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7/29/2019 secciones cnicas Teora

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1. Determine el vrtice V, el foco F, la ecuacin de la directriz, el eje focal y dibujar lagrfica de la parbola cuya ecuacin es:

Solucin:

Se debe expresar la ecuacin en la forma:

(1)

As,

(Completacin de cuadrados)

(2) (Factorizando)

As que las coordenadasdel vrtice

son .Como p = 4 > 0 y lavariable lineal es y, sededuceentonces que la parbolase abre hacia arriba.El eje focal es la rectaparalela al eje yde

ecuaciny el foco se encuentralocalizado en el punto

,


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esto es,

fig. 6.5.6.

La directriz es la recta paralela al ejex, de ecuacin ; esto

es,

2. Una parbola con vrtice en O(2, 3). La parbola se abre hacia la derecha yadems 2p = 4, de donde p = 2. Hallar la ecuacin de la parbola, ecuacin de ladirectriz, coordenadas del foco y graficar.

Solucin:

= distancia del vrtice al foco.

Fig. 6.5.4.

De la ecuacin inicial, se obtiene:

Esta ltima ecuacin, representa una parbola cuyo vrtice es el punto V (2, 3),abierta hacia la derecha y cuya distancia del vrtice al foco y del vrtice a la directrizes 1.


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3. Determine el vrtice V y la ecuacin de la parbola que tiene como directriz la rectade ecuacinx= 2 y cuyo foco est localizado en el punto F(4, 2).

Solucin:

Como la directriz es la recta de ecuacinx= 2, paralela al eje y, se sigue que el ejefocal es paralelo al ejexy como el foco es el punto F(4, 2), entonces el eje focal tienecomo ecuacin y= 2.

El vrtice V de la parbola est sobre la recta y = 2 y localizado en el punto medioentre la directriz y el foco.

Como QF = p = 2, se sigue que QV = VF = 1, y por lo tanto las coordenadas delvrtice son V(3, 2).

fig. 6.5.5.Ahora, la ecuacin de la parbola viene dada por:

4. Dada la parbola que tiene por ecuacin

x2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuacin de la directriz, analizar lasimetra de la curva y trazar la grfica.

Solucin:

la ecuacin x2 = -6y tiene la forma de la ecuacin (4) del teorema 1. Entonces, 2p =-6, de dondep= -3 < 0.


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Comop < 0, la parbola se abre hacia

abajo.El foco se encuentra sobre el eje y enel punto F (0, -p/2).La ecuacin de la directriz es la

recta ,

es decir,

5. Halle la ecuacin de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntosF(3, 0) y F(-3, 0), adems el intercepto de la grfica con el eje x es el punto (5, 0).

Solucin:

Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se sigue que a = 5y como c = 3 (fig. 6.5.8) se

tiene que, y por tanto .

fig. 6.5.8.De esta forma, los vrtices de la elipse son los puntos V1(5, 0), V2(-5, 0), V3(0, 4) y

V4(0, -4). Adems, su ecuacin viene dada por :


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6. Trazar la elipse cuya ecuacin viene dada por:

25x2 + 4y2 = 100

Solucin:

La ecuacin: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:

x 2 + y 2= 1 (porqu?)

4 25

La ltima ecuacin corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5y

eje menor es a = 2. Adems, los focos de la elipse estn localizados sobre el eje y.

De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se

encuentran localizados en los puntos y .

Adems, los vrtices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).

La figura 6.5.9. recoge toda la informacin obtenida.

fig. 6.5.9.


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7. Determine el centro, los vrtices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuacin:

4x2 + y2 16x + 2y + 13 = 0

Solucin:

La ecuacin dada se puede escribir en las formas equivalentes:

(completacin de cuadrado)

(factorizacin y simplificacin)

(dividiendo por 4)

Esta ltima ecuacin corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje yy tiene por ecuacinx = 2 (ver fig.6.5.10.).

Los vrtices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1).

Como , se tiene que los focos estn localizados en los puntos

y .


