1

Zbigniew Osiak

OGÓLNATEORIA

WZGLĘDNOŚCI

2

3

Matematyka powinna być służącą, a nie królową.

Arielowi,mojemu synowi poświęcam

Zbigniew Osiak

OGÓL�ATEORIA WZGLĘD�OŚCI

ZE SZCZEGÓL�YM UWZGLĘD�IE�IEM RACHU�KU TE�SOROWEGO

4

© Copyright by Zbigniew Osiak

Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie i kopiowanie całości lub części publikacjizabronione bez pisemnej zgody autora.

Portret (rysunek) Alberta Einsteina zamieszczony na stronie tytułowejMałgorzata Osiak

Portret autora zamieszczony na okładkach przedniej i tylnejRafał Pudło

Wydawnictwo: Self Publishing

ISBN: 978-83-272-3515-2

e-mail: zbigniew.osiak@live.com

5

WSTĘP

Fizycy to poeci nauki tworzący jej awangardę.

Ogólna Teoria Względności przeznaczona jest dla studentów wszystkich uczelni, na którychwykładana jest fizyka. Może być przydatna dla nauczycieli fizyki w szkołach średnich. Mamnadzieję, że zostanie wykorzystana również przez zawodowych relatywistów.

Ogólna Teoria Względności jest drugą częścią tryptyku, pozostałe dwie to:• Szczególna Teoria Względności• Twórcy Teorii Względności

Szczegółowe informacje bibliograficzne, biograficzne oraz ikonograficzne znajdują się wtrzeciej części tryptyku.

Należę do pokolenia fizyków, dla których idolami byli Albert Einstein, Lew NikołajewiczLandau i Richard P. Feynman. Einstein zniewolił mnie potęgą swej intuicji. Landaua podzi-wiam za rzetelność, precyzję, elegancję i prostotę wywodów, oraz instynktowne wyczuwanieistoty zagadnienia. Feynman urzekł mnie lekkością narracji i subtelnym poczuciem humoru.

Praca nad tryptykiem zajęła mi sześć lat.

Zbigniew Osiak

Wrocław, wrzesień 2004

6

SPIS TREŚCI

STRO�A TYTUŁOWA

STRO�A PRAW AUTORSKICH

WSTĘP

POLE GRAWITACYJ�E – TEORIA �EWTO�A 15

1. Równania pola grawitacyjnego 15• Wektor natężenia pola grawitacyjnego 15• Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej) 15• Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej) 16• Potencjalność stacjonarnego (stałego) pola wektora E 16• Związek między natężeniem a potencjałem 16• Równanie Poissona i Laplace’a 17• Prawo Newtona 17• Zapis prawa Newtona w postaci wektorowej 17

2. Równania ruchu punktu materialnego w zewnętrznym polu grawitacyjnym 18 3. Pole grawitacyjne punktowej masy 18• Natężenie pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M 18• Praca sił pola grawitacyjnego przy przemieszczaniu cząstki o masie m w polu punkto-

wego źródła o masie M z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił 18• Potencjał pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M 18

4. Pole grawitacyjne układu punktów materialnych, zasada superpozycji 19• Zasada superpozycji natężeń 19• Zasada superpozycji potencjałów 19

5. Rozwinięcie multipolowe potencjału pola grawitacyjnego układu punktów material-nych 19• Rozwinięcie multipolowe potencjału 19• Człon dipolowy w rozwinięciu potencjału 20• Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału 21• Tensor momentu kwadrupolowego 21• Związek tensora momentu kwadrupolowego z tensorem momentu bezwładności 22

6. Energia potencjalna układu punktów materialnych w zewnętrznym polu grawitacyj-nym 23• Energia potencjalna punktowej masy w zewnętrznym polu grawitacyjnym 23• Energia potencjalna układu punktów materialnych w zewnętrznym polu grawitacyj-

nym 23 7. Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania między punktami materialnymi 25• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dwóch punktów materialnych 25• Energia potencjalna wzajemnego oddziaływania dowolnego układu punktów material-

nych 26• Energia potencjalna ciągłego rozkładu mas 27

7

8. Energia pola grawitacyjnego 27 9. Równanie toru w centralnym polu grawitacyjnym 28 10. Prawa Keplera 31• Pierwsze prawo Keplera 31• Drugie prawo Keplera 31• Trzecie prawo Keplera 31

11. Prędkości kosmiczne 32• Pierwsza prędkość kosmiczna w przypadku orbity kołowej 32• Druga prędkość kosmiczna (prędkość ucieczki) w przypadku orbity liniowej 32• Prędkości na dowolnych orbitach 32• Pierwsza prędkość kosmiczna dla orbity kołowej w przypadku wirującej planety 33

12. Swobodny spadek i grawitacyjne zapadanie 34• Cząstka swobodnie spadająca ze skończonej odległości na powierzchnię znajdującą

się w odległości r od centrum źródła pola grawitacyjnego 34• Grawitacyjne zapadanie 34

13. Siły pływowe 35• Siły pływowe 35• Siły pływowe rozciągające 35• Siły pływowe ściskające 35

OGÓL�A ZASADA WZGLĘD�OŚCI 36

1. Podstawowe postulaty ogólnej teorii względności 36• Podstawowe postulaty szczególnej teorii względności 36• Podstawowe postulaty ogólnej teorii względności 36• Struktura tensora metrycznego 38

