skrypt z algebry liniowej

7/24/2019 skrypt z algebry liniowej

1/243

Uniwersytet WrocawskiWydzia Matematyki i Informatyki

Instytut Matematyczny

specjalno: matematyka nauczycielska

Barbara Szczepaska

Skrypt z Algebry Liniowej 2

Praca magisterskanapisana pod kierunkiem

dr. hab. prof. Jacka witkowskiego

Wrocaw 2007


2/243

Podzikowania

Dzikuj Panu Profesorowi Jackowi witkowskiemu, mojemu pro-motorowi, za powicony mi czas, oraz liczne rady i wskazwki, ktrepomogy mi w napisaniu tej pracy.

2


3/243

Wstp

Skrypt ten powsta na podstawie notatek do wykadu Algbra liniowa 2prowa-dzonego przez prof. dr. hab. Jacka witkowskiego. Przeznaczony jest dla studentwpierwszego roku matematyki, w szczeglnoci dla suchaczy kursu z algebry liniowej2 w atwiejszym nurcie A.

Zaoeniem skryptu bya pomoc suchaczom w lepszym zrozumieniu treci oma-

wianych w trakcie wykadu, dlatego zosta on napisany prostym jzykiem i wzboga-cony o liczne rysunki i przykady.

Treci omawiane w trakcie wykadu, a tym samym zawarte w niniejszej pracy,obejmuj zakres klasycznej algebry liniowej poczonej z geometri analityczn, dlaprzestrzeni R3, Rn oraz dowolnych przestrzeni wektorowych. Skrypt ten w wielumiejscach bdzie zawiera odwoania do analogicznych poj omawianych w trakciewykadu Algebra liniowa 1i zawartych w pierwszej czci skryptu napisanej przezPatrycj Piechaczek, dlatego wskazane jest, aby czytelnik chccy zapozna si zniniejsz prac opanowa najpierw materia omawiany w pierwszej czci.

Pierwsze cztery rozdziay powicone zostay na omwienie podstawowych po-

j uywanych przy badaniu przestrzeniR3

, przy czym szczeglny nacisk pooonona geometryczn interpretacj tych poj, a dopiero w oparciu o nie wprowadzasi teori z algebry liniowej. Nastpnie (rozdziay 5 - 11) omwiono przeksztaceniaprzestrzeniR3, szczeglny nacisk pooono na poznanie teorii dotyczcych przeksz-tace liniowych, poczynajc od geometrycznych przykadw takich przeksztace,poprzez omwienie najwaniejszych wasnoci, a koczc na wprowadzeniu pewnychklas przeksztace liniowych. W odniesieniu do nich wprowadza si rwnie poj-cie wartoci i wektorw wasnych oraz macierzy przeksztacenia. Kolejne rozdziay(12-13) dotycz pewnych rodzajw macierzy rozmiaru 3 3, wraz z odniesieniemdo przeksztace zadanych tymi macierzami. W dalszej czci (rozdzia 14) wpro-

wadzono nowe ukady wsprzdnych, zarwno na paszczynie jak i w przestrzeni,ktre bd wykorzystywane do badania powierzchni stopnia drugiego, omawianych wrozdziale 15. W skrypcie do duo uwagi powica si rnym metodom rozwizy-wania ukadw rwna liniowych z wieloma niewiadomymi (rozdziay 16,18,21).Dalsza cz zawiera teori dotyczc przestrzeni wyszych wymiarw, przy czymzrezygnowano tu z odwoywania si do intuicji geometrycznych. Pozostawiono je-dynie analogie do przestrzeni R2 i R3. Nastpnie (rozdzia 18) wprowadzono teoridotyczc macierzy dowolnego rozmiaru. Omwiono tam dziaania na macierzach,jak rwnie ich zastosowanie. Na koniec (rozdzia 24) podano przykady poj wys-tpujcych w przestrzeniach Rn oraz w dowolnych przestrzeniach wektorowych, ktremoemy rozpatrywa jako uoglnenia poj pojawiajcych si w R3 iRn.

Mam nadziej, e skrypt ten przyczyni si do lepszego zrozumienia treci oma-

3


4/243

4

wianych w ramach wykadu. ycz Czytelnikowi czerpania jak najwikszej przyjem-noci z odkrywania algebry liniowej.

Barbara Szczepaska


5/243

Spis treci

1 Punkty i wektory wR3 91.1 Wsprzdne punktw w R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.2 Odlego punktw w R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Wektory w R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.4 Dziaania na wektorach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.5 Rozkad wektora wzgldem ustalonych trzech wektorw. . . . . . . . 161.6 Przedstawienie wektora w postaci kombinacji liniowej trzech wektorw. 171.7 Rwnanie parametryczne prostej w przestrzeni. . . . . . . . . . . . . 181.8 Rwnanie parametryczne paszczyzny w przestrzeni. . . . . . . . . . . 191.9 Liniowa zaleno i niezaleno wektorw w przestrzeni. . . . . . . . 19

2 Iloczyn skalarny wR3 232.1 Definicja i podstawowe wasnoci iloczynu skalarnego. . . . . . . . . . 232.2 Kt midzy wektorami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.3 Rzut prostoktny wektoraXna prost wzdu wektora Y. . . . . . . 262.4 Rwnanie oglne paszczyzny przechodzcej przez pocztek ukaduwsprzdnych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.5 Rwnanie oglne paszczyzny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Kt pomidzy paszczyznami w R3 zadanymi rwnaniami oglnymi. . 292.7 Kt pomidzy paszczyzn i prost wR3. . . . . . . . . . . . . . . . . 312.8 Pole rwnolegoboku zbudowanego na wektorach U, W w R3. . . . . . 32

3 Iloczyn wektorowy 343.1 Definicja iloczynu wektorowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Wasnoci iloczynu wektorowego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Geometryczna interpretacja iloczynu wektorowego. . . . . . . . . . . 37

4 Wyznacznik macierzy3 3 414.1 Podstawowe definicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2 Wasnoci wyznacznika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.3 Zastosowania wyznacznika 3 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.4 Zastosowanie wyznacznika do rozwizywania ukadu 3 rwna linio-

wych z 3 niewiadomymi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Przeksztacenia liniowe przestrzeni 53

5.1 Podstawowe definicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2 Rzut prostopady na prost wzdu wektoraU.. . . . . . . . . . . . . 55

5


6/243

Spis treci 6

5.3 Symetria wzgldem paszczyzny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.4 Jednokadno Jk o skali kwzgldem (0, 0, 0). . . . . . . . . . . . . . 595.5 Rzuty i symetrie zwizane z osiami i paszczyznami wsprzdnych. . 605.6 Obroty wok osi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.7 Przeksztacenie tosamociowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.8 Przeksztacenie zerowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6 Wasnoci przeksztace liniowych i ich macierzy 646.1 Charakteryzacja przeksztace liniowych. . . . . . . . . . . . . . . . . 646.2 Dziaanie macierzy na wektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.3 Skadanie przeksztace liniowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676.4 Mnoenie macierzy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7 Przeksztacenia odwrotne 71

7.1 Podstawowe definicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717.2 Wyznaczanie przeksztacenia odwrotnego. . . . . . . . . . . . . . . . 727.3 Odwracalno przeksztace liniowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.4 Macierz przeksztacenia odwrotnego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

8 Przeksztacenia liniowe a objto i orientacja 808.1 Orientacja w przestrzeni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 808.2 Rwnolegocian i jego obraz przez przeksztacenie. . . . . . . . . . . 81

9 Przeksztacenia afiniczne 849.1 Podstawowe definicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

9.2 Wasnoci przeksztace afinicznych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

10 Wartoci i wektory wasne 8810.1 Wartoci i wektory wasne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8810.2 Szukanie wartoci wasnych przeksztacenia liniowego. . . . . . . . . . 8910.3 Rwnanie charakterystyczne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9010.4 Liczba rozwiza rwnania charakterystycznego. . . . . . . . . . . . . 9110.5 Przestrzenie wasne dla wartoci wasnych. . . . . . . . . . . . . . . . 92

11 Izometrie liniowe i przeksztacenia ortogonalne w R3 9411.1 Podstawowe definicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9411.2 Przeksztacenia ortogonalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9511.3 Opis izometrii liniowych w R3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

12 Macierz ortogonalna i macierz transponowana 10112.1 Macierz ortogonalna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10112.2 Macierz transponowana. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10212.3 Wasnoci operacji transponowania macierzy. . . . . . . . . . . . . . . 104

13 Macierz symetryczna 10613.1 Podstawowe definicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

13.2 Wartoci i wektory wasne przeksztace zadanych macierzami syme-trycznymi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107


7/243

Spis treci 7

13.3 Diagonalizacja macierzy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

14 Nowe ukady wsprzdnych 11114.1 Ukad ukonoktny na paszczynie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

14.2 Ukad ukonoktny w przestrzeni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11214.3 Macierz przejcia do nowego ukadu wsprzdnych. . . . . . . . . . . 11314.4 Wsprzdne wektorw w nowych ukadach. . . . . . . . . . . . . . . 11414.5 Macierze przeksztace w nowych ukadach wsprzdnych. . . . . . . 116

15 Formy kwadratowe i powierzchnie stopnia drugiego 11915.1 Podstawowe definicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11915.2 Formy kwadratowe w nowych ukadach wsprzdnych. . . . . . . . . 12115.3 Kwadryki form kwadratowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12315.4 Kwadryki w nowych ukadach wsprzdnych. . . . . . . . . . . . . . 129

15.5 Inne powierzchnie stopnia drugiego. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13215.6 Rozpoznawanie krzywych stopnia dwa. . . . . . . . . . . . . . . . . . 13515.7 Formy kwadratowe oraz macierze dodatnio okrelone. . . . . . . . . . 13815.8 Wasnoci form i macierzy dodatnio okrelonych. . . . . . . . . . . . 139

16 Ukady rwna liniowych z wieloma niewiadomymi 14316.1 Metoda eliminacji Gaussa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14316.2 Metoda modyfikacji macierzy reprezentujcych ukad rwna. . . . . 14416.3 Wieloparametrowe rodziny rozwiza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14616.4 Ukad sprzeczny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14816.5 Ukad zaleny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

16.6 Operacje przeksztacajce dany ukad na rwnowany. . . . . . . . . 15016.7 Zastosowanie metody eliminacji w geometrii. . . . . . . . . . . . . . . 150

17 PrzestrzenieRn 15317.1 Podstawowe definicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15317.2 Dziaania na wektorach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15417.3 Liniowa niezaleno wektorw. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15617.4 Definicja i podstawowe wasnoci iloczynu skalarnego w Rn. . . . . . 16017.5 Rozkad wektora na skadowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16217.6 Kt midzy wektorami. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

17.7 Nierwno trjkta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16518 Macierze 167

18.1 Podstawowe definicje i oznaczenia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16718.2 Macierze kwadratowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16818.3 Wyznacznik macierzy kwadratowej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16918.4 Wyznacznik macierzy grnotrjktnej i dolnotrjktnej. . . . . . . . . 17318.5 Wasnoci wyznacznika. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17418.6 Praktyczne sposoby obliczania wyznacznika. . . . . . . . . . . . . . . 17618.7 Cramerowski ukad rwna liniowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17818.8 Wyznacznik a liniowa niezaleno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

18.9 Dziaania na macierzach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180


8/243

Spis treci 8

18.10Macierz odwrotna. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

19 Abstrakcyjne przestrzenie wektorowe 18419.1 Okrelenie przestrzeni wektorowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

19.2 Podprzestrzenie wektorowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18719.3 Podprzestrzenie generowane przez ukad wektorw. . . . . . . . . . . 18819.4 Abstrakcyjna liniowa niezaleno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

20 Baza i wymiar przestrzeni wektorowej 19320.1 Baza przestrzeni wektorowej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19320.2 Wsprzdne wektorw w ustalonej bazie. . . . . . . . . . . . . . . . 19420.3 Znajdowanie bazy przestrzeni wektorowej. . . . . . . . . . . . . . . . 19520.4 Wymiar przestrzeni wektorowej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

21 Teoria minorw 20021.1 Wyznacznik a liniowa niezaleno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20021.2 Wymiar podprzestrzeni generowanej przez ukad wektorw. . . . . . . 20221.3 Rzd macierzy - minory. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20221.4 Rozwizywanie ukadu rwna metod minorw. . . . . . . . . . . . 204

22 Przeksztacenia liniowe dowolnych przestrzeni wektorowych 21122.1 Definicje i oznaczenia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21122.2 Wasnoci przeksztace liniowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

23 Iloczyn skalarny i przestrzenie euklidesowe 220

23.1 Podstawowe definicje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22023.2 Ukady ortogonalne i ortonormalne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22623.3 Wsprzdne wektora oraz iloczyn skalarny w bazie ortonormalnej. . . 22823.4 Rzut ortogonalny na podprzestrze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22923.5 Dopenienie ortogonalne podprzestrzeni. . . . . . . . . . . . . . . . . 23223.6 Izomorfizm przestrzeni euklidesowych. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23423.7 Przeksztacenia ortogonalne w przestrzeniach En. . . . . . . . . . . . 234

24 Lista uoglnie 23724.1 Macierz przejcia do nowej bazy. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23724.2 Wsprzdne wektora w nowej bazie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23824.3 Macierz przeksztacenia w nowej bazie. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23824.4 Odwracalno przeksztace T :V V. . . . . . . . . . . . . . . . . 23824.5 Macierz zoenia przeksztace liniowych. . . . . . . . . . . . . . . . . 23824.6 Wartoci wasne i wielomian charakterystyczny. . . . . . . . . . . . . 23924.7 Izometrie i macierze ortogonalne w Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23924.8 Diagonalizacja macierzy symetrycznych. . . . . . . . . . . . . . . . . 24024.9 Formy kwadratowe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24024.10Macierz formy kwadratowej w nowej bazie i diagonalizacja formy

kwadratowej. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24124.11Dodatnia okrelono form kwadratowych i macierzy. . . . . . . . . . 241


9/243

Rozdzia 1

Punkty i wektory w R3

W rozdziale tym zajmowa bdziemy si podstawowymi wasnociami prze-

strzeniR3

, w ktrej wprowadzony zosta ukad wsprzdnych. Zdefiniujemy pojcia,ktre bdziemy wykorzystywa w dalszych badaniach tej przestrzeni. Nauczymy siwykonywa podstawowe dziaania na wektorach z R3, okrelimy rwnie wasnocitych dziaa.

