Probabilitas dan StatistikTSI-032072 Semester II.

Dr. Ir. Suardi. N, M.Eng

Materi Pelajaran Kuliah 1• Ruang sampel

– Contoh dan latihan soal• Kejadian

– Diagram Venn– Operasi dengan kejadian– Contoh dan latihan soal

• Menghitung titik sampel– Permutasi– Permutasi sebagian– Contoh dan latihan soal

• Probabilitas atau Peluang– Hukum peluang– Peluang bersyarat

Ruang sampel• Gugus semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistik disebut

ruang sampel, dan dinyatakan dengan lambang: S.• Tiap hasil dlm ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel

atau titik sampel.• Contoh pada percobaan lantunan dadu, bila yg diselidiki adalah angka yg

muncul sebelah atas, maka Ruang Sampel yg merupakan kumpulan semua hasil yg mungkin dari suatu lantunan dadu dapat ditulis: S1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

• Apabila yg ingin diselidiki adalah angka genap atau ganjil yang muncul, maka Ruang Sampelnya adalah: S2 = { genap, ganjil}.

• Ruang sampel yg anggotanya tak berhingga, lebih mudah ditulis dlm suatu pernyataan. Contoh, bila hasil yg mungkin dari suatu percobaan adalah “kota dg penduduk > 1 juta”, maka ruang sampel ditulis : S = { x x kota dg penduduk > 1 juta }, dibaca S kumpulan semua x, bila x adalah kota dg penduduk > 1juta org.

Soal Latihan 1:

• Tuliskan anggota tiap Ruang Sampel berikut:a) Himpunan bilangan bulat antara 1 – 50 yg habis

dibagi 7;b) Himpunan S = { x x2 + x – 6 = 0 }c) Himpunan hasil bila sebuah dadu dan sebuah

koin dilantunkan sekaligus.d) Himpunan S = { x x benua }e) Himpunan S = { x 2x – 4 = 0 dan x > 5 }

Kejadian atau Event• Kejadian (event) adalah himpunan bagian dari

ruang sampel. Contoh, kejadian E = {3, 4} adalah bagian dari ruang sampel S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} yaitu ruang sampel lantunan sebuah dadu.

• Hubungan antara kejadian dg ruang sampel dapat digambarkan dengan Diagram Venn, dimana ruang sampel digambarkan dg empat persegi panjang dan kejadian digambarkan dg lingkaran didalamnya.

Diagram Venn

• Diagram ini dapat menggambarkan keadaan seseorang mengambil kartu dari tumpukan kartu bridge:– A : kartu yg diambil berwarna merah– B : kartu yg diambil jack, queen, atau king

diamond.– C : kartu yg diambil As

• Kejadian A, B, dan C, merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S.

• Kejadian B adalah himpunan bagian kejadian A.

• Kejadian A dan C paling sedikit memiliki satu titik sapel persekutuan.

• Kejadian B dan C tak memiliki titik sampel yg sama.

S

A

BB C

Operasi dengan kejadian• Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dg lambang A B,

adalah kejadian yg unsurnya termasuk dalam A dan B. • Secara matematis unsur dalam himpunan A B = { x x A

dan x B }. Lambang berarti anggota.• Dua kejadian A dan B saling terpisah apabila AB = ø

A B

Kejadian A B

Contoh : A = {1,2,3,4,5}B = {2,4,6,8}AB = {2, 4}

A B

Contoh : A = {1,2,3,4,5}B = {6,8}AB = ø

Gabungan kejadian

• Gabungan dua kejadian A dan B dinyatakan dg lambang AB adalah kejadian yg mengandung semua unsur yg termasuk A atau B atau keduanya.

• Contoh : A = { 2, 3, 5, 8} dan B = { 3, 6, 8}, maka AB = { 2, 3, 5, 6, 8}

Soal latihan 2• Suatu percobaan melantunkan sepasang dadu, satu dadu

warna merah dan satunya lagi hijau. Hasil yg muncul kemudian dicatat.

• Pertanyaan: a) Tuliskan semua anggota ruang sampel S,b) Tuliskan anggota kejadian A yaitu bagian dari anggota S

yang jumlahnya kurang dari 5.c) Tuliskan anggota kejadian B bahwa bilangan 6 muncul

pada kedua dadu.d) Tuliskan anggota kejadian C yaitu bilangan 2 muncul

pada dadu hijaue) Buatlah diagram venn yg menunjukan hubungan antara

kegiatan A, B, C, dan S.

Menghitung titik sampel• Bila suatu operasi bisa dilakukan dg n1 cara, dan bila tiap cara tsb

operasi kedua dapat dikerjakan dg n2 cara, maka kedua operasi itu dapat dikerjakan bersama-sama dengan n1n2 cara.

• Contoh berapa banyak titik sampel dalam ruang sampel bila sepasang dadu dilantunkan sekali?

• Jawaban : – Dadu kesatu dapat menghasilkan 6 kemungkinan, dan– Dadu kedua dapat menghasilkan 6 kemungkinan pula, maka pasangan dadu

tsb dapat menghasilkan (6)x(6) = 36 kemungkinan.