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fig. 6.5.10.1. Los focos y los vrtices de una hiprbola son los puntos: F(5, 0), F(-5, 0), V1(4, 0) y

V2(-4, 0), respectivamente. Determine la ecuacin de la hiprbola. Dibujar su grfica eindicar las asntotas.

SOLUCIN

Como los focos estn sobre el ejex, la ecuacin de la hiprbola es de la

forma: .

fig. 6.5.13.

En este caso: a = 4; c = 5, de donde (Ver fig. 6.5.13.) En


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consecuencia, la ecuacin de la hiprbola es: .

Ahora,

Luego, las ecuaciones de las asntotas son las rectas: , y,

2. Dada la hiprbola cuya ecuacin viene dada por: . Determine:

coordenadas de los focos, de los vrtices, ecuaciones de las asntotas. Trazar la grfica.

SOLUCIN

La ecuacin: , puede escribirse en las formas equivalentes:

La ltima ecuacin corresponde a una hiprbola cuyo eje focal coincide con el eje y

(fig. 6.5.14.)


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fig. 6.5.14.

En este caso: . Luego, .

Con estos datos, se tiene: F(0, 4), F(0, -4), V1(0, 3) y V2(0, -3).

Adems de la ecuacin: , se deduce que las ecuaciones de las asntotas

son las rectas de ecuacin: e ...

3. Una hiprbola cuyo centro es el punto C(2, 3), tiene sus focos sobre la recta y = 3.Adems, la distancia entre los focos es 10 unidades y la distancia entre sus vrtices es 8unidades. Trazar la grfica y determine: coordenadas de los vrtices, focos y ecuaciones delas asntotas.

SOLUCINComo la distancia entre los vrtices es 8, se sigue que a = 4. Igualmente, como 2c = 10,se sigue que c = 5y por lo tanto b2 = c2 a2 = 9. Asi que b = 3 (fig. 6.5.15.).

fig. 6.5.15.

Ahora, puesto que los focos estn sobre la recta y = 3 (paralela al eje x), la ecuacin de lahiprbola pedida tiene la forma:

Las coordenadas de los focos son: y y = 3. Esto es: F(7, 3) y F(-3, 3).

Igualmente, las coordenadas de los vrtices son: y y = 3. Esto es, V1(6, 3) yV2(-2, 3).


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Adems, de la ecuacin: , se deduce

que: ; y

son las ecuaciones de las asntotas.

4. Dada la hiprbola, cuya ecuacin en su forma general es: 3y2 x2 + 4x 6y 13 = 0.Determine y grafique: centro, focos, vrtices y ecuaciones de las asntotas.

SOLUCINLa ecuacin general, puede escribirse en las formas equivalentes:

Esta ltima ecuacin corresponde a una hiprbola cuyo centro es el punto C(2, 1) y su ejefocal es una recta paralela al eje y que pasa por C(2, 1). En esta caso,x = 2 (fig. 6.5.16.)

fig. 6.5.16.

Adems, a2 = 4, b2 = 12. Con lo cual: .


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Las coordenadas de los focos son:x = 2 e . Esto es F(2, 5) y F(2, -3).

Igualmente, las coordenadas de los vrtices son:x = 2 e . Esto es V1(2, 3) y V2(2,-1).

Las ecuaciones de las asntotas son las rectas: , e, ...

1. Considere la ecuacin de segundo grado:3x2 2y2 6x 4y 5 = 0, identificar la curvaque representa y trazar su grfica con todos sus elementos.

SOLUCINComparando la ecuacin dada con la ecuacin (1) de la seccin 6.4. se observa queA = 3,B = -2, D = -6, E = -4 y F = -5.

ComoA.B = 3(-2) = -6 < 0, se deduce entonces que la ecuacin representa una hiprbola,

o como caso especial dos rectas secantes.

La ecuacin dada puede escribirse en las formas equivalentes:

La ltima ecuacin representa una hiprbola con centro en C(1, -1) y cuyo eje focal es larecta y = -1 (Ver fig. 6.5.19.)

fig. 6.5.19.


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Las coordenadas de los focos son: y = 1, . Esto es

y .

Las coordenadas de los vrtices son: y = 1, . Esto

es y .

