Terdapat 4 macam irisan kerucut: lingkaran, parabola,elips,
hiperbola
DefinisiLingkaranLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak sama terhadap suatu titik tertentu.
Titik tertentu itu disebutpusatlingkaran Jarak yang sama itu
disebutjari-jari/radius (r)Luas lingkaran = .r2(r =
jari-jari)Contoh gambar:Lingkaran dengan pusat (0, 0) dan jari-jari
2
ParabolaParabola adalah tempat kedudukan titik-titik yang
berjarak sama terhadap sebuah titik dan sebuah garis tertentu.
Titik itu disebutfokus/titik api (F) Garis tertentu itu
disebutgaris direktris/garis arah Garis yang melalui F dan tegak
lurus dengan garis arah disebutsumbu simetriparabola Titik potong
parabola dengan sumbu simetri disebutpuncakparabola Tali busur
terpendek yang melalui F disebutLatus Rectum tegak lurus dengan
sumbu simetriContoh gambar:Parabola horisontal dengan puncak (0,0),
fokus (1, 0), dan garis arah x = 1
Parabola vertikal dengan puncak (0,0), fokus (0, 1), dan garis
arah y = 1
Elips(1) Elips adalah tempat kedudukan titik-titik
yangjumlahjaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap.
Jumlah jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk
elips vertikal) Kedua titik tetap itu disebutfokus (F) jarak antara
F1dan F2adalah 2c(2) Elips adalah tempat kedudukan semua titik yang
perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis tetap
= e (eksentrisitet), dimana 0 < e < 1
Titik itu adalahfokus (F), dan garis itu adalahgaris arah. Ruas
garis yang melalui kedua fokus dan memotong elips disebutsumbu
mayor Pusatelips adalah titik tengah F1dan F2 Ruas garis yang
melalui pusat, tegak lurus sumbu mayor dan memotong elips
disebutsumbu minorLuas Elips = .a.b (a = panjang horisontal; b =
panjang vertikal)Contoh gambar:Elips horisontal dengan pusat (0,
0), puncak-puncak (5, 0), (5, 0), (0, 4), (0, 4), fokus (3, 0), (3,
0), dan garis arah x = 25/3
Elips vertikal dengan pusat (0, 0), puncak-puncak (2, 0), (2,
0), (0, 2), (0, 2), fokus (0,2), (0, 2), dan garis arah y =
22/3
Hiperbola(1) Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik
yangselisihjaraknya terhadap 2 titik tertentu tetap
Selisih jarak itu = 2a (untuk elips horisontal) atau 2b (untuk
elips vertikal) Kedua titik tetap itu disebutfokus (F) jarak antara
F1dan F2adalah 2c(2) Hiperbola adalah tempat kedudukan semua titik
yang perbandingan jaraknya terhadap sebuah titik dan sebuah garis
tetap = e , dimana e > 1
Titik-titik tertentu itu disebutfokus (F1dan F2) Garis yang
melalui titik-titik F1dan F2disebutsumbu transvers (sumbu utama)/
sumbu nyata Titik tengah F1dan F2disebutpusat hiperbola (P) Garis
yang melalui P dan tegak lurus sumbu transvers disebutsumbu
konjugasi (sumbu sekawan)/ sumbu imajiner Titik-titik potong
hiperbola dan sumbu transvers disebutpuncak hiperbola Garis yang
melalui fokus dan tegak lurus pada sumbu nyata dan memotong
hiperbola di 2 titik ruas garis penghubung kedua titik tersebut
=Latus RectumContoh gambar:Hiperbola horisontal dengan pusat (0,
0), puncak (2, 0), (2, 0), fokus (6, 0), (6, 0), dan asimtot y = 2
x
Hiperbola vertikal dengan pusat (0, 0), puncak (2, 0), (2, 0),
fokus (0, 6), (0, 6), dan asimtot y = 2 x
Persamaan
Tips!Cara membedakan persamaan-persamaan irisan kerucut:
Pada persamaanLingkaran: koefisien x2dan y2sama Pada
persamaanParabola: hanya salah satu yang bentuknya kuadrat (x2saja
atau y2saja) Pada persamaanElips: koefisien x2dan y2bertanda sama
(sama-sama positif atau sama-sama negatif) Pada persamaanHiperbola:
koefisien x2dan y2berbeda tanda (salah satu positif, yang lain
negatif)Contoh:
3x2+ 3y2+ 6x + y = 5 Persamaan Lingkaran 3x2+ 3y+ 6x = 5
Persamaan Parabola 3x2+y2+ 6x + y = 5 Persamaan Elips 3x2 3y2+ 6x +
y = 5 Persamaan Hiperbola
Kedudukan Titik terhadap Irisan KerucutCara mencari kedudukan
titik terhadap kerucut:
1. Jadikan ruas kanan pada persamaan irisan kerucut = 02.
Masukkan koordinat titik pada persamaan: Jika hasil ruas kiri <
0 titik berada di dalam irisan kerucut Jika hasil ruas kiri = 0
titik berada tepat pada irisan kerucut tersebut Jika hasil ruas
kanan > 0 titik berada di luar irisan kerucutContoh:Tentukan
kedudukan titik (5, 1) terhadap elips dengan persamaan 3x2+ y2+ 6x
+ y = 5Cara:3x2+ y2+ 6x + y 5 = 0Ruas kiri: 3.52+ (1)2+ 6.5 + (1) 5
= 75 + 1 + 30 1 5 =100100 > 0, jadi titik (5, 1) berada di luar
elips tersebut
Kedudukan Garis terhadap Irisan KerucutCara mencari kedudukan
garis terhadap irisan kerucut:
1. Persamaan garis dijadikan persamaan x = atau y = 2.
Substitusikan persamaan garis itu pada persamaan irisan kerucut,
sehingga menghasilkan suatu persamaan kuadrat.3. Hitung nilai
Diskriminan (D) dari persamaan kuadrat tersebut (Ingat! D = b2
4.a.c) Jika D < 0 garis berada di luar irisan kerucut Jika D = 0
garis menyinggung irisan kerucut di 1 titik Jika D > 0 garis
memotong irisan kerucut di 2 titikContoh:Tentukan kedudukan garis x
+ 2y = 4 terhadap parabola dengan persamaan 3x2+ 3y + 6x =
5Cara:Garis: x = 4 2y3(4 2y)2+ 3y + 6(4 2y) 5 = 03(16 16y + 4y2) +
3y + 24 12y 5 = 048 48y + 12y2+ 3y + 24 12y 5 = 012y2 57y + 67 = 0D
= b2 4.a.c = (57)2 4.12.67 = 33Karena D > 0 maka garis x + 2y =
4 memotong parabola tersebut
Persamaan Garis SinggungPersamaan garis singgung dengan gradien
m
Persamaan garis singgung pada titik (x1, y1) selalu gunakan
sistem bagi adil:()2menjadi ().()() menjadi () + ()Pada salah satu
() akan dimasukkan koordinat titik yang diketahui masukkan titik ke
persamaan hasil bagi adil
1. Jika titik terletak pada irisan kerucut, akan menghasilkan
persamaan garis singgung2. Jika titik terletak di luar irisan
kerucut, akan menghasilkan persamaan garis polarPotongkan garis
polar dengan irisan kerucut untuk mendapatkan 2 titik
potongMasukkan kedua titik potong itu ke dalam persamaan hasil bagi
adil untuk mendapatkan 2 buah persamaan garis singgung
Contoh 1:Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2+
y2+ 4x = 13 pada titik (2, 1)Cara:(2, 1) terletak pada lingkaran
(22+ 12+ 4.2 = 13)Persamaan bagi adil:x1.x + y1.y + 2.x1+ 2.x =
9Masukkan (2, 1) sebagai x1dan y1:2.x + 1.y + 2.2 + 2.x = 94x + y 5
= 0 persamaan garis singgung
Contoh 2:Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2+
y2+ 4x = 13 pada titik (4, 1)Cara:(4, 1) terletak di luar lingkaran
(42+ 12+ 4.4 = 33 > 16)Persamaan bagi adil:x1.x + y1.y + 2.x1+
2.x = 9Masukkan (4, 1) sebagai x1dan y1:4.x + 1.y + 2.4 + 2.x = 96x
+ y 1 = 0 persamaan garis polary = 1 6xSubstitusikan persamaan
garis polar ke dalam persamaan lingkaran:x2+ (1 6x)2+ 4x 13 = 0x2+
1 12x + 36x2+ 4x 13 = 037x2 8x 12 = 0Gunakan rumus abc:
Masukkan (x1, y1) dan (x2, y2) ke dalam persamaan hasil bagi
adil
