Embed Size (px)
DESCRIPTION
Teoria względności. Szczególna teoria względności. Transformacje Galileusza. Przyspieszenie układu S’: a = 0. x’ = x - vt y’ = y z’ = z t’ = t. S. S’. y. y’. vt. v. (1). x. x’. x’ = x - v t. (2). Transformacja odwrotna. (2). x = x’ + vt’ y = y’ z = z’ t = t’. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Teoria względności
Szczegoacutelna teoria względności
Transformacje Galileusza
Przyspieszenie układu Srsquo a = 0
y yrsquo
x xrsquo
xrsquo = x - vt
yrsquo = y
zrsquo = z
trsquo = tvt
xrsquo = x - v t
S Srsquo
(1)
(2)
v
x = xrsquo + vtrsquo
y = yrsquo
z = zrsquo
t = trsquo
Transformacja odwrotna
x = xrsquo+ vtrsquo
Dodawanie prędkości
u = ursquo + v
(2)
Spełniony jest warunek
(3)
We wszystkich rozpatrywanych przypadkach mamy ruch w kierunku dodatnim osi x
Einstein oparł swoją teorię na dwoacutech postulatach
1) zwany zasadą względności
2) dotyczący stałości prędkości światła we wszystkich układach inercjalnych
Ad 1) Od czasoacutew Galileusza wiedziano że prawa mechaniki (fizyki) są takie same we wszystkich układach inercjalnych Einstein rozszerzył ten pogląd na obszar całej fizyki a w szczegoacutelności elektromagnetyzmu
Ad 2) Drugi postulat natomiast oznaczał że hipotetyczny eter nie jest potrzebny do propagacji fal elektromagnetycznych
Wszystkie wnioski dotyczące szczegoacutelnej teorii względności wynikają z tych postulatoacutew
1 Zasada względności
We wszystkich układach inercjalnych prawa fizyki są jednakowe
Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego ruchem jednostajnym jest też układem inercjalnym
Układ odniesienia w ktoacuterym ciało nie poddane działaniu sił pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym nazywamy układem inercjalnym
Ziemia widziana z Księżyca
2 Postulat szczegoacutelnej teorii względności
Prędkość światła nie zależy od układu odniesienia
Przed ogłoszeniem przez Einsteina teorii względności Michelson i Morley wykonali pomiary prędkości światła polegające na poroacutewnaniu rozchodzenia się prędkości dwoacutech wiązek świetlnych w proacuteżni z ktoacuterych jedna poruszała się w kierunku poacutełnoc - południe druga w kierunku wschoacuted - zachoacuted Należało oczekiwać że prędkości tych wiązek będą roacuteżne Doświadczenie pokazało że w proacuteżni światło porusza się z prędkością c niezależnie od ruchu źroacutedła lub obserwatora
Transformacja relatywistycznaDodawanie prędkości
c = c + v
c = c - v
W przypadku kulistej fali światła
w układzie S x2 + y2 + z2 = c2t2 (4)
w układzie Srsquo xrsquo2 + yrsquo2 + zrsquo2 = c2trsquo2 (5)
W kinematyce nierelatywistycznej obowiązywało
xrsquo = x - vt t = trsquo
R
R = ct
x X
y
YZ
x2 + y2 + z2 = (ct)2
Natomiast w przypadku kinematyki relatywistycznej wprowadzono wspoacutełczynnik
xrsquo =(x - vt) x = rsquo(xrsquo + vtrsquo) (6)
Skoro nie istnieje wyroacuteżniony układ wspoacutełrzędnych inercjalnych to rsquo = (6a)
Szukamy transformacji czasu
x = (xrsquo + vtrsquo) x - xrsquo = vtrsquo
ale xrsquo = (x - vt) czyli
t
v
x
v
xvtx
vv
x
v
vtxxt
22
2
2
2
)()(
t
v
xt )1
1(
2 (7)
tx x
v
Po uporządkowaniu
2
2222222 1
1)(
t
v
xczyvtx
Z (1) wynika że yrsquo = y zrsquo = z (8)
(9)
(10)
Szukamy takiego aby (10) było identyczne z (4)
x2 + y2 + z2 = c2t2
22222
222
2222
2
22
222 1
1221
1
tvc
zyxtv
cvx
v
c
111
22
222
v
c
Zatem musi być
c22 - v2 2 = c2 z tego warunku wynika że
22
2 2 2
2
1
1
c
c v v
c
1
12
2
v
c(11)
Znając przekształcamy (7) i otrzymujemy
2
c
vxtt
(12)
Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne zwane transformacjami Lorentza ktoacutere w przypadku ruchu układu w dodatnim kierunku osi x mają następującą postać
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
1 bo v c
(13)
Transformuje się czas Tego w fizyce klasycznej nie było
2
c
vxtt
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Transformacje Galileusza
Przyspieszenie układu Srsquo a = 0
y yrsquo
x xrsquo
xrsquo = x - vt
yrsquo = y
zrsquo = z
trsquo = tvt
xrsquo = x - v t
S Srsquo
(1)
(2)
v
x = xrsquo + vtrsquo
y = yrsquo
z = zrsquo
t = trsquo
Transformacja odwrotna
x = xrsquo+ vtrsquo
Dodawanie prędkości
u = ursquo + v
(2)
Spełniony jest warunek
(3)
We wszystkich rozpatrywanych przypadkach mamy ruch w kierunku dodatnim osi x
Einstein oparł swoją teorię na dwoacutech postulatach
1) zwany zasadą względności
2) dotyczący stałości prędkości światła we wszystkich układach inercjalnych
Ad 1) Od czasoacutew Galileusza wiedziano że prawa mechaniki (fizyki) są takie same we wszystkich układach inercjalnych Einstein rozszerzył ten pogląd na obszar całej fizyki a w szczegoacutelności elektromagnetyzmu
Ad 2) Drugi postulat natomiast oznaczał że hipotetyczny eter nie jest potrzebny do propagacji fal elektromagnetycznych
Wszystkie wnioski dotyczące szczegoacutelnej teorii względności wynikają z tych postulatoacutew
1 Zasada względności
We wszystkich układach inercjalnych prawa fizyki są jednakowe
Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego ruchem jednostajnym jest też układem inercjalnym
Układ odniesienia w ktoacuterym ciało nie poddane działaniu sił pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym nazywamy układem inercjalnym