Las ecuaciones de las asntotas son las rectas:

e .

2. Considere la ecuacin de segundo grado: x2 + y2 + 2x 2y + 2 = 0.Identificar la curva que representa y trazar su grfica con todos sus elementos.

SOLUCINComoA = B = 1 0, la ecuacin representa una circunferencia o uno de los casosespeciales.

La ecuacin dada puede escribirse en las formas equivalentes:

De la ltima ecuacin se ve claramente que el nico punto que la satisface es el puntoP(-1, 1). De aqu que la ecuacin original se reduce al punto P(-1, 1).

EJERCICIOS VARIOS

1. Encontrar la ecuacin de la parbola que satisface las condiciones dadas:

a. F(3, 0), V(2, 0)

b. F(0, 0), V(-1, 0)

c. F(2, 3), directriz: x = 6

d. V(-1, 4), eje focal vertical, y la parbola pasa por el punto (2, 2)

e. V(4, 4), eje focal horizontal, y la parbola pasa por el punto (2, 2)


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f. Eje focal vertical, y la parbola pasa por los puntos A(-8, 5), B(4, 8) y C(16, -7)

2. Cada una de las ecuaciones descritas a continuacin corresponden a parbolas. Localizarel vrtice, el foco, la ecuacin de la directriz, ecuacin del eje focal, y la ecuacin de la

tangente en el vrtice.

a. y2 + 4x 4y 20 = 0

b. y2 8x + 4y + 12 = 0

c. y2 + 4x + 4y = 0

d. 4y2 + 24x + 12y 39 = 0

e. 8y2 + 22x 24y 128 = 0

f. x2 6x 12y 15 = 0

g. x2 + 4x + 4y 4 = 0

h. x2 8x + 3y + 10 = 0

i. 6x2 8x + 6y + 1 = 0

j. 5x2 40x + 4y + 84 = 0

3. Demuestre que la ecuacin de la tangente a la parbola: x2 = 4cy en el punto (p, q) dela curva, viene dada por: px = 2c(y + q).

4.a. Demuestre que la ecuacin de la normal a la parbola: y2 = 4cxen el punto (p, q) de la

curva, viene dada por: .

b. Demuestre que la ecuacin de la normal a la parbola:x2 = 4cyen el punto (p, q) de la

curva, viene dada por: .

5.a. Demuestre que la perpendicular desde el foco a la tangente trazada por un punto

cualquiera de la parbola corta a esta en un punto localizado sobre el eje y.

b. Si Zdenota el punto de interseccin de la perpendicular desde el foco a la tangente,

demuestre que: , donde : es el radio vector asociado al punto P.


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6. Determine el punto mximo (mnimo) de las siguientes parbolas:

a. y = x2 2x 8

b. y = x2 6x + 9

c. y = 5 4x - x2

d. y = 9 x2

7. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan elipses, se pide dibujarlasdeterminando adems los vrtices y los focos:

a. 16x2 + 25y2 = 100

b. 9x2 + 4y2 = 36

c. 4x2 + y2 = 16

d. x2 + 9y2 = 18

e. 4y2 + x2 = 8

f. 4x2 + 9y2 = 36

8. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuacin de la elipse que satisface lascondiciones dadas. Trace su grfica.

Centro en (0, 0); foco en (3, 0); vrtice en (5, 0).

Centro en (0, 0); foco en (-1, 0); vrtice en (3, 0).

Centro en (0, 0); foco en (0, 1); vrtice en (0, -2).

Focos en ( 2, 0); longitud del eje mayor 6.

Focos en (0, 3); las intersecciones con el eje x son 2.

Centro en (0, 0), vrtice en (0, 4); b = 1.

Vrtices en ( 5, 0); c = 2.

Centro en (2, -2), vrtice en (7, -2); focos en (4, -2).

Focos en (5, 1) y (-1, 1); longitud del eje mayor es 8.

Centro en (1, 2); focos en (1, 4); pasa por el punto (2, 2).


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9. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos y los vrtices decada elipse. Trace la grfica correspondiente.

