UNIVERZITET CRNE GOREUNIVERZITET CRNE GOREGRAĐEVINSKI FAKULTETGRAĐEVINSKI FAKULTET

STATIKA KONSTRUKCIJA 1STATIKA KONSTRUKCIJA 1

ššk.god. k.god. 20201111/20/201212

STATIKA KONSTRIKCIJA 1  -TEORIJA KONSTRUKCIJA- stručno-naučna disciplina koja se bavi proračunom napona, deformacija I pomjeranja u inžinjerskim konstrukcijama u skladu sa zakonima mehanike deformabilnog tijela. U zavisnosti od vrste opterećenja na koje računamo uticaje (napone, deformacije i pomjeranja) razlikujemo sljedeće oblasti teorije konstrukcija:1. STATIKA2. DINAMIKA3. STABILNOST Statičkim metodama se računaju uticaji usljed dejstva opterećenja koje se ne mijenja u toku vremena.Dinamičko opterećenje se mijenja u toku vremena.

  

         

STATIKA DINAMIKA STABILNOST      Pri statičkom opterećenju Pri dinamičkom opterećenju

    LINIJSKI NOSAČI POVRŠINSKI NOSAČI 

 

Elastičan materijal Plastičan materijal Viskozan materijal

  

P P(t) P(t) P0

   t t t plastična zona

Nosači koji mogu da se prikažu kao linije (prave, izlomljene i krive) nazivaju se linijski nosači:   

  

Prosta greda

Među tim metodama, prvo su se formulisale danas dobro poznate metode Statike linijskih nosača.

-J.C. Maxwell (1831.-1879.), izlaže postupak za proračun statički neodređenih linijskih nosača- O. Mohr (1835.-1918.) izlaže sličan postupak- Muller- Breslau, 1886., izlaže novi postupak proračuna statički neodređenih linijskih nosača usvajajući reakcije oslonaca i presječne sile za nepoznate veličine(metoda sila).- H. Manderla, 1880., daje ideju o korišćenju pomjeranja i obrtanja čvorova kao osnovnih neodređenih veličina(tačna metoda deformacija). Imajući u vidu veliki broj jednačina koji se pojavljuje u ovoj metodi, kao i raspoloživa proračunska sredstva, ova metoda nije imala široku primjenu. - O. Mohr je predložio upročćeni postupak koji je predložio Manderla, određujući pomjeranja čvorova datog nosača kao pomjeranja čvorova nosača sa zglavkastim vezama. Na taj način broj jednačina se znatno smanjio (približna metoda deformacije). - A. Bedihen i G.A. Maney prethodnu metodu uopštavaju i primjenjuju za okvirne konstrukcije.-Nakon toga 1920. godine razvijeno je nekoliko iterativnih metoda za proračun linijskih nosača.- H. Cross, 1930., predlaže Krosovu metodu -Nakon 30-te godine predloženo je niz približnih metoda.

- poslednjih 40- tak godina, za razliku od dosadašnjih klasičnih metoda, razvijaju se savremene ili moderne metode proračuna. Ove metode koriste matrični aparat i nazivaju se matrične metode, a sam način analize konstrukcija primjenom ovih metoda naziva se matrična analiza konstrukcija. Razvoj ovih metoda išao je uporedo sa razvojem računara.

* Levy- daje osnovne jednačine metode sila u matričnom obliku sredinom 20 vijeka,* Lang, Bisplinghof, Langefors, Wehlw, lansing i drugi razrađuju koncept matrične

formulacije metode sila uz primjenu računara.* Lavy a kasnije i Argyris sa saradnicima izlažu opštu matričnu formulaciju na bazi

osnovnih energetskih principa. Njihovi radovi predstavljaju osnovu za dalji razvoj metoda matrične analize konstrukcija.

       

TEORIJA ŠTAPA OSNOVNE JEDNAČINE TEHNIČKE TEORIJE ŠTAPOVA U RAVNI

1 Γ 2 i F k  

Slika 1 -          krivi štap-          pravi štap  Liniju ik nazivamo osa štapa, dok su površi F poprečni presjeci štapa. -štap konstantnog poprečnog presjeka - štap promjenljivog poprečnog presjeka.

