BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK

-------------------------------------------------------------------------------------

TOAÙN 1 – HOÏC KYØ 1 0708BAØI 1: DAÕY SOÁ. GIÔÙI HAÏN

DAÕY SOÁ (SV)

• TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (9/2007) Giaûi tích haøm 1 bieán – Ñoã Coâng KhanhToaùn hoïc cao caáp – Taäp hai – Nguyeãn Ñình Trí (chuû bieân)

SGK: Giaûi tích haøm 1 bieán – BM Toaùn ÖÙng Duïng (ÑHBK)

NOÄI DUNG----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

1- KHAÙI NIEÄM DAÕY SOÁ 2- DAÕY TAÊNG, GIAÛM, BÒ CHAËN, DAÕY CON 3- GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ 4- TÍNH CHAÁT GIÔÙI HAÏN 5- TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS: DAÕY ÑÔN ÑIEÄU, BÒ CHAËN 6- GIÔÙI HAÏN KEÏP

KHAÙI NIEÄM GIÔÙI HAÏN (PHOÅ THOÂNG – ÑAÏI HOÏC)

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Giôùi haïn: Khaùi nieäm cô baûn cuûa Giaûi

tích. “Khoâng coù giôùi haïn thì giaûi tích khoâng toàn taïi. Moãi khaùi nieäm cuûa giaûi tích ñeàu laø giôùi haïn theo moät nghóa naøo ñoù”

Ñaïo haøm (theo ñònh nghóa): giôùi haïn y / xÖÙng duïng hình hoïc: Hsgoùc tieáp tuyeán = lim Hsgoùc daây cungÖÙng duïng vaät lyù: Vaän toác töùc thôøi = lim Vaän toác trung bìnhÑoä daøi ñöôøng cong = lim ñoä daøi ñöôøng gaáp khuùc noäi tieápDieän tích hình thang cong (tích phaân) = lim S hình chöõ nhaätGiôùi haïn:

soá haøm haïnGiôùi

soá daõy haïnGiôùi

DAÕY SOÁ THÖÏC ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Taäp hôïp voâ haïn caùc soá ñöôïc ñaùnh soá töø 1 ñeán : x1, x2 … xn … Daõy soá {xn}n 1 (hoaëc töø 0 ñeán : x0, x1 … xn … {xn}n 0) VD: Daõy soá nguyeân döông:1, 2, 3, 4 … Daõy soá chaün: 2, 4, 6 …Caâu hoûi: Tìm soá haïng cuoái cuøng cuûa 1 daõy soá?Thoâng thöôøng, daõy soá ñöôïc xaùc ñònh theo 1 coâng thöùc toång quaùt daønh cho soá haïng thöù n

VD: Daõy

14

3,32,

21

1 1 nn

nnx

nn

112,1,01 10 nnx nn

nn

xn-1: soá haïng thöù n cuûa {xn}n 0 !

COÂNG THÖÙC TOÅNG QUAÙT – SOÁ HAÏNG THÖÙ n

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

VD: Tìm soá haïng toång quaùt (soá haïng thöù n) cuûa caùc daõy {xn}n1:,

81,

41,

21/a ,

43,

32,

21/ b ,5,3,1/c

1/ Daõy haèng 1, 1 … 1 …: Höõu haïn giaù trò & vaãn voâ haïn phaàn töû2/ Daõy caùc soá nguyeân toá: 1, 2, 3, 5 … : Coâng thöùc toång quaùt?Coù theå xem daõy soá {xn} vôùi soá haïng toång quaùt: xn = f(n) nhö haøm soá töø taäp soá nguyeân döông N* R.VD: Daõy soá chính phöông 1, 4, 9, 16 … xn = n2 f(x) = x2

ÑS:

na21/

11/ 1

nnb n 12/ nc

Maple: > n^2 $n = 1..5;> array( [ [n, n^2]$ n = 1 .. 5 ]);

