STATISTIKA

ANALIZA VARINCE

16.3.2011

Doc.dr. Tadeja Kraner Šumenjak

2

ANALIZA VARIANCE

Proučuje, kako ena ali več neodvisnih

spremenljivk (faktorjev) vpliva na slučajno

odvisno spremenljivko Y, ki meri izid poskusa.

Odgovori na vprašanje: Ali so odstopanja zaradi

vpliva različnih faktorjev ali pa so slučajna?

Variabilnost izida poskusa povzročajo

Proučevani dejavniki

Kontrolirani moteči dejavniki

Nekontrolirani moteči dejavniki. Ta del

variabilnosti ostane nepojasnjen. Imenujemo ga

OSTANEK ali EKSPERIMENTALNA NAPAKA

Primer

V vsaki skupini živali so potomci drugega očeta.

Zanimajo nas dnevni prirastki mas v posameznih

skupinah v določenem starostnem obdobju. Če potomci

določenega očeta hitreje pridobivajo na masi, so

primernejši za vzrejo. Pri meritvah smo dobili dnevne

prirastke mas (v gramih), ki so prikazani v preglednici:

Ponovitev 1. skupina 2. skupina 3. skupina 4. skupina

1 892 849 795 925

2 871 885 872 908

3 812 910 817 917

4 923 795 903 1000

5 869 932 841 881

6 894 898

7 937

Skupaj 4367 6202 4228 5529

Povprečje skupine 873,5 886,0 845,6 921,5

Če glede na velikost aritmetičnih sredin,

sklepamo, da biki četrte skupine najhitreje

pridobivajo na masi, lahko pridemo do napačnih

zaključkov.

Poleg genetskih lastnosti namreč na pridobivanje

mase vplivajo tudi drugi dejavniki kot so prebolele

bolezni, vplivi okolja in drugi. Zato moramo za

primerjavo aritmetičnih sredin uporabiti metodo,

ki bo izločila slučajne vplive.

Pri analizi variance skušamo sprejeti eno izmed

hipotez:

H1: najmanj dve aritmetični sredini nista enaki.

H0: M1 = M2 = M3 = … = Mk

Rešitev

K=2 naredimo t-test za neodvisne vzorce

K=3 tri parne primerjave (pogojno)H0: M1 = M2H0: M1 = M3H0: M2 = M3

K>3 ne smemo narediti vse parne primerjave, ker so medsebojno odvisne. To bi imelo za posledico, da bi zavrnili več H0, kot bi jih smeli pri predpisani vrednosti α.

K≥3 ANOVA

OPOMBA: pri K=2 tudi lahko uporabljamo ANOVO, vendar je t-

preizkus enostavnejši

•Y naj bo slučajna spremenljivka, ki meri izid poskusa.

•Yi naj opisuje izid pri i-tem obravnavanju (obravnavanja so

lahko različne sorte, gostote setve)

•Yi~N(Mi,σ)

•Za analizo variance mora biti izpolnjena predpostavka o

homogenosti varianc, torej standardni odklon populacije je za

vsa obravnavanja enak (LEVENOV TEST).

•Zagotovljena mora biti medsebojna neodvisnost obravnavanj.

•Mi si bomo ogledali le primer, ko je število ponovitev pri vseh

obravnavanjih enako.

ENOSMERNA ANALIZA VARIANCE

(SLUČAJNE SKUPINE)

k

i

n

j

iij

k

i

i

k

i

n

j

ij xxxxnxxQ1 1

22

1

0

1 1

200

)()()(

Skupna vsota kvadratov

Merjena z vsoto kvadratov

odklonov opazovanih

vrednosti od aritmetične

sredine

Vsota kvadratov

pojasnjena z

obravnavanji

(Zaradi razlik med

obravnavanji)

Nepojasnjena

variabilnost

Ostanek,

napaka

0 0 je število skupin je število ponovitev n=kk n n

Različni viri variiranjai

skupno povprečje

x povprečje za i-to skupino

x

Q = Qn+Qg

2

1 1

01

k

i

n

j

ijxn

C

k

i

n

j

ij

k

i

n

j

k

i

n

j

ijij

k

i

n

j

ij Cxxn

xxxQ1 1

2

2

1 1 1 1

2

1 1

200 00 1

)(

Cxn

xxnQk

i

k

i

n

j

ijig

2

1 1 10

2

0

01)(

Vpeljimo parameter C, ki je definiran kot:

Nato izračunamo skupno vsoto kvadratov odstopanj od

skupne aritmetične sredine. Ta je:

Vsota kvadratov odstopanj aritmetičnih sredin

skupin od skupne aritmetične sredine pa je:

Vir variabilnosti

Vsota

kvadrato

v

Število

prostostnih

stopenj

Srednji

kvadriran

odklon

F

Fkritični

OBRAVNAVANJE

(med obravnavanji)

Qg

k - 1

2

gs 2

2

n

g

s

s

tabelirana

vrednost

NAPAKA

(znotraj

obravnavanj)

Qn

n - k

2

ns

Skupaj

Q

n - 1

Povprečje vsote kvadratov dobimo:

kn

Qs

k

Qs

nn

g

g

2

2

1

Izkaže se, da je v primeru, ko je ničelna hipoteza

pravilna kvocient

2

2

n

g

s

sF

je porazdeljen po Fisherjevi F(k1, Nk) porazdelitvi.

Ničelno hipotezo, ki pravi, da so aritmetične sredine

posameznih skupin enake lahko zavrnemo, če je gornji

izraz večji od tabelirane vrednosti F - porazdelitve pri

izbrani stopnji tveganja. Rečemo, da so razlike

statistično značilne.

Zap.

številka

1.

pasma

2.

pasma

3.

pasma

1 36,6 31,0 35,9

2 36,1 27,0 33,6

3 36,1 26,8 36,4

4 38,3 31,3 35,8

5 36,6 29,0 35,2

6 39,2 30,5 29,2

Pri merjenju debeline hrbtnega sala treh pasem svinj

smo dobili naslednje rezultate (v mm)

Ali je debelina sala odvisna od pasme?

Ponovitev Sorta A Sorta

B

Sorta

C

Sorta

D

1 33 27 37 11

2 25 43 17 48

3 20 36 28 14

4 19 20 40 23

5 42 22 26 36

V poljedelskem poskusu smo preverjali štiri

sorte krompirja in ugotavljali višino pridelka (v

tonah)

Ali je pridelek krompirja glede na posamezne

sorte statistično različen?

Sum of

Squares df

Mean

Square F Sig.

Between

Groups191,654 2 95,827 22,181 ,000

Within

Groups64,803 15 4,320

Total 256,458 17

Sum of

Squares df Mean Square F Sig.

Between Groups 36,150 3 12,050 ,094 ,962

Within Groups 2050,400 16 128,150

Total 2086,550 19

17

Primer

18

Primer 2

19

R.MEAD-NASVET

Potrebno število enot n v poskusu:

10 20df

df za ostanek

(napaka)

Več kot 20 ni potrebno,

10 je premalo.

PREIZKUSI MNOGOTERIH

PRIMERJAV

Med povprečnimi vrednostmi obstajajo statistično

značilne razlike. ANALIZO VARIANCE

NADALJUJEMO:

-PREIZKUSI MNOGOTERIH PRIMERJAV

(LSD, Tukey,Duncan)

-NAČRTOVANE PRIMERJAVE KONTRASTI

ENOSMERNA ANALIZA VARIANCE

(SLUČAJNI BLOKI)

Skupine

(t)

1 2 … j … b Skupaj Pov.

1

2

:

i

:

t

x11

x21

xi1

xt1

x12

x22

xi2

xt2

… x1j

x2j

xij

xtj

… x1b

x2b

xib

xtb

x10

x20

xi0

xt0

Skupaj x01 x02 … x0j … x0b

Pov.

Bloki

00

00

0

0

22 200

1 1 1 1

2

00

2

0

1

B

2

skupno povprečje

x skupna vsota

povprečje skupin 1,2,...,

povprečje blokov j 1,2,...,

; je korekcijski člen

Q

i

j

t b t b

ij ij

i j i j

b

j

j

i

g

x

x i t

x b

xQ x x C

bt

xC bt n C

bt

x

Ct

x

Q

0

1

t

i

n B g

Cb

Q Q Q Q

B

g

Vir variabil. Vsota kv. Pros. st. Srednji kv. odklon F

BLOKI Q -1

OBRAVN. Q -1

b

kg g

n

nn

Q Q ( 1)( 1)

k-1 Q ( 1)

QNAPAKA Q ( -1)( -1)

( -1)( -1)

SKUPAJ Q -1

b t

k

b tb t

bt

Testiramo ničelno domnevo, da so aritmetične

sredine po obravnavanjih enake.

Izračunan F je porazdeljen po Fisherjevi F(k1,

(B-1)(K-1)) porazdelitvi.

Ničelno hipotezo, ki pravi, da so aritmetične

sredine posameznih skupin enake lahko

zavrnemo, če je gornji izraz večji od tabelirane

vrednosti F - porazdelitve pri izbrani stopnji

tveganja. Rečemo, da so razlike statistično

značilne.

25

H1

5

H4

4

H3

4,3

H2

4,8

H2

5

H3

4,2

H1

5,7

H4

4,9

H3

5

H1

4,6

H4

4,1

H2

4,5

H4

5

H2

4,6

H1

5,2

H3

4

H4

4,4

H2

5,4

H3

4,2

H1

5,3

Postavitev NAKLJUČNI BLOK

Primerjava pridelkov zrnja (t/ha, 14% vlaga) štirih hibridov koruze, v petih

ponovitvah (Vir: Hadživuković, 1989).

I

II

III

IV

V

1 2 3 4 5 sum pov

1 5 5,7 4,6 5,2 5,3 25,8 5,16

2 4,8 5 4,5 4,6 5,4 24,3 4,86

3 4,3 4,2 5 4 4,2 21,7 4,34

4 4 4,9 4,1 5 4,4 22,4 4,48

sum 18,1 19,8 18,2 18,8 19,3 94,2

pov 4,525 4,95 4,55 4,7 4,825 4,71

00

00

2

1 1

2 2

00

2

0 2 2 2 2 21

B

2

2 2 2 20

1

4,71

x =94,2

448,34 443,682 4,658

(94,2)443,682

20

(18,1 19,8 18,2 18,8 19,3 )Q 443,682 444,205 443,682 0,523

4

(25,8 24,3 21,7 22,4

t b

ij

i j

b

j

j

t

i

ig

x

Q x C

xC

bt

x

Ct

x

Q Cb

)

443,682 2,0745

2,06n B gQ Q Q Q

Vir variabil. Vsota kv. Pros. st. Srednji kv. odklon F

BLOKI 0,523 4

OBRAVN. 2,074 3 0,6913 4,026

NAPAKA 2,06 12 0,1717

SKUPAJ 4,658 19

Ničelno domnevo zavrnemo. Pri 5% tveganju lahko trdimo, da

ima hibrid statistično značilen vpliv na pridelek.

29

Potek dela:

1. zapis podatkov v Excel-ovo tabelo (neodvisne spremenljivke; hibrid, ponovitev in

odvisna spremenljivka; pridelek)

30

2. tabelo (neposredno) prenesemo v statistični program SPSS,

STATISTIX, STATGRAPH....

31

2. tabelo (neposredno) prenesemo v statistični program SPSS,

STATISTIX, STATGRAPH....

32

3. naredimo (ustrezno) analizo variance ANOVA

33

34

35

3. naredimo (ustrezno) analizo variance ANOVA :

Interpretiranje rezultatov: GLEJ P-vrednost!!

P blok ne interpretiramo

P hibrid 0,05 s 5%-nim tveganjem oz. 95% zanesljivostjo lahko trdimo,

da ima hibrid statistično značilen vpliv na pridelek (*)

Po domače: ni vseeno kateri hibrid sejemo!

,034

36

Namen: ugotoviti vpliv dodatne svetlobe na nesnost kokoši v zimskem času.

Obravnavanja:- K kontrola

-PDan podaljšani dan (14 ur)

-Blisk (K+1 krat 20 sek bliskavice na noč)

Poskusni material:

4 kurniki

v vsakem 3 kletke

v vsaki kletki po šest kokoši

Poskusna zasnova: slučajni bloki (en kurnik je blok). Narediti moramo

slučajni izbor za vsak kurnik posebej.

Izid: skupno število jajc na kletko v času od 1. decembra do 22. februarja

Še en primer:

37

kurnik K Pdan Blisk

1 330 372 359

2 288 340 337

3 295 343 373

4 313 341 302

Tabela: Skupno število jajc na kletko po obravnavanjih in blokih.