2. Czasoprzestrzeń 39• Płaska czasoprzestrzeń Minkowskiego, układy inercjalne 39• Płaska czasoprzestrzeń Minkowskiego, układy nieinercjalne 40• Zakrzywiona czasoprzestrzeń Riemanna, układy lokalne 41• Czas własny w ogólnej teorii względności 42• Odległość przestrzenna w ogólnej teorii względności 42• Jakie warunki musi spełniać tensor metryczny aby mógł określać metrykę realnej cza-

soprzestrzeni? 43 3. Zapisywanie równań w postaci ogólnie kowariantnej 44• Zasady zapisywania równań w postaci ogólnie kowariantnej 44• Podstawowa forma metryczna 45• Iloczyn skalarny dwóch wektorów 45• Długość wektora 45• Czteroprędkość 46• Czteroprzyspieszenie 46• Równanie bilansu wielkości skalarnej 47

4. Równania ruchu cząstki w ogólnej teorii względności 48• Czterowymiarowa prędkość 48• Czterowymiarowe przyspieszenie 48• Czterowymiarowe równania ruchu swobodnej cząstki próbnej 48• Swobodny ruch cząstki próbnej 50

5. �ieinercjalne układy odniesienia 51• Tensor metryczny w nieinercjalnym układzie odniesienia 51• Układ ze stałym przyspieszeniem 51

8

• Układ obracający się 53• Układ drgający 55

6. Tensor pędu-energii cieczy nielepkiej 57• Relatywistyczne równanie bilansu masy hydrodynamicznej w inercjalnym układzie

ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 57• Równania bilansu gęstości objętościowej pędu-energii cieczy nielepkiej w inercjalnym

układzie ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 58• Tensor pędu-energii cieczy nielepkiej w dowolnym układzie współrzędnych 60

7. Tensor pędu-energii pyłu bezciśnieniowego 61• Pył bezciśnieniowy 61• Równanie bilansu masy pyłu bezciśnieniowego w inercjalnym układzie ortonormal-

nym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 61• Równania bilansu gęstości objętościowej pędu-energii pyłu bezciśnieniowego w iner-

cjalnym układzie ortonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 62• Tensor pędu-energii pyłu bezciśnieniowego w dowolnym układzie współrzędnych 63

8. Równania Maxwella w ogólnej teorii względności 64• Czterowektor gęstości prądu 64• Tensory pola elektromagnetycznego 64• Jednorodne równania Maxwella 65• Niejednorodne równania Maxwella 66• Zmodyfikowane równania Maxwella w postaci trójwymiarowej 67

9. Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 68• Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni w inercjalnym układzie or-

tonormalnym w płaskiej czasoprzestrzeni Minkowskiego 68• Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni w dowolnym układzie

współrzędnych 68• Ślad tensora pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 68

POLE GRAWITACYJ�E – TEORIA EI�STEI�A 69

1. Równania ogólnej teorii względności 69• Podstawowe (główne) idee i postulaty 69• Tensor pędu-energii 70

� Tensor pędu-energii dla cieczy nielepkiej 70� Tensor pędu-energii dla pyłu bezciśnieniowego 70� Tensor pędu-energii pola elektromagnetycznego w próżni 70

• Tensor krzywizny Einsteina 70• Równania pola grawitacyjnego (Równania metryki czasoprzestrzeni) 71

� Równania pola w postaci kowariantnej 71� Równania pola w postaci konttrawariantnej 71� Równania pola w postaci mieszanej 71

• Skalar krzywizny 72• Zasada zachowania pędu i energii w postaci mieszanej 73• Zasada zachowania pędu i energii w postaci kontrawariantnej 73• Zasada zachowania pędu i energii w postaci kowariantnej 74• Równania pola grawitacyjnego a zasady zachowania pędu i energii 75• Równania ruchu w płaskiej czasoprzestrzeni 77• Równania ruchu w zakrzywionej czasoprzestrzeni 77

2. Przybliżone rozwiązanie de Sittera-Einsteina 78• Tensor krzywizny słabego pola grawitacyjnego 78

9

• Równania stacjonarnego słabego pola grawitacyjnego 79• Równania ruchu w przypadku słabego stacjonarnego pola grawitacyjnego 81• Wpływ potencjału grawitacyjnego na odległość przestrzenną dwóch zdarzeń 82• Wpływ potencjału grawitacyjnego na odstęp czasu między dwoma zdarzeniami 82• Przesunięcie linii spektralnych w polu grawitacyjnym 83

3. Dokładne rozwiązanie Schwarzschilda 84• Próżniowe (zewnętrzne) rozwiązanie Schwarzschilda 84• Równanie orbity 87• Obrót orbity 88• Zakrzywienie toru promieni świetlnych w polu grawitacyjnym 90• Metryka Schwarzschilda jako metryka zakrzywionej czasoprzestrzeni 91• Promień Schwarzschilda i czarne dziury 93• Minimalna średnia gęstość czarnej dziury 93• Radialne przyspieszenie grawitacyjne swobodnego spadku odpowiadające metryce

