PENGENALAN SISTEM-SISTEM KONTROL
ANALISA RESPONS TRANSIENT
1
Ts
1
R(s)
C(s)
+
=
Respons transient : Kondisi awal Kondisi akhir
2)
1)(s
s(s
1,06
+
+
Respons steady-state : t (
2)
)(s
1
s
2
s
(
s
K
+
+
+
SISTEM ORDE PERTAMA
1. INPUT : UNIT-STEP
)
2
s
(
s
10
+
r(t) = 1
s
1
R(s)
=
s
1
.
1
Ts
1
C(s)
+
=
1
Ts
T
s
1
C(s)
+
-
=
)
0
t
(
e
1
c(t)
T
t
-
-
=
..(*)
)
n
2
s
(
s
2
n
+
KURVA RESPONS
Kondisi awal adalah 0 dan kondisi akhir adalah 1
Pada t = T, c(t) = 0,632
T = time constant sistem
Time constant lebih kecil, respons sistem lebih cepat.
Slope pada t = 0 adalah 1/T
Slope c(t) berkurang : 1/T pada t = 0 0 pada t = (
t = T : 0 63,2%
t = 2T : 0 86,5%
t = 3T : 0 95%
t = 4T : 0 98,2%
t = 5T : 0 99,3%
t = ( steady state
2. INPUT : UNIT-RAMP
r(t) = t
2
s
1
R(s)
=
)
0
t
(
T.e
T
t
c(t)
1
Ts
T
s
T
s
1
C(s)
s
1
.
1
Ts
1
C(s)
T
t
2
2
2
-
+
-
=
+
+
-
=
+
=
Kurva Respons
T
)
e(
)
e
T(1
e(t)
c(t)
r(t)
e(t)
T
t
=
-
=
-
=
-
- Time constant lebih kecil ( T ) steady state error lebih
kecil
3. INPUT : UNIT-IMPULSE
r(t) = S(t) ( R(s) = 1
C(s) = 1
Ts + 1
C(t) = 1 e t / T (t ( 0)
T
KURVA RESPONS
(Respons turunan/derivatif suatu signal input dapat diperoleh
dengan men- defferensiasi-kan respons dari sinyal input semula.
SISTEM ORDE KEDUA
R(s) E(s)
C(s)
+
C(s)
(n2
=
R(s) S2 + 2 (n S + (n2
(n = frekuensi sudut natural undamped
= faktor redaman
Sistem orde dua sangat tergantung pada faktor redaman (). Bila 0
< < 1, sistem dinamakan underdamp. Bila = 1, sistem disebut
critically damp, dan bila > 1, sistem disebut overdamp.
Untuk mengetahui respons sistem orde dua, ketiga keadaan
tersebut akan dibahas untuk input yang berbentuk unit step, impuls,
maupun ramp.
1( Input Unit Step
R(s) = 1
S
Untuk sistem yang UNDERDAMP
(n2
1
C(s) =
S2 + 2 (n S + (n2 S
1 S + 2 (n
C(s) =
S S2 + 2 (n S + (n2
(d = (n 1 2
= frekuensi natural teredam (damped natural frequency)
1
S + 2 (n
C(s) =
S S2 + 2 (n S + 2(n2 - 2(n2 + (d2
1 2
1 S + 2 (n
=
S (S + (n)2 + (d2 - (n2 + + (d2
1 2
1
S + 2 (n
=
S (S + (n)2 + (1 - 2) (d2 (1 2) (n2 + (d2
1 2
1 S + 2 (n
=
S (S + (n)2 + (d2
1
S + (n (n
=
S (S + (n)2 + (d2 (S + (n)2 + (d2
C(t) = 1 - e (n t cos (dt - e (n t sin (dt
1 2
C(t) = 1 - e (n t ( cos (dt + sin (dt ) (t ( 0)
1 2
e(t) = r(t) - c(t)
= e(n t ( cos (dt + sin (dt ) (t ( 0)
1 2
Frekuensi osilasi transient adalah (d, dan berubah dengan faktor
redaman ()
Sinyal error berkelakuan seperti osilasi sinusoidal yang
teredam. Pada steady-state error (t = ~), error = 0
Bila = 0 ( c(t) = 1 cos (nt (t ( 0) respons menjadi undamped dan
osilasi terus menerus tidak terbatas
Untuk Sistem yang CRITICALLY DAMPED
(n2
C(s) =
(S + (n)2 S
= 1 - e(n t ( 1 + (nt ) (t ( 0)
Respons transient tidak berosilasi
Untuk Sistem yang OVERDAMPED
(n2
C(s) =
( S + (n + (n 1 2 ) ( S + (n - (n 1 2 ) S
1
c(t) = 1+
e ( + 2 1) (n t -
2 2 1 ( + 2 1 )
1
e ( + 2 1) (n t
2 2 1 ( + 2 1 )
Untuk mendapatkan C(s) di atas :
C(s)
(n2
=
R(s) S2 + 2 (n S + (n2
C(s) (n2
=
R(s) (S + (n + (d) (S + (n - (d)
(d = (n 1 2
(d = (n j2 (2 - 1)
(d = (n j 2 - 1
C(s)
(n2
=
R(s) (S + (n - (n 2 1) (S + (n + (n 2 1)
(n
e S1te-S2t
c(t) = 1 +
(t ( 0)
2 2 1 S1 S2
dimana : S1 = ( + 2 1) (n
S2 = ( - 2 1) (n
-Salah satu dari komponen yang dikandung c(t) akan menghilang
lebih cepat dalam respons. Dengan demikian komponen eksponensial
tersebut dapat diabaikan.