Štap čija osa sa jednom od glavnih centralnih osa inercija poprečnih presjeka leži u jednoj ravni nazivamo ravan štap, a odgovarajuću ravan nazivamo ravan štapa. - prostorni štapovi

Deformacija ose štapa Ravna deformacija

     Slika 2

  

 Slika 2a

c c1

x i k ds v c

y i' c'

u c1'

(1+)ds k'

  Slika 3

- deformacijske veličine ose štapa   - specifična promjena dužine, odnosno, dilatacija elementa ose štapa. Ovo je čista deformacijska veličina jer postoji samo na onim mjestima na kojima se osa deformiše.- je ugao za koji se obrne element ose štapa. Ovo nije čista deformacijska veličina jer može postojati i bez deformacije elementa.d - je promjena ugla između tangenti u beskonačno bliskim tačkama ose. Ovo je čista deformacijska veličina i ako se element ne deformiše jednaka je nuli.

vu,

c dx x c1

dy v ds u+du u + y c' v+dv (1+)ds c1' d 

  

Slika 4

dx=ds cosdy=ds sindx+u+du=u+(1+)ds cos(dy+v+dv=v+(1+)ds sin(nelinearni sistem jednačina---------------------------du= (1+)ds cos(dx (1)dv= (1+)ds sin(dy nelinearni sistem jednačina , teorija konačnih-velikih deformacija teorija konačnih ili teorija velikih deformacija. Pretpostavka o malim deformacijama: «1 «1 i ≈0 tada su cossincos

cos()cossiniz relacijecoscossinsinsin()sincosiz relacijesincossincos du= (1+)ds (cossindx dx=ds cos dv= (1+)ds (sincosdy dy=ds sin----------------------du= dx-dy (2)dv= dy+dx ---------------------

Deformacija štapa -Bernolli-jeva pretpostavka - tačna za prave prizmatične štapove napregnute na čisto savijanje

    u  c z u(z) cz c'

v(z) czי

      t tt

   

Slika 5

   u  c c1

z c ' ds' cz c1z z c1'

cz' dsz'

ds c1z'

       t dtt''

dd(t)

       O' O1'

Slika 6t – klizanje poprečnog presjeka, čisto deformacijska veličina

Klizanje je promjena ugla između dva pravca pri deformaciji.

1cos,coszvvz

sin,sinzuu

ttz

tttz

(t)«1, cos(t)≈1, sin (t) ≈(t)

-----------------------------

---------------------------- ds'=(1+)ds

  

dsz'=(1+z)ds c'c1'O1'

cz'cz1'O1'

na slici 6 Primjenom sinusne teoreme: 

1' - poluprečnik krivine

sin( t) =cos t

t«1

cost≈1

vv

zuu

z

tz

)2(

2sin

z

dsin

ds1

)1(

2sin

dsin

ds1

t

1

t

z

t

1

t

Iz 1 se dobija: 

(1+)ds=1' sin(d(t)) Iz 2 se dobija: 

(1+z)ds=(1'-z) sin(d(t)) d(t)«1

sin(d(t))≈ d(t)

  (1+)ds=1' d(t)

  (1+z)ds=(1'-z) d(t) -------------------------------------  (1+z)ds=()ds-z d(t) /:ds

  1+z =() -z d(t)/ds

-----------------------

promjena krivine štapa

Promjena krivine je čista deformacijska veličina

dilatacija poprečnog presjeka po veličini z je linearna  z=z

 

ds

-d- t

zz

 Spoljašnje i unutrašnje sile 

-          zapreminske i -          površinske sile

-          aktivne sile-          reaktivne sile

Statički ekvivalentne sile i momenti 

p  p  m    Rik Mik p m Mki

   i k Slika 7 Rki

    R Mi s k raspodijeljena sila raspodijeljeni momenti   p m i k i k 

  

P Py Py= P sin Px Px= P cos

pds

dR

s

Rlim

0s

m

ds

dM

s

Mlim

0s

F

F

F

zdFM

dFT

dFN

F- površina poprešnog presjekaN- normalna sila , sila u pravcu ose štapaT – transverzalna sila, u ravni presjeka a upravna na osu štapaM- moment savijanja

Sile N, T i M nazivamo zajedničkim imenom sile u presjeku ili presječne sile

M T  N

  T M  N

Konvencija o pozitivnom smjeru:-          normalna sila je pozitivna kada isteže štap-          transverzalna sila je pozitivna kada suprotan kraj štapa obrće u smjeru skazaljke časovnika-          moment savijanja je pozitivan kada zateže donju stranu štapa.  

