BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK

-------------------------------------------------------------------------------------

TOAÙN 1 HK1 0708

• BAØI 3: GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ (SINH VIEÂN)

• TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (10/2007)

NOÄI DUNG-------------------------------------------------------------------------------------------------------------

--------------------

1- YÙ TÖÔÛNG GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ 2- ÑÒNH NGHÓA “ÑÔN GIAÛN” GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ 3- ÑÒNH NGHÓA CHAËT CHEÕ GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ 4- TÍNH CHAÁT GIÔÙI HAÏN 5- GIÔÙI HAÏN ÑAËC BIEÄT 6- QUY TAÉC LOÂPITAN 7- GIÔÙI HAÏN KEÏP 8- GIÔÙI HAÏN THEO NGOÂN NGÖÕ DAÕY. KHOÂNG GIÔÙI HAÏN

YÙ TÖÔÛNG GIÔÙI HAÏN---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Haøm y = f(x), MXÑ Dx0 Giaù trò f(x0)?

ñònh xaùc:00 xfDx

ñònh xaùc khoâng:& 00 xfDx

VD: f(x) = lnx & x0 = –1 ñònh xaùc nhö" gaàn":, 00 xfDx

VD: f(x) = sinx/x & x0 = 0 D

Gtrò

xxxf sin quanh

0:

0.1000 0.8415

0.01000 0.9588

0.001000 0.9816

0.0001000 0.9896

0.00001000 0.9935

0

0

0

,

,1

0,11

xe

xx

xxx

x

Töông töï:

MINH HOÏA HÌNH HOÏC---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------

Ñoà thò haøm:

xxxf sin

Chuù yù laân caän x0 = 0: f(0) khoâng xaùc ñònh, nhöng giaù trò f(x) laïi “raát gaàn” 1 khi x “raát gaàn” 0 Ñoà thò lieân tuïc. Coù theå xem “f(0)” = 1 ???

Caàn coâng cuï xaùc ñònh giaù trò höõu haïn “f(x0)” taïi x0 D:

xfxx 0

lim

Lxfxx

)(lim0

Cho hàm y = f(x) xác định trong lân cận điểm x0 (có thể không

xác định tại x0!). Hàm f(x) có giới hạn = L khi x x0 Giá trị

f(x) “rất gần” L nếu x “đủ gần” x0. Ký hiệu:

VD: Đoán (không chứng minh) giới hạn 11,lim 21

xxxfxf

x vôùi

Giải: Chú ý hàm f(x) không xác định tại x = 1

x<1 f(x)0.5 0.6666670.9 0.5263160.99 0.5025130.99

90.500250

0.9999

0.500025

x>1 f(x)1.5 0.4000001.1 0.4761901.01 0.4975121.00

10.499750

1.0001

0.499975

Từ bảng giá

trị, có thể

phỏng đoán:

5.011lim 21

xx

x

GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ – ÑÒNH NGHÓA ÑÔN GIAÛN

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Hàm g(x) sau (xác định tại x = 1) có giới hạn như f(x) khi x 1

1khi2

1khi11

2

x

xxxxf

xg

y=f(x) y=g(x)

Giá trị f tại x0 (có hay không có) không ảnh hưởng đến xfxx 0

lim

GIAÙ TRÒ TAÏI ÑIEÅM KHOÂNG AÛNH HÖÔÛNG GIÔÙI HAÏN

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Ví dụ: xx

sinlim0

Gợi ý: Tính 01.0,1.0,31,

21,1 fffff

:0sinlim001.01.031

211

0

xfffff

x

SAI!

Tuy nhiên từ đồ thị hàm xy sin cũng như giá trị hàm tại

Zkkxk

x

,2214

2

!1sin x

Có vô số giá trị x gần 0 tùy ý,

tại đó f = 0 lẫn f = 1. KL:

Giới hạn đang xét không !