-Bila S2 diletakkan lebih dekat terhadap sumbu j( daripada S1
(|S2| a0a3
2( s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0
Array Routh :
s4135
s3240
s215
s1-6
s05
( sistem tidak stabil
R(s)
C(s)
+
Tentukan range K agar sistem diatas stabil !
Penyelesaian :
Transfer function closed-loop
K
2)
)(s
1
s
2
s
(
s
K
R(s)
C(s)
+
+
+
+
=
persamaan karakteristik : 1+ G(s)H(s) = 0
s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K = 0
Array Routh :
s413K
s3320
s27/3K
s1-9/7K
s0K
agar sistem stabil : 14/9 > K > 0
ANALISIS ERROR (KESALAHAN)
Selain stabil, hal lain yang perlu mendapat perhatian adalah
mengenai error yang terjadi apabila suatu sistem kontrol diberi
input tertentu.
E(s) = R(s) G(s).H(s)
C(s) = E(s).G(s)
Dari kedua persamaan diatas diperoleh :
E(s) = R(s) E(s).G(s).H(s)
Atau [1+G(s).H(s)] E(s) = R(s)
( Kesalahan statis atau steady-state error :
G(s).H(s)
1
R(s)
E(s)
+
=
KLASIFIKASI SISTEM KONTROL
Transfer function open-loop G(s) H(s) secara umum dituliskan sbb
:
)
n
p
).......(s
2
p
)(s
1
p
(s
S
)
n
Z
)......(s
2
Z
)(s
1
Z
K(s
G(s)H(s)
+
+
+
+
+
+
=
atau
1)
s
p
T
1).......(
s
2
1)(T
s
1
(T
S
1)
s
m
1)......(T
s
b
1)(T
s
a
K(T
G(s)H(s)
+
+
+
+
+
+
=
Sistem disebut tipe 0 (nol), bila ( = 0 ; disebut tipe 1, bila (
= 1; disebut tipe 2, bila ( = 2, dst.
1( KOEFISIEN KESALAHAN STATIS
G(s)H(s)
1
R(s)
E(s)
+
=
Kesalahan steady-state:
EMBED Equation.3
e(t)
t
lim
ss
e
=
G(s)H(s)
1
sR(s)
0
s
lim
+
=
Untuk input benbentuk unit step : R(s) = 1/s
s
1
G(s)H(s)
1
s
0
s
lim
ss
e
+
=
G(s)H(s)
0
s
lim
1
1
+
=
Bila didefinisikan :
Kp =
G(s)H(s)
0
s
lim
Maka
Kp
1
1
ss
e
+
=
Kp : Koefisien kesalahan posisi statis.
a( u/ sistem tipe 0
Kp =
G(s)H(s)
0
s
lim
K
1)
s
p
T
1).......(
s
2
1)(T
s
1
(T
S
1)
s
m
1)......(T
s
b
1)(T
s
a
K(T
0
s
lim
=
+
+
+
+
+
+
=
(
K
1
1
)
e(
ss
e
+
=
=
b( Untuk sistem tipe > 0
1)
s
p
T
1).......(
s
2
1)(T
s
1
(T
S
1)
s
m
1)......(T
s
b
1)(T
s
a
K(T
0
s
lim
p
K
+
+
+
+
+
+
=
=
=
s
K
0
s
lim
(
EMBED Equation.3
0
1
1
1
p
K
1
1
)
e(
ss
e
=
=
+
=
+
=
=
2( Koefisien Kesalahan Kecepatan Statis
G(s)H(s)
1
R(s)
E(s)
+
=
Kesalahan steady-state
e(t)
t
lim
ss
e
=
G(s)H(s)
1
s.R(s)
0
s
lim
s.E(s)
0
s
lim
+
=
=
u/ Input berbentuk unit-ramp : R(s) =
2
s
1
2
1
.