Ziemia widziana z Księżyca
2 Postulat szczegoacutelnej teorii względności
Prędkość światła nie zależy od układu odniesienia
Przed ogłoszeniem przez Einsteina teorii względności Michelson i Morley wykonali pomiary prędkości światła polegające na poroacutewnaniu rozchodzenia się prędkości dwoacutech wiązek świetlnych w proacuteżni z ktoacuterych jedna poruszała się w kierunku poacutełnoc - południe druga w kierunku wschoacuted - zachoacuted Należało oczekiwać że prędkości tych wiązek będą roacuteżne Doświadczenie pokazało że w proacuteżni światło porusza się z prędkością c niezależnie od ruchu źroacutedła lub obserwatora
Transformacja relatywistycznaDodawanie prędkości
c = c + v
c = c - v
W przypadku kulistej fali światła
w układzie S x2 + y2 + z2 = c2t2 (4)
w układzie Srsquo xrsquo2 + yrsquo2 + zrsquo2 = c2trsquo2 (5)
W kinematyce nierelatywistycznej obowiązywało
xrsquo = x - vt t = trsquo
R
R = ct
x X
y
YZ
x2 + y2 + z2 = (ct)2
Natomiast w przypadku kinematyki relatywistycznej wprowadzono wspoacutełczynnik
xrsquo =(x - vt) x = rsquo(xrsquo + vtrsquo) (6)
Skoro nie istnieje wyroacuteżniony układ wspoacutełrzędnych inercjalnych to rsquo = (6a)
Szukamy transformacji czasu
x = (xrsquo + vtrsquo) x - xrsquo = vtrsquo
ale xrsquo = (x - vt) czyli
t
v
x
v
xvtx
vv
x
v
vtxxt
22
2
2
2
)()(
t
v
xt )1
1(
2 (7)
tx x
v
Po uporządkowaniu
2
2222222 1
1)(
t
v
xczyvtx
Z (1) wynika że yrsquo = y zrsquo = z (8)
(9)
(10)
Szukamy takiego aby (10) było identyczne z (4)
x2 + y2 + z2 = c2t2
22222
222
2222
2
22
222 1
1221
1
tvc
zyxtv
cvx
v
c
111
22
222
v
c
Zatem musi być
c22 - v2 2 = c2 z tego warunku wynika że
22
2 2 2
2
1
1
c
c v v
c
1
12
2
v
c(11)
Znając przekształcamy (7) i otrzymujemy
2
c
vxtt
(12)
Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne zwane transformacjami Lorentza ktoacutere w przypadku ruchu układu w dodatnim kierunku osi x mają następującą postać
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
1 bo v c
(13)
Transformuje się czas Tego w fizyce klasycznej nie było
2
c
vxtt
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
x = xrsquo + vtrsquo
y = yrsquo
z = zrsquo
t = trsquo
Transformacja odwrotna
x = xrsquo+ vtrsquo
Dodawanie prędkości
u = ursquo + v
(2)
Spełniony jest warunek
(3)
We wszystkich rozpatrywanych przypadkach mamy ruch w kierunku dodatnim osi x
Einstein oparł swoją teorię na dwoacutech postulatach
1) zwany zasadą względności
2) dotyczący stałości prędkości światła we wszystkich układach inercjalnych
Ad 1) Od czasoacutew Galileusza wiedziano że prawa mechaniki (fizyki) są takie same we wszystkich układach inercjalnych Einstein rozszerzył ten pogląd na obszar całej fizyki a w szczegoacutelności elektromagnetyzmu
Ad 2) Drugi postulat natomiast oznaczał że hipotetyczny eter nie jest potrzebny do propagacji fal elektromagnetycznych
Wszystkie wnioski dotyczące szczegoacutelnej teorii względności wynikają z tych postulatoacutew
1 Zasada względności
We wszystkich układach inercjalnych prawa fizyki są jednakowe
Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego ruchem jednostajnym jest też układem inercjalnym
Układ odniesienia w ktoacuterym ciało nie poddane działaniu sił pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym nazywamy układem inercjalnym
Ziemia widziana z Księżyca
2 Postulat szczegoacutelnej teorii względności
Prędkość światła nie zależy od układu odniesienia
Przed ogłoszeniem przez Einsteina teorii względności Michelson i Morley wykonali pomiary prędkości światła polegające na poroacutewnaniu rozchodzenia się prędkości dwoacutech wiązek świetlnych w proacuteżni z ktoacuterych jedna poruszała się w kierunku poacutełnoc - południe druga w kierunku wschoacuted - zachoacuted Należało oczekiwać że prędkości tych wiązek będą roacuteżne Doświadczenie pokazało że w proacuteżni światło porusza się z prędkością c niezależnie od ruchu źroacutedła lub obserwatora
Transformacja relatywistycznaDodawanie prędkości
c = c + v
c = c - v
W przypadku kulistej fali światła
w układzie S x2 + y2 + z2 = c2t2 (4)
w układzie Srsquo xrsquo2 + yrsquo2 + zrsquo2 = c2trsquo2 (5)
W kinematyce nierelatywistycznej obowiązywało
xrsquo = x - vt t = trsquo
R
R = ct
x X
y
YZ
x2 + y2 + z2 = (ct)2
Natomiast w przypadku kinematyki relatywistycznej wprowadzono wspoacutełczynnik
xrsquo =(x - vt) x = rsquo(xrsquo + vtrsquo) (6)
Skoro nie istnieje wyroacuteżniony układ wspoacutełrzędnych inercjalnych to rsquo = (6a)
Szukamy transformacji czasu
x = (xrsquo + vtrsquo) x - xrsquo = vtrsquo
ale xrsquo = (x - vt) czyli
t
v
x
v
xvtx
vv
x
v
vtxxt
22
2
2
2
)()(
t
v
xt )1
1(
2 (7)
tx x
v
Po uporządkowaniu
2
2222222 1
1)(
t
v
xczyvtx
Z (1) wynika że yrsquo = y zrsquo = z (8)
(9)
(10)
Szukamy takiego aby (10) było identyczne z (4)
x2 + y2 + z2 = c2t2
22222
222
2222
2
22
222 1
1221
1
tvc
zyxtv
cvx
v
c
111
22
222
v
c
Zatem musi być
c22 - v2 2 = c2 z tego warunku wynika że
22
2 2 2
2
1
1
c
c v v
c
1
12
2
v
c(11)
Znając przekształcamy (7) i otrzymujemy
2
c
vxtt
(12)
Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne zwane transformacjami Lorentza ktoacutere w przypadku ruchu układu w dodatnim kierunku osi x mają następującą postać
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
1 bo v c
(13)
Transformuje się czas Tego w fizyce klasycznej nie było
2
c
vxtt
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Einstein oparł swoją teorię na dwoacutech postulatach
1) zwany zasadą względności
2) dotyczący stałości prędkości światła we wszystkich układach inercjalnych
Ad 1) Od czasoacutew Galileusza wiedziano że prawa mechaniki (fizyki) są takie same we wszystkich układach inercjalnych Einstein rozszerzył ten pogląd na obszar całej fizyki a w szczegoacutelności elektromagnetyzmu
Ad 2) Drugi postulat natomiast oznaczał że hipotetyczny eter nie jest potrzebny do propagacji fal elektromagnetycznych
Wszystkie wnioski dotyczące szczegoacutelnej teorii względności wynikają z tych postulatoacutew
1 Zasada względności
We wszystkich układach inercjalnych prawa fizyki są jednakowe
Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego ruchem jednostajnym jest też układem inercjalnym
Układ odniesienia w ktoacuterym ciało nie poddane działaniu sił pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym nazywamy układem inercjalnym
Ziemia widziana z Księżyca
2 Postulat szczegoacutelnej teorii względności
Prędkość światła nie zależy od układu odniesienia
Przed ogłoszeniem przez Einsteina teorii względności Michelson i Morley wykonali pomiary prędkości światła polegające na poroacutewnaniu rozchodzenia się prędkości dwoacutech wiązek świetlnych w proacuteżni z ktoacuterych jedna poruszała się w kierunku poacutełnoc - południe druga w kierunku wschoacuted - zachoacuted Należało oczekiwać że prędkości tych wiązek będą roacuteżne Doświadczenie pokazało że w proacuteżni światło porusza się z prędkością c niezależnie od ruchu źroacutedła lub obserwatora
Transformacja relatywistycznaDodawanie prędkości
c = c + v
c = c - v
W przypadku kulistej fali światła
w układzie S x2 + y2 + z2 = c2t2 (4)
w układzie Srsquo xrsquo2 + yrsquo2 + zrsquo2 = c2trsquo2 (5)
W kinematyce nierelatywistycznej obowiązywało
xrsquo = x - vt t = trsquo
R
R = ct
x X
y
YZ
x2 + y2 + z2 = (ct)2
Natomiast w przypadku kinematyki relatywistycznej wprowadzono wspoacutełczynnik
xrsquo =(x - vt) x = rsquo(xrsquo + vtrsquo) (6)
Skoro nie istnieje wyroacuteżniony układ wspoacutełrzędnych inercjalnych to rsquo = (6a)
Szukamy transformacji czasu
x = (xrsquo + vtrsquo) x - xrsquo = vtrsquo
ale xrsquo = (x - vt) czyli
t
v
x
v
xvtx
vv
x
v
vtxxt
22
2
2
2
)()(
t
v
xt )1
1(
2 (7)
tx x
v
Po uporządkowaniu
2
2222222 1
1)(
t
v
xczyvtx
Z (1) wynika że yrsquo = y zrsquo = z (8)
(9)
(10)
Szukamy takiego aby (10) było identyczne z (4)
x2 + y2 + z2 = c2t2
22222
222
2222
2
22
222 1
1221
1
tvc
zyxtv
cvx
v
c
111
22
222
v
c
Zatem musi być
c22 - v2 2 = c2 z tego warunku wynika że
22
2 2 2
2
1
1
c
c v v
c
1
12
2
v
c(11)
Znając przekształcamy (7) i otrzymujemy
2
c
vxtt
(12)
Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne zwane transformacjami Lorentza ktoacutere w przypadku ruchu układu w dodatnim kierunku osi x mają następującą postać
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
1 bo v c
(13)
Transformuje się czas Tego w fizyce klasycznej nie było
2
c
vxtt
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
1 Zasada względności
We wszystkich układach inercjalnych prawa fizyki są jednakowe
Każdy układ poruszający się względem układu inercjalnego ruchem jednostajnym jest też układem inercjalnym
Układ odniesienia w ktoacuterym ciało nie poddane działaniu sił pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym nazywamy układem inercjalnym
Ziemia widziana z Księżyca
2 Postulat szczegoacutelnej teorii względności
Prędkość światła nie zależy od układu odniesienia
Przed ogłoszeniem przez Einsteina teorii względności Michelson i Morley wykonali pomiary prędkości światła polegające na poroacutewnaniu rozchodzenia się prędkości dwoacutech wiązek świetlnych w proacuteżni z ktoacuterych jedna poruszała się w kierunku poacutełnoc - południe druga w kierunku wschoacuted - zachoacuted Należało oczekiwać że prędkości tych wiązek będą roacuteżne Doświadczenie pokazało że w proacuteżni światło porusza się z prędkością c niezależnie od ruchu źroacutedła lub obserwatora
Transformacja relatywistycznaDodawanie prędkości
c = c + v
c = c - v
W przypadku kulistej fali światła
w układzie S x2 + y2 + z2 = c2t2 (4)
w układzie Srsquo xrsquo2 + yrsquo2 + zrsquo2 = c2trsquo2 (5)
W kinematyce nierelatywistycznej obowiązywało
xrsquo = x - vt t = trsquo
R
R = ct
x X
y
YZ
x2 + y2 + z2 = (ct)2
Natomiast w przypadku kinematyki relatywistycznej wprowadzono wspoacutełczynnik
xrsquo =(x - vt) x = rsquo(xrsquo + vtrsquo) (6)
Skoro nie istnieje wyroacuteżniony układ wspoacutełrzędnych inercjalnych to rsquo = (6a)
Szukamy transformacji czasu
x = (xrsquo + vtrsquo) x - xrsquo = vtrsquo
ale xrsquo = (x - vt) czyli
t
v
x
v
xvtx
vv
x
v
vtxxt
22
2
2
2
)()(
t
v
xt )1
1(
2 (7)
tx x
v
Po uporządkowaniu
2
2222222 1
1)(
t
v
xczyvtx
Z (1) wynika że yrsquo = y zrsquo = z (8)
(9)
(10)
