Teorija vjerovatnoće-seminarski rad Semir Alić.doc

SVEUČILIŠTE/ UNIVERZITET VITEZ U TRAVNIKUFAKULTET POSLOVNE INFORMATIKE

TRAVNIK

TEORIJA VJEROVATNOĆESeminarski rad

TRAVNIK,2015

Seminarski rad – Teorija vjerovatnoće

SVEUČILIŠTE/ UNIVERZITET VITEZ U TRAVNIKUFAKULTET POSLOVNE EKONOMIJE

TRAVNIK

TEORIJA VJEROVATNOĆESEMINARSKI RAD

Predmet: Objektno orijentisano programiranjeProfesor: Ibrahim ObhođašStudent: Semir Alić

Broj indeksa: 0335/14-DIT

2


Sadržaj:

Uvod u predmet i metod statistike.......................................................................................41. Historija statistike........................................................................................................52. Historijat statističke definicije vjerovatnoće...............................................................73. Historija vjerovatnoće..................................................................................................84. Nastanak teorija vjerovatnoće – drugi pogled.............................................................95. Radjanje teorije vjerovatnoće....................................................................................106. Nastanak aksiomatske definicije vjerovatnoće..........................................................157. Nastanak granične teoreme teorije vjerovatnoće i pojam zakona velikih brojeva i centralne granične teoreme................................................................................................168. Osnovni pojmovi teorije vjerovatnoće.......................................................................17Literatura............................................................................................................................22

3


Uvod u predmet i metod statistike

Bez obzira na to da li ćemo statistiku shvatiti kao metod, skup metoda ili kao nauku. potrebno ie da se što jasnije odredi predmet statistike. Međutim, zbog veoma širokog područja rada i raznovrsnosti oblasti na kojima se statistika primjenjuje, dolazi do niza problema i nesporazuma kada treba prećiznije defmisati predmet statistike.

Od prvih početaka statističke djelatnosti u njenjim rudimentalnim oblicima, statistička praksa je bila vezana za masovne pojave, skupove. To znači da je statistika u svom istorijskom razvoju nastala iz potrebe prakse da se posmatranjem i analizom pojava koje se javljaju u društvu, prirodi i privredi kao skupovi istorodnih ili sličnih elemenata, jedinica i dijelova, utvrđuju zakonitosti i karakteristiike u nastajanju, postojanju, razvoju, nestajanju tih pojava. Zbog svega toga kod nekih autora i teoretičara sa područja statistike nalazimo objašnjenja da je predmet statistike proučavanje i posmatraye masovmh pojava. To je, treba odmah naglasiti, samo djelimično tačno, jer su masovne pojave (cjelokupnosti) predmet proučavanja mnogih drugih društvenih, biološskih, tehničkih i dr. nauka, pa bi to značilo da statistika ima za predmet isto ono što imaju i neke druge nauke ili da je statistika samo neka komplementama naučna disciplina koja je, manje ili više, potreban dopunski rad u takvim proučavanjima. Ovakvo mišljenje nije bez osnova, ono stvara zabunu koja se odavde prenosi dalje i predstavlja osnov na kome pojedini teoretičari definišu statistiku.

Pogrešno je, dakle, ako se kaže da je predmet statistike proučavanje masovnih pojava. To, u stvari, nije ni tačno, jer se pod takvom formulacijom podrazumjeva sve što se uopšte može govoriti o masovnim pojavama, počev od njihovog istorijskog pa do fizičkog objašnjenja. Vidimo da bi ovakvo shvatanje predmeta statistike značilo da statistika predstavlja neku univerzalnu nadnauku koja proučava sve, koja nema jasno određene fizionomije, pa zbog svega toga se tu ne može ni govoriti o nekoj naučnoj disciplini.

Postoji još jedan razlog zbog koga je došlo do ovakvih pogrešnih ili nedovoljno jasnih stavova po pitanju određivanja predmeta statistike. To je veoma veliki broj statističara koji se bave starističkom teorijom a nisu dovoljno kvalifikovani za to područje ili zbog neke svoje druge glavne naučne orijentacije i specijalizacije nemaju dovoljno sluha i oštrine za ovo područje. Sve veće potrebe i zahtjevi društva za statistikom u svim njenim oblicima djelatnosti, otkrivaju praznine u kvalifikovanim statističkim kadrovima, pa se te praznine popunjavaju često i onim kadrovima koji su iz drugih naučnih oblasti, preko statističke prakse učli u statističku teoriju. Ne osporavajuci njihov doprinos u razvijanju statističke djelatnosti, treba razlikovati njihove stavove u pitanjima statističke teorije i statistike kao naučne discipline.

4


Kada želimo da odredimo predmet statistike, onda prije svega oprijeđeljujemo i naše stanovište sa koga to izražavamo. Polazeći od činjenice da je statistika kao naučna disciplina jasno određena po svojim zadacima i ulozi u sklopu ostalih društvenih nauka, kažemo da je predmet statistike proučavanje varijacija obilježja masovnih pojava. Kraće rečeno, predmet statistike jeste varijacija kao specifičan oblik kretanja uopšte. Ta varijacija se manifestuje u različitim oblicima, zavisno od vrste i oblika obilježja koje je nosilac te varijacije, odnosno zavisno od vrste i oblika masovnih pojava i njihovih jedinica koje su nosioci obilježja. Proučavanje varijacije statistika vrši uz pomoć broja i putem deskripcije.

Metod_kojim se služi statistika kao nauka zasnovan je na metodima formalne logike. Statistika_koristi indukciju kao metod proučavanja od pojedinačnog ka opštem, zatim dedukciju kada polazi od pretpostavki, od opšteg ka pojedinačnom. Statistika, daljie koristi analizu i sintezu, kada pojave rasčlanjavanja radi proučavanja pojedinlh dijelova ili kada skuplja informacije o pojedmim djelovima masovnih pojava u cjelovitost radi potpunijeg saznanja o toj pojavi. Statistika koristi i analogiju kada na bazi poznatih karakteristika jedne pojave donosi sudove o drugoj koja je sa ovom u nekoj organskoj ili korelacionoj vezi. Statistika je razradila i koristi reprezentativni metod po kome se na bazi manjeg ili većeg broja jedinica neke mase zaključuje o toj cijeloj masi, uz sve metode korekture, predviđanja i vjeravatnoću grešaka. U prikazivanju predmeta proučavanja statistika je razradila svoj specijalan grafički metod koji nije samo za to da se očigledno ilustruje neka pojava, nego i da se otkriju različiti međusobni odnosi, zatim dinamika i druge karakteristike posmatranih pojava. Ne treba zaboraviti da je statistika izgradila svoj specifičan metod znakova i simbola kojima se koristi za označavanje kategorija, pojmova i indikatora.