ÑOAÙN – KHOÂNG CHAÉC CHAÉN 100%! ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

LMinh họa hình học:

Ngôn ngữ Giải tích: Đại lượng biến thiên f “rất gần” đlượng g

| f – g | > 0. x “đủ gần” x0: > 0 và xét | x – x0 | <

LxfxxLxfxx

)(:0,0lim 00

ĐN:

Chú ý: Trong thực tế, định nghĩa trên thường được áp dụng để

chứng minh lý thuyết chứ không sử dụng để tìm giới hạn!

xfL

L L

x0x0x 0x

x0

x f(x

)f

ÑÒNH NGHÓA CHAËT CHEÕ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

VD: Cho *4122lim

2

1

xx

xTìm như trong đnghĩa khi = 0.01

Giải: 4,1,122

0

2

Lx

xxxf x 1: 12 xLxf

= 0.01: 005.0005.01 ChoïnxLxf

VD: Giải bằng đồ thị câu hỏi tương tự: 1.0,42lim 2

2

xx

x

Giải: | f(x) – 4 | < 0.1 3.9 < f(x) < 4.1. Vẽ y = f(x) & y = 3.9, 4.1

03.297.1 x

03.02 xVaäy

03.0

VÍ DUÏ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

Khi f(x) (tức L = ) hoặc x (tức x0 = ):

Không thể xét hiệu | f(x) – L| hay |x – x0| Cần điều chỉnh!

Chú ý: Đại lượng A A > M M & B – B < m m

LxfMxxMLxfx

)(:0)(lim Neáu

MxfxxxMxfxx

)(:0)(lim 00

Neáu

Tương tự cho trường hợp f(x) –: Chỉ cần viết lại f(x) < m!

MxfAxxAMxfx

Neáu :)(lim

lim f(x) = L khi x – & lim f(x) = khi x : tương tự

GIÔÙI HAÏN VOÂ CUØNG – GIÔÙI HAÏN TAÏI VOÂ CUØNG

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

G. hạn trái: x x0 x x0 & x < x0 (tức x x0 từ bên trái)

)(lim:)(lim000 &0 xfxfxfxxxxxx

0x 0xx

00 & xxxx Minh họa:

VD: Giới hạn trái x 0 x < 0: 1limlim00

xx

xx

xx

G. hạn phải: x x0+ x x0 & x > x0 (tức x x0 từ bên phải)

)(lim:)(lim000 &0 xfxfxfxxxxxx

Minh họa:xx 00x

00 & xxxx

0000 &,)(lim0

xfxfxfxfxfxx

Mệnh đề:

VD: Không tồn tại xx

x 0lim

vì 1lim1lim00

xx

xx

xx

GIÔÙI HAÏN MOÄT PHÍA ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương)

giới hạn: Cho c là hằng số và f(x), g(x): hàm số có giới hạn

khi x a. Khi đó

0)(lim)(lim

)(lim

)()(lim.5

)(lim)(lim)]()([lim.4

)(lim)]([lim.3

)(lim)(lim)]()([lim.2

)(lim)(lim)]()([lim.1

xgifxg

xf

xgxf

xgxfxgxf

xfcxcf

xgxfxgxf

xgxfxgxf

axax

ax

ax

axaxax

axax

axaxax

axaxax

GIÔÙI HAÏN TOÅNG – HIEÄU – TÍCH – THÖÔNG ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

Cho đồ thị 2 hàm số

y = f(x) và y = g(x)

xgxfxx 12lim,lim

b/ Tính giá trị các giới hạn

sau nếu chúng tồn tại

y=f(x)

y=g(x)

xgxfxgxfxgxf

xxx 212lim/3lim/25lim/1

a/ Các giới hạn sau liệu có

tồn tại hay không:

Giải: a/ xgxfxx 12lim;1lim

Khoâng b/ 1/ –4. 2/ – 3/: Không

VÍ DUÏ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

Cho n N và hằng số a, c. Nếu hàm f(x) có giới hạn tại a:

0) phaûichaün, :n (neáu11.0) phaûia chaün, :n (neáu

vaø

xfxfxf

ax

ax

axcc

xfxf

axn

axn

ax

nn

ax

nn

ax

axax

n

ax

n

ax

limlimlim

lim.10

lim.9

lim.8lim.7

limlim.6

Nguyên tắc thay vào trực tiếp: Nếu f(x) – hàm biểu diễn bởi 1

công thức chứa các hàm cơ bản & a Df afxfax

lim

Tính chất trên là tính liên tục của f(x) (được xét riêng ở bài 3)