Schwarzschilda 94• Fizyczna (przeskalowana) składowa radialna przyspieszenia grawitacyjnego

swobodnego spadku 95• Wartość radialnego przyspieszenia grawitacyjnego swobodnego spadku 95• Współrzędne Kruskala-Szekeresa 96• Rozwiązanie Schwarzschilda a przybliżone rozwiązanie de Sittera-Einsteina 97• Swobodny spadek na wirującą planetę 98• Przykład: Pierwsza prędkość kosmiczna dla orbity kołowej w płaszczyźnie

równikowej 102• Przykład: Ogólna postać w zmiennych (t, r, θ , ϕ ) równań ruchu swobodnej cząstki

próbnej w polu grawitacyjnym wirującej planety 102 4. Rozwiązanie Weyla 104• Metryka Weyla 104

5. Rozwiązanie Kerra 105• Metryka Kerra 105

6. Fale grawitacyjne 106• Równania niestacjonarnego słabego pola grawitacyjnego w próżni są równaniami falo-

wymi 106• Cechowanie TT 107• Fale grawitacyjne są falami poprzecznymi 108• Równania niestacjonarnego słabego pola poruszających się ciał 109• Emisja fal grawitacyjnych 113• Przykład 114

7. Tensor momentu kwadrupolowego 115• Tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas 115• Bezśladowy tensor momentu kwadrupolowego ciągłego rozkładu mas 115• Elipsoida 115• Tensor momentu kwadrupolowego rozkładu mas rozmieszczonych ze stałą gęstością

objętościową w obszarze elipsoidy w układzie współrzędnych, który stanowią osi elip-soidy 116

8. Model Wszechświata Einsteina: „Materia bez ruchu” 119• Trójwymiarowa hipersfera zanurzona w czterowymiarowej płaskiej przestrzeni Eukli-

desowej jako trójwymiarowa przestrzeń o stałej krzywiźnie Riemanna 119• Metryka modelu Wszechświata Einsteina 120• Składowe tensora Ricciego 120• Skalar krzywizny 120

10

• Składowe tensora Einsteina 120• Tensor pędu energii 120• Równania pola 120• Równania pola z członem kosmologicznym 121• Warunki wynikające z równań bilansu pędu i energii jakie musi spełniać człon kos-

mologiczny jako dodatkowy człon w równaniach pola 121• Metryka Einsteina we współrzędnych sferycznych 121

9. Model Wszechświata de Sittera: „Ruch bez materii” 122• Rozwiązanie de Sittera 122

10. Model Wszechświata Friedmana 123• Podstawowe założenia 123• Podstawowa forma metryczna Friedmana-Lemaître-Robertsona-Walkera w układzie

kartezjańskim 123• Składowe kowariantnego tensora metrycznego F-L-R-W 123• Składowe kontrawariantnego tensora metrycznego F-L-R-W 123• Składowe mieszanego tensora metrycznego F-L-R-W 123• Symbole Christoffela pierwszego rodzaju 124• Symbole Christoffela drugiego rodzaju 124• Składowe tensora Ricciego 125• Skalar krzywizny 126• Składowe tensora Einsteina 127• Tensor pędu-energii dla pyłu i promieniowania 127• Równania pola 127• Równania pola wyrażone przez stałą Hubble’a 128• Równania bilansu pędu i energii 128• Równania kosmologiczne dla pyłu i promieniowania 129• Analiza modelu 130• Analiza modelu w przypadku różnej od zera stałej kosmologicznej 131• Prawo Hubble’a 132• Metryka F-L-R-W we współrzędnych sferycznych 133

11. Prosty model rozszerzającej się czasoprzestrzeni 134• Podstawowe założenia 134• Podstawowa forma metryczna 134• Składowe kowariantnego tensora metrycznego 134• Składowe kontrawariantnego tensora metrycznego 134• Składowe mieszanego tensora metrycznego 134• Symbole Christoffela pierwszego rodzaju 135• Symbole Christoffela drugiego rodzaju 135• Składowe tensora Ricciego 135• Skalar krzywizny 135• Składowe tensora Einsteina 136• Tensor pędu-energii dla pyłu i promieniowania 136• Równania pola 136• Prawa zachowania 137• Równania kosmologiczne dla pyłu i promieniowania 137• Niezerowe składowe mieszanego tensora krzywizny 138• Analiza modelu 138• Prawo Hubble’a 139

12. Model wirującego Wszechświata Gödla 140• Rozwiązanie Gödla 140

11

• Metryka Gödla we współrzędnych cylindrycznych 140

�IEZBĘD�IK MATEMATYCZ�Y 142

1. Macierze 142• Podstawowe definicje 142• Wyznacznik macierzy 142• Dodawanie macierzy 143• Mnożenie macierzy 143• Macierz transponowana 143• Macierz symetryczna 143• Macierz odwrotna 143• Równanie charakterystyczne, wartości własne i wektory własne macierzy 144• Transformacje ortogonalne 145

2. Algebraiczne formy kwadratowe 147• Forma kwadratowa 147• Macierz formy kwadratowej 147• Rząd formy kwadratowej 147• Dodatnio określone formy kwadratowe 147• Kryteria dla dodatnio określonych form kwadratowych 147• Sprowadzanie formy kwadratowej do postaci kanonicznej (diagonalnej) 147• Sygnatura formy kwadratowej 147• Prawo bezwładności formy kwadratowej 147• Niezmienniki liniowych przekształceń ortogonalnych formy kwadratowej 148

