Embed Size (px)
Citation preview
PHẦN 1 CÁC BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC
BÀI 1 BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN
Bài 1 Cho a,b,c là các số thực CMR 1) HD: Nhân 2 vế với 2 . biến đổi về tổng các số dương
2) HD:
3) Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác sao cho
HD: Vì
để chứng minh bài toán ta đi chứng minh
Ta có suy ra DPCM
4) Cho a.b.c>0 thoả CMR
a)
b)
HD:
Bình phương 2 vế suy ra
Sử dụng câu (a)
Ta có 3 BĐT tương ứng sau đó cộng lại ra ĐPCM5) Cho CMR
HD:
Chỉ ra suy ra
Tương tự ta có 2 BĐT còn lại suy ra ĐPCM
6) Cho x,y>0 thoả xy=1 Tìm GTLN
HD: ta có
Tương tự ta có Sau đó cộng lại
Bài 2 Cho a,b,c là các số thực không âm thoả mãn a+b+c=1 CMR
HD: Đặt x=ab+bc+ca Khi đó x≥0
Suy ra
Từ 1,2 suy ra Dpcm : (1/2;1/2;0) dấu bằng xảy ra và các hoán vị của nóBài 3 Bài tập áp dụng
1) Cho CMR HD: Biến đổi thành
2) Cho x>0, y>0 CMR HD: Biến đổi thành
3) Cho x,y,z >0 CMR HD: Biến đổi thành
4) Cho CMR HD: Biến đổi thành
5) Cho CMR HD:
6) Cho x,y# 0 CMR HD:
7) Cho a,b,c>0 CMR HD:
8) Cho CMR HD:
9) Cho a,b>đ CMR HD: Chia 2 vế được
10) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác CMR
11) Cho CMR HD:
12) Cho x,y#0 CMR HD:
13) CMR HD
14) Cho CMR HD
15) CMR HD:
16) CMR HD:
17) CMR
HD:
18) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác CMR
HD: vai trò a,b,c như nhau giả sử ta có
19) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2 CMR HD: gt suy ra
(do a+b+c=2)
20) CMR
HD: Bình phương 2 vế biến đổi
AD
Bài 4 (HVQHQT 1997) Cho x,y,z là các số thực dương
CMR
HD: Tương tự ta có 3 bất đẳng thức sau đó cộng
lại ra điều phải chứng minh
BÀI 2 BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
A). Lý thuyết
Cho a≥0; b ≥ 0 ta có Đẳng thức xảy ra khi a=b
Mở rộng cho
B). Bài tậpBài 1 Bài tập cơ bản
1) Cho a,b ≥0 CMR
2) CMR
3) CMR
4) CMR
5) Cho a,b≥0 Chứng minh
HD
6) Cho
Chứng minh rằng
HD: (theo Côsi)
7) Cho a≥1; b ≥ 1 CMR
HD :
Cộng lại suy ra DPCM
8) Cho a,b≥0 Chứng minh rằng
HD: (Theo Côsi)
9) Cho a,b,c>0 CMR
10) Cho a,b,c ≥0 Chứng minh rằng
HD: Nhân phá ngoặc và khai triển thành đẳng thức sau
11) Chứng minh rằng
12) Cho a,b,c>0 CMR
HD:
13) Cho a,b,c là các số thục dương thoả mãn abc≤1 CMR
Đẳng thức xảy ra khi nàoHD: AD Cauchy có
lại có abc≤1 suy ra
Vậy Tương tu Suy ra DPCM
Bài 2
1) Cho a>0, b>0 , c>0 CMR
HD:
Theo côsi
2) Cho a,b ≥ 0 CMR HD: Tách thành 3 phần tử và 6 phần tử 3) Cho a,b,c>0 và a+b+c=1 CMR
HD:
Bài 3 1) Cho a>b>0 CMR
a)
b)
c)
2) Cho
CMR : a)
b)
c)
d)
HD: gt suy ra a,b,c thuộc [0;1]
a) Theo Côsi ta có
b) Vì VT không thể có 2 thừa số âm TH1: VT có một thừa số âm thì BĐT đúng
TH2: VT có 3 thừa số âm
c) Thay a+b+c=1 suy ra
suy ra DPCM
d)
3) CMR
4) Cho a,b,c>0 CMR
HD: mối cái tách thành 2 sau đó nhân lại
5) Cho a>0, b>0 và a+b=1 CMR
