1

ZADACI IZ DEFORMACIJA PRI SAVIJANJU

Zadatak 1: Čelična greda (E=20000kN/cm2) čiji je poprečni presek standardni profil T120,

opterećena je silom F=2kN i kontinualnim opterećenjem q=3kN/m.

Odrediti ugib na sredini raspona i nagib kod desnog oslonca.

Rešenje: Sila F na prepustu redukuje se na oslonac B i dodaje se spreg

kNmFM 2121 . Sila u osloncu ne utiče na ugib i nagib pa je: )()( M

K

q

KKfff ............(1)

)()( Mq ..................(2)

- za gredu sa kontinualnim opterećenjem (str.75): (l=4m, q=3kN/m)

BBB

ql

BBf

B

qlf qq

Klz

8

24

43

24

10

384

435

384

5 3)(

34)(

4

2/

- za gredu sa spregom kod desnog oslonca (str.77): (l=4m, M=2kNm)

B

,

BB

Ml

BBf

B

Mlf )M()M(

K/lz

672

3

42

3

2

16

42

16

22

2

E=20000kN/cm2

; za profil T120 (str. 72) 4366cmIx 244 10732366102 kNcmEIB

x

Ugib: (1)→ cmkNcm

kNcm

B

kNm

BBfff M

K

q

KK 09,110732

108821024

363)()(

Nagib: 0

24

242)()( 417,0

18000728,0

10732

1033,533,567,28)2(

rad

kNcm

kNcm

B

kNm

BB

Mq

Zadatak 2: Čelična greda (E=20000kN/cm2), dužine 2m, čiji je poprečni

presek pravougaonik osnovice 2cm i visine 10cm, opterećena je silom

F=48kN. Odrediti ugib na sredini raspona.

Rešenje: Za gredu sa silom na sredini (str.73)

(l=2m, F=-48kN zbog suprotnog smera) BB

fB

Flf C

8

48

248

48

33

max

Savojna krutost: E=20000kN/cm2; pravougaoni presek (str. 19) 4

33

67,16612

102

12cm

bhI x

244 1033,33367,166102 kNcmEIB x Ugib: cmkNcm

kNcm

B

kNm

BfC 4,2

1033,333

1088824

363

Zadatak 3: Čelična konzola (E=20000kN/cm2), dužine 1m, čiji je presek dat na slici, opterećena je

silom F=10kN i kontinualnim opterećenjem q=20kN/m. Odrediti ugib na kraju konzole.

Rešenje: )()( F

B

q

BB fff ............(1)

- za konzolu sa silom na kraju (str.78): (l=1m, F=10kN)

BB

fB

Flf F

Blz

33,3

3

110

3

3)(

3

- za konzolu sa kontinualnim opter. od polovine do kraja raspona

(str.79): (l=1m, q=20kN/m) BB

fB

qlf q

Blz

13,2

384

12041

384

41 4)(

4

Savojna krutost: E=20000kN/cm2; za presek (str. 19)

43333

5,31012

6396

12cm

bhBHI x

→ 264 1021,65,310102 kNcmEIB x

Ugib: (1)→ cmkNcm

kNcm

B

kNm

BBfB 88,0

1021,6

1046,546,533,313,226

363

Fq

AB

4m 1m

F

l/2 l/2

A B

x

y

9cm 6

3

6

F

A B

l/2l/2

q

2

y

8

12

8 cm

4

x

Zadatak 4: Čelična greda (E=20000 kN/cm2), dužine l=2 m, čiji je poprečni presek a) standardni

T140 profil i b) presek dat na slici, opterećena je silom

F=20 kN i kontinualnim opterećenjem q= 20 kN/m.

Odrediti ugib na sredini raspona grede i nagib u levom

osloncu.

Rešenje:

Ugib na sredini raspona grede i nagib u levom osloncu:

𝑓𝐶 = 𝑓𝐶(𝑞)

+ 𝑓𝐶(𝐹)

𝐺2 − 𝑧𝑎 𝑔𝑟𝑒𝑑𝑢 𝑜𝑝𝑡𝑒𝑟𝑒ć𝑒𝑛𝑢 𝑠𝑖𝑙𝑜𝑚 𝐹 𝑛𝑎 𝑠𝑟𝑒𝑑𝑖𝑛𝑖 𝑟𝑎𝑠𝑝𝑜𝑛𝑎(𝑠𝑡𝑟. 5 𝑢 𝑑𝑜𝑑𝑎𝑡𝑘𝑢):