DAÕY TAÊNG – GIAÛM: ÑÔN ÑIEÄU -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

xn TAÊNG: xn xn+1 n 1. Toång quaùt: xn xn+1 n N0VD: nnn xx

nxa 1:1

211/ HIEÄUxeùt neânTOÅNG chöùa

xn GIAÛM: xn xn+1 n 1. Toång quaùt: xn xn+1 n N0

n

nn x

xnn

x 12,11211

THÖÔNG Xeùt TÍCH daïng döông,:

Daõy xn LUOÂN taêng hoaëc LUOÂN giaûm (töø N0 naøo ñoù): daõy ÑÔN ÑIEÄU

:4332/nnxb n !'&

4332 f

xxxf tính xeùt SOÁ HAØM gioáng bthöùc

DAÕY BÒ CHAËN – DAÕY CON -----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

kk

knn nnnxxk

lim,,,,, 11xn Daõy

con VD: Daõy

54,

43,

32,

21

xn bò chaën treân: xn M n 1. Toång quaùt: xn M n N0

Daõy bò chaën treân laãn döôùi: goïi chung bò chaën m xn M

xn bò chaën döôùi: xn m n 1. Toång quaùt: xn m n N0

VD: Xeùt tính bò chaën cuûa caùc daõy

ncbn

a nn 1/3/1/ 2

a/ Bò chaën. Treân: 1, Döôùi: 0. b/ Döôùi: 0. c/ K0 bò chaën treân, döôùi

Chuù yù: Töø daõy {xn} Hay xeùt 2 daõy con {x2n – 1} & {x2n}

Daõy con

:

54,

32&:

43,

21

GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ: ÑÒNH NGHÓA “DEÃ CHÒU”

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Laäp baûng giaù trò 2 daõy soá sau. Quan saùt vaø ruùt ra keát luaän

1/

nnxa n

11/

nnyb n

n

5 0.835 -0.835

10 0.910 0.910

15 0.940 -0.940

20 0.950 0.950

25 0.960 -0.960

30 0.970 0.970

Nhaän xeùt: n taêng, xn ñeán gaàn 1 coøn yn ñeán gaàn 1 Khi n : Giaù trò xn 1, coøn yn KHOÂNG ñeán gaàn giaù trò cuï theå naøo!

Ñònh nghóa (“deã chòu”): Daõy {xn} coù giôùi haïn baèng a xn a khi n ñuû lôùn

Maùnh: n ñuû lôùn (n = 1000) & MTBTuùi 0.50025 (b)!

:2

sinlim 2

23

nnnn

n

0/a 21/b

1/c /d

GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ: ÑÒNH NGHÓA CHAËT CHEÕ

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Coù ghaïn: Hoäi tuï. K0 coù ghaïn (hoaëc lim = ): phaân kyø

Daõy xn hoäi tuï veà a 00 :,0 NnaxNN n

00 :,0 NnaxaN n

haïn höõu:lim axnn

aa a1x 1000x

0Nx10Nx

Toaùn hoïc (ngoân ngöõ – N0):xn “raát gaàn” a, n ñuû lôùn > 0 N0: | xn– a | < n N0

VD: Xeùt daõy {n/(n + 1)} a/ “Ñoaùn” lim xnb/ Vôùi lim vöøa ñoaùn & = 10-2, 10-3 N0 = ?c/ Chöùng minh chaët cheõ (a)

11

lim nn

n Ñoaùn""

?

1011

0

1

Nnnn

GIÔÙI HAÏN VOÂ CUØNG – DAÕY PHAÂN KYØ ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

00 :, lim NnMxNNMx nnn

baát kyølôùn

Giôùi haïn = (vaãn laø phaân kyø): Khoâng theå xeùt | xn – a | !

Ñònh nghóa xn phaân kyø: Phuû ñònh (loâgich) meänh ñeà hoäi tuï Hoäi tuï:

00 :0, NnaxNNRa n luoân

axNnNNRa n ñeå00:0,Phaân kyø:

00 :,( lim NnMxNNMx nnn

yùtuyø aâm)

Thöïc teá tìm giôùi haïn: Ít duøng caùch chöùng minh = ñònh nghóa!