HD: Sử dụng
(1)
Mà :
Suy ra ĐPCM
6) Cho CMR
HD:
Tương tự các phân thức khác sau đó nhân lại ra điều phải chứng minh
7) Cho a,b,c>0 và a+b+c=4 CMR
HD:
Sử dụng
Ta có : tương tự ta có 3 đẳng thức sau đó cộng lại ra điều
phải chứg minhBài 4 Cho a,b,c,d>0 và a+b+c+d=1 CMR
HD: Quy đồng thay 2=a+b+c+d ta có
Bài 5 Cho a,b,c ≥ 0 và a+b+c=1 CMR
HD:
Bài 6:
1) Cho a,b,c>0 CMR
HD: Theo BĐT côsi
2) Cho CMR
HD: Làm tương tự bài 1 Bài 7: Cho a,b,c>0 CMR
1)
2)
HD:
1) Ta có Tương tự ta có 3 bất đẳng thức sau đó cộng lại được điều
phải chứng minh
2) Ta có Tương tự ta có 3 bất đẳng thức sau đó cộng lại
được điều phải chứng minh
Bài 8: Cho CMR
HD: Ta có Ta sẽ CM
Thật vậy suy ra (1) Tương tự ta có 3 BĐT sau đó cộng lại suy ra
điều phải chứng minhBài 9:
1) CMR
HD:
2) Cho CMR
HD:
3) Cho CMR
HD:
BÀI 3 BẤT ĐẲNG THỨC BU- NHI-A-CỐP-XKI
Bài 1: Bài tập cơ bản 1) Cho CMR
HD
2) Cho CMR
HD Cộng 2 BĐT lại
3) Cho CMR
HD
4) Cho CMR
HD:
5) Cho x,y thuộc R . CMR
6) Cho x,y thuộc R . CMR
7) Cho x.y≥1 . CMR
8) Cho CMR
9) Cho CMR
10) Cho CMR
HD:
Tương tự (2) ta có Cộng các bất đẳng thức lạo ra điều phải chứng minh
11) Cho CMR
12) Cho CMR
HD :
13) Cho biết phương trình sau có nghiệm
CMR
HD:
Bài 2: 1) Cho x>0 , y>0 và CMR
HD: AD BCS
Dấu bằng xảy ra
2) Cho CMR
HD:
Mà Suy ra ĐPCM
3) Cho và CMR
HD: Chiều bên phải sử dụng cách đánh giá
Chiều bên trái AD BCS
4) Cho CMR
HD: theo BCS
5) Cho CMR
HD: theo BCS
6) Cho a,b,c>0 và CMR
HD: AD BCS suy ra
7) Cho CMR
HD: Ta có
Theo BCS
8) HD: theo BCS
Bài 3 CMR
Trong đó a,b,c là 3 số thực dương
HD: AD BCS: cho 2 cặp số ta có
Tương tự ta có 2 BĐT còn lại sau đó cộng lại
Bài 4 Cho các số thực x,y,z thoả mãn
CMR y(z-x)≤4
HD: AD BCS ta có
Dấu bằng khi
Cách khác: biểu diễn theo y
Bài 5:
1) Cho CMR
HD: Xét 2 bộ số
Ta có
Suy ra
2) Cho CMR
HD: Xét 2 bộ số
Tương tự ý trên suy ra ĐPCM
Bài 6 : Cho CMR
Tìm x để xảy ra dấu bằng (ĐHAN 1999)
HD: Tiếp tục ĐS x=1/2
Bài7: (ĐT KA 2003) Cho CMR
HD:
Tương tự cộng lại
BÀI 4 PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ, VÉC TƠ
Bài 1 CMR với mọi số thực x ta có
HD:
Chọn AD u+v≥a suy ra dpcm Dấu bằng xảy ra khi chúng cùng hướng x=0Bài 2 Bài tập áp dụng
1) CMR
2) CMR
(HD: A(0,2) B(-1,-1) M(x,0) M1 xác định Vtơ MB=2vtơBM1)Bài 3 Bài tập cơ bản
1) Chứng minh
HD:
Đặt suy ra
AD:
2) Chứng minh
HD:
Đặt AD
3) Cho x,y,z>0 Chứng minh
HD: AD
4) Chứng minh
HD: AD
5) Chứng minh với mọi x,y thuộc R
HD: AD
6) Chứng minh với mọi x,y thuộc R
HD: AD
7) Cho CMR
HD: AD
8) Cho a,b,c>0 Chứng minh
HD:
9) Cho Chứng minh
(ĐHQG 2000)
HD:
AD
10) Cho CMR
HD: AD
11) CMR
HD: chon B,C khác phía với Ox A(x;0) B(1;2) C(6;-10)Sử dụng AB+AC≥BC
12) CMR
HD: Chọn Sử dụng AB+AC≥BC
Bài 4 Tìm GTNN của
HD:
Đặt
AD Cộng lại ra ĐS
Bài 5 Cho CMR
(Đề thi KA 2003)
HD: AD
Do đó
Mặt khác Khi x=y=z=1/3