𝑓max =𝐹 ∙ 𝑙3

48 ∙ 𝔹 ; 𝛼 =

𝐹 ∙ 𝑙2

16 ∙ 𝔹

𝑓𝐶(𝐹)

=20 ∙ 23

48 ∙ 𝔹=

3,33

𝔹 ; 𝛼𝐴

(𝐹)=

20 ∙ 22

16 ∙ 𝔹=

5

𝔹

𝐺8 − 𝑧𝑎 𝑔𝑟𝑒𝑑𝑢 𝑜𝑝𝑡𝑒𝑟𝑒ć𝑒𝑛𝑢 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢𝑎𝑙𝑛𝑖𝑚 𝑜𝑝𝑡𝑒𝑟𝑒ć𝑒𝑛𝑗𝑒𝑚 𝑞 (𝑠𝑡𝑟. 6 𝑢 𝑑𝑜𝑑𝑎𝑡𝑘𝑢):

𝑓max =57 ∙ 𝑞 ∙ 𝑙4

6144 ∙ 𝔹 ; 𝛼 =

11 ∙ 𝑞 ∙ 𝑙3

384 ∙ 𝔹

𝑓𝐶(𝑞)

=57 ∙ 20 ∙ 24

48 ∙ 𝔹=

2,97

𝔹 ; 𝛼𝐴

(𝑞)=

11 ∙ 20 ∙ 23

384 ∙ 𝔹=

4,58

𝔹

𝑓𝐶 =3,33 + 2,97

𝔹=

6,3 [kNm3]

𝔹 [kNcm2]=

6,3 ∙ 106 [kNcm3]

𝔹 𝛼𝐴 =

5 + 4,58

𝔹=

9,58 ∙ 104 [kNcm2]

𝔹

a) Standardni profil T140: Ix = 660 cm4.

𝔹 = 𝐸 ∙ 𝐼𝑥 = 2 ∙ 104 ∙ 660 = 13,2 ∙ 106 kNcm2

𝑓𝐶 =6,3 ∙ 106

13,2 ∙ 106= 0,477 cm = 4,77 mm

𝛼𝐴 =9,58 ∙ 104

1320 ∙ 104= 0,00726 rad ∙

180

π= 0,416° = 0°24,58,,

b) B = 8 cm; b = 4 cm; h 8 cm; H = 12 cm

Ix=B∙H3-b∙h3

12=

8∙123-4∙83

12=981,33 cm4

𝔹 = 𝐸 ∙ 𝐼𝑥 = 2 ∙ 104 ∙ 981,33 = 19,6 ∙ 106 kNcm2

𝑓𝐶 =6,3 ∙ 106

19,6 ∙ 106= 0,3214 cm = 3,214 mm

𝛼𝐴 =9,58 ∙ 104

1960 ∙ 104= 0,00488 rad ∙

180

π= 0,28° = 0°16,48,,

0,5m 0,5m 0,5m 0,5m

B A

F q

C

x

3

Zadatak 5: Čelična greda (E=20000 kN/cm2) dužine 2,5 m, čiji je poprečni presek dat na

slici,opterećena je silom F = 48 kN. Odrediti ugib

na sredini raspona grede i nagib u osloncima A i B.

Rešenje:

Redukovana sila F na osloncu B daje moment:

𝑀 = 𝐹 ∙ 0,5 = 48 ∙ 0,5 = 24 𝑘𝑁𝑚

Ugib na sredini raspona grede je izazvan dejstvom sile F na polovini dužine grede i momenta u

desnom osloncu:

𝑓𝐶 = 𝑓𝐶(𝐹)

+ 𝑓𝐶(𝑀)

𝑓𝐶 =𝐹 ∙ 𝑙3

48 ∙ 𝔹−

𝑀 ∙ 𝑙2

16 ∙ 𝔹=

48 ∙ 23

48 ∙ 𝔹−

24 ∙ 22

16 ∙ 𝔹=

2 ∙ 106 [𝑘𝑁𝑐𝑚3]

𝔹

Nagib na osloncu A i B:

𝛼𝐴 =𝐹 ∙ 𝑙2

16 ∙ 𝔹−

𝑀 ∙ 𝑙

6 ∙ 𝔹=

48 ∙ 22

16 ∙ 𝔹−

24 ∙ 2

6 ∙ 𝔹=

4 ∙ 104 [𝑘𝑁𝑐𝑚2]

𝔹

𝛽𝐵 = −𝐹 ∙ 𝑙2

16 ∙ 𝔹+

𝑀 ∙ 𝑙

3 ∙ 𝔹= −

48 ∙ 22

16 ∙ 𝔹+

24 ∙ 2

3 ∙ 𝔹=

4 ∙ 104 [𝑘𝑁𝑐𝑚2]

𝔹

Za standardni profil I12 na strani 3 u dodatku radnog materijala:

𝐼𝑥1 = 𝐼𝑥(1)

= 328 𝑐𝑚4 , ℎ = 12 𝑐𝑚.