Szukamy takiego aby (10) było identyczne z (4)
x2 + y2 + z2 = c2t2
22222
222
2222
2
22
222 1
1221
1
tvc
zyxtv
cvx
v
c
111
22
222
v
c
Zatem musi być
c22 - v2 2 = c2 z tego warunku wynika że
22
2 2 2
2
1
1
c
c v v
c
1
12
2
v
c(11)
Znając przekształcamy (7) i otrzymujemy
2
c
vxtt
(12)
Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne zwane transformacjami Lorentza ktoacutere w przypadku ruchu układu w dodatnim kierunku osi x mają następującą postać
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
1 bo v c
(13)
Transformuje się czas Tego w fizyce klasycznej nie było
2
c
vxtt
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Ziemia widziana z Księżyca
2 Postulat szczegoacutelnej teorii względności
Prędkość światła nie zależy od układu odniesienia
Przed ogłoszeniem przez Einsteina teorii względności Michelson i Morley wykonali pomiary prędkości światła polegające na poroacutewnaniu rozchodzenia się prędkości dwoacutech wiązek świetlnych w proacuteżni z ktoacuterych jedna poruszała się w kierunku poacutełnoc - południe druga w kierunku wschoacuted - zachoacuted Należało oczekiwać że prędkości tych wiązek będą roacuteżne Doświadczenie pokazało że w proacuteżni światło porusza się z prędkością c niezależnie od ruchu źroacutedła lub obserwatora
Transformacja relatywistycznaDodawanie prędkości
c = c + v
c = c - v
W przypadku kulistej fali światła
w układzie S x2 + y2 + z2 = c2t2 (4)
w układzie Srsquo xrsquo2 + yrsquo2 + zrsquo2 = c2trsquo2 (5)
W kinematyce nierelatywistycznej obowiązywało
xrsquo = x - vt t = trsquo
R
R = ct
x X
y
YZ
x2 + y2 + z2 = (ct)2
Natomiast w przypadku kinematyki relatywistycznej wprowadzono wspoacutełczynnik
xrsquo =(x - vt) x = rsquo(xrsquo + vtrsquo) (6)
Skoro nie istnieje wyroacuteżniony układ wspoacutełrzędnych inercjalnych to rsquo = (6a)
Szukamy transformacji czasu
x = (xrsquo + vtrsquo) x - xrsquo = vtrsquo
ale xrsquo = (x - vt) czyli
t
v
x
v
xvtx
vv
x
v
vtxxt
22
2
2
2
)()(
t
v
xt )1
1(
2 (7)
tx x
v
Po uporządkowaniu
2
2222222 1
1)(
t
v
xczyvtx
Z (1) wynika że yrsquo = y zrsquo = z (8)
(9)
(10)
Szukamy takiego aby (10) było identyczne z (4)
x2 + y2 + z2 = c2t2
22222
222
2222
2
22
222 1
1221
1
tvc
zyxtv
cvx
v
c
111
22
222
v
c
Zatem musi być
c22 - v2 2 = c2 z tego warunku wynika że
22
2 2 2
2
1
1
c
c v v
c
1
12
2
v
c(11)
Znając przekształcamy (7) i otrzymujemy
2
c
vxtt
(12)
Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne zwane transformacjami Lorentza ktoacutere w przypadku ruchu układu w dodatnim kierunku osi x mają następującą postać
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
1 bo v c
(13)
Transformuje się czas Tego w fizyce klasycznej nie było
2
c
vxtt
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
2 Postulat szczegoacutelnej teorii względności
Prędkość światła nie zależy od układu odniesienia
Przed ogłoszeniem przez Einsteina teorii względności Michelson i Morley wykonali pomiary prędkości światła polegające na poroacutewnaniu rozchodzenia się prędkości dwoacutech wiązek świetlnych w proacuteżni z ktoacuterych jedna poruszała się w kierunku poacutełnoc - południe druga w kierunku wschoacuted - zachoacuted Należało oczekiwać że prędkości tych wiązek będą roacuteżne Doświadczenie pokazało że w proacuteżni światło porusza się z prędkością c niezależnie od ruchu źroacutedła lub obserwatora
Transformacja relatywistycznaDodawanie prędkości
c = c + v
c = c - v
W przypadku kulistej fali światła
w układzie S x2 + y2 + z2 = c2t2 (4)
w układzie Srsquo xrsquo2 + yrsquo2 + zrsquo2 = c2trsquo2 (5)
W kinematyce nierelatywistycznej obowiązywało
xrsquo = x - vt t = trsquo
R
R = ct
x X
y
YZ
x2 + y2 + z2 = (ct)2
Natomiast w przypadku kinematyki relatywistycznej wprowadzono wspoacutełczynnik
xrsquo =(x - vt) x = rsquo(xrsquo + vtrsquo) (6)
Skoro nie istnieje wyroacuteżniony układ wspoacutełrzędnych inercjalnych to rsquo = (6a)
Szukamy transformacji czasu
x = (xrsquo + vtrsquo) x - xrsquo = vtrsquo
ale xrsquo = (x - vt) czyli
t
v
x
v
xvtx
vv
x
v
vtxxt
22
2
2
2
)()(
t
v
xt )1
1(
2 (7)
tx x
v
Po uporządkowaniu
2
2222222 1
1)(
t
v
xczyvtx
Z (1) wynika że yrsquo = y zrsquo = z (8)
(9)
(10)
Szukamy takiego aby (10) było identyczne z (4)
x2 + y2 + z2 = c2t2
22222
222
2222
2
22
222 1
1221
1
tvc
zyxtv
cvx
v
c
111
22
222
v
c
Zatem musi być
c22 - v2 2 = c2 z tego warunku wynika że
22
2 2 2
2
1
1
c
c v v
c
1
12
2
v
c(11)
Znając przekształcamy (7) i otrzymujemy
2
c
vxtt
(12)
Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne zwane transformacjami Lorentza ktoacutere w przypadku ruchu układu w dodatnim kierunku osi x mają następującą postać
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
1 bo v c
(13)
Transformuje się czas Tego w fizyce klasycznej nie było
2
c
vxtt
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Transformacja relatywistycznaDodawanie prędkości
c = c + v
c = c - v
W przypadku kulistej fali światła
w układzie S x2 + y2 + z2 = c2t2 (4)
w układzie Srsquo xrsquo2 + yrsquo2 + zrsquo2 = c2trsquo2 (5)
W kinematyce nierelatywistycznej obowiązywało
xrsquo = x - vt t = trsquo
R
R = ct
x X
y
YZ
x2 + y2 + z2 = (ct)2