• Teori diatas dpt diperluas sbb: Bila suatu operasi dapat dikerjakan dg n1 cara, dan bila utk setiap cara ini (operasi kedua) dpt dikerjakan dg n2 cara, dan bila utk setiap kedua cara operasi tsb (operasi ketiga ) dpt dikerjakan dg n3 cara, dst, maka deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1. n2. n3…. nk cara.

Contoh Soal 1Berapa macam hidangan dapat disajikan, jika

tiap hidangan terdiri dari sop, nasi, bakmi, dan kopi. Bahan yg tersedia, sop ada 2 macam, nasi ada 3 macam, bakmi 3 macam, dan soto 4 macam.

Jawab: dari soal didapat: n1 = 2; n2 = 3; n3 = 3; dan n4 = 4. Maka jumlah hidangan semuanya adalah : (2)(3)(3)(4) = 72 macam.

Soal 2Berapa banyak bilangan genap yg terdiri atas

tiga angka dapat dibuat dari angka 1, 2, 5, 6, dan 9, bila tiap angka itu hanya boleh digunakan sekali.

Jawab: misal n1 = angka satuan, n2 = angka puluhan, dan n3 = angka ratusan, maka:

n1 = 2, n2 = 4, dan n3 = 3, sehingga jumlah semua bilangan ada : (2)(4)(3) = 24

Soal latihan 3

• Seorang mahasiswa baru harus mengikuti kuliah pelajaran fisika, kimia, dan matematik masing-masing sekali/minggu. Jadwal kuliah yg ada per minggu adalah fisika 4 kali, kimia 3 kali, dan matematik 3 kali. Berapa jumlah program kuliah dapat disusun oleh seorang mahasiswa dalam seminggu?

Kuliah 2

• Permutasi– Contoh dan latihan soal

• Probabilitas atau Peluang– Pengertian Peluang– Peluang bersyarat– Mutually Exclusive Events– Contoh dan latihan soal

Permutasi • Suatu permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk

dari suatu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya.

• Contoh : Ambil tiga huruf a, b, dan c. Permutasi yg bisa dibuat adalah abc, acb, bac, bca, cab, dan cba. Jadi ada 6 susunan yg berlainan.

• Rumus umum: n benda yg berlainan dpt disusun dengan rumus: n(n-1)(n-2)…(n-k)…permutasi.

• Soal diatas, n = 3, maka banyaknya permutasi: 3(2)(1)=6 permutasi.

• Perkalian tsb dinyatakan dg lambang n! dibaca “n faktorial”. • Jadi 3 benda dapat disusun dengan : 3! = 3(2)(1) = 6 Banyaknya Permutasi dari n benda yg berlainan adalah: n!

Permutasi sebagian • Berapa banyak permutasi yg dapat dibuat dari

sejumlah n huruf bila hanya s huruf diambil sekaligus.• Contoh: dari 4 huruf a, b, c, d, ingin disusun dlm 2

huruf diambil sekaligus. Permutasi tsb adalah: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dan dc. Jadi ada 12 permutasi.

• Rumus umum: Banyak permutasi n benda berlainan jika diambil s sekaligus, adalah:

)!(

!

sn

nPsn

Pada contoh diatas, n = 4, dan s = 2,Maka :Banyak permutasi = 4!/2! = (4)(3) = 12

Soal latihan• Hitung: 7P5 ; 9P3 ; 10P7 ; 5P2

• Dalam berapa cara 7 buah buku dapat disusun pada lemari, apabila:a) Semua cara memungkinkan jwb.. 5040b) Tiga buah buku khusus selalu disusun bersamaan 720c) 2 buku khusus harus selalu disimpan diujung. 240

• Dalam berapa cara kemungkinan, 10 orang pria duduk apabila hanya ada 4 kursi tersedia. 5040

• Ada 4 buku matematik, 6 buku fisika, dan 2 buku kimia harus disimpan dilemari. Berapa cara kemungkinan buku tsb dapat disusun, apabila:a) Setiap jenis buku harus selalu disusun bersatu, 207360 b) Hanya buku matematik yg selalu disusun bersatu, 8709120

• Hitung n, apabila : n+1P3 = nP4 jawab n = 5

Permutasi Melingkar

• Permutasi yg dibuat dengan menyusun benda secara mellingkar disebut Permutasi melingkar.

• Banyak permutasi n benda berlainan yg disusun melingkar adalah : ( n – 1 )!