1.1 Wsprzdne punktw w R3. Ukad wsprzdnych Oxyz w przestrzeni

Przypomnijmy, e ukad wsprzdnych w R3 skada si z trzech wzajemnieprostopadych osi liczbowych o wsplnym pocztku w punkcie O, zwanym poczt-kiem ukadu wsprzdnych. Wsprzdne na osiach okrela bdziemy zgodnie zeskal jednostkow. Osie te oznaczamy odpowiednioOx, Oy, Oz.Tradycyjnie przyjosi oznacza pionow o ukadu wsprzdnych przez Oz, natomiast poziome przezOxi Oy, tak jak to pokazuje poniszy rysunek.

Czsto, na rysunkach, zamiast pisaOx, Oy, Ozbdziemy opisywa osie przezx, y,z.Ukad utworzony przez te osie nazywamy ukademOxyz ,natomiast paszczyzny,

oznaczaneOxy, Oxz, Oyz ,z ktrych kada zawiera dwie osie ukadu, nazywamy pa-szczyznami wsprzdnych ukadu.

Okrelenie wsprzdnych punktw

Niech Ax, Ay, Az bd rzutami prostoktnymi punktu A na osie Ox, Oy, Ozodpowiednio.WsprzdnymixA, yA, zApunktu A nazywamy wsprzdne rzutw

9


10/243

Rozdzia 1. Punkty i wektory w R3 10

Ax, Ay, Az na poszczeglnych osiach. Wsprzdne punktu A bdziemy zapisywajako (xA, yA, zA).

Rozwamy inny, bardziej pogldowy, sposb okrelenia wsprzdnych punktuA. Niech Abdzie rzutem prostoktnym punktu Ana paszczyzn Oxy.

Wsprzdne punktu A w ukadzie Oxy to (xA, yA). Okrelmy zA jako odlegopunktu Aod swojego rzutu A, gdy A ley powyej paszczyzny Oxy, lub zA to ta

odlego ze znakiem minus, gdy A ley poniej paszczyzny Oxy. Wsprzdnymipunktu Abdziemy wtedy nazywa trjk liczb (xA, yA, zA).

Rwnowano okrele wsprzdnych punktw

Uzasadnijmy teraz, e te dwa sposoby okrelenia wsprzdnych s rzeczywicierwnowane. Wemy dowolny punktA. Poprowadmy przez ten punkt paszczyznyprostopade do osi ukadu. Nazwijmy te paszczyzny Axy, Ayz , Axz. Zauwamy, epunkty przecicia tych paszczyzn z osiami ukadu bd rzutami A na poszczeglneosie. Paszczyzny Oxy, Oyz , Oxz, Axy, Ayz , Axz ograniczaj pewien prostopadocian,ktrego wierzchokami s Ax, Ay, Az, O, A , A.


11/243


Zauwamy, e punkt A jest rzutem punktu A na paszczyzn Oxy. Wsprzdnetego punktu na paszczynie Oxy wyznaczone s przez rzuty punktu A na osieOx, Oy. Nietrudno przekona si, e s to odpowiednio punkty Axoraz Ay. Wystarczyteraz pokaza, e trzecia wsprzdna rwnie jest wyznaczona jednoznacznie. Zrwnolegoci paszczyzn Oxy oraz Axy wynika, e odlego A od Oxy jest rwnaodlegociAzodOxy, czyli wsprzdnejAz. Uzasadnilimy zatem, e przedstawionepowyej dwa sposoby okrelania wsprzdnych s rwnowane.Przyjmijmy, e zapis A(x,y,z) oznacza bdzie punkt Ao wsprzdnych (x,y,z).

Uwaga 1.1.1 (jednoznaczno wyznaczenia punktu przez wsprzdne).Dla kadej trjki liczb rzeczywistych(x,y,z)istnieje dokadnie jeden punktAo takichwsprzdnych.

Jako uzasadnienie powyszej uwagi sprbujmy, dla wsprzdnych (x,y,z),znale odpowiadajcy im punkt. Dwie pierwsze wsprzdne okrelaj pooeniepunktu na paszczynieOxy. Jak wiemy wsprzdne punktu na paszczynie s wyz-naczone jednoznacznie, istnieje wic dokadnie jeden punkt A, ktry na paszczynieOxyma wsprzdne (x, y).Trzecia wsprzdna okrela odlego szukanego punktuod swojego rzutu na paszczyzn Oxy. Jeelizjest liczb dodatni to szukany punktAbdzie znajdowa si nad paszczyznOxy, jeeli natomiast jest liczb ujemn, topod. Zauwamy, e po ustalonej stronie paszczyzny, istnieje dokadnie jeden punktznajdujcy si w odlegoci |z| odAtaki, eAjest jego rzutem na paszczyznOxy.PunktAjest zatem jednoznacznie wyznaczony przez swoje wsprzdne.

1.2 Odlego punktw w R3

.Aby obliczy odlego punktu A o wsprzdnych (x,y,z) od punktu B o wsp-

rzdnych (x, y, z) rozwamy rzuty tych punktw na paszczyzn Oxy.

Na tej paszczynie punkty A i B maj wsprzdne A = (x, y), B = (x, y).Zatem ich odlego wynosi

|AB| =

(x x)2 + (y y)2.

Figura ABCA jest prostoktem, wic|AC| =|AB|. Ponadto|BC| =|z z|.Stosujc twierdzenie Pitagorasa dla trjkta ABC, otrzymujemy


12/243


|AB|2 = |AC|2 + |CB|2 =

(x x)2 + (y y)22

+ (z z)2.Std

|AB

|2 = (x

x)2 + (y

y)2 + (z

z)2.

Odlego tych punktw wyraa si zatem wzorem

(1.1) |AB| =

(x x)2 + (y y)2 + (z z)2.

1.3 Wektory w R3.

Podobnie jak w przypadku paszczyzny punkt X(x1, x2, x3) bdziemy utosa-mia z jegowektorem wodzcym, czyli wektorem o pocztku w pocztku ukaduwsprzdnych i kocu w punkcie X. Wektory takie oznacza bdziemy

X lub X.

Wsprzdne wektora

Rozwaa bdziemy rwnie wektory zaczepione w punkcie nie bdcym po-

cztkiem ukadu wsprzdnych. NiechA= (a1, a2, a3), B= (b1, b2, b3),

gdzie Ajest pocztkiem wektora, a B jego kocem. Za wsprzdne wektoraAB

przyjmuje si

(1.2)

AB= [b1 a1, b2 a2, b3 a3].Przykad. Wektor o pocztku w punkcie A= (2, 1, 3) i kocu w punkcie B =(2, 6, 8) ma wsprzdne

AB= [2 2, 6 1, 8 (3)] = [4, 5, 11].Obserwacja 1.3.1. Zauwamy, e jeli pocztek wektora, punkt A, pokrywa siz pocztkiem ukadu, czyli A = (0, 0, 0), a koniec wektora ma wsprzdne B =(b1, b2, b3), to wsprzdne wektora

AB pokrywaj si ze wsprzdnymi punktu B.

Tak wic wektory wodzce punktw maj takie same wsprzdne jak te punkty.

Uwaga 1.3.2 (kolumnowy zapis wsprzdnych). Wsprzdne wektora b-dziemy czsto oznacza

X=

x1x2

x3

.

Oznaczenie takie nazywane jest kolumnowym zapisem wsprzdnych.


13/243


Definicja 1.3.3(rwno wektorw). Wektory U i Vnazywamy rwnymi, jelimaj jednakowe dugoci, kierunki i zwroty.

Zauwamy, e wektory rwne wektorowiV to wszystkie wektory uzyskane przez

przesunicie wektoraV do innych punktw zaczepienia. Rwno wektorw moemyrwnie rozpoznawa przy uyciu ich wsprzdnych, o czym mowa jest w nastpu-jcym twierdzeniu:

Twierdzenie 1.3.4(wsprzdne a rwno wektorw).Wektory w przestrzenis rwne wtedy i tylko wtedy gdy maj rwne wsprzdne.

Dowd twierdzenia pomijamy.

Przykad. Rozwamy dwa wektoryAB oraz

CD, gdzie:

A= (1, 1, 1), B= (3, 2, 5), C= (5, 1, 7), D= (7, 4, 11).Wsprzdne tych wektorw to

AB=

23

4

, CD=

23

4

.

Zatem, jak wynika z powyszgo twierdzenia wektoryAB i

CDs rwne.

Zauwamy, e kady wektor zaczepiony jest rwny wektorowi wodzcemu, ma-jcemu takie same wsprzdne.

1.4 Dziaania na wektorach.

Poniej w czysto algebraiczny sposb zdefiniujemy podstawowe dziaania nawektorach.

Dodawanie wektorw

Niech dane bd wektory

X= x1x2

x3

, Y = y1y2y3

.

Ich sum bdziemy nazywa wektor

(1.3) X+ Y =

x1+ y1x2+ y2

x3+ y3

.

Aby przekona si o zgodnoci powyszego okrelenia z tradycyjn geometry-

czn definicj dodawania wektorw, rozwamy w przestrzeni dwa wektory X i Y owsplnym pocztku w punkcie (0, 0, 0).


14/243


Geometrycznie sum dwch wektorw okrela si jako przektn rwnolegobokuzbudowanego na tych wektorach. Przeniemy zatem rwnolegle wektor Y tak, abyjego pocztek znalaz si w punkcie (x1, x2, x3).Nietrudno przekona si, e koniectak przesunitego wektora wypada w punkcie (x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3). Wektor

wodzcy o kocu w tym punkcie, czyli o wsprzdnych x1+ y1

x2+ y2x3+ y3

, jest sum

wektorwX i Y.

Mnoenie wektora przez skalar

Niech dany bdzie wektor X=

x1x2

x3

oraz liczba rzeczywista k. Iloczynem liczby

ki wektora Xnazywamy wektor

(1.4) k X= k x1k x2

k x3

.

Pokaemy teraz zgodno powyszego okrelenia z geometryczn definicj mnoe-nia wektora przez liczb. Ograniczymy si do przypadku gdy k >0. Iloczyn danegowektora przez k to wektor o tym samym kierunku i zwrocie, ale k razy duszy.Niech dany bdzie wektor Y, bdcy iloczynem wektora Xoraz liczby k .

Nietrudno uzasadni, np. stosujc tw. Talesa, e jeeli rzutem wektora Xna pa-szczyznOxyjest wektorX, to rzutem wektoraYjest wektorY, ktry ma ten samkierunek i zwrot co wektor X, ale jest od niego k razy duszy, tak jak to zostaoprzedstawione na rysunku powyej. Z okrelenia mnoenia wektora przez liczb na


15/243


paszczynie otrzymujemy wic, e y1 = kx1 oraz y2 = kx2. Podobnie z wasnocirzutu na o Oz otrzymujemyy3= kx3. Tak wic mamy

Y =k X= k

x1

k x2k x3

.W przypadku gdy k


16/243


Wtedy ich rnic bdziemy nazywa wektor

(1.5) X

Y =X+ (

Y) = x1 y1x2

y2

x3 y3 .