Natomiast w przypadku kinematyki relatywistycznej wprowadzono wspoacutełczynnik
xrsquo =(x - vt) x = rsquo(xrsquo + vtrsquo) (6)
Skoro nie istnieje wyroacuteżniony układ wspoacutełrzędnych inercjalnych to rsquo = (6a)
Szukamy transformacji czasu
x = (xrsquo + vtrsquo) x - xrsquo = vtrsquo
ale xrsquo = (x - vt) czyli
t
v
x
v
xvtx
vv
x
v
vtxxt
22
2
2
2
)()(
t
v
xt )1
1(
2 (7)
tx x
v
Po uporządkowaniu
2
2222222 1
1)(
t
v
xczyvtx
Z (1) wynika że yrsquo = y zrsquo = z (8)
(9)
(10)
Szukamy takiego aby (10) było identyczne z (4)
x2 + y2 + z2 = c2t2
22222
222
2222
2
22
222 1
1221
1
tvc
zyxtv
cvx
v
c
111
22
222
v
c
Zatem musi być
c22 - v2 2 = c2 z tego warunku wynika że
22
2 2 2
2
1
1
c
c v v
c
1
12
2
v
c(11)
Znając przekształcamy (7) i otrzymujemy
2
c
vxtt
(12)
Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne zwane transformacjami Lorentza ktoacutere w przypadku ruchu układu w dodatnim kierunku osi x mają następującą postać
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
1 bo v c
(13)
Transformuje się czas Tego w fizyce klasycznej nie było
2
c
vxtt
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
R
R = ct
x X
y
YZ
x2 + y2 + z2 = (ct)2
Natomiast w przypadku kinematyki relatywistycznej wprowadzono wspoacutełczynnik
xrsquo =(x - vt) x = rsquo(xrsquo + vtrsquo) (6)
Skoro nie istnieje wyroacuteżniony układ wspoacutełrzędnych inercjalnych to rsquo = (6a)
Szukamy transformacji czasu
x = (xrsquo + vtrsquo) x - xrsquo = vtrsquo
ale xrsquo = (x - vt) czyli
t
v
x
v
xvtx
vv
x
v
vtxxt
22
2
2
2
)()(
t
v
xt )1
1(
2 (7)
tx x
v
Po uporządkowaniu
2
2222222 1
1)(
t
v
xczyvtx
Z (1) wynika że yrsquo = y zrsquo = z (8)
(9)
(10)
Szukamy takiego aby (10) było identyczne z (4)
x2 + y2 + z2 = c2t2
22222
222
2222
2
22
222 1
1221
1
tvc
zyxtv
cvx
v
c
111
22
222
v
c
Zatem musi być
c22 - v2 2 = c2 z tego warunku wynika że
22
2 2 2
2
1
1
c
c v v
c
1
12
2
v
c(11)
Znając przekształcamy (7) i otrzymujemy
2
c
vxtt
(12)
Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne zwane transformacjami Lorentza ktoacutere w przypadku ruchu układu w dodatnim kierunku osi x mają następującą postać
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
1 bo v c
(13)
Transformuje się czas Tego w fizyce klasycznej nie było
2
c
vxtt
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Natomiast w przypadku kinematyki relatywistycznej wprowadzono wspoacutełczynnik
xrsquo =(x - vt) x = rsquo(xrsquo + vtrsquo) (6)
Skoro nie istnieje wyroacuteżniony układ wspoacutełrzędnych inercjalnych to rsquo = (6a)
Szukamy transformacji czasu
x = (xrsquo + vtrsquo) x - xrsquo = vtrsquo
ale xrsquo = (x - vt) czyli
t
v
x
v
xvtx
vv
x
v
vtxxt
22
2
2
2
)()(
t
v
xt )1
1(
2 (7)
tx x
v
Po uporządkowaniu
2
2222222 1
1)(
t
v
xczyvtx
Z (1) wynika że yrsquo = y zrsquo = z (8)
(9)
(10)
Szukamy takiego aby (10) było identyczne z (4)
x2 + y2 + z2 = c2t2
22222
222
2222
2
22
222 1
1221
1
tvc
zyxtv
cvx
v
c
111
22
222
v
c
Zatem musi być
c22 - v2 2 = c2 z tego warunku wynika że
22
2 2 2
2
1
1
c
c v v
c
1
12
2
v
c(11)
Znając przekształcamy (7) i otrzymujemy
2
c
vxtt
(12)
Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne zwane transformacjami Lorentza ktoacutere w przypadku ruchu układu w dodatnim kierunku osi x mają następującą postać
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
1 bo v c
(13)
Transformuje się czas Tego w fizyce klasycznej nie było
2
c
vxtt
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Po uporządkowaniu
2
2222222 1
1)(
t
v
xczyvtx
Z (1) wynika że yrsquo = y zrsquo = z (8)
(9)
(10)
Szukamy takiego aby (10) było identyczne z (4)
x2 + y2 + z2 = c2t2
22222
222
2222
2
22
222 1
1221
1
tvc
zyxtv
cvx
v
c
111
22
222
v
c
Zatem musi być
c22 - v2 2 = c2 z tego warunku wynika że
22
2 2 2
2
1
1
c
c v v
c
1
12
2
v
c(11)
Znając przekształcamy (7) i otrzymujemy
2
c
vxtt
(12)
Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne zwane transformacjami Lorentza ktoacutere w przypadku ruchu układu w dodatnim kierunku osi x mają następującą postać
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
1 bo v c
(13)
Transformuje się czas Tego w fizyce klasycznej nie było
2
c
vxtt
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
111
22
222
v
c
Zatem musi być
c22 - v2 2 = c2 z tego warunku wynika że
22
2 2 2
2
1
1
c
c v v
c
1
12
2
v
c(11)
Znając przekształcamy (7) i otrzymujemy
2
c
vxtt
(12)
Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne zwane transformacjami Lorentza ktoacutere w przypadku ruchu układu w dodatnim kierunku osi x mają następującą postać
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
1 bo v c
(13)
Transformuje się czas Tego w fizyce klasycznej nie było
2
c
vxtt
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Znając przekształcamy (7) i otrzymujemy
2
c
vxtt
(12)
Otrzymaliśmy transformacje relatywistyczne zwane transformacjami Lorentza ktoacutere w przypadku ruchu układu w dodatnim kierunku osi x mają następującą postać
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
1 bo v c
(13)
Transformuje się czas Tego w fizyce klasycznej nie było
2
c
vxtt
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Transformacje odwrotne mają postać następującą