Probabilitas atau Peluang• Arti klasik peluang: suatu event E terjadi sebanyak h kali dari

total kemungkinan n kali, maka probabilitas dari event tsb adalah:

• Sedangkan probabilitas tidak terjadi event E adalah:

• Bila suatu percobaan dpt menghasilkan N macam hasil yg berpeluang sama, dan bila sebanyak n dari hasil berkaitan dg kejadian A, maka peluang kejadian A adalah Pr(A) = n/N

n

hEp }Pr{

1:

}Pr{11}Pr{

qpmaka

En

h

n

hnnotEq

• Peluang suatu kejadian A adalah jumlah bobot semua titik sampel yg termasuk A. Jadi:

0 Pr (A) 1; Pr(ø) = 0; dan Pr(S) = 1Pr(A) = 0 , adalah peluang yg tak mungkin terjadi, dan

Pr(A) = 1, adalah merupakan kepastian akan terjadi.Contoh 1: Sebuah koin dilantunkan dua kali. Berapakah

peluangnya bahwa paling sedikit muncul sekali muka?Jawab: Ruang sampel S = {MM, MB, BM, BB}. Jadi peluang paling

sedikit muka muncul Pr(E) = ¾.Contoh 2 : Peluang suatu kejadian terambilnya sebuah kartu King

dari tumpukan kartu Bridge adalah P(A) = 4/52.

Contoh 3:• Suatu dadu diberati sedemikian rupa, sehingga kemungkinan

muncul suatu bilangan genap adalah dua kali lebih besar dari kemungkinan muncul bilangan ganjil. Bila E menyatakan kejadian munculnya bilangan yg lebih kecil dari 4 dalam satu lemparan dadu tsb, hitunglah P(E).

• Jawab: Ruang sampel dari lemparan dadu adalah S={1,2,3,4,5,6). Misalkan bobot setiap bilangan ganjil adalah x, maka bobot bilangan genap adalah 2x. Sehingga total bobot dari ruang sampel = 3x + 3(2x) = 9x.

• Karena jumlah semua bobot = 1, maka 9x = 1, atau x = 1/9. Jadi setiap bilangan ganjil memiliki bobot 1/9 dan bilangan genap memiliki bobot 2/9.

• Maka dgn demikian : P(E) = 1/9 + 2/9 + 1/9 = 4/9.

Peluang Bersyarat (Conditional Probability)

• Bila A dan B adalah 2 kejadian, maka peluang B terjadi setelah A terjadi disebut peluang bersyarat dan ditulis dg P(BA).

• Bila terjadi atau tidak terjadinya A tidak mempengaruhi B, maka: P(BA) = P(B) dan disebut kejadian independent, dan sebaliknya disebut kejadian dependent.

• Bila A dan B terjadi, ditulis P(AB), maka kejadian gabungan: P(AB) = P(A). P(BA)

• Pada kejadian independent : P(AB) = P(A).P(B)

Contoh 1 • Apabila A adalah kejadian munculnya “gambar”

pada lemparan ke 5 dari percobaan koin, dan B adalah munculnya “angka” pada lemparan ke 6. Berapa peluang A dan B terjadi?

Jawab: A dan B adalah kejadian independent, maka: P(AB) = P(A).P(B) = ½ x ½ = ¼.

• Apabila peluang bahwa A akan hidup dlm 20 tahun adalah 0.7, dan B akan hidup dlm 20 tahun adalah 0.5, maka A dan B akan hidup dlm 20 tahun adalah P(AB) = 0.7 x 0.5 = 0.35.

Contoh 2

• Misal suatu kotak berisi 3 buah bola berwarna putih dan 2 buah bola berwarna hitam. Apabila A adalah pengambilan bola pertama hitam, dan B adalah pengambilan bola kedua hitam. Hitung peluang terjadinya A dan B, apabila bola yg sudah diambil tidak dikembalikan lagi.

Jawab: P(A) = 2/5, dan P(BA) = ¼. Maka P(AB) = P(A). P(BA) = 2/5 x ¼ = 1/10.

Kejadian tak saling pengaruh (terpisah)(Mutually Exclusive Events)

1. Dua kejadian atau lebih disebut terpisah apabila kejadian salah satu tidak berpengaruh terhadap kejadian lainnya.

2. Jika A atau B atau keduanya terjadi, (ditulis: A+B), maka P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)

3. Bila A dan B kejadian yg terpisah (MEE), maka: P(AB) = 0. Sehingga: P(A+B) = P(A) + P(B)

4. Rumus Umum: Bila A1, A2,……,An adalah n kejadian yg saling terpisah, dan berturut-turut memiliki peluang terjadi p1, p2,…,pn, maka peluang terjadinya salah satu A1,atau A2,……,atau An adalah P(A1 + A2 + …… + An ) = p1 + p2 +…+pn

Contoh soal• Berapa peluang mendapatkan jumlah 7 dan

jumlah 11 dari melantunkan dua buah dadu.Jawab: misal kejadian A menunjukan jumlah 7, dan

kejadian B menunjukan jumlah 11. Ruang sampel melantunkan 2 buah dadu = 36 titik

sampel. P(A) = 6/36, dan P(B) = 2/36. Kejadian A dan B adalah terpisah karena jumlah 7 dan 11 tak mungkin terjadi pd lantunan yg sama. Sehingga:

P(AB) = P(A) + P(B) = 6/36 + 2/36 = 8/36 = 2/9.