Sve su ovo specifični metodi koje je razradila sama statistička teorija i koji se koriste u statističkoj nauci, praksi i primjeni a takode i u svim drugim naukama i praksi uopšte, svuda gdje se ima posla sa korišćenjem statistike.

1. Istorija statistike

Statistika je nauka koja se bavi prikupljanjem, analizom i izvlačenjem zaključaka iz podataka. Razvoj statistike je skora pojava, sa samo par spona koje je vezu sa devetnaestim vijekom. Prvi, stvarno bitni koraci u razvoju teorije statistike su se desili krajem devetnaestog vijeka i početkom dvadesetog vijeka.

Statistika je postala poznata u dvadesetom vijeku kao matematička alatka za analiziranje eksperimentalnih i posmatračkih podataka. Opšte prihvaćena od kao jedina pouzdana osnova za donošenje sudova o efikasnosti medicinskih procedura ili o bezbjednosti hemikalija, i prihvaćena u proizvodnji za potrebe kontrole kvaliteta, statistika je očigledno medju proizvodima nauke čiji je uticaj na

5


javni i privatni život ogroman. Statistička analiza se takodje smatra u mnogim naučnim disciplinama nezamjenjivom za izvlačenje pouzdanih zaključaka iz empirijskih nalaza. Za neka moderna naučna polja, kao što je kvantitativna genetika, statistička mehanika, i za polje psihologije- testiranje inteligencije, statistička matematika je neodvojiva od teorije same nauke. Rijetko koja je grana matematike našla tako široku oblast primjene

Kao i nauka o računarima, statistika se smatra oblašću odvojenom, ali blisko vezanom, sa matematikom. Takva naučna polja se često nazivaju "matematičkim naukama".

Teorija vjerovatnoće je preduslov i osnova statistike. Ništa se ozbiljno ne može uraditi u izučavanju statistike bez ikakvog poznavanja vjerovatnoće. Na neki način, vjerovatnoća i statistika se mogu posmatrati kao proučavanje sličnih situacija na različite načine. Ako znamo sastav stanovništva i želimo da znamo šta se to može reći o uzorku odabranom iz te populacije, onda će nam vjerovatnoća dati neke odgovore. U suprotnom, ako smo odabrali uzorak populacije i želimo da saznamo šta to možemo reći o cijeloj toj populaciji na osnovu onoga što znamo o uzorku, onda se moramo koristiti statistikom.

Izučavanje metoda donošenja zaključaka na osnovu podataka, počinje radom Fransisa Galtona (Francis Galton, 1822-1911) i Karla Pirsona (Karl Pearson, 1857-1936) krajem devetnaestog vijeka. Ovaj rani period obilježila je promjena stava o statistici, shvatanjem njene važnosti od strane naučnog svijeta. Kao dodatak tome, mnogi su pomaci napravljeni u statističkoj tehnici. Medju tehničkim alatkama koje su izmislili Galton, Pirson i njihovi sledbenici su: standardna devijacija, koeficijent korelacije, i hi-kvadratni test.

Drugi period razvoja statističke teorije počinje oko 1915. godine i uglavnom se sastoji od radova Fišera (R. A. Fisher, 1890-1962) i njegovih sledbenika. Medju njihovim glavnim doprinosima su: razvoj metoda pogodnih za male uzorke, otkrivanje normalne raspodjele mnogih statističkih primjera, formulisanje logičkih principa za testiranje hipoteza, otkrivanje tehnike poznate kao analiza varijanse, i predstavljanje kriterijuma za odabir procjenjivača medju raznim mogućim procjenjivačima parametara populacije.

Treći period počinje oko 1928. godine štampanjem zajedničkog dela Džerzija Nimana (Jerzy Neyman) i Igona Pirsona (Egon Pearson, inače sina Karla Pirsona). Ovo djelo je predstavilo i objasnilo koncepte kao što su: greška drugog reda, snaga testa i pouzdanost intervala. Tokom ovog perioda, u industriji se počela širiti primjena statističkih tehnika, naročito u vezi sa kontrolom kvaliteta. Počelo se povećavati interesovanje za sprovodjenje zapažanja uz osvrt na teoriju i tehnike uzimanja uzoraka.

Četvrti period počinje 1939. godine radom Abrahama Volda (Abraham Wald). Njegov najvažniji doprinos je otvaranje novih pogleda na statističke probleme,

6

http://statlab0.fon.bg.ac.yu/srb1/IstorijaVer/mat11.htm









http://statlab0.fon.bg.ac.yu/srb1/IstorijaVer/IstorijaVerovatnoce.htm


uokvirenom u pojmu teorija statističkog odlučivanja. Sa ove tačke gledišta, statistika se smatra umjetnošću igranja igara, sa prirodom kao protivnikom. Ovo je veoma uopštena teorija, i dok sa jedne strane vodi do izvrsnih matematičkih komplikacija, sa druge strane, slobodno se može reći da većina današnjih statističara dijeli mišljenja da je napredno odbaciti ovaj pristup.

Pronalazak računara četrdesetih godina dvadesetog vijeka i enorman porast računarske moći od tada, imale su jak uticaj na statistiku. Kompjuteri su načinili praktičnim za korišćenje one tehnike koje bi bile nezamislive, i mogućim obradu nezamislivo velikom mnoštvu podataka. Velik broj kalkulacija i analiza velikih nizova podataka su bili prosto nemogući pre otkrivanja elektronskih računara.

Statistička teorija i praksa ostaju i dalje važne oblasti istraživanja. Proučavanje tema kao što su "robusnost" i "neparametarska statistika" su dva značajna primjera iz druge polovine dvadesetog vijeka. Velika količina proračuna koja prati moderne izborne kampanje je samo primjer do koje je mjere statistika postala centralni dio modernog života.

2. Istorijat statističke definicije vjerovatnoće

Ako sa m označimo broj realizacija događaja A u n nezavisnih eksperimenata onda je relativna frekvencija događaja A : fr (a)= m/n , za većinu eksperimenata gde je n dovoljno veliko , zadržava skoro konstantnu vrijednost, pri čemu se veća odstupanja frekvencije od te konstantne vrijednosti uočavaju utoliko rijeđe ukoliko je veći broj eksperimenata. Za vjerovatnoću događaja A uzimamo upravo tu konstantu oko koje varira frekvencija događaja A.

Ovako definisana vjerovatnoća jednog događaja naziva se statističkom definicijom vjerovatnoće.

Osobinu frekvencije događaja da u velikom broju nezavisnih eksperimenata neznatno odstupa od vjerovatnoće događaja nazivamo stabilnošću frekvencije.

