PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ - stu.edu.vn · Giaûng vieân: Th.S Leâ Xuaân Kyø Bài giảng: Lý thuyếttínhiệu 9/7/2009 2 Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU

Giaûng vieân: Th.S Leâ Xuaân Kyø

Bài giảng: Lý thuyết tín hiệu

9/7/20091

Chương 3

PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐNội dung:

3.1 Biến đổi Fourier3.1.1 Định nghĩa3.1.2 Các tính chất

3.2 Phổ của một số tín hiệu thông dụng3.2.1 Phổ của tín hiệu năng lượng3.3.2 Phổ của tín hiệu có công suất trung bình hữu hạn3.3.3 Phổ của tín hiệu tuần hoàn

3.3 Mật độ phổ3.3.1 Mật độ phổ năng lượng3.3.2 Mật độ phổ công suất3.3.3 Mật độ phổ công suất của tín hiệu tuần hoàn



9/7/20092

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ3.1 Biến đổi Fourier

3.1.1 Định nghĩa( ) ( ) j tX x t e d tωω

+∞−

−∞

= ∫

1( ) ( )2

j tx t X e ω dω ωπ

+∞

−∞

= ∫

(Biến đổi thuận)

(Biến đổi ngược)

( )( ) ( ) jX X e ϕ ωω ω=

Phổ thực

( ) ( ) ( )X P jQω ω ω= +

Phổ ảo

X(ω) được gọi là phổ của tín hiệu x(t). Ký hiệu: ( ) ( )Fx t X ω←⎯→

Tổng quát, phổ X(ω) là một hàm phức Phân tích thành các phổ thành phần

Phổ biên độPhổ pha



9/7/20093

VD1:Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)

Hãy xác định và vẽ phổ của tín hiệu x(t)

Áp dụng công thức biến đổi Fourier:x(t)

t0 T/2-T/2

A

/ 2

/ 2

( ) ( )

2. .2

s in 2.2

2

| ( ) |2

j t

T j tj t

T

X x t e d t

TeA e d t ATj

TA T T

TA T S a

TX A T S a

ω

ωω

ω

ω

ω

ω

ω

ωω

+ ∞−

− ∞

−−

−

=

= =− −

=

=

⇒ =

∫

∫

AT

0ω

2π/T

4π /T-4π /T

-2π/T

X(ω)

??? Vẽ phổ biên độ và phổ pha



9/7/20094

3.1.2 Tính chấtChương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)

a. Tính chất chẵn lẻ:Nếu x(t) là hàm thực : phổ biên độ |X(ω)|: hàm chẵn

phổ pha ϕ (ω): hàm lẻphổ thực Q(ω): hàm chẵnphổ ảo P(ω): hàm lẻ

Quan hệ:( ) ( );

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

F

F F

F

x t Xx t X x t X

x t X

ω

ω ω

ω

∗ ∗

∗ ∗

⎧ − ←⎯→ −⎪

←⎯→ ⇒ ←⎯→ −⎨⎪ − ←⎯→⎩

1( ) 1( ) ( )

1( ) 1( ) ( )

t

t

x t e t Xj

x t e t Xj

α

α

ωα ω

ωα ω

−= ↔ =+

⇒ − = − ↔ =−

VD2:



9/7/20095

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)

1 1 2 2 1 2 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ), ,Fa x t a x t a X a X a aω ω+ ←⎯→ + ∀3( ) 3 2t tx t e e− −= −

1 2

1 1 2 2 2

2 2 2

3& 22 6 12( ) ( ) ( )

1 1 96( ) ( )

9

t F

t F

a a

x t e X X

x t e X

ω ωω ω ω

ωω

−

−

⎧⎪ = =⎪⎪ = ←⎯→ = ⇒ = −⎨ + + +⎪⎪ = ←⎯→ =⎪ +⎩

3.1.2 Tính chất (tt)

b. Tính chất tuyến tính:Nếu

thì1 1 2 2( ) ( ); ( ) ( )F Fx t X x t Xω ω←⎯→ ←⎯→

Ví dụ 3: Xác định phổ của tín hiệu sau:



9/7/20096


( ) ( ) ( ) 2 ( )x t X X t xω π ω↔ ⇒ ↔ −


c. Tính chất đối ngẫu:

d. Tính chất thay đổi thang đo:

Ví dụ 4:

( ) ( ) ( ) ( ); 0;tx t X x a X a aa

ω ω↔ ⇒ ↔ ≠

( )2

3 ( ); 1 / 33 6

33 ( ); 3.3 2

t TTSaTt T TSa a

Tt TTSa aT

ω

ω

ω

⎛ ⎞ ↔⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⇒ ↔ =⎜ ⎟⎝ ⎠⎛ ⎞⇒ ↔ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∏

∏

∏



9/7/20097

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)3.1.2 Tính chất (tt)

e. Tính chất dịch chuyển trong miền thời gian:

f. Tính chất dịch chuyển trong miền tần số:

00( ) ( ) ( ) ( ) j tx t X x t t X e ωω ω −↔ ⇒ − ↔

Tính chất điều chế

0

0

0

0

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

j t

j t

x t e Xx t X

x t e X

ω

ω

ω ωω

ω ω−

⎧ ↔ −⎪↔ ⇒ ⎨↔ +⎪⎩

[ ]

[ ]

1( ) cos( ) ( ) ( )21( ) sin( ) ( ) ( )

2

o o o

o o o

x t t X X

x t t X Xj

ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω

↔ − + +

↔ − − +



9/7/20098


X(ω)

1

0

ω

Y(ω)

1/2

0ω

ω0-ω0


Ví dụ 5: Cho x(t) có phổ như hình vẽ. Vẽ phổ của tín hiệu y(t)=x(t).cosω0t ?

g. Tính chất tích chập:

( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( ) [ ( ) ( )]

2

x t y t X Y

x t y t X Y

ω ω

ω ωπ

∗ ↔⎧⎪⎨

↔ ∗⎪⎩

Ký hiệu tíchchập

' ' '( ) ( ) ( ) ( )x t y t x t y t t d t+ ∞

− ∞

∗ = −∫*** Định nghĩa tích chập:



9/7/20099

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)3.2 Phổ của một số tín hiệu thông dụng:

3.2.1 Phổ của tín hiệu năng lượng:

a. Xung vuông:

( )2

t TTSaT

ω⎛ ⎞ ↔⎜ ⎟⎝ ⎠

∏

t

x(t)1

0 T/2-T/2

TSa(ωT/2)X(ω)

T

0ω

2π/T

4π/T

-2π/T

-4π/T



9/7/200910

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)3.2.1 Phổ của tín hiệu năng lượng (tt):

b. Xung tam giác:

2 ( )2

t TTSaT

ω⎛ ⎞Λ ↔⎜ ⎟⎝ ⎠

1

0

x(t)

-T T0

Sa2(ωT/2)

0 ω

TX(ω)

-4π/T 4π/T

-2π/T 2π/T



9/7/200911


c. Hàm Sa:

00 0

( )2

Sa t π ωωω ω

⎛ ⎞↔ ⎜ ⎟

⎝ ⎠∏

Sa(ω0t )x(t)

1

0t

π/ω0

-2π/ω02π/ω0

ω

X(ω)

0 ω0-ω0

0/π ω

-π/ω0



9/7/200912


d. Hàm Sa2:

20

0 0

( )2

Sa t π ωωω ω

⎛ ⎞↔ Λ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

Sa2(ω0t)

0 t

1x(t)

π/ω0 2π/ω0-π/ω0-2π/ω0 0

X(ω)

2ω00-2ω0

ω

π/ω0



9/7/200913


e. Hàm mũ:

Hàm x(t) không chẵn phổ X(ω) hàm phức

1( ) , 0te u tj

α αα ω

− ↔ >+

2 2

1| ( ) | ; ( )X arctg ωω ϕ ωαα ω

= = −+



9/7/200914


f. Hàm e-α|t|:

2 2

2te α αα ω

− ↔+



9/7/200915

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)3.2.2 Phổ của tín hiệu công suất trung bình hữu hạn:

a. Hàm δ(t):

t0

δ(t)

x(t)

ω0

X(ω)

1

( ) 1tδ ↔

b. Hàm x(t)=1:

ω0

2π

X(ω)

t0

x(t)

1

1 2 ( )πδ ω↔



9/7/200916

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)3.2.2 Phổ của tín hiệu công suất trung bình hữu hạn:

a. Hàm u(t):1( ) ( )u tj

πδ ωω

↔ +

|X(ω)|

0 ω

π1

t0

x(t)



9/7/200917


002 ( )j te ω π ω ω↔ −

X(ω)

ω0 ω0

2π

3.2.2 Phổ của tín hiệu công suất trung bình hữu hạn (tt):

d. Hàm ejω0t:

00

1 2 ( )1 2 ( )j te ω

πδ ω

πδ ω ω

↔

⇒ × ↔ −

Tính chất dịchtrong miền tần số

Chứng minh:



9/7/200918


X(ω)

0 ω0-ω0

π

x(t)

0

1

t

0

4 πω

−

0

2 πω

−

0

2 πω 0

4 πω0

62

πω

−

-1

|X(ω)|

0 ω0-ω0

π

x(t)

0

-1

1

t

0

72

πω

−

0

32

πω

−

0

52

πω 0

92

πω0

1 12

πω

−

02πω

{ }0 0 0( ) ( ) ( )Sin t jω π δ ω ω δ ω ω↔ − − + +

{ }0 0 0( ) ( ) ( )Cos tω π δ ω ω δ ω ω↔ − + +d. Hàm ejω0t (tt):



9/7/200919


Dùng khai triển Fourier dạng phức:

trong đó:

00

2( ) ;jn tn

nx t X e

Tω πω

+∞

=−∞

= =∑

0

0

0

1 ( ) ; 0, 1, 2, 3,...t T

jn tn

t

X x t e dt nT

ω+

−= = ± ±∫ ±

(*)

(**)

3.2.3 Phổ của tín hiệu tuần hoàn:

Cho x(t) là tín hiệu tuần hoàn với chu kỳ T.



9/7/200920

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)3.2.3 Phổ của tín hiệu tuần hoàn (tt):

Cách xác định hệ số Xn:

Cách 1: sử dụng công thức (**)

Cách 2: i. Xét tín hiệu xT(t) trong một chu kỳ T, t€[t0,t0+T].

ii. Xác định XT(ω) dùng biến đổi Fourier cho xT(t).

iii. Xn = XT(nω0)/T.

0( ) 2 ( )nn

X X nω π δ ω ω+∞

= −∞

= −∑

Phổ của tín hiệu tuần hoàn có dạng:

002 ( )j te ω π ω ω↔ −Chứng minh: Áp dụng công thức: cho biểu

thức (*) ở trên.



9/7/200921


a. Phổ của dãy xung vuông đơn cực:x(t)

t

……

A

……0τ/2-τ/2 T-T

T = 5τ

Vì x(t) là tín hiệu tuần hoàn, nên phổ có dạng:

0( ) 2 ( )nn


= −∞

= −∑

Xác định hệ số phổ Xn:



9/7/200922

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)a. Phổ của dãy xung vuông đơn cực (tt):


0 0

/ 2 / 2

/ 2 / 2

0

1 1( )

2

Tjn t jn t

nT

X x t e d t A e d tT T

A S a n A S a nT T T

τω ω

τ

τ τ τ τω π

− −

− −

= =

= =

∫ ∫

Cách 2:

ó : ( ) ( ) ( )2T T

tTa c x t A X A Sa ωτω ττ

⎛ ⎞= ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠

∏0

0( )( ) 2

2( ) ( )2

Tn

nA SaX nXT T

A n nSa A SaT T T T

ω ττω

τ πτ τ πτ

= =

= =



9/7/200923

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)a. Phổ của dãy xung vuông đơn cực (tt):

Suy ra, biểu thức phổ:

0( ) 2 ( ) ( )n

X A Sa n nT Tτ τω π π δ ω ω

+∞

= −∞

= −∑

X(ω)2πA/5

0

2π/τ 4π/τ

-6π/τ

2π/T

T=5τ



9/7/200924


b. Phổ của phân bố lược:

0( ) 2 ( )nn


= −∞

= −∑

t

x(t)

1

0-T-2T T 2T

1( ) ||| tx tT T

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Vì x(t) là tín hiệu tuần hoàn, nên phổ có dạng:

0( ) 2 ( )nn


= −∞

= −∑

Xác định hệ số phổ Xn:



9/7/200925


0 0

0

/ 2 / 2

/ 2 / 2

/ 2

/ 2

1 1 1( ) |||

1 1( )

T Tjn t jn t

nT T

Tjn t

T

tX x t e dt e dtT T T T

t e dtT T

ω ω

ωδ

− −

− −

−

−

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

= =

∫ ∫

∫

b. Phổ của phân bố lược (tt):


Cách 2:

ó : ( ) ( ) ( ) 1T TTa c x t t Xδ ω= ⇒ =

0( ) 1Tn

X nXT T

ω= =



9/7/200926


0 02( ) 2 ( ) ( )n

n n

X X n nTπω π δ ω ω δ ω ω

+∞ +∞

=−∞ =−∞

= − = −∑ ∑

0

1 || | | | |tT T

ωω

⎛ ⎞⎛ ⎞ ↔ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

ω

X(ω)

ω0

0 ω0 2ω0-ω0-2ω0

b. Phổ của phân bố lược (tt):Suy ra, biểu thức phổ:

Như vậy:



9/7/200927


0 T/2-T/2 2T-2T t

x(t)A

20 0( ) 2 ( ) ( ) ( )

2 4nn n

A nX X n Sa nπ πω π δ ω ω δ ω ω+∞ +∞

=−∞ =−∞

= − = −∑ ∑

( )/ 2Ttx t A

T⎛ ⎞= Λ ⎜ ⎟⎝ ⎠

2( ) ( )2 4T

AT TX Sa ωω⇒ =

2 0

2( )

2 4 ( )2 4 4n

n TAT Sa A nX SaT

ωπ

⇒ = =

Ví dụ 6: Xác định phổ của tín hiệu tuần hoàn sau:

Hướng dẫn:

3.2.3 Phổ của tín hiệu tuần hoàn (tt):



9/7/200928

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)3.3 Mật độ phổ:

3.3.1 Mật độ phổ năng lượng ESD (Energy Spectrum Density)

Đặc trưng cho phân bố năng lượng tín hiệu trong miền tần số

2( ) ( )Xω ωΦ =Quan hệ giữa ESD và hàm tự tương quan:

Định lý Parseval về năng lượng:

( ) ( ) je dωτω ϕ τ τ+∞

−

−∞

Φ = ∫

1( ) ( )2

je dωτϕ τ ω ωπ

+∞

−∞

= Φ∫( ) ( )Fϕ τ ω←⎯→Φ ,nghĩa là:

2 1( ) ( )2

x t d t dω ωπ

+∞ +∞

−∞ −∞

= Φ∫ ∫



9/7/200929

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)3.3.1 Mật độ phổ năng lượng ESD (tt)

Các cách tính năng lượng của một tín hiệu:

Từ định nghĩa:

Từ hàm tự tương quan:

Từ định lý Parseval :

2( )xE x t d t+ ∞

− ∞

= ∫

(0)xE ϕ=

1 ( )2xE dω ωπ

+∞

−∞

= Φ∫



9/7/200930

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)3.3.1 Mật độ phổ năng lượng ESD (tt)

Ví dụ 7: Cho tín hiệu sau. Hãy xác định Φ(ω) và Ex ?