Contoh Soal1. Peluang seorang mahasiswa lulus fisika adalah 2/3,

dan peluangnya lulus biologi adalah ½. Apabila peluang lulus paling sedikit satu mata kuliah adalah 5/6, maka berapa peluang lulus kedua-duanya?

Jawab: Misal kejadian A adalah lulus fisika, dan kejadian B adalah lulus biologi, sehingga: P(A) = 2/3, P(B) = ½, dan P(A+B) = 5/6

Rumus: P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB)Maka: P(AB) = P(A) + P(B) – P(A+B) = 2/3 + ½ - 5/6 = 2/6 = 1/3.

Soal Latihan

• Peluang seorang suami akan hidup dalam 60 th adalah 3/5, dan peluang seorang isteri akan hidup dlm 60 thn adalah 2/3. Hitung kemungkinan dari:– Kedua-duanya suami isteri akan hidup. 2/5– Bila suami saja yg hidup. 1/5– Bila isteri saja yang hidup, 4/15– Paling sedikit satu orang yang hidup., 13/15

Materi Kuliah 3

• Distribusi Probabilitas– Diskrete probabilitas– Continuous probabilitas– Contoh dan latihan

• Expectation– Contoh dan latihan

• Populasi dan sampel– Mean, variance

• Variabel dan grafik

Variabel

• Variabel (ditulis dg simbul: x, y, z, dll) melambangkan sesuatu yg memiliki banyak nilai. Variabel yg hanya memiliki satu nilai disebut konstanta.

• Ada dua jenis variabel yaitu variabel kontinyus dan variabel diskret.

• Contoh:– Jumlah orang dlm satu keluarga, misal N = 1, 2, 3 dst,

adalah diskret variabel, karena tak mungkin N = 2,25– Umur manusia dlm satu keluarga, misal M = 20; 20.5;

25,67 dst, adalah kontinyus variabel.

Discrete probability Distributions• Discrete Probability Distribution X didefinisikan, Jika X adalah

variabel diskret, punya nilai, X1, X2, X3,…Xn, dengan probabiliti berturut-turut, p1, p2, p3, …, pn, dimana: p1+p2+p3+…+pn = 1 .

• Fungsi p(x) = (p1, p2, p3, …, pn ) disebut fungsi probabilitas atau fungsi frekwensi dari X.

• Contoh: dalam percobaan melantunkan sepasang dadu, apabila X = jumlah angka yg muncul, maka distribusi probabilitas p(x) adalah sbb: X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

P(x) 1/36 2/36 3/36 4/36 5/36 6/36 5/36 4/36 3/36 2/36 1/36

Contoh: probabiliti x = 5, p = 1/9 . Jadi apabila dari 900 lantunan, diharapkan 100 kali didapat x = 5.

Dibuat dalam bentuk grafik

X

P(X)

6/36

1/36

2 7 12

Continuoes probability Distributions• Apabila X variabel kontinu• Luas total area dibawah grafik dg batas bawah sumbu x = 1• Probabiliti x antara a dan b ditulis Pr (a < x < b) = Luas area yg

diwarnai biru.

P(x)

xa b

P(x) disebut fungsi density

Contoh Soal 1• Tentukan Distribusi Probabiliti dari anak laki (Boys) dan anak

cewe (Girls) pada satu keluarga yg memiliki anak tiga. Anggap setiap kelahiran, anak laki dan anak cewe mempunyai probabilitas yg sama.

• Jawab: Misal B =Laki, dan G = cewe, P(B) = P(G) = ½ – Kemungkinan 3 anak laki: P(BBB) = ½ x ½ x ½ = 1/8– Kemungkinan 3 anak cewe: P(GGG) = 1/8– Kemungkinan 2 B dan 1 G P(BBG + BGB + GBB) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8– Kemungkinan 1 B dan 2 G P(BGG + GBG + GGB) = 3/8

• Jika X adalah variabel acak menunjukan jml anak laki, maka Distribusi Probabiliti :

Jml anak laki, X 0 1 2 3

Probabiliti, p(X) 1/8 3/8 3/8 1/8

Contoh 2• Sebuah variabel acak kontinu X, dengan nilai antara 0 – 4

memiliki fungsi density p(X) = ½ - aX , dimana a = konstanta.• Hitung besarnya a dan tentukan P(1 < X < 2)• Jawab: pers. Fungsi density merupakan pers garis lurus. Untuk

X = 0, p(x) = ½ , dan untuk X = 4, p(X) = ½ - 4X.

½ ½ - 4a

P(x)

x0 4

Luas warna biru = 1 ½ (4)(½ + ½ - 4a) = 1Jadi : a = 1/8

P(x)

x0 4

P(1 < x < 2)

Latihan

• Seperti contoh 1, untuk keluarga dengan 4 anak. Tentukan distribusi probabiliti ?

• Jika x adalah variabel acak kontinu (continuous random variable) yg memiliki nilai antara 2 dan 8. Apabila fungsi density, f(x) = a(x + 3) dimana a adalah konstanta, hitung:– Berapa besarnya a– Pr(3 < x < 5); Pr(x 4); Pr(x – 5 < 0.5).