3. Liniowe przekształcenia ortogonalne i różniczkowe formy kwadratowe w teoriiwzględności 148• Czasoprzestrzeń 148• Transformacja przeprowadzająca formę metryczną urojoną w rzeczywistą 148

4. Prostoliniowe układy współrzędnych 149• Dualny (sprzężony) układ współrzędnych 149• Algorytm konstrukcji bazy dualnej (sprzężonej) 150• Transformacje wektorów bazowych 152• Współrzędne kontrawariantne i kowariantne 154• Iloczyn skalarny dwóch wektorów 155• Długość wektora 155• Iloczyn skalarny jako niezmiennik dowolnej transformacji liniowej 156

5. Tensory 157• Wektory kontrawariantne i kowariantne jako tensory pierwszego rzędu 157• Tensory kontrawariantne, kowariantne i mieszane drugiego rzędu 158• Ttensory g-kontrawariantne i d-kowariantne 159• Delta Kroneckera jako tensor 160

6. Tensor metryczny 161• Kowariantny tensor metryczny 161• Kontrawariantny tensor metryczny 161• Własności tensorów metrycznych 162• Podstawowa forma metryczna (Kwadrat elementu liniowego) 163• Liniowe przekształcenie ortogonalne współrzędnych sprowadzające podstawową for-

mę metryczną do postaci diagonalnej 166 7. Współrzędne krzywoliniowe 167• Współrzędne krzywoliniowe 167

12

• Lokalne układy współrzędnych związane ze współrzędnymi krzywoliniowymi 167• Układy współrzędnych ze zmienną bazą 168• Różniczka promienia wodzącego 168• Kwadrat różniczki promienia wodzącego 168• Druga różniczka promienia wodzącego 168• Ograniczenia dotyczące operacji wykonywanych na tensorach w układzie współrzęd-

nych o zmiennej bazie 169• Przykład: Iloczyn skalarny 169• Wyznaczanie tensora metrycznego 169• Przykład: Współrzędne sferyczne 170• Współrzędne sferyczne w przypadku trójwymiarowym 172• Ortogonalne układy współrzędnych krzywoliniowych 174• Fizyczne (prawdziwe) wartości składowych 174

8. Algebra tensorów 177• Dodawanie tensorów 177• Mnożenie tensorów 177• Zwężanie (kontrakcja) tensorów 177• Obniżanie i podnoszenie wskaźników 178• Zamiana składowych kontrawariantnych na kowariantne i vice versa 179• Operacja symetryzowania 180• Operacja alternowania 180

9. Analiza tensorów 181• Symbole Christoffela pierwszego i drugiego rodzaju 181• Kontrakcja symboli Christoffela drugiego rodzaju 182• Własności transformacyjne symboli Christoffela pierwszego rodzaju 183• Własności transformacyjne symboli Christoffela drugiego rodzaju 183• Przykład: Druga różniczka promienia wodzącego w trójwymiarowym lokalnym ukła-

dzie odpowiadającym współrzędnym sferycznym 185• Przesunięcie równoległe wektora 186• Różnica wektorów określonych wzdłuż zadanej linii 186• Pochodna absolutna wektora kontrawariantnego zadanego wzdłuż linii 187• Pochodna absolutna wektora kowariantnego zadanego wzdłuż linii 188• Pochodna kowariantna i kontrawariantna wektora 189• Pochodna kowariantna tensora drugiego rzędu 189• Przykład: Pochodne tensorów metrycznych 189• Dywergencja wektora kontrawariantnego 190• Dywergencja wektora kowariantnego 190• Dywergencja tensora kontrawariantnego drugiego rzędu 191• Dywergencja antysymetrycznego (skośniesymetrycznego) tensora kontrawariantnego

drugiego rzędu 191• Dywergencja tensora kowariantnego drugiego rzędu 191• Dywergencja tensora mieszanego drugiego rzędu 192• Dywergencja symetrycznego mieszanego tensora drugiego rzędu 192• Związki między dywergencjami tensorów drugiego rzędu 193• Gradient funkcji skalarnej 193• Laplasjan funkcji skalarnej 194• Rotacja jako kowariantny tensor antysymetryczny drugiego rzędu 194• Twierdzenie Gaussa 194• Pochodna kowariantna dowolnego tensora 195

13

• Pochodna kontrawariantna dowolnego tensora 196• Pochodna kowariantna (kontrawariantna) sumy i iloczynu tensorów 199• Pochodne wyższych rzędów 199• Dywergencja tensora metrycznego 200• Dalsze własności tensora metrycznego 200

10. Przestrzeń Riemanna 201• Płaskie przestrzenie z metryką 201• Przestrzeń Riemanna jako przestrzeń zakrzywiona z metryką 201• Kowariantny tensor metryczny i kowariantne wektory bazowe 202• Kontrawariantny tensor metryczny 202• Lokalny układ współrzędnych i styczna przestrzeń 202• Iloczyn skalarny wektorów kontrawariantnych 203• Iloczyn skalarny wektorów kowariantnych 203• Rzeczywista wartość wektora kontrawariantnego 203• Rzeczywista wartość wektora kowariantnego 203• Warunek prostopadłości (ortogonalności) wektorów 203• Operacje na tensorach w przestrzeni Riemanna 203• Równania geodetyki 204• Geodetyka zerowa 204