1( ) ( ) ( )tx t e u t Xj

α ωα ω

−= ⇒ =+

22

2 2

1 1( ) ( )Xj

ω ωα ω α ω

Φ = = =+ +

1/α2

0ω

Φ(ω)Tính năng lượng:

2 2

1 ( )2

1 1 12 2

xE d

d

ω ωπ

ωπ α ω α

+∞

−∞

+∞

−∞

= Φ

= =+

∫

∫

??? Cách khác



9/7/200931

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)3.3 Mật độ phổ:

3.3.2 Mật độ phổ công suất PSD (Power Spectrum Density)

Đặc trưng cho phân bố công suất tín hiệu trong miền tần số

( )( ) lim T

T Tωω

→ ∞

ΦΨ = ,trong đó:

( ) ( )Ttx t x tT

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠

∏1

( ) ( )FT Tx tω

−

Φ ←⎯⎯→Quan hệ giữa PSD và hàm tự tương quan:

Định lý Parseval về công suất:

( ) ( )Fϕ τ ω←⎯→Ψ

/ 22

/ 2

1 1lim ( ) ( )2

T

x TTT

P x t d t dT

ω ωπ

+ ∞

→ ∞− − ∞

= = Ψ∫ ∫



9/7/200932


Từ định nghĩa:

Từ hàm tự tương quan:

Từ định lý Parseval :

(0)xP ϕ=

3.3.2 Mật độ phổ công suất PSD (tt)

Các cách tính công suất của một tín hiệu:

/ 22

/ 2

1l im ( )T

x TTT

P x t d tT→ ∞

−

= ∫

1 ( )2xP dω ω

π

+ ∞

− ∞

= Ψ∫



9/7/200933

3.3.2 Mật độ phổ công suất PSD Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)

(tt)

Ví dụ 8: Cho tín hiệu sau. Hãy xác định PSD và Px ?

Tính công suất:

t

u(t)

0

1

T/2-T/2

tT

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∏

/ 4( ) ( )/ 2T

t t Tx t u tT T

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∏ ∏/4( )

2 4j T

TT TX Sa e ωωω −⎛ ⎞⇒ = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

22( )( ) lim lim ( )

4 4T

T T

T TSaT

ω ωω πδ ω→∞ →∞

Φ ⎛ ⎞Ψ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

1 1 1( ) ( )2 2 2xP d dω ω π δ ω ω

π π

+ ∞ + ∞

− ∞ − ∞

= Ψ = =∫ ∫

22 2( ) ( )

4 4TT TX Sa ωω ωΦ = =



9/7/200934

Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)3.3.3 Mật độ phổ công suất của tín hiệu tuần hoàn:

Phổ của tín hiệu tuần hoàn:

20 0( ) 2 ( ) 2 ( )n n

n n

X n nω π δ ω ω π δ ω ω+∞ +∞

= −∞ = −∞

Ψ = − = Ψ −∑ ∑

0( ) 2 ( )nn


= −∞

= −∑PSD của nó có dạng:

Định lý Parseval đối với tín hiệu tuần hoàn:

21 ( ) | |2x n

n

P d Xω ωπ

+∞ ∞

= −∞−∞

= Ψ = ∑∫Cách tính công suất Px: (tương tự phần 3.3.2)



9/7/200935

3.3.3 Mật độ phổ công suất của tín hiệu tuần hoànChương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ (tt)

(tt)

Ví dụ 9: Cho tín hiệu sau x(t)=cosω0t. Hãy xác định PSD và Px ?

Tính công suất:

( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )

0 0

0 0

2 2

0 0

( )

22 2

( ) 24 4

X A

A A

A A

ω π δ ω ω π δ ω ω

π δ ω ω δ ω ω

ω π δ ω ω δ ω ω

= − + +

⎡ ⎤= − + +⎢ ⎥⎣ ⎦⎡ ⎤

⇒ Ψ = − + +⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2 2

4 4 2x nn

A A AP∞

= −∞

= Ψ = + =∑2

2 20

0

1 cos2

T

xAP A tdt

Tω= =∫

hoặc:

Documents

PHÂN TÍCH TÍN HIỆU MIỀN TẦN SỐ - stu.edu.vn · Giaûng vieân: Th.S Leâ Xuaân Kyø Bài giảng: Lý thuyếttínhiệu 9/7/2009 2 Chương 3 PHÂN TÍCH TÍN HIỆU