Moment inercije pravougaonog poprečnog preseka:

𝐼𝑥2 = 𝐼𝑥(2) =

𝑏 ∙ ℎ3

12=

1 ∙ 123

12= 144 𝑐𝑚4

Ukupni moment inercije za dati presek:

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥1 + 2 ∙ 𝐼𝑥2 = 328 + 2 ∙ 144 = 616 𝑐𝑚4

Savojna krutost:

𝔹 = 𝐼𝑥 ∙ 𝐸 = 616 ∙ 2 ∙ 104 = 12,32 ∙ 106 [𝑘𝑁𝑐𝑚2]

= 1232 ∙ 104[𝑘𝑁𝑐𝑚2]

Ugib na polovini raspona grede:

𝑓𝐶 =2 ∙ 106 [𝑘𝑁𝑐𝑚3]

12,32 ∙ 106= 0,162 𝑐𝑚

Nagib na osloncu A:

𝛼𝐴 =4 ∙ 104 [𝑘𝑁𝑐𝑚2]

1232 ∙ 104= 0,003246 𝑟𝑎𝑑 ∙

180

𝜋= 0,186°

Nagib na osloncu B:

𝛽𝐵 =4 ∙ 104 [𝑘𝑁𝑐𝑚2]

1232 ∙ 104= 0,003246 𝑟𝑎𝑑 ∙

180

𝜋= 0,186°

4

ZADACI IZ EKSCENTRIČNOG NAPREZANJA

Zadatak 1: Kratak čelični stub, poprečnog preseka koji se sastoji od dva pravougaonika

osnovice b/2=1cm i h=3cm, pritisnut je u tački N0 ekscentričnom aksijalnom silom

F=25kN. a) Naći glavne centralne momente inercije. b) Naći odsečke neutralne ose i

nacrtati je a potom sračunati vrednosti normalnog napona i nacrtati dijagram napona.

Rešenje: presek se sastoji iz dva pravougaonika,

obrasci za momente inercije uzimaju se sa str 19.

423

1

23

433

2

1

2

1

235,012

3125,0

122

5,412

312

122

62331

cmAhb

I

cmbh

I

cmAAcmbhA

y

x

222

2

4

min2

212

1

4

max1

33,06

22

75,06

5,45,4

cmA

IicmIII

cmA

IicmIII

y

x

Koordinate napadne tačke N0: u0=0 , v0=1,5cm

Odsečci neutralne ose: cmv

ib

u

ia 5,0

5,1

75,0

0

33,0

0

2

1

0

0

2

2

0

Računanje napona:

21

022

21

022

021

0 10

11i

vv

A

F

i

u

i

vv

A

F

i

uu

i

vv

A

F

MPa,cm

kN,

,

,,

i

vv

A

FN 71666716

750

51511

6

251

221

0

0

MPa,

cm

kN,

,

,,

i

vv

A

FA 383338

750

51511

6

251

221

0

Zadatak 2: Kratak čelični stub, prikazanog poprečnog preseka (standardni profil I20), pritisnut je u

tački N0 ekscentričnom aksijalnom silom F=80kN. Naći odsečke neutralne ose i nacrtati je a potom

sračunati vrednosti normalnog napona i nacrtati dijagram napona.

Rešenje: Podaci za poprečni presek uzimaju se sa str. 71 za presek I20: 442 11721405,3320200 cmIcmIcmAcmmmh

yx .