Stabilnost frekvencije je najpre bila uočena u demografiji. Još u starom vijeku uočeno je da je odnos broja rođenih dječaka prema ukupnom broju rođene djece bio iz godine u godinu skoro nepromjenjen i približno iznosio 0,5.

Docnije u XVII i XVIII vijeku, pojavili su se mnogi radovi koji su na osnovu statističkih podataka utvrđivali ne samo stabilnost ove frekvencije rođenih dječaka prema ukupnom broju rođene djece nego i procjenat smrtnosti lljudi različitog uzrasta u različitim matrijalnim i socijalnim uslovima života.

Lapals je na osnovu većeg broja statističkih podataka zaključio da su odnosi broja dječaka prema ukupnom broju djece skoro poklapali za London, Berlin, Petrograd i celu Francusku.

7


Svi ti odnosi su se u toku više desetina godina kolebali oko jednog istog broja , približno jednakog 22/43.

Na primjer , eksperimanti bacanja novčića pokazuju da se frekvencije pojave grba kolebaju oko 0,5. Bifon je u 4040 bacanja novčića dobio 2048 puta grb, to jest frekvenciju grba 0,5080. K. Pirson je u 12000 bacanja novčića dobio 6019 puta grb, to jest frekvenciju grba 0,5016, a u 24000 bacanja dobio je 12012 puta grb, odnosno frekvenciju grba 0,5005. Matematičar J. Kerih je u zarobljeništvu , za vrijeme drugog svijetskog rata, izveo 10 serija po 1000 bacanja i dobio sledeće brojeve grbova: 502, 511, 497, 529, 504, 476, 507, 528, 504, 529.

3. Istorija vjerovatnoće

Kockarska rasprava 1654 godine dovela je do stvaranja matematičke teorije vjerovatnoće od strane dva slavna francuska matematičara, Bleza Paskala (Blaise Pascal) i Pijera Ferma (Pierre de Fermat). Antuan Gombo (Antoine Gombaud), francuski plemić zainteresovan za kockanje i kockarske probleme, pozvao je Paskala zbog očigledne kontradikcije koja se ticala popularne igre kockama. Igra se sastojala u bacanju para kockica 24 puta; problem je bio u tome da li se kladiti u pojednaku sumu na pojavljivanje "dvostruke šestice" tokom tih 24 bacanja. Dobro utvrdjeno kockarsko pravilo navodilo je de Merea na zaključak da je bolje kladiti se na pojavljivanje dvostruke šestice, ali njegovi proračuni su ukazivali na sasvim suprotno.

Ovaj i ostali problemi koje je postavio de Mere, doveli su do razmjene pisama izmedju Paskala i Ferma, u kojima su, po prvi put, postavljeni principi teorije vjerovatnoće. Iako su neke specijalne probleme igara na sreću riješili neki italijanski matematičari u petnaestom i šesnaestom vijeku, nikakva teorija nije bila razvijena pre ovog slavnog dopisivanja.

Holandski naučnik Kristijan Hajgens (Christian Huygens), Lajbnicov (Leibniz) učitelj, saznao je za ovaj razgovor i ubrzo zatim (1657) izdao prvu knjigu o vjerovatnoći uopšte; nazvana De Ratiociniis in Ludo Aleae, bješe to rasprava o raznim kockarskim problemima. Zbog rasprostranjenosti igara na sreću, teorija vjerovatnoće je ubrzo postala popularna, i oblast brzo razvijena tokom osamnaestog vijeka. Glavni doprinos tokom ovog perioda imali su Jakob Bernuli (Jakob Bernoulli, 1654-1705) i Abraham Muavr (Abraham de Moivre, 1667-1754).

Godine 1812, Pjer d'Laplas (Pierre de Laplace, 1749-1827), upoznao je javnost sa mnogo novih ideja i matematičkih tehnika u svojoj knjizi, Théorie Analytique des Probabilités. Pre Laplasa, teorija vjerovatnoće se bavila samo matematičkom analizom igara na sreću. Laplas je primjenio ideje iz vjerovatnoće na mnoge naučne i praktične probleme. Teorija grešaka i statistička mehanika su primjeri nekih značajnih upotreba teorije vjerovatnoće razvijenih u devetnaestom vijeku.

8







Kao i mnoge druge grane matematike, razvoj teorije vjerovatnoće bio je stimulisan mnoštvom svojih primjena. Čak šta više, svaki pomak u teoriji je proširivao spektar uticaja. Matematička statistika je jedna od najbitnijih grana primjenjene vjerovatnoće; ostale primjene se pojavljuju u tako veoma različitim poljima kao sto su genetika, psihologija i ekonomija. Mnogi radnici su doprinjeli razvoju teorije od Laplasovog vremena; medju najznačajnijim su Cebisev, Markov, von Mises, i Kolmogorov.

Jedna od poteškoća u razvoju matematičke teorije vjerovatnoće, bila je nemogućnost da se da definicija vjerovatnoće koja je toliko precizna da se može koristiti u matematici, a opet toliko razumljiva da se može primjeniti na širok spektar fenomena. Potraga za takvom, opšte prihvatljivom definicijom, trajala je skoro tri vijeka i obilježena je mnoštvom kontraverzi. Problem je konačno razrješen u dvadesetom vijeku, tretiranjem teorije vjerovatnoće na aksiomatskoj osnovi. Godine 1933. rad ruskog matematičara Kolmogorova, uokvirio je jedan aksiomatski pristup, koji nadalje pretstavlja osnove moderne teorije. Od tada ideje su uglavnom preradjene, i teorija vjerovatnoće je sad dio opštije discipline, poznate kao teorija mjerenja.

4. Nastanak teorija vjerovatnoće – drugi pogled

Teorija vjerovatnoće je matematička disciplina koja izučava zakonitosti slučajnih pojava.

Sve do našeg vremena pogrešno je prenošeno mišljenje da je teorija vjerovatnoće nastala u XVII vijeku, kad su Ferma i Paskal počeli da izučavaju hazardne igre, koje su postojale hiljadu i više godina ranije, nisu podstakle pojavu i razvoj teorije vjerovatnoće i pre sredine XVII vijeka.

Savremeni istoričari ne poriču značaj uticaja hazardnih igara na razvoj teorija vjerovatnoće ali ističu da su zadaci i problemi koji su izvršili osnovni uticaj na na njenu pojavu i razvoj, ponikli pri obradi staističkih podataka i rezultata u različitim naukama ili iz rada osiguravajućih društava. Prvi statistički podaci , pre svega o stanoviništvu, sakupljani su još u starom vijeku. Sistematska i dovoljno sveobuhvatna statistička ispitivanja upravo počinju u periodu radjanja kapitalizma. U XIV vijeku niču prva osiguravajuća društva u Italiji i Holandiji u kojima su izračunate “šanse “ za veći rizik tražena je veća premija ( za prekomorski prevoz premije su iznosile 12 do 15 odsto, a za prevoz unutar zemlje 6 do 8 odsto vrijednosti robe ).

