Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia

Přednáška 8, zjednodušená deformační metoda (ZDM)

1

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

• ZDM, základní předpoklady• Základní deformačně určitá soustava (určení stupně přetvárné

neurčitosti)• Koncové účinky prutu, znaménková konvence• Koncové momenty různě upnutého prutu• Složky vnitřních sil přímého prutu• Styčníkové rovnice• Řešení rámu s neposuvnými styčníky ZDM

Základní předpoklady ZDM

Největší vliv na přetvoření konstrukcí mají ohybové momenty, vliv normálových a posouvajících sil je zpravidla podstatně menší.

Uvedeného poznatku se využívá ve ZDM zavedením

2

Uvedeného poznatku se využívá ve ZDM zavedením předpokladu, že přetvoření každého prutu tvořícího konstrukci je vyvoláno jen ohybovými momenty.

ZDM se využívá zpravidla pro řešení nosníků a rovinných pravoúhlých rámů.

Základní deformačně určitá soustava, určení stupně přetvárné neurčitosti np,z

Fiktivní vazby vložené do konstrukce brání deformaci styčníků

a vytvářejí základní deformačně určitou soustavu.

Počet těchto vazeb určuje stupeň přetvárné neurčitosti np,z.

3

Fiktivní vazby:

� momentové (brání pootočení styčníku)

� silové (brání posunutí styčníku)

Volný styčník v rovinné konstrukci může mít max. tři fiktivní vazby

Základní deformačně určitá soustava, určení stupně přetvárné neurčitosti np,z

4

Při vkládání silových vazeb nutno ctít předpoklad o neměnné délce prutu.

Příklady určování stupně přetvárné neurčitosti np,z[1]

5

np,z= 6

Koncové účinky prutu, znaménková konvence

Znaménková konvence

� normálových a posouvajících sil odpovídá silové

6

odpovídá silové metodě

� pro koncové momenty - na konci prutu jsou pravotočivé, tj. působí ve smyslu pohybu hodinových ručiček

Koncové momenty prutu

Koncové momenty prutu závisí na:

� zatížení prutu (primární stav)

� deformaci prutu (sekundární stav) , abab MM∧∧

, baab MM

7

deformaci prutu (sekundární stav)

Výsledné momenty jsou dány superpozicí:

Pootočení konců prutu ab (styčníků) ϕa, ϕb a potočení prutu mají směr pravotočivý.

ab

ab

ab

abab l

∆w

l

wwΨ =−=

, abab MM

abbaba

ababab

MMM

MMM∧

∧

+=

+=

Primární koncové momenty prutů

Primární koncové momenty prutů řešíme silovou metodou při respektování:

� znaménkové konvence pro ZDM

připojení (oboustranně monolitické, pravostranně

8

� připojení (oboustranně monolitické, pravostranně

nebo levostranně kloubové)

Pro výpočty využíváme jejich tabelární zpracování.

Primární koncové momenty prutů [4]

9

Primární koncové momenty prutů [1]

10

Primární koncové momenty prutů [1]

11

Primární koncové momenty prutů [1]

12

Primární koncové momenty prutů [1]

13

Primární koncové momenty prutů [1]

14

Sekundární koncové momenty a posouvající síly, prut oboustranně monoliticky připojený

K odvození lze využít lokální matici tuhosti prutu používanou v ODM při respektování jiné znaménkové konvence.

aab u

EIEIEIEI

l

EA

l

EAX

612612

0000ˆ ** −

15

baba

abab

baba

abab

baab

bb

aa

bb

aa

ba

b

b

b

a

a

ba

ba

ba

ab

ab

MM

MM

VZ

VZ

XX

ww

ww

uu

w

u

w

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EA

l

EA

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

l

EI

M

Z

X

M

Z

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

0ˆˆ

0

460

260

6120

6120

0000

260

460

6120

6120

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

*

*

*

*

**

*

*

*

*

**

*

*

*

*

*

22

2323

22

2323

*

*

*

*

*

−=

−=

=

−=

==

−=

−=

=

=

==

⋅

−

−

−

−

−−−

==

ϕϕ

ϕϕ

ϕ

ϕ*abR

Po dosazení platí :

Sekundární koncové momenty a posouvající síly, prut oboustranně monoliticky připojený

abbaabab

baab

*b

*b

*a

*a

*abab

Ψ(l

k

l

ww

l

EIV

l

EIw

l

EI

l

EIw

l

EIZV

6336332ˆ

612612ˆˆ

2

2323

−+−=

−−+−=

−−−−=−=

ϕϕϕϕ

ϕϕ

16

a obdobně:

kab … ohybová tuhost prutu ab stálého průřezu

( )