Dugo wektora

Przypomnijmy, e dugo wektoraABto z definicji dugo odcinkaAB. Z rwnania

(1.1) dla punktw

A=

a1a2

a3

, B=

b1b2

b3

mamy wic

(1.6) |AB| =

(b1 a1)2 + (b2 a2)2 + (b3 a3)2.

1.5 Rozkad wektora wzgldem ustalonych trzechwektorw.

Definicja 1.5.1(niewsppaszczyznowo wektorw). WektoryX, Y , ZwR3

nazywamy niewsppaszczyznowymi, jeli nie istnieje paszczyzna, w ktrej wszys-tkie s zawarte.

Definicja 1.5.2 (rozkad wektora). Rozkadem dowolnego wektora V wzgldemustalonych trzech wektorw niewsppaszczyznowych X,Y,Z, nazywamy przed-stawienie wektora Vw postaci

V =VX+ VY+ VZ,

gdzieVX||X, VY||Y, VZ||Z.Fakt 1.5.3 (istnienie rozkadu). Niech X, Y , Zbd niewsppaszczyznowymiwektorami wR3.Wwczas kady wektorV posiada rozkad wzgldemX,Y,Z.

Dowd. Niech PXYbdzie paszczyzn zawierajc wektory X iY.

Rzutem wektoraVna paszczyznPXYw kierunku wektoraZjest wektorU. Otrzy-mujemy zatem

V =U+ VZ,


17/243


gdzie VZ||Z. Wektor U zawiera si w paszczynie PXY, wic moemy go na tejpaszczynie rozoy wzgldem X i Y. Otrzymujemy

U=VX+ VY,

gdzieVX||X, VY||Y.Ostatecznie

V =U+ VZ=VX+ VY+ VZ.

1.6 Przedstawienie wektora w postaci kombinacjiliniowej trzech wektorw.

Definicja 1.6.1(kombinacja liniowa wektorw).Kombinacj liniow wektorwX, Y , Znazywamy wektor postaci

s X+ t Y+ r Z,

gdzies, t, rs liczbami rzeczywistymi, nazywanymi wspczynnikami kombinacji.

Jeeli wektorV daje si przedstawi w postaci kombinacji liniowej wektorwX, Y,Z,czyliV = s X+ t Y +r Z, dla pewnych s,t,r,to mwimy wtedy, e wektor Vrozkada si w kombinacj liniow tych wektorw.

Przykad. WektorV = 712

6

jest kombinacj liniow wektorw X= 20

3

,

Y =

12

5

, Z=

14

0

,poniewa

V = 2 X+ 0 Y+ (3) Z.Wyznaczanie rozkadu wektorw w kombinacj liniow

Dla V = v1v2

v3

, X= x1x2

x3

, Y = y1y2

y3

, Z= z1z2

z3

podan w definicjirwno V =s X+ t Y+ r Zmoemy zapisa jako

v1= s x1+ t y1+ r z1v2= s x2+ t y2+ r z2v2= s x3+ t y3+ r z3

Szukanie rozkadu danego wektora w kombinacj liniow zadanych wektorw sprowadzasi zatem do rozwizania pewnego ukadu rwna liniowych.


18/243


Przykad. Rozwamy wektory

V =

63

5

, X=

11

1

, Y =

21

2

, Z=

22

4

.

Szukanie rozkadu wektora Vw kombinacj liniow wektorw X,Y,Z,czyli znale-zienie takich x, y,z,aby

x 11

1

+ y

21

2

+ z

22

4

=

63

5

,

sprowadza si do rozwizania ukadu rwna

x+ 2 y+ 2 z= 6x+ y 2 z= 3x 2 y+ 4 z= 5

Rozwizaniem tego ukadu s

x= 1, y= 3, z= 12

.

Znalelimy zatem rozkad wektoraVw kombinacj liniow wektorw X, Y,Z.Wy-glda on nastpujco

V = (1) X+ 3 Y+12 Z.

1.7 Rwnanie parametryczne prostej w przestrzeni.Na pocztek zajmijmy si przypadkiem, gdy dana prosta L przechodzi przez

pocztek ukadu wsprzdnych. Wemy dowolny wektor U zawarty w prostej L.Wtedy, podobnie jak na paszczynie, prost Lmoemy opisa rwnaniem

X= t U,gdziet R.

Zauwamy, e dla rnych wartoci parametrutdostajemy kolejno wsprzdne

rnych punktw tej prostej, przy czym kady punkt, przy odpowiedniej wartoci t,da si w ten sposb przedstawi. Podstawiajc za t kolejno wszystkie liczby rzeczy-wiste, dostaniemy wsprzdne wszystkich punktw tej prostej.

W oglnym przypadku, tzn. gdy prosta nie zawiera pocztku ukadu wsprzd-nych, wybierzmy punkt pocztkowyV L. Wtedy prost mona zapisa rwnaniem

X=V+ t U,gdziet R, a Ujest wektorem zawartym w L.Przy uyciu wsprzdnych i przy oznaczeniach

V = v1v2

v3

, U= u1

u2u3

,


19/243


rwno powysz moemy zapisa jako

x1= v1+ t u1x2= v2+ t

u2

x2= v3+ t u3

Takie przedstawienie nazywamyrwnaniem parametrycznym prostej we wsp-rzdnych.

1.8 Rwnanie parametryczne paszczyzny w prze-strzeni.

Dla paszczyzny zawierajcej pocztek ukadu wsprzdnych rozwamy dwa

niewspliniowe wektory U, W zawarte w tej paszczynie. Zauwamy, e dowolnywektor z paszczyzny mona zapisa jako kombinacj liniowU, Wi e kada takakombinacja wyznacza wektor z paszczyzny . Dan paszczyzn moemy zatemopisa rwaniem

X=t U+ s W,gdziet R, s R(parametry).

Dla dowolnej paszczyzny niech Vbdzie punktem pocztkowym. Wtedy

X= V+ t U+ s W,

gdzieti ss parametrami rzeczywistymi, a U, Ws wektorami z tej paszczyzny.Uywajc wsprzdnych

V =

v1v2

v3

, U=

u1u2

u3

, W=

w1w2

w3

,

rwno powysza przedstawia si jako

x1= v1+ t u1+ s w1x2= v2+ t

u2+ s

w2

x2= v3+ t u3+ s w3

Taki sposb zapisu nazywamy rwnaniem parametrycznym paszczyzny wewsprzdnych.

1.9 Liniowa zaleno i niezaleno wektorw wprzestrzeni.

Dwa wektoryX, Ynazywamy liniowo zalenymi, jeeli

X=t Y lub Y =t X.


20/243


Geometrycznie liniowa zaleno oznacza wspliniowo lub rwnolego wektorw.Trzy wektory X, Y , Znazywamy liniowo zalenymi, jeeli

X=t

Y+ s

Z lub Y =t

X+ s

Z lub Z=t

X+ s

Y,

tzn. jeden z nich daje si przedstawi jako kombinacja liniowa dwch pozostaych.Geometrycznie rwno X = tY + sZ oznacza, e wektory X, Y , Z le najednej paszczynie. Zauwamy, e jeeli Y i Zs niewspliniowe, to wyznaczajpaszczyzn t Y +s Z i Xnaley do tej paszczyzny. Jeeli natomiast Y i Zs wspliniowe, to kombinacje t Y +s Zwyznaczaj prost lub w szczeglnymprzypadku, gdy Y = 0 iZ= 0, punkt.

Przykad.(1) Rozwamy wektory

A= 47

6

, B= 23

2

, C= 12

4

.

Wektory A, B,Cs liniowo zalene, bo

A= 1 B+ 2 C.

(2) Wektory O, Xs liniowo zalene, bo

O= 0 X.

Definicja 1.9.1 (liniowa niezaleno trjki wektorw). Wektory X, Y , Z sliniowo niezalene, jeli aden z nich nie wyraa si jako kombinacja liniowa dwchpozostaych.

Podamy teraz inn, bardziej uyteczn, charakteryzacj liniowej niezalenocidla trzech wektorw.

Lemat 1.9.2(liniowa niezaleno a kombinacja wektorw).WektoryX, Y , Zs liniowo niezalene wtedy i tylko wtedy, gdy jedyna ich kombinacja liniowat X+s Y+ r Zdajca wektor zerowy to kombinacja ze wspczynnikami

t= s= r = 0

(tzw. kombinacja trywialna).

Dowd. Zakadamy, e wektory X, Y , Zs liniowo niezalene. Gdyby t X+ s Y+r Z= O i jeden ze wspczynnikw np. t = 0,wwczas mielibymy

t X= s Y r Z /: t

X= st Y r

t Z.

Zatem X jest kombinacj liniow wektorw Y i Z, co przeczy zaoeniu o linio-wej niezalenoci. Dowiedlimy zatem, e z faktu liniowej niezalenoci wektorw


21/243


X, Y , Zwynika trywialno kombinacji liniowej dajcej wektor zerowy. Sprbujmyteraz dowie implikacji w przeciwn stron. Zakadamy, e jedyn kombinacj li-niow wektorwX, Y , Zdajc Ojest kombinacja trywialna. Gdyby wektoryX, Y , Zbyy liniowo zalene, czyli np.

X= t Y+ s Z,wtedy mielibymy

1 X t Y s Z= Oco przeczy zaoeniu o trywialnoci kombinacji dajcej O.

Przykad. Rozwamy wektory

A=

30

0

, B=

02

0

, C=

00

1

.

Szukamy takich t, s, raby kombinacja liniowa t A+s B+r C dawaa wektorzerowy.

t A + s B+ r C=t 30

0

+ s

02

0

+ r

00

1

=

3t2s

r

=

00

0

.

Otrzymujemy zatem, e t = s= r = 0. Czyli wektory A, B,Cs liniowo niezalene.

Twierdzenie 1.9.3(jednoznaczno rozkadu w kombinacj liniow). NiechU, V , Wbd liniowo niezalenymi wektorami, zaXniech bdzie dowolnym innymwektorem w przestrzeni. WwczasXrozkada si w kombinacj liniow

X= t U+ s V+ r W,i to dokadnie na jeden sposb.

Dowd.Istnienie rozkadu:JeliU, V , Ws liniowo niezalene, to w szczeglnoci s niezerowe, adne dwa z nichnie s wspliniowe, a wszystkie trzy nie le na jednej paszczynie. Wektor X, jak

wynika z Faktu 1.5.3, posiada rozkad wzgldem U,V,W,moemy go zatem zapisaw postaci X = XU+XV +XW, gdzie XU||U, XV||V, XW||W. Z rwnolegociwektorw XU oraz U otrzymujemy, e istnieje takie t, e XU = t U. Podobnieznajdziemy takie s, e XV = s V, oraz takie r, e XW = r W.Podstawiajc teiloczyny za XU, XV, XWotrzymujemy szukany rozkad

X= t U+ s V+ r W.Jednoznaczno rozkadu:Zamy, e rozkad ten nie jest jednoznaczny.Rozwamy dwa rozkady

X= t1 U+ s1 V+ r1 W=t2 U+ s2 V+ r2 W.


22/243


Pokaemy, e rozkady te s identyczne, tzn. maj jednakowe wspczynniki przyposzczeglnych wektorach. Zauwamy, e moemy napisa nastpujce rwnoci

O= X

X=t1

U+ s1

V+ r1

W

t2

U

s2

V

r2

W== (t1 t2) U+ (s1 s2) V+ (r1 r2) W.

Z liniowej niezalenoci wektorw U, V , Wwynika, e

t1 t2= 0, s1 s2= 0, r1 r2= 0,

czylit1= t2, s1= s2, r1= r2.

Zatem te dwa rozkady s identyczne.


23/243

Rozdzia 2

Iloczyn skalarny w R3

W tym rozdziale zajmiemy si pojciem iloczynu skalarnego. Ma ono bardzo

wiele zastosowa, z ktrych cz tutaj podamy. Na pocztek w czysto algebraicznysposb zdefiniujemy to pojcie i wyprowadzimy jego najwaniejsze wasnoci. Wkolejnych podrozdziaach zapoznamy si z geometrycznymi konsekwencjami iloczynuskalarnego. W dalszych rozdziaach tego skryptu bdziemy bardzo czsto wraca dotego pojcia. Okae si, e jest ono jednym z waniejszych narzdzi, wykorzysty-wanych do badania wasnoci przestrzeni.

2.1 Definicja i podstawowe wasnoci iloczynu ska-larnego.

Definicja, ktr teraz podamy ma charakter czysto algebraiczny, geometrycznymokreleniem iloczynu skalarnego zajmiemy si w dalszej czci.