10. Demuestre que una ecuacin de la forma: Ax2 + Cy2 + F = 0 con A 0, C 0, F 0donde A y C son del mismo signo:

a. Es la ecuacin de una elipse con centro en (0, 0) si A C

b. Es la ecuacin de un crculo con centro en (0, 0) si A = C

14. Para cada una de las siguientes ecuaciones que representan hiprboles, se pidedibujarlas, determinando adems los vrtices, los focos y las ecuaciones de las asntotas.

a. 16x2 25y2 = 100

b. 9x2 4y2 = 36

c. 4x2 y2 = 16


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d. x2 9y2 = 18

e. 4y2 x2 = 8

f. 4y2 9x2 = 36

15. En los siguientes ejercicios encuentre la ecuacin de la hiprbola que satisface lascondiciones dadas. Trace su grfica y las asntotas.

Centro en (0, 0); vrtice en (3, 0); foco en (5, 0).

Centro en (0, 0); vrtice en (-1, 0); foco en (-3, 0).

Centro en (0, 0); vrtice en (0, -1); foco en (0, -3).

Centro en (0, 0); vrtice en (0, 3); foco en (0, 5).

V1(-3, 2), V2(-3, -2); 2b = 6.

F(-7, 3), F(-1, 3); 2a = 4.

V1(4, 0), V2(-4, 0); asntota la recta y = 2x.

16. En cada uno de los ejercicios siguientes encuentre el centro, los focos, los vrtices y lasecuaciones de las asntotas de cada hiprbola. Trace la grfica correspondiente.


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21. En cada uno de los ejercicios siguientes identificar la curva que representa cada una delas ecuaciones dadas. Trazar la grfica con todos sus elementos:

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g.

h.

i.

.

k.


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1.TALLERES SOBRE SECCIONES CNICAS

2. Taller sobre circunferencia1. Determina el radio de las siguientes circunferencias:a) x2 + y2= 16b) x2 + y2 = 12c) 9x2+ 9y2= 4d) 5x2 + 5y2 = 8

2. Escribe la ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el origen y cuyo radio mide:a) 6 cm.

b) 3.5cm.d) 10 cm.

3. Escribe la ecuacin de la circunferencia:a) de centro C(6, -4) y radio 5 unidadesb) de centro C(-1, -5) y radio 2/3

3. 4. Determina el centro y el radio de las siguientes circunferencias:a) (x - 5)2 + (y - 1)2 = 4b) (x + 2/5)2 + (y - 3/4)2= 3c) x2 + y2 - 2x + 16y -14 = 0d) 2x2 + 8x + 2y2 - 6y = 18.e) [5(x + 4)]2 + 25(y - 2)2 = 625

5. Escribe en forma cannica la ecuacin de la circunferenciax2 + y2 + 4x -10y + 11 = 0

6. Grafica las circunferencias que tienen las ecuaciones:a) x2 + y2 = 4.b) (x - 5)2 + (y - 1)2 = 4

4. 7. Encuentra la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntosa) (3,0); (-1,6); (-2,-4).b) (1,-4); (4,5); (3,-2).8. Determina la ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos (-2,4) y (3,6), y cuyo centro est sobrela recta de ecuacin 2x + y = 3.9. Determina los puntos de interseccin de las circunferenciasX2 + y2 = 25 y

X2 + y2+x + y - 20 = 0.

5. 10. Determina en qu puntos son secantes las circunferencias(x - 3)2 + (y - 2)2 = 16 y(x - 7)2 + (y - 2)2 = 16

11. Encuentra la ecuacin de la recta que pasa por los puntos de interseccin de las circunferenciasX2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0 yX2 + y2 + 4x = 0


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12. Calcula la distancia entre los centros de las circunferenciasX2 + y2 - 6x -2y - 6 = 0 yX2 + y2 - 12x + 4y + 31 = 0

13. La ecuacin de una circunferencia es x2 + y2 = 50. El punto medio de una cuerda de esta circunferenciaes el punto (-2, 4). Hallar la ecuacin de la cuerda.

