Universitat Rovira i Virgili Escola Tècnica Superior d ... · Universitat Rovira i Virgili Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Química Simulació i Optimització de Processos

Universitat Rovira i Virgili Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Química

Simulació i Optimització de Processos Químics. Curs 2006-2007

1

2.1 En un compressor de dues etapes, el gas que surt de la primera etapa de compressió es refreda (passant-lo a través d’un bescanviador de calor) abans d’entrar a la segona etapa de compressió, per tal d’augmentar l’eficiència del procés. El treball total , W, que cal donar al compressor per a la compressió iso-entròpica d’un gas ideal ve donat per

−−−−

++++

====

−−−−−−−−

2

1

2

3

1

1

21

k

k

k

k

pp

p

p

pTCW

on Cp és la calor específica del gas a pressió constant, k és la relació entre les calors específiques a pressió constant i a volum constant, i T1 és la temperatura d’entrada del gas al compressor. Determina la pressió, p2, a la que el refredament intermedi s’hauria de portar a terme per tal de minimitzar el treball que cal donar al compressor. Determina també el valor d’aquest mínim treball.

2.2 Determina els màxims i els mínims de la funció 5x40x45x12)x(f 345 ++++++++−−−−====

2.3 La potència generada per una turbina Pelton és proporcional a u (V-u), on u és la velocitat de la turbina, que és variable, i V és la velocitat del jet, que és fixa. Demostra que l’eficiència de la turbina Pelton serà màxima quan u = V/2. 2.4 Una canonada de longitud L i diàmetre D té en un dels extrems un broquet de diàmetre d, a través del qual es descarrega l’aigua que surt d’un dipòsit. El nivell d’aigua en el dipòsit es manté constant a un determinat valor, h, per damunt del centre del broquet. Determina el diàmetre del broquet per a que l’energia cinètica del doll d’aigua sigui màxima. L’energia cinètica del doll es pot expressar com

23

45

52

fLd4D

hgD2d

4

1

++++πρ

on ρ és la densitat de l’aigua, f és el coeficient de fricció, i g és l’acceleració de la gravetat. 2.5 Un fanal elèctric està col·locat tot just al centre d’un tros de gespa de forma circular i de 100. m de diàmetre. Assumint que la intensitat de la llum per unitat d’àrea és directament proporcional al sinus de l’angle incident sobre la superfície de la gespa, i inversament proporcional al quadrat de la distància al fanal, a quina alçaria cal penjar el fanal per a que la intensitat de llum que rep la circumferència exterior de la gespa a la sigui màxima? 2.6 Has de dissenyar una llauna de forma cilíndrica per a contenir 1.0 litres d’oli. Quines són les dimensions de la llauna que minimitzen el cost del material utilitzat? 2.7 Has de preparar un pòster rectangular amb una àrea aprofitable de 500. cm2. Les normes de presentació diuen que hi ha d’haver 4.0 cm de marge superior i inferior i 2.0 cm de marge lateral per cada costat. Quines són les dimensions del pòster que minimitzen el consum de cartolina? 2.8 Determina les dimensions d’una llauna cilíndrica que maximitzen el seu volum de manera que l’àrea superficial total (incloent les tapes dalt i baix) sigui A = 200. cm2.



2

2.9 Determina els mínims i els màxims locals de la funció (((( )))) 2

22121 xxx,xf ++++====

2.10 Se sap que el volum de vendes d’un producte, f, és funció del nombre d’anuncis als diaris, x, i dels minuts d’anuncis a la televisió, y, segons l’equació

22 312 yxxyf −−−−−−−−==== Cada anunci al diari, o cada minut a la televisió, costen 1000 Euros. L’empresa vol invertir 48000 Euros en publicitat. Com caldria distribuir aquests diners entre anuncis als diaris i minuts de televisió? 2.11 Una empresa vol construir un espai de magatzem consistent en una única planta de base rectangular. L’àrea de la base ha de ser 22500 ft2 i l’alçària de 18 ft. Hom vol utilitzar totxanes en tres de les parets laterals, i vidre a la quarta. Troba les dimensions de l’edifici que minimitzin el cost dels materials, tenint en compte que el preu del vidre per m2 d’àrea de paret és el doble del preu de les totxanes per m2 d’àrea, i que el preu per unitat d’àrea del sostre és el triple del preu per unitat d’àrea de les totxanes. 2.12 Per l’edifici del problema 2.11, determina les dimensions que minimitzen les pèrdues de calor a través de les parets assumint que les pèrdues de calor per unitat d’àrea, en W/m2, són de 4q al sostre, 2q a la paret de totxanes, 5q pel vidre, i q pel terra. 2.13 La distribució de temperatura adimensional a la superfície d’una placa circular, d’1.00 m de radi, ve donada per

(((( )))) xyxyx −−−−++++==== 22 2,θ

on (x, y) venen donades en metres i l’origen de coordinades és al centre de la placa. Determina la situació del màxim i del mínim de temperatura i els seus valors. 2.14 Per les condicions de l’exercici 2.13, quines seran les temperatures adimensionals màxima i mínima que notarà una formiga que camina seguint una circumferència de 0.500 m de radi al voltant del centre de la placa? 2.15 Moltes empreses del sector industrial i comercial mantenen un magatzem de matèries primeres o productes per a cobrir futures demandes. L’emmagatzematge evita els costs de temps i diners que implicaria un subministrament continuat, i també representa una protecció contra situacions d’emergència. Un problema clàssic d’optimització és determinar la grandària òptima del magatzem. Un model comunament utilitzat és l’EOQ (Economic Order

Quantity). S’assumeix una demanda constant de λ unitats/any de producte. Cada cop que es torna a omplir el magatzem, cal pagar K($) de despesa fixa (independent del nombre d’unitats adquirides). El preu de compra de cada unitat és c($/unitat). El preu d’emmagatzematge per cada unitat és d’h ($/unitat/any). Determina la grandària de magatzem, Q (unitats), que sigui òptima, i el corresponent període d’emmagatzematge, T = Q/λ. 2.16 Una empresa fabrica PCl3, el qual es ven en barrils, amb una quantitat de vendes de B barrils per dia. El cost per barril produït és:

BB

barril

EurosC

3100910050

××××++++++++====

...

El preu de venda és de 300. Euros per barril. Determina: a) El nivell de producció que minimitza el cost per barril. b) El nivell de producció que maximitza els guanys per dia. c) El nivell de producció amb guany zero.



3

D

D/2

H

2.17 (E) L’energia potencial de les forces d’interacció entre dues molècules és una funció de la distància que les separa, r. Per distàncies de separació grans, aquesta energia, u(r), és positiva perquè les dues molècules s’atrauen per forces d’atracció entre masses o entre càrregues de signe oposat. Per distàncies curtes, les dues molècules es repel·leixen perquè una no pot envair l’espai físic de l’altra, i u(r) ha de ser per tant negativa. Un dels models més senzills per a avaluar aquesta energia d’interacció entre molècules és l’anomenat potencial 6-12 de Lennard-Jones:

(((( ))))

−−−−

∈∈∈∈====

612

4rr

ruσσ

on ∈∈∈∈ i σ són constants positives. Té el potencial de Lennard-Jones u(r) algun (o més d’un) punt(s) estacionari(s) (màxims, mínims, punts d’inflexió)? Si és així, localitza’l(s) i determina el valor de l’energia potencial en el(s) punt(s) estacionari(s) (com a funció dels paràmetres ∈∈∈∈ i σ). Per cadascun dels punts estacionaris localitzats, digues si es tracta d’un mínim, d’un màxim, o bé d’un punt d’inflexió. Utilitza només tècniques analítiques

2.18 (E) Hom vol construir un tanc d’emmagatzematge amb un volum total de 1200 m3. El tanc ha de ser cilíndric, tancat per dalt per una semiesfera de diàmetre igual al diàmetre del cilindre. Cal determinar els valors òptims de D i H que minimitzin la superfície total del tanc.

a) Escriu el model matemàtic pel problema d’optimització

b) Utilitza les condicions necessàries d’òptim per a determinar els valors òptims de D i H, i el valor mínim de l’àrea superficial.

2.19 (E) Determina les dimensions (en metres) d’un contenidor obert (sense sostre) de 10.0 m3 de volum, amb base rectangular i parets verticals (és a dir, en forma paral·lelepipèdica) amb mínim cost (del material). Assumeix que totes les parets tenen el mateix gruix. a) Dibuixa un esquema del problema on hi apareguin les variables d’interès. b) Escriu un model matemàtic pel problema d’optimització. c) Resol, utilitzant tècniques analítiques, el model matemàtic de l’apartat anterior. 2.20 (E) Considera el problema de programació no lineal,

122

5

2

21

22

21

22

21

====−−−−

≤≤≤≤++++

++++====

xx

xx

xxZMinimitza

a) Escriu les condicions d’òptim de Karush-Kuhn-Tucker per a aquest problema. b) Utilitzant el resultat de l’apartat anterior, que pots concloure dels següents punts?

(Justifica la resposta) i) (0, 0) ii) (1, 1/2) iii) (1/3, -1/6)

c) Si algun dels punts de l’apartat anterior compleix les condicions d’òptim de Karush-Kuhn-Tucker, comprova si també compleix les condicions suficients de segon ordre.



4

1.0 m

L

H

2.21 (E) Una conducció d’aire de secció rectangular està situada dins una regió de secció triangular, tal com s’indica a la figura adjunta. Els tres costats del triangle són d’idèntica llargària igual a 1.0 m. L’objectiu és maximitzar l’àrea de pas, L x H. a) Escriu un model matemàtic d’optimització (amb variables,

una funció objectiu i les restriccions pertinents). b) Resol analíticament (utilitzant paper i la calculadora

de butxaca, no pas l’ordinador) el problema per a determinar les dimensions òptimes de la conducció.

2.22 (E) Donat el següent problema d’optimització,

( ) ( ) ( )2121 ln8ln2 x, xxxfMaximitzar +=

sota les restriccions:

1

1

84

2

1

21

≥

≥

=+

x

x

xx

a) Escriu (totes) les condicions necessàries d’optimalitat de primer ordre (Karush-Kuhn-Tucker) per a aquest problema.

b) Utilitza les condicions necessàries que has escrit a l’apartat anterior per a dir si cadascun dels següents punts compleixen (o no) les condicions (KKT) d’òptim del problema (justifica les respostes):

(i) x1 = 1, x2 = 1 (ii) x1 = 1, x2 = 4 (iii) x1 = 7/3, x2 = 1 (iv) x1 = 2/5, x2 = 32/5

2.23 (E) Donat el següent problema d’optimització:

( )

2

0

0

02

5

,,

3

2

1

32

321

23

22

21321

≥

≥

≥

≤−

≥++

++=

x

x

x

xx

xxx

xxxxxxfMinimitza

a) Escriu (totes) les condicions necessàries d’optimalitat de primer ordre (Karush-Kuhn-Tucker) per a aquest problema.

b) Utilitza les condicions necessàries que has escrit a l’apartat anterior per a dir si cadascun dels següents punts compleixen (o no) les condicions (KKT) d’òptim del problema (justifica les respostes):



5

(i) x1 = 3/2, x2 = 3/2, x3 = 2

(ii) x1 = 4/3, x2 = 2/3, x3 = 3

(iii) x1 = 2, x2 = 1, x3 = 2

c) Escriu el corresponent programa de GAMS per al problema d’optimització amb restriccions. Soluciona el problema per i contrasta els resultats obtinguts a l’apartat (b).

2.24 (E) Hom ha de construir una carretera que uneixi dues ciutats separades per un riu. El riu flueix de Nord a Sud (és a dir, paral·lel a la direcció y a la figura adjunta) i, en el tram d’interès, la seva amplada es pot considerar constant amb un valor W. El pont ha de travessar el riu perpendicularment (és a dir, ha de ser paral·lel a la direcció x). Les posicions de les ciutats A [(xa, ya)] i B [(xb, yb)], així com la localització longitudinal del riu (xr; veure figura adjunta) són perfectament conegudes. Els trams de carretera entre cadascuna de les dues ciutats i el riu poden ser perfectament rectes (tal com indica la figura). a) Determina la localització (yp) òptima del pont per tal de minimitzar la llargària total de

carretera que cal construir (és a dir, determina una equació que expressi la localització òptima yp en funció dels paràmetres coneguts W, xr, xa, ya, xb i yb).

b) Dóna un resultat numèric del problema per als següents valors dels paràmetres (tots els valors són en quilòmetres): W = 0.55; (xa, ya) = (0, 0); xr = 2.3; (xb, yb) = (5.3, 4.8).

Riu

W

Pont

x

y

A

B

xr

(xb, yb)

(xa, ya)

yp



6

a

b

H

L

Escala

Paret 2.25- (E) Una caixa rectangular d’alçària a = 200. cm i amplada b = 100. cm està situada contra una paret vertical. Quina és la llargària mínima que ha de tenir una escala de fusta que es recolza en l’aresta de la caixa i en la paret (segons l’esquema indicat a la figura adjunta) i quins seran els corresponents valors d’H i L?

2.26- (E) Hom vol fabricar un determinat producte en un reactor industrial. El producte desitjat és el resultat d’una reacció la velocitat específica de la qual depèn de la temperatura segons la relació,

( ) ( ){ }Tkk o 0040.0exp300-0.0010T1.5T 2 −+=

on ko és una constant i T és la temperatura del reactor, en K. Tenint en compte que el reactor no pot operar per sota de 300 K ni per damunt de 700 K, determina la temperatura d’operació del reactor que maximitza la velocitat específica de reacció del producte desitjat. Escriu les condicions necessàries de mínim local, i utilitza aquestes condicions per a determinar la posició (T*) del màxim del problema, i el corresponent valors de la velocitat específica de reacció en aquest punt.

2.27 (E) La reacció del cos humà a una certa quantitat de medicament es pot quantificar, en determinats casos, segons l’equació,

−=

322 MC

MR

on C és una constant positiva i M és la quantitat de medicina absorbida per la sang, en mg/litre. El significat físic de R varia segons els casos. Si la reacció a la medicina és un augment de la pressió arterial, aleshores R vindrà donat en mm Hg; si és un augment de temperatura, R vindrà en ºC, etc. Determina el valor de la quantitat de medicina, M, que maximitza la reacció del cos humà.

2.28 (E) Un reactor de forma esfèrica, amb diàmetre D (en metres), bescanvia calor amb l’ambient. Si la caiguda de temperatura entre la superfície del reactor i l’ambient (lluny de la superfície) l’anomenem θ (en K), el coeficient de transferència de calor per convecció, h (W/m2/K) ve donat per:

2.127.0 55.00.2 −θ+= Dh

Consideracions de resistència mecànica del reactor porten a imposar la següent restricció en el disseny:

75 =θD

Si la transferència de calor per unitat de temps des del reactor cap a l’ambient ve donada per,

θπ= 2hDQ

determina els valors de les variables D i θ que minimitzen les pèrdues de calor (Q) des del reactor cap a l’ambient. Ajut: és possible combinar les equacions d’igualtat amb la funció objectiu per a reduir el problema a un d’una única variable sense restriccions.



7

2.29 (E) Un projectil es llença cap a l’aire amb una velocitat inicial, Vo, i un angle inicial, α, respecte l’horitzontal. En el context de la figura adjunta, l’origen de coordinades es fa coincidir amb el punt de llançament, L és la distància horitzontal a la que el projectil cau a terra, i H és l’alçària màxima assolida pel projectil durant la seva trajectòria. Si negligim la resistència de l’aire al moviment del projectil, i assumim que som en un dia sense vent, els corresponents balanços de força que actuen sobre el projectil en les direccions x i y es poden escriure, respectivament, com:

02

2

=dt

xd g

dt

yd−=

2

2

on g és l’acceleració de la gravetat i t és el temps, essent l’origen t = 0 a l’instant inicial de llançament. Integrant aquestes dues equacions diferencials ordinàries dues vegades, obtenim:

( ) tVx o cos α= ( )2

sen2t

gtVy o −α=

Combinant les dues anteriors equacions per a eliminar el temps, t, obtenim la següent equació que descriu la trajectòria del projectil:

( )( ) ( )α

−α

α= 22

2

cos2cos

sen

oV

gxxy

a) Determina l’alçària del punt més elevat de la trajectòria, H, i el temps tH que el projectil tarda en arribar a aquest punt, en funció dels paràmetres del problema (Vo, α, g). b) Determina el valor òptim de l’angle, α, que maximitza l’abast horitzontal del projectil, L.

Dada: potser trobis interessant la següent igualtat trigonomètrica:

( ) ( ) ( )xxx cossen22sen =

2.30 (E; b i c) Donat el següent problema de minimització,

1

9

:

21

22

21

221

≤+

≤+

+=

xx

xx

nsrestricciolessota

xxfMinimitzar

a) Demostra que és un problema de Programació Convexa.

b) Escriu les corresponents condicions de Karush-Kuhn-Tucker (condicions necessàries d’òptim de primer ordre).

c) Determina l’òptim del problema de minimització (dóna la localització del mínim i el corresponent valor de la funció objectiu) tot utilitzant les condicions de Karush-Kuhn-Tucker que has escrit a l’apartat anterior (Ajut: les equacions no-lineals a vegades juguen males passades. Considera dues variables contínues, α i β. L’equació αβα = té la solució òbvia

β = 1, però també la no tan òbvia amb α = 0 per a qualsevol valor de β).

x

y

H

L



8

3.1 Maximitza

21 62 xxf ++++====

sota les restriccions

00

22

1

21

21

21

≥≥≥≥≥≥≥≥

≤≤≤≤++++

≤≤≤≤++++−−−−

x;x

xx

xx

3.2 Minimitza

21 3xxf ++++==== sota les restriccions

0

signe de restricció sense

24

5

1234

2

1

21

21

21

≤≤≤≤

≥≥≥≥++++

−−−−≤≤≤≤++++

≤≤≤≤−−−−−−−−

x

x

xx

xx

xx

3.3 Minimitza

21 24 xxf −−−−==== sota les restriccions

12

843

26

521

421

321

====++++++++

====++++++++−−−−

====++++−−−−

xxx

xxx

xxx

on totes les variables xi només poden prendre valors positius.

3.4 Minimitza

21 23 xxf −−−−−−−−====


(((( ))))210

623

1

21

21

,i,x

xx

xx

i ====≥≥≥≥

≤≤≤≤−−−−

≤≤≤≤−−−−

3.5 Minimitza

21 10040 xxf −−−−−−−−==== sota les restriccions

(((( ))))210

90032

2000104

2500510

21

21

21

,i,x

xx

xx

xx

i ====≥≥≥≥

≤≤≤≤++++

≤≤≤≤++++

≤≤≤≤++++

3.6 Maximitza

21 8xxf −−−−==== sota les restriccions

signe elen restricció tenen no

3552

10879

623

21

21

21

21

x,x

xx

xx

xx

−−−−≥≥≥≥−−−−

≤≤≤≤++++

≥≥≥≥++++



9

3.7 Maximitza

321 2 xxxF ++++++++====


(((( ))))3210

64

652

22

321

321

321

,,i,x

xxx

xxx

xxx

i ====≥≥≥≥

≤≤≤≤++++++++

≥≥≥≥−−−−++++−−−−

≤≤≤≤−−−−++++

3.8 Una empresa de fertilitzants compra nitrats, fosfats, potassa, i una base inerta de guix, els preus dels quals (en Euros per tona) són, respectivament, 1500., 500., 1000. i 100. L’empresa produeix quatre diferents fertilitzants, diguem-ne productes A, B, C i D. Els costs de producció, preus de venda i composició dels quatre fertilitzants són els reflectits a la següent taula:

Composició màssica percentual Fertilitzant Cost prod.

(E/tona) Preu venda (E/tona)

Nitrats Fosfats Potassa Base inerta

A 100. 350. 5.0 10. 5.0 80. B 150. 550. 5.0 15. 10. 70. C 200. 450. 10. 20. 10. 60. D 250. 700. 15. 5.0 15. 65.

El subministrament setmanal de matèries primeres està limitat a 1000. tones de nitrats, 2000. tones de fosfats i 1500. tones de potassa. L’empresa està obligada contractualment a subministrar com a mínim 5000. tones/setmana de fertilitzant A i 4000. tones/setmana de fertilitzant D als seus clients. A part d’això, pot produir lliurement les quantitats que cregui més convenients de cadascun dels fertilitzants. Determineu la quantitat setmanal de cada fertilitzant que ha de produir l’empresa per a maximitzar els beneficis.

3.9 Hom vol mesclar dos aliatges de coure (bronze), A i B, per formar un nou aliatge, C. Les composicions dels aliatges A i B, i les especificacions del nou aliatge C són les següents:

Composició percentual en massa Aliatge Coure Zinc Plom Estany

A 80. 10. 6.0 4.0 B 60. 20. 18. 2.0 C ≥ 65. ≥ 12. ≥ 10. ≥ 3.0

Si el cost de l’aliatge B és el doble del de l’aliatge A, determina les proporcions en que cal mesclar A i B per a produir l’aliatge C amb un cost mínim.

3.10 Una empresa fabrica dos productes, A i B, cadascun dels quals requereix dues operacions en sèrie. Els beneficis per unitat venuda d’A i de B són, respectivament, 5.0 i 7.0 Euros. La fabricació d’una unitat d’A requereix 2.5 hores de tallar i 1.5 hores de polir. Cada unitat de B fabricada requereix 4.0 hores de tallar i 1.0 hora de polir. El nombre màxim d’hores setmanals disponibles per a aquestes dues operacions és de 4000. hores de tallar i 2000. hores de polir. Determina les quantitats setmanals que cal fabricar de cada producte per a maximitzar els guanys de l’empresa. Assumeix que hom podrà vendre tot el que es fabrica.



10

3.11 Una empresa alimentària ofereix dues mescles diferents de fruits secs per a aperitius. El producte “Mescla-A” conté un 20.% (en massa) d’ametlles, un 10.% de pistatxos, un 15.% de nous i un 55.% de cacauets. El producte “Mescla-B” conté un 10.% d’ametlles, un 20.% de pistatxos, un 25% de nous, i un 45% de cacauets. Un client vol utilitzar en el seu aperitiu una nova mescla que contingui com a mínim 4.0 lb d’ametlles, 5.0 lb de pistatxos, i 6.0 lb de nous. Si els costs dels productes “Mescla-A” i “Mescla-B” són de 2.5 Euros/lb i 3.0 Euros/lb, respectivament, determina les quantitats de “Mescla-A” i de “Mescla-B” que cal utilitzar per a preparar la nova mescla amb un cost mínim. 3.12 Una empresa vol fabricar un nou aliatge a base d’estany, zinc i plom. La composició màssica del nou aliatge ha d’incloure com a mínim un 35% d’estany i un 30.% de zinc, i com a màxim un 20.% de plom. El nou aliatge es fabricarà mesclant diferents aliatges dels quals disposa l’empresa. La següent taula mostra la composició de cadascun d’aquests aliatges i el seu cost:

Aliatge

Propietat 1 2 3 4 5

% Estany 60. 25 45 20. 50. % Zinc 10. 15 45 50. 40. % Plom 30. 60. 10. 30. 10.

Cost ($/Lb) 22 20. 25 24 27 L’objectiu és determinar les proporcions d’aquests cinc aliatges que cal mesclar per a produir el nou aliatge amb un cost mínim.

a) Formula un model de programació lineal per aquest problema.

b) Escriu el corresponent programa de GAMS i determina la solució del problema. 3.13 Un taller mecànic utilitza una màquina perforadora i cinc freses per a produir dos objectes diferents, que podem anomenar peça 1 i peça 2. La productivitat de cada màquina en fabricar cada una de les parts és la següent:

Temps de producció, min/peça

Peça Perforar Fresar

1 3.0 20. 2 5.0 15

Hom vol mantenir un balanç en la càrrega de treball de les màquines de manera que cap màquina en particular funciona més de 30. min/dia més que cap altra màquina (assumeix que la càrrega de la perforadora es reparteix equitativament entre les cinc freses). El problema que es planteja és distribuir el temps de treball diari de cada màquina per a obtenir el nombre màxim d’objectes fabricats en un dia, assumint que la jornada de treball és de 8.0 hores/dia. a) Formula un model matemàtic de programació lineal mixta per al problema proposat. b) Resol el problema amb l’ajut d’una gràfica. c) Escriu el corresponent programa de GAMS i determina la solució del problema.



11

3.14 (E) Una empresa fabrica dos productes diferents, P1 i P2. A la fabricació d’aquests productes hi intervenen 5 diferents tipus de màquines, M1, M2, M3, M4 i M5. A la següent taula hi trobaràs els temps de màquina necessaris per a produir P1 i P2: Producte Temps de màquina (en hores per unitat de producte fabricada)

M1 M2 M3 M4 M5

P1 0.60 0.40 0.10 0.50 0.20 P2 0.90 0.10 0.20 0.30 0.30

El nombre de màquines de cada tipus de les que disposa l’empresa és:

Tipus de màquina M1 M2 M3 M4 M5

Quantitat 10 3 4 6 5

Cadascuna de les màquines es pot utilitzar durant 8.0 hores al dia, 30. dies cada mes. No hi ha cap limitació d’emmagatzematge dels productes intermedis, de manera que en qualsevol moment qualsevol màquina pot estar fabricant qualsevol dels dos productes. Com que els costs de producció, els preus de venda i la demanda de P1 i de P2 són gairebé idèntics, la política de l’empresa es produir la màxima quantitat conjunta dels dos productes, P1 i P2.

a) Planifica la producció de l’empresa per a maximitzar la quantitat total de producte (P1+P2) produïda en un mes (digues quina és la quantitat màxima mensual de producte total que hom pot produir en les condicions establertes, i la utilització que es fa de les màquines disponibles).

b) L’empresa decideix comprar una màquina d’un dels cinc tipus coneguts. De quin tipus hauria de ser la màquina que compraries? Justifica la resposta.

3.15 Una refineria pot comprar quatre diferents tipus de petroli, els quals processa per a obtenir quatre productes: gasolina, gas-oil, fuel d’aviació i oli de motor. Existeixen límits màxims en la demanda de cada producte (la quantitat màxima que es pot vendre) i en la disponibilitat de cada tipus de petroli. La refineria té dues cadenes de producció diferents, C-1 i C-2. Només el petroli P-4 es pot processar a través de C-2. La cadena C-1 produeix gasolina, gas-oil i fuel, però no oli. De la cadena C-2 s’obtenen en canvi tots quatre productes. A la següent taula hi trobareu totes les dades rellevants:

C-1 C-1 C-1 C-1 C-2

P-1

P-2

P-3

P-4

P-4

Preu producte (Euros/bbl)

Màxima Demanda(milers bbl/set)

Gasolina 0.60 0.50 0.30 0.40 0.40 45 170 Gas-oil 0.20 0.20 0.30 0.30 0.10 30. 85 Fuel 0.10 0.20 0.30 0.20 0.20 15 85 Oli 0 0 0 0 0.20 60. 20.

Producció (bbl

producte/ bbl cru)

Altres (*) 0.10 0.10 0.10 0.10 0.10 - - Preu cru (Euros/bbl) 15 15 15 25 25

Cost operació (Euros/bbl) 5.0 8.5 7.5 3.0 2.5 Disponibilitat del cru (milers bbl/setmana)

100. 100. 100. 220. 220.

(*) Altres es refereix a les pèrdues en el procés.

a) Determina les quantitats que cal comprar de cada tipus de cru per a maximitzar els beneficis.

b) Repeteix en el cas que les xifres de màxima demanda corresponguin a requeriments mínims, és a dir, mínim de cada producte que cal subministrar als clients segons contracte.



12

3.16 Una companyia elèctrica opera dues diferents centrals tèrmiques, diguem-ne A i B, on s’utilitzen tres diferents tipus de carbó com a matèria primera, C1, C2 i C3. Les centrals A i B han de produir, com a mínim, 30. i 80. MWh, respectivament. A la següent taula hi trobareu, per cada planta, la quantitat de cada tipus de carbó que es necessita per a generar 1 MWh d’energia elèctrica, l’índex de contaminació per tona de carbó, i el cost per tona de cada tipus de carbó.

Tones de carbó per a produir 1 MWh

Índex de contaminació

Cost del carbó (euros/tona)

Carbó A B A B A B C1 2.5 1.5 1.0 1.5 20 18 C2 1.0 2.0 1.5 2.0 25 28 C3 3.0 2.5 2.0 2.5 18 12

Determina les quantitats de cada tipus de carbó que caldrà utilitzar en cada planta per a) minimitzar el nivell total de contaminació. b) minimitzar els costs global d’operació de les dues centrals. 3.17 Una empresa siderúrgica produeix acer utilitzant quatre processos diferents. A la següent taula hi trobaràs les dades més significatives:

Procés no.

Mineral necessari (tones/dia)

Carbó necessari (tones/dia)

Ma d’obra (persones-

dia)

Acer produït (tones/dia)

Sub-productes (tones/dia)

1 5.0 3.0 6.0 4.0 1.0 2 8.0 5.0 12 6.0 2.0 3 3.0 2.0 5.0 2.0 1.0 4 10. 7.0 12 6.0 4.0

Preu (euros) 50./tona 10./tona 150/persona-dia

350/tona 100./tona

Limitacions

disponibles només 600. tones al mes

disponibles només 250 tones al mes

cap limitació

Hom pot vendre tot

l’acer produït

Només es poden vendre 200. tones al

mes Assumint que qualsevol procés es pot utilitzar qualsevol nombre de dies al mes (30. dies), programa la producció de l’empresa per maximitzar els beneficis.

3.18 Les mesures de temperatura a l’interior d’una paret escalfada de gruix δ, obtingudes en un experiment al laboratori, són:

Distància des de la superfície calenta, x/ δ

0 0.20 0.40 0.60 0.80 1.0

Temperatura, Ti (ºC) 400 350 250 175 100 50 Hom creu (Llei de Fourier) que la distribució de temperatura amb x hauria de ser lineal. Hom vol ajustar els valors experimentals a una expressió lineal, T = a + b x/ δ. Utilitza un model de programació lineal per a determinar els valors d’a i de b que minimitzen.

(((( ))))∑∑∑∑ −−−−++++====i

ii Txbaf δ



13

3.19 (E) La següent taula mostra la informació nutricional de la carn de vedella i les patates: Grams ingerits en una ració típica (mitjana)

Ingredient Carn Patates Requeriment diari

Carbohidrats 5.0 15 ≥ 50. grams Proteïnes 20. 5.0 ≥ 40. grams Greixos 15 2.0 ≥ 60. grams Cost mitjà per ració (Euros)

4.0

2.0

Cal notar que la ‘ració típica’ es refereix una quantitat específica de grams, preestablerta per a poder fer les estadístiques. En un àpat hom pot servir qualsevol quantitat de grams, i per tant, qualsevol fracció de la ració típica. Has de determinar el nombre de ‘racions típiques’ de carn i de patates que compleixen els requeriments dietètics diaris amb un mínim cost (entenent, es clar, que es proposa una dieta només a base de carn i patates!). a) Formula un model matemàtic de programació lineal b) Resol el model de l’apartat anterior gràficament c) Escriu el corresponent model de GAMS i utilitza’l per a resoldre el problema. 3.20 Una planta química fabrica tres productes i utilitza tres matèries primeres amb límits de subministrament, tal com mostra la figura adjunta. Cadascun dels tres productes es fabrica en un procés independent (1, 2, 3), tal com s’indica a la figura. No és obligat consumir tot el disponible d’A, B i C. Les següents taules mostren les dades de procés:

Matèria primera

Màxim

disponible (lb/dia)

Cost

($/100 lb)

Procés / Producte

Reactius necessaris (lb/lb

producte)

Cost d’operació ($)

Preu de venda del producte

($) A 4000 1.50 1 / E 2/3 A, 1/3 B 1.00 / 100 lb A

(consumit a 1) 4.00 / 100

lb E B 3000 2.00 2/ F 2/3 A, 1/3 B 0.50 / 100 lb A

(consumit a 2) 3.30 / 100

lb F C 2500 2.50 3 / G 1/2 A, 1/6 B,

1/3 C 1.00 / 100 lb G (produït a 3)

3.80 / 100 lb G

Escriu un model de programació lineal i resol-lo per a determinar la distribució òptima de productes que maximitzin els guanys de l’empresa.

Monòmer A

3 2 1

Monòmer B

Inhibidor C G F E



14

3.21 (E) Una refineria pot comprar dos tipus diferents de petroli, dels quals s’obté gasolina, querosè i fuel en les proporcions que s’indiquen a la taula adjunta. La taula també inclou el límit de producció de cadascun dels productes (és físicament impossible produir-ne més a planta). Els guanys en processar el cru del tipus #1 són de 1.00 € / bbl, i pel de tipus #2 són de 0.70 € / bbl. L’objectiu és determinar les quantitats diàries que cal processar de cada tipus de cru per a maximitzar els guanys de la refineria.

% (en volum) de rendiment (bbl de producte per cada 100 bbl de cru alimentat)

Cru #1 Cru #2

Producció màxima (bbl/dia)

Gasolina 70. 31 6.0 103 Querosè 6.0 9.0 2.4 103 Fuel 24 60. 12 103

a) Escriu un model matemàtic de Programació Lineal per l’optimització de la producció de la

refineria. b) Escriu les equacions del Problema de Programació Lineal que sigui el dual del de l’apartat

anterior c) Escriu el programa de GAMS corresponent al model de l’apartat (a). d) Determina el punt òptim del problema (valors de les variables i de la funció objectiu) amb

l’ajut d’una representació gràfica (justifica breument el raonament utilitzat per a determinar on es troba el punt òptim). Compara la solució gràfica amb el resultat del programa de GAMS que has escrit a l’apartat anterior.

e) Resol el problema utilitzant l’algoritme símplex analíticament (és a dir, no utilitzant l’ordinador sinó simplement una calculadora de butxaca; construeix una taula amb el resum del procés iteratiu).

3.22 (E) Una empresa de fertilitzants mescla tres productes químics, que anomenarem A, B i C, per a produir la mescla Súper, la qual es ven a 1.00 Euros/lb. L’empresa també produeix la mescla més econòmica Normal, la qual es ven a 0.80 Euros/lb i només conté dos dels tres productes químics. La següent taula mostra la composició de cada tipus de mescla.

Productes químics

Mescles A B C

Súper 10. % 5.0 % 5.0 %

Normal - 15 % 5.0 %

Quantitat disponible 400. lb 300. lb 500. lb

Observa que hi ha una quantitat màxima disponible de cada producte químic. Cada mescla es completa fins al 100 % amb material inert que prové d’una mina a les rodalies de la fàbrica, i té un cost de 0.10 Euros/lb. Hom disposa d’una quantitat il·limitada de material inert. El cost per lliura dels productes químics A, B i C és de 0.30 €, 0.25 € i 0.21 €, respectivament. L’objectiu és determinar la quantitat òptima que caldria produir de cada mescla. a) Escriu el corresponent model de programació lineal (PL). b) Resol el problema de PL amb l’ajut d’una gràfica. c) Escriu el corresponent programa de GAMS. Executa el programa, i compara la solució

amb l’obtinguda a l’apartat anterior.



15

3.23 Problema de programació lineal amb coeficients variables. Una empresa fabrica tres diferents productes, A, B i C. Cada unitat de producte A requereix 1.0 hores de treball d’enginyeria, 10. hores de treball directe, i 3.0 lb de material. Per a produir una unitat de B, calen 2.0 hores d’enginyeria, 4.0 hores de treball directe, i 2.0 lb de material. Cada unitat de C requereix 1.0 hores d’enginyeria, 5.0 hores de treball directe, i 1.0 lliures de material. Degut a una mala planificació de la campanya anterior, l’empresa disposa d’un romanent de 100. hores d’enginyeria, 700. hores de ma d’obra, i 400. lb de material. L’empresa vol aprofitar aquest romanent de la millor forma possible, tot fabricant amb els recursos disponibles unes quantitats dels tres productes amb la màxima rendibilitat. Els tres productes tenen una gran demanda al mercat, de forma que les quantitats fabricades de cada producte es vendran tot d’una, i possiblement a un únic client. Aleshores, cal tenir en compte, però, que l’empresa ofereix una política de descomptes en el preu de venda en funció de la quantitat venuda. Tenint en compte aquests descomptes, la següent taula reflecteix els guanys nets de l’empresa per unitat fabricada (i venuda) de cada producte.

Producte A Producte B Producte C Unitats venudes

Guanys per unitat, $

Unitats venudes


Unitats venudes


0-40 10. 0-50 6.0 0-100 5.0 40-100 9.0 50-100 4.0 Més de 100 4.0 100-150 8.0 Més de 100 3.0

Més de 150 7.0

Això vol dir que, per exemple, si es venen 120 unitats d’A, amb les primeres 40 unitats hom guanyaria 10.$/unitat, amb les 60 següents 9.0$/unitat, i amb les altres 20, 8.0$/unitat. a) Formula un model de programació lineal per a la millor utilització dels recursos

disponibles de l’empresa. b) Escriu el corresponent programa de GAMS i resol-lo per a determinar les produccions

òptimes de cada producte.

Nota: assumeix que hom vendrà tota la producció, i que hom pot fabricar i vendre qualsevol fracció d’unitat.



16

3.24- (E) Un avió de càrrega té tres compartiments per emmagatzemar la càrrega: frontal, central, i cua. Aquests compartiments tenen límits de capacitat en quant a volum, i també en quant a pes. La següent taula resumeix aquests límits:

Compartiment Pes màxim (Tones) Capacitat (peus cúbics)

Frontal 12 7000 Central 18 9000 Cua 10. 5000

A més, per a poder mantenir el balanç de l’avió durant el vol, cal que la proporció entre el pes de la càrrega i el pes màxim sigui la mateixa en tots tres compartiments. L’empresa de transport té quatre ofertes de càrregues per al proper vol de l’avió:

Tipus de

càrrega

Quantitat màxima a

transportar (tones)

Volum específic (peus

cúbics per tona)

Guanys nets per

l’empresa ($ per tona

transportada)

1 20. 500 320 2 16 700 400 3 25 600 360 4 13 400 290

L’empresa pot acceptar qualsevol porció d’aquestes càrregues (és a dir, hom pot transportar qualsevol quantitat de tones entre zero i el màxim ofert). L’objectiu seria determinar quantes tones de cada tipus de càrrega ha de transportar l’avió, i com s’haurien de distribuir aquestes quantitats entre els tres compartiments, per tal de maximitzar els guanys de l’empresa. Escriu el corresponent model matemàtic de programació lineal, indicant quines són les variables i què signifiquen, i escrivint una funció objectiu i (totes) les restriccions que s’escaiguin (on hi apareguin, és clar, aquestes variables). 3.25 (E) Donat el següent model de programació lineal,

321 7410 xxxZMaximitzar +−=

sota les restriccions:

0

0

0

202

90

4025

2532

2523

3

2

1

321

321

321

321

321

≥

≥

≥

≤+−

≤++

≤++

≤+−

≤+−

x

x

x

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

escriu el corresponent model dual, tot indicant quines són les variables i explicant-ne el seu significat, i escrivint la corresponent funció objectiu i les restriccions que pertoquin.



17

3.26 (E) Resol el següent problema de programació lineal (pots fer-ho mitjançant l’ajut d’una gràfica):

:

232 54321

nsrestricciolessota

xxxxxfMinimitzar +−++=

5 ,4 ,3 ,2 ,1 0

23

02433

54321

54321

=≥

=++++

=−++−

ix

xxxxx

xxxxx

i

Ajut: Recorda la teoria de la dualitat en programació lineal (si no tens en compte aquesta dada, el problema seria difícil de resoldre sense l’ajut de l’ordinador). És a dir, primer pots escriure el model dual, i desprès resoldre aquest model dual (utilitzar una gràfica en facilita la resolució). Dóna el resultat del problema, és a dir, la localització del mínim (en termes de les x’s) i valor mínim de la funció, amb dues xifres significatives. 3.27- (E) L’empresa FustaForta S.A. fabrica palettes de fusta, els quals ven a diferents clients. Hom fabriquen dos diferents tipus de palette, l’Estàndard i el Superllarg. En tots dos models hi ha tres taulons llargs i gruixuts de fusta, anomenats separadors, el quals estan units per un cert nombre de taulons transversals. Al model Estàndard hi ha 5 taulons transversals a la part de dalt i 5 taulons transversals a la part de baix, i costa 0.25 hores de muntar-lo. Al model Superllarg hi ha 9 taulons transversals a dalt i 9 taulons transversals a baix, i costa 0.30 hores de muntatge. L’empresa disposa d’un subministrament il·limitat de fusta, però calen 0.0050 hores per a fabricar un separador Estàndard, 0.0070 hores per a fabricar un separador Superllarg, i 0.0020 hores per a fabricar un tauló transversal. Assumint que hom pot vendre tots els models Estàndard que hom fabriqui amb un guany de 5.0 € per unitat, i tots els models Superllarg que hom fabriqui amb un guany de 7.0 € per unitat, FustaForta vol saber què ha de produir amb les 200. hores de temps de muntatge i les 40. hores de temps fabricació disponibles. a) Escriu el model de programació lineal, indicant quines són les variables, la funció objectiu

i totes les restriccions que s’escaiguin. b) Amb l’ajut de la representació gràfica del problema, determina la política de producció

òptima de l’empresa FustaForta S.A.. c) Escriu el corresponent programa de GAMS. Compara els resultats de l’execució del

programa amb els que has obtingut a l’apartat anterior.



18

3.28 (E) Un estudi ven fotografies i gravats. Comprar una fotografia costa 20. € i calen 2.0 hores de feina per a emmarcar-la. Comprar un gravat costa 25 € i calen 5.0 hores per a emmarcar-lo. La tenda disposa d’un màxim de 400 € per a gastar, i d’un màxim de 60. hores de feina per a emmarcar. Si la tenda guanya (guanys nets, un cop descomptades totes les despeses i impostos) 30. € per cada fotografia venuda i 50. € per cada gravat venut, el teu objectiu és determinar el nombre de fotografies i de gravats que l’estudi hauria de comprar per a maximitzar els guanys (assumint que totes les fotografies i gravats emmarcats es vendran).

a) Escriu un model de programació lineal, indicant quines són les variables, la funció objectiu i totes les restriccions que s’escaiguin.

b) Escriu el corresponent model dual.

c) Determina, amb l’ajut d’una gràfica, l’òptim del problema de programació lineal (és a dir, digues quantes fotografies i quan gravats cal comprar, i quins seran els guanys de l’empresa). Mostra que la solució proposada compleix les condicions d’optimalitat.

3.29 (E) Una empresa produeix una quantitat x1 d’un producte P1 i una quantitat x2 d’un altre producte, P2; els beneficis respectius dels dos productes són de 4.0 €/unitat i 3.0 €/unitat. La fabricació de tots dos productes passa per dos processos diferents, A i B. El producte P1 requereix 1.0 hores del procés A i 3.0 hores del procés B per cada unitat fabricada. El producte P2 requereix 3.0 hores del procés A i 2.0 hores del procés B per unitat fabricada. El nombre total d’hores setmanals disponibles per cada procés és de 200 pel procés A i 300 pel procés B. L’objectiu és determinar les produccions setmanals de P1 i de P2 que maximitzen els guanys de l’empresa.

a) Escriu un model de programació lineal, indicant quines són les variables, la funció objectiu i totes les restriccions que s’escaiguin.

b) Escriu el corresponent model dual.

c) Determina, amb l’ajut d’una gràfica, l’òptim del problema de programació lineal

d) Mostra que la solució proposada compleix les condicions d’optimalitat (és a dir, que la solució proposada també és factible en el model dual).



19

4.1 Minimitza,

(((( ))))(((( ))))

3x0 1

6501

750650 1

2≤≤≤≤≤≤≤≤

−−−−

++++−−−−====

−−−− ;..

.x

tanxx

xf

4.2 (E) Minimitza,

(((( )))) 2.5x0.5 512

33

2 ≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−++++==== ;x

xxf

d) Escriu les condicions de mínim local, i utilitza aquestes condicions per a determinar la posició (x) dels mínims Escriu les condicions necessàries i suficients de mínim local, i utilitza aquestes condicions per a determinar la posició (x) dels mínims del problema i els corresponents valors de la funció.

e) (3 punts) Resol el problema numèricament tot utilitzant el mètode de Newton amb el punt inicial xo = 2.00. Has de determinar la situació del mínim amb una precisió de quatre xifres significatives. Ves omplint la següent taula amb la informació corresponent a cada iteració que portis a terme: Iteració (k) xk f (xk) f’ (xk) f’’ (xk) xk+1

4.3 En una planta química el cost de les canonades, les juntes, i les bombes és un factor important en els costs d’inversió i de manteniment. Considera el disseny d’una canonada de llargària L (ft) que ha de transportar un cabal Q (galons/min) d’un fluid. La selecció del diàmetre de canonada, D, està basada en la minimització del cost. Suposa que el cost anual d’un sistema format per una canonada d’acer al carbó i la corresponent bomba centrífuga es pot expressar com,

(((( )))) (((( )))) 102hp661hp325 2450450 92502151 ++++++++++++++++====.. ... LDLf

684

6829

5

38 109211044

.

.

..D

LQ

D

LQhp

−−−−−−−− ××××++++××××====

on D ve donat en polzades. Quin serà el diàmetre òptim d’una canonada amb llargària L = 1000 ft la qual ha de transportar un cabal de Q = 20. galons/min?. El diàmetre no pot ser inferior a 0.25 polzades ni superior a 0.50 ft. 4.4 Minimitza

(((( )))) (((( )))) (((( ))))21

221221 1100 xxxxxf −−−−++++−−−−====,

4.5 Minimitza

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]{{{{ }}}} (((( ))))[[[[ ]]]]{{{{ }}}}222212

222121 141292513 xxxxxxxxxxf −−−−++++++++++++−−−−++++−−−−−−−−++++++++−−−−====,

4.6 Minimitza

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))422

422

3

2234

21

22124321 10210190110 xxxxxxxxxxxxxxf −−−−++++−−−−++++++++−−−−++++−−−−++++−−−−++++−−−−==== .,,,

4.7 Localitza els mínims de la funció:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))2221

2

22121 711 −−−−++++++++−−−−++++==== xxxxxxf ,

Nota: Repeteix varies vegades el procediment començant amb diferents valors inicials d’x1, x2 distribuïts dins el rang [-5,5].



20

4.8 Una aplicació comuna de la programació no lineal és l’ajust de distribucions de probabilitat contínues a les dades mesurades. Imagina que en una determinat experiment tenim tres variables aleatòries independents, x1, x2, x3, i que les tres variables tenen la mateixa distribució de probabilitat,

xe)x(d αα −−−−==== Determina el valor del paràmetre α que maximitzi la probabilitat de que es produeixi, d’acord amb el model establert, l’observació (x1, x2, x3) = (4, 9, 8), és a dir,

(((( ))))(((( ))))(((( ))))ααα ααα 894 8 9 4 −−−−−−−−−−−−==== eee),,(P

4.9 (E, excepte d) Donat el següent problema d’optimització:

(((( ))))

0

0

2

8210

2

1

21

222

31

21121

≥≥≥≥

≥≥≥≥

≤≤≤≤++++

−−−−++++−−−−−−−−====

x

x

xx

xxxxxxxfMaximitza ,

a) Considera primer el problema sense restriccions (és a dir, només la funció f). Determina analíticament el punt (o punts) que compleix (o compleixen) les condicions necessàries per a ser òptim (o òptims) del problema sense restriccions.

b) Utilitza el mètode de Newton per a determinar un òptim del problema sense restriccions (considerant només la funció objectiu). Comença a iterar en el punt (0, 0) i construeix una taula on a cada iteració hi figurin els valors de la funció, de la matriu Hessiana, i dels vectors gradient, x, i ∆∆∆∆x.

c) Utilitza les condicions de Karush-Kuhn-Tucker per a determinar si els següents punts poden ser òptims locals (és a dir, si compleixen les condicions necessàries): (-2.61, 4.00), (-2.73,4.73), (0.732, 1.268), (0.00, 4.00).

d) Si algun dels punts de l’apartat anterior compleix les condicions necessàries de Karush-Kuhn-Tucker, comprova si també compleix les condicions suficients (de segon ordre) d’òptim local.

Nota: Cal donar els resultats amb precisió d’una centèsima per als valors d’x i d’una dècima per a la funció objectiu (això no vol dir que no puguis utilitzar, si convé, més precisió en els càlculs intermedis). 4.10 (E) Donada la funció de dues variables,

( ) ( ) ( )424

12121 5 32 5, −−−−= xxxxxxf

determina numèricament la localització d’un màxim de la funció, tot utilitzant el mètode de Newton amb el punt inicial (x1, x2) = (3, 7). Resumeix el procés iteratiu en forma de taula, on hi aparegui tota la informació rellevant. Cal localitzar el màxim amb una precisió de com a mínim dues xifres significatives per a les coordinades x1, x2.



21

4.11 Hom vol utilitzar un compressor de tres etapes per a comprimir un gas des de P = 1.0 atm fins a P = 64 atm. Assumint que la compressió és adiabàtica i reversible, i que al final de cada etapa de compressió el gas es refreda fins a la seva temperatura inicial, T1, el treball donat pel compressor per cada mol de gas ve donat per

Determina els valors de les pressions intermèdies, p2 i p3, que minimitzin el consum d’energia del compressor per un gas amb α = (k-1)/k = 0.5. 4.12 Imagina que vols dissenyar el servei de distribució de correu en un territori de gran extensió. El correu el reparteixen els carters, que poden anar caminant, o bé desplaçar-se amb un vehicle de l’empresa. Cada dia el carter ha d’anar a la central de correu més propera, recollir la correspondència de la seva zona, repartir-la, i tornar a la central. El problema és trobar el nombre òptim de centrals de correu repartides per tot el territori. Un nombre gran de centrals representa per una banda un elevat cost, però a la vegada també redueix altres despeses ja que es necessitaran menys carters, i aquests hauran d’utilitzar menys els vehicles. Un dels models existents considera les següents variables: a = àrea del territori m = nombre de clients al territori t = temps mitjà que necessita un carter per portar el correu a un client d = distància mitjana recorreguda pel carter en un dia c = cost anual de cada carter u = cost anual d’operació de cada central de correu La variable de disseny és x, el nombre de centrals de correu que hi haurà al territori. Si les centrals de correu es distribueixen uniformement pel territori, aleshores el cost d’operació anual del servei de correus vindrà donat per

(((( ))))

−−−−

++++++++====

xakd

amktmcuxxf

1

2

on k1 i k2 són constants de proporcionalitat. A tall d’exemple, determina el valor òptim d’x pel següent cas (valors amb unitats arbitràries): a = 400., m = 200000, d = 8.0, t = 0.050, c = 0.10, u = 0.75, k1 = 0.20, k2 = 0.10.

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

−−−−++++++++

−−−−====

−−−−−−−−−−−−

31

1

3

4

1

2

3

1

1

21

k

k

k

k

k

k

p

p

p

p

p

p

k

kRTW



22

Cambra de reacció

N2, H2, Ar

Condensador

NH3 líquid

Purga

4.13 En un procés de producció d’amoníac,

322 23 NHHN →→→→++++

una mescla de 90 mol/s d’N2, 270 mol/s d’H2 i 0.90 mol/s d’Ar es combina amb part del corrent de recicle que surt del condensador de NH3. La resta del reciclat es purga per tal d’evitar l’acumulació de l’Ar en el procés. L’Ar és una impuresa que afecta negativament la reacció. En el reactor, una fracció de la mescla que hi entra reacciona per donar NH3. La fracció de mescla que entra al reactor però que no reacciona per donar NH3 ve donada per,

(((( ))))1015505701 FP .exp. −−−−−−−−====

on F1 és el cabal molar (mol/s) d’Ar que entra al reactor. L’estequiometria de la reacció ens indica que la quantitat de NH3 produït vindrà donada per

(((( ))))[[[[ ]]]]12 015505702 FFD .exp. −−−−====

on F2 és el cabal molar (mol/s) de N2 que entra al reactor. Els balanços de matèria ens proporcionen les següents relacions addicionals:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))1221 41 190 190 FPFQBBPFBF ++++−−−−====−−−−====−−−−==== ;;.

on B és la fracció de recicle no purgat i Q és el cabal (mol/s) de mescla que surt per la purga. Determina el valor de Q, no superior a 40 mol/s, que maximitza D.

4.14 Una de les aplicacions clàssiques de l’optimització de processos químics és el disseny de xarxes de bescanviadors de calor. El cas més simple, amb només dos bescanviadors de calor, s’esquematitza a la figura adjunta. En el cas particular d’iguals cabals màssics i capacitats calorífiques similars (Cp=1.0 Btu/lb ºF), i amb els coeficients globals de transferència U1=U2=200Btu/hr ft2 ºF, i utilitzant els respectius balanços d’energia podem caracteritzar la funció de cost com:

(((( )))) (((( )))){{{{ }}}} (((( )))) (((( )))) 60

32

0.6

3

31

60

2

60

1 600

T30050A ;

600

100T50A ; 35

.

..

−−−−====

−−−−

−−−−====++++====

TAACost

on A1 i A2 són les respectives àrees d’intercanvi en cadascun dels bescanviadors. Determina el valor de T3 que minimitza el cost tenint en compte la restricció 100ºF ≤ T3 ≤ 300ºF.

B-1 B-2 F1=10

4 lb/hr

T=100ºF

F2=104 lb/hr F3=10

4 lb/hr T=600ºF T=900ºF

T=300ºF

T1 T2

T3



23

4.15 Una empresa fabrica un producte anomenat DAB en tres diferents plantes químiques, A1, A2 i A3. La planta A1, situada a Frag (Europa), va ser dissenyada per a produir 100 ×106 lb/any, però ha estat ampliada per a produir fins a 170 ×106 lb/any. El cost de producció és variable, és a dir, depèn de la quantitat produïda per unitat de temps, d’acord amb la següent fórmula:

( ) 170100 ,100 0050.05.4 ≤≤−−= xxCV on CV és el cost variable de la planta A1, en $/100 lb, i x representa el nivell de producció a Frag en 106 lb/any. La planta A2, situada a Swung-Lo (extrem Orient), és una planta relativament moderna amb un disseny millorat de reactor/reciclat. Aquesta planta pot operar entre 80 ×106 i 120 ×106 lb/any, amb un CV constant de 5.00 $ / 100 lb. La planta A3, situada a Hogshooter (Estats Units), té un rang d’operació des de 120 ×106 fins a 200 ×106 lb/any. El cost de producció també és variable i, degut als efectes de les condicions de reacció, a limitacions de les columnes de separació, i a la generació dediferents subproductes amb implicacions ambientals, augmenta en augmentar els nivells de producció:

( ) 200120 ,120 0050.09.3 ≤≤−+= xxCV

Nota que en aquesta segona equació, la variable x representa el nivell de producció, en 106 lb/any, a la planta de Hogshooter, mentre que CV representa el cost variable en aquesta mateixa planta (A3).

Els tres principals clients pel DAB són a Europa (C1), l’extrem Orient (C2), i als Estats Units (C3), respectivament. La següent taula mostra els costs de transport (en $ / 100 lb) i la demanda total dels tres clients:

A1 A2 A3 Demanda Total

(106 lb/any)

C1 0.20 0.70 0.60 140 C2 0.70 0.30 0.80 100 C3 0.60 0.80 0.20 170

a) Escriu un model de programació no lineal per a l’optimització de la producció de DAB a

les tres plantes. b) Escriu el corresponent programa de GAMS pel model de l’apartat anterior i resol el

problema. Quan donis el resultat, has d’indicar quin és el nivell òptim de producció en cada planta, i la quantitat anual de producte que hom transportarà des de cada planta fins a cada client.

Nota: observa que les dades venen en unes unitats que no són del tot consistents entre si.



24

( ) ( )( ) ( )( ) ( )ρ=→+

ρ=+→+

ρ=→+

VXXkGCP

VXXkEPBC

VXXkCBA

CP

BC

BA

lb/hR 5.1 5.0

lb/hR 2 2

lb/hR 2

33

22

11

4.16- Procés de Williams-Otto. Considera el següent diagrama de flux:

Dos corrents amb els reactius purs, A i B, es mesclen amb un corrent de reciclat i entren a un reactor continu de mescla perfecta, on hi tenen lloc les següents reaccions:

Reacció Am(h-1) Em(K)

1 5.9755 109 12000 2 2.5962 1012 15000 3 9.6283 1015 20000

A les anteriors expressions, les Xj representen fraccions màssiques. El compost C és un producte intermedi, P és el producte principal, E és un subproducte, i G és un residu oliós. Hom pot vendre C i E com a combustible, mentre que G ha de ser eliminat, amb un cert cost. En el decantador se separa totalment el residu G dels reactius i productes. Degut a la formació d’un azeotrop a la columna de destil·lació, una part de P (equivalent a un 10.% en massa del cabal del component E a l’aliment a la columna) s’ha d’extreure amb el corrent de fons. La major part d’aquest corrent de fons es recicla cap al reactor, i la resta es ven com a combustible. L’equació de disseny pel reactor és: ( )hlbFftV reac0002964.0)( 3 = .

El problema es pot simplificar no considerant els balanços d’energia pel procés (obviant, doncs, el bescanviador a la sortida del reactor). En aquestes condicions, i prenent com a variables de disseny la temperatura del reactor, T, el volum de líquid dins el reactor, V (assumeix una densitat constant igual a ρ = 50. lb/ft3), els cabals dels reactius, F1 i F2, i la relació de purga, α = Fpurga/Ffons, cal determinar els valors d’aquestes cinc variables que maximitzin el percentatge de retorn de la inversió (ROI):

[[[[ ]]]]6104160842222521685022086

121 .. −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−++++==== ρ

ρVFFFFFF

VROI resRpurgaprod

També s’han de tenir en compte els següents límits per a algunes variables:

Variable Límit inferior Límit superior

Fprod (lb/h) 0 4763

α 0 0.99 T(K) 580 680 V(ft3) 30 100

Aliment

Reactor V, T

Bescanviador de calor

Decantador

Colum

na de destil·lació

Fprod (P)

Fpurga

Ffons

Fres (G)

F1 (A)

F2 (B)

FR, Reciclat

Freac Fbes Fd

(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]KTEAhk mmm −−−−====−−−− exp1



25

4.17 (E) Utilitza algun dels mètodes numèrics que coneixes per a determinar (aproximadament) el valor i la localització del màxim de la funció,

24635 5166116534248 x.xxx.xx)x(f −−−−−−−−−−−−++++++++====

dins l’interval –1 ≤ x ≤ 4. Utilitza una tolerància de δ = 0.10. 4.18 Ajust empíric de dades d’equilibri líquid/vapor. Hom disposa de les següents dades pel sistema (1) Aigua / (2) 1,4 dioxà a 20 ºC: x1 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 p (mm Hg) 28.10 34.40 36.70 36.90 36.80 36.70 36.50 35.40 32.90 27.70 17.50 Considera un model on la condició d’equilibri entre fases ve donada per:

pypx i

sat

iii ====γ

on xi és la fracció molar en la fase líquida del component i, γi és el coeficient d’activitat, yi és la fracció molar en fase vapor, p és la pressió total, i sat

ip és la pressió de vapor del

component i. Aquestes pressions de vapor es poden calcular mitjançant l’equació d’Antoine:

(((( ))))(((( )))) 3

2110

aCT

aaHgmmp sat

++++−−−−====

ºlog

a1 a2 a3

Aigua 8.07131 1730.630 233.426 1, 4 dioxà 7.43155 1554.679 240.337

Si assumim el model de van Laar per als coeficients d’activitat, i pensem que la fase gas es comporta idealment, arribem a la següent equació que relaciona la pressió total amb les fraccions molars de la fase líquida:

satsat pxAxA

xAAxp

xAxA

xAAxp 2

2

221112

1122121

2

221112

221121

++++++++

++++==== expexp

Avalua els valors de les constants A12 i A21 que minimitzin la funció objectiu definida com: a) La suma dels quadrats de la diferència entre pressió mesurada i pressió calculada. b) La suma dels valors absoluts de la diferència entre pressió mesurada i pressió calculada. c) La màxima diferencia (en valor absolut) entre una pressió mesurada i una pressió

calculada. d) Com a l’apartat (a), però amb la restricció de que en cap punt experimental la diferència

(en valor absolut) entre la pressió mesurada i la calculada sigui superior a 0.15 mm Hg.



26

4.19 (E) L’energia potencial de les forces d’interacció entre dues molècules és una funció de la distància que les separa, r. Per distàncies de separació grans, aquesta energia, u(r), és positiva perquè les dues molècules s’atrauen per forces d’atracció entre masses o entre càrregues de signe oposat. Per distàncies curtes, les dues molècules es repel·leixen perquè una no pot envair l’espai físic de l’altra, i u(r) ha de ser per tant negativa. Un dels models més senzills per a avaluar aquesta energia d’interacció entre molècules és l’anomenat potencial 6-12 de Lennard-Jones:

(((( ))))

−−−−

∈∈∈∈====

612

4rr

ruσσ

on ∈∈∈∈ i σ són constants positives. Per l’aigua (H2O), trobem a la literatura els següents valors de les constants ∈∈∈∈ i σ: σ = 2.641 Å, ∈∈∈∈ / k = 809.1 K. Aquí, k és la constant de Boltzamann, k = 1.38 10-23 J / K. Determina, utilitzant el mètode de Newton, la distància r* on és localitza, per l’aigua, el valor mínim de l’energia potencial de Lennard-Jones. L’error en el resultat ha de ser inferior a 0.001 Å. Comença a iterar des del punt inicial ro = σ. En el full de resultats, inclou una taula que indiqui, per cada iteració duta a terme, els valors de la funció i les seves derivades primera i segona, de la posició r i de l’increment ∆r. 4.20 (E) Donada la funció f(x) = x4-x+1, i donat el punt inicial xo = 3.0, utilitza el mètode de Newton per a determinar un mínim d’f(x). Resumeix el procés iteratiu en forma de taula on aparegui, per a cada iteració, el valor d’f(x) i de les seves dues primeres derivades, el valor actual d’x, i el seu increment, ∆x. 4.22 A la figura adjunta s’esquematitza una xarxa de transport d’aigua entre quatre dipòsits, els quals anomenarem A, B, C, D.

Com pots veure, a la xarxa hi ha sis trams de canonada (T1, T2, T3, T4, T5, T6), dues

juncions (J1, J2), i una bomba (P). A tots els dipòsits, la superfície de l’aigua és lliure, és a dir, es troba a pressió atmosfèrica, i es troba a diferents altituds segons mostra la següent taula:

Dipòsit A B C D Altitud (m) 80. 90. 100. 90.

Les llargàries de cada tram de canonada són les que s’indiquen a continuació:

Tram 1 2 3 4 5 6

L (m) 300. 300. 600. 450. 300. 300.

A

B

C

D

P J1

J2

T1

T2

T3 T4

T5 T6



27

Assumim que el propòsit de la xarxa és que en el dipòsit “D” hi entri un cabal d’aigua de

Q6 = 0.019 m3/s. De fet, la xarxa encara no existeix, i està tot just en període de projecte. Les

autoritats del CC (Consell de la Contrada) han decidit que les canonades han de ser de polietilè. Aquesta és una opció respectuosa amb l’entorn que, a més, pot ser competitiva des del punt de vista econòmic donat que la superfície interior d’aquestes canonades és totalment llisa. En aquestes condicions, el factor de fricció de les canonades es pot calcular segons:

≥

≤=

− 2000Re si Re3160

2000Re si Re6425.0

.f

Conseqüentment, les pèrdues d’energia mecànica per fricció al llarg de cada tram de

canonada “k” s’avaluen com:

52

316

k

kkkk

D

fLQPerdues

π

ρ=

A les anteriors expressions, Q es refereix al cabal volumètric de líquid, D al diàmetre

intern de la canonada, L a la seva llargària, ρ és la densitat del líquid, i Re = (4Q/πDν) és el nombre de Reynolds (aquí, ν és la viscositat cinemàtica del líquid).

Tot i que, en teoria, tu ets responsable del disseny de la xarxa, et trobes condicionaments polítics inevitables. A més de tenir fixat l’esquema bàsic de la xarxa, i el tipus de canonada, resulta que cal utilitzar per força la bomba ecològica (??) que fabrica l’empresa “ECO-Pumps-SL”, amb seu a la Contrada. Malauradament, l’empresa només fabrica un únic model de bomba, la corba característica de la qual és (segons el fabricant):

( )

sm 0.030sm 0.0050

1083.15.5433

24

≤≤

×−= −

Q

QmhP

La bomba no pot funcionar fora dels límits de cabal establerts. El que les autoritats del

Consell de la Contrada no tenen gaire clar és de quin diàmetre cal comprar les canonades (possiblement, t’han contractat tot just per aclarir aquest punt). Novament, per imposició del CC cal comprar les canonades de polietilè a una empresa local (PEPECOTUBS-SL). El preu individual de cada tram de canonada (instal·lació inclosa) el pots avaluar segons la següent fórmula:

( ) ( ) { }cmDcm

DDmLEurosCost

905

1280314.00237.0 2

≤≤

++×=

El cost total dependrà, bàsicament, de dos factors: l’electricitat consumida per la bomba i

el preu de compra de les canonades. Nota que el fabricant no pot subministrar canonades de diàmetres fora del rang especificat a l’anterior fórmula. Imagina’t que arribes a la conclusió que la funció objectiu que cal minimitzar és:

[ ] ∑=

+×−×=6

1

31

91

6 1072.11005.2k

kCostQQ Cost total

En aquesta expressió, el cost total ve en Euros, Q1 és el cabal impulsat per la bomba, en m3/s, i el segon terme és la suma dels costos individuals de cada tram de canonada. Determina el diàmetre òptim de cada tram de canonada i digues també el cabal que hi circula (i el sentit



28

de la circulació), i el Cost total de la xarxa (és a dir, el resultat de la funció objectiu en l’òptim). Hipòtesis assumides: • La xarxa opera en estat estacionari. • Propietats físiques constants de l’aigua, amb ρ = 995 kg/m3 i ν = 8.90 10-7 m2/s. • Podem negligir les pèrdues menors d’energia mecànica per fricció (degudes a vàlvules, colzes, etc.). • El preu de la bomba és negligible comparat amb els factors principals de cost. • L’eficiència de la bomba és constant. Nota: el tractament matemàtic habitual per a les xarxes de transport de fluids inclou els següents elements, • S’exigeix la conservació de la matèria en cada punt de junció (i en el nostre exemple, també a la bomba, on evidentment tindrem Q1 = Q2). • S’exigeix la conservació de l’energia mecànica entre cada parell de dipòsits (és a dir, per exemple, entre els punts A-D, B-D i C-D). • Cal tenir en compte que, en general, els cabals poden circular en tots dos sentits. Pot ser convenient treballar amb cabals, que seran sempre positius, i velocitats, que poden ser positives o negatives. En el context del nostre esquema, assumeix que les velocitats són positives si l’aigua es transporta d’esquerra a dreta, i negatives en sentit contrari. 4.23 (E) Minimitza

( ) ( ) ( )xsinxxf 22−=

dins l’interval 1 ≤ x ≤ 2.5 utilitzant algun dels mètodes numèrics coneguts. Dóna la localització del mínim amb precisió d’una dècima, i el corresponent valor de la funció amb dues xifres significatives. Digues quin mètode has utilitzat per a trobar la solució i presenta un resum dels càlculs intermedis en forma de taula.

4.24 (E) Hom vol fabricar un determinat producte en un reactor industrial. El producte desitjat és el resultat d’una reacció la velocitat específica de la qual depèn de la temperatura segons la relació,

( ) ( ){ }Tkk o 0040.0exp300-0.0010T1.5T 2 −+=

on ko és una constant i T és la temperatura del reactor, en K. Tenint en compte que el reactor no pot operar per sota de 300 K ni per damunt de 700 K, determina la temperatura d’operació del reactor que maximitza la velocitat específica de reacció del producte desitjat. Resol el problema numèricament tot utilitzant el mètode de Newton amb el punt inicial To = 500 per a un cas amb ko = 5.38 10

-3 mol m-3 s-1. Has de determinar la situació del màxim amb una precisió de tres xifres significatives. Ves omplint una taula amb la informació corresponent a cada iteració que portis a terme:

Iteració (j) T j k(T j) k’(T j) k’’(T j) T j+1



29

4.25 Tres tancs d'aigua (etiquetats amb les lletres A, B i C, respectivament) estan connectats com s'indica a la figura adjunta. La figura també indica els valors, per a cada canonada, de diàmetre intern (D), longitud (L) i factor de fricció (f), així com l’altitud (h) a la que es troba l’aigua en cadascun dels tres tancs. El problema original demanava determinar el cabal d'aigua en cadascuna de les canonades. Aquí, però modificarem l’enunciat per a convertir el problema original en un petit problema d’optimització (no lineal). Imagina’t que t’han encarregat la tasca de dissenyar el sistema de transport d’aigua. Assumeix els mateixos valors de les altituds, h, les longituds de canonada, L, i els factors de fricció, f, indicats a l’esquema adjunt. Has de dimensionar, si més no, el diàmetre intern de cadascuna de les canonades. Si el cost de les canonades és (bàsicament) proporcional al seu volum interior, determina els valors dels tres diàmetres interns que minimitzen el cost total de les canonades, tot garantint que el subministrament d’aigua des del dipòsit B serà, com a mínim, QB = 0.020 m

3/s. El diàmetre intern de canonada no pot ser inferior a 2.5 cm ni superior a 25 cm. Nota: la pèrdua de càrrega deguda a la fricció en cada tram de canonada es pot avaluar segons,

g

V

D

LfhL 2

2

=

on V és la velocitat mitjana del fluid a l’interior de la canonada i g és l’acceleració de la gravetat.

h = 20 m

h = 60 m

h = 0

D = 0.08 mL = 200 m f = 0.020

D = 0.10 mL = 200 m f = 0.015

D = 0.08 mL = 400 m f = 0.020

A

B

C



30

5.1 Maximitza

21 1121 xxf ++++==== sota la restricció

1347 321 ====++++++++ xxx

tenint a més en compte que x1, x2, x3 són variables senceres positives.

5.2 Maximitza

4321 4659 xxxxf ++++++++++++====


4321 binària, variableuna és

0

0

1

102536

42

31

43

4321

,,,jx

xx

xx

xx

xxxx

j ====

≤≤≤≤++++−−−−

≤≤≤≤++++−−−−

≤≤≤≤++++

≤≤≤≤++++++++++++

5.3 Resol el següent problema de programació lineal mixta:

sencera variableuna és

100 ; 80

4535 nsrestriccio les

910

2

21

21

21

x

xx

;xxsota

xxfMinimitzar

≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤≤

≥≥≥≥++++

++++====

5.4 Maximitza

4321 2445 xxxxf ++++++++++++====


321 sencera; variableuna és

43210

6

15235

1023

4321

4321

4321

,,jx

,,,j;x

xxxx

xxxx

xxxx

j

j

====

====≥≥≥≥

≤≤≤≤++++++++++++

≤≤≤≤++++++++++++

≤≤≤≤++++++++++++

5.5 Maximitza

54321 2243 xxxxxf ++++++++++++++++====


321 binària; variableuna és

543210

132

223

32

54321

54321

54321

,,jx

,,,,j;x

xxxxx

xxxxx

xxxxx

j

j

====

====≥≥≥≥

≤≤≤≤++++++++−−−−++++

≤≤≤≤−−−−−−−−++++++++−−−−

≤≤≤≤++++++++++++−−−−



31

5.6 Minimitza

54321 325 xxxxxf ++++++++++++++++====


321 sencera; variableuna és

543210

46

75

225

4321

521

5432

,,jx

,,,,j;x

xxxx

xxx

xxxx

j

j

====

====≥≥≥≥

≥≥≥≥++++++++++++

≥≥≥≥++++−−−−

−−−−≥≥≥≥++++++++−−−−

5.7 La divisió d’I+D d’una important empresa internacional ha estat desenvolupant els processos de fabricació de quatre nous productes. La direcció de l’empresa ha de decidir ara quins d’aquests quatre productes s’han de començar a fabricar, i quina ha de ser la producció de cadascun d’ells (si es que es produeixen). Com a enginyer de l’empresa, dins el departament d’investigació operativa, et toca formular i resoldre un model matemàtic per a determinar la producció òptima de cada nou producte. Per a començar a fabricar qualsevol dels nous productes, cal una despesa d’inversió considerable, tal com s’especifica a la següent taula, on també s’hi mostra el benefici net marginal que s’espera obtenir per unitat de nou producte venuda. Producte

1 2 3 4 Cost inicial (E) 50000 40000 70000 60000 Guanys (E/unitat) 70. 60. 90. 80. Les variables contínues x1, x2, x3, x4, denoten els nivells de producció (unitats produïdes en un cert període de temps) de cadascun dels nous productes. Les restriccions imposades per la direcció (política d’empresa) poden expressar-se conseqüentment com:

(i) No és possible produir més de dos dels nous productes. (ii) Per a la producció dels productes 3 i 4 és necessari produir al mateix temps el

producte 1 o bé el producte 2. (iii) Cal imposar una de les següents restriccions a la producció total (qualsevol de les

dues, però de forma exclusiva, és a dir, una o l’altra, no les dues a la vegada):

60005364

60004635

4321

4321

≤≤≤≤++++++++++++

≤≤≤≤++++++++++++

xxxx

xxxx

a) Introdueix les variables auxiliars que s’escaiguin per a formular un model matemàtic de programació lineal mixta.

b) Resol el model matemàtic per a determinar els nivells de producció òptims dels nous productes tot respectant la política de l’empresa.

5.8 Una empresa fabrica dos productes. Cada unitat del primer producte requereix 3.0 hores a la màquina M-1 i 2.0 hores a la màquina M-2. Cada unitat del segon producte requereix 2.0 hores a M-1 i 3.0 hores a M-2. La màquina M-1 només està disponible 8.0 hores al dia, mentre que M-2 es pot utilitzar només 7.0 hores al dia. Els guanys per unitat venguda són de 16 Euros pel primer producte i 10. Euros pel segon. La quantitat de qualsevol dels dos productes produïda i venuda en un dia ha de ser forçosament un múltiple de 0.25. Determina les quantitats diàries de cada producte que cal produir per a maximitzar els guanys.



32

5.9 (E, a)L’empresa d’embotits PATAPUM està considerant d’instal·lar fins a un màxim de 3 possibles nous centres de distribució per a subministrar els productes de l’empresa a 4 ciutats de la zona. La següent taula mostra els costs fixos (en milions d’Euros) d’obrir cada centre de distribució, el nombre (en milers) de càrregues de camió previstes com a demanda de cadascuna de les ciutats durant els propers 5 anys, i els costs de transport (en milions d’Euros) per cada miler de càrregues de camió transportades des de cada centre fins a cada ciutat:

Ciutat

Centre Cost Fix 1 2 3 4

1 200 18 15 27 9.0 2 400 12 9.0 15 18 3 225 15 24 6.0 12

Demanda 11 18 15 25 PATAPUM busca el sistema de distribució amb un cost mínim, assumint que qualsevol centre de distribució pot assumir el total de la demanda, o bé només una part d’aquesta. Cal determinar, doncs, quins centres de distribució s’han d’establir, i el subministrament des de cadascun d’aquests centres de distribució cap a cadascuna de les quatre ciutats durant els propers cinc anys. a) Formula un model matemàtic de programació lineal mixta. b) Escriu el corresponent programa de GAMS i determina la solució del problema. 5.10 Una companyia aèria està considerant la renovació de la flota d’avions de passatgers. Bàsicament, els diferents fabricants poden subministrar avions de tres tipus diferents: per viatges de curta distància (C), per viatges de mitja distància (M), i per viatges de llarga distància (L). El preu de compra de cada avió és de 33.5 M-Euros (milions d’Euros) pel tipus L, 25.0 M-Euros pel tipus M, i 17.5 M-Euros pel tipus C. La direcció de la companyia ha autoritzat una inversió màxima de 750. M-Euros per a les compres d’avions. Com que la demanda de vols de totes les distàncies ha crescut espectacularment en els darrers anys, hom creu que qualsevol avió que es compri de qualsevol tipus volarà pràcticament sempre a plena capacitat de passatge. S’estima que els guanys anuals per cada tipus d’avió, un cop coberta la inversió, són de 2.10 M-Euros pel tipus L, 1.50 M-Euros pel tipus M, i 1.15 M-Euros pel tipus C. La companyia disposa de suficients tripulacions degudament entrenades per a un màxim de 30 nous avions. Si només es compressin avions C, seria possible portar a terme el manteniment de 40 unitats. En termes d’utilització dels serveis de manteniment, cada avió M és equivalent a 1.33 avions C, i cada avió L és equivalent a 1.66 avions C. Quants avions de cada tipus cal comprar per a maximitzar els guanys de la companyia? 5.11 El consell directiu de la Companyia General Patatera està considerant set grans oportunitats d’inversió. A la següent taula s’hi troba els guanys nets esperats (en milions d’Euros) a llarg termini per a cada projecte i la despesa d’inversió necessària. Inversió no. ==> 1 2 3 4 5 6 7 Guanys estimats 17 10 15 19 7 13 9 Capital necessari 43 28 34 48 17 32 23 El capital total disponible és de 100. M-Euros. Les inversions 1 i 2 són incompatibles entre si, i el mateix passa amb la 3 i la 4. A més, no es pot començar la 3 ni la 4 si no es comença al mateix temps la 1 o bé la 2. Selecciona la combinació d’inversions de capital que maximitzi els guanys nets de l’empresa a llarg termini.



33

5.12 La companyia Vidres Finport produeix vidres d’alta qualitat per finestres i portes. Té tres plantes. La planta #1 produeix els marcs i els complements d’alumini, la planta #2 produeix marcs de fusta, i la planta #3 produeix el vidre i munta el producte final. En resposta a la davallada dels beneficis de la companyia, la direcció ha decidit reorganitzar les línies de producció. S’eliminaran dos productes que ja no donen beneficis, i en el seu lloc es fabricaran un o dos productes nous amb un gran potencial de mercat. El producte P1 és una porta de vidre de 2.5 m amb marc d’alumini. El producte P2 és una finestra doble d’1.25m x 2.0 m amb marc de fusta. El producte P1 hauria de passar per les plantes #1 i #3, però no per la #2. El producte P2 només necessita les plantes #2 i #3. La divisió comercial ha determinat que es podria vendre sense problemes el total de la producció dels nous productes. L’equip d’investigació operativa ha d’aclarir, però, si la mescla de producció dels dos productes, que competeixen per la utilització de la planta #3, és o no profitosa. Cada producte es fabrica en sèries (“batch”) de 20 unitats, de manera que la velocitat de producció cal definir-la en nombre de sèries per setmana. A la següent taula s’hi resumeixen les dades rellevants pel problema, Temps de producció per “batch”, hores

Planta Producte 1 Producte 2 Temps de producció disponible, hores/setmana

#1 1.0 0 4.0 #2 0 2.0 12 #3 3.0 2.0 18

Guanys per “batch”, Euros 3000 5000 a) Determina els valors de la capacitat de producció dels nous productes que maximitzin els

guanys de l’empresa. b) La direcció de l’empresa decideix que només hom fabricarà un dels nous productes (el

que produeixi més guanys). Introdueix les variables de decisió pertinents i reformula un model matemàtic de programació lineal mixta. Resol el problema utilitzant un mètode escaient.

5-13 Síntesi de camins de reacció. Assumeix que vols produir H2CO3 i que en el teu sistema hi poden tenir lloc les reaccions,

22

3222

COOC

COHCOOH

→→→→++++

→→→→++++

i que disposes, com a matèries primeres, de C, O2 i H2O. Demostra matemàticament si és possible o no formar H2CO3. Defineix variables binàries que representin cadascuna de les espècies químiques presents i tradueix les reaccions en equacions lineals de desigualtat. Un cop escrit el model de programació lineal mixta (MILP), escriu el corresponent programa de GAMS i executa’l per a obtenir la resposta del problema (la qual és força evident a simple vista donada la simplicitat del problema).



34

5.14 En una Escola d’Enginyeria d’una Universitat molt llunyana, els professors subministren a l’empresa de fotocòpies local, Còpia-Fàcil, abans de començar cada quadrimestre, els originals del material del curs, una estimació del nombre d’alumnes matriculats que hi haurà a l’assignatura, i la data en la qual les fotocòpies hauran d’estar disponibles pels alumnes que les demanin. Arribat aquest moment crític del quadrimestre, el personal que treballa a l’empresa Còpia-Fàcil ha d’apressar-se a copiar i enquadernar el nombre de còpies requerides per cada professor abans que les respectives classes comencin. Per fer aquesta feina, Còpia-Fàcil disposa de diferents fotocopiadores, però, malauradament, només tenen una única màquina d’enquadernació, la qual s’utilitzarà, durant el període crític al començament del quadrimestre, les 24 hores del dia. La següent taula ens mostra, pels diferents treballs que cal enquadernar, el temps necessaris, el temps al qual el material ha estat (o estarà) disponible per enquadernació (un cop el professor l’ha subministrat a Còpia-Fàcil i el corresponent nombre de fotocòpies ha estat completat), i el temps al qual Còpia Fàcil té acordat lliurar les còpies degudament enquadernades, Assignatura, j 1 2 3 4 5 6 Temps de procés, pj 12 8.0 3.0 10. 4.0 18 Temps de rebuda, rj -20. -15. -12. -10. -3.0 2.0 Temps de lliurament, dj 10. 2.0 72 -8.0 -6.0 60.

pj = temps estimat de procés (hores) per enquadernar tot el material de l’assignatura j. rj = temps (hores) en el que el material j ha passat (o passarà) a estar disponible per

enquadernació (relatiu a l’instant actual, que és temps = 0). dj = temps (hores) al qual caldria lliurar tot el material de l’assignatura j (relatiu a

l’instant actual, que és temps = 0). Has de dissenyar una seqüència òptima per completar tots els treballs d’enquadernació pendents, tenint en compte, en cada cas, un dels següents criteris: a) Minimitza el temps total necessari per a completar tots els treballs d’enquadernació (és a

dir, al cap de quantes hores, a partir de l’instant actual, l’aparell d’enquadernació pot quedar disponible per admetre nous treballs).

b) Minimitza el temps màxim necessari de compleció de qualsevol dels treballs d’enquadernació (intenta evitar que cap professor no se senti discriminat).

c) Minimitza el temps total de residència dels treballs a la secció d’enquadernació de Còpia Fàcil (similar a l’apartat a, però s’inclouen els temps rj que els treballs ja resideixen al servei d’enquadernació).

d) Minimitza el temps màxim de residència de qualsevol treball a la secció d’enquadernació de Còpia-Fàcil (similar a l’apartat b, però s’inclouen els temps rj de residència dels treballs al servei d’enquadernació).

e) Minimitza el retard mitjà relatiu de lliurament de tots els treballs d’enquadernació (en el retard relatiu també s’inclouen les contribucions de signe contrari degudes a que un dels treballs s’ha pogut completar abans del temps de lliurament).

f) Minimitza el retard màxim en el lliurament de qualsevol dels treballs (intenta evitar la indignació del client més maltractat envers l’empresa Còpia-Fàcil).

g) Minimitza el retard mitjà absolut de lliurament de tots els treballs d’enquadernació (la diferència amb l’apartat anterior és que aquí s’utilitza el concepte de retard absolut o real, de manera que un treball completat abans del temps de lliurament té una contribució zero al retard total, i no pas una contribució negativa).



35

5.15 (E) Una empresa de construcció ha de transportar grava fins a tres diferents obres. La grava es pot comprar i carregar en dos llocs diferents, un al Nord i l’altre al Sud. Al Nord hi ha disponibles un màxim de 18 tones de grava, i al Sud 14 tones. L’empresa necessita 10., 5.0 i 10. tones de grava per les obres 1, 2 i 3, respectivament. La següent taula mostra els preus de la grava i els costs de transport per tona: Preu del transport per tona fins a la construcció: Origen 1 2 3 Preu per tona (Euros)

Nord 3.0 6.0 5.0 10. Sud 6.0 3.0 4.0 12.

La grava l’han de transportar camions, i cada camió només farà un viatge des d’un origen fins a un destí (obra). A més del cost per tona transportada, llogar cada camió (incloent el conductor) té un cost fix addicional de 5.0 Euros. Cada camió pot transportar un màxim de 5.0 tones. El camió pot no anar ple, de manera que a més del nombre de camions llogats també cal considerar la càrrega que portarà cada camió. L’empresa vol saber quanta grava cal transportar des de cada origen fins a cada obra, quants camions cal llogar per fer aquests transports, i com ha d’anar de carregat cada camió, per tal de minimitzar el cost total.

Formula un model matemàtic de programació lineal mixta (defineix totes les variables que intervenen en el model, és a dir, el que representa cadascuna, i el tipus de cada variable, és a dir, contínua, sencera o binària, i escriu la funció objectiu i totes les restriccions necessàries).

5.16 Elecció entre processos químics alternatius. Una companyia està considerant de produir un compost químic C el qual es pot fabricar mitjançant el procés químic II o bé mitjançant el procés químic III. Tots dos processos utilitzen com a matèria primera el compost B. Hom pot comprar B a una altra companyia, o bé fabricar-lo mitjançant el procés químic I, el qual utilitza A com a matèria primera. Donades les especificacions de sota, dibuixa la corresponent superestructura (arbre) d’alternatives, formula un model de programació lineal mixta (MILP) i resol-lo per a decidir: a) Quin procés químic s’ha de construir? (II i III són incompatibles) b) Com s’ha d’obtenir el compost B? c) Quina quantitat s’ha de produir de C? L’objectiu és maximitzar els guanys. Considera els

dos supòsits següents: i) Hi ha una demanda màxima de C de 10. tones/h, amb un preu de venda de 1800

€/tona. ii) Hi ha una demanda màxima de C de 15 tones/h. El preu de venda és de 1800 €/tona

per les primeres 10 tones/h, i de només 1500 €/tona per l’excés. Cost fix i d’operació Fix (€/h) Variable (€/tona matèria

primera) Procés I 1000 250 Procés II 1500 400 Procés III 2000 550

Els preus de compra d’A i B són de 500 €/tona i 950 €/tona, respectivament. El subministrament d’A està limitat a un màxim de 16 tones/h. Les conversions globals en cada procés són les següents:

Procés I Procés II Procés III 90. % d’A a B 82 % de B a C 95 % de B a C



36

5.17 Dimensionat dels equips en una planta química en discontinu. En una planta que opera en discontinu el material passa per tres diferents etapes: mesclat, reacció i separació centrífuga. Hom vol fabricar en aquesta planta dos productes, A i B, amb una política de campanya d’un sol producte. Això vol dir que no hom començarà a fabricar el segon producte fins que no s’hagi completat la producció establerta del primer producte. La següent taula mostra la informació de temps de procés, factors de grandària per a les unitats de procés, demandes i costs.

Demanda d’A: 2.0 105 kg Demanda de B: 1.5 105 kg Horitzó de temps: 6.0 103 hores

Temps de procés (hores) Factors de grandària (L/kg)

Mesclador Reactor Centrífuga Mesclador Reactor Centrífuga A 8.0 20.0 4.0 2.0 3.0 4.0 B 10. 12 3.0 4.0 6.0 3.0

Cost (Euros; V en L) 250 V0.6 500 V0.6 340 V0.6 Grandària mínima o màxima (L) 250 (mín) 2500 (màx)

a) Determina la grandària (volum, en litres) de les unitats i el nombre d’unitats que han d’operar en paral·lel per a minimitzar els costs d’inversió.

b) Torna a resoldre el problema considerant un increment del 20.% en les demandes d’A i B.

c) Per les demandes de l’apartat (b), considera un increment en el temps disponible de 6000 a 7500 hores.

5.18 (E) Imagina’t que treballes a una central elèctrica. La central té tres generadors, amb les capacitats, costs d’operació, i costs d’engegada que figuren a la següent taula.

Generador no.

Cost d’engegada

(€)

Cost per megawatt

generat (€/MW)

Capacitat màxima del

generador en tots dos

períodes (MW)

1 2800 5.0 1900

2 2000 3.0 1700

3 1900 8.0 2900

Un dia es divideix en dos períodes, i hom pot engegar qualsevol generador a l’inici de cada període. Un generador que s’hagi posat en marxa al període 1 pot seguir essent utilitzat (o no) durant el període 2 sense cap cost d’engegada addicional. Tots els generadors s’aturen al final del dia. La demanda de potència és de 2500 MW al període 1 i 3500 MW al període 2. Tenint en compte que l’objectiu és minimitzar els costs diaris de la central elèctrica (tot satisfent, és clar, les demandes):

a) Formula un model de programació lineal mixta per al problema de determinar quins generadors han de funcionar en cada període, quan s’han de posar en marxa aquests generadors, i les respectives potències d’operació de cada generador. Assumeix que cada generador pot funcionar a qualsevol nivell de potència per sota la capacitat màxima.

b) Escriu el corresponent programa de GAMS i resol-lo per a determinar el règim de funcionament òptim de la central elèctric.



37

1 2

3

4

5

6

40 65 43

48 72

36

5.19 (E) Considera el següent model matemàtic d’optmització:

( ) ( ):

2211

nsrestricciolessota

xfxfZMinimitzar +=

a) S’ha d’acomplir que x1 ≥ 3 o bé que x2 ≥ 3 (una de les dues).

b) Com a mínim s’ha de satisfer una de les següents restriccions de desigualtat:

72

5

72

21

21

21

≥+

≥+

≥+

xx

xx

xx

c) | x1 – x2 | = 0, o 3, o 6

d) x1 ≥ 0 i x2 ≥ 0

essent:

( )

( )

=

>+=

=

>+=

0 0

0 65

0 0

0 57

2

2222

1

1111

xsi

xsixxf

xsi

xsixxf

Formula aquest problema segons un model de programació lineal mixta (defineix les variables de decisió, variables auxiliars i restriccions que s’escaiguin).

5.20 (E) L’esquema adjunt representa un sector del mapa d’una ciutat format per sis interseccions (cruïlles) i els diferents carrers que uneixen aquestes interseccions. El trànsit en aquest sector de la ciutat ha estat força conflictiu en els darrers anys. L’Ajuntament vol resoldre el problema tot instal·lant uns avançats sistemes de seguiment automàtic controlats per ordinador. A l’esquema hi figura el cost mensual (en milers d’Euros) dels sistemes de seguiment per a cadascuna de les interseccions. L’Ajuntament vol tenir controlat el trànsit en tots els carrers del sector. El sistema de seguiment instal·lat en una determinada cruïlla pot controlar el trànsit de tots els carrers que hi convergeixen.

a) Escriu un model matemàtic de programació lineal mixta per al problema de minimitzar el cost mensual dels sistema de seguiment del trànsit en el sector. Indica quines variables defineixes, i escriu una funció objectiu i les restriccions adients.

b) Resol el model matemàtic de l’apartat anterior (suggeriment: pots utilitzar GAMS) per a determinar la política òptima de control de trànsit (és a dir, en quines cruïlles cal instal·lar els aparells de seguiment automàtic).



38

5.21 Imagina’t que tens un cartró dividit en setze espais, formant una xarxa de 4×4 espais. Disposes d’un gran nombre de segells de correu de valors 1d, 2d, 3d, 4d i 5d (on “d” representa una unitat monetària arbitrària). Quin és el valor màxim del cartró que es pot assolir en enganxar-hi setze segells de correus tot respectant, això sí, la Normativa Reial d’Estampat dels Segells de Correus, la qual prohibeix que en un cartró hi hagi dos (o més) segells d’idèntic valor alineats (horitzontalment, vertical o diagonal)? Naturalment, en cada espai només es pot enganxar un únic segell.

a) Escriu un model de programació lineal sencera per a la maximització del valor del cartró b) Escriu el corresponent programa de GAMS i resol-lo per a determinar la distribució

òptima de segells damunt el cartró.

5.22 Una llibreria aplica una política de descomptes prou imaginativa. Si avui compres un llibre de 20 €, tindràs un descompte del 2% en la teva propera compra. Si compres un llibre de 15 €, tindràs un 1.5% de descompte en la teva propera compra. És a dir, per cada 10 € que gastes, tens un 1% de descompte en la propera compra. Si, per exemple, vols comprar tres llibres que costen 10, 20 i 30 €, podries comprar avui el de 30 €, el de 10 € demà (amb un descompte del 3%), i el llibre de 20 € passat demà (amb un 1% de descompte). O, alternativament, podries comprar els llibres de 30 € i de 20 € avui, i el de 10 € demà (amb un 5% de descompte). El teu objectiu, però, no és comprar tres llibres sinó cinc. Quin és el procediment òptim (més econòmic) per a comprar cinc llibres amb preus respectius de 10, 20, 30, 40 i 50 € ? Plateja el problema segons un model de programació lineal sencera i resol-lo utilitzant el corresponent programa de GAMS.

5.23 (prova d’escriure un model de programació lineal sencera per al següent problema). Situa en un tauler d’escacs el nombre mínim de cavalls de manera que totes les caselles del tauler siguin controlades al menys per un cavall, incloent les caselles on hi ha un cavall.

5.24 Observa l’esquema de la figura adjunta. Cadascun dels circles negres representa un vigilant. Cada vigilant mira en totes les direccions (horitzontal, vertical i diagonal). Un vigilant pot veure el que hi ha darrera d’un altre vigilant. A la figura, cada vigilant té un total de cinc cel·les buides en el seu camp de visió (comprova-ho!). Per a respondre les següents qüestions, has de formular i resoldre, en cada cas, un model de programació lineal sencera.

a) En una configuració amb 4×4 cel·les, quin és el nombre màxim de vigilants que pot haver-hi si cadascun d’ells ha de tenir sis cel·les buides en el seu camp de visió? I com han d’estar distribuïts aquests vigilants?

b) Per una àrea quadrada amb més cel·les, en concret 6×6 cel·les, quin ha de ser el nombre mínim de vigilants per a que totes les cel·les siguin controlades? Mostra una possible distribució d’aquests vigilants



39

5.25 Els responsables de l’Ajuntament d’una gran ciutat volen revisar la situació de tots els parcs de bombers. La ciutat està constituïda per una sèrie de districtes, tal com il·lustra la figura adjunta.

Es poden instal·lar parcs de bombers en qualsevol districte. Un parc de bombers pot gestionar els possibles incendis en el districte on es troba i també en els districtes veïns (és a dir, qualsevol districte que tingui alguna línia fronterera amb el seu propi districte). L’objectiu és minimitzar el nombre total de parcs de bombers que cal instal·lar. Com és natural, cap districte no pot quedar sense protecció contra incendis.

Formula el problema segons un model matemàtic de programació lineal mixta. Defineix les variables del problema, tot explicant el seu significat. Escriu una funció objectiu i les restriccions que s’escaiguin.

5.26 Tres homes que anaven amb un mico van comprar una pila de mangos. A la nit un dels homes es va acostar a la pila de mangos mentre els altres dormien. Adonant-se que sobrava tot just un mango per a poder dividir el total per tres, va llençar-ne un al mico i se’n va emportar una tercera part de la resta. Tot seguit, se’n va tornar a dormir. Més tard un altre dels homes es va despertar i es va acostar a la pila de mangos. També va trobar que li sobrava un mango per a poder dividir la pila en tres parts iguals. Va llençar el mango sobrant al mico, i va agafar la tercera part de la resta i va tornar cap a dormir. Al cap d’una estona, el tercer home també es va aixecar, també va donar un mango al mico i es va emportar un nombre sencer de mangos que era exactament la tercera part dels que quedaven a la pila. L’endemà al matí, els homes es van aixecar i van anar cap a la pila de mangos. Novament, van trobar que hi havia un mango de més per a poder dividir la pila en tres parts iguals, el qual va ser lliurat al mico. Quin és el nombre mínim de mangos que hi podia haver inicialment a la pila? Planteja i resol el problema segons un model de programació sencera.



40

5.27 La finestra de l’Abat (un conte d’origen anglès). En una època molt llunyana, l’abat de St. Edmondsbury, com a conseqüència d’un excès de devoció massa fort per al seu cap, es va sentir malalt i es va haver de quedar al llit. Mentre era estirat al llit, movent sense parar el cap d’un costat a l’altre, els monjos que tenien cura d’ell van adonar-se de que hi havia quelcom que perturbava la tranquilitat de la seva ment, però ningú s’atrevia a preguntar que podia ser, perquè tothom coneixia el fort caràcter, i el tipus de resposta que calia esperar davant d’actituds inquisitives. De sobte, l’Abat va reclamar la presència del Pare John, i el venerable monjo va ser ben aviat al costat del llit del malalt.

“Pare John” – diguè l’Abat – , “sabeu que vaig venir a aquest maleït món una vigília de Nadal?” El monjo assentí amb el cap.

“I no us he dit prou sovint que, haven nascut a la vigília de Nadal, no tinc cap simpatia per les coses que són senars? Mireu allà!”.

L’abat apuntà a la gran finestra del dormitori (un esquema de la qual es dóna a la figura adjunta). El monjo va mirar i va quedar perplexe.

“No veieu que els seixanta-quatra vidres sumen un nombre parell horitzontalment i vertical, però que totes les sumes línies diagonals, excepte catorze, donen un nombre senar? Com és possible això?”.

“Venerable Abat, ben cert que aquesta és la natura de les coses, i no es pot canviar”.

“O, i tant que es podrà canviar. Us encomano que un cert nombre de vidres quedin tapats en aquest mateix dia d’avui, de manera que la suma de les cel·les iluminades al llarg de qualsevol línia sigui un nombre parell. Tingueu cura de que que això es porti a terme avui mateix; altrament, el celler quedarà tancat a pany i forrallat durant un més, i no vull ni pensar quines desgràcies podrien caure damunt el vostre cap”.

El Pare John ja havia arribat al límit del seu enginy, però desprès de consultar amb un que coneixia estranys misteris (programació sencera), es va trobar un procediment per a satisfer el desig de l’Abat. Quins vidres van ser tapats, de manera que la suma dels que quedàren destapats al llarg de qualsevol línia vertical, horitzontal o diagonal, fos un nombre parell, tot minimitzant l’obstrucció causada a la llum?



41

5.28 Els peregrins. Un bon dia, mentre els monjos eren asseguts dinant, l’Abat anuncià que un missatger havia arribat al matí portant noves de que un cert nombre de peregrins eren de camí i que calia, doncs, preparar-se per a donar-los hospitalitat.

“Els posareu” – va dir – “en l’edifici quadrat de dormitoris que té dues plantes amb vuit habitacions a cada planta. Hi ha d’haver onze persones dormint en cada costat de l’edifici, i el doble en el pis de dalt que en el pis de baix. Naturalment, totes les habitacions han de ser ocupades, i ja coneixeu la meva norma de que no pot haver més de tres persones ocupant una habitació”

“Us dono un pla dels dos pisos, on veureu que es pot accedir a les setze habitacions a través de l’escala central”

El que en aquell moment no coneixien ni l’Abat ni els monjos era el nombre exacte de peregrins que arribarien al monestir aquella mateixa tarda. Quin nombre mínim de peregrins calen per a poder complir les normes de l’Abat i com haurien d’estar distribuïts entre les diferents habitacions? I quin és el nombre màxim de peregrins que poden ser allotjats (tenint en compte que cal acomplir les normes de l’Abat) i quina seria la seva distribució? Planteja el problema segons un model de programació lineal sencera.

Escala

Escala

Primer pis Segon pis



42

5.29 Una variació del problema de distribució dels parcs de bombers en una gran ciutat (5.25). Imagina ara que a la ciutat hi ha vuit districtes. Com en l’anterior problema, l’objectiu és donar servei a tota la ciutat instal·lant el mínim nombre possible de parcs de bombers. En lloc d’un mapa de la ciutat, però, ens donen la següent taula amb els temps mitjans Ti,j (en minuts) que es tardaria en conduir (un camió de bombers) des del parc del districte i (files de la taula) fins al punt més llunyà del districte j (columnes). Per exemple, veiem a la taula T2,4 = 35, i això vol dir que cal (en mitjana) 35 minuts per a arribar del parc del districte “2” fins al punt més allunyat (en termes de temps de conducció) del districte “4”.

1 2 3 4 5 6 7 8

1 10 25 40 30

2 8 60 35 60 20

3 30 5 15 30 60 20

4 25 30 15 30 60 25

5 40 60 35 10 32 23

6 50 40 70 20 25

7 60 20 20 35 14 24

8 30 25 25 30 25 9

Hi ha cel·les de la taula que són en blanc perquè, en fer-se evident als responsables de l’Ajuntament que els corresponents temps de conducció serien massa alts, no s’ha procedit a mesurar-los. Observa a més que, degut a la complexitat de les vies de comunicació (el conjunt de carrers, cruïlles, rotondes, semàfors, ponts, túnels, autovies, etc.), molts temps mitjans de conducció no són simètrics, és a dir, Ti,j pot ser diferent de Tj,i. Una restricció important és que s’ha de poder arribar a cada districte des d’un parc de bombers en un temps no més gran del crític (25 minuts).

Escriu un model de programació lineal sencera per a l’optimització de la distribució dels parcs de bombers als diferents districtes de la ciutat. Considera els següents supòsits:

a) Minimitza el nombre total de parcs de bombers que cal instal·lar

b) En el supòsit anterior, podria haver-hi diverses distribucions òptimes. Per a refinar una mica més el model, cal destriar entre les diferents solucions possibles de l’apartat anterior. Modifica la funció objectiu per tal de minimitzar el nombre de parcs de bombers i que a més, entre les possibles solucions alternatives amb nombre mínim de parcs de bombers, s’obtingui la solució que dóna el valor més baix de la mitjana del temps mitjans de conducció des dels parcs de bombers fins al diferents districtes



43

5.30 Aquí tenim un exemple de problema de Sudoku. El Sudoku és un tipus de trencaclosques on cal situar un nombre entre 1 i 9 en cadascuna de les 81 cel·les, tot acomplint les següents condicions. En primer lloc, a cada columna ha d’aparèixer cadascun dels nombres una i només una vegada. En segon lloc, a cada fila ha d’aparèixer cadascun dels nombres una i només una vegada. A més, observa com en el dibuix hi ha definides 9 sub-cel·les de 3x3 quadrats cadascuna. Una tercera condició que cal acomplir és que en cada sub-cel·la cada nombre aparegui una i només una vegada.

Escriu un model de programació lineal sencera per a la resolució de trencaclosques de Sudoku.



44

6.1 Una empresa ha de distribuir per carretera els seus productes des del magatzem central de distribució, situat a les afores de la ciutat de Capital, fins a les altres 9 ciutats importants del país (que anomenarem simplement A, B, etc.). Els camions que surten de la central tenen com a destinació una única ciutat, i en lliurar la mercaderia (als centres de distribució locals), tornen cap a la central a Capital. A la següent taula es mostren els quilòmetres de carretera entre diferents ciutats (si es que hi ha alguna carretera que les uneixi, i per la que puguin circular els camions). Determina la ruta més curta pels camions que han de viatjar des de Capital fins a cadascuna de les ciutats.

Capital A B C D E F G H I

Capital 359 180 195 246 A 359 122 B 122 345 167 C 345 443 415 D 180 167 443 92 E 415 92 213 F 213 79 199 153 G 195 79 H 246 199 215 I 153 215

6.2 Per cadascun dels següents digrafs, utilitza la versió més adient de l’algoritme de correcció d’etiquetes (o bé digues si aquest algorisme no és aplicable) per a determinar el camí més curt des del vèrtex 1 fins cadascun dels altres vèrtexs:

1 1

2

3

4

7

2

1 3

6

12

a)

1 1

2

3

4

18

10

3

4

9

b)

1 1

2

3

4

4

0

-20 30

7

4

c)

1 1

2

3

4

0

8

-6 10

5

14

d)



45

6.3 La figura adjunta mostra el disseny parcial d’una placa de circuit imprès. Les línies representen els canals, que uneixen els diferents components electrònics, a través dels quals es poden dibuixar els circuits. Es poden situar diferents circuits superposats en un mateix canal. Tenint en compte les longituds dels diferents canals que es mostren a la figura, troba el dibuix dels circuits més curts per unir el component 1 amb els components 8, 10, 11 i 12.

6.4 En la construcció d’un edifici petit de dues plantes cal portar a terme les tasques que es llisten a la següent taula. La taula també mostra la durada estimada de cada tasca, en dies, i les tasques que la precedeixen (és a dir, que cal haver completat abans de començar la tasca).

Tasca Temps (dies) Predecessors

Fonaments (FO) 8 Cap Bigues de Formigó (BF) 5 FO

Parets mestres primer pis (PM1) 3 BF Parets internes primer pis (PI1) 4 BF Acabat del primer pis (A1) 12 PM1, PI1, SP

Segon pis (SP) 3 PM1 Parets mestres segon pis (PM2) 4 SP Parets internes segon pis (PI2) 5 SP Acabat del segon pis (A2) 10 PM2, PI2, SO

Sostre (SO) 2 PM2 a) Dibuixa el corresponent diagrama CPM en el format de grafs. b) Calcula el temps mínim d’iniciació de cada tasca i el temps mínim d’acabament de tot el

projecte. c) Identifica les activitats que es troben al camí crític des del començament fins al final del

projecte. d) Per cada activitat, calcula el temps màxim d’iniciació assumint que cal completar tot el

projecte en 35 dies.

27

2 4 5

10 8

7

3 3

3

9 6

15

12 15

6 1 2 3 13

4

5

11

7 8

6

9 10

12



46

6.5 La figura adjunta mostra l’esquema les connexions de fibra òptica d’Internet entre els diferents centres d’un Campus Universitari. Els números entre vèrtexs representen els temps

de transmissió de cada paquet d’informació, en nanosegons. El vèrtex “1” és l’únic node que connecta amb l’exterior. Determina la ruta, des del node 1 fins a cadascun dels altres centres del Campus, per on caldria trametre el correu electrònic (i altra informació) per a minimitzar el temps de transmissió. 6.6 Imagina’t que en una determinada ciutat, les autoritats municipals estudien l’ampliació de l’horari dels autobusos que uneixen el Centre Educatiu amb el centre de la ciutat. A l’actualitat, no hi ha autobusos a partir de les 7 de la tarda. Es tractaria d’ampliar l’horari des de les 7 de la tarda fins a les 2 de la matinada, amb un únic autobús que faria contínuament viatges d’anada i tornada. Desprès de negociar amb el sindicat municipal de conductors d’autobusos, s’arriba al següent acord pel que fa als torns extraordinaris de treball pels conductors (a l’horari de 7 a 2 de la matinada). Si el torn comença a les 9 de la tarda o abans, els conductors poden fer un torn de 4 hores cobrant 50 Euros. En cas contrari, alguns conductors estan disposats a treballar un torn extraordinari de 3 hores cobrant 40 Euros, mentre que altres conductors treballarien només 2 hores per 30 Euros. a) Planteja el problema de determinar el cost mínim del salari nocturn dels conductors com

un problema del camí més curt, en un graf on els vèrtexs siguin les hores de la nit, des de les 7 de la tarda fins a les 2 de la matinada. Construeix el corresponent digraf i etiqueta’l amb la longitud dels camins.

b) Aplica l’algoritme més adient per a calcular la distribució òptima dels torns nocturns dels conductors d’autobús.

6.7 (E) La taula que es troba a continuació mostra les activitats requerides per a la instal·lació d’un nou laboratori d’informàtica, juntament amb les respectives durades estimades (en setmanes) i les activitats precedents,

Activitat Durada (setmanes) Predecessors

Comanda mobles (CM) 1 Cap Comanda ordinadors (CO) 1 Cap Comanda Software (CS) 1 CO

Arribada dels mobles (AM) 6 CM Arribada dels ordinadors (AO) 3 CO Arribada del Software (AS) 2 CS Muntar els mobles (MM) 1 P, AM Instal·lar ordinadors (IO) 1 MM, AO Instal·lar Software (IS) 1 AS, IO

Connexions Laboratori (CL) 2 Cap Pintar laboratori (P) 1 CL

Fes com als apartats (a-d) de l’exercici 6.4, assumint que el laboratori ha d’estar complert en 15 setmanes.

22

3

5 10

7

11 6

19 4

14

6

1

2 3

4

5

7

8 6

9

10 4



47

6.8 Determina les àrees de bescanvi de calor òptimes per la seqüència de bescanviadors de calor que s’esquematitza a la figura adjunta. Utilitza tècniques de programació dinàmica discreta. Ajut: Determina els ‘estats’ de les temperatures T1, T2 i T3 que fan que la suma de les 3 àrees, A1, A2 i A3 sigui mínima.

Dades: Considereu WCp = 105 Btu / h ºF pel corrent que voleu escalfar.

Bescanviador

Coeficient global de bescanvi de calor, U

(Btu / h ft2 ºF)

Àrea de bescanvi necessària, ft2

Potència bescanviada, Btu / h

1 U1 = 120 A1 Q1 2 U2 = 80 A2 Q2 3 U3 = 40 A3 Q3

6.9 Un avió vola entre dues ciutats, A i F, separades per 2000 milles. Cada 400 milles l’avió es troba en punt, diguem-ne B, C, D i E, on l’hi és permès volar en els nivells d’altitud que mostra la figura adjunta.

La despesa en combustible (Euros) de l’avió en qualsevol tram de 400 milles, incloent els possibles canvis d’altitud, ve donada en la següent taula:

Altitud de l’avió desprès del canvi (ft) Altitud

abans del

canvi (ft): 0 8000 16000 24000 32000 40000

0 - 4000 4800 5520 6160 6720 8000 800 1600 2680 4000 4720 6080 16000 320 480 800 2240 3120 4640 24000 0 160 320 560 1600 3040 32000 0 0 80 240 480 1600 40000 0 0 0 0 160 240

Determinar les altituds a les que ha de volar l’avió en cada tram.

1 2 3

500 ºF 100 ºF T1 T2

600 ºF T3 400 ºF

T4 300 ºF

T5

A B C D E F

Altitud, ft

40000

32000

24000

16000

8000

Punt de partida

Punt d’arribada



48

6.10 Has d’assignar els cabals d’aigua de refrigeració a tres columnes de destil·lació. El subministrament màxim del qual disposeu és de 8 106 galons / dia. La suma dels cabals d’aigua a les tres columnes, D1, D2, D3, no pot superar el valor màxim del subministrament total. Els costs (en Euros) de subministrament d’aigua a les columnes ve donat per les següents expressions:

(((( ))))[[[[ ]]]]42 ; 86D-f 3

0 ; 521f 2

altrament ,0

20 si 11f 1

33233

22

22

111

≤≤≤≤≤≤≤≤++++====

∞∞∞∞≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−−−−−−−−−====

====

≤≤≤≤≤≤≤≤−−−−−−−−========

DD:Columna

DDexp:Columna

DD:Columna

Utilitza tècniques de programació dinàmica discreta per a determinar els valors (‘estats’) de (les ‘etapes’) D1, D2 i D3 que minimitzen el cost total de subministrament, f1+f2+f3. 6.11 Una empresa farmacèutica ha de subministrar 30 lots del seu nou medicament durant el proper trimestre, i desprès 25, 10 i 35 en els trimestres següents. Si en un determinat trimestre la companyia decideix produir el medicament (el procés de fabricació és discontinu), la despesa fixa és de 100000 Euros, als quals cal afegir 3000 Euros per cada lot produït durant el trimestre. Els lots, un cop fabricats, es poden guardar al magatzem, però el cost d’emmagatzematge és relativament alt, de 5000 Euros per lot i trimestre. L’empresa busca un pla de producció que minimitzi el cost total. a) Explica com es pot plantejar el problema amb tècniques de programació dinàmica

discreta. b) Dibuixa el corresponent digraf i inclou els costs en tots els camins. c) Resol el problema del camí més curt i determina el pla de producció òptim (entenent que

al final de l’últim trimestre no ha de quedar cap lot al magatzem). 6.12 Un tècnic reparador de fotocopiadores té quatre diferents aparells de comprovació. El tècnic sap per experiència que la probabilitat d’utilitzar aquestes eines en una determinada reparació és, respectivament, al voltant del 25%, 30%, 55% i 15%. La massa dels aparells és de 20., 30., 40. i 20. kg, respectivament, i el reparador només pot carregar un màxim de 60. kg. Cal trobar quin és el conjunt d’eines amb màxima utilitat que pot portar el tècnic. a) Explica com es pot tractar el problema amb tècniques de programació dinàmica discreta. b) Dibuixa el digraf corresponent i inclou en cada camí la contribució a la funció objectiu. c) Resol el problema del camí més llarg per a determinar el conjunt òptim d’eines. 6.13 Una empresa de fertilitzants ha de subministrar 40. tones de producte al final del primer mes, 60. tones al final del segon més, i 80. tones al final del tercer més. El cost (Euros) de produir x tones de fertilitzant en un mes ve donat per (4500x–15x2). L’empresa pot produir en cada més un màxim de 100 tones de fertilitzant. Hi ha un cost addicional de 500. Euros per cada tona de fertilitzant que queda al magatzem a final de mes. Assumiu que no hi ha existències de fertilitzant al magatzem a l’inici del primer mes ni al final del tercer mes. Utilitza tècniques de programació dinàmica discreta per a determinar els nivells de producció en cadascun dels tres períodes (mesos), que minimitzen el cost total. Utilitza els valors discrets (0, 20., 40., 60., 80., 100. tones) per a la producció mensual de fertilitzant.



49

6.14 Hom vol construir centrals tèrmiques a 3 llocs diferents (CT1, CT2, CT3). Per a construir-les, hom disposa d’un capital total de 4.0 unitats (1 unitat = 10 milions d’Euros). Per a cadascuna de les centrals tèrmiques, la inversió de capital pot ser exactament de x = 0, 1, 2, 3 o 4 unitats. La potència generada per cada central tèrmica dependrà de quina hagi estat aquesta inversió, i a més varia d’un lloc a un altre segons la següent taula: Potència generada,

P(x), adimensional

CT1 CT2 CT3

P(1) 1.27 1.12 1.05 P(2) 2.23 2.34 1.98 P(3) 3.27 3.12 2.97 P(4) 4.04 3.84 4.05

Determinar la política d’inversió que maximitza la potència total produïda pel conjunt de les centrals tèrmiques (nota: és possible que una o més centrals no arribin en realitat a construir-se). 6.15 Imagina que disposes de 8 milions d’Euros i se’t presenta l’oportunitat d’adquirir quatre companyies amb uns preus de venda respectius de 5, 1, 2 i 7 milions d’Euros. Calcules que els guanys en comprar cadascuna de les companyies seran de 8, 3, 4 i 10 milions d’Euros, respectivament. Utilitza tècniques de programació dinàmica discreta per a determinar la política òptima de compra de companyies. 6.16 (E) La següent taula mostra les activitats que cal dur a terme durant la construcció d’un petit edifici d’una única planta, juntament amb l’estimació de la durada de cada activitat i les activitats que la precedeixen.

Activitat Durada (dies) Predecessors

Fonaments (FO) 15 Cap Canonades (CA) 5 Cap

Parets prefabricades (PPR) 4 FO, CA Elements estructurals (EE) 3 PPR

Sostre (SO) 7 EE Instal·lació elèctrica bàsica (IEB) 10 EE Calefacció i refrigeració (CRE) 13 CA, EE

Parets interiors (PI) 13 EE, IEB, CRE Acabat de l’interior (AI) 20 SO, PI

a) Dibuixa el corresponent diagrama CPM en el format de grafs. b) Calcula el temps mínim d’iniciació de cada tasca i el temps mínim d’acabament de tot el

projecte. c) Identifica les activitats que es troben al camí crític des del començament fins al final del

projecte. d) Per cada activitat, calcula el temps màxim d’iniciació assumint que cal completar tot el

projecte en 80 dies.



50

6.17 Observa el graf que es presenta a la figura adjunta.

a) Utilitza la versió FIFO de l’algoritme de correcció d’etiquetes per a determinar el camí

més curt des del vèrtex “1” fins a tots els altres vèrtexs. b) Mostra que el graf representat a la figura és un digraf acíclic. c) Utilitza la versió de l’algoritme per a digrafs acíclics per a determinar el camí més curt des

del vèrtex “1” fins a tots els altres vèrtexs. d) Utilitza la versió FIFO de l’algoritme de correcció d’etiquetes per a determinar el camí

més llarg des del vèrtex “1” fins a tots els altres vèrtexs. e) Utilitza la versió de l’algoritme per a digrafs acíclics per a determinar el camí més llarg

des del vèrtex “1” fins a tots els altres vèrtexs. 6.18 Pel graf que es presenta a la figura adjunta,

a) Determina el camí més curt des del vèrtex O fins al vèrtex T utilitzant l’algoritme de

correcció d’etiquetes en versió FIFO. b) Determina el camí més curt des del vèrtex O fins al vèrtex T utilitzant l’algoritme de

correcció d’etiquetes en versió Dijkstra. 6.19 Escriu un model matemàtic de programació lineal per al problema del camí més curt presentat a l’exercici anterior (6.18). Defineix les variables que calguin, indica en cada cas el tipus de variable, escriu una funció objectiu i tantes restriccions com siguin necessàries. Creus que és aconsellable atacar el problema presentat a l’exercici 6.18 tot resolent el model matemàtic de programació lineal que acabes d’escriure?

8

5

16

7

2

13

5

-10

9

1

3

1

2

3

4

5

7

8

6

9

4

18

3

4

6

D

O

A

B

C

G

H

E

F

I

T

3

3

6

4

4 4

2

2

2

2

2 2

1

5

5

5

5

8

7



51

6.20 El següent esquema representa l’estructura bàsica d’un procés químic, on cada vèrtex (A, B, C, etc.) representa una unitat de procés. Les unitats de procés estan unides per corrents (1, 2, 3, etc.). En aquest cas, els números que apareixen a cada corrent són els respectius índexs, no representen pas la longitud de camí. La gran majoria de simuladors de processos químics utilitzen algoritmes de càlcul seqüencial. Això implica que cal determinar una seqüència òptima de càlcul de les diferents unitats. Utilitza models i tècniques de programació matemàtica (models de programació lineal) per a determinar el següent: a) Totes les particions (grups d’unitats) del procés, i l’ordre de precedència en el càlcul. b) Per cadascuna de les particions determinades a l’apartat anterior, identifica-hi tots els

cicles, el mínim nombre de trencaments d’aquests cicles, i una seqüència òptima per al càlcul modular (seqüencial) de les diferents unitats.

6.21 (E) Considera el següent problema del camí més curt, essent el vèrtex origen el no. “1”,

a) Escriu el model de programació lineal per al camí més curt entre l’origen i tots els altres vèrtexs. Indica clarament quines són les variables, la funció objectiu, i les restriccions.

b) Resol analíticament (utilitzant paper i la calculadora de butxaca, no pas l’ordinador) el problema del camí més curt utilitzant l’algoritme que et sembli més adient. Resumeix el procés iteratiu en forma de taula. Indica al final quin és el resultat (ruta més curta des de l’origen fins a cadascun dels altres vèrtexs i longitud d’aquestes rutes).

6.22 Demostra que el problema 5.22 (política òptima de compra de llibres) també es pot plantejar com un problema del camí més curt. a) Dibuixa el corresponent graf del problema b) Escriu el corresponent model de programació lineal c) Utilitza un programa de GAMS per a resoldre el problema plantejat a l’apartat anterior

A B C E H I

D F K J

M N L

1 2 3

4

5 6

7

8

9

10

11

12 13

14

15 16

17

18

19

20

21 22

1

2

3

4

5

6

3 3

6

3

6

4

5

2



52

6.23 (E) Un viatger ha de travessar un riu. El viatger porta amb ell dos animals vius, una ovella i un llop, i un vegetal, una col. L’única forma de creuar el riu és utilitzant una petita barca de rems, on amb prou feines hi caben el viatger i com a màxim un dels tres éssers que l’acompanyen. El viatger sap que la seva presència és l’únic que evita que la col sigui devorada per l’ovella i/o que l’ovella sigui devorada pel llop. A més, cal tenir en compte que el viatger és l’únic que sap remar. Determina una estratègia que permeti transportar els quatre éssers de la nostra història sans i estalvis cap a l’altre costat del riu, en el mínim nombre possible de travesses en barca.

Plantejament: Partint d’un estat inicial (amb tots quatre éssers a la banda esquerra del riu), cada travessa de la barca porta a un nou estat, amb una distribució diferent dels éssers a banda i banda del riu. Pots construir un graf on els vèrtexs siguin tots els estats admissibles. Per a identificar i etiquetar els estats (a part de que es convenient numerar els vèrtexs del graf), pots utilitzar la següent nomenclatura. Si V = viatger, C = col, L = llop i O = ovella, per exemple, l’estat VO/LC voldria dir que el viatger i l’ovella són a la riba esquerra mentre la col i el llop són a la riba dreta; nota que aquest seria un estat admissible. En canvi, l’estat VC/LO no és admissible (perquè l’ovella seria devorada a la riba dreta). L’estat inicial es pot escriure com VCLO/, mentre que l’estat final (tots sans i estalvis a la riba dreta) es pot escriure com /VCLO. Si a cada travessa de la barca l’hi assignem arbitràriament una longitud igual a u, aleshores el problema es pot plantejar i resoldre com un problema del camí més curt.

a) Quants estats admissibles hi han (incloent l’estat inicial i el final)? Escriu-los tots (utilitzant la nomenclatura proposada a l’enunciat).

b) Dibuixa un graf on cadascun dels estats admissibles del problema sigui representat per un vèrtex, i les arestes, de longitud u, representen les connexions possibles entre estats (recorda que en una travessa en barca el viatger ha d’anar sol o bé acompanyat de només d’un dels altres tres éssers). Per exemple, VLO/C estaria connectat (entre altres) amb O/VLC, però no pot estar connectat amb VL/OC (perquè l’ovella no sap remar).

c) Basant-te en el graf que has dibuixat a l’apartat anterior (si no ho has fet abans, enumera els vèrtexs), utilitza l’algoritme de correcció de l’etiquetatge per a determinar la ruta òptima entre l’estat inicial (VCLO/) i l’estat final (/VCLO). Resumeix les diferents iteracions portades a terme en forma de taula. Interpreta el resultat final obtingut tot explicant quina és l’estratègia òptima de travesses en barca.



53

7.1 Anàlisi de la seguretat en un recinte esportiu. Hom vol estudiar el nivell de seguretat, davant d’una hipotètica situació d’emergència, que ofereix el disseny proposat per la construcció d’un pavelló polisportiu. El disseny preveu bàsicament un pavelló amb dues parts diferenciades: el recinte interior, on hi ha les pistes, els seients, etc., i un recinte extern o anella que envolta el recinte interior. En cas d’emergència, la sortida del públic des del recinte interior cap al recinte extern tindria lloc a través de quatre portes d’emergència, situades respectivament al Nord, Est, Sud i Oest. Per cadascuna d’aquestes portes podria circular un flux màxim de 600 persones/min. A l’anella exterior, la gent es podria moure en sentit horari o antihorari, amb un flux màxim de 350 persones/min en cada sentit. Finalment, des del recinte extern es podria sortir a l’exterior per quatre escales, situades respectivament al Nord-Est, Sud-Est, Sud-Oest i Nord-Oest, amb una capacitat de 400 persones/min cadascuna. També es podria sortir del recinte extern per una rampa d’accés al pàrking, amb una capacitat de 800 persones/min. Avalua la velocitat màxima d’evacuació del pavelló polisportiu permesa per aquest disseny: a) Representa simbòlicament el problema de xarxa de flux proposat en forma de graf. b) Escriu el corresponent model matemàtic de programació lineal. c) Resol el model proposat a l’apartat (b) utilitzant l’algoritme simplex. d) Analitza la solució obtinguda a l’apartat (c). Amb l’ajut del graf dibuixat a l’apartat (a),

comprova la seva consistència mitjançant inspecció visual. 7.2 La companyia petrolera XUCLOLISA té dos camps d’extracció de cru, C1 i C2, un amb capacitat de producció 1500 barrils/dia (C1), i l’altre de 1210 barrils/dia (C2). Des dels camps d’extracció, cal bombejar el petroli fins a un dels dos parcs d’emmagatzematge, situats respectivament a Cucabona i a Malatona. Desprès, Cucabona transporta el petroli amb camions fins a la refineria de XUCLOLISA, amb un cost de 0.40 Euros/barril. Malatona fa el mateix a 0.33 Euros/barril. La demanda diària de la refineria és de 2000 barrils. El preu del transport del cru des del camp C1 és de 0.10 Euros/barril fins a Cucabona, i de 0.35 Euros/barril fins a Malatona. Els corresponents costs des de C2 són de 0.25 i 0.56 Euros/barril. També hom pot transportar cru entre els dos parcs d’emmagatzematge, amb un cost de 0.12 Euros/barril. Determina el pla òptim de transport de cru; fes com als apartats (a-d) de l’exercici 7.1. 7.3 Una companyia immobiliària acaba d’adquirir quatre nous edificis, els quals caldrà tornar a pintar de nou. Com que interessa tenir els edificis en condicions el més aviat possible, la companyia decideix subhastar per separat els quatre contractes de manera que cada edifici serà pintat per una empresa de pintura diferent. La següent taula mostra les ofertes (en milers d’Euros) de quatre diferents empreses per cadascun dels contractes: Oferta de l’empresa no.

Edifici no. 1 2 3 4

1 2.5 1.3 3.6 1.8 2 2.9 1.4 5.0 2.2 3 2.2 1.6 3.2 2.4 4 3.1 1.8 4.0 2.5

Quina oferta cal acceptar per cada edifici per minimitzar el cost total de pintar tots quatre edificis? Fes com als apartats (a-d) de l’exercici 7.1.



54

7.4 Una empresa té contractes per subministrar grava a dos nous projectes de construcció, situats a dues ciutats diferents, les quals anomenarem com a C1 i C2. Durant el proper més es necessitaran 60 camions de grava a C1 i 90 camions de grava a C2. L’empresa disposa de pous de grava a tres diferents localitats, les quals anomenarem L1, L2 i L3. Cadascun d’aquests tres pous subministra una producció mensual màxima equivalent a la càrrega de 50 camions. La següent taula mostra les distàncies, en quilòmetres, entres els diferents pous i les dues construccions:

Pou Fins a C1 Fins a C2

L1 23 77 L2 8 94 L3 53 41

Planifica el transport de grava que minimitzi la distància total recorreguda pels camions, tot satisfent els contractes de l’empresa; fes com als apartats (a-d) de l’exercici 7.1. 7.5 Una O.N.G. vol transportar de forma urgent la major quantitat possible de material de socors humanitari (menjar, medicaments, etc.) des de la seva base a Alto fins a la ciutat d’Epi, la qual acaba de patir els efectes d’una erupció volcànica. Un dels camins passa per Billi. La carretera des d’Alto fins a Billy permet transportar fins a 500 tones/dia, i la que va des de Billy fins a Epi, 320 tones/dia. Una segona ruta passa per Chau i Domo. La secció d’Alto fins a Chau té una capacitat de 650 tones/dia, la de Chau a Domo 470 tones/dia, i la de Domo fins a Epi, 800 tones/dia. També hi ha un camí de muntanya des de Billi fins a Domo, amb una capacitat de 80 tones/dia. Determina la manera de transportar la màxima quantitat de material diària des d’Alto fins a Epi; fes com als apartats (a-d) de l’exercici 7.1. 7.6 Imagina’t una empresa del sector alimentari la qual té, com un dels seus principals productes, les llaunes de tonyina. L’empresa disposa de tres plantes on s’envasa la tonyina, diguem-ne P1, P2 i P3. Desprès cal transportar les llaunes per camió fins a un dels quatre magatzems centrals de distribució de l’empresa, diguem-ne M1, M2, M3 i M4, localitzats més o menys uniformement al llarg del territori. A la següent taula hi trobaràs els preus de transport des de les plantes fins als magatzems, en Euros/camió, la predicció de la demanda que caldrà satisfer durant el proper trimestre des de cada magatzem, i la producció prevista per a cada planta. Cost de transport (Euros/camió) Magatzem no. 1 2 3 4 Producció

1 464 513 654 867 75 Planta no. 2 352 416 690 791 125 3 995 682 388 685 100 Demanda (camions) 80 65 70 85 300

Noti’s que la producció total està ajustada a la demanda total pel trimestre, que és de 300 camions de llaunes de tonyina. Determina el pla de transport òptim de llaunes de tonyina des de les plantes fins als magatzems; fes com als apartats (a-d) de l’exercici 7.1.



55

7.7 Imagina’t que, degut a una greu crisi internacional, entre Anglaterra, França i Espanya han de produir el blat, la civada i l’avena per a tot el món. Per cobrir la demanda mundial, cal dedicar 125 milions d’acres de terra a la producció de blat, 60 milions d’acres a la producció de civada, i 75 milions d’acres a la producció d’avena. El total de terra cultivable de la qual disposen Anglaterra, França i Espanya és de 70, 110 i 80 milions d’acres, respectivament. El nombre d’hores de feina que es necessiten a Anglaterra, França i Espanya per a conrear un acre de blat és de 18, 13 i 16, respectivament. El nombre d’hores de feina que es necessiten a Anglaterra, França i Espanya per a conrear un acre de civada és de 15, 12 i 12, respectivament. El nombre d’hores de feina que es necessiten a Anglaterra, França i Espanya per a conrear un acre d’avena és de 12, 10 i 16, respectivament. El preu per hora de la feina (en Euros/hora) per a conrear un acre de blat a Anglaterra, França i Espanya és de 3.00, 2.40 i 3.30, respectivament. El preu per hora de la feina (en Euros/hora) per a conrear un acre de civada a Anglaterra, França i Espanya és de 2.70, 3.00 i 2.80, respectivament. El preu per hora de la feina (en Euros/hora) per a conrear un acre d’avena a Anglaterra, França i Espanya és de 2.30, 2.50 i 2.10, respectivament. Determina la distribució òptima de cada cultiu en cada país, tot satisfent, és clar, la demana mundial. Fes com als apartats (a-d) de l’exercici 7.1. 7.8 Un fabricant ha de produir dos productes en quantitats suficients per a satisfer els contractes en cadascun dels tres propers mesos. Els dos productes comparteixen les mateixes línies de producció, i cada unitat dels dos productes requereix la mateixa capacitat de producció. Les disponibilitats d’equipament per la fabricació i d’emmagatzematge varien mes a mes, de manera que les capacitats de producció, els costs de producció per unitat, i els costs d’emmagatzematge per unitat també varien mensualment. En conseqüència, podria ser aconsellable produir, en un determinat més, una quantitat de producte per damunt de la demanda mensual establerta i emmagatzemar l’excés pel proper més. Per cada mes, la segona columna de la següent taula mostra el nombre màxim d’unitats dels dos productes combinats que es poden produir en horari regular (HR) i en horari extra (HE). Per cada producte, les subseqüents columnes mostren (1) el nombre d’unitats contractades, (2) el cost per unitat produïda en HR, (3) el cost per unitat produïda en HE i, (4) els cost d’emmagatzemar cada unitat fins al proper més. En cada cas, les xifres per cada producte es troben separades pel símbol “/”, amb el número corresponent al producte 1 a la part esquerra i el del producte 2 a la dreta.

Producte 1 / Producte 2

Producció màxima

combinada

Cost de producció

per unitat

Mes HR HE Contracte HR HE Cost Mag. 1 10 3 5/3 15/16 18/20 1/2 2 8 2 3/5 17/15 20/18 2/1 3 10 3 4/4 19/17 22/22

Planifica la producció mensual de cada producte en horari regular i en hores extra. L’objectiu és minimitzar els costs totals (producció i emmagatzematge) tot satisfent les quantitats contractades a cada mes. Fes com als apartats (a-d) de l’exercici 7.1.



56

7.9 L’empresa Optimal Ovens, Incorporated (OOI) fabrica forns domèstics en dues plantes situades a Wisconsin i a Alabama. Un cop fabricats, els forns viatgen per tren cap a un dels dos magatzems d’OOI, a Memphis i a Pittsburgh. Des dels magatzems, els forns s’envien als centres de distribució comercial, situats a Fresno, Peoria i Newark. També es possible transferir petites quantitats de forns entre els dos magatzems, utilitzant camions. L’objectiu d’aquest exercici és determinar l’estratègia de distribució òptima del nou producte d’OOI, el forn E27, durant el proper mes. En aquest període, cada planta pot produir fins a un màxim de 1000 forns E27. En començar el més, als magatzems no hi ha cap unitat E27. La demanda dels centres de Fresno, Peoria i Newark pel proper mes és de 450, 500 i 610 forns E27, respectivament. La transferència entre magatzems està limitada a 25 forns per mes, però el cost de la transferència és pot negligir. Les següents taules mostren els costs ($/forn) de transportar els forns E27 en totes les altres rutes possibles:

Procedència / Destí Memphis Pittsburgh

Wisconsin 7.0 8.0 Alabama 4.0 7.0

Procedència / Destí Fresno Peoria Newark

Memphis 25 5.0 17 Pittsburgh 29 8.0 5.0

Planifica la producció i la distribució de forns E27 durant el proper mes, tot minimitzant els costs i satisfent la demanda establerta. Fes com als apartats (a-d) de l’exercici 7.1. 7.10 L’empresa Northern Airplane construeix avions comercials per a diferents companyies aèries de tot el món. La darrera etapa en la fabricació dels avions és la producció dels motors i la seva instal·lació (aquest darrer és un procés molt ràpid) en la carcassa. La companyia té contractes per a subministrar diversos avions en un futur pròxim, de manera que ara cal planificar la producció de motors pels propers quatre mesos. La següent taula indica el nombre de motors que cal instal·lar cada mes per satisfer els contractes, la capacitat de producció màxima de motors prevista per a cada més (la qual no és constant, ja que depèn d’altres factors de producció, manteniment, etc.), i el cost de producció de cada motor (en milions d’Euros).

Mes

Motors a

Instal·lar

Producció

màxima

Cost de producció

(M-Euros/motor)

Cost de magatzem

(M-Euros/motor)

1 10 25 1.08 0.015 2 15 35 1.11 0.015 3 25 30 1.10 0.015 4 20 10 1.13 -

Tal com indica la columna de més a la dreta de la taula, existeix també la possibilitat de guardar els motors fabricats en el magatzem durant un o més mesos. El problema és que hi ha una despesa de manteniment de 15000 Euros mensuals per cada motor que s’estigui al magatzem. Planifica la producció mensual de l’empresa Northern Airplane per als propers quatre mesos. Fes com als apartats (a-d) de l’exercici 7.1.



57

7.11 Síntesi d’una seqüència de destil·lació. El model més senzill per a determinar la seqüència òptima de separació d’una mescla de diferents components assumeix que en cada columna hi ha una separació perfecta (és a dir, cada component alimentat ha de sortir totalment per cap o bé totalment pel fons). A continuació es presenten les dades per a un petit exemple amb 4 components (A, B, C, D, en ordre de major a menor volatilitat): Cabal inicial: F = 1000 kmol/h Composició molar de l’aliment (A/B/C/D): (0.15/0.30/0.35/0.20) El cost anual de cada columna k contempla una contribució del cost d’inversió (fix i variable) més els costs d’operació (consum de vapor i aigua de refrigeració):

Ck = αk + βkFk + (cH+cC) Qk Qk = Kk Fk

Naturalment, el cost ha de ser zero si la columna k no forma part de la seqüència de separació. La següent taula mostra els valors dels coeficients de cost per a cada possible columna:

k Separació ααααk (103$/any) ββββk

(103$h/kmol any) Kk (10

6 kJ/kmol)

1 A/BCD 145 0.42 0.028 2 AB/CD 52 0.12 0.042 3 ABC/D 76 0.25 0.054 4 A/BC 125 0.78 0.024 5 AB/C 44 0.11 0.039 6 B/CD 38 0.14 0.040 7 BC/D 66 0.21 0.047 8 A/B 112 0.39 0.022 9 B/C 37 0.08 0.036 10 C/D 58 0.19 0.044

Els coeficients de cost del vapor i del refrigerant, cH i cC, valen 34 i 1.3 (10

3$/106kJ any), respectivament. a) Dibuixa una representació del problema en forma de graf. b) Escriu el corresponent model de programació lineal mixta (MILP). Nota que degut al

terme de cost fix el problema no és pot tractar segons el model matemàtic de xarxes de flux.

c) Determina la seqüència òptima de destil·lació resolent el model de l’apartat anterior.



58

7.12 Un tipus de problema clàssic en optimització, com és el del venedor o repartidor (traveling salesman, en anglès), es presenta en el procés de producció de plaques de circuit imprès (PCI). Les plaques tenen petits orificis on s’insereixen els diferents components electrònics. Típicament, a una placa cal fer-li centenars de forats de fins a 10 diferents grandàries. La fabricació eficient de PCI’s requereix que els forats es facin el més ràpidament possible mitjançant una perforadora automàtica amb un braç que es desplaça horitzontalment per damunt la placa, amb velocitat bàsicament constant. Per una determinada grandària d’orifici, cal determinar doncs la seqüència de perforació que minimitzi la distància recorreguda pel braç. Imagina’t el següent exemple (l’índex zero correspon a la situació del braç abans de fer cap forat; al final del recorregut el braç ha de tornar al lloc inicial): Forat 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x(mm) 0 14 182 33 102 68 135 121 52 197 y(mm) 0 81 24 56 74 22 44 12 30 61 a) Formula un problema de programació lineal per a la minimització de la distància total

recorreguda pel braç. Nota: existeixen diferents formes de modelar el problema. b) Resol el problema plantejat a l’apartat anterior. 7.13 (E, a i b) L’empresa Super-Sleep fabrica matalassos en dues diferents plantes. Els matalassos produïts es poden enviar directament als clients o bé es poden enviar al magatzem de l’empresa. A la taula adjunta hi trobaràs el cost (en Euros per unitat) de transferir cada matalàs des de les plantes de producció i des del magatzem fins als clients. El transport des de qualsevol de les dues plantes fins al magatzem té un cost de 15 Euros per matalàs.

Costs de tramesa (Euros/unitat)

Client #1 Client #2 Capacitat

Planta #1 25 30. 400

Planta #2 45 23 600

Magatzem 11 14 -

Demanda 160 700 - La taula també inclou el nombre de matalassos que es poden produir en cada planta durant la propera setmana i la demanda de cada client per a la propera setmana. Super-Sleep vol minimitzar els cost de tramesa per a subministrar les unitats requerides als seus clients. a) Mostra que el problema es pot representar com un model de flux de cost mínim dibuixant

el corresponent digraf on hi hagi etiquetada tota la informació pertinent al problema. b) Escriu el corresponen model matemàtic de programació lineal, on quedin clarament

establertes les variables, la funció objectiu, les restriccions, etc... c) Resol el model matemàtic de l’apartat anterior.



59

7.14 Síntesi de xarxes de bescanviadors de calor. A partir de les dades de procés que es donen a continuació per a dos corrent freds i dos corrents calents, amb dues utilitats d’escalfament i una de refrigeració, hom vol determinar la configuració de bescanviadors amb el mínim cost d’utilitats, utilitzant un model de transbord (un tipus de problema de xarxes de flux).

Corrent FCp(MW/K) Tent(K) Tsort(K)

H1 2.5 400 320 H2 3.8 370 320 C1 2 300 420 C2 2 300 370

Utilitat Temperatura (K) Cost (Euros/kW any)

Vapor alta pressió (VAP) 500 80 Vapor baixa pressió (VBP) 380 50 Aigua de refrigeració (AR) 300 20

Considerant un salt mínim de temperatura de 10. K, utilitza els següents quatre intervals de temperatura (K) en el model: (430/420)—(400/390)—(380/370)—(370/360)—(310/300)

a) Dibuixa la corresponent xarxa de flux (d’energia), o diagrama de cascada de calor. b) Escriu el corresponent model matemàtic de xarxa de flux (LP). c) Resol el model de l’apartat anterior i dibuixa l’estructura òptima de la xarxa de bescanvi

de calor. 7.15 Síntesi de xarxes de bescanviadors de calor amb restriccions. Torna a considerar el problema (7.14) tot imposant, però, la restricció de que no hom pot bescanviar directament calor entre els corrents H1 i C1. 7.16 Distribució òptima de la producció en una planta discontinua sense temps d’espera. En una planta química que opera en discontinu es fabriquen quatre productes, A, B, C i D. La planta opera cíclicament, i en cada cicle hom vol produir dos batch d’A, dos de B, cinc de C i quatre de D. La següent taula mostra els temps de procés de cada producte en cadascuna de les tres etapes de la planta:

Temps de procés (h)

Etapa 1 Etapa 2 Etapa 3

A 5.0 4.0 2.0 B 7.0 5.0 4.0 C 5.0 6.0 2.0 D 8.0 8.0 2.0

La planta opera amb una política de temps d’espera nuls. Això vol dir que el material ha de ser transferit a la següent etapa tan bon punt es completa l’etapa actual. L’objectiu és determinar una seqüència òptima de producció que minimitzi el temps per cicle. a) Representa simbòlicament el problema en forma de graf. b) Escriu un model matemàtic de programació mixta. c) Escriu un model matemàtic aproximat de programació lineal. d) Resol el problema i comprova damunt el graf la validesa de la solució obtinguda. e) Resol el problema considerant, però, uns temps de neteja d’una hora en totes les etapes.



60

7.17 (E, a-c) Una empresa de construcció ha d’assignar quatre treballadors a quatre tasques (cada treballador s’ocuparà només de la tasca que li sigui assignada). La següent taula especifica els índexs d’eficiència de cada treballador en cadascuna de les tasques. Un guió “—“ a la cel·la (i, j) vol dir que el treballador “i” no està qualificat per portar a terme la feina “j”.

Feina

1 2 3 4 1 45 — — 30 2 50 55 15 — 3 — 60 25 75

Treballador

4 45 — — 35 L’objectiu és assignar les feines als treballadors tot maximitzant l’índex total d’eficiència (suma dels índexs d’eficiència individuals). Possiblement, aquest problema es pot plantejar de diverses maneres. Aquí escollim plantejar el problema com un model de xarxa de flux/ assignació:

a) Dibuixa el corresponen graf on aparegui la informació característica dels problemes de xarxa de flux.

b) Formula el corresponent model de programació lineal. Indica clarament quines són les variables, la funció objectiu, i les restriccions.

c) Una modificació del problema anterior es produeix quan hi ha un nombre major de treballadors que no pas feines. Imagina que l’empresa disposa d’un cinquè treballador amb índexs d’eficiència (55, 50, 20, —) per a les respectives feines (1-4). Mostra que aquest problema modificat també es pot plantejar com un problema de xarxa de flux tot dibuixant el corresponent graf [el qual hom pot considerar, doncs, una versió ampliada del que has dibuixat a l’apartat (a)].

d) Escriu el corresponent programa de GAMS per al problema de l’apartat (c). Executa el programa de GAMS i determina la distribució òptima de tasques.

7.18 (E) Has de planificar els sistemes energètics d’un nou edifici. Hi ha tres fonts d’energia disponibles: electricitat, gas natural, i un sistema d’energia solar. L’edifici necessita energia per a tres funcions diferents: escalfar aigua, escalfar l’ambient (calefacció), i consum d’electricitat (llums, electrodomèstics, ordinadors, copiadores, etc.). La següent taula mostra els costs unitaris de cada tipus d’energia per a cada funció, la disponibilitat màxima d’unitats de cada tipus d’energia, i els requeriments d’unitats d’energia per a cada funció:

Preu de l’energia, en €/unitat Electricitat Gas natural Energia Solar Unitats totals

requerides Escalfar aigua 90. 60. 30. 10.

Escalfar ambient 80. 50. 40. 30. Consum elèctric 50. NO POSSIBLE NO POSSIBLE 20. Límit d’unitats disponibles

SENSE LÍMIT SENSE LÍMIT 30.

Observa que només les unitats d’energia solar són limitades, i que pel consum elèctric directe només hom pot utilitzar electricitat de la xarxa elèctrica.



61

a) Mostra que el problema es pot plantejar segons un model de xarxa de flux, tot dibuixant el corresponent graf on hi aparegui tota la informació rellevant.

b) Escriu el corresponent model matemàtic de programació lineal. Llista les variables del problema i explica el significat cada variable. Escriu una funció objectiu, on apareguin aquestes variables i les constants numèriques que s’escaiguin. Escriu les restriccions del problema on hi apareguin les variables i les constants numèriques que s’escaiguin.

7.19 (E, a i b) Una empresa s’ha compromès a subministrar al seu millor client tres aparells durant cadascuna de les 3 setmanes següents (és a dir, 9 aparells en total), tot i saber que la producció d’aquests aparells requerirà treballar una bona quantitat d’hores extra. La següent taula presenta les dades de producció de l’empresa per a les properes tres setmanes.

Setmana no.

Màxima producció

en horari normal

Màxima producció

en hores extra

Cost de producció en

horari normal

(€/unitat)

1 2 2 300.

2 2 1 500.

3 1 2 400.

El cost per unitat produïda en hores extra és, per a totes tres setmanes, 100 € per damunt del corresponent cost en horari normal. El cost d’emmagatzematge és de 50 € setmanals per unitat (el client vol que se li lliurin exactament tres aparells cada setmana, i no n’acceptarà més). A l’inici de la primera setmana, hom disposa de dos aparells al magatzem, però l’empresa no vol que hi quedi cap aparell al final de la tercera setmana. La direcció de l’empresa vol saber quants aparells s’han de fabricar cada setmana per a maximitzar els guanys (és a dir, minimitzar els costs). a) El problema es pot plantejar com un model de xarxa de flux. Demostra-ho tot dibuixant el

corresponent graf on hi aparegui tota la informació pertinent (vèrtexs, camins, demandes, costs unitaris, capacitats màximes, etc.). A l’etiquetatge dels vèrtexs ha de quedar clar el significat de cadascun d’ells (o, altrament, afegeix una llegenda a part). Ajut: nota que per a les dues primeres setmanes cal considerar la possibilitat de transferir producció cap a magatzem(s), mentre que en qualsevol de les tres setmanes hi ha la possibilitat de transferir des de magatzem(s).

b) Escriu el corresponent model matemàtic de programació lineal per al problema de xarxa de flux que has formulat (simbòlicament) a l’apartat anterior.

c) Resol el model per a determinar la política de producció òptima de l’empresa. 7.20 (E, a i b) En una Escola Universitària cal assignar la càrrega docent de quatre assignatures en un determinat quadrimestre d’un determinat Curs:

Assignatura A1 A2 A3 A4

Crèdits 6 9 4.5 6

La càrrega docent s’ha de distribuir entre tres professors, cadascun dels quals té una disponibilitat màxima de crèdits que pot impartir:



62

Professor P1 P2 P3

Disponibilitat (crèdits) 12 9 10

Nota que desprès d’assignar la docència de les sis assignatures entre els tres professors, aquests encara tindran en conjunt un romanent de crèdits (que serviran per a impartir altres assignatures; qüestió que no ens ocupa en aquest exercici).

El Departament responsable de la docència vol assajar un nou procediment de distribució amb la idea de maximitzar l’eficiència global. Basant-se en el perfil de cada professor i en dades estadístiques de quadrimestres anteriors, el Departament ha elaborat la següent taula d’eficiències relatives (crèdits aprofitats / crèdits impartits pel professor) de cada professor en impartir cada matèria:

A1 A2 A3 A4

P1 0.73 0.69 0.51 0.63

P2 0.57 0.84 0.88 0.56

P3 0.69 0.82 0.86 0.52

Es tracta de repartir la docència de les quatre assignatures entre els tres professors tot maximitzant el nombre total de crèdits aprofitats. Assumeix que la docència de qualsevol assignatura pot ésser impartida per qualsevol nombre de professors (u, dos o tres).

a) Demostra que el problema es pot plantejar com un model de xarxa de flux tot dibuixant el corresponent graf amb tota la informació rellevant (si et cal, no dubtis en utilitzar tota una pàgina per a dibuixar el graf si això en facilita la seva interpretació; el dibuix pot ser apaïsat).

b) Escriu el corresponent model matemàtic de programació lineal, on hi aparegui la funció objectiu i totes les restriccions necessàries, i explicant també (de forma concisa) el significat de les variables que utilitzis.

c) Resol el model matemàtic de l’apartat anterior per a determinar la programació òptima de la docència durant el quadrimestre.

Documents

Universitat Rovira i Virgili Escola Tècnica Superior d ... · Universitat Rovira i Virgili Escola Tècnica Superior d’Enginyeria Química Simulació i Optimització de Processos