Kuliah 4

Statistik• Statistik : suatu metoda scientific untuk

collecting, organizing, summerizing, presenting, dan analysing data, dalam rangka menggambarkan kesimpulan yg valid dan membuat keputusan yg masuk akal berbasis analisis.

• Dalam kolekting data biasanya berhubungan dg karakteristik dari kelompok individual atau kelompok objek (disebut populasi).

• Populasi bisa saja finit atau infinit.

Distribusi Frekwensi

• Data yg sudah ditata dalam bentuk distribusi sesuai frekwensinya, disebut distribusi frekwensi

• Ada dua jenis distribusi frekwensi :– Distr. Frek. Tunggal, urutan tiap skor, satuan unit,

dlm satu data tertentu.– Distr. Frek. Kelompok, data dikelompokan dulu

pada interval tertentu.

Contoh

• Data nilai hasil ujian fisika 40 mhs Utama tk 1 sbb:

5 7 4 3 8 6 7 6 3 5

9 4 6 3 2 10 5 8 4 8

6 5 3 8 7 9 6 4 2 4

6 8 5 9 2 10 9 7 5 8

Tabel 1: Distribusi Frekwensi Tunggal(data diurut dari kecil kebesar)

No Nilai Jml Siswa (Frek.)

1 2 3

2 3 4

3 4 5

4 5 6

5 6 6

6 7 4

7 8 6

8 9 4

9 10 2

f 40

No Nilai (klas interv)

Jml Siswa (frek.)

1 2 - 4 12

2 5 - 7 16

3 8 - 10 12

f 40

Contoh : Tabel 2Distribusi Frekwensi Kelompok

Data dikelompokan pada interval tertentu

Definisi

• Kisaran nilai spt (2 – 4) pada tabel 2, disebut Class Interval

• Nilai 2 dan 4 disebut class limits, angka 2 merupakan batas bawah, dan angka 4 adalah batas atas.

• Batas bawah yg sebenarnya adalah 1.5 dan batas atas yg sebenarnya adalah 4.5.

Distribusi Kelompok• Tahapan dalam membuat distribusi kelompok:– Susun data dari yg terkecil ke yg terbesar– Tentukan rentang (R) yaitu jarak antara data tertiggi dan

terendah– Tentukan jumlah kelas interval (k) dengan rumus Sturgess: k

= 1 + 3,322 log n; dimana n = jumlah data

– Tentukan panjang kelas interval:

– Tentukan skor kelas interval pertama, dg milih skor terendah atau sekitar skor terendah

– Tentukan batas bawah kelas interval – Hitung frekuensi kelas

k

Ri

Cantoh

79 49 48 74 81 98 87 80

80 84 90 70 91 93 82 78

70 71 92 38 56 91 74 73

68 72 85 53 65 93 83 86

90 32 83 73 74 43 86 68

92 93 76 71 90 72 67 75

80 91 61 72 97 90 88 81

70 74 99 95 80 60 71 76

63 60 83 82 60 67 89 65

76 63 88 70 66 80 79 75

Data hasil ujian statistik dari 80 mahasiswa

Contoh menyusun Distr. Frek. Kelompok

• Dari data diatas, didapat:• n = 80; data terbesar Xmaks = 99, dan data

terkecil Xmin= 32 ; R = 99 – 32 = 67• Jumlah kelas interval: k = 1 + 3.322 log 80 = 7.322 bulatkan 7 • Panjang klas interv.: i = 67/7 = 9.6 bulatkan 10. • Masukan skor kedalam kelas interval

Hasil perhitungan Distribusi KelompokKelas Interval Tally Frekuensi

31 – 40 2

41 – 50 3

51 – 60 5

61 – 70 14

71 – 80 25

81 – 90 18

91 – 100 13

Distribusi Frekwensi Kumulatif

• Kumulasi frekwensi adalah jumlah frekwensi utk sejumlah data. ada dua bentuk yaitu kumulasi kebawah dan keatas.

Data (x) Frekwensi Kum Bawah Kum Atas

2 3 3 40

3 4 7 37

4 5 12 33

5 6 18 28

6 6 24 22

7 4 28 16

8 6 34 12

9 4 38 6

10 2 40 2

Kuliah 5

Distr. Frek. Proporsi• Proporsi didapat dg membagi frekwensi suatu data dg

frekwensi total : p = f/f

Data (x) Frekwensi Proporsi (p) Prop. Dlm %

2 3 3/40 = 0.075 7.5

3 4 4/40 = 0.100 10.0

4 5 5/40 = 0.125 12.5

5 6 6/40 = 0.150 15.0

6 6 6/40 = 0.150 15.0

7 4 4/40 = 0.100 10.0

8 6 6/40 = 0.150 15.0

9 4 4/40 = 0.100 10.0

10 2 2/40 = 0.050 5.0

f = 40

Grafik Histogram, Poligon dan Ogive• Histogram grafik berbentuk batang, sumbu x adalah skor,

dan sumbu y adalah frkwensi.