11. Tensor krzywizny 205• Mieszany tensor krzywizny Grossmanna czwartego rzędu 205• Własności tensora krzywizny Grossmanna 206• Kowariantny tensor krzywizny Riemanna-Christoffela czwartego rzędu 206• Własności tensora krzywizny Riemanna-Christoffela 206• Podstawowe kryterium zakrzywienia przestrzeni 207• Różnica pochodnych kowariantnych drugiego rzędu wektora kontrawariantnego 207• Różnica pochodnych kowariantnych drugiego rzędu wektora kowariantnego 207• Kowariantny tensor krzywizny Ricciego drugiego rzęd 208• Własności tensora Ricciego 208• Mieszany tensor krzywizny Einsteina 209• Kontrawariantny tensor krzywizny Einsteina 210• Kowariantny tensor krzywizny Einsteina 210• Konforemne przekształcenie metryki 211• Kowariantny tensor krzywizny konforemnej Weyla 211• Własności tensora krzywizny konforemnej Weyla 212• Mieszany tensor krzywizny konforemnej Weyla 212• Twierdzenia o płaskości i zakrzywieniu przestrzeni 213• Równania dewiacji geodezyjnej 213

12. Składowe kontrawariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik, dwu-, trój- icztero-składnikowe symbole Ricciego, symbole Christoffela pierwszego i drugiegorodzaju, składowe tensorów krzywizny 214• Składowe kontrawariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik 214• Niezerowe dwuskładnikowe, trójskładnikowe i czteroskładnikowe symbole Ricciego

214• Jawna postać symboli Christoffetla pierwszego rodzaju 215• Jawna postać symboli Christoffetla drugiego rodzaju 216• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego 218• Niezależne składowe mieszanego tensora krzywizny Grosssmanna 220• Jawna postać niezerowych składowych mieszanego tensora krzywizny Grossmanna

221

14

• Niezależne składowe kowariantnego tensora krzywizny Riemanna- Christoffela 227• Niezerowe niezależne składowe kowariantnego tensora krzywizny wyrażone przez

składowe mieszanego tensora krzywizny 228• Składowe kowariantnego tensora Ricciego wyrażone przez składowe mieszanego ten-

sora Grossmanna 229• Składowe kowariantnego tensora Ricciego wyrażone przez składowe kowariantnego

tensora Riemanna-Christoffela 230• Składowe kontrawariantne tensora metrycznego i jego wyznacznik dla metryki stacjo-

narnej o zerowych składowych przestrzenno-czasowych 231• Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla metryki stacjonarnej o zero-

wych składowych przestrzenno-czasowych 232• Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla metryki stacjonarnej o zero-

wych składowych przestrzenno-czasowych 233• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki stacjonarnej o ze-

rowych składowych przestrzenno-czasowych 234• Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla metryki diagonalnej 235• Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla metryki diagonalnej 236• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki diagonalnej 237• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla metryki diagonalnej

(składowe mieszane) 238• Jawna postać symboli Christoffela pierwszego rodzaju dla stacjonarnej metryki diago-

nalnej 239• Jawna postać symboli Christoffela drugiego rodzaju dla stacjonarnej metryki diagonal-

nej 240• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla stacjonarnej metryki dia-

gonalnej 241• Jawna postać kowariannego tensora krzywizny Ricciego dla stacjonarnej metryki dia-

gonalnej (składowe mieszane) 242• Symbole Christoffela drugiego rodzaju i składowe tensora Ricciego odpowiadające

rozwiązaniu osiowo-symetrycznemu Weyla 243• Jawna postać niezerowych składowych niezależnych mieszanego tensora krzywizny

odpowiadających modelowi Wszechświata Friedmana dla przypadku k = 1 244• Jawna postać niezerowych składowych niezależnych mieszanego tensora krzywizny

odpowiadających prostemu modelowi rozszerzającej się czasoprzestrzeni 246

Bibliografia 248Dodatek 250

15

POLE GRAWITACYJ�ETEORIA �EWTO�A

1 RÓW�A�IA POLA GRAWITACYJ�EGO

• Wektor natężenia pola grawitacyjnego Pole grawitacyjne to przestrzeń, w której na spoczywające i poruszające się ciała działają

siły proporcjonalne do mas tych ciał.

�atężeniem pola grawitacyjnego E w danym punkcie nazywamy stosunek siły F, działa-

jącej ze strony pola na umieszczone w tym punkcie odpowiednio małe ciało, do masy m tego

ciała.

m

FE =

Natężenie pola grawitacyjnego jest wektorem. Jednostką natężenia jest niuton na kilogram.

[ ]1kg

1NE = .

Znajomość wektorów natężenia w każdym punkcie pola grawitacyjnego pozwala na obliczenie

siły działającej na znajdujące się w polu ciało o masie m.