( )( )abbaabba

abbaab

ba

abbaabab

baab

*b

*b

*a

*a

*abab

ΨkM

Ψl

kV

Ψkl

ww

l

EIM

l

EIw

l

EI

l

EIw

l

EIMM

lll

32ˆ

633ˆ

32322ˆ

2646ˆˆ22

−+=

−+−=

−+=

−−+=

+++−−=−=

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕ

l

EIkab

2=

Jsou-li známy sekundární koncové momenty prutu,

lze sekundární posouvající síly odvodit i jinak:

abM∧

baM∧

Koncové posouvající síly, prut oboustranně monoliticky připojený

17ab

baabbabaababba

ab

baababbaababab

l

MMVMMlV

l

MMVMMlV

∧∧∧∧∧∧

∧∧∧∧∧∧

+−=⇒=++

+−=⇒=++

0

0

abV∧

baV∧

abla b

abM baM

abV baVabl

a b0,abV 0,baV

a b

M M+

Koncové posouvající síly, prut oboustranně monoliticky připojený

18

abM baM

abV∆ baV∆a b

abM baM

abV∆ baV∆a b

abM∧

baM∧

abV∧

a bbaV

∧

+

+

bababaababab

bababaababab

VVVVVV

VVVVVV∧∧

+=+=

∆+=∆+= 0,0,

MMV

MMMMVVVV

l

MMV

l

MM

l

MMVVVV

baabba

baabbaab

babababa

baabab

baabbaab

abababab

+−=+−+−=+=

+−=+−+−=+=

0,0,

0,0,

ˆˆˆ

ˆˆˆ

I zde platí princip superpozice:

Celkové koncové posouvající síly, prut oboustranně monoliticky připojený

19

lV

llVVVV bababababa −=−−=+= 0,0,ˆ

Posouvající síly Vab,0, Vba,0 jsou posouvající síly při daném zatížení prutu na uvolněném (prostém) nosníku. Posouvající síly lze také vypočítat ze vztahů:

l

MMV

l

ΨkV

l

Ψk

l

MMVV

l

MMV

l

ΨkV

l

Ψk

l

MMVV

baabba

abbaabba

abbaab

baab

ba,ba

baabab

abbaabab

abbaab

baab

ab,ab

ˆˆ633633

ˆˆ633633

0

0

+−=−+−=−+−+−=

+−=−+−=−+−+−=

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

Koncové momenty,prut pravostranně kloubově připojený

Pro pravostranně kloubově připojený prut platí:

0ˆ === bababa MMM

Primární koncový moment je nenulový a musí respektovat

dané uložení, sekundární koncový moment lze odvodit ze M̂abM

20

dané uložení, sekundární koncový moment lze odvodit ze

vztahů pro oboustranně monoliticky připojený prut:abM̂

( )

abababaabab

abaabababa

aababbaabab

abababbaabba

k k´), Ψ(k´M

)Ψ(k)ΨΨ

(k)Ψ(kM

Ψ ΨkM

4

322

224

33

2

3

2232ˆ

2

3

2032ˆ

=−=

−=−+−=−+=

+−=⇒=−+=

∧ϕ

ϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

Nebo taky kde

Celkové posouvající síly,pravostranně kloubově připojený prut

MV

MMVVVV

l

MV

l

M

l

MVVVV

abababba

abab

abababababab

−=−−=+=

−=−−=+= 0,0,ˆ

ˆ

ˆˆ

I zde platí a dále:0ˆ === bababa MMM

21

l

MV

l

M

l

MVVVV abba

ababbaabbaba −=−−=+= 0,0,ˆ

l

EIkk´

l

Ψk´

l

MVV

l

Ψk´

l

MVV

abab

abaab

abba,ba

abaab

abab,ab

2

4

3

4

3

22

22

0

0

⋅==

−−−=

−−−=

ϕ

ϕ

Po dosazení lze posouvající síly vypočítat ze vztahů:

Koncové momenty a posouvající síly,prut levostranně kloubově připojený

ΨkΨkM abbababbabba

ˆ

)22(´)22(4

3ˆ −=−= ϕϕ

V tomto případě je a dále:0ˆ === ababab MMM

22

l

Ψk

l

MVV

l

MV

l

M

l

MVVVV

l

Ψk

l

MVV

l

MV

l

M

l

MVVVV

abbabbababa

baba

bababaabbaba

abbabbaabab

baab

baba

abababab

)22(´

ˆ

)22(´

ˆ

0,

0,0,

0,

0,0,

−−−=

−=−−=+=

−−−=

−=−−=+=

∧

∧

ϕ

ϕ

Poměrná ohybová tuhost prutu

U prutu stálého průřezu (zejména při silovém zatížení) není nutno počítat se skutečnou ohybovou tuhosti prutu kab, dále označenou k*ab.