Skor (x)

Frek (y)

Skor 3 4 5 6 7 8 9 10

Frek 2 3 5 10 12 8 6 3

3 4 5 6 7 8 9 10

Grafik Histogram, Poligon dan Ogive

• Poligon Berbentuk garis-garis lurus yg menghubungkan jml frekwensi skor utk data tunggal atau menghubungkan titik tengah utk data kelompok.

Skor (x)

Frek (y)

Skor 3 4 5 6 7 8 9 10

Frek 2 3 5 10 12 8 6 3

3 4 5 6 7 8 9 10

Grafik Ogive

• Ogive menggunakan data frekwensi kumulatif, bida kumulatif bawah atau kumulatif atas.

Data (x) Frekwensi Kum Bawah Kum Atas

2 3 3 40

3 4 7 37

4 5 12 33

5 6 18 28

6 6 24 22

7 4 28 16

8 6 34 12

9 4 38 6

10 2 40 2

Skor

Frek kum

Skor

Frek kum

Ukuran gejala pusat

• Rata-rata aritmatik:– Dimana: Xi = nilai skor data i, – dan n = jumlah data

• Data dgn frekwensi yg lebih dari satu: – Dimana : fi = frekwensi

• Dgn cara penyederhanaan: – Dimana: rata-rata dugaan– i = interval dan c = nilai kode

n

X

n

XXXX in

....21

i

ii

f

XfX

.

i

ii

f

cfiXX

.0

Contoh :Klas Interval Xi fi Ci fi.Xi Ci. fi

31 – 40 35.5 2 -3 71 -6

41 – 50 45.5 3 -2 136.5 -6

51 – 60 55.5 5 -1 277.5 -5

61 – 70 65.5 14 0 917 0

71 – 80 75.5 25 1 1887.5 25

81 – 90 85.5 18 2 1539 36

91 – 100 95.5 13 3 1241.5 39

Jumlah: 80 6070 83

i

ii

f

XfX

.= 6070/80 = 75.875 rata-rata dg frekwensi

i

ii

f

cfiXX

.0 = 65.5 + 10[83/80) = 75.875 Dg penyederhanaan

Modus

• Modus adalah suatu kejadian yang paling sering muncul. Modus dilambangkan dg Mo

• Contoh: di Indonesia banyak mobil dg bermacam merk, yg paling banyak disukai rakyat Indonesia adalah merk Toyota. Jadi Modus adalah Toyota.

Xi fi

3 2

4 1

5 2

6 4

7 2

8 1

Xi fi

3 2

4 1

5 5

6 2

7 5

8 2

Satu modus skor 6 Ada dua modus skor 5 dan 7

Rumus Modus

Jika data kuantitatif jumlahnya banyak dan sudah disusun dalam daftar distribusi frekwensi, maka Modus dapat dihitung dg Rumus:

ms

s

bb

bibMo

Dimana :

b = batas bawah kelas modus yaitu skor yang frekwensinya paling banyak

i = panjang kelas interval modus

bs = frekwensi kelas modus dikurangi frekwensi sebelum kelas interval modus

bm = frekwensi kelas modus dikurangi frekwensi sesudah kelas interval modus

Contoh :Distribusi Data Hasil Ujian

Klas Interv Batas bawah Batas atas fi

31 – 40 30.5 40.5 2

41 – 50 40.5 50.5 3

51 – 60 50.5 60.5 5

61 – 70 60.5 70.5 14

71 – 80 70.5 80.5 25

81 – 90 80.5 90.5 18

91 – 100 90.5 100.5 13

Jumlah: 80

Dari tabel didapat Modus kiraan berada pada kelasInterval 71 – 80 karena punya frekwensi terbanyak yaitu 25.

Dari Data: b = 70.5bs = 25 – 14 = 11bm = 25 – 18 = 7i = 10

Maka:

6.761.65.70711

11105.70

Mo

Modus pd distribusi frek ujian: 76.6

Median

• Median (Me) adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurut dari terkecil ke terbesar atau sebaliknya.

• Median merupakan garis pembagi dari sekumpulan data menjadi dua bagian sama besar.

• Dua cara menghitung median yaitu utk data tunggal (tidak dikelompokan) dan utk data dikelompokan.

Data Tunggal

• Me = ½ (n + 1); artinya Me berada pd data ke: ½ (n + 1); dimana n = jumlah data.

• Contoh data hasil ujian: 4, 5, 3, 6, 7, 9, 8, 10• Setelah diurut: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10• Jumlah data n = 8; maka Me = ½ (8 + 1) = 4.5• Jadi Me berada antara X4 dan X5 yaitu skor:

(6+7)/2 = 6.5

Data berkelompok

f

fnibMe

k21

Rumus :

bk ff

Dimana: b = batas bawah median (yg diduga terletak median)i = panjang kelas medianfb = jumlah semua frekwensi yang berada dibawah kelas interval medianf = frekwensi kelas median

Contoh :

Distribusi Data Hasil Ujian

Klas Interv

Batas bawah

Batas atas fi fk

31 – 40 30.5 40.5 2 2

41 – 50 40.5 50.5 3 5

51 – 60 50.5 60.5 5 10

61 – 70 60.5 70.5 14 24

71 – 80 70.5 80.5 25 49

81 – 90 80.5 90.5 18 67

91 – 100 90.5 100.5 13 80

Jumlah: 80

Mencari median terduga dg menghitung ½ n = 40. Maka data ke 40 berada pada interval kelas ke 5, yitu 71 – 80.