Naglim razvojem prirodnih nauka , kada su u periodu renesanse posmatrnja i eksperimenti dobijali sve veći značaj, pojavila se i potreba obrade rezultata mjerenja, posebno ocjene slučajnih grešaka. Galilej je govorio da su slučajne

9



http://statlab0.fon.bg.ac.yu/srb1/IstorijaVer/IstorijaStatistike.htm


greške neizbježne pri instrumentalim posmartanjima i postavio pitanje njihove ocjene.

Njegov zaključak je sledeći: češće se pojavljuju manje greške, a rjedje veće. Štaviše on ukazuje na to da je zakon raspodjele grešaka simetričan.

Galilej je na taj način otkrio čitav niz osnovnih osobina normalne raspodjele vjerovatnoća, jedne od osnovnih raspodjela teorije vjerovatnoće.

Prvi zadaci koji pripadaju teoriji vjerovatnoće odnose se na izračunavanje različitih rezultata pri bacanju nekoliko kocki i potiču iz X i XI vijeka.

U knjizi “ O igri kockom “ Kardano ( 1501 – 1576 ) je dao tačan broj svih mogućih ishoda pri bacanju dve i tri kocke i približio se definiciji vjerovatnoće pomoću jednako mogućih dogadjaja. Pored ovih podsticaja, na razvoj teorije vjerovatnoće uticala je i kombinatorika, koja je sistematski izložena 1666 godine u Lajbnicovoj knjizi “ Ars kombinatoria “.

5. Radjanje teorije vjerovatnoće

Radjanje teorije vjerovatnoće vezano je za imena Paskala ( 1623 – 1662 ), Freme ( 1601 – 1665 0 i Hajgensa ( 1629 – 1695 ). Ovaj period možemo računati od sredine XVII do početka XVIII vijeka. Izmedju Paskala i Ferma počela je 164.godine prepiska o nizu zadataka, medju kojima je bio zadatak o podjeli uloga prilikom prekida igre. Mnogi autori pridaju izuzetan značaj povodu ove prepiske i pojavi same teorije vjerovatnoće kada je kockar Sevalije da Mere postavio neka pitanja Paskalu u vezi sa igrama sa kockom. Treba istaći da se u istorijsko matematičkoj literaturi uloga Paskala i Ferma u stvaranju teorije vjerovatnoće preuveličava, a da se Hajgensu pridaje, drugostepeni značaj. Medjutim , njegova knjiga “ O računu u hazardnim igrama “ je prva knjiga o teoriji vjerovatnoće koja je do pojave radova Jakoba Bernulija imala veliki značaj za razvoj ove teorije.

Period formiranja teorije vjerovatnoće kao nauke ( početak XVIII – sredina XIX vijeka ) započinje pojavom knige švajcarskog matematičara Jakoba Bernulija (1654 – 1705 ) “ Traktat o nauci predvidjanja “, koju je posle smrti autora izdao Nikola Bernuli 1713 .godine. U ovoj knjizi je savršeno strogo dokazana prva granična teorema, koja se naziva teorema Bernulija. Ukratko, ona utvrdjuje da je vjerovatnoća većih odstupanja frekvencije m/n od vjerovatnoće p mala, ako je samo n dovoljno veliko ( p je vjerovatnoća pojave posmatranog dogadjaja u svakom od n nezavisnih eksperimenata, a m je broj realizacija tog dogadjaja ). Pored toga što je predstavljala osnovu daljih istraživanja u oblasti graničnih teorema teorije vjerovatnoće, teorema Bernulija ima izuzetan značaj i u različitim praktičnim primjenama teorije vjerovatnoće. Posebno organizovanim eksperimentima, pre svega bacanjem uvis kovanog novca , teorema Bernulija je ne jednom potvrdjena.

10


Bufon je bacio novčić 4040 puta i dobio 6019 puta grb, a kada ga je bacio 24000 puta – grb je dobio 12012 puta. Frekvencije pojave grba u ovim eksperimentima su jednake 0,4931, 0,5016, 0,5005.

Početak XVII vijeka označen je i pojavom radova Abrahama de Muavra ( 1667 – 1754 ). U radu “ Učenje o slučajevima “ iz 1718. Godine on, pored ostalog , razmatra niz pitanja u vezi sa teoremom Jakoba Bernulija. Iz teoreme Bernulija na sledi da će se m/n obavezno približiti p , kada se n uvećava. Broj pojava posmatranog dogadjaja, to jest broj m , zavisi od slučaja i zato su moguća različita odstupanja frekvencije m/n od vreovatnoce p. U radu “Analiticka smjesa“, iz 1730 .godine Muavr razmatra pitanje sa kakvim vjerovatnoćama odstupanja m/n od p mogu da uzmu ove ili one vrijednosti . Muavr je našao posebno rješenje za slučaj p=0,5 , to jest p=0,5 , on je ispitao sa kakvim vjerovatnoćama razlika ( m/n – p ) uzima različite vrijednosti.

Docnije je Pjer Laplas ( 1749 – 1827 ) proširio teoremu Muavra za proizvoljne vrijednosti p koje nisu jednake 0 i 1. Teorema Muavra Laplasa predstavlja drugu osnovnu graničnu teoremu vjerovatnoće. Lapals je radove iz teorije vjerovatnoće počeo da publikuje sedamdesetih godina XVIII vijeka. Svoje osnovne rezultate iz teorije vjerovatnoće izložio je u knjizi “ Analiticka teorija vjerovatnoće “ 1812. godine. U ovoj knjizi je sistematizovao sve rezultate iz teorije vjerovatnoće od tog vremena , usavršio je metode dokazivanja, postavio osnove za izučavanje statističkih zakonitosti, uspješno je primjenio teoriju vjerovatnoće u ocjeni slučajnih grešaka i drugo. Laplasovi radovi predstavljaju neprocjenjivi doprinos razvoju teorije vjerovatnoće . U “ Analitičkoj teoriji “ data je takozvana klasična definicija vjerovatnoće koja se često naziva Laplasovom.