Jednodušší je počítat s poměrnou ohybovou tuhostí kab, pro kterou platí: c

kcI

k ab *==

23

platí:

kde c je libovolná konstanta, neměnná pro celou konstrukci.

Výpočet se takto značně zjednodušuje. Vypočtená přetvoření ϕa, ϕb, ψab všech prutů konstrukce jsou přitom relativní. U deformačního zatížení se musí počítat se skutečnými přetvořeními:

E

ckc

l

Ik ab

ab

abab 2

*==

Ψc

E Ψ

c

E

c

E *abba abba

2

2

2 ** === ϕϕϕϕ

Výpočet koncových normálových sil

Normálové síly v koncových průřezech prutů se řeší ze statických podmínek rovnováhy

0 0 FVNF =+−⇒=∑

24

0 0

0 0

0 0

acab

acabia

azabac

azabaciz

axacab

axacabix

MM

MMM

FVN

FVNF

FVN

FVNF

−==+⇒=∑

−−==++⇒=∑

−==+−⇒=∑

Styčníkové rovnice

( )==∑ aai b,c,d,ei MM

Styčníkové rovnice ve ZDM vyjadřují momentové podmínky rovnováhy.

25

( )

( )

( )0

32

224

3

32

=

−++=

−+=

−++=

=+++

ae

addaadadad

acbaacacac

abbaababab

aaeadacab

M

ΨkMM

ΨkMM

ΨkMM

MMMMM

ϕϕ

ϕ

ϕϕ

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, zadání

Rám s neposuvnými styčníky je rám, který nemá v základní deformačně určité soustavě fiktivní silové vazby. U takového rámu sestavujeme pouze styčníkové rovnice, jejichž počet odpovídá npz.

P = 4 kN P = 4 kNq = 0,5 kN/m

26

6.0

1.0 9.0 3.0 3.0

1

2

3

J

4 2J5f

a

2J

b

J

d cJ e

npz= 2 (ϕϕϕϕd, ϕϕϕϕe)

6.01

P = 4 kN

2

3

J

4 2J5f

2J

J

d c

P = 4 kN

J

q = 0,5 kN/m

e

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, řešení, poměrné tuhosti prutů

27

Ic

I

Ic

l

Ik

,I

Ic

l

Ik

I

Ic

l

Ik

I

Ic

l

Ik

24

824

6

2

33524

9

2

324

64

3

4

3

324

64

3

4

3

4

44

2

22

3

33

1

11

==⋅==

=⋅==

=⋅⋅==

=⋅⋅==

6.0

1.0 9.0 3.0 3.0

1 3

a b

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, řešení, primární koncové momenty

6.01

P = 4 kN

2

3

J

4 2J5f

2J

J

d c

P = 4 kN

J

q = 0,5 kN/m

e

28

kNm3648

1

8

1

kNm375,395,012

1

12

1

kNm414

0

0

4

22

5

2

−=⋅⋅−=−=−=

−=⋅⋅−=−=−=

−=⋅−=−=

==

==

PlMM

qlMM

PlM

MM

MM

ceec

edde

d

beeb

adda

6.0

1.0 9.0 3.0 3.0

1 3

a b

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, řešení, sekundární koncové momenty

6.01

P = 4 kN

2

3

J

4 2J5f

2J

J

d c

P = 4 kN

J

q = 0,5 kN/m

e

29

eeec

eeeeb

ededed

ededde

ddda

kM

kM

kM

kM

kM

ϕϕ

ϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕ

162ˆ

6232ˆ

)2(33,5)2(ˆ

)2(33,5)2(ˆ

62ˆ

4

3

2

2

1

==

=⋅==

+=+=

+=+=

==

6.0

1.0 9.0 3.0 3.0

1 3

a b

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, řešení, styčníkové rovnice

6.01

P = 4 kN

2

3

J

4 2J5f

2J

J

d c

P = 4 kN

J

q = 0,5 kN/m

e

30

0:0

:0

=++=

=+=

∑

∑

ecedebei

ddedadi

MMMM

MMMM

6.0

1.0 9.0 3.0 3.0

1 3

a b

625,0)375,3(433,566,106

0

−=−−−=−=++

=++

=+

dededd

ecedeb

ddeda

MM

MMM

MMM

ϕϕϕ

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, řešení soustavy rovnic

31

00565,0

03569,0

037566,3233,5

625,033,566,16

375,0)3(375,31666,1033,56

−=

−=

−=+

−=+

=−−−=−−=+++

e

d

ed

ed

ecedeede

dededd

MM

ϕ

ϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕϕϕ

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, tabelární sestavení soustavy rovnic

P = 4 kN

2

J

4 2J5f

2J

J

d c

P = 4 kN

J

q = 0,5 kN/m

e

32

FrK =⋅1 3

a b

eϕdϕ P.S.