BÀI 5 PHƯƠNG PHÁP PHẢN CHỨNG
Chú ý: để chứng minh bài toán có dạng Ta tiến hành như sau Giả sử điều trái với B biến đổi dẫn đến mâu thuẫn với A hay dẫn đến một điều vô lý
Bài 1 : Cho 3 số a,b,c thoả mãn CMR a>0, b>0 , c>0
HD: Do vai trò như nhau ta chỉ cần chứng minh a>0 Giả sử TH a=0 không thể xảy ra do (3) Do đó a<0Từ (3) suy ra bc<0 Từ (2) suy ra a(b+c)>-bc>0 =>b+c<0 =>b+c+a<0 (vô lý do 1) Vậy a>0
Bài 2 Cho CMR có ít nhất một trong bất đẳng thức sau là sai
HD: Giả sử các BĐT trên đều đúng suy ra vô lý
Do ta có 2 BĐT tương tự sau đó cộng lại ra ĐPCM
BÀI 5 PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP
PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐBài 1 Chứng minh bất đẳng thức Bec_nu_li
Bài 1 Với những giá trị nào của a (a>1) thì với mọi x>1
HD: Với x>1 thì alnx≤xlna f(x)≤f(a) với
Chỉ ra f’(x)>0 khi 1<x<e và f’(x)<0 khi e<x nên f(x)<f(e) với mọi 1<x#e . Suy ra nếu 1<a#e thì f(a)<f(e) không thoả mãn điều kiện ra . Vậy a=e là giá trị cần tìm
Bài 2 Chứng minh rằng trong đó n là số nghuyên lớn hơn 1 và
HD: Xét hàm số
Lấy đạo hàm Dễ thấy y=cost nghịch biến trên [0;) và cost=0
khi t=0 từ đó Suy ra hàm số f(x) tăng thực sự trên nên f(x)>0
KHAI THÁC TỪ BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ BIẾT
Bài 1 Cho a,b là 2 số bất kỳ và x,y là 2 số dương CMR
HD: Biến đổi tương đương
1) áp dụng bất đẳng thức (*) 2 lần ta được
2) Cho 2 số a,b bất kỳ CMR
HD Sử dụng (*) 2 lần ta được
3) Cho các số dương x,y,z thoả mãn CMR
(ĐT KA 2005)
HD: AD BĐT (*) 2 lần
Tương tự ta có 2 BDT sau đó cộng lại
4) Cho các số dương a,b,c CMR
HD: AD (**) ta có
CM bằng cách biến đổi tương đương
5) Cho các số dương a,b,c CMR
HD: AD (**) ta có
6) Cho các số dương a,b,c Thoả mãn abc=1 CMR
HD: AD (**) với chú ý a2 b2 c2=1 ta có
CM ab+bc+ca≥3 adụng cau cauhy và chú ý abc=17) Cho các số dương a,b,c ,p,q CMR
(p=q=1 vè bài toán 6 )
HD: AD (**) ta có
8) Cho các số dương a,b,c CMR
9) Cho các số dương x,y,z CMR
a)
b)
10) Cho các số dương a,b,c d,e CMR
11) Cho các số dương a,b,c Thoả mãn 3(ab+bc+ca)=1
CMR
PHẦN 2: ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1 (KA 2006)
Giải hệ phương trình
HD ĐK x≥0,y≥0 AD BĐT cauchy
Từ 2 AD BCS
ĐS x=y=3Bài 2 (KB_2006) Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
HD AD BCS ta có
Bài Toán TQ Cho x,y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
Trong đó a≥0 và
ĐS
Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau trong đó a,b là số lớn hơn 1 và thoả
mãn điều kiện a + b ≤ 4
HD: AD cauchy
Lại có
Từ các BĐT trên suy ra DPCM Min(A)=32 khi a=b=2
Bài 4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
HD: khi x=0
Bài 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau
HD:
DẠNG TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT (GTLN) VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTNN) CỦA MỘT BIỂU THỨC NHIỀU ẨN, TRONG ĐÓ CÁC ẨN LÀ NGHIỆM CỦA NHỮNG PHƯƠNG TRÌNH HOẶC BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHO TRƯỚCTrong bài viết này, tôi đề cập đến một dạng toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức nhiều ẩn, trong đó các ẩn là nghiệm của những phương trình hoặc bất phương trình cho trước. Đối với dạng toán này, ta cần xác định và giải một bất phương trình một ẩn mà ẩn đó là biểu thức cần tìm GTLN, GTNN. Bài toán 1 : Tìm GTLN và GTNN của xy biết x và y là nghiệm của phương trình
x4 + y4 - 3 = xy(1 - 2xy)Lời giải : Ta có x4 + y4 - 3 = xy(1 - 2xy) <=> xy + 3 = x4 + y4 + 2x2y2 <=> xy + 3 = (x2 + y2)2 (1). Do (x2 - y2)2 ≥ 0 với mọi x, y, dễ dàng suy ra (x2 + y2)2 ≥ 4(xy)2 với mọi x, y (2). Từ (1) và (2) ta có : xy + 3 ≥ 4(xy)2 <=> 4t2 - t - 3 ≤ 0 (với t = xy)
<=> (t - 1)(4t + 3) ≤ 0
Vậy : t = xy đạt GTLN bằng 1
<=> x = y = 1 ; t = xy đạt GTNN bằng Bài toán 2 : Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn xyz ≥ x + y + z + 2. Tìm GTNN của x + y + z. Lời giải : áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương x, y, z ta có :
Vậy t = x + y + z đạt GTNN bằng 6 khi và chỉ khi x = y = z = 2. Bài toán 3 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = 9. Tìm GTLN và GTNN của A = xyz. Lời giải : x2 + 2y2 + 2x2z2 + y2z2 + 3x2y2z2 = 9 <=> (x2 + y2z2) + 2(y2 + x2z2) + 3x2y2z2 = 9 (1). áp dụng bất đẳng thức m2 + n2 ≥ 2|mn| với mọi m, n ta có : x2 + y2z2 ≥ 2|xyz| ; y2 + x2z2 ≥ 2|xyz| (2). Từ (1) và (2) suy ra : 2|xyz| + 4|xyz| + 3(xyz)2 ≤ 9 <=> 3A2 + 6|A| - 9 ≤ 0 <=> A2 + 2|A| - 3 ≤ 0
<=> (|A| - 1)(|A| + 3) ≤ 0 <=> |A| ≤ 1 <=> -1 ≤ A ≤ 1. Vậy : A đạt GTLN bằng 1
A đạt GTNN bằng -1
Bài toán 4 : Cho các số thực x, y, z thỏa mãn x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2(1 - x2). Tìm GTLN và GTNN của x2 + y2. Lời giải : Ta có x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2(1 - x2) <=> (x2 + y2)2 - 2(x2 + y2) - 3 = -3x2 ≤ 0 => t2 - 2t - 3 ≤ 0 (với t = x2 + y2 ≥ 0) => (t + 1)(t - 3) ≤ 0 => t ≤ 3 Vậy t = x2 + y2 đạt GTLN bằng 3 khi và chỉ khi x = 0 ;
Ta lại có x4 + y4 + x2 - 3 = 2y2(1 - x2) <=> (x2 + y2)2 + x2 + y2 - 3 = 3y2 ≥ 0 => t2 + t - 3 ≥ 0 (với t = x2 + y2 ≥ 0)
Vậy t = x2 + y2 đạt GTNN bằng
khi và chỉ khi y = 0 ;
Bài tập tương tự 1) Cho x, y, z thỏa mãn : 2xyz + xy + yz + zx ≤ 1. Tìm GTLN của xyz. Đáp số : 1/8(x = y = z = 1/2) 2) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn : (x + y + z)3 + x2 + y2 + z2 + 4 = 29xyz Tìm GTNN của xyz. Đáp số : 8 (x = y = z = 2). 3) Tìm GTLN và GTNN của S = x2 + y2 biết x và y là nghiệm của phương trình : 5x2 + 8xy + 5y2 = 36
Đáp số : GTLN là 36
GTNN là 4 4) Cho x và y là các số thực thỏa mãn :
Tìm GTLN của x2 + y2. Đáp số : 1 (x = -1 ; y = 0).
5) Cho các số thực x, y, z thỏa mãn : x2 + 4y2 + z2 = 4xy + 5x - 10y +2z - 5 Tìm GTLN và GTNN của x - 2y. Đáp số : GTLN là 4 (x = 2y + 4 ; y Є R ; z = 1) ; GTNN là 1 (x = 2y + 1 ; y Є R ; z = 1). 6) Tìm các số nguyên không âm x, y, z, t để M = x2 + y2 + 2z2 + t2 đạt GTNN, biết rằng :
Đáp số : x = 5 ; y = 2 ; z = 4 ; t = 0. Khi đó M đạt giá trị nhỏ nhất là 61.
MỘT HẰNG ĐẲNG THỨC THÚ VỊVới mọi số thực a, b, c, ta có : (a + b)(a + c) = a2 + (ab + bc + ca) = a(a + b + c) + bc (*). Với tôi, (*) là hằng đẳng thức rất thú vị. Trước hết, từ (*) ta có ngay : Hệ quả 1 : Nếu ab + bc + ca = 1 thì a2 + 1 = (a + b)(a + c). Hệ quả 2 : Nếu a + b + c = 1 thì a + bc = (a + b)(a + c). Bây giờ, chúng ta đến với một vài ứng dụng của (*) và hai hệ quả trên. Bài toán 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Hãy tính giá trị của biểu thức :
Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có a2 + 1 = a2 + (ab + bc + ca) = (a + b)(a + c) ; b2 + 1 = b2 + (ab + bc + ca) = (b + a)(b + c) ; c2 + 1 = c2 + (ab + bc + ca) = (c + a)(c + b). Suy ra
Vì vậy A = a(b + c) + b(c + a) + c(a + b) = 2(ab + bc + ca) = 2. Vấn đề sẽ khó hơn khi ta hướng tới việc đánh giá các biểu thức. Bài toán 2 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn (a +b)(a +c) = 1. Chứng minh rằng :
Lời giải : a) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a(a + b + c) ; bc : 1 = (a + b)( a + c) = a(a + b + c) + bc ≥
b) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số dương a2 ; (ab + bc + ca)/2 ; (ab + bc + ca)/2 1 = (a + b)( a + c) = a2 + (ab + bc + ca) =
Bài toán 3 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :
Lời giải : Theo hệ quả 1 ta có
Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương a2 + ab ; a2 + ac :
Tương tự ta có
Từ các kết quả trên ta suy ra :
Bài toán sau đây nguyên là đề thi Châu á - Thái Bình Dương năm 2002 đã được viết lại cho đơn giản hơn (thay (1/x ; 1/y ; 1/z) bởi (a ; b ; c)). Bài toán 4 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
Lời giải : Theo hệ quả 2 và bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski ta có
Tương tự ta có Từ các kết quả trên ta suy ra :
Để kết thúc, xin các bạn làm thêm một số bài tập : Bài tập 1 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Hãy tính giá trị của biểu thức :
Bài tập 2 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng :
Bài tập 3 : Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng : (a + bc)(b + ca)(c + ab) ≥ 64/81(ab + bc + ca)2.
LÀM QUEN VỚI BẤT ĐẲNG THỨCTRÊ-BƯ-SEP
Các bạn đã từng được làm quen với các bất đẳng thức Cô si, Bunhiacôpski nhưng không ít bạn còn chưa biết về bất đẳng thức Trê - bư - sép. Con đường đi đến bất đẳng thức này thật là giản dị, quá gần gũi với những kiến thức cơ bản của các bạn bậc THCS. Các bạn có thể thấy ngay : Nếu a1 ≤ a2 và b1 ≤ b2 thì (a2 - a1) (b2 - b1) ≥ 0. Khai triển vế trái của bất đẳng thức này ta có :
a1b1 + a2b2 - a1b2 - a2b1 ≥ 0 => : a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1. Nếu cộng thêm a1b1 + a2b2 vào cả hai vế ta được :
2 (a1b1 + a2b2) ≥ a1 (b1 + b2) + a2 (b1 + b2)=> : 2 (a1b1 + a2b2) ≥ (a1 + a2) (b1 + b2) (*) Bất đẳng thức (*) chính là bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = 2. Nếu thay đổi giả thiết, cho a1 ≤ a2 và b1 ≥ b2 thì tất cả các bất đẳng thức trên cùng đổi chiều và ta có :
2 (a1b1 + a2b2) ≤ (a1 + a2) (b1 + b2) (**) Các bất đẳng thức (*) và (**) đều trở thành đẳng thức khi và chỉ khi a1 = a2 hoặc b1 = b2. Làm theo con đường đi tới (*) hoặc (**), các bạn có thể giải quyết nhiều bài toán rất thú vị. Bài toán 1 : Biết rằng x + y = 2. Chứng minh x2003 + y2003 ≤ x2004 + y2004. Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x và y nên có thể giả sử x ≤ y. Từ đó => : x2003 ≤ y2003. Do đó (y2003 - x2003).(y - x) ≥ 0 => : x2004 + y2004 ≥ x.y2003 + y.x2003 Cộng thêm x2004 + y2004 vào hai vế ta có : 2.(x2004 + y2004) ≥ (x+y) (x2003 + y2003) = 2.(x2003 + y2003)=> : x2004 + y2004 ≥ x2003 + y2003 (đpcm).
Để ý rằng : Bất đẳng thức vừa chứng minh trở thành đẳng thức khi và chỉ khi x = y = 1 ; các bạn sẽ có lời giải của các bài toán sau : Bài toán 2 : Giải hệ phương trình :
Nếu các bạn quan tâm tới các yếu tố trong tam giác thì vận dụng các bất đẳng thức (*) hoặc (**) sẽ dẫn đến nhiều bài toán mới. Bài toán 3 : Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1. AH và BK là các đường cao của tam giác. Chứng minh : (BC + CA).(AH + BK) ≥ 8. Lời giải : Ta có AH x BC = BK x CA = 2. Do vai trò bình đẳng của BC và CA nên có thể giả sử rằng BC ≤ CA => 2/BC ≥ 2/CA => AH ≥ BK. Do đó (CA - BC).(BK - AH) ≤ 0 => : CA x BK + BC x AH ≤ BC x BK + CA x AH Cộng thêm CA x BK + BC x AH vào 2 vế ta có :2.(CA x BK + BC x AH) ≤ (BC + CA) (AH + BK) => : (BC + CA).(AH + BK) ≥ 8. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi BC = CA hoặc BK = AH tương đương với BC = CA hay tam giác ABC là tam giác cân đỉnh C. Bài toán 4 : Cho tam giác ABC với BC = a, CA = b, AB = c và các đường cao tương ứng của các cạnh này có độ dài lần lượt là ha, hb, hc. Chứng minh :
với S là diện tích tam giác ABC. Lời giải : Do vai trò bình đẳng của các cạnh trong tam giác nên có thể giả sử rằng a ≤ b ≤ c => : 2S/a ≥ 2S/b ≥ 2S/c => ha ≥ hb ≥ hc . Làm như lời giải bài toán 3 ta có :(a + b).(ha + hb) ≥ 8S => : 1/(ha + hb) ≤ (a + b)/(8S) (1) Tương tự ta được : 1/(hb + hb) ≤ (b + c)/(8S) (2) 1/(hc + ha) ≤ (c + a)/(8S) (3) Cộng từng vế của (1), (2), (3) dẫn đến :
Bất đẳng thức (4) trở thành đẳng thức khi và chỉ khi các bất đẳng thức (1), (2), (3) đồng thời trở thành đẳng thức tương đương với a = b = c hay tam giác ABC là tam giác đều. Bây giờ các bạn thử giải các bài tập sau đây : 1) Biết rằng x2 + y2 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của F = (x4 + y4) / (x6 + y6) 2) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn x + y + z = 1. Chứng minh :
3) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh lần lượt là a, b, c và độ dài các đường phân giác trong thuộc các cạnh này lần lượt là la, lb, lc. Chứng minh :
3) Hãy dự đoán và chứng minh bất đẳng thức Trê - bư - sép với n = 3. Từ đó hãy sáng tạo ra các bài toán. Nếu bạn thấy thú vị với những khám phá của mình ở bài tập này, hãy gửi gấp bài viết về cho chuyên mục EUREKA của TTT2.
SỬ DỤNG PHÉP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ2. Chứng minh bất đẳng thức Bài toán 3 : Cho ΔABC với góc A ≥ góc B ≥ góc C. Chứng minh :
Lời giải : Hạ AH vuông góc với BC ; BI vuông góc với AC. Ta có AH = ha, BI = hb. Dễ thấy 2 tam giác vuông AHC và BIC đồng dạng và chung góc C. => ha/hb = AH/BI = b/a . áp dụng điều tương tự ta có :
Vì góc A ≥ góc B ≥ góc C tương đương với a ≥ b ≥ c nên (**) đúng, tức là (*) được chứng minh. 2. Cho ab ≥ 1. Chứng minh : 1/(1 + a2) + 1/(1 + b2) ≥ 2/(1 + ab).