Razvojem teorije vjerovatnoće bilo je mogućno potpuno i tačno riješiti zadatak ocjene slučajnih grešaka . Njemački matematičar Karl Gaus ( 1777-1855 ) dobio je 1809. godine osnovni rezultat koji se sastojao u izvodjenju normalnog zakona raspodjele slučajnih grešaka. Posle njegovih radova ponikao je zadatak ocjene parametara normalne raspodjele. Gaus je, takodje zasnovao i metodu najmanjih kvadrata. Njegovi rezultati iz teorije grešaka i sada se bez izmjene nalaze u većini udžbenika.

Između imena P. Monmoroa ) 1678 - 1719 , T . Simpsona ( 1710 - 1761 , koji je prvi razmatrao neprekidnu raspodjelu), T. Bajesa ( 1702 – 1763 ), L. Ojlera (1707 – 1783 ), D . Bernulija ( prvi je primjenio analizu beskonačno malih na zadatke teorije vjerovatnoće ), Bufona ( 1707 – 1788 , primjenio je teoriju vjerovatnoće u prirodnim naukama ) i drugih, istaknimo iz ovog perioda i ime Puasona ( 1781 – 1840 ).

Njegova znamenita teorema pripada sada zakonu velikih brojeva. Razmatrajući teoremu Muavra Laplasa, Puason je uočio da se binomna raspodjela utoliko lošije zamjenjuje normalnom raspodjelom ukoliko se p više razlikuje od 0,5. Tako je dobio asimptotsku formulu binomne raspodjele za slučaj kada p teži nuli, n

11


beskonačnosti, a proizvod np ostaje konstantan. Puasonova raspodjela je postala jedna od najznačajnijh raspodjela vjerovatnoća. Ovu raspodjelu je krajem XIX vijeka poljski matematičar Bortkjevic nazvao zakonom malih brojeva.

Prema riječima Gnedenka, radovima Laplasa i Puasona završen je veliki i plodotvorni početni period razvoja teorije verovetnoce.

I dok je i u Zapadnoj Evropi u drugoj polovini XIX vijeka nastao zastoj u teoriji vjerovatnoće zbog shvatanja da je ona posebna matematička zabava koja ne zaslužuje posebnu pažnju , u Rusiji su Bunjakovski i Ostrogradski razvili interes za ovu teoriju.

Pod neposrednim uticajem njihovih radova pojavio se P.L. Cebišev ( 1821 – 1894 ) , koji je nove ideje u teoriji vjerovatnoće . Osnovnu pažnju je Cebišev je posvijetio graničnim teoremama. On je objavio svega četiri rada iz oblasti teorije vjerovatnoće koji su odigrali veliku ulogu u njenom daljem razvoju . U radu o srednjim veličinama, dokazana je vrlo značajna nejednakost koja se sada naziva nejednakošću Cebiševa. Pomoću ove nejednakosti Cebišev je dokazao teoremu iz koje se kao posledice , dobijaju teoreme Bernulija i Puasona.

Osnovna pitanja koja su interesovala Cebiševa odnosila su se na zakon velikih brojeva i na granične teoreme za zbir nezavisnih slučajnih promjenljivih . To su bila i osnovna pitanja teorije vjerovatnoće. Od njihovog rješenja zavisio je i dalji put razvoja teorije vjerovatnoće. Rezultatima u teoriji vjerovatnoće Cebišev je ukazao na dalji put njenog razvoja, udahnuo joj nove ideje , rješio je principjelno fundamentalne zadatke, zainteresovao je za teoriju verovatnoće talentovane matematičare i postavio pred njih nove probleme. Sve je to izvelo teoriju vjerovatnoće iz ćorsokaka i označilo početak njenog burnog razvoja.

Najznačajniji sledbenici Cebiševa su A. A. Markov ( 1856 – 1922 ) i A.M. Ljapunov ( 1858 – 1918 ). Za ime Markova vezani su lanci Markova , to jest nizovi slučajnih promjenljivih povezanih tako da vjerovatnoća realizacije jednog eksperimenta uzima određenu vrijednost ako je poznat rezultat prethodnog eksperimenta ( prost lanac ) ili tako da vjerovatnoća jednog eksperimenta uzima određenu vrijednost kada su poznati rezulatai prethodnih k eksperimenata (složeni lanac Markova reda k ).

Markov je proširio zakon velikih brojeva na zavisne slučajne promjenljive. Ljapunov je iz teorije vjerovatnoće objavio dva velika rada. Opštije rezultate od Cebiševa i Markova Ljapunov je dobio zahvaljujući primjeni nove metode karakterističnih funkcija, koja je zamjenila metodu momenta.

Teorema Ljapunova iy 1901. godine, koja je dobila naziv, centralana granična teorema, u posebnom slučaju objašnjava zašto se mnoge slučajne promjenljive podčinjavaju normalnom zakonu raspodjele vjerovatnoća. Iz teoreme Ljapunova sledi da – ako je slučajna promjenljiva X zbir velikog broja nezavisnih slučajnih

12


promjenljivih, od kojih svaka ima neznatno mali uticaj na celokupni zbir – tada X ima raspodjelu blisku normalnoj. Pri tom, zakoni raspodjela slučajnih promjenljivih koji sastavljaju zbir mogu biti proizvoljni.

Zahvaljujući uspjesima ruske škole teorije vjerovatnoće, a i poterbama statistike , početkom XX vijeka obnavlja se interes za teoriju vjerovatnoće i u Zapadnoj Evropi i Americi.

Razvoj i široka primjena teorije vjerovatnoće početkom XX vijeka postavili su zahtev za ponovnim razmatranjem i preciziranjem njene logičke osnove. U to vreme aksiomatski metod je proniknuo u mnoge oblasti matematike ( Hilbertov sistem aksioma u geometriji, Peanov sistem aksioma u algebri ) kao metod koji zasniva različite oblasti matematike i omogućava dalji razvoj teorije. Laplasova definicija vjerovatnoće imala je vrlo ograničenu primjenu i nije mogla da se proširi na proučavanje sve složenijh pojava u fizici, statistici, biologiji i tehnici.

Široko razumijevanje logičkih osnova teorije vjerovatnoće predstavljalo je početak nove najplodnije etape njenog razvoja. Prvu aksiomatiku dao je dao je S.N. Bernštajn 1917. Godine. Uočivši potpunu analogiju između pojmova metričke teorije funkcija i teorije vjerovatnoće, Kolgomorov je 1933. Godine objavio aksiomatiku teorije vjerovatnoće koja je omogućila korišćenje sve bogatijeg aparata teorije funkcija.

Izuzetno veliki interes za teoriju vjerovatnoće i matematičku statistiku pojavio se posle drugog svijetskog rata. Naučni interes za probleme teorije vjerovatnoće usmjeren je u više pravaca, jedni produbljuju klasične granične teoreme teorije vjerovatnoće, drugi se posvećuju primjenama u različitim oblastima, treći razrađuju nove oblasti pronikle u okviru teorije vjerovatnoće.