)(2 432 kkk ++2k)(2 21 kk + 2k

eced MM −−ded MM −

kNm786,3)00565,0)03569,0(2(33,5375,3)2(

kNm214,0 )03569,0(3202

0

2

1

−=−+−+−=++=

−=−⋅⋅+=+=

=

eddede

ddada

ad

kMM

kMM

M

ϕϕ

ϕ

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, řešení, koncové ohybové momenty

330090,3124,3034,0

0,4786,3214,0

:Kontrola

kNm955,2)00565,0(83

kNm090,3)00565,0(1632

kNm034,0)00565,0(2302

kNm124,3))00565,0(203569,0(33,5375,3)2(

4

4

3

2

=−+−=++

=−=−−=+

=−+=+=

−=−+−=+=

−=−⋅+=+=

=−+−+=++=

ecedeb

deda

ecece

eecec

eebeb

ededed

MMM

MMM

kMM

kMM

kMM

kMM

d

ϕ

ϕ

ϕ

ϕϕ

kN324,29

124,3786,325,2

kN036,06

214,00

20,

10,

=+−−=+−=

=−−=−==

l

MMVV

l

MVVV

eddedede

daaddaad

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, řešení, koncové posouvající síly

34

kN006,06

034,00

kN977,16

955,2090,32

kN023,26

955,2090,32

kN176,29

124,3786,325,2

30,

40,

40,

20,

=−−=−==

−=+−−−=+−=

=+−−=+−=

−=+−−−=+−=

l

MVVV

l

MMVV

l

MMVV

l

MMVV

ebebbeeb

cececece

ceceecec

eddeeded

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, řešení, normálové síly

1

P = 4 kN

2

3

J

4 2J5f

2J

J

d c

P = 4 kN

J

q = 0,5 kN/m

e

0:0, =++−=∑ ebecedez NVVF

35

1 3

a b

kN042,0006,0036,0

kN199,4023,2176,2

0:0

0:0

,

,

=+=+=

−=−−=−=

=+−−=

=++−=

∑

∑

ebedec

ecedeb

ecebedex

ebecedez

V NN

V VN

NV NF

NVVF

kN036,0

kN324632424

0:0

0:0

,

,

==

−=−−=−−=

=+−=

=++=

∑

∑

dade

deda

dedadx

dadedz

VN

,, VP N

NVF

NVPF

)( kN 977,1

)( kN 199,4

)( kN 324,6

↑=−=

↑=−=

↑=−=

ebbz

daaz

VR

NR

NR

6.01

P = 4 kN

2

3

J

4 2J5f

2J

J

d c

P = 4 kN

J

q = 0,5 kN/m

e

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, řešení, výpočet reakcí, kontrola

36

0042,0006,0036,0:0

05,48977,1199,4324,692:0

)( kN 042,0

)( kN 006,0

)( kN 036,0

)( kN 977,1

=+−−=++=

=−−++=⋅−⋅−++=

→==

→−=−=

→−=−=

↑=−=

∑

∑

cxbxaxx

czbzazz

eccx

bebx

adax

cecz

RRRF

qPRRRF

NR

VR

VR

VR 6.0

1.0 9.0 3.0 3.0

1 3

a b

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, průběh normálových sil

+ +

0,0420,036

37

-6,324 -4,199

N

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, průběh ohybových momentů

++

x = 4,647

2,324 2,023

38

+ +

xn = 4,647

V

0,036 0,006

-4-2,176 -1,977

Příklad 10, rám s neposuvnými styčníky, průběh ohybových momentů

-4

-3,090 -2,955-3,124-3,786

39

++ +

M

Mmax= 1,613

0,214 -0,034

2,977

Použitá literatura

[1] Kadlčák, J., Kytýr, J., Statika stavebních konstrukcí II. VUTIUM, Brno 2001.

[4] Benda, J., a kol., Statika stavebních konstrukcí II. Skriptum CERM, Brno 1996.

40