EF m=

Stacjonarnym (stałym) polem grawitacyjnym nazywamy takie pole grawitacyjne, którego

wektory natężeń są stałe w czasie. Jednorodnym polem grawitacyjnym nazywamy takie pole

grawitacyjne, którego wektory natężeń są stałe co do wartości, kierunku i zwrotu w każdym

punkcie pola.

• Prawo Gaussa w postaci całkowej (globalnej)

∫∫ ⋅=ΦS

E dSE

EΦ = strumień wektora natężenia pola grawitacyjnego przez powierzchnię zamkniętą S

Strumień wektora przez dany element powierzchni zamkniętej jest ujemny, gdy wektor ma

różną od zera składową, skierowaną do wnętrza powierzchni Gaussa, prostopadłą do dane-

go elementu powierzchni.

2211 kgNm10672,6G −−⋅= = stała grawitacyjna

ρ = gęstość objętościowa masy

M = całkowita masa ciał znajdujących się w obszarze V

Strumień wektora natężenia pola grawitacyjnego przez powierzchnię zamkniętą jest

proporcjonalny do sumy mas ciał otoczonych przez tę powierzchnię.

GM4mG4dV G4di

i

VS

E π−=π−=ρπ−=⋅=Φ ∑∫∫∫∫∫ SE

POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA

16

• Prawo Gaussa w postaci różniczkowej (lokalnej)

• Potencjalność stacjonarnego (stałego) pola wektora E Stacjonarne pole wektora natężenia E jest polem bezwirowym lub potencjalnym, czyli po-lem w którym praca, wykonywana przez siły pola przy przesuwaniu cząstki o masie m wzdłużkrzywej zamkniętej, jest równa zeru. Tak więc praca wykonywana przez siły pola przy przesu-waniu cząstki z jednego punktu do drugiego zależy tylko od położenia tych punktów, a niezależy od toru po którym przesuwana była cząstka. Stacjonarne pole wektora natężenia możnaopisać skalarem zwanym potencjałem grawitacyjnym.

UWAGANajczęściej przyjmuje się 0=ϕ w nieskończoności. Fizyczny sens ma jedynie różnica poten-cjałów.

• Związek między natężeniem a potencjałem

Prawo Gaussa

dV G4dVS∫∫∫∫∫ ρπ−=⋅ SE

Twierdzenie Gaussa

dV divdVS

ESE ∫∫∫∫∫ =⋅

dV G4dV divVV∫∫∫∫∫∫ ρπ−=E

ρπ−= G4 divE

Różnica potencjałów grawitacyjnych między punktami A i B jest równa stosunkowi pracy

BAW → , którą wykonują siły pola grawitacyjnego przy przemieszczaniu cząstki z punktu A

do punktu B, do masy m tej cząstki.

m

W BA

BA→=ϕ−ϕ [ ]

1kg

1J=ϕ

Potencjałem grawitacyjnym Aϕ w danym punkcie A pola grawitacyjnego nazywamy sto-sunek pracy, jaką muszą wykonać siły pola przy przemieszczaniu cząstki z danego punktuA do punktu B w którym z założenia potencjał jest równy zeru, do masy m tej cząstki.

m

W BABA

→=ϕ−ϕ , 0B =ϕ

( )BABA mW ϕ−ϕ=→

lF dWB

A

BA ⋅= ∫→

EF m=Twierdzenie Stokesa

∫∫∫ ⋅=⋅Sl

drotd SElE

0t

=∂∂E

, 0rot =E

0grad rot =ϕ

0dl

=⋅∫ lF

0dl

=⋅∫ lE

0rot =E

Dla stacjonarnego pola grawitacyjnego cyrku-lacja wektora E wzdłuż dowolnej drogi zamk-niętej oraz rotacja wektora E w każdym punk-cie są równe zeru.

ϕ−= gradE

POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA

17

• Równanie Poissona i Laplace’a

0t

=∂∂E

ϕ−= gradE ρπ−= G4 divE α+α=α graddivdiv AAA

ϕ∆=ϕ∇=ϕ 2grad div

2

2

2

2

2

2

zyx ∂∂

+∂∂

+∂∂

=∆

∆ = operator Laplace’a, laplasjan

• Prawo +ewtona Dla powierzchni Gaussa będącej sferą o promieniu r, w środku której znajduje się punkto-wa masa M, mamy:

2r4S π=

2

S

r4Ed π−=⋅∫∫ SE

GM4dS

π−=⋅∫∫ SE

E mF = E=E , F=F

• Zapis prawa +ewtona w postaci wektorowej

12

122

12

2112 rr

mGm rF ⋅−=

1m , 2m = masy przyciągających się punktowych ciał

12r = promień wodzący poprowadzony z punktu 1 do punktu 2

12r = odległość między punktami 1 i 2

1212 rrr −= , 2121 rrr −= , 2112 rr −= 1r , 2r = promienie wodzące poprowadzone z początku układu współrzędnych odpowied- nio do punku 1 i 2 12F = siła z jaką ciało o masie 1m przyciąga ciało o masie 2m

2112 FF −=

2r

GME =

2r

GMmF =

Każde dwa punktowe ciała o masach M i mznajdujące się w odległości r od siebie przy-ciągają się wzajemnie siłą o wartości F wprostproporcjonalnej do iloczynu ich mas oraz od-wrotnie proporcjonalnej do kwadratu odległoś-ci między nimi.