Pošto je presek zaokrenut u odnosu na položaj u tablicama biće: 44 1172140 cmIcmIxy

222

2

4

min2

212

1

4

max1

49,35,33

117117

88,635,33

21402140

cmA

IicmIII

cmA

IicmIII

x

y

Koordinate napadne tačke N0: u0=0 , v0=10cm

Odsečci neutralne ose: cmv

ib

u

ia 4,6

10

88,63

0

49,3

0

2

1

0

0

2

2

0

Računanje napona:

21

0

22

21

0 10

1i

vv

A

F

i

u

i

vv

A

F

MPa,cm

kN,

,,i

vv

A

FN 261126

8863

10101

533

801

221

0

0

MPa,

cm

kN,

,,i

vv

A

FA 513351

8863

10101

533

801

221

0

b

h

5

Zadatak 3: Kratak čelični stub, prikazanog poprečnog preseka (b=2cm, h=3cm),

pritisnut je u tački N0 (0,5;1) ekscentričnom aksijalnom silom F=25kN. a) Naći

glavne centralne momente inercije. b) Naći odsečke neutralne ose i nacrtati je a

potom sračunati vrednosti normalnog napona i nacrtati dijagram napona. c)

Odrediti temena jezgra preseka.

Rešenje:

4

33

4

33

2 212

32

125,4

12

32

12632 cm

hbIcm

bhIcmbhA

yx

222

2

4

min2

212

1

4

max1

33,06

22

75,06

5,45,4

cmA

IicmIII

cmA

IicmIII

y

x

Koordinate napadne tačke N0:

u0=0,5cm , v0=1cm

Odsečci neutralne ose:

cmv

ib

cmu

ia

75,01

75,0

66,05,0

33,0

0

2

10

0

2

20

Najudaljenije su tačke A i B:

uA=1cm, vA=1,5cm, uB=-1cm, vB=-1,5cm

Računanje napona:

MPacm

kN

i

uu

i

vv

A

FAA

A1,18881,18

33,0

5,01

75,0

15,11

6

251

22

2

0

2

1

0

MPa

cm

kN

i

uu

i

vv

A

FBB

B8,10448,10

33,0

5,01

75,0

15,11

6

251

22

2

0

2

1

0

Jezgro preseka:

n1-n1: cmb

iv

a

iucmba 5,0

5,1

75,00

33,05,1

1

2

1

1

1

2

2

111

N1(0; 0,5) tangenta n3-n3 je simetrična sa n1-n1 pa je N3(0; -0,5)

n2-n2: 075,0

33,012

2

1

2

2

2

2

222

b

ivcm

a

iubcma

N2(-0,33; 0) tangenta n4-n4 je simetrična sa n2-n2 pa je N4(0,33; 0)

b

h

N0

6

Zadatak 4: Kratak čelični stub, prikazanog poprečnog

preseka, opterećen je u tački N0 ekscentričnom

aksijalnom silom F=81 kN. Naći odsečke neutralne ose i

nacrtati je, a zatim sračunati vrednosti normalnog

napona i nacrtati dijagram napona.

Rešenje:

𝐴1 = 3 ∙ 6 = 18 𝑐𝑚2, 𝐴2 = 15 ∙ 3 = 45 𝑐𝑚2 , 𝐴 = 2 ∙ 𝐴1 + 𝐴2 = 81 𝑐𝑚2

𝐼𝑥 =15 ∙ 33

12+ 2 ∙ [

6 ∙ 33

12+ 32 ∙ 18] = 384,75 𝑐𝑚4 → 𝐼𝑥 = 𝐼𝑚𝑖𝑛 = 𝐼2 → 𝑖2

2 =𝐼2

𝐴= 4,75 𝑐𝑚2

𝐼𝑦 =3 ∙ 153

12+ 2 ∙

63 ∙ 3

12= 951,75 𝑐𝑚4 → 𝐼𝑦 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐼1 → 𝑖1

2 =𝐼1

𝐴= 11,75 𝑐𝑚2

Koordinate napadne tačke N0: [u0=0; v0=7,5]; A[uA=0; vA= -7,5].

Odsečci neutralne ose:

𝑎0 = −𝑖2

2

𝑢0= ∞

𝑏0 = −𝑖1

2

𝑣0= −1,57𝑐𝑚

Računanje napona:

𝜎𝑁0= −

𝐹

𝐴∙ (1 +

𝑢0 ∙ 𝑢0

𝑖22 +

𝑣0 ∙ 𝑣0

𝑖12 )

𝜎𝑁0= −

𝐹

𝐴∙ (1 + 0 +

𝑣02

𝑖12 )

𝜎𝑁0= −

𝐹

𝐴∙ (1 + 0 +

7,52

11,75) = −5,78

𝑘𝑁

𝑐𝑚2

𝜎