Jedna od izuzetno značajnih novih oblasti teorije vjerovatnoće je teorija slučajnih procesa koju je zasnovao Kolmogorov. U oblasti primjene slučajni procesi su teorijski modeli za izučavanje dinamičkih sistema u slučajevima kad se stanja sistema određuju vjerovatnoćama. Od posebnog praktičnog značaja ističu se procesi Markova koji se primjenjuju u problemima masovnog opsluživanja (telefonija , trgovina , saobraćaj ), difuzije i brunovog kretanja.

Zahvaljujući razvoju teorije vjerovatnoće nastale su i nove matematičke discipline

teorija masovnog opsluživanja, teorija informacija teorija pouzdanosti tehničkih sistema teorija zaliha

Matematička statistika, kao naučna disciplina počele je da se razvija tek nedavno. U prvim udžbenicima ona se sastojala od teorema teorije vjerovatnoće, približnih formula, empirijskih posmatranja i intuitivnih pravila. Tek dvadesetih

13


godina XX vijeka pojavile su se prve tačne formulacije osnova matematičke statistike. Početkom XIX vijeka Belgijanac Ketle, karjem XIX vijeka Englez K. Pirosn i početkom XX vijeka Englez R. Fišer značili su za statističku metodlogiju tri epohe. Savremena statistička metodlogija vezana je za imena Amerikanaca Nejmana i Volda.

Zahvaljujući njihovim radovima uočene su i razvijaju se tri oblasti matematičke statistike:

teorija estimacije teorija provere statističkih hipoteza teorija planiranja eksperimenata

Cilj teorije estimacije sastoji se u konstrukciji metoda za ocenu vrijednosti jednog ili većeg broja parametara zakona raspodjele vjerovatnoća slučajnih promjenljivih.

Osnovu savremene teorije estimacije dao je Nejman, zahvaljujući na takozvanim intervalima pouzdanosti (povejrenja, confidece intervals ). Njegova teorija je ponikla kao kritika odgovarajuće teorije R. Fišera. U poslednje vreme počela su ispitivanja u oblasti neparametarske teorije ocjena. Izučavaju se intervali pouzdanosti koji sa datom vjerovatnoćom sadrže nepoznatu funkciju raspodjele (Kolmogorov , Smirnov, Vold).

Osnovni zadatak teorije provjere ( verifikacije ) statističkih hipoteza sastoji se o određivanju pravila ili kriterijuma na osnovu kog se pomoću eksperimentalnih vrijednosti slučajnih promjenljivih može riješiti da li prihvatiti ili odbaciti predloženu hipotezu. Teorija Nejmana i E. Pirsona ograničena je na primjenu kod parametarskih hipoteza. U oblasti neparametarskih hipoteza još od vremena K. Pirsona koristi se test hi-kvadrat . Sistematska istraživanja u ovoj oblasti započeo je R. Fišer, cije su ideje razvili S. Šefe, E.Leman, C. Stejn. Kriterijumi Kolmogorova i Smirnova predstavljaju doprinos u ovoj oblasti statistike. Istraživanja u ovoj oblasti su značajna sa teorijske tačke gledišta i imaju veliki praktični značaj, jer se u primjenama često susrećemo sa situacijama kada nam je oblik funkcije raspodjele posmatranih slučajnih promjenljivih nepoznat.

Treća najmlađa oblast statistike je teorija planiranja eksperimenata. Sistematska istraživanja u ovoj oblasti takode su započeli R. Fišer i J. Nejman. Praksa je pokazala da bitnu ulogu u primjeni statistike igra sama šema eksperimenata, jer u zavisnosti od nje može da se dobije nepotuna ili potpunija i kvalitetnija informacija.

U klasičnoj teoriji statistike unaprijed je određen broj posmatranja na osnovu kojih se izode statistički zaključci. Nova metoda koju je zasnovao A. Vold (engleski : sequential analzsis) nazovimo je postupnom ili sekvencijalnom metodom – odlikuje se time što broj posmatranja nije stalna veličina, unaprijed

14


data, nego je slučajnog karaktera. Provjera statističkih hipoteza ovom metodom izvodi se postupno, po etapama. U svakoj etapi moguća su tri rješenja : ili prihvatiti predloženu hipotezu, ili je odbaciti, ili produžiti eksperiment izvodeći dopunska posmatranja. Pokazalo se da je ova metoda efektivnija od klasične.

Postupna metoda Volda je u stadijumu neprestanog razvoja.

Vold je osnivač i teorije statističkih funkcija rješenja ( decision ) , koja sjedinjuje sve tradicionalne oblasti statistike u harmonijsku cjelinu. Rezultati u ovoj oblasti, do koijh su došli uglavnom Vold i Voljfovic, imaju za sad teorijsko značenje.

Matematička statistika je savremeno oruđe inženjera, ekonomista, ljekara, biologa, fizičara, psihologa i drugih. Na početku ovog vijeka na prste jedne ruke mogle su se nabrojati oblasti ljudskog istraživanja koje su koristile teoriju vjerovatnoće i matematičku statistiku. U naše vrijeme naprotiv, na prste jedne ruke mogu se nabrojati oblasti ljudskog istraživanja koje ne koriste teoriju vjerovatnoće i matematičku statistiku.

Cebišev je u polušaljivoj formi izrekao misao da se istorija matematike može podjeliti na tri perioda:

u prvom: zadatke su postavljali bogovi ( daleki problemi udvajanja kocke, kvadrature kruga i trisekcije ugla )

u drugom: zadatke su postavljali polubogovi – Paskal i Ferma u trećem: zadatke postavlja praksa.

Za teoriju vjerovatnoće i matematičku statistiku ovaj treći period je počeo pedesetih godina ovog vijeka.

Klasična definicija vjerovatnoće svodi pojam vjerovatnoće na pojam jednako mogućih događaja koji se smatra osnovnim i ne definiše se.

Klasičnu definiciju vjerovatnoće dao je Laplas 1812 godine.

6. Nastanak aksiomatske definicije vjerovatnoće

Razvoj prirodnih nauka i tehnike, u kojima se sve više primjenjivala teorija vjerovatnoće, već od početka XX vijeka, zahtjevao je strogo zasnivanje primjenjenih pojmova ove teorije.

Zbog toga su počela sistematska proučavanja osnovnih pojmova teorije vjerovatnoće i ispitivanje onih uslova pod kojima je moguće korišćenje njenih rezultata. Ova proučavanja su najpre dovela do formalno logičkih zasnivanja ove teorije, to jest do njene aksiomatske izgradnje . Pri tome su kao kamen temeljac teorije vjerovatnoće postavljene one aksiome koje su predstavljale iskustvo viševjekovnog istraživanja.