ρπ=ϕ∆ G4 Równanie Poissona

W pustej przestrzeni poza obszarem źródłowej masy prawastrona równania Poissona jest równa zeru.

0=ϕ∆ Równanie Laplace’a

m1m2

r1

r2

0

m1 m2

POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA

18

2 RÓW+A+IA RUCHU PU+KTU MATERIAL+EGO W ZEW+ĘTRZ+YM POLUGRAWITACYJ+YM

3 POLE GRAWITACYJ+E PU+KTOWEJ MASY

• +atężenie pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M

m

FE = ,

m

FE =

2r

GMmF = ,

rr

GMm2

rF −=

M = masa punktowego źródła r = promień wodzący zaczepiony w źródle

• Praca sił pola grawitacyjnego przy przemieszczaniu cząstki o masie m w polu punk-towego źródła o masie M z punktu A do punktu B wzdłuż linii sił

rF dWB

A

r

r

BA ∫ ⋅=→

dr r

GMmd

2−=⋅ rF

12 rdrr −− −=∫

• Potencjał pola grawitacyjnego w odległości r od punktowego źródła o masie M

m

W BA

BA→=ϕ−ϕ

∞=Br , 0B =ϕ

−=→

ABBA r

1

r

1 GMmW

2

2

inerdt

dm

rF = ,

2

2

inerdt

xdmF µ

µ =

EF mgrav= , µµ = EmF grav

0t

=∂∂E

: ϕ−= gradE , µ

µ ∂ϕ∂

−=x

E

xx1 = , yx2 = , zx3 =

332211 xxxzyx eeekjir ++=++=

graviner mm =

W stacjonarnym polu grawitacyjnym:

0graddt

d2

2

=ϕ+r

, 0xdt

xd2

2

=∂

ϕ∂+

µ

µ

2r

GME =

rr

GM2

rE −=

−⋅=→

ABBA r

1

r

1GMmW

Ar = odległość punktu A od źródłowej masy M

Br = odległość punktu B od źródłowej masy M

W dowolnym polu grawitacyjnym:

0dt

d2

2

=− Er

, 0Edt

xd2

2

=− µµ

AA r

GM−=ϕ

Potencjał pola grawitacyjnego dla dowolnego rozkładumas:

dV r

GV∫∫∫

ρ−=ϕ

POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA

19

4 POLE GRAWITACYJ+E UKŁADU PU+KTÓW MATERIAL+YCH,ZASADA SUPERPOZYCJI

• Zasada superpozycji natężeń

• Zasada superpozycji potencjałów

5 ROZWI+IĘCIE MULTIPOLOWE POTE+CJAŁU POLA GRWITACYJ+EGOUKŁADU PU+KTÓW MATERIAL+YCH

• Rozwinięcie multipolowe potencjału Potencjał układu punktów materialnych w dużej odległości od tych punktów można przed-stawić w postaci szeregu

KK +−−−−=+ϕ+ϕ+ϕ+ϕ=ϕ4

33

22

11

03210 R

GK

R

GK

R

GK

R

GK

zwanym rozwinięciem multipolowym.

Punkt, w którym znajduje się masa Mi

Punkt, w którym wyznaczamy potencjał

(x, y, z)

0

RRi

ri(x , y , z )i i i

Wektor natężenia E pola grawitacyjnego, wytworzonego przez układ punktów material-nych o masach Mi, równy jest sumie wektorów natężeń Ei pochodzących od poszczegól-nych punktów.

∑∑==

⋅−==N

1i i

i2

i

iN

1ii rr

MG

rEE

ir = promień wodzący zaczepiony w i-tym punkcie materialnym o masie iM

Potencjał ϕ pola grawitacyjnego, wytworzonego przez układ punktów materialnych o ma-

sach Mi, równy jest sumie potencjałów iϕ pochodzących od poszczególnych punktów.

∑∑==

−=ϕ=ϕN

1i i

iN

1ii r

MG

POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA

20

∑−=ϕi i

i

r

MG

( )in0n

ni1n

i

cosPRR

1

r

1α= ∑

∞

=+

( )in cosP α = wielomian Legendre’a stopnia n

( ) 1cosP0 =α , ( ) α=α coscosP1 , ( ) ( )1cos3cosP 221

2 −α=α

( )in0n

ni

ii1n

cosPRMR

Gα−=ϕ ∑∑

∞

=+

( ) K−−α⋅⋅−α−−=ϕ ∑∑∑i

i22

ii3i

iii2i

i 1cos3RM2

1

R

GcosRM

R

GM

R

G

∑−=ϕi

i0 MR

G = człon monopolowy

∑ α−=ϕi

iii21 cosRMR

G = człon dipolowy

( )∑ −α⋅⋅−=ϕi

i22

ii32 1cos3RM2

1

R

G = człon kwadrupolowy

∑=i

i0 MK = całkowita masa układu

∑ α=i

iii1 cosRMK , ( )∑ −α⋅=i

i22

ii2 1cos3RM2

1K

• Człon dipolowy w rozwinięciu potencjału

2i

iii

1 R

cosMG∑ α−=ϕ

R

RR

cosi

ii

RR ⋅=α

RR ⋅

−=ϕ ∑

iii31 M

R

G

Środkiem masy układu punktów materialnych nazywamy punkt, którego promień wodzą-cy SR dany jest równaniem

∑∑

=

ii

iiidf

S M

M RR .