6. 14.Dar la ecuacin general de las circunferencias7. Taller sobre parbola

Usando la definicin, hallar la ecuacin de la parbola que tiene su foco en F(2,0) y su direccin DD es larecta de ecuacin x = -2 trazar la grfica.2. Dada la parbola que tiene por ecuacin x2 = -6y, encontrar las coordenadas del foco, la ecuacin de ladirectriz, analizar la simetra de la curva y trazar la grfica.

3. Determine el vrtice V y la ecuacin de la parbola que tiene como directriz la recta de ecuacin x = 2 ycuyo foco est localizado en el punto F(4, 2) y trazar la grfica.

8.4. Determine el vrtice V, el foco F, la ecuacin de la directriz, el eje focal y dibujar la grfica de la parbolacuya ecuacin es:

6y2 + 16x - 8y + 14 = 0

5. Determinar los elementos de la parbola y dibujar la grfica:X2 - 6x - 6y + 39 = 0

9. 6. Dar la ecuacin general de las parbolas10. Taller sobre elipse

1. Determinar los elementos de las elipses escribir las ecuaciones cannicas y dibujarlas 8x2 + 3y2 = 12 3x2 + 2y2 = 48 2y2 + 11x2 + 36y + 44x + 184 = 0. 30y2+ 32x2 - 120y - 64x - 808 = 02. Hallar la ecuacin general de las elipses que cumplan las condiciones dadas y dibujarlas. Centro en (0,0), foco (-3,0), vrtice (5,0) Vrtices en (4,3) y (4,9) foco en el punto (4,8). Focos en (5,1) y (-1,1). Longitud del eje mayor 8.

Centro en (-3,1), foco en (-3,0). Vrtice en (-3,3). Centro en (-2,9), focos en (-4,9) (0,9). Longitud del eje menor 4.

11. 3. Dar la ecuacin general de las elipses12. Taller de hiprbola

1. Dar las ecuaciones generales y graficar las hiprbolas que cumplen las condiciones dadas: Centro en (4,-1), foco (7,-1), vrtice (6,-1) Foco (-1,0), vrtices (-4,4) y (-4,2). Focos (3,7) y (7,7), vrtice (6,7) Foco (-1,0), vrtices (-4,4) y (-4,2).

13. 2. Encontrar los elementos y graficar las hiprbolas que tienen las siguientes ecuaciones: 9x2- 16y2 = 144 25y2 - 10x2 = 250 (x+1)2- (y+2)2= 4 4x2 - 25y2 - 8x - 100y - 196 = 0 x2 - 4y2 + 6x + 24y - 40 = 0

14. 3. Dar la ecuacin general de las hiprbolas15. Taller sobre todas las secciones cnicas

1. Hallar la ecuacin de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3.

2. Hallar el centro y el radio de la circunferencia cuya ecuacin esX2+ y2 - 4x + 6y + 3=0

3. Reducir la ecuacin 4x2 + 9y2 - 8x + 18y - 23 = 0. Si se trata de una elipse, hallar su centro, sus focos y susvrtices.


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4. Hallar los elementos de la elipse25x2 + 16y2- 50x + 64y - 311 = 0

16. 5. Hallar la ecuacin reducida de la hiprbola4x2 - 9y2 - 8x + 36y + 4 = 0. Hallar su centro, sus vrtices, sus focos y sus asntotas.6.Reducir la ecuacin 4x2 + 9y2 - 8x + 18y - 23 = 0. Si se trata de una elipse, hallar su centro, sus focos y susvrtices.

7. Hallar los elementos de la elipse25x2 + 16y2- 50x + 64y - 311 = 0

8. Hallar la ecuacin reducida de la hiprbola4x2 - 9y2 - 8x + 36y + 4 = 0. Hallar su centro, sus vrtices, sus focos y sus asntotas.

17. 9. Hallar la ecuacin reducida de la parbola2x2 + 8x + 3y - 5 = 0.10.Hallar su vrtice, su foco y su directriz.X2+6x-2y-1=0(x+3)=(y+2)28(y+1)=(x-1)211. Hallar los puntos de interseccin de la recta x + y + 1 = 0 y la elipse2x2 + 3y2 - 4x + 6y - 9 = 0.

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