x = (xrsquo + vtrsquo)
y = yrsquo
z = zrsquo
2
c
vxtt
(14)
(15)
1c
v
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Roacutewnoczesność zdarzeń
bull bull A 0 B
Punkt 0 leży w połowie odległości między punktami A i B Z punktu 0 emitowana jest kulista fala świetlna Zdarzenia polegające na tym że do punktoacutew A i B dociera światło jednocześnie są roacutewnoczesne ponieważ jest taka sama droga światła
bull
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Skroacutecenie odległości
x1rsquo x2rsquo
S Srsquo
l0
Pręt spoczywa w układzie Srsquo jego długość spoczynkowa
l0 = x2lsquo - x1rsquo = xrsquo
O
Obserwator O w układzie S mierzy jednocześnie położenie obu końcoacutew pręta
v
x1 x2
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
x2lsquo - x1rsquo = (x2 - vt) - (x1 - vt) = (x2 - x1)
xrsquo = x
1 x lt xrsquo
Długość L mierzona przez obserwatora O w układzie S jest mniejsza niż zmierzona w układzie Srsquo
02
01 llL
Skroacuteceniu ulegają tylko wymiary roacutewnoległe do wektora prędkości v
(16)
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Stanfordt (w pobliżu San Francisco) Akcelerator liniowy LINAC o długości 3 km dwie wiązki przeciwbieżne elektronoacutew i pozytonoacutew uzyskuje się energię rzędu GeVplwikipediaorgwiki
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Dylatacja czasu Paradoks bliźniąt
Zegar spoczywa w początku układu S Mierzy odstęp czasu t między zjawiskami ktoacutere zaszły w tym samym punkcie układu Srsquo np xrsquo (t1rsquo t2rsquo)
Wskazania zegara w układzie S są większe od wskazań w układzie Srsquo
(17) tt 2
2
1
cv
tt
2
21
11
c
vxt
t2
22
21
c
vxt
t 12
2
tc
vt
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1t1
cv
t
1cvtv
tt
vtx
tczasiepo
1cxv
tt
Dwa obiekty mijają się w chwili jednakowych wskazań zegaroacutew
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Transformacje prędkości
u ursquo
ux x uxrsquo xrsquo
uy uyrsquo
y
yrsquo
uz uzrsquo
z zrsquo
S Srsquo
Układ Srsquo porusza się z prędkością v wzdłuż osi x Punkt materialny porusza się z prędkością u w układzie S a z prędkością ursquo w układzie Srsquo
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
xrsquo = (x - vt)
yrsquo = y
zrsquo = z
dxrsquo = (dx ndash vdt)
dyrsquo = dy
dzrsquo = dz
2
c
vxtt
2
c
vdxdtdt
Obliczamy składowe prędkości w układzie Srsquo
(18)
2
2
2
1)(
)(
cvu
vu
cdtdx
v
dtdt
dtdt
vdtdx
cvdx
dt
vdtdx
dt
dxu
x
xx
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
udy
dt
dy
dtvdx
c
u
u v
c
y
y
x
( )
2
2
2
1
1
uu
u v
c
z
z
x
1
1
2
2
Składowe uy i uz zależą od składowej roacutewnoległej do osi x
(19)
(20)
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Przykład1
Dwa fotony zostały wyemitowane z punktu A w przeciwnych kierunkach Znaleźć ich prędkość względną
c cA
ux = -c
v = cFoton spoczywa w układzie poruszającym się z prędkością światła
Prędkość fotonu w układzie nieprimowanym
c
ccc
ccux
2
))((1
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Interwał czasoprzestrzennyS2 = c2(t2 - t1)2 - (x2 -x1)2 - (y2 - y1)2 -(z2 - z1)2
Srsquo2 = c2(trsquo2 - trsquo1)2 - (xrsquo2 -xrsquo1)2 - (yrsquo2 - yrsquo1)2 -(zrsquo2 - zrsquo1)2
Srsquo2 = S2
Interwał między zdarzeniami 1 i 2 jest niezmienniczy względem transformacji Lorentza
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W zakresie szczegoacutelnej teorii względności x = xrsquo i y = yrsquo więc słuszny jest związek
(21)
(22)
(23)
(24)
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
x = ct
x
ct
ctlt x
ctgt x
x = -ct
Absolutna przyszłość
Absolutna przeszłość
bull
bull
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
ctlt x (s)2 lt0
Interwał typu przestrzennego
ct gt x (s)2 gt 0
Interwał typu czasowego
ct = x (s)2 = 0
Interwał zerowy
Nie ma związku przyczynowo - skutkowego między zdarzeniami
Może być związek przyczynowo - skutkowy między zdarzeniami
Zdarzenia mogą być połączone sygnałem świetlnym
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Dynamika relatywistyczna
Pęd i energia
p = M0v (25) E = M0c2 (26)
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Zachowanie pędu
y
x
uy
S
Cząstka pada prostopadle na ścianę i odbija się z tą samą prędkością uy
ux = 0p = 2muy
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
uyrsquo = vtg
Srsquo
uxrsquo = v
Obserwator w układzie Srsquo porusza się wraz z układem z prędkością w wzdłuż osi x w prawo Widzi on teraz cząstkę padającą pod kątem jej składowa pozioma wynosi v a pionowa - v tg
yrsquo
xrsquo
v
Tak oceni obserwator w układzie Srsquo
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
ux = 0
uu v
u v
c
xx
x
12
uu
u vc
y
y
x
1
1
2
2
Wstawiając otrzymujemy
uxrsquo = - v
uyrsquo = v tg u uy y 1 2
Wartości składowych prędkości w układach S i Srsquo nie są sobie roacutewne jak roacutewnież nie są roacutewne składowe pędu cząstki Widzimy że określenie pędu jako wielkości proporcjonalnej do prędkości nie wystarcza do utrzymania zasady zachowania pędu we wszystkich układach odniesienia
pyrsquo= 2muyrsquo
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Jeżeli zdefiniujemy pęd relatywistyczny cząstki o masie spoczynkowej M0 jako