GIÔÙI HAÏN HAØM SÔ CAÁP CÔ BAÛN ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

VD: Tìm các giới hạn 2323lim/

212lim/ 2

23

121

xxxxb

xxa

xx

:2221lim:VD x

x

x

00

0lim

x

x Giới hạn hàm mũ, luỹ thừa khi x :

x

xaa x

x ,0,

lim:1

x

xaa x

x ,,0

lim:10

Giải: a/ Thay vào trực tiếp (biểu thức sơ cấp, xác định): 31

b/ K0 thể thay vào trực tiếp (b/thức sơ cấp nhưng k0 x/định!):

32

22lim21

221lim2323lim

2

1

2

12

23

1

xxx

xxxxx

xxxx

xxx

11212

121lim:;21

0201:

x

x

xLxLx

VÍ DUÏ ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

GIÔÙI HAÏN HAØM SOÁ – NGOÂN NGÖÕ DAÕY (PHOÅ THOÂNG)

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ngoân ngöõ

“daõy”: atfxtt nnn 0:

VD: Chöùng minh khoâng coù giôùi haïn:

xbxa

xx

sinlim/sinlim/0

Nhaän xeùt: Töông töï duøng daõy con chöùng minh daõy phaân kyø

a/ 2 daõy:

nzny nn 22

& b/ 2 daõy ???

Ñöøng nhaàm laãn vôùi ví duï sau. Chöùng minh khoâng

nn

sinlim

nnnnn tfxtt

lim&lim: 0

nnnnnnnn zfyfxzyzy

limlim&,:, 0

Khoâng coù giôùi haïn taïi x0 (Thuaän tieän chöùng minh khoâng lim):

GIÔÙI HAÏN ÑAËC BIEÄT: KHÖÛ DAÏNG VOÂ ÑÒNH

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Muõ, ln:

11lim0

xex

x

11lnlim0

x

xx

ax

a x

xln1lim

0

Löôïng giaùc

1sinlim0

x

xx 2

1cos1lim 20

xx

x1tglim

0

xx

x

Daïng 1 : Söû duïng soá e

exx

x

x

x

x

1

01lim11lim

Caùch 1: Duøng soá e. Caùch 2: Laáy ln 2 veá

VD: 23

2222lim

x

x xx

Kyõ thuaät:

1limlim1 00

001lim1lim

uvvv

xx

v

xx

xxxx eeu

QUY TAÉC LOPITAN: KHÖÛ DAÏNG VOÂ ÑÒNH --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

Daïng voâ ñònh: 0/0, /, – , 0., 1 , 00 Bieán ñoåi veà x/ñònhPhöông phaùp: Nguyeân taéc Loâpitan, voâ cuøng beù töông ñöôngNguyeân taéc Loâpitan: Tính giôùi haïn (toàn taïi) daïng 0/0, /

)()(lim

""lim

)(')('lim

)()(lim )(

)(

0000 xgxf

xgxf

xgxf

xgxf

n

n

xxxxxxxx

0,1limc/ sinlimb/ 11

lim 3030

a

xa

xxx

xxx x

xxx a/ :VD

Chuù yù : Ñôn giaûn hoaù bieåu thöùc

220

1sin

1limxxx

VD: Tính

Khoâng duøng ñöôïc Loâpitan khi giôùi haïn khoâng .

xxxx

x sinsinlim:VD

GIÔÙI HAÏN KEÏP ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------

----------------------

Giôùi haïn keïp

axgaxhxf

xxxhxgxfxx

xxxx

)(limlimlim 000

0

Heä quaû:

0)(lim0lim

0

00

0

xfxhxxxhxf

xxxx

VD: Tìm caùc giôùi haïn:

xx

xx

x xxx

sinlimc/ sinlimb/ sinlima/00

Giaûi: a/ Khoâng b/ Keïp c/ Ñaëc bieät:

tt

xx

xx

x

tx

sinlim1

sinlimc/

0 sin 0b/

0VD: Chöùng minh

ex

x

x

11lim