15


Dalji razvoj se onda izvodio dedukcijom iz aksioma. Na taj način je teorija vjerovatnoće postala egzaktna nauka, kao i druge matematičke discipline: geometrija, algebra i dr. Treba reći da su aksiome takve postavke koje se uzimaju kao tačne i u okvirima date teorije se ne dokazuju. Sve ostale postavke se logično izvode pomoću prihvaćenih aksioma.

Prvo aksiomatsko zasnivanje teorije vreovatnoce dao je ruski matematičar S.N Bernštajn 1917. Godine. Njegov prilaz je zasnovan na upoređenju slučajnih događaja sa veličinama vjerovatnoća njihovih realizacija. Drugi prilaz dao je 1933. Godine ruski matematičar A.N.Kolmogorov. Polazeći od osnovnih osobina vjerovatnoće, uočenih pomoću klasične i statističke definicije, aksiomatska definicija Kolmogorova uključuje u sebe, kao specijalne slučajeve, i klasičnu i statističku definiciju vjerovatnoće, ali ne poseduje njihove nedostatke. Kolmogorovljev prilaz je tijesno povezao teoriju vjerovatnoće sa teorijom skupova i teorijom mjere.

7. Nastanak granične teoreme teorije vjerovatnoće i pojam zakona velikih brojeva i centralne granične

teoreme

Pojam vjerovatnoće je matematički pojam, koji ima potpuno određen smisao: vjerovatnoća je određena funkcija definisana na određenom skupu slučajnih događaja. Popularno rečeno, vjerovatnoća je mjera mogućnosti pojave slučajnog događaja koji posmatramo.

Matematička i popularna interpretacija termina vjerovatnoće nisu, očigledno u suprotnosti. Poznato je da slučajni događaji, posmatrani zajedno, pokazuju izvjesnu pravilnost u svom pojavljivanju. Ta pravilnost se ogleda u tome što se izvjesni slučajni događaji u datim uslovima pojavljuju češće od drugih.

Za prve se kaže da su više vjerovatni, a za druge da su manje vjerovatni. Pojam vjerovatnoće je povezan sa frekvencijom pojavljivanja slučajnih događaja. Broj koji izražava frekvenciju ima empirijski karakter. Vjerovatnoća shvaćena u matematičkom smislu , jeste apstraktno uopštenje frekvencije i na taj način , kao svaki matematički pojam , pored formalne suctine ima takode i objektivnu , realnu.

Ako iz iskustva znamo da se slučajni događaj A češće pojavljuje od događaja B, to znači da će se, pri promjeni broja eksperimenata, promjeniti i broj realizacije događaja A i B, ali, za dati broj realizacije događaja A, pri višestrukom ponavljanju serija eksperimenata, biće uopšte veći broj realizacija događaja B. To što smo rekli uopšte ne znači da ova postavka može imati i odstupanja, jer su u pitanju slučajni događaji, ali se takva odstupanja dešavaju rijetko i utoliko rijeđe ukoliko je eksperiment veći.

16


Ova činjenica dugo vremena nije imala naučnu interpretaciju. Naučno objašnjenje ove činjenice prvi put je dao 1713. Jakob Bernuli ( zakon velikih brojeva u formi Bernulijevoj ).

8. Osnovni pojmovi teorije vjerovatnoće

Teorija vjerovatnoće je matematička disciplina koja izučava zakonitosti masovnih sličnih pojava. One se ispoljavaju pri višestrukom ponavljanju ogleda. Prije svega, uvedimo pojmove koji su nam potrebni za dalje izlaganje.

Ogledom (eksperimentom) nazivamo svako ostvarenje određenih uslova ili radnji pri kojima se posmatra izučavana pojava (npr.bacanje novčića, čin izdvajanja jednog iz skupa proizvoda itd.).

U eksperimentalnim istraživanjima pod pojmom događaj podrazumjeva se ishod eksperimenta. Tako je skup elemetarnih događaja jednak skupu mogućih ishoda jednog eksperimenta. Događaji se javljaju u tri oblika: siguran, nemoguć i slučajan događaj. Tako, naprimjer, pri bacanju novčića, pojava grba ili broja je događaj. Događaj ćemo obilježavati sa velikim slovima E, F... Prosti događaj je događaj kod kojeg je moguć tačno jedan ishod. (ako se u kutiji nalaze samo crvene loptice tada se događaj: „iz kutije je izvučena crvena loptica“ naziva prostim). Događaj nazivamo nemogućim ako se u datom ogledu ne može ostvariti. Događaj, „iz kutije je izvučena bijela loptica“, za sve crvene loptice u kutiji je nemoguć. Slučajan događaj je događaj koji u datom ogledu može da se pojavi ili ne pojavi. Tako je npr. bacanje novčića slučajan događaj.Za događaje kažemo da su zajednički (uzajamno se ne isključuju) u datom ogledu ako pojava jednog od njih ne isključuje pojavu drugog. Tako npr. pri bacanju dva novčića događaji „broj na gornjoj strani prvog i grb na gornjoj strani drugog“ se ne isključuju. Dva događaja se nazivaju nezajedničkim (uzajamno isključivim) ako se ne mogu dogoditi istovremeno. Npr. „događaji grba i broja“ pri jednom bacanju novčića. Kod prikaza događaja Venovim dijagramom, dva događaja se uzajamno isključuju ukoliko se njihove regije ne sijeku niti u jednoj tački.

17


Definicija vjerovatnoće:

Vjerovatnoća događaja je odnos broja elementarnih rezultata povoljnih datom događaju sa brojem svih jednako mogućih rezultata ogleda u kojem se može pojaviti taj događaj. Vjerovatnoću događaja E označavamo sa Pr(E), pa je prema definiciji možemo izraziti kao:

pri čemu je:

m - broj rezultata povoljnih datom događaju (broj pojavljivanja događaja E)n - broj svih mogućih elementarnih rezultata ogleda u kome se može pojaviti događaj E

Primjer:Izračunati vjerovatnoću pojave grba i pojave broja pri jednom bacanju novčića.