G(s)H(s)
1
s
0
s
lim
s
e
ss
+
=
s.G(s)H(s)
0
s
lim
1
s.G(s)H(s)
1
0
s
lim
s.G(s)H(s)
s
1
0
s
lim
=
=
+
=
Bila di definisikan :
s.G(s)H(s)
0
s
lim
v
K
=
maka :
v
K
1
ss
e
=
Kv = koefisien kesalahan kecepatan statis
a( u/ sistem tipe 0
Kp =
s.G(s)H(s)
0
s
lim
0
1)
s
p
T
1).......(
s
2
1)(T
s
1
(T
0
S
1)
s
m
1)......(T
s
b
1)(T
s
a
sK(T
0
s
lim
=
+
+
+
+
+
+
=
(
=
=
=
0
1
)
e(
ss
e
b( u/ sistem tipe 1
1)
s
p
T
1).......(
s
2
1)(T
s
1
s(T
1)
s
m
1)......(T
s
b
1)(T
s
a
sK(T
0
s
lim
v
K
+
+
+
+
+
+
=
= K
(
K
1
)
e(
ss
e
=
=
u/ Input Berbentuk Unit-Parabolik :
2
2
t
r(t)
=
3
s
1
R(s)
=
s.E(s)
0
s
lim
ss
e
=
G(s)H(s)
2
s
2
s
0
s
lim
s
G(s)H(s)
2
s
2
s
s
0
s
lim
3
s
1
.
G(s)H(s)
1
s
0
s
lim
G(s)H(s)
1
sR(s)
0
s
lim
+
=
+
=
+
=
+
=
Bila didentifikasikan :
.G(s)H(s)
2
s
0
s
lim
a
K
=
maka
a
K
1
ss
e
=
Ka : Koefisien kesalahan percepatan statis
a( u/ sistem tipe 0
.G(s)H(s)
2
s
0
s
lim
a
K
=
0
1)
s
p
T
1).......(
s
2
1)(T
s
1
(T
0
s
1)
s
m
1)......(T
s
b
1)(T
s
a
K(T
2
s
0
s
lim
=
+
+
+
+
+
+
=
(
=
=
=
0
1
)
e(
ss
e
b( u/ sistem tipe 1
.G(s)H(s)
2
s
0
s
lim
a
K
=
0
1)
s
p
T
1).......(
s
2
1)(T
s
1
(T
1
s
1)
s
m
1)......(T
s
b
1)(T
s
a
K(T
2
s
0
s
lim
=
+
+
+
+
+
+
=
(
=
=
=
0
1
)
e(
ss
e
c( u/ sistem tipe 2
.G(s)H(s)
2
s
0
s
lim
a
K
=
K
=
+
+
+
+
+
+
=
1)
s
p
T
1).......(
s
2
1)(T
s
1
(T
2
s
1)
s
m
1)......(T
s
b
1)(T
s
a
K(T
2
s
0
s
lim
(
K
1
a
K
1
)
e(
ss
e
=
=
=
d( c( u/ sistem tipe > 2
.G(s)H(s)
2
s
0
s
lim
a
K
=
=
+
+
+
+
+
+
=
1)
s
p
T
1).......(
s
2
1)(T
s
1
(T
3
s
1)
s
m
1)......(T
s
b
1)(T
s
a
K(T
2
s
0
s
lim
(
0
1
)
e(
ss
e
=
=
=
Latihan Soal :
R(s)
C(s)
+
Hitunglah kesalahan steady-state, bila input berbentuk :
a) step
b) ramp
c) parabolik
(1)
bila input r(t) = a.t (a > 0), maka tunjukkan bahwa e(()
dapat dibuat sama dengan 0 (nol) dengan mengubah harga KI !
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
(n2
s ( s + 2 (n )
_1042940682.unknown
_1042947789.unknown
_1042949095.unknown
_1042949830.unknown
_1044212695.unknown
_1044213078.unknown
_1044214719.unknown
_1044218009.unknown
_1044219296.unknown
_1044214010.unknown
_1044212880.unknown
_1044212965.unknown
_1044212720.unknown
_1042949948.unknown
_1044212608.unknown
_1044212647.unknown
_1042950057.unknown
_1044212555.unknown
_1042950080.unknown
_1042949961.unknown
_1042949892.unknown
_1042949558.unknown
_1042949733.unknown
_1042949820.unknown
_1042949577.unknown
_1042949668.unknown
_1042949348.unknown
_1042949510.unknown
_1042949402.unknown
_1042949220.unknown
_1042948190.unknown
_1042948513.unknown
_1042948697.unknown
_1042948737.unknown
_1042948610.unknown
_1042948256.unknown
_1042948020.unknown
_1042948175.unknown
_1042947872.unknown
_1042946952.unknown
_1042947311.unknown
_1042947328.unknown
_1042947484.unknown
_1042947686.unknown
_1042947322.unknown
_1042947166.unknown
_1042947184.unknown
_1042947227.unknown
_1042947040.unknown
_1042946211.unknown
_1042946293.unknown
_1042946601.unknown
_1042946714.unknown
_1042946911.unknown
_1042946630.unknown
_1042946578.unknown
_1042946282.unknown
_1042945527.unknown
_1042945770.unknown
_1042942249.unknown
_1042942234.unknown
_1042931290.unknown
_1042933674.unknown
_1042937645.unknown
_1042938649.unknown
_1042936500.unknown
_1042931487.unknown
_1042933294.unknown
_1042933157.unknown
_1042931417.unknown
_1042930857.unknown
_1042930959.unknown
_1042931217.unknown
_1042930925.unknown
_1042930686.unknown
_1042930762.unknown
_1042930420.unknown
_1042930647.unknown
_1042927177.unknown