Dari Data: b = 70.5f = 25fk = 24i = 10

Maka:

9.7625

2440105.70

Me

Posisi: Rata-rata, Modus, dan Median dalam Distribusi

• Jika distribusi frekwensi berbentuk Normal, maka besarnya rata-rata, modus, dan median adalah sama. dalam grafik letaknya berimpitan.

MeMoX

• Jika distribusi frekwensi berbentuk menceng kekiri (positif), maka nilai rata-rata < median < modus.

Mo Me Xr

MoMeX

• Jika distribusi frekwensi berbentuk menceng kekanan (negatif), maka nilai rata-rata > median > modus.

Mo Me Xr

MoMeX

Kuliah 6

Simpangan Baku dan Variansi

Dispersion atau Variation

• Tingkat penyebaran dari data numerik terhadap nilai rata-rata dari data tsb, disebut dispersi atau variasi data.

• Macam-macam ukuran dari dispersi yg banyak dikenal adalah: kisaran (range), deviasi rata-rata, semi-interquartile range, 10 – 90 percentile range, dan Standar Deviasi (simpangan baku).

Deviasi Rata-rata

• Kisaran (range), perbedaan antara data terbesar dan data terkecil. Range dari data: 2, 3, 3, 4, 5, 5, 5, 8, 10, 12 adalah 12 – 2 = 10. Atau bisa juga disebut kisaran data tsb adalah antara 2 – 12.

• Deviasi rata-rata (Mean Deviation):

N

XX

N

XX

MDj

N

jj

1

aritmatikratarataX ..

Contoh 1:

• Tentukan Deviasi Rata-rata dari sekelompok data: 2, 3, 6, 8, 11

• Jawab:

8.25

52034

5

61168666362

65

118632

MD

X

Apabila data : X1, X2, …..XN terjadi dengan frekwensi f1, f2, ….fN, maka:

N

XXf

MD

N

jjj

1

Contoh 2:• Tentukan Deviasi Rata-rata dari data berat 100 orang

siswa. Berat rata-rata aritmatik = 67.45 kgBerat (kg) Xi Xi - Xr fi fiXi – Xr

60 – 62 61 6.45 5 32.25

63 – 65 64 3.45 18 62.10

66 – 68 67 0.45 42 18.90

69 – 71 70 2.55 27 68.85

72 – 74 73 5.55 8 44.40

Jumlah: 100 226.50

N

XXf

MD

N

jjj

1 MD = 226.5/100 = 2.265 kg

• Simpangan baku (s) adalah akar dari jumlah simpangan skor terhadap nilai rata-rata dibagi dengan jumlah data.

• Variansi adalah nilai kuadrat simpangan baku, merupakan tingkat penyebaran data dari nilai rata-rata.

• Secara matematik untuk data distribusi tunggal:

• Simpangan baku :

• Variansi :

Simpangan Baku dan Variansi

n

XXs i

2)(

n

XXs i

2

2 )(

22

n

X

n

XsAtau (dari data asli):

Atau :

222

n

X

n

Xs

ContohNo Xi (Xi – Xr) (Xi – Xr)2

1 4 - 6.3 39.692 5 - 5.3 28.093 7 - 3.3 10.894 6 - 6.3 18.495 13 2.7 7.296 14 3.7 13.697 8 - 2.3 5.298 9 - 3.3 1.699 22 11.7 136.8910 15 4.7 22.09 103 284.10

3.1010

103XXr

n

XXs i

2)(

S = 5.330

S2 = 28.410

Data Dengan Distribusi Frekuensiberkelompok

22 ..

n

Xf

n

XfsSimpangan Baku :

222 ..

n

Xf

n

XfsVariansi :

No Xi fi fi(Xi) fi(Xi)2

1 4 1 4 162 5 3 15 753 7 5 35 2454 6 6 36 2165 13 8 104 13526 14 11 151 21567 8 14 112 8968 9 10 90 8109 22 8 176 387210 15 5 75 1125 103 71 801.00 10763.00

Contoh 1:

22 ..

n

Xf

n

Xfs

222 ..

n

Xf

n

Xfs

n = 71

S2 = 10763/71 – (801/71)2 = 24.315

S = (24.315)0.5 = 4.931

Contoh 2: Klas Interval Xi fi (Xi)2 fi.Xi fi(Xi)2

31 – 40 35.5 2 1260.25 71 2520.5

41 – 50 45.5 3 2070.25 136.5 6210.75

51 – 60 55.5 5 3080.25 277.5 15401.25

61 – 70 65.5 14 4290.25 917 60063.5

71 – 80 75.5 25 5700.25 1887.5 142506.25

81 – 90 85.5 18 7310.25 1539 131584.5

91 – 100 95.5 13 9120.25 1241.5 118563.25

Jumlah: 80 32831.75 6070 476850.0

61.20380

6070

80

476850.. 2222

n

Xf

n

Xfs ii

27.1461.203 s

variansi

Simpangan baku

Properties of Standard Deviation (Simpangan Baku)

• Standar Deviasi dpt didefinisikan: ; • Dimana a adalah nilai rata-rata selain rata-rata aritmatik.