Neka je E pojava grba i F pojava broja na strani novčića. Pretpostavimo da su događaji E i F jednako mogući. Za svaki od njih broj povoljnih rezultata je 1, a broj svih elementarnih rezultata je 2, tj. m=1 i n=2, pa je:

Iz definicije vjerovatnoće slijede njene proste osobine:

1. Vjerovatnoća Pr(E) nekog događaja je uvijek između 0 i 1, tj. ( 0<Pr(E) <1)2. Suma svih vjerovatnoća prostih događaja mora biti jednaka jedinici3. Suma vjerovatnoća događaja E i njemu suprotnog događaja E jednaka je

1 tj. vrijedi: Pr(E)+Pr(E)=14. Ako se događaj E i događaj F međusobno isključuju tada vrijedi:

Pr(E or F)=Pr(E)+Pr(F)

Definišimo razliku između konjukcije i disjunkcije (I i ILI):

Ako su E i F događaji, tada E I F predstavlja sve rezultate koji pripadaju I E I F.Ako su E i F događaji, tada E ILI F predstavlja sve rezultate koji odgovaraju ili E ili F.

18


Primjer:Na donjoj slici prikazana su dva skupa, A i B Venovim dijagramom:

Zeleno područje predstavlja A I B, dok sva obojena područja predstavljaju A ILI B.

Definišimo uslovnu vjerovatnoću:

Neka su E i F događaji. Uslovnom vjerovatnoćom nazivamo slučaj kada je za odigravanje događaja E potrebno da se desio događaj F. Ovu definiciju možemo zapisati na slijedeći način:

Dva događaja zovemo nezavisnim ako vrijedi:

Također, za dva događaja kažemo da su međusobno nezevisna ako vrijedi:

Primjer:Razmatrajmo dva bacanja kocke. Neka je E slučaj da je bačena 3. Neka je F slučaj da je suma dva bacanja 8.

Tada E I F znači da je u prvom bacanju dobiveno 3, a u drugom bacanju 5.Vjerovatnoća ovoga slučaja je 1/36 s obzirom da je 36 mogućih parova, a samo jedan od njih je (3,5). Imamo da je Pr(E)=1/6. Primjetimo da slučaj F čine kombinacije (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2). Stoga je Pr(F)=5/36. Tako imamo:

19


Pr(E)Pr(F)=(1/6)(5/36) što nije1/36 po čemu zaključujemo da E I F nisu nezavisni.

U praksi često nije poznat broj povoljnih niti ukupan broj događaja pa je potrebno vjerovatnoću izračunati naknadno. Ona se najčešće računa uzorkom i naziva se vjerovatnoćom a posteriori ili empirijskom vjerovatnoćom. Ona nam omogućava određivanje vjerovatnoće i za onu klasu eksperimenta koji dovode do nejednako vjerovatnih rezultata. Predpostavimo da se eksperiment može ponoviti neograničen broj puta. Posmatrajmo slučajni događa A vezan za taj eksperiment. Ako eksperiment ponovimo n puta pri tome se posmatrani događaj A realizira tačno n(A) puta, tada se količnik: Naziva relativnom frekvencijom događaja A. Ako broj ponavljanja eksperimenta neoganičeno raste i ako relativna frekvecija događaja A teži nekom konačnom broju A. Takva vjerovatnoća naziva se empirijskom vjerovatnoćom ili vjerovatnoćom a posteriori.

Veza između navedene dvije vjerovatnoće je zakon velikih brojeva je: što veći broj događaja, to je veća vjerovatnoća da će zaključci o vjerovatnoći biti istinitiji, odnosno to je manja greška o tačnosti zaključka.

Prekidni rasporedi vjerovatnoće

Za iskazivanje prekidne (diskontinuirane) slučajne promjenljive potrebno je upoznati najvažnije modele rasporeda. U najpoznatije modele prekidnih rasporeda vjerovatnoće, ubrajaju se: binomi, poissonov, hipergeometrijski I i uniformini raspored.

Binomni raspored

Model binomnog rasporeda predstavlja funkionalnu vezu između vrijednosti neke pojave i odgovarajućih vjerovatnoća.Da bi se mogao upotrijebiti ovaj eksperiment potrebno je da su ispunjeni slijedeći uslovi: Svaki eksperiment ima dva ishoda: pozitivan ili negativan. Oni se nazivaju još: uspjeh ili neuspjeh ili događaji koji se pojavljuju ili ne pojavljuju. Vjerovatnoća pozitivnih i negativnih rezultata jednaka je: p+q=q

Eksperimenti su nezavisni, pojave bilo kojeg ishoda nema utijecaja na vjerovatnoću ishoda u narednom ili bilo kojem drugom pokušaju.

Hipergeometrijski raspored

Hipergerometrijski raspored se koristi u rješavanju nekih problema oko načina uzimanja uzorka. Za veličine uzorka koje su veće od 5% koristi se hipergeometrijski raspored.

Kao i binomni raspored i ovaj raspored je prekidan i predstavlja tzv. Familiju rasporeda. Korištenje hipergeometrijskog rasporeda ima poteškoću pa se

20


preporučuje uzimanje uzorka na taj način prilagođen binarnom rasporedu.

Poisson-ov raspored

Ako se želi odrediti vjerovatnoća broja javljanja nekog događaja u jedinici vremena ili prostora koristi se tzv. Poissson-ov raspored. Poisson-ov raspored se može dobiti na osnovu binomnog rasporeda, odnosno kada vrijednosti parametra n rastu beskonačno a da pri tome izraz np bude konstantan.

Osobine Poisson-ovog rasporeda su:

a) raspored je unimodalan, b) uži je od noralne distribucije i uvijek ima lijevu ili pozitivnu asimetriju, c) kod porasti vrijednosti, raspored teži simetričnom obliku, d) prema visini kurtozisa raspored je izduženiji od normalnog rasporeda.

Treba istaći da se Poisson-ov raspored primjenjuje u istraživanju problema čija se rješavanja bazira na primjeni matematičke metodologije teorije redova čekanja.

Normalni raspored

Normalni raspored je granični oblik binomnog rasporeda, kojeg je opisao C. Gauss. Kod ovog rasporeda slučajna promjenljiva x raspoređuje se po zakonu normalnog rasporeda kada može uzimati sve vrijednosti od - ∞ do + ∞ a ponaša se prema funkciji vjerovatnoće.

Normalni raspored zavisi od varijanse i aritmetičke sredine.

Primjena normalnog rasporeda usmjerena je na beskonačne statističke skupove.

21


Literatura

1. Cvetković, D., Simić, S., Diskretna matematika, Naučna knjiga, Beograd,1990.

2. Čelić, M., Jovanović, M.,Matematika III, Naučna knjiga, Beograd, 1991.

3. Merkle, M., Vasić, P. Verovatnoća i statistika, Akademska misao, Beograd, 2001.

4. Mladenović, P., Elementaran uvod u verovatnoću i statistiku, Društvo matematičara Srbije, Beograd, 1998.

22

Documents

Teorija vjerovatnoće-seminarski rad Semir Alić.doc