Trigonometrijske funkcije

sin cos

tan

sec

α α

α α

α α

= =

= =

= =

ac

bc

ab

ba

cb

ca

ctg

cosec

B β

α γ A C

ca

b (a) Omjer između nasuprotne katete i hipotenuze zovemo SINUS

kuta. (b) Omjer između priležeće katete i hipotenuze zovemo KOSUNOS

kuta. (c) Omjer između nasuprotne i priležeće katete zovemo TANGENS

kuta. (d) Omjer između priležeće i nasuprotne katete zovemo

KOTANGENS kuta. (e) Omjer između hipotenuze i priležeće katete zovemo SEKANS

kuta. (f) Omjer između hipotenuze i nasuprotne katete zovemo

KOSEKANS kuta. I. kvadrant ctg α tg α s in α α cos α

II. kvadrant ctg α

sin α 180 - α

cos α

tg α

sin (180° - α) = sin α cos (180° - α) = - cos α tg (180° - α) = - tg α ctg (180° - α) = - ctg α

III. kvadrant ctg α

tg α

180 + α cos α

sin α

sin (180° + α) = - sin α cos (180° + α) = - cos α tg (180° + α) = tg α ctg (180° + α) = ctg α

IV. kvadrant ctg α

cos α

360 - α sin α

tg α

sin (360° - α) = - sin α cos (360° - α) = cos α tg (360° - α) = - tg α ctg (360° - α) = - ctg α

Trigonometrijske funkcije negativnih kutova ctg (− α)

cos(− α)

− α sin (− α) tg (− α)

sin (-α) = - sin α cos (-α) = cos α tg (-α) = - tg α ctg (-α) = - ctg α

Trigonometrijske funkcije komplementarnih kutova sin α = cos (90° - α) cos α = sin (90° - α) tg α = ctg (90° - α) ctg α = tg (90° - α)

Trigonometrijske funkcije suplementarnih kutova sin α = sin (180° - α) cos α = - cos (180° - α) tg α = - tg (180° - α) ctg α = - ctg (180° - α) Trigonometrijske funkcije suprotnih kutova sin α = - sin (- α) = - sin (360° - α) cos α = cos ( - α) = cos (360° - α) tg α = - tg ( - α) = - tg (360° - α) ctg α = - ctg (- α) = - ctg (360° - α) Trigonometrijski Pitagorin poučak sin cos2 2 1α α+ =

1= ctg tg α⋅α

Izračunavanje ostalih funkcija kuta ako je zadana jedna od njih

sin

cos sinsincos

α

α α

ααα

αα

= −

=

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

1

1

2

tg

ctg tg

tg

tg

tg

tg

ctg tg

α

αα

α

αα

αα

sin

cos

=+

=+

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

11

11

2

2

cos

sin cossincos

α

α ε

ααα

αα

= −

=

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

1

1

2

tg

ctg tg

ctg

ctgctg

ctg

tg ctg

α

αα

αα

α

αα

sin

cos

=+

=+

=

⎧

⎨

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

1

1

11

2

2

Formule pretvorbe sin sin sin cos

sin sin cos sin

cos cos cos cos

cos cos sin sin

α βα β α β

α βα β α β

α βα β α β

α βα β α β

+ =+ −

− =+ −

+ =+ −

− = −+ −

22 2

22 2

22 2

22 2

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( ) ( )( )

sin cos sin sin

cos cos cos cos

sin sin cos cos

α β α β α β

α β α β α β

α β α β α β

= + + −

= + + −

= − − +

121212

Funkcije dvostrukog kuta sin sin cos

cos cos sin

2 2

22

21

2 2

α α α

α α α

αα

α

ααα

=

= −

=

=−

tg 2tg

1- tg

ctg ctg

2ctg

2

2

Funkcije polovine kuta

sin cos

cos cos

cossin

cossin

2

2

2

2

21

2

21

2

21

21

α α

α α

α αα

α αα

=−

=+

=−

=+

tg

ctg

Sinusov poučak Stranice trokuta odnose se kao sinusi njima suprotnih kuteva a : b : c = sin α : sinβ : sin γ Omjer stranice i sinusa njoj suprotnog kuta jednak je promjeru opisane kružnice

a b c Rsin sin sinα β γ

= = = 2

Radius upisane kružnice

( ) ( ) ( )ϕα β γ

= − = − = −s a s b s ctg 2

tg 2

tg 2

gdje je

s a b c=

+ +2

Cosinusov poučak

a b c bc

b a c ac

c a b ab

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2

2

2

= + −

= + −

= + −

cos

cos

cos

α

β

γ

Adicioni teoremi

( )( )

( )

( )

sin sin cos cos sin

cos cos cos sin sin

α β α β α β

α β α β α β

α βα βα β

α βα ββ α

± = ±

± =

± =±⋅

± =⋅±

m

m

m

tg tg tg

1 tg tg

ctg ctg ctg ctg ctg

1

Univezalna supstitucija

t tt

tt

tt

= =−

=+

=−

+

tg , tg

αα

α α

22

12

111

2

2

2

2sin , cos

Trigonometrijske formule za površinu trokuta

P bc

P ac

P ab

=

=

=

121212

sin

sin

sin

α

β

γ

Pa

Pb

Pc

=

=

=

2

2

2

2

2

2

sin sinsin

sin sinsin

sin sinsin

β γα

α γβ

α βγ

P R

Pabc

RP s

=

=

= ⋅

2

4

2 sin sin sinα β γ

ϕ

α sin α cos α tg α ctg α

0 0° 0 1 0 -

π/6 30° 21

23

33 3

π/4 45° 22

22 1 1

π/3 60° 23

21 3

33

π/2 90° 1 0 - 0

2π/3 120° 23 -

21 - 3 -

33

3π/4 135° 22 -

22 -1 -1

5π/6 150° 21 -

23 -

33 - 3

π 180° 0 -1 0 -

3π/2 270° -1 0 - 0

2π 360° 0 1 0 -