagnitud física A de S

Operador hermítico: A

¿Qué podemos obtener al medir U d t l¿Qué podemos obtener al medir “A”?

Uno de sus autovalores

L b bilid d d¿Qué información nos proporciona el conocimiento del vector de estado justo antes de la medida?

Las probabilidades de obtener los distintos autovaloresantes de la medida? autovalores

¿Cómo cambia el estado del l d d ?

Colapsa al autovector correspondiente al autovalorsistema en la medida? correspondiente al autovalor obtenido en la medida

¿Cómo evoluciona el estado ó d S h d

1313cuando no se mide? Ecuación de Schrödinger

La función de ondaPara una partícula cuántica en el eje OX, su estado está representado por una

( , )x t C función de onda: Las funciones de onda de un sistema tienen estructura de espacio de Las funciones de onda de un sistema tienen estructura de espacio de HilbertHilbert..

Producto escalar:Producto escalar: ( ) ( ) ( ) ( ) , ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x dx f x g x g x f x

El conjunto de funciones propias de cualquier operador que representa a El conjunto de funciones propias de cualquier operador que representa a j p p q p q pj p p q p q puna magnitud física del sistema constituye una base una magnitud física del sistema constituye una base ortonormalortonormal..

( ) ( )A Ai j ijf x f x

Operadores posición y cantidad de movimiento:Operadores posición y cantidad de movimiento:

ˆ ˆ, ( ) ( )x x x x x x

Operadores posición y cantidad de movimiento:Operadores posición y cantidad de movimiento:

ˆ ˆ, ( )x x xp p p xi x i x

Operadores energía cinética, energía potencial, y energía mecánica:Operadores energía cinética, energía potencial, y energía mecánica:

1414

2 2

2ˆ ˆ ˆ, ( ) ( )

2C P P PEc E E x E E xm x

p g , g p , y gp g , g p , y g

14142 2

2ˆ ˆ ˆ ˆ( )

2C P C P PE E E E E E E xm x

Valor medio y dispersión• Supongamos que realizamos un gran número de experimentos, donde se mide, siempre en el mismo

d á i b bl P j l b ú d d i idé iestado cuántico, un observable. Por ejemplo, sobre un número muy grande de sistemas idénticos preparados en el mismo estado, se mide la misma magnitud.

M medidas de la magnitud A, sobre el mismo estado de partida mismo estado de partida.

ii

N M 1 1 2 2, , .................., i iN N N

• PROBABILIDADES Y VALORES MEDIOS

( ) ; ( )n n

i ii i i i

N Np A pM M

Experimental:1 1i iM M

Predicciones de la Mecánica Cuántica

Postulado 4 2( )i ip Ej i i 5 d t( )i ip

2ˆ

n

A A

Ejercicio 5: demostrar esta igualdad.

1i i

iA A

n

2

n

A 1515

1i i

iSi c

1

i ii

A c

Mide cuánto se desvían del valor medio los resultados de las medidas

• DISPERSIÓN

22222 2)( AAAAAAAAA

Mide cuánto se desvían del valor medio los resultados de las medidas.

Supongamos que el estado de un sistema cuántico es uno de los vectores propios correspondientes a ciertauno de los vectores propios correspondientes a cierta magnitud A. Entonces, se puede predecir con certeza que el resultado de la medida de A sobre dicho estado es el valor propio correspondiente a dicho vector propio. En esta situación, la dispersión vale cero.

j AA ˆ ˆi i iA

2 2( ) 1j j j jp ( | ) 0ip i j

16161616Los vectores propios de un observable se denominan también autoestados.

0A

ESTADOS ESTACIONARIOSÁ

El Hamiltoniano no depende SISTEMA CUÁNTICO CONSERVATIVO explícitamente del tiempo

ˆ ˆLos vectores propios y los valores propios de la energía no dependen del

HE nEnH n

)(|ˆ)(| Hdi

propios de la energía no dependen del tiempo. En este caso, los vectores propios del hamiltoniano se denominan estados estacionarios.

)()(

)(|)(| tHtdt

i nn

n cEdt

dci

ntctn

n )()( dt

tiE

nn

n

ectc

)0()(necttiE

n

n

)0()(n

)0(|)0(|)0()0()0()( 2

2

tEtEtiEtiEtiE nnn

)0,(|)0(|)0()0()0(),( 2 tEpcececectEp nnnnnn

• En un sistema cuántico conservativo, las probabilidades asociadas a los valores que d b l di l í d d d l ise pueden obtener al medir la energía no dependen del tiempo.

• Por tanto, ni el valor medio ni la dispersión de la energía tampoco dependen del tiempo.p

• Si el sistema se encuentra inicialmente en un estado propio de la energía (estado estacionario), sus propiedades físicas no cambiarán con el tiempo. Esto es debido a que el estado en un instante cualquiera está relacionado con el estado inicial a travésque el estado en un instante cualquiera está relacionado con el estado inicial a través de un factor de fase, que no tiene relevancia física. En este caso, las probabilidades de los autovalores de cualquier observable, son independientes del tiempo.

j)0( jtiE j

)(Demostración:

j)0( jet )(ˆ ;i i i iA R i i i i

2 2 2( , ) | ( ) | | | | | ( , 0)jiE t

k k k k kp t t e j j p

Ejercicio 6: Demostrar que los estados 1 yEjercicio 6: Demostrar que los estados 1 y

2ie no son físicamente equivalentes.