TÍNH CHAÁT GIÔÙI HAÏN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

------------------------

0lim&0limlim

0limlimlimlim

limlimlim

lim,lim

nnnnnn

nnnnnnnnn

nnnnnnn

nnnn

xxxx

yyxyx

yxyx

yx

n:ÑK:ÑK

lim toång (hieäu, tích, thöông, caên v.v…) = Toång (hieäu … ) lim

lim xn = a Moïi daõy con cuûa xn ñeàu a:

axknk

lim

Daõy xn phaân kyø

moät daõy con phaân kyø cuûa xn hai daõy con hoäi tuï coù lim nhau

VD: Chöùng toû daõy {xn} = {(–1)n} phaân kyø

GIÔÙI HAÏN CÔ BAÛN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

0lim10

lim1n

n

n

n

aa

aa

0lim0

lim0

n

n

n

n Haøm muõ:

Luõy thöøa:

2lim/ nan

01limlim/ 21

nnb

nn

VD: (Toång caáp soá nhaân)

nn 21

41

211lim KQ

:2

2111

nn

qqq

21limToång quaùt:

Hdaãn:

qqqqn

n

111

1

Soá e:

an

n

n

ne

nae

n

1lim&11lim 1lim

n

nnHay

gaëp:

031lim&2lim/

n

n

n

nc

NGUYEÂN TAÉC TÍNH GIÔÙI HAÏN ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Bieán ñoåi bieåu thöùc caàn tính lim veà giôùi haïn cô baûn & thay vaøo

VD: Tính giôùi haïn:

112lim 2

2

nn

n nn

nn

n 524253lim

1lim

nnn

Giaûi:

2

0102

1lim1

1lim2

1112lim

112lim 2

2

22

22

2

2

n

n

nnnn

nn

n

n

nn

2

32545

5235lim524253lim

nn

nn

nnn

nn

n

0

1111lim

11lim1lim

nnnnnnnn

nnn

Thöïc teá:

:112lim

112lim 2

2

2

2

xx

nn

xnGiôùi haïn haøm Loâpitan …

GIÔÙI HAÏN KEÏP ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Cho 3 daõy xn, yn, zn

azxNnzyx

nn

nn

nnn

limlim0

ayy nn

nn

lim&lim

nnn zyx

a

Heä quaû (hay söû duïng):

0lim0lim&0 nnnnnn xynyx

VD:1

sinlim 2 nnn

n

n

n n

1000limnn nn!lim

VD:

n

nn

lim

0121!0

nnnnn

nnn

011

sin0 22

nn

nnn Vôùi n

2000:0

2110000

nn

n

Coâsi:

111111 nnnnnn nn

TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS ----------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Tieâu chuaån Weirstrass:

Daõy taêng & chaën treân thì hoäi tuïDaõy giaûm & chaën döôùi thì hoäi tuï

Chöùng minh daõy hoäi tuï Hay duøng: Tính ñôn ñieäu & bò chaën

VD: Chöùng minh toàn taïi giôùi haïn (soá e)

n

n n

11lim

Giaûi: Daõy taêng:

11111

11111 1

1

nnnnn

nnn

Bñt Coâsi:

1

111

1111

1111111

nnnn

nn

nn

n

Bò chaën treân: Xem SGK, Ñoã Coâng Khanh, trang 18 – 19

TOÅNG KEÁT ---------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------

Caùc kyõ thuaät chöùng minh daõy hoäi tuï

Chöùng minh daõy phaân kyø: Chæ ra 2 daõy con coù lim khaùc nhau hoaëc toái thieåu moät daõy con khoâng coù giôùi haïn

Baèng ñònh nghóa: Tìm giaù trò a = limxn . Giaûi |xn a| Chaën xn töø 2 phía Tính chaát 3 daõy keïp Chöùng minh daõy taêng & chaën treân (giaûm & chaën döôùi)

Tính giôùi haïn: Ñöa veà bieåu thöùc theo caùc giôùi haïn cô baûn

BT: Saùch giaùo khoa & Boå sung (xem treân web)

Maple: >limit( …, n=infinity); VD: limit( n/(n+1), n=infinity)