Jeżeli początek układu współrzędnych umieścić w środku masy układu punktów material-nych będących źródłem pola grawitacyjnego, to człon dipolowy w rozwinięciu potencjału sta-je się równy zeru, ponieważ wtedy suma momentów mas jest równa zeru 0M

iii =∑ R .

POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA

21

• Człon kwadrupolowy w rozwinięciu potencjału

( )1cos3RM2

1

R

Gi

2

i

2ii32 −α⋅⋅−=ϕ ∑

( )

δ−=−α

=α

δ=

µννµ

νµνµνµ

µννµ

2

iii

2

2i22

i

ii

i2

ii2i

R

xx3xx1cos3

RRR

xxxxcos

xxR

,

ν≠µ⇔

ν=µ⇔=δµν 0

1

xx1 = , yx2 = , zx3 =

ii1 xx = , i

i2 yx = , i

i3 zx =

δ−⋅⋅−=ϕ µν

νµνµ

µ ν∑∑∑ 2

ii

ii32

R

xx3xxM

2

1

R

G

∑ νµµν =i

iii xxMd = tensor momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych

δ−⋅⋅−=ϕ µν

νµ

µ νµν∑∑ 232 R

xx3d

2

1

R

G

( )

δ−δ−=

δ− µν

νµµννµµν

νµνµ 2

2i

ii

2

ii

R

xx3Rxx3

3

1

R

xx3xx

( )

δ−δ−⋅⋅−=ϕ µν

νµµννµ

µ ν∑∑∑ 2

2i

ii

ii32

R

xx3Rxx3M

6

1

R

G

( )∑ µννµµν δ−=i

2i

iii Rxx3MD = tensor momentu kwadrupolowego

δ−⋅⋅−=ϕ µν

νµ

µ νµν∑∑ 232 R

xx3D

6

1

R

G

• Tensor momentu kwadrupolowego Symetryczny tensor drugiego rzędu

∑ νµµν =i

iii xxMd

jest jedną z dwu postaci tensora momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych bę-dących źródłem pola grawitacyjnego, tworzy go dziewięć składowych w tym sześć niezależ-nych.

∑∑∑

∑∑∑======

===

iiiizy

iyziiizxxzii

iiyxxy

i

2iizz

2i

iiyy

2i

iixx

zyMdd ,zxMdd ,yxMdd

zMd ,yMd ,xMd

POLE GRAWITACYJNE – TEORIA NEWTONA

22

δ−⋅⋅−=ϕ µν

νµ

µ νµν∑∑ 232 R

xx3D

6

1

R

G

( )∑ µννµµν δ−=i

2i

iii Rxx3MD

µνD jest inną postacią tensora momentu kwadrupolowego układu punktów materialnych będą-

cych źródłem pola grawitacyjnego. A oto jego składowe:

• Związek tensora momentu kwadrupolowego z tensorem momentu bezwładności Tensor momentu bezwładności układu punktów materialnych względem początku układuwspółrzędnych z definicji dany jest przez

( )ii2i

ii

df

xxRMI νµµνµν −δ=∑ , ( )∑=λ

λ=3

1

2i2i xR

( )[ ( ) ]2i3

i

2i2i11 xx MI += ∑ , ( )[ ( ) ]2i

3i

2i1i22 xx MI += ∑ , ( )[ ( ) ]2i

2i

2i1i33 xx MI += ∑ ,

i2

i1

ii2112 xxMII ∑−== , i

3i1

ii3113 xxMII ∑−== , i

3i2

ii3223 xxMII ∑−== ,

lub

( )2i

i

2iixx zy MI += ∑ , ( )2

ii

2iiyy zx MI += ∑ , ( )2

ii

2iizz yx MI += ∑ ,

iii

iyxxy yxMII ∑−== , ii

iizxxz zxMII ∑−== , ii

iizyyz zyMII ∑−== .

Mamy też ( ) ( ) ( ) ][ ∑=++=++i

2ii

2i3

2i2

2i1i332211 RM2 xxx M2III , co ułatwia znalezienie

poszukiwanej relacji.( ) µνµνµν δ+++−= 332211 IIII3D

( ) µνµνµν δ+++−= 33221121 IIIId

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2i

2i

2i

2i

iii

izyyz

iii

izxxz

iii

iyxxy

2i

2i

2i

ii

i

2i

2iizz

2i

2i

2i

ii

i

2i

2iiyy

2i

2i

2i

ii

i

2i

2iixx

zyxR

zyM3DD

zxM3DD

yxM3DD

yxz2MRz3MD

zxy2MRy3MD

zyx2MRx3MD

++=

==

==

==

−−=−=

−−=−=

−−=−=

∑

∑

∑

∑∑

∑∑

∑∑Tensor µνD ma 5 niezależnych składo-

wych ponieważ jest tensorem symet-rycznym

νµµν = DD

a suma jego składowych diagonalnychjest równa zeru

0DDD zzyyxx =++ .