Ejercicio 7: Demostrar que la dispersión de una magnitud física dicotómica B, a la que corresponde el operador de autovalores b1 y b2 y autovectoresBa la que corresponde el operador de autovalores b1 y b2, y autovectores

en un estado 1 2 ,y B

, viene dada por expresión:

1 2 2 1B b b A li l l d t l i l ¿P é lAnalizar el caso en que los dos autovalores son iguales. ¿Porqué es nula la dispersión?

1919

El Principio de incertidumbre de Heisenbergp gEl conmutador de dos operadores se define como:

ABBABA ˆˆˆˆ]ˆ,ˆ[ Los operadores conmutan cuando satisfacen la relación:

ABBABA ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[

Ó

|]ˆˆ[| BA

RELACIÓN DE INCERTIDUMBRE

Magnitudes A y B

2|],[| BA

BA Observables ABB

Estado del sistema El producto de las desviaciones estándar asociadas a la medidas de dos observables en un estado cuántico, es mayor o igual que el módulo del valor medio del

2020

y g qconmutador de ambos observables en dicho estado, dividido por 2.

Ejemplo: Para una partícula cuántica en el eje OX, el conmutador de los operadores posición y cantidad de movimiento no es nulo. Por tanto,

b d d l d f d l áambas magnitudes no pueden tomar valores definidos simultáneamente.

xx ˆ )(ˆ)(ˆ)(]ˆ,ˆ[ xfxxi

xfxi

xxfpx x

xxxx

ˆ

)()(ˆ)()()(')(' xfixf

ixxf

ixxf

i

xixi

xipp xx

)(ˆ

ˆ iii

xixpx

)(ˆ ipx x ]ˆ,ˆ[

px

2 xpx

Magnitudes compatibles e incompatiblesMagnitudes A y B Operadores A

BMagnitudes Compatibles

B

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B édespués, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida coincide con

el de la tercera medida.

Magnitudes Incompatibles

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B después y en tercer lugar A el resultado de la primera medida no coincidedespués, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida no coincide, en general, con el de la tercera medida.

Teorema de compatibilidadTeorema de compatibilidad

Las siguientes afirmaciones son equivalentes: Las siguientes afirmaciones son equivalentes: 1. A y B son compatibles.2. Los observables asociados a dichas magnitudes

tconmutan.3. Los observables asociados a dichas magnitudes

poseen una base común de vectores propios.poseen una base común de vectores propios.

Para Magnitudes Incompatibles:1. A y B son incompatibles2. Los observables asociados a dichas magnitudes

no conmutanno conmutan. 3. Los observables asociados a dichas magnitudes

no poseen una base común de vectores propios.

MAGNITUDES COMPATIBLES

ABBABA ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[ Magnitudes A y B

Observables A 1) Se mide A: hay probabilidad no nula de

Bobtener cada autovalor.

2) Inmediatamente después se mide B:el estado no se destruye.

1 1 1ˆ

ˆA

A

22 mide B:el estado no se destruye.

3) Inmediatamente después se mide de nuevo A: se obtiene con2 2| desp

|

2 2 2A

1 1 1B

mide de nuevo A: se obtiene con certeza el mismo valor que se obtuvo en la primera medida.

. 2 2| desp

|

Si l l d l it d A d d i t t bié d

1 1 1

2 2 2B

11

Si el valor de la magnitud A se puede predecir con certeza, también se puede predecir con certeza el valor de la magnitud B.

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, BSi se miden de forma consecutiva, y simultáneamente , primero A, B después, y en tercer lugar A, el resultado de la primera medida coincidirá con el de la tercera.

MAGNITUDES INCOMPATIBLES (I)

ABBABA ˆˆˆˆ0]ˆ,ˆ[

La medida de A (B), en un autoestado de B (A), lo destruye.

22 22

'||1

|1

11 11

Si el valor de una de las magnitudes se puede predecir con certeza, entonces no se puede predecir con certeza el valor de la otra magnitud.p p g

MAGNITUDES INCOMPATIBLES (II)

2) Se mide B (se destruye2) Se mide B (se destruye el estado anterior)

3) Se mide A (se vuelve a destruir el estado)

Se hacen tres medidas consecutivas y “simultáneas”:

1) Se mide A

22 22

'||

1) Se mide A

1

| ''

1

11 11

Si se miden de forma consecutiva, y “simultáneamente”, primero A, B después, y en tercer lugar A el resultado de la primera medida en general no coincidiráy en tercer lugar A, el resultado de la primera medida, en general, no coincidirá con el de la tercera medida.