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27/03/2013
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UNIDAD III
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
MUESTREO MEDIANTE
IMPULSOS-RETENCIÓN DE
DATOS
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
27/03/2013
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Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
Muestreo: Proceso de pasar de t a k
Retención: Proceso de pasar de k a t
Ing. Jhon Jairo Anaya Díaz
La señal existe
para todos los
valores de t.
La señal existe para
valores concretos kT
T: periodo de muestreo.
Tiempo entre dos muestras
sucesivas
1/T: frecuencia de muestreo.
Número de muestras por
unidad de tiempo. (f)
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• Importancia del Muestreo
Periodo T: las señales a, b y c dan la misma secuencia.
Periodo T/2: a y c coinciden, b es una secuencia distinta.
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• MUESTREO MEDIANTE IMPULSOS: Muestrear una
señal continua x(t) equivale a multiplicarla
por un tren de impulsos (funciones delta de
Dirac) δT(t), siendo:
Se considera la salida del muestreador como
un tren de impulsos cuyas intensidades son
iguales a los valores muestreados en los
respectivos instantes de muestreo, y la señal
resultante se puede expresar matemáticamente
como:
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0
* )()()(k
kTtkTxtx
0
)(k
TkTt
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• También se puede escribir la
ecuación así:
• Aplicando la transformada de
Laplace a ambos miembros de la
ecuación se obtiene:
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• Si definimos: o también
La ecuación se convierte en:
Observe que en segundo miembro de la anterior
ecuación es exactamente el segundo miembro de
la ecuación de la definición de la transformada
Z, de allí que:
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• De forma general:
Note que z es una variable compleja
y T el periodo de muestreo.
La transformada de Laplace de x*
(t) es la misma que la
Transformada Z de x(t) si eTs = z
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• EL RETENEDOR: también llamado bloqueador,
es el dispositivo que permite reconstruir
una señal continua a partir de valores
discretos de una secuencia, o convierte la
señal digital en una señal continua en el
tiempo. Es el proceso inverso al muestreo
de una señal. El retenedor genera la señal
en tiempo continuo (h(t)); esta se obtiene
durante el tiempo kT ≤ t <(k +1)T y se
puede aproximar con el polinomio en τ de
esta manera:
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Retenedor Ideal: A fin de obtener
una reconstrucción ideal, se
define el bloqueador ideal como
aquel cuya transformada de Fourier
es:
siendo T el periodo de
muestreo de la secuencia
La respuesta impulso es:
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0
)(
w
wTwH
Tw
tw
twth 2con
)sin()( 0
0
0
• La representación gráfica de estos bloqueadores se
muestra en la figura.
Bloqueador ideal en tiempo Bloqueador ideal en frecuencia
Sistema no causal, ya que h(t) no es cero para tiempos
negativos.
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-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
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• Retenedor de orden n. De forma general, la exactitud de la aproximación de la
señal continua mejora a medida que el
orden n aumenta. Sin embargo, la mayor exactitud se obtiene con el costo de mayor retardo de tiempo, que puede provocar inestabilidad en el sistema de control.
• El más simple de los retenedores es n = 0, denominado retenedor de orden cero o ZOH del inglés “Zero Orden Hold”.
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• RETENEDOR DE ORDEN CERO (ZOH): Es un
dispositivo de retención que convierte la
señal muestreada en una señal continua que
reproduce aproximadamente la señal aplicada
al muestreador. El dispositivo de retención
más simple convierte la señal muestreada en
una señal constante entre dos instante de
muestreo consecutivo.
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• Un retenedor de orden cero presenta la siguiente función de transferencia
• Cuando se muestrea la señal de entrada x(t) en instantes discretos, la señal muestreada pasa a través del dispositivo de retención. Este dispositivo que es un filtro paso bajas, alisa la señal muestreada x*(t) produciendo la señal xh(t) que es constante desde el último valor hasta disponer del próximo valor de muestreo es decir:
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• Muestreador y retenedor de
Orden Cero
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Considere:
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• Puesto que:
• Reemplazando en la ecuación de
la sumatoria
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H1(s)=
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• RETENEDOR DE ORDEN UNO (FOH): La
salida del retenedor de primer orden
es una función polinomial de primer
orden en función del tiempo:
h(kT +τ)= a1τ + x(kT), 0 ≤τ < T
La mejor interpolación que se puede
lograr es que
h(kT −T)= x(kT −T), por lo tanto tomando a τ =T, la constante a1 es
igual a:
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• De allí que:
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• Ahora para obtener la función de
transferencia del retenedor de
primer Orden se va a suponer una
entrada escalón x(t)=u(t)
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• La función de transferencia del retenedor de orden uno Gh1(s) es entonces:
NOTA: los retenedores de orden superior no son prácticos ya que causan retraso y ruido, además no son muy fácil su implementació.
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• Comparación del error por los
métodos de ZOH y FOH para una onda
sinusoidal
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• OGATA, Katsuhiko. Sistemas De Control En Tiempo Discreto. Segunda Edición.
• DORSEY, John. Sistemas de Control Continuo y Discreto
• BIBLIOGRAFÍA WEB
• ASTRÖM, Kral J- Computer Controlled Systems. Tercera Edición
• PARASKEVOPOLUS,P. Modern Contol Ingineering. Primera Edición.
• CHEN, Chi-Tsong. Analog And Digital Control System Design. Tercera Edición
• SMITH C., CORRIPIO A., Control Automático de Procesos. Primera Edición
• DORF R., BISHOP R., Sistemas de Control Moderno. Décima Edición.