Definicja 2.1.1(iloczyn skalarny). Iloczynem skalarnym wektorw

X=

x1x2

x3

, Y =

y1y2

y3

,

oznaczanym przez X Y, nazywamy liczb

(2.1) X Y =x1 y1+ x2 y2+ x3 y3.Zauwamy, e iloczyn skalarny to funkcja, ktra dowolnej parze wektorw przy-

porzdkowuje liczb rzeczywist.

Przykad. Iloczyn skalarny wektorw

A=

32

4

, B=

24

1

to A B= (3) (2) + 2 4 + 4 (1) = 10.

23


24/243

Rozdzia 2. Iloczyn skalarny w R3 24

Wasnoci iloczynu skalarnego

Dla dowolnych wektorw X, Y , Z R3 oraz dowolnej liczby rzeczywistej tza-chodz rwnoci:

(1) X Y =Y X(2) X (Y+ Z) = X Y+ X Z(3) (t X) Y =t(X Y)(4) X X= |X|2

W dowodach tych wasnoci korzysta bdziemy z definicji iloczynu skalarnego,oraz z podstawowych wasnoci operacji na zbiorze liczb rzeczywistych, takich jakprzemienno i aczno mnoenia, oraz rozdzielno mnoenia wzgldem dodawania.

Dowd (1).

X Y =x1 y1+ x2 y2+ x3 y3= y1 x1+ y2 x2+ y3 x3= Y X

Dowd (2).

X (Y+ Z) = x1x2

x3

y1y2

y3

+

z1z2

z3

=

x1x2

x3

y1+ z1y2+ z2

y3+ z3

=

=x1(y1+ z1) + x2(y2+ z2) +x3(y3+ z3) =

=x1y1+ x2y2+ x3y3+ x1z1+ x2z2+ x3z3=

=

x1x2

x3

y1y2

y3

+

x1x2

x3

z1z2

z3

=X Y+ X Z

Dowd (3).

(t X) Y =

t

x1x2x3

y1y2y3

=

tx1tx2tx3

y1y2y3

=

= (tx1) y1+ (tx2) y2+ (tx3) y3= x1 (ty1) + x2 (ty2) +x3 (ty3) ==t(x1 y1) + t(x2 y2) + t(x3 y3) = t(X Y)

Dowd (4).

X X= x1x2

x3

x1x2

x3

=x1x1+ x2x2+ x3x3=

=x21+ x2

2+ x2

3= (x2

1+ x2

2+ x2

3)2 =

|X

|2


25/243


2.2 Kt midzy wektorami.

Rwno, ktr udowodnimy poniej, bywa czsto przyjmowana za geometry-czn definicj iloczynu skalarnego.

Fakt 2.2.1(iloczyn skalarny a kt midzy wektorami). NiechX, Ybd wek-torami z przestrzeniR3, niech bdzie ktem pomidzyXaY. Wtedy

(2.2) X Y = |X| |Y| cos .Dowd. Korzystajc z twierdzenia cosinusw, dla wektorw X, Y , X Y, mamy

|X Y|2 = |X|2 + |Y|2 2 |X| |Y| cos .

Ale z wasnoci iloczynu skalarnego wiemy rwnie, e

|X Y|2 = (X Y) (X Y) = X X X Y Y X+ Y Y == |X|2 + |Y|2 2 |X| |Y|.

Po podstawieniu do twierdzenia cosinusw otrzymujemy

|X

|2 +

|Y

|2

2

|X

| |Y

|=

|X

|2 +

|Y

|2

2

|X

| |Y

| cos .

Zatem, redukujc jednakowe skadniki po obu stronach, dostajemy

X Y = |X| |Y| cos .

Prost konsekwencj powyszego faktu jest zaleno, ktra pozwoli nam obliczakt midzy wektorami bezporednio z ich wsprzdnych.

Wniosek 2.2.2. Jelijest ktem pomidzy wektoramiX,Y,to

(2.3) cos = XY|X||Y|= x1y1+x2y2+x3y3

x21+x2

2+x2

3

y21+y2

2+y2

3

.

Przykad. Obliczmy kt pomidzy wektorem A =

34

1

a wektorem B =

21

3

. Korzystajc ze wzoru (2.3) otrzymujemy

cos = 526 14 0, 2621.

Z tablic moemy teraz odczyta przyblion warto kta

750.


26/243


Ze wzoru (2.3) moemy wyprowadzi bardzo uyteczn zaleno, ktra pozwolinam bardzo szybko sprawdzi prostopado wektorw.

Wniosek 2.2.3(iloczyn skalarny a prostopado wektorw).WektoryX, Y

R3 w przestrzeni s prostopade wtedy i tylko wtedy, gdycos = 0,czyliX Y = 0.wiczenie. Jako wiczenie czytelnik moe przy uyciu powyszego wniosku spraw-dzi prostopado wersorw ukadu wsprzdnych.

2.3 Rzut prostoktny wektoraXna prost wzduwektora Y.

W tym podrozdziale zastosujemy iloczyn skalarny do wyprowadzenia wzoru na

rzut prostopady wektora na prost.Dla pary wektorw X, Y moemy okreli przeksztacenie, ktre przyporzd-kowuje wektorowiXjego rzut na prost wzdu wektora Y. Rzut ten rwnie bdziewektorem. Sprbujmy znale zaleno jak musi spenia. Oznaczmy ten rzut przezX.

Zauwamy, e wektor Xjest wspliniowy z wektorem Y, wic X= tYdla pewnegot R. Skoro Xjest rzutem prostoktnym X, to (X X) musi by prostopady dowektora Y. Zatem, jak wynika z Wniosku 2.2.3

(X X) Y = 0.

Std, po podstawieniu i uproszczeniu otrzymujemy

0 = (X t Y) Y =X Y t Y Y =X Y t |Y|2.

Korzystajc z tej zalenoci moemy wyznaczy t

t |Y|2 =X Y

t=X Y

|Y|2 .

Podstawiajc do rwnoci okrelajcej Xmamy

(2.4) X= t Y = X

Y|Y|2 Y.


27/243


Zaleno t, we wsprzdnych, dla X=

x1x2

x3

, Y =

y1y2

y3

,moemy zapisa

jako

X=x1y1+ x2y2+ x3y3

y21+ y22+ y23 y1y2

y3

.

2.4 Rwnanie oglne paszczyzny przechodzcejprzez pocztek ukadu wsprzdnych.

Sprbujmy znale rwnanie oglne paszczyzny przechodzcej przez (0, 0, 0).Oznaczmy j przez . Paszczyzna ta jest wyznaczona przez wektor do niej prostopady

U= ab

c

.

Wemy dowolny punkt X =

xy

z

z tej paszczyzny, wtedy rwnie wektorOX

naley do tej paszczyzny, tak wic jest prostopady do wektora U, zatem jak wiemyz Wniosku 2.2.3, iloczyn skalarny

OX i Ujest rwny 0, std

ax+ by+ cz= 0.

Zauwamy, e kady wektor z paszczyzny musi spenia t rwno, moe onaby przyjta za oglne rwnanie tej paszczyzny.

2.5 Rwnanie oglne paszczyzny.

Zajmijmy si teraz paszczyzn, ktra niekoniecznie przechodzi przez pocztekukadu wsprzdnych. Wemy dowolny punkt A(x0, y0, z0) nalecy do . Pa-

szczyzna ta jest prostopada do wektora U=

ab

c

.


28/243


Wemy dowolny punkt X(x,y,z) nalecy do tej paszczyzny. WektorAX rwnie

naley do tej paszczyzny, wic jest prostopady do wektora U, zatem ich iloczyn

skalarnyAX U= 0.Wsprzdne wektoraAX=

x x0y y0z

z0

,wic, po podstaw-

ieniu, mamy x x0y y0

z z0

ab

c

= 0

a(x x0) +b(y y0) +c(z z0) = 0ax+ by+ cz ax0 by0 cz0= 0

Przyjmujc zad= ax0by0cz0,otrzymujemy, e dowolny punkt z tej paszczyznyspenia

ax+ by+ cz+ d= 0,

zatem rwnanie to moemy przyj za oglne rwnanie paszczyzny .

Przykad. Rwnanie paszczyzny przechodzcej przez punkt

11

2

i prostopadej

do wektora

35

7

ma posta

3x + 5y+ 7z+ (3 5 14) = 0,

czyli3x+ 5y+ 7z 16 = 0.

Wniosek 2.5.1.Kade rwnanie postaciax+by+cz+d= 0, w ktrym przynajmniejjeden ze wspczynnikwa,b,cjest niezerowy, opisuje pewn paszczyzn.

Dowd. Aby si o tym przekona, wemy dowoln trjk liczb x0, y0, z0speniajcto rwnanie. Otrzymujemy wtedyax0 + by0 + cz0 + d= 0 czylid= ax0 by0 cz0.Rwnanieax+by+cz+d= 0 moemy zapisa jakoa(xx0)+b(yy0)+c(zz0) = 0,czyli

x x0

y y0z z0

a

bc

= 0.


29/243


Zauwamy, e (x x0, y y0, z z0) to wsprzdne wektora czcego dowolny

punkt o wsprzdnych

xyz

, z punktem staymA0(x0, y0, z0).Rwnanie to opisuje

zbir punktw A(x,y,z), dla ktrych wektor A0A jest prostopady do wektora ab

c

.Rwnanie to okrela zatem paszczyzn przechodzc przez punkt (x0, y0, z0)

i prostopad do wektora

ab

c

. Wektor

ab

c

nazywany jest wektorem nor-

malnympaszczyznyax+ by+ cz+ d= 0.

Wniosek 2.5.2.Jeelid= 0, to paszczyzna przechodzi przez pocztek ukadu wsp-

rzdnych.Dowd. Jak wiemy z poprzedniego wniosku, rwnanie postaci ax + by+ cz+ d= 0okrela pewn paszczyzn. Zauwamy, e jeeli d = 0 to x = 0, y = 0, z = 0speniaj to rwnanie, czyli punkt (0, 0, 0) jest zawarty w paszczynie okrelonejtym wzorem.

2.6 Kt pomidzy paszczyznami w R3 zadanymirwnaniami oglnymi.

Dwie rne paszczyzny w przestrzeni s rwnolege lub si przecinaj. W tymdrugim przypadku naturalnym wydaje si pytanie pod jakim ktem si one przeci-naj. Rozwamy nierwnolege paszczyzny 1, 2.Zauwamy, e przecinaj si onewzdu prostej, nazwijmy j L. Wemy paszczyz 3, prostopad do rostejL. Za-uwamy, e czci wspln paszczyzn 3i 1, oraz paszczyzn 3i 2, s proste.Kt midzy tymi prostymi przyjmujemy za kt midzy paszczyznami 1, 2. Za-uwamy, e kt o takiej mierze tworz rwnie wektory normalne paszczyzn 1, 2,zaczepione we wsplnym punkcie paszczyzn 1, 2, 3.


30/243


Udowodnijmy, e te kty rzeczywicie s sobie rwne. Niech paszczyzny 1, 2bddane rwnaniami

1: a1x + b1y+ c1z+ d1= 0,

2: a2x + b2y+ c2z+ d2= 0.Wwczas wektory normalne tych paszczyzn to odpowiednio

N1=

a1b1

c1

, N2=

a2b2

c2

.

Oznaczmy kt midzy wektorami normalnymi tych paszczyzn przez . Mog wwczaszaj dwie sytuacje.Przypadek 1Poniszy rysunek przedstawia paszczyzn 3,na ktrej zaznaczones jej przekroje z paszczyznami 1, 2.

Zauwamy, e w tym wypadku + = 900,zatem = 900 , ale rwnie + =900,skd mamy, e = 900 . Otrzymujemy zatem

= .

Tak wic wybrany kt pomidzy paszczyznami 1 i 2 jest taki sam jak ktpomidzy wektorami normalnymi tych paszczyzn.Przypadek 2Podobnie jak poprzednio, rysunek przedstawia paszczyzn 3 i jejprzekroje z paszczyznami 1, 2.


31/243


W tym wypadku mamy + + 900 + 900 = 3600 a std + = 1800.Otrzymujemyzatem= 1800 .Ostatecznie, po rozwaeniu obu przypadkw mamy

= lub = 1800 .Oznacza to, e jeden spord ktw midzy paszczyznami jest rwny ktowi pomidzyich wektorami normalnymi, za drugi jest dopenieniem tego kta do 1800.

Wniosek 2.6.1(kt midzy paszczyznami). Cosinus jednego z ktw pomidzypaszczyznami1, 2 danymi rwnaniami

1: a1x + b1y+ c1z+ d1= 0,

2: a2x+ b2y+ c2z+ d2= 0wyraa si wzorem

(2.5) cos = N1N2|N1||N2| = a1a2+b1b2+c1c2

a21+b2

1+c2

1

a22+b2

2+c2

2

.

