Objetivo de Aprendizaje

· Identificar y definir los números, naturales, completos, enteros, racionales, irracionales y reales.

Introducción

Los matemáticos reconocen varios conjuntos de números que comparten ciertas características. Estas categorías son útiles cuando ciertos tipos de números son válidos para valores y variables. Nuestro entendimiento y clasificación de los diferentes conjuntos de números se ha desarrollado durante miles de años

De Números Naturales a Enteros

Las primeras civilizaciones encontraron formas diferentes para escribir números, pero todas empezaron con el mismo conjunto de números que los niños de primaria aprenden hoy; los números naturales (también llamados números de conteo). Estos son los números 1, 2, 3, etc. — los números que usamos cuando contamos. Son naturales porque nuestro entendimiento de los números empieza con el reconocimiento de múltiples copias de cosas, como cuántos dedos tenemos, o el tamaño de conjuntos, como cuántos juguetes tenemos.

Aunque las civilizaciones más antiguas entendían "nada" — sabían cuando no tenían ninguna vaca, ni hijos, por supuesto — el número cero tiene una historia interesante. El primer uso de un símbolo para representar "nada" no fue sino hasta el siglo 3 AC. El sistema numérico Babilonio usaba los símbolos sólo como un marcador de posición en un sistema basado en posiciones, similar a la forma en que hoy usamos el 0 en el número 702 para representar no decenas. El primer reconocimiento del 0 como número, en la misma forma que 1 y 23 son números es incierto, pero puede datarse en el siglo 9 en India. Cuando se suma el 0 al conjunto de 1, 2, 3, etc., para formar los números completos. Estos se llaman "completos" porque no contienen fracciones.

 

Los enteros son números completos más sus contrapartes negativas: …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …. Los números negativos aparecieron en China alrededor del siglo primero AC. (¡Eso es 1000 años antes que se reconociera al cero como número!) Sin embargo, a pesar de su utilidad para representar conceptos como deuda, no fue sino hasta el siglo 18 — hace menos de 300 años — que ganaron aceptación general como números.

 El conjunto de los números naturales está formado por:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...}

Con los números naturales podemos:

1 Contar los elementos de un conjunto (número cardinal).

Ejemplo

8 es el número de planetas del Sistema Solar.

2 Expresar la posición u orden que ocupa un elemento en un conjunto (número ordinal).

Ejemplo: El pez verde es el segundo (2º) de los tres peces.

3 Identificar y diferenciar los distintos elementos de un conjunto.

Ejemplo: Mi número de socio en el carnet del Club de vela es 40257.

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales entre sí:

Ejemplo:

5 > 3 5 es mayor que 3.

3 < 5 3 es menor que 5.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.

Representación de los números naturales

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.

Sobre una recta señalamos un punto, que marcamos con el número cero (0).A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3...

Ecuaciones de 2º grado completas

Una ecuación de segundo grado es toda expresión de la forma:

ax2 + bx +c = 0 con a ≠ 0.

Se resuelve mediante la siguiente fórmula:

Ejemplos

1.

2.

3.

Si es a < 0, multiplicamos los dos miembros por (−1).

Dada una ecuación de seguno grado completa:

ax2 + bx + c = 0

b2 − 4ac se llama discriminante de la ecuación.

El discriminante permite averiguar en cada ecuación el número de soluciones. Podemos distinguir tres casos:

1. b2 − 4ac > 0

La ecuación tiene dos soluciones, que son números reales distintos.

Ejemplo

2. b2 − 4ac = 0

La ecuación tiene una solución doble.

Ejemplos

3. b2 − 4ac < 0

La ecuación no tiene soluciones reales.

Ejemplos

La suma de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

El producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado es igual a:

Ecuación de 2º grado a partir de sus soluciones

Si conocemos las raíces de una ecuación, podemos escribir ésta como:

Siendo S = x1 + x2 y P = x1 · x2

Ejemplos

Escribe una ecuación de segundo grado cuyas soluciones son: 3 y −2.

S = 3 − 2 = 1

P = 3 · (−2) = −6

x2 − x − 6 = 0

Expresiones algebraicas comunes

El doble o duplo de un número: 2x

El triple de un número: 3x

El cuádruplo de un número: 4x

La mitad de un número: x/2.

Un tercio de un número: x/3.

Un cuarto de un número: x/4.

Un número es proporcional a 2, 3, 4, ...: 2x, 3x, 4x,..

Un número al cuadrado: x2

Un número al cubo: x3

 

Dos números consecutivos: x y x + 1.

Dos números consecutivos pares: 2x y 2x + 2.

Dos números consecutivos impares: 2x + 1 y 2x + 3.

Descomponer 24 en dos partes: x y 24 − x.

La suma de dos números es 24: x y 24 − x.

La diferencia de dos números es 24: x y 24 + x.

El producto de dos números es 24: x y 24/x.

El cociente de dos números es 24; x y 24 · x.

 

Ecuaciones de primer grado o lineales

 

Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.

Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).

Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:

1.  Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2.  Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.

3.  Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4.  Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita

Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:

Resolver la ecuación 2x – 3 = 53

Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).

Entonces hacemos:

   2x – 3 + 3 = 53 + 3

En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:

    2x = 53 + 3

    2x = 56

Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:

   2x • ½   =  56 • ½

Simplificamos y tendremos ahora:

   x = 56 / 2

   x = 28

Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.

Ver: PSU: Matemática,

 Resolvamos otros ejemplos:

Llevamos los términos semejantes a un lado de la igualdad y los términos independientes al otro lado de la igualdad (hemos aplicado operaciones inversas donde era necesario).Resolvemos las operaciones indicadas anteriormente.

Aplicamos operaciones inversas, y simplificamos.

 

(pasamos todos los términos con “x” a la izquierda, cambiado el signo 8x pasa como – 8x)

(redujimos los términos semejantes en el primer miembro: 5x – 8x = – 3x)(dividimos ambos términos por – 3 para despejar la “x”)

(– 15 dividido – 3 es igual a 5. Número negativo dividido por un número negativo, el resultado es positivo)

 

(pasamos a la derecha los términos conocidos, en este caso sólo +1 que pasa como – 1)(reducción de términos semejantes: 2 – 1 = 1)(dividimos ambos términos por 4 para que, al simplificar  4/4 quede la x sola).Esto es lo mismo que tener 4x = 1 y simplemente pasar a la derecha como divisor el 4 que en la izquierda está multiplicando.

Tipos de proposiciones En adelante cuando hablemos de proposiciones, éstas serán lógicas. Si son abiertas, significará que el conjunto de sustituciones está bien definido y la harán verdadera o falsa. Para operar con las proposiciones, éstas se clasifican en dos tipos: Simples y Compuestas, dependiendo de como están conformadas.

Proposiciones Simples Son aquellas que no tienen oraciones componentes afectadas por negaciones ("no") o términos de enlace como conjunciones ("y"), disyunciones ("o") o implicaciones ("si . . . entonces"). Pueden aparecer términos de enlace en el sujeto o en el predicado, pero no entre oraciones.

Proposiciones Compuestas Una proposición será compuesta si no es simple. Es decir, si está afectada por negaciones o términos de enlace entre oraciones componentes.

Ejemplos Ensayemos una lista clasificada y luego algunas aclaraciones:      1)  Carlos Fuentes es un escritor.                                           (Simple)      2)  Sen(x) no es un número mayor que 1.                              (Compuesta)      3)  El 14 y el 7 son factores del 42.                                         (Simple)      4)  El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42.        (Compuesta)      5)  El 2 o el 3 son divisores de 48.                                          (Simple)      6)  El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.                      (Compuesta)      7)  Si x es número primo, entonces x impar.                         (Compuesta)      8)  Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16.                                          (Compuesta)      9)  No todos los números primos son impares.                       (Compuesta)

Algunas aclaraciones a) No obstante que los ejemplos 3) y 4) gramaticalmente significan lo mismo,

operativamente se consideran distintos. Similarmente 5) y 6). b) A veces proposiciones como la 8), aparecen escritas de la forma: 2x - 3 > 16, si x > 10.

Proposiciones simples y compuestasEnviado por carlitha torres

1. Introducción 2. Qué es una proposición 3. Clases de proposiciones 4. Conectivos (operadores) lógicos 5. Formas proposicionales 6. Anexo (Razonamiento) 7. Preguntas generadoras 8. Conclusiones 9. Bibliografía

Introducción

Siempre que nosotros hacemos diferentes tipos de afirmaciones nos debemos basar en una serie de análisis que nos permitan aclarar y rectificar si lo que dijimos anteriormente es verdadero o falso. En el trabajo que a continuación desarrollaremos podremos encontrar como, cuando y en que situación podemos aplicar este tipo de proposiciones.

OBJETIVO GENERAL

Definir y reconocer las proposiciones simples y compuestas; además de eso entender el verdadero significado de cada caso que se presente.

OBJETIVOS ESPECIFICOS

Diferenciar las proposiciones simples de las compuestas. Construir proposiciones simples y compuestas. Aplicar lo enseñado y entendido a nuestra vida cotidiana. Clasificar diferentes proposiciones.

Qué es una proposición

Es toda oración o enunciado al que se le puede asignar un cierto valor (v o f). Si no puede concluir que es verdadero o falso no es proposición. Es cualquier agrupación de palabras o

símbolos que tengan sentido y de la que en un momento determinado se pueda asegurar si es verdadera o falsa. La verdad o falsedad de una proposición es lo que se llama su valor lógico o valor de verdad. Las proposiciones se denotan con letras minúsculas. Ejemplo: p, q, r, a, b.

Ejemplo:

Hoy es lunes. (si es proposición ya que se puede verificar). Hablo y no hablo. Viene o no viene. Carlos Fuentes es un escritor.                                           (Simple) Sen(x) no es un número mayor que 1.                              (Compuesta) El 14 y el 7 son factores del 42.                                         (Simple) El 14 es factor del 42 y el 7 también es factor del 42.        (Compuesta) El 2 o el 3 son divisores de 48.                                          (Simple)    El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48.                      (Compuesta)     Si x es número primo, entonces x impar.                         (Compuesta) Si x > 10, entonces 2x - 3 > 16.                                          (Compuesta)   No todos los números primos son impares.                       (Compuesta)

Clases de proposiciones

Existen dos clases de proposiciones:

PROPOSICIONES SIMPLES: tambien denominadas proposiciones atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden dividir.

Ejemplos:

El cielo es azul.

PROPOSICIONES COMPUESTAS: tambien denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos.

Ejemplos:

Fui al banco, pero el banco estaba cerrado. Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios. Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalare un auto.

Conectivos (operadores) lógicos

Son aquellos que sirven para formar proposiciones más complejas (compuestas o moleculares).

TIPOS DE CONECTIVOS Y EJEMPLOS

Conectivo Props. Compuesta

NOT ¬ Negación

AND ^ Conjunción

OR v Disyunción inclusiva

OR exclusivo v Disyunción exclusiva

Condicional

Bicondicional

A) NEGACION:

EJEMPLO: Juan conversa.

Juan no conversa.

B) CONJUNCION:

EJEMPLO: P: La casa esta sucia.

Q: La empleada la limpia mañana.

PQ: La casa esta sucia y la empleada la limpia mañana.

C) DISYUNCION: D) DISYUNCION EXCLUSIVA:

EJEMPLO: P: Pedro juega básquet.

Q: María juega futbol.

PVQ: Pedro juega básquet o María juega futbol.

E) CONDICIONAL:

EJEMPLO: P: Si me saco la lotería.

Q: Te regalare un carro.

PQ: Si me saco la lotería entonces te regalare un carro.

F) BICONDICIONAL:

EJEMPLO: P: Simon bolívar vive.

Q: Montalvo esta muerto.

PQ: Simon bolívar vive si y solo si Montalvo esta muerto.

Formas proposicionales

Existen tres formas proposicionales:

TAUTOLOGIAS: es aquella forma proposicional que da como resultado verdadero.

CONTRADICCIONES: es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso.

FALACIAS O INDETERMINADA: es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez.

PROPIEDADES DEL ALGEBRA DE PROPOSICIONES

A) CONMUTATIVA:

B) ASOCIATIVA:

C) DISTRIBUTIVA:

D) IDENTIDAD:

E) ABSORCION:

F) LEYES DE MORGAN:

G) DOBLE NEGACION:

Anexo (Razonamiento)

Las formas proposicionales que están constituidas por una o más hipótesis o premisas por una conclusión.

Estructura

Conjunto de premisas conclusión.

Un razonamiento es valido si y solo si el condicional formado es tautológico.

EJEMPLO: Si hay lluvias, hay cosechas; si hay enfermedades, no hay cosechas; hay heladas o hay enfermedades; no hay enfermedades. Por lo tanto, hay lluvias.

1.- Identificamos las hipótesis y la conclusión, que en este caso son separadas por ";".

H1.- Si hay lluvias, hay cosechas.

H2.- Si hay enfermedades, no hay cosechas.

H3.- Hay heladas o hay enfermedades.

H4.- No hay enfermedades.

C.- Hay lluvias.

2.- Determinamos las proposiciones simples:

p: Hay lluvias

q: Hay cosechas

r: Hay enfermedades

S: Hay heladas

3.- Traducimos al lenguaje formal.

H1:

H2:

H3:

H4:

C:

4.- Entonces estructuramos el razonamiento.

Preguntas generadoras

¿De que manera podemos aplicar la lógica proposicional a la ingeniería de sistemas?

¿a través de las proposiciones lógicas en que modelo la carrera podemos aplicar razonamientos lógicos?

¿Qué métodos se utilizan para saber si algo es verdadero o es falso, y que tanto aportan las proposiciones a la ingeniería de sistemas?

MAPAS CONCEPTUALES

1)

2)

 

 

VOCABULARIO

MONTALVO: Juan Montalvo (1832-1889), escritor ecuatoriano, nacido en Ambato y fallecido en París.

Su obra, personal y fuerte, es de difícil clasificación, aunque le corresponde el amplio y abierto campo del ensayo, basado en el gran ejemplo fundacional del escritor francés Miguel de Montaigne. Se le considera uno de los mayores prosistas hispanoamericanos del siglo XIX, pues su léxico, giros y cadencias, así como la desenfadada agudeza de su pensamiento, apelan a fuentes diversas: los clásicos latinos, el siglo de oro español, los románticos franceses. Frente a la opción de Domingo Faustino Sarmiento, o sea la constante reinvención latinoamericana del idioma, Montalvo trabaja por recuperar olvidadas fuentes de la literatura española, empleadas con extrema libertad.

Conclusiones

Buscar que el tema halla sido entendido y aplicar esto a nuestra carrera. Encontramos el significado de las proposiciones y logramos adquirir un nuevo

conocimiento que aportara a nuestra carrera. Queremos con este trabajo encontrar los errores antes de presentar a nuestros

compañeros una información que ellos tomaran como aporte tambien para la carrera.

Bibliografía

INTERNET EXPLORED.

ENCARTA 2006 BIBLIOTECA PREMIUM.

 

 

Autor:

Sergio Ricardo Reyes Sandoval

Katherine Julieth Calderon Ramos

Enviado por:

Carlitha Torres

UNIVERSIDAD MINUTO DE DIOS

FACATATIVA

MAYO 2010