Untuk semua standar deviasi, didapat bahwa standar deviasi minimum terjadi apabila : a =

• Untuk Distribusi Normal didapat bahwa:– 68.27% kasus berada antara :

– 95.45% kasus berada antara :

– 99.73% kasus berada antara :

N

aX

s

N

jj

1

2)(

X

)..()..( sXdansX

)2..()..2( sXdansX

)3..()..3( sXdansX

95.45%68.27%

Distribusi Normal

XsX sX XsX 2 sX 2

99.73%

sX 3 sX 3X

Koefisien Variansi (KV) dan Skor Baku

• Variasi atau dispersi aktual yg didapat dari standar deviasi disebut dispersi mutlak (absolute dispersion). Tetapi dispersi 1 meter dalam jarak 1000 m, sangat berlainan apabila dibandingkan dg dispersi 1 m dalam jarak 25 m.

• Untuk mengatasi masalah tsb, dpt diukur dg suatu koefisien Relatif Disversi yg didefinisikan sebagai Koefisien Variansi (KV) yaitu ratio antara standard deviasi dgn nilai rata-rata sbb:

• Sedangkan Skor Baku (Standard Scores) didefinisikan sebagai :

X

sKV

s

XXz

Disebut distribusi z

Contoh 1• Suatu pabrik Televisi memproduksi dua macam TV

tabung yaitu A dan B. TV A memiliki rata-rata lifetimes XA = 1495 jam dgn standar deviasi sA = 280 jam dan TV B adalah XB = 1875 jam dgn standar deviasi sB = 310 jam. Tentukan jenis mana yg lebih baik penyebarannya.

• TV A : KV = 280/1495 = 0.190• TV B : KV = 310/1875 = 0.165• Kesimpulan yg lebih baik adalah TV B

Contoh 2• Seorang mahasiswa pada UAS matematik dpt nilai 84,

dimana nilai rata-rata kelas 76 dan deviasi standar 10. Pada UAS fisika dia dapat nilai 90, dimana nilai rata-rata kelas 82, dan standar deviasi 16. Pada pelajaran apa dia dapat peringkat lebih baik.

• Jawab: – Skor Baku matematik:

– Skor Baku Fisika :

• Kesimpulan mahasiswa tsb untuk matematik memiliki peringkat lebih baik.

8.010

)7684()(

s

XXz

5.016

)8290()(

s

XXz

Kuliah 7

• Suatu penelitian yang akan mengkaji hubungan antara dua variabel atau lebih yang berasal dari satu sumber data, dapat dianalisis dengan analisa regresi.

• Misalkan penelitian mengenai hubungan antara penggunaan pupuk dan produktivitas dalam pertanian. Dalam penelitian diukur penggunaan pupuk (X) dan produktivitas (Y).

• Dari dua data X dan Y yang berpasangan tersebut kemudian dicari hubungannya dalam bentuk persamaan matematik.

Theori Korelasi

Hubungan Linear

X

Y

xx

xx x

xx

x

xx

xx

oo

o o

o oo

o

oo

o

o o

o oo

o

o

oo

o o

o oo

o

o

oo

o o

o oo

o

oo

o

o o

o oo

o

o

Linear positif

Linear negatif

Non-linear

Least Square Regression Lines

Y fungsi dari X: Y = a + bX

22

22

2

XXN

YXXYNb

XXN

XYXXYa

X fungsi dari Y:X = a + bY

22

22

2

YYN

YXXYNb

YYN

XYYYXa

Contoh:

Berat pupuk (X) 65 63 67 64 68 62 70 66 68 67 69 71

Berat Produk (Y) 68 66 68 65 69 66 68 65 71 67 68 70

a) Gambar secara grafis:

Y

X62 64 66 68 70 72

62

64

68

66

70

72

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

b) Cari persamaan Y fungsi dari X

c) Cari persamaan X fungsi dari Y

X Y X2 XY Y2

65 68 4225 4420 4624

63 66

67 68

64 65

68 69

62 66

70 68

66 65

68 71

67 67

69 68

71 70

x = 800 y = 811 53418 54107 54849

Y fungsi dari X: Y = a + bX

22

22

2

XXN

YXXYNb

XXN

XYXXYa

X fungsi dari Y:X = a + bY

22

22

2

YYN

YXXYNb

YYN

XYYYXa

X

Y