Przykad. Cosinus jednego z ktw pomidzy paszczyznami o rwnaniachx + 2y 3z+ 2 = 0 oraz 2x 4y+ z+ 1 = 0,wynosi

cos = 2 8 3

1 + 4 + 9 4 + 16 + 1= 914 21=

97 6=

3

614

0, 52.

Zatem, jak atwo moemy sprawdzi, ten kt to w przyblieniu

1220.Otrzymalimy zatem, e jeden z ktw pomidzy danymi paszczyznami to kt omierze okoo 1220.

2.7 Kt pomidzy paszczyzn i prost w R3.

Postaramy si teraz wyznaczy kt pomidzy paszczyzn a prost L. Oz-

naczmy przezLrzut prostoktny prostejL na paszczyzn . Kt pomidzy prostLa paszczyzn , to kt pomidzy prost a jej rzutem na paszczyzn.

Przyjmijmy, e paszczyzna zadana jest rwnaniem ax+ by + cz+ d = 0,natomiastLniech bdzie prost o wektorze kierunkowymU.


32/243


Niechbdzie ktem pomidzy wektorem kierunkowym Ua wektorem normalnympaszczyzny , oznaczanym N. Zauwamy, e jeli jest ktem ostrym jak na ry-sunku powyej, to mamy

= 900

.

Jeeli natomiast jest ktem rozwartym, jak na rysunku poniej, to

= 900.

Majc dane rwnanie paszczyzny oraz wektor kierunkowy U prostej L,moemy z tych wsprzdnych wyliczy kt , a nastpnie , ktry jest jednymz ktw pomidzy zadan paszczyzn a prost.

Przykad. Znajdmy kt pomidzy paszczyzn o rwnaniu 2x y + 2z 4 = 0

a prost o wektorze kierunkowym U=

12

1

.Wektor normalny paszczyzny

to N= 21

2

.Cosinus kta pomidzy wektorami U i N, jak wynika z Wniosku2.2.2, wynosi

cos = 29 6=

6

9 0, 2722.

Kt jest wic ktem ostrym, zatem wyraa si wzorem = 900 , czylisin = cos . Std 150. Tak wic kt pomidzy paszczyzn a prost owektorze kierunkowym U,to kt o mierze okoo 150.

2.8 Pole rwnolegoboku zbudowanego na wek-torach U, W w R3.

W tym rozdziale zastosujemy iloczyn skalarny do obliczania pl rwnolegobokww przestrzeniR3.

Wemy dwa dowolne wektory z przestrzeni R3

U=

u1u2

u3

, W=

w1w2

w3

.

Zauwamy, e wektory te wyznaczaj pewien rwnolegobok. Rwnolegobok tenoznacza bdziemy RU,W.


33/243


Z geometrii wiemy, eP(RU,W) = |U| |W| sin ,

gdzieto kt pomidzy wektorami U iW. Mamy ponadto

sin =

1 cos2 , gdy 00 <


34/243

Rozdzia 3

Iloczyn wektorowy

W tym rozdziale zajmiemy si iloczynem wektorowym. W pierwszym podroz-

dziale zdefiniujemy to pojcie, w kolejnym podamy jego podstawowe wasnoci, po-kaemy jak moemy je wykorzysta. Ostatni podrozdzia powicimy na podaniegeometrycznej interpretacji iloczynu wektorowego, ktra pozwoli na wprowadzeniekolejnej bardzo uytecznej wasnoci - zwizku iloczynu wektorowego z objtocirwnolegocianu.

3.1 Definicja iloczynu wektorowego.

Dla danego wektora A R2 nietrudno poda przykad wektora A R2prostopadego do A. Dla A = a1

a2 jest nim wektor o wsprzdnych A =

a2a1

.Zastanwmy si teraz w jaki sposb dla danych dwch wektorw A, B

R3 znale wektor prostopady do nich obu. Sprawdmy, e dla A =

a1a2

a3

, B=

b1b2

b3

wektor X =

a2b3 b2a3a1b3+ b1a3

a1b2 b1a2

jest wanie takim wektorem, czyli jest

prostopady do A i do B. Jak wynika z Wniosku 2.2.3, dwa wektory s prosto-

pade, jeeli ich iloczyn skalarny jest rwny 0. Sprawdmy zatem prostopado X iA.

X A= a2b3 b2a3a1b3+ b1a3

a1b2 b1a2

a1a2

a3

=

=a2b3a1 b2a3a1 a1b3a2+ b1a3a2+ a1b2a3 b1a2a3==b1(a3a2 a2a3) + b2(a1a3 a3a1) + b3(a2a1 a1a2) = 0.

Podobnie sprawdmy prostopado X iB.

X B= a2b3

b2a3

a1b3+ b1a3a1b2 b1a2

b1

b2b3

=34


35/243

Rozdzia 3. Iloczyn wektorowy 35

=a2b3b1 b2a3b1 a1b3b2+ b1a3b2+ a1b2b3 b1a2b3==a1(b2b3 b3b2) + a2(b3b1 b1b3) + a3(b1b2 b2b1) = 0.

Tak okrelony wektor Xjest zatem dobrym przykadem wektora prostopadego do

obu wektorw A oraz B.

Definicja 3.1.1(iloczyn wektorowy). WektorXokrelony powyej, czyli

(3.1) X=

a2b3 b2a3a1b3+ b1a3

a1b2 b1a2

,

nazywany jest iloczynem wektorowym wektorw Ai B, co oznaczamy przez

X= A

B.

Przykad. Iloczynem wektorowym wektorw A =

30

2

, B =

12

1

jest

wektor X=

41

6

.

Sposb na zapamitanie wzoru na iloczyn wektorowy

Wprowadzimy teraz interpretacj iloczynu wektorowego, ktra okae si by

atwym sposobem na zapamitanie wzoru na ten iloczyn. Interpretacja ta korzystaz pojcia wyznacznika macierzy 22.W tym celu przypomnijmy, e wyznacznikiemmacierzyA=

a bc d

nazywamy liczb okrelon wzorem det A=a d b c.

Uwaga 3.1.2 (wyznacznikowa interpretacja iloczynu wektorowego). Jeli a1a2

a3

b1b2

b3

=

x1x2

x3

,to

x1= deta2 b2

a3 b3

, x2= deta1 b1

a3 b3

, x3= deta1 b1

a2 b2

.

Zauwamy, e macierz, ktrej wyznacznik liczymy w celu wyznaczenia x1, pow-

staje przez wykrelenie z macierzy

a1 b1a2 b2

a3 b3

pierwszego wiersza, podobnie macierz

pojawiajca si we wzorze na x2powstaje przez wykrelenie z macierzy

a1 b1a2 b2

a3 b3

drugiego wiersza. Analogicznie powstaje trzecia macierz.


36/243


3.2 Wasnoci iloczynu wektorowego.

Podamy teraz najwaniejsze algebraiczne wasnoci iloczynu wektorowego. Wek-tory A, B,C,wystpujce poniej, to dowolne wektory z przestrzeni R3,za t jest

dowoln liczb rzeczywist.

(1) A B= B A.Wasno ta nazywana jestantyprzemiennociiloczynuwektorowego.

(2) JeliA=O =

00

0

,to A B= B A= O .

(3) JeliA= t B, to A B= O .

(4) A (B+ C) = A B+ A C(5) (tA) B= t(A B)

Dowd (1).Wasno ta wynika z antyprzemiennoci wyznacznika 2 2.Zauwamy, e

det

a bc d

=ad bc= (bc ad) = det

b ad c

.

Zatem, jeli A B = x1x2

x3

, a B A = x1x2x3

, to korzystajc z powyszejrwnoci oraz z wyznacznikowej interpretacji iloczynu skalarnego, ktr wprowadzil-

imy w Uwadze 3.1.2, dla A=

a1a2

a3

, B=

b1b2

b3

mamy

x1= det

b2 a2b3 a3

= det

a2 b2a3 b3

= x1.

Podobniex2

=

x2 oraz x3

=

x3.Otrzymujemy zatemB

A=

A

B.

Dowd (2).

Zauwamy, e dla A=

00

0

, B=

b1b2

b3

,jeeliA B=

x1x2

x3

,to korzystajc

z wyznacznikowej interpretacji iloczynu skalarnego, otrzymujemy

x1= det

0 b20 b3

= 0.

Podobniex2= 0 oraz x3= 0.


37/243


Dowd (3).

Z wyznacznikowej interpretacji iloczynu skalarnego, dla A B =

x1x2x3

, gdzie

A=

tb1tb2

tb3

, B=

b1b2

b3

,mamy

x1= det

tb2 b2tb3 b3

= tb2b3 tb2b3= 0.

Podobniex2= 0, x3= 0.

Dowd (4).Zauwamy, e

det

a2 b2+ c2a3 b3+ c3

= det

a2 b2a3 b3

+ det

a2 c2a3 c3

.

Zatem pierwsza wsprzdna wektoraA(B +C) jest rwna pierwszej wsprzdnejwektora A B + A C.Podobnie druga i trzecia wsprzdna. Otrzymujemy zatemA (B+ C) = A B+ A C.Dowd (5).

Dla A = a1a2a3

, B= b1b2b3

jeli A B= x1x2x3

,(tA) B= x1x2x3 ,to

x1= det

ta2 b2ta3 b3

= t det

a2 b2a3 b3

= t x1.

Podobniex2= t x2, x3= t x3.Otrzymalimy zatem (tA) B= t(A B).Bezporedni konsekwencj wasnoci (2) i (3) jest wniosek pozwalajcy na bardzoszybkie sprawdzenie liniowej zalenoci pary wektorw.

Wniosek 3.2.1 (iloczyn wektorowy a liniowa zaleno wektorw). Jeli

wektoryAiB s liniowo zalene, to A B= O .

3.3 Geometryczna interpretacja iloczynu wekto-rowego.

Iloczyn wektorowy jest wektorem, ktrego kierunek, dugo i zwrot moemywyznaczy, korzystajc z jego geometrycznych wasnoci.


38/243


Kierunek iloczynu wektorowego

Fakt 3.3.1. (1) Jeli wektoryAiB s wspliniowe, to A B= O .(2) Jeli A i B s niewspliniowe, to wektor A

B jest prostopady zarwno do

A jak i do B, czyli wyznacza kierunek prostopady do paszczyzny rozpitej przezwektoryAiB.

Dowd. Pierwsza cz powyszego faktu wynika z trzeciej wasnoci udowodnionejw poprzednim podrozdziale. Precyzyjny dowd pomijamy. Prostopado wektorwA Bi A orazA BiB zostaa pokazana na pocztku tego rozdziau. Zauwamy,e jeeli A i B nie s wspliniowe, to wyznaczaj paszczyzn, wic jeli wektorA B jest prostopady do A i do B, to jest prostopady rwnie do paszczyznywyznaczonej przez te wektory, wyznacza wic kierunek do niej prostopady.

Dugo iloczynu wektorowego

NiechRA,B bdzie rwnolegobokiem rozpitym przez wektory Ai B.

Zwizek iloczynu wektorowego A B z tym rwnolegobokiem okrela nastpujcyfakt.Fakt 3.3.2 (iloczyn wektorowy a pole rwnolegoboku). Dugo wektoraA B jest rwna polu rwnolegobokuRA,B.

Dowd. Niech A=

a1a2

a3

, B =

b1b2

b3

,i niech oznacza miar kta pomidzy

wektorami A i B. Przypomnijmy, e wtedy pole rwnolegoboku RA,Bmona obliczykorzystajc ze wzoru P(RA,B) = |A| |B| sin .Mamy rwnie

|A B|2 = (a2b3 b2a3)2 + (a1b3+ b1a3)2 + (a1b2 b1a2)2.

Po atwym przeksztaceniu, ktre pozostawimy do wykonania czytelnikowi, otrzy-mujemy

|AB|2 = (a21+a22+a23)(b21+b22+b33)(a1b1+a2b2+a3b3)2 = |A|2 |B|2(AB)2 == |A|2 |B|2 (|A| |B| cos )2 = |A|2 |B|2 (1 cos2 ) =

= |A|2 |B|2 sin2 = [P(RA,B)]2.

Pierwiastkujc obie strony, otrzymujemy |AB| =P(RA,B),tak jak chcielimy.


39/243


Wniosek 3.3.3. A B to wektor prostopady do paszczyzny wyznaczonej przezAiB, ktrego dugo jest rwna polu rwnolegoboku rozpitego przezAiB.

Zwrot iloczynu wektorowego

Dla dowolnych dwch wektorw mamy zatem jednoznacznie wyznaczony kieruneki dugo wektora bdcego ich iloczynem wektorowym. Aby mie jednoznaczniewyznaczony wektor musimy jeszcze okreli jego zwrot. W tym celu zastosujemyregu ruby prawoskrtnej.

Definicja 3.3.4 (ruba prawoskrtna). rub prawoskrtn nazywamy rub,ktra wkrca si, gdy jest obracana w prawo.

Krcc rub od Xdo Ywkrca si ona w kierunku Z.

Fakt 3.3.5(zwrot wektora A B). Zwrot wektoraA B jest taki jak kierunek,w jakim wkrca si ruba prawoskrtna, gdy jest obracana odAdo B.

Przykad. Sprbujmy teraz, bez odwoywania si do wzoru, korzystajc tylko z

geometrycznej interpretacji, znale iloczyn wektorowy Xwektorw e1=

10

0

, e2=

01

0

.Jak wiemy z Faktu 3.3.1, Xbdzie wektorem prostopadym do paszczyzny

wyznaczonej przez e1 i e2, czyli do paszczyzny Oxy. Rwnolegobok wyznaczonyprzez e1 i e2 to kwadrat o boku dugoci 1, zatem, jak wynika z Faktu 3.3.2,

|A B| = 1. Szukanym wektoremXmog by zatem wektory 00

1

lub 00

1 .


40/243


Stosujc regu ruby prawoskrtnej, otrzymujemy

X= e1

e2=

00

1

.

wiczenie. Jako sprawdzenie poprawnoci tak wyznaczonego iloczynu wektoro-wego, czytelnik moe wyznaczy ten wektor korzystajc ze wzoru (3.1).


41/243

Rozdzia 4

Wyznacznik macierzy 3 3

W matematyce istniej pojcia, ktre znajduj szerokie zastosowanie w rnych

dziedzinach. Jednym z takich poj jest wyznacznik macierzy kwadratowej. Odgrywaon wan rol midzy innymi przy rozwizywaniu ukadw rwna liniowych zwieloma niewiadomymi, oraz w geometrii. Na pocztek poznamy definicj wyz-nacznika, nastpnie omwimy jego najwaniejsze wasnoci. Na koniec zajmiemysi niektrymi jego zastosowaniami.

4.1 Podstawowe definicje.

W pierwszej czci skryptu wprowadzone zostao pojcie wyznacznika macierzyrozmiaru 2

2. Podamy teraz definicj odpowiednika tego pojcia dla macierzy 3

3.

Definicja 4.1.1(wyznacznik macierzy).Wyznacznikiem macierzy M=

a b cd e f

g h i

nazywamy wyraenie algebraiczne postaci

(4.1) det M=aei + bf g+ cdh gec hf a idb.

Przykad. Wyznacznik macierzy M=

2 3 01 2 5

7 1 4

wynosi

det M= 16 + 105 + 0 0 + 10 12 = 87.Poniej podamy atwy sposb na obliczanie wyznacznika macierzy bez koniecznoci

pamitania wzoru.

Uwaga 4.1.2(regua Sarrusa).W praktyce w celu obliczenia wyznacznika stosowabdziemy regu Sarrusa.

Do danej macierzy

a b cd e f

g h i

dopisujemy kolumn pierwsz i drug. Otrzymujemy

ukada b c a b

d e f d eg h i g h

.

41


42/243

Rozdzia 4. Wyznacznik macierzy 3 3 42

Nastpnie dodajemy do siebie iloczyny wyrazw znajdujcych si na ukonych prostychwychodzcych z trzech pierwszych wyrazw pierwszego wiersza, a od wyniku odejmu-jemy iloczyny wyrazw znajdujcych si na ukonych prostych wychodzcych z trzechpierwszych wyrazw ostatniego wiersza, tak jak to pokazuje poniszy schemat.

Otrzymujemy wwczas podany w Definicji 18.3.1 wzr na wyznacznik danej macierzy.

Mona rwnie okreli wyznacznik dla trjki wektorw. Niech

A=

a1a2

a3

, B=

b1b2

b3

, C=

c1c2

c3

.

Definicja 4.1.3 (wyznacznik wektorw). Wyznacznikiem wektorw A,B,Cnazywamy liczb

det(A,B,C) = det

a1 b1 c1a2 b2 c2

a3 b3 c3

.

Przykad. Wyznacznik wektorwA=

35

1

, B=

21

3

, C=

13

0

wynosi

det

3 2 15 1 3

1 3 0

= 0 6 + 15 1 27 0 = 19.

4.2 Wasnoci wyznacznika.

Poniej okrelimy najwaniejsze, zarwno arytmetyczne, jak i geometrycznewasnoci wyznacznika.

Wyznacznik jako iloczyn mieszany

Fakt 4.2.1 (wyznacznik a iloczyn wektorw). DlaA, B,C R3 mamydet(A,B,C) = A (B C) = (A B) C.

Ze wzgldu na wystpujce w powyszej tosamoci pojcia iloczynu skalar-

nego i wektorowego, wyznacznik trjki wektorw bywa czsto nazywany iloczynemmieszanym tych wektorw.


43/243


Dowd. Korzystajc z definicji iloczynu skalarnego i wektorowego mamy

A

(B

C) = (A

B)

C=

a1a2

a3

b2c3 c2b3

b1c3+ c1b3

b1c2 c1b2

=

=a1(b2c3 c2b3) + a2(b1c3+ c1b3) + a3(b1c2 c1b2) ==a1b2c3 a1c2b3 a2b1c3+ a2c1b3+ a3b1c2 a3c1b2= det(A,B,C)

Podobnie pokazujemy, e det(A,B,C) = (A B) C.Fakt 4.2.2. DlaA, B,C R3 mamy

det(A,B,C) = det(B,A,C) = det(A,C,B) = det(C , B , A) == det(B , C , A) = det(C,A,B).

Dowd. Korzystajc z poprzedniego faktu oraz z wasnoci iloczynu wektorowegootrzymujemy

det(B,A,C) = (B A) C= (A B) C= (A B) C= det(A,B,C),det(B , C , A) = (B C) C= A (B C) = det(A,B,C).

Dla pozostaych rwnoci dowody wygldaj analogicznie. Otrzymalimy wic, ezamiana dwch kolumn w macierzy, ktrej wyznacznik liczymy, powoduje zmianznaku wyznacznika, natomiast cykliczne przestawienie kolumn macierzy nie zmieniawartoci wyznacznika.

wiczenie. Dowody pozostaych rwnoci, pozostawimy do wykonania czytel-

nikowi.Uwaga 4.2.3. Znak -pojawia si, gdy dokonujemy zamiany ktrychkolwiek dwchwektorw spord A,B,C. Takie zamiany dwch wektorw nazywamy transpozy-cjami. Zatem wyznacznik zmienia si na przeciwny przy transpozycji ktrychkol-wiek dwch wektorw. Wyznacznik nie zmienia si, przy przestawieniu cyklicznym,np. gdy wektory przesuniemy o jedno miejsce do przodu, za pierwszy przeniesiemyna koniec.

Macierz transponowana i jej wyznacznik

Bardzo wanym pojciem zwizanym z macierzami jest macierz transponowanado danej macierzy.

Definicja 4.2.4 (macierz transponowana). Jeli m=

a b cd e f

g h k

,to macierz

transponowan do macierzy, oznaczan symbolem mT,nazywamy macierz

mT =

a d gb e h

c f k

,

otrzyman zmprzez zamian wyrazw pooonych symetrycznie wzgldem przekt-nej gwnej.


44/243


Uwaga 4.2.5. Macierz transponowan mona rwnie uzyska poprzez zapisaniekolumn macierzymjako wierszy w macierzymT.

Jak nietrudno si przekona wyznaczniki macierzy mi macierzy do niej tran-

sponowanej s sobie rwne, o czym mwi nastpujcy fakt.

Fakt 4.2.6 (wyznacznik macierzy transponowanej). Dla macierzymmamy

det(m) = det(mT).

wiczenie. Dowd tej wasnoci, wynikajcy wprost z definicji wyznacznika, po-zostawimy do wykonania czytelnikowi.

Wyznacznik a liniowa niezaleno

Podamy teraz bardzo uyteczn wasno wyznacznika, dziki ktrej w atwy

sposb mona sprawdzi, czy trjka wektorw jest liniowo niezalena.Fakt 4.2.7. (wyznacznik a liniowa zaleno)Wyznacznik wektorwA, B,CR3 jest rwny zero wtedy i tylko wtedy gdy wektory te s liniowo zalene.

Dowd. Niech det(A,B,C) = 0. Gdyby wektory A,B,C byy liniowo niezalene,wtedy mielibymy, e wektory A, B s niewspliniowe, czyli wektor AB jestniezerowy. Ponadto C nie naleaoby do paszczyzny wyznaczonej przez A i B,wic nie byby prostopady do AB. Zatem (AB)C= 0, ale wiemy, e(A B) C= det(A,B,C) = 0.Otrzymalimy wic sprzeczno, ktra oznacza, ejeli det(A,B,C) = 0,to wektory A, B,Cs liniowo zalene.

Udowodnijmy jeszcze implikacj w drug stron. Zamy, e A,B,C s liniowozalene czyli np. Analey do paszczyzny wyznaczonej przez B i C. Wynika std,eA jest prostopady doB C,wicA (B C) = 0,ale jak wiemyA (B C) =det(A,B,C),std det(A,B,C) = 0.Otrzymalimy wic, e jeli wektory s liniowozalene, to ich wyznacznik musi by rwny zero.

Przykad. Sprawdmy, czy wektoryA =

20

1

, B=

11

1

, C=

31

2

s

liniowo niezalene. W tym celu obliczmy wyznacznik tych wektorw.

det

2 1 30 1 11 1 2

= 4 1 + 0 3 + 2 0 = 2

Wyznacznik ten jest niezerowy wic wektory A, B,Cs liniowo niezalene.

Wieloliniowo wyznacznika

Okrelimy teraz wasnoci, ktre nazywane s wieloliniowoci wyznacznika.

Fakt 4.2.8 (wieloliniowo wyznacznika). Dla wektorw A, A1, A2, B , C R3oraz liczby rzeczywistejtmamy

(a) det(tA,B,C) = det(A,tB,C) = det(A,B,tC) = t det(A,B,C),


45/243


(b) det(A1+ A2, B , C ) = det(A1, B , C ) + det(A2, B , C ).

Dowd powyszego faktu atwo wynika z podstawowych wasnoci iloczynu skalar-nego i wektorowego, dlatego go pominiemy.

DlaA, B,B1, B2, C , C 1, C2 R3,moemy wyprowadzi wzory podobne do tychz podpunktu (b) w Fakcie 4.2.8.

Wniosek 4.2.9.

det(A, B1+ B2, C) = det(A, B1, C) + det(A, B2, C),

det(A,B,C1+ C2) = det(A,B,C1) + det(A,B,C2).

Zajmijmy si geometrycznymi wasnociami wyznacznika.

Wyznacznik a objto rwnolegocianu i czworocianu

Fakt 4.2.10 (wyznacznik a objto rwnolegocianu). Dla A,B,C R3warto bezwzgldna wyznacznika| det(A,B,C)| jest rwna objtoci rwnolego-cianuRA,B,Czbudowanego na wektorachA, B,C.

Dowd. Niech Sbdzie polem podstawy rwnolegocianu RA,B,C,czyli polem rw-nolegobokuRA,B zbudowanego na wektorach A, B(patrz rysunek). Niech ebdziewektorem jednostkowym prostopadym do paszczyzny podstawy, o zwrocie takimjak iloczyn wektorrowy AB . Jak wiemy z Faktu 3.3.2 |AB | = S, co daje(A B) = S e.

Otrzymujemy zatem

| det(A,B,C)| = |(A B) C| = |(S e) C| =S |e C| =S |e| |C| cos .

Jak nietrudno si przekona |C|cos = Hjest wysokoci rwnolegocianu. Wiemyrwnie, e|e| = 1,a std| det(A,B,C)| =S H=V(RA,B,C).

Przykad. Objto rwnolegocianu zbudowanego na wektorach A=

11

1

,

B=

10

1

, C=

23

2

wynosidet

1 1 21 0 3

1 1 2

= |0 3 + 2 0 3 2| = 6.


46/243


Bezporedni konsekwencj powyszego faktu jest nastpujcy wniosek.

Wniosek 4.2.11(objto czworocianu). Objto czworocianu zbudowanegona wektorachA, B,Cwynosi 1

6

|det(A,B,C)

|.

Dowd. Zauwamy, e pole trjkta zbudowanego na wektorach A, B jest rwnepoowie pola rwnolegoboku zbudowanego na tych wektorach. Oznaczmy ten trjktTA,B,czworocian zbudowany naA, B,Coznaczmy przezCA,B,C.Otrzymujemy wic

V(CA,B,C) =13 P(TA,B) H=13

12 P(RA,B) H=16 P(RA,B) H=

=16 V(RA,B,C) = 16 | det(A,B,C)|.

Znak wyznacznika i orientacjaDla trjki liniowo niezalenych wektorw A,B,C wprowadzamy pojcie ich

orientacji w przestrzeni.

Definicja 4.2.12 (orientacja trjki wektorw). Uporzdkowana trjka wek-torw A,B,C jest prawoskrtna (dodatnio zorientowana), gdy wektor Ctworzy zwektorem A B kt 900.

Rwnowanie moemy powiedzie, e ukad jest dodatnio zorientowany, gdy C

ley po tej samej stronie paszczyzny wyznaczonej przezAi B,co A B,natomiastjest ujemnie zorientowany, gdy ley po przeciwnej stronie tej paszczyzny.

Rysunek po lewej stronie przedstawia trjk wektorw dodatnio zorientowanych,rysunek po prawej stronie - ujemnie zorientowanych.

Uwaga 4.2.13 (orientacja a wyznacznik). Trjka wektorw A,B,C jest pra-woskrtna wtedy i tylko wtedy gdy det(A,B,C) > 0, natomiast lewoskrtna, gdydet(A,B,C)


47/243


Jak nietrudno si przekona, cosinus kta midzy wektorami A B a C maznak taki sam jak iloczyn skalarny tych wektorw, czyli (AB)C > 0 gdy(AB, C) 0. Podobniemoemy pokaza, e trjka wektorw jest ujemnie zorientowana, gdy mniejszy z

ktw pomidzy wektorami A B a Cjest wikszy ni 900.

Oznacza to, e jego cosinus jest mniejszy od zera a tym samym det(A,B,C)


48/243


(1) Wsppaszczyznowo czterech punktw w przestrzeni.Punkty A,B,C,D R3 w przestrzeni le na jednej paszczynie wtedy itylko wtedy gdy wektory

AB,

AC,

ADs wsppaszczyznowe , a to zachodzi

wtedy i tylko wtedy gdy det(AB, AC, AD) = 0.(2) Rwnanie paszczyzny rwnolegej do dwch wektorw.

Z powyszej wasnoci moemy wyprowadzi rwnanie paszczyzny rwnolegej

do dwch danych wektorw A =

a1a2

a3

, B =

b1b2

b3

i przechodzcej

przez punkt X0 =

x0y0

z0

.Oznaczmy szukan paszczyzn przez .Wemy

dowolny punkt X= xy

z

nalecy do tej paszczyzny, wtedy wektorXX0

rwnie bdzie si zawiera w tej paszczynie, zatem wektoryA, B,XX0bd

wsppaszczyznowe.

Jak pokazalimy w poprzednim podpunkcie dla takich wektorw zachodzirwno det(A,B,

XX0) = 0. Po podstawieniu wsprzdnych otrzymujemy

wic det

a1 b1 x x0a2 b2 y y0

a3 b3 z z0

= 0, co rozwijajc wzgldem trzeciej kolumny,

moemy zapisa jako(4.2)

(x

x0)det

a2 b2a3

b3

(y

y0)det

a1 b1a3

b3 + (z

z0)deta1 b1a2

b2= 0

Zawamy, e rwnanie to jest spenione dla kadego wektora z paszczyzny ,jak rwnie kady wektor, ktry spenia to rwnanie jest wsppaszczyznowyzA, B, naley wic do paszczyzny . Moemy wic przyj, e rwno (4.2)jest rwnaniem tej paszczyzny.

(3) Rwnanie paszczyzny wyznaczonej przez trzy punkty.Majc dane trzy punkty A, B,Cmoemy znale rwnanie paszczyzny wyz-naczonej przez te punkty. Dla dowolnego Xnalecego do tej paszczyznywektory

AB,

AC,

AXs wsppaszczyznowe , a zatem ich wyznacznik jest

rwny zero det(AB, AC, AX) = 0, co jednoznacznie wyznacza nam szukanpaszczyzn.


49/243


Poniszy przykad ilustruje jak wyglda tak uzyskiwane rwnanie paszczyznydla punktw A, B,Co konkretnych zadanych wsprzdnych.

Przykad. Wyznaczmy rwnanie paszczyzny zawierajcej punkty

A=

12

3

, B=

02

4

, C=

15

1

.

Dla X=

xy

z

mamyAB=

10

1

,AC=

03

2

,AX=

x 1y 2

z 3

.

Dla takich wektorw otrzymujemy

det1 0 x 1

0 3 y 21 2 z 3

= 0.

Mamy wic3 (x 1) 2 (y 2) 3(z 3) = 0,czyli rwnanie szukanejpaszczyzny to3x 2y 3z+ 16 = 0.

(4) Dodatnia i ujemna strona paszczyzny.Dla uporzdkowanej trjki punktw A,B,Cmoemy okreli strony paszczyznyprzez nie wyznaczonej. Dodatni stron paszczyzny wyznaczonej przez A,B,Cnazywamy t cz przestrzeni, w ktrej znajduje si koniec wektora

ABAC.

Drug cz tej przestrzeni nazywamy stron ujemn.

Dla dowolnego punktu X R3 moemy atwo sprawdzi po ktrej stroniepaszczyzny znajduje si ten punkt, mamy bowiem(a) Xley po dodatniej stronie paszczyzny wyznaczonej przezA, B,Cwtedy

i tylko wtedy gdy det(AB,

AC,

AX)>0

(b) Xley po ujemnej stronie paszczyzny wyznaczonej przez A, B,Cwtedyi tylko wtedy gdy det(

AB,

AC,

AX)


50/243


4.4 Zastosowanie wyznacznika do rozwizywaniaukadu 3 rwna liniowych z 3 niewiadomymi.

Kolejnym bardzo wanym zastosowaniem wyznacznika jest uycie go do rozwizy-wania ukadw trzech rwna liniowych z trzema niewiadomymi. Ukad

(4.3)

a1x + b1y+ c1z= d1a2x + b2y+ c2z= d2a3x + b3y+ c3z= d3

gdzie ai, bi, ci, di s dane, natomiast x,y,z s niewiadomymi, moemy rozwizametod przez podstawianie, bywa ona jednak czsto bardzo czasochonna. Ko-rzystajc z pojcia wyznacznika mona wyprowadzi oglne wzory na rozwizanietakiego ukadu. W tym celu posuymy si wektorow interpretacj danego ukadu.

Moemy go bowiem zapisa jako

x a1a2

a3

+ y

b1b2

b3

+ z

c1c2

c3

=

d1d2

d3

,

lub krcejx A + y B+ z C= D.

Rozwizanie naszego ukadu sprowadza si zatem do znalezienia wspczynnikwrozkadu wektoraDw kombinacj liniow wektorwA, B,C.Aby wyznaczy wsp-czynnik x, pomnmy skalarnie obie strony otrzymanego rwnania przez B

C.

Otrzymamy wwczas(x A + y B+ z C) (B C) = D (B C),

co, korzystajc z wasnoci wyznacznika, moemy zapisa jako

det(x A + y B+ z C , B , C ) = det(D, B , C ),czylix det(A,B,C) + y det(B , B , C ) + z det(C , B , C ) = det(D, B , C ).Zauwamy,e det(B , B , C ) = (B B) C= 0.Podobnie det(C , B , C ) =C (B C) = 0,boB C C.Otrzymujemy zatem

x det(A,B,C) = det(D, B , C ).W analogiczny sposb moemy wyprowadzi zalenoci

y det(A,B,C) = det(A,D,C)z det(A,B,C) = det(A,B,D).

Przy zaoeniu, e det(A,B,C) = 0 rozwizaniem ukadu (4.3) jest

x= det(D,B,C)

det(A,B,C)

y= det(A,D,C)det(A,B,C)

z= det(A,B,D)det(A,B,C)

.


51/243


wiczenie. Postaraj si wyprowadzi zalenociy det(A,B,C) = det(A,D,C),z det(A,B,C) = det(A,B,D) stosujc rozumowanie podobne do tego, ktre poz-wolio uzyska zaleno x det(A,B,C) = det(D, B , C ).

Otrzymane rozwizanie moemy zapisa w oglniejszej postaci. W tym celuzdefiniujmy pewne uyteczne pojcia.

Definicja 4.4.1.Macierz (A,B,C) =

a1 b1 c1a2 b2 c2

a3 b3 c3

nazywamymacierz gwn

ukadu (4.3).Macierze pomocnicze powstaj przez zastpienie kolumn wspczynnikw przypewnej niewiadomej, kolumn wyrazw wolnych. Dla ukadu (4.3) mamy wic trzymacierze pomocnicze: (D, B , C ), (A,D,C), (A,B,D).Wyznacznikiem gwnym danego ukadu nazywamy wyznacznik macierzy gwnej,

czyliW= det(A,B,C).Wyznacznikami pomocniczymi nazywamy wyznaczniki Wx = det(D, B , C ),Wy= det(A,D,C), Wz= det(A,B,D).

Zauwamy, e Wxto wyznacznik macierzy powstaej przez zastpienie w macierzygwnej kolumny odpowiadajcej zmiennejxprzez kolumn wyrazw wolnych. Wyz-nacznik ten jest wykorzystywany do wyznaczenia zmiennej x. Macierz we wzorze naWy powstaje przez zastpienie kolumny odpowiadajcej zmiennej y przez kolumnwyrazw wolnych, natomiast sam wyznacznik wykorzystujemy do wyznaczenia zmien-nej y. Do znalezienia zuywamy wyznacznika Wz, ktry powstaje w analogicznysposb.Moemy teraz sformuowa oglne twierdzenie.

Twierdzenie 4.4.2 (rozwizanie ukadu rwna). JeliW= 0to ukad (4.3)ma dokadnie jedno rozwizanie, ktre przedstawia si nastpujco

x=Wx

W, y=

WyW

, z=Wz

W.

Uwaga 4.4.3. Twierdzenie powysze ma analogiczn posta, jak dla ukadu dwchrwna liniowych z dwiema niewiadomymi.

Przykad. Rozwimy ukad

3x+ 4y+ z= 12x 3y+ 2z= 5x y= 3

Macierz gwn tego ukadu jest macierz

3 4 12 3 2

1 1 0

.Wyznacznik tej macierzy

wynosiW= 0 2 + 8 + 3 + 6 0 = 15.Wyznaczniki pomocnicze to

Wx= det1 4 15 3 2

3 1 0= 0 5 + 24 + 9 + 2 0 = 30,


52/243


Wy= det

3 1 12 5 2

1 3 0

= 0 + 6 + 2 5 18 0 = 15,

Wz= det3 4 12 3 5

1 1 3

= 27 2 + 20 + 3 + 15 24 = 15.Rozwizaniem naszego ukadu jest wic trjka liczb

x=3015

= 2, y=15

15 = 1, z=15

15 = 1.


53/243

Rozdzia 5

Przeksztacenia liniowe przestrzeni

Rozdzia ten powicimy na zapoznanie si z przeksztaceniami przestrzeni. W

szczeglnoci zajmiemy si przeksztaceniami liniowymi. W pierwszym podrozdzialewprowadzimy podstawowe definicje, w kolejnych poznamy rne, geometryczne przy-kady przeksztace liniowych.

5.1 Podstawowe definicje.

Uwaga 5.1.1. W algebrze liniowej punkt o wsprzdnych(x1, x2, x3)czsto utosa-

miany jest ze swoim wektorem wodzcym, czyli wektorem o wsprzdnych

x1x2x3

.

Definicja 5.1.2 (przeksztacenie przestrzeni). Przeksztacenie T przestrzenijest to pewna regua, ktra kademu wektorowi X (punktowi) przestrzeni, przy-porzdkowuje jednoznacznie pewien wektor (punkt), oznaczony T(X) i zwany obrazemwektora Xprzez przeksztacenie T.

Uwaga 5.1.3. Czsto bdziemy stosowa zapisT

x1x2

x3

=

x

1

x2x3

,ktry oznacza,

e obrazem wektora

x1x2

x3

przez przeksztacenieT jest wektor

x1x2x3

.

53


54/243

Rozdzia 5. Przeksztacenia liniowe przestrzeni 54

Najwaniejszymi przeksztaceniami przestrzeni s tzw. przeksztacenia liniowei tylko takimi bdziemy zajmowa si w dalszej czci tego rozdziau.

Definicja 5.1.4 (przeksztacenie liniowe). Przeksztacenie T : R3

R3 jest

przeksztaceniem liniowym, jeli mona je opisa za pomoc wzoru

(5.1) T

x1x2

x3

=

ax1+ bx2+ cx3dx1+ ex2+ f x3

gx1+ hx2+ ix3

dla dowolnego wektora

x1x2

x3

R3,gdziea,b, c, d, e, f,g,h,ioznaczaj stae liczby.

Kademu przeksztaceniu liniowemu moemy jednoznacznie przyporzdkowapewn macierz, zwan macierz tego przeksztacenia. W wielu przypadkach bardzouatwi to opis, jak i badanie wasnoci danego przeksztacenia.

Uwaga 5.1.5(macierz przeksztacenia liniowego). Macierz

(5.2)

a b cd e f

g h i

nazywamy macierz przeksztaceniaT, zadanego wzorem (5.1).

Przykad. Przeksztacenie T, ktre dowolnemu wektorowi

x1x2

x3

przyporzd-

kowuje wektor

x1 3x2+ x32x1+ x3

x2

jest przeksztaceniem liniowym, bo

T

x1x2x3

=

x1 3x2+ x3

2x1+ x3x2

=

1 x1+ (3) x2+ 1 x3

2 x1+ 0 x2+ 1 x30

x1+ 1

x2+ 0

x3

,

czyli da si przedstawi w postaci (5.1) dla

a= 1, b= 3, c= 1, d= 2, e= 0, f= 1, g= 0, h= 1, i= 0.

Macierz tego przeksztacenia jest1 3 12 0 1

0 1 0

.

W kolejnych podrozdziaach zapoznamy si z rozmaitymi przykadami przek-sztace, ktre oka si by przeksztaceniami liniowymi.


55/243


5.2 Rzut prostopady na prost wzdu wektoraU.

Na pocztek zdefiniujmy czym, dla dowolnego punktu Xi prostej Ljest rzutprostopady tego punktu na t prost.

Definicja 5.2.1 (rzut prostopady na prost). Rzutem prostopadym punktuXna prost L,nazywamy taki punkt X,o kocu na prostej L,e rnica X Xjest wektorem prostopadym do L.

Rzut prostopady na prost wzdu wektora U=

35

1

Rozwamy teraz zagadnienie rzutu prostopadego wektora dla konkretnej prostej

L, mianowicie dla prostej wzdu wektora U, czyli prostej przechodzcej przez

pocztek ukadu, o wektorze kierunkowym U. Niech U=

35

1

.Prost wzdu

wektora Umona wwczas zapisa jako t U=t 35

1

=

3t5t

t

.Dla takiej

prostejLsprbujmy znale rzut prostopady wektoraXnaL. Zadanie to sprowadzasi do znalezienia odpowiedniej wartoci parametru t, tak aby X = t U, bdcyrzutem wektoraXna prost wzduU,spenia warunki okrelone w Definicji 5.2.1,

czyli aby X X = X tU= x1+ 3tx2 5t

x3 t

by prostopady do tej prostej, a tymsamym by prostopady do wektora U.Musi wic zachodzi

(X X) U= 0.

Ten warunek moemy zapisa jako

x1+ 3tx2 5tx3 t

35

1

= 3x1 9t + 5x2 25t + x3 t= 0.


56/243


Wsprzdne x1, x2, x3traktujemy tutaj jako dane, moemy wic wyznaczy t

(9 25 1) t 3x1+ 5x2+ x3= 0

3x1+ 5x2+ x3= 35tt=

3x1+ 5x2+ x335

Zatem wektorXmoemy zapisa jako

X= tU=3x1+ 5x2+ x3

35

35

1

=

935

x1 1535x2 335x315

35+ 25

35x2+ 535x3 3

35x1+ 535x2+

135

x3

Jest to wzr postaci zgodnej z definicj przeksztacenia liniowego, rzut ten jest wicprzeksztaceniem liniowym, ktrego macierz jest

935

1535

33515

352535

535 3

35535

135

.

Rzut prostopady na prost wzdu wektora U - przypadek oglny

Zastanwmy si jednak, jak wyglda wzr takiego przeksztacenia, dla prostejLpoprowadzonej wzdu dowolnego wektora U R3 o zadanych wsprzdnych U=

u1u2

u3

. Sprawdmy, czy zawsze bdzie to przeksztacenie liniowe. Dla przypadku

oglnego, sprbujmy znale takie t,aby X= tUoraz (X X) U= 0.

Otrzymujemy wic (X tU) U= 0X U t U U= 0

X U=t U U=t|U|2a std moemy ju wyznaczy t

t= X U|U|2 .


57/243


Oglny wzr na rzut to zatem

(5.3) X= tU= XU|U|2 U.

We wsprzdnych, dla X

x1x2

x3

, U=

u1u2

u3

wzr ten przyjmuje posta

X= T

x1x2

x3

=

x1x2

x3

u1u2

u3

u1u2

u3

2 u1u2

u3

= x1u1+ x2u2+ x3u3

u21+ u22+ u23

u1u2

u3

=

x1u2

1+x2u1u2+x3u1u3

u21+u2

2+u2

3

x1u1u2+x2u22+x3u2u3u21+u2

2+u2

3

x1u1u3+x2u2u3+x3u23u21+u2

2+u2

3

=

u21

u21+u2

2+u2

3

x1+ u1u2u21+u2

2+u2

3

x2+ u1u3u21+u2

2+u2

3

x3u1u2

u21+u2

2+u2

3

x1+ u2

2

u21+u2

2+u2

3

x2+ u2u3u21+u2

2+u2

3

x3u1u3

u21+u2

2+u2

3

x1+ u2u3u21+u2

2+u2

3

x2+ u2

3

u21+u2

2+u2

3

x3

Zatem zgodnie z Definicj 5.1 jest to przeksztacenie liniowe. Macierz tego przek-sztacenia jest

u21

u21+u2

2+u2

3

u1u2u21+u2

2+u2

3

u1u3u21+u2

2+u2

3

u1u2u21+u2

2+u2

3

u22

u21+u2

2+u2

3

u2u3u21+u2

2+u2

3

u1u3u21+u2

2+u2

3

u2u3u21+u2

2+u2

3

u23

u21+u2

2+u2

3

.

Macierz t moemy te zapisa w postaci

1u21+ u22+ u23

u

21 u1u2 u1u3

u1u2 u22 u2u3

u1u3 u2u3 u23

.

Wniosek 5.2.2. Rzut prostopady na prost wzdu dowolnego wektoraU R3 jestprzeksztaceniem liniowym.

5.3 Symetria wzgldem paszczyzny.

Innym przykadem przeksztacenia liniowego jest odbicie (symetria) wzgldempaszczyzny przechodzcej przez pocztek ukadu wsprzdnych. Rozwamy toprzeksztacenie na przykadzie odbicia wzgldem paszczyzny zadanej rwnaniem3x5y 2z= 0.Skorzystamy z nastpujcego opisu warunkw, jakie spenia punktXbdcy obrazem punktu Xprzez to przeksztacenie.

Fakt 5.3.1 (obraz punktu w symetrii wzgldem paszczyzny). ObrazempunktuXw odbiciu wzgldem paszczyznyjest punktX speniajcy nastpujcedwa warunki


58/243


1. X ley na prostej l prostopadej do przechodzcej przezX.

2. rodekSodcinkaXX naley do paszczyzny.

Posugujc si powyszymi dwoma warunkami znajdmy obraz X =

x

1

x2x3

punktuX=

x1x2

x3

w symetrii wzgldem paszczyzny : 3x5y 2z= 0.Wektor

normalny paszczyzny , to N =

3

5

2

. Prost l, tzn. prost prostopad do

przechodzc przez X, moemy wic zapisa w postaci l : X+tN, co popodstawieniu wsprzdnych daje

l:

x1x2

x3

+ t

35

2

=

x1+ 3tx2 5t

x3 2t

.

PunktXnaley do prostej l, wic dla pewnej wartocitmamyX=

x1+ 3tx2 5t

x3 2t

.

Wiemy rwnie, e punkt S,jest rodkiem odcinka XX,czyli

S=12

(X+ X) =

12

x1+ 12x1

12

x2+ 12x2

12

x3+ 12x3

=

12

x1+ 12x1+ 32

t12

x2+ 12x2 52t12

x3+ 12x3 t

=

x1+

32

tx2 52tx3 t

.

Punkt ten naley do paszczyzny zatem jego wsprzdne speniaj warunek

3(x1+32

t) 5(x2 52t) 2(x3 t) = 0.

Przeksztamy t rwno traktujc wsprzdne x1, x2, x3 jako dane, za wartoparametrutjako niewiadom, ktr wyliczamy

3x1 5x2 2x3+ 19t= 0,


59/243


19t= 3x1+ 5x2+ 2x3,t= 3

19x1+

519

x2+ 219

x3.

Std po wstawieniu wyliczonej wartoci dla parametru totrzymujemy

X=

x1+ 3tx2 5t

x3 2t

=

x1

919

x1+ 1519x2+ 619

x3x2+ 1519x1 2519x2 1019x3x3+ 619x1 1019x2 419x3

=

1019

x1+ 1519x2+ 619

x31519

x1 619x2 1019x3619

x1 1019x2+ 1519x3

.

Symetria wzgldem paszczyzny 3x 5y 2z= 0 jest wic przeksztaceniem linio-wym. Macierz tego przeksztacenia to

1019

1519

619

1519

619

1019

619

1019

1519

.

5.4 Jednokadno Jk o skali k wzgldem (0, 0, 0).

Jednokadno Jk o skali k wzgldem (0, 0, 0), jest rwnie przeksztaceniem

liniowym. Obrazem wektora X =

x1x2

x3

, w takiej jednokadnoci, jest wektor

lecy na prostej wyznaczonej przez wektor X, ale pomnoony przez k ,czyli

Jk(X) = k X.

Poniej przedstawiamy przykad takiego przeksztacenia dla k= 12 .

We wsprzdnych jednokadno o skali kmoemy przedstawi jako

Jk

x1x2

x3

=k

x1x2

x3

=

kx1kx2

kx3

=

k x1+ 0 x2+ 0 x30 x1+ k x2+ 0 x3

0 x1+ 0 x2+ k x3

.

Przeksztacenie Jkjest wic rzeczywicie przeksztaceniem liniowym, ktrego macierzjest

k 0 0

0 k 00 0 k

.


60/243


5.5 Rzuty i symetrie zwizane z osiami i paszczyz-nami wsprzdnych.

Rzut na paszczyznZgodnie z oznaczeniami, wprowadzonymi w Rozdziale 1, paszczyzny wsprzd-

nych to Oxy, Oxz, Oyz .Rozwamy rzut prostoktny na paszczyzn Oxy,oznaczmygo Pxy.

Zauwamy, e obrazem punktuX=

xy

z

przez takie przeksztacenie bdzie punkt

X=

xy

0

, a wic przeksztacenie to moemy opisa wzorem Pxy

xy

z

=

xy

0

.

Z postaci tego wzoru moemy wnioskowa, e Pxy jest przeksztaceniem liniowym,ktrego macierz jest

m(Pxy) =

1 0 00 1 0

0 0 0

.

W analogiczny sposb otrzymujemy m(Pyz) =

0 0 00 1 0

0 0 1

oraz m(Pxz) =

1 0 00 0 0

0 0 1

,

gdziePyz , Pxz oznaczaj rzuty na paszczyzny Oyz , Oxz,odpowiednio.

Symetria wzgldem paszczyzny

Rozwamy teraz symetrie wzgldem tych paszczyzn. Niech Sxyoznacza symetriwzgldemOxy.Zauwamy, e koniec wektoraXbdcego obrazem wektoraXprzezto przeksztacenie znajduje si na prostej prostopadej do paszczyzny Oxy i prze-chodzcej przez koniec wektora X. Zgodnie z okreleniem wsprzdnych wektora,podanym w pierwszym rozdziale, oznacza to, e wektoryXiXmaj na paszczynieOxy takie same wsprzdne, co oznacza, e dwie pierwsze wsprzdne tych wek-torw s takie same. Ponadto odlego wektora X od paszczyzny Oxy jest takasama jak odlego wektora Xod tej paszczyzny i znajduj si one po przeciwnychstronach tej paszczyzny, tak wic trzecia wsprzdna wektora X bdzie miaa t


61/243


sam warto ale przeciwny znak co trzecia wsprzdna wektora X. Obrazem wek-

toraX=

xyz

w takiej symetrii bdzie zatem punktX= Sxy

xyz

=

xy

z

.

Z postaci wzoru wyznaczajcego obraz wektora przez to przeksztacenie moemywnioskowa, e symetria wzgldem paszczyzny jest przeksztaceniem liniowym omacierzy

m(Sxy) =

1 0 00 1 0

0 0 1

.

Podobnie otrzymujemy

m(Syz) =

1 0 00 1 0

0 0 1

, m(Sxz) =

1 0 00 1 0

0 0 1

,

gdzieSyz , Sxz s symetriami wzgldem paszczyzn Oyz , Oxz,odpowiednio.

Rzuty na osie

Zajmijmy si teraz rzutami na osie. Niech Pxoznacza rzut na o Ox.


62/243


Jak nietrudno si przekonaPx

xy

z

=

x0

0

.Rzut na o jest zatem przeksztace-

niem liniowym, ktrego macier

Documents

skrypt z algebry liniowej