N T V M c

M c i k H

i c M

c M k T N H VH= N cos - T sin V= N sin + T cos  N= H cos + V sin T=- H sin +V cos

Uslovi ravnoteže elementa štapa SPOLJAŠNJE SILE STOJE U RAVNOTEŽI SA UNUTRAŠNJIM SILAMA NA NEDEFORMISANOM ŠTAPU. Uslove ravnoteže elementa štapa

N T V M pnds M pydx M+dM

ptds M+dM pxdx H+dH

H dxds N+dN V+dV T+dT

dN+ptds=0 dH+p xdx=0

dT+pnds=0 dV+p ydx=0

dM -T ds=0 dM -T dx=0

uslovi ravnoteže- veze spoljašnjih sila i sila u presjecima

Veze između deformacijskih veličina elementa ose štapa, sila u presjecima i temperaturnih promjena Važi Hukov zakon - materijal idealno elastičan- linearna veza napona i deformacija.

(3)z - dilatacija

z - normalni napon

t(z) - temperaturna promjenat - koeficijent linearne temperaturne dilatacije materijala.

ztE t

zz

  to t

t= tu- to

t t- temperaturna razlikazhtz t=( tu+to)/2 temperaturna razlika

  tu

Eh

tztE tzz

zz

h

tztEzE tz

h

tEztE ttz

tEFzdFh

tEdFtEzdF

h

tEdFtEdFzN t

F F

tt

F F

tt

F

h

tEIdFz

h

tEzdFtEdFz

h

tEzdFtEdFzzM t

F F

2tt

F F

2tt

F

IdFz0zdFFdFF

2

FF

 

veze sila u presjecima i deformacijske veličina tEFN t

h

tEIM t

veze deformacijske veličina i sila u presjecima

h

t

EI

M

tEF

N

t

t

N N 

M M ds

ds

- (z) ugao klizanja- (z) smičući napon - G moduo klizanja

G

zz

Hipoteza Žuravskog:

S -statički moment dijela površine iznad i ispod prave linije z=consb- širina poprečnog presjeka na mjestu zI – moment inercije presjeka - promjena ugla između dva prvobitno upravna pravca.

bI

TSz

bIG

TSz

h t tds

z (y) /2-max

 

ds ds

Rad napona smicanja na posmatranom elementu štapa pri stvarnoj raspodjeli ugla klizanja jednak radu tih napona pri pretpostavljenoj raspodjeli klizanja:

 

GF

TkdsdF

b

s

I

F

GF

TdsdF

GdsdsdFdA

FF F

2

2

2

2

22

dsTdFdsdsdFAd t

F F

tt dAAd

dsTGF

Tkds t

2

GF

kTt

Pregled jednačina i graničnih uslova teorije savijanja štapa u ravni du= dx-dy dv= dy+dx (A)d(t)= - ds

dN+ptds=0

dT+pnds=0 (B)

dM -T ds=0

(C)

h

t

EI

M

tEF

N

t

t

GF

kTt

Na raspolaganju nam stoji devet jednačina sa 9 nepoznatih :-          dva pomjeranja u, v i ugao obrtanja elementa štapa -          tri statičke veličine N,T,M sile i momenti-          tri deformacijske veličine t dilatacija, promjena krivine i klizanje

 

 -Kada su tri granična uslova po silama i tri granična uslova po pomjeranjima tada kažemo da zadatak statički

-Kada jedan, dva ili tri granična uslova po silama zamijenimo graničnim uslovima po pomjeranjima tada sile u presjecima ne mogu da se odrede iz uslova ravnoteže nezavisno od pomjeranja tačaka i obrtanja presjeka. Tada je zadatak proračuna sila u presjecima statički neodređen.

  M=0 M=0, N=0 po silama 3 uslova –statički određen 

u=0,v=0,=0 M=0,N=0, v=0 po silama 2<3, po pomjeranjima 4- statički neodređen

  po silama 0<3, po pomjeranjima 6>3

statički neodređen 

U linearnoj teoriji konstrukcija važi princip superpozicije uticaja.   

 

u=0,v=0,=0 u=0,v=0,=0