to zasada zachowania pędu jest słuszna w każdym innym układzie inercjalnym ktoacutery roacuteżni się od układu pozostającego w spoczynku stałą prędkością v poruszania się w kierunku osi x Na tej podstawie wyrażenie
pM v
v
c
0
2
21
(25 a)
M vM
v
c
( )
0
2
21
(27) (
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
M v M( ) 0 (27a)
M(v) interpretujemy jako relatywistyczną masę
Masa spoczynkowa M0 jest to masa M(v) dla v 0 Gdy v c M(v)
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Relatywistyczna II zasada dynamiki Newtona
Siłę F działającą na ciało o masie spoczynkowej Mo obliczamy na podstawie pędu relatywistycznego ponieważ druga zasada zdefiniowana jest tym samym wzorem co w mechanice klasycznej
Stąd dla przypadku ruchu w jednym kierunku
d
dt
M v
v
c
F0
2
21
dt
(28)
(29)
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
dM v
v
c
Fdt0
2
21
M v
v
c
Ft C0
2
21
C jest stałą całkowania
W szczegoacutelnym przypadku dla
t = 0 C = 0
Przez roacuteżniczki wolno nam mnożyć roacutewnanie dlatego mamy taką postać roacutewnania
Jeżeli ograniczymy się do przypadku stałej siły F = const to po scałkowaniu otrzymujemy związek siły z prędkością i czasem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Klasyczny związek energii z pędem
Pęd
gdzie m ndash masa v ndash prędkość cząstki materialnej
Energia kinetyczna
Związek energii kinetycznej
z pędem
mvp
2
mvE
2
2m
pE
2
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Energia relatywistyczna związek energii z pędem
Zgodnie z wzorem (25) kwadrat pędu można zapisać w postaci
p M c202 2 2 2
Tożsamość
1
1 1
12
2
2
2
2
2
v
c
v
c
v
c
lub 2 2 2 1
jest niezmiennikiem Lorentza bo 1 jest stałą Mnożąc obie strony roacutewnania (31a) przez
(30)
(31) (31a)
M co2 4
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
EM c
v
c
02
2
21
(26a)
otrzymamy
M c M c02 4 2 2 2
02 4( ) lub
M c p c M c02 4 2 2 2
02 4
Wyrażenie to jest stałe ponieważ masa spoczynkowa jest stała i tym samym jest niezmiennicze wobec transformacji Lorentza
Wszystkie wyrazy wzoru (33) mają wymiar kwadratu energii
stąd następująca definicja całkowitej energii cząstki
(32)
(33)
M co2 4
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Przy tak zdefiniowanej energii otrzymujemy relatywistyczny związek pędu z energią całkowitą E i energią spoczynkową M0c2 o postaci
E p c M c2 2 202 4 (34)
Wyrażenie Ek = 12 Mv2 opisujące klasyczną energię kinetyczną jest niesłuszne w zakresie prędkości bliskich prędkości światła c
Energię kinetyczną obliczamy teraz jako
Ek = E - E0 = E - M0c2
gdzie E jest zdefiniowana przez (26)
(35)
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Można jednak pokazać że przy małych wartościach prędkościach v wzoacuter relatywistyczny (33) jest zgodny z klasycznym wyrażeniem na energię kinetyczną Ek = 12 Mv2 W tym celu skorzystamy z rozwinięcia w szereg dwumianu
( )( )
1 11
1 22
x nxn n
xn
W naszym przypadku n = -12 x = - (vc)2 Zatem
E M cv
c
v
ck 0
2
2
2
4
41
1
2
3
8( )
Jeżeli v ltlt c to można opuścić wyrazy o wyższych potęgach i otrzymamy klasyczny wzoacuter na energię kinetyczną
E M cv
c
M vk 0
2
2
2
02
1
2 2
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Roacutewnoważność masy i energii
Możliwość przemiany masy spoczynkowej na energię i związek ilościowy między tymi wielkościami była według Einsteina najważniejszym wynikiem uzyskanym w teorii względności Z wzoru (26) wynika że można napisać
E = M(v)c2 (26b) oraz że zmiana energii
(36)E = Mc2
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Reakcja rozczepienia uranu
Qn3KrBaUUn 10
8936
14456
23692
23592
10
Uran bombardowany neutronami
Izotop uranu
Ubytek masy przyrost energii Q
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
1 doba = 86400 s
E = 86400000 J = 864bull 107 J
mE
c
J
m
s
kg g
2
7
162
2
98 64 10
9 10
0 96 10 1
Przykład 2
Jakiej masie roacutewnoważna jest energia wysyłana przez antenę radiową o mocy 1 kW w ciągu doby
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Pęd kwantu
pE
c
(37)
E p c M c2 2 202 4
Jeżeli do wzoru
wstawimy M0 = 0 otrzymamy E = pc
p pęd cząstki o zerowej masie spoczynkowej (kwant)
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Foton ma zerową masę spoczynkową warunkiem istnienia fotonu jest energia i pęd Dzięki roacutewnoważności masy i energii można mu przypisać masę relatywistyczną Masa relatywistyczna oddziałuje grawitacyjnie tak jak bdquozwykłardquo masa
Przykład 3
Znaleźć względną zmianę energii i częstotliwości fotonu wysłanego z Ziemi ktoacutery znalazł się na wysokości H =100 m nad Ziemią
Energia kwantu E = h (38) poroacutewnujemy ją z roacutewnoważną energią relatywistyczną
h mc 2m
h
c
2
(39) (40)
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Roacuteżnica potencjałoacutew - Vg
Roacuteżnica energii potencjalnej mVg = mgH =h gH
c
2
h gH
ch hv h
2
Wyrażenie to dzielimy przez h
- częstotliwość kwantu na powierzchni Ziemi
rsquo - częstotliwość na wysokości H
Względna zmiana częstotliwości i energii kwantu
( )h
h
gH
c
2
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Dla roacuteżnicy odległości 100 m
Jest to efekt mierzalny (Paund Rebke -1960)
Wykorzystano promieniowanie emitowane przez Fe 57
Efekt ten jak roacutewnież ugięcie promienia świetlnego w pobliżu Słońca o 175rsquorsquo potwierdzają ogoacutelną teorię względności
10 14
stała Plancka h = 6626 bull 10-34 J bull s
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Fotografia stanowiąca tło pierwszej strony prof Jana Pluty przedstawia tory cząstek elementarnych i fragmentoacutew jądrowych zarejestrowanych w komorze pęcherzykowej wypełnionej ciekłym propanem C3H8 Komora naświetlona była wiązką jąder węgla o pędzie 42 GeVc na nukleon Zdjęcie pochodzi z Laboratorium Wysokich Energii Zjednoczonego Instytutu Badań Jądrowych w Dubnej koło Moskwy gdzie przebywał prof Jan Pluta przez parę lat zajmując się także analizą podobnych temu zdjęć
Komora pęcherzykowa
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Zdjęcie z komory pęcherzykowej
Komora umieszczona była w polu magnetycznym Tory cząstek dodatnich zakrzywione są w lewą stronę cząstek o ładunku ujemnym - w prawo W komorze znajdowały się trzy płytki tantalowe o gruboci 1mm
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
(12) - Punkt oddziaływania neutronu tzw gwiazda neutralna (11) - Tory cząstek szybkiej - prosty i jasny powolnej - zakrzywiony i ciemny (9) - Punkt konwersji fotonu na parę (elektron-pozyton) (Ta) - Płytka tantalowa (7) - Punkt oddziaływania jądra Węgla z jądrem Tantalu (C+Ta) W wyniku rozbicia ciężkiego jądra tantalu następuje emisja wielu cząstek i fragmentoacutew jądrowych
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
(8) - Piękny przykład konwersji fotonu w płytce tantalowej Tor zakrzywiony w lewą stronę należy do pozytonu - cząstki antymaterii (4)(5) - Tor mezonu π (pi) o ładunku ujemnym Gęstość jonizacji zwiększa się przy końcu toru potem następuje wychwyt mezonu i jego pochłonięcie połączone z emisją protonu
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Przykład 4Względem okładu O porusza się ze stałą
prędkością v wzdłuż osi x układ O
W układzie O znajduje się pręt o długości lo
tworzący kąt z osią x Jaką długość pręta
i jaki kąt zmierzy obserwator w układzie O
Orsquo
l0O
v
φrsquolylsquo
lxlsquo
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
sin
cos
0
0
oy
ox
ll
ll
c
v
ll
ll
oy
ox
2
0
0
1sin
cos
W układzie Orsquo rzuty długości na osie wynoszą
W układzie O
sin1cos
sin1cos
220
222
0
220
222
0222
yx
yxyx
lll
lllll
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
220
0
0
0
1
1cos
sin
tg
l
l
l
ltg
x
y
Kąt nachylenia pręta zmierzony w układzie O
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Przykład 5Czas życia mezonu + mierzony w układzie w ktoacuterym on spoczywa wynosi 2510-8s Jak wyjaśnić że w odległości 100 m od miejsca ich powstania detektor wskazywał ich obecność
120533 = 2510-8s czas w układzie własnymL = 100 mc = 3 108 mst ndash czas w układzie obserwatora zewnętrznegot = Lc = 100 m 3 108 ms =033 10-6 ms
t gt 1205332
2
1
cv
tt
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Przykład 6Obserwator znajdujący się na Ziemi stwierdza że leżące w przeciwległych kierunkach galaktyki A i B oddalają się z prędkościami odpowiednio 05c i 075c Z jaką prędkością będzie oddalać się galaktyka B względem obserwatora znajdującego się w A
V = frac12 cVx = - 34 c
AB
x xrsquo
OOrsquo
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
cv
cv
x 4
32
1
cc
cvv
vvv
x
xx 11
10
21
43
1
21
43
1
2
Prędkość względna oddalania się Galaktyk
Galaktyka A związana z układem Orsquo B z - układem O
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Przykład 7Cząstka o masie spoczynkowej m poruszająca się z prędkością 45c zderza się niesprężyście z inną taką samą będącą w spoczynku W wyniku zderzenia powstaje jedna cząstka Obliczyć jej masę spoczynkową i prędkość
2
2
2
2
2
22
11cu
Mc
cv
cmcm
v = 45 cM ndash masa powstałej w wyniku zderzenia cząstkiu ndash prędkość powstałej w wyniku zderzenia cząstki
Prawo zachowania energii
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
2
2
2
2
11cu
Mu
cv
vm
Prawo zachowania pędu
2
2
2
2
2
22
154
1cu
Mccmcm
2
2
2
2
154
1
54
cu
Mucm
Rozwiązując ten układ roacutewnań otrzymujemy
u = frac12 c
mM3
4
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
Przykład 4Czy Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem mogą w innym układzie odniesienia zaistnieć a) w tym samym miejscu b) w tym samym czasie
Interwał czasoprzestrzenny
(s)2 = (ct)2 - (x)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
W naszym układzie odniesienia odległość miejsc chrztu i Bitwy x 500 kmroacuteznica w czasie t = 444 lata
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
01021016 5362 S
W innym układzie odniesienia
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
)a xrsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 gt 0 możliwe
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
b) trsquo = 0
(srsquo)2 = (ctrsquo)2 - (xrsquo)2
(srsquo)2 lt 0 sprzeczność bo (s)2 gt 0
W innym układzie odniesienia nie może zajść w tym samym czasie Chrzest Polski i Bitwa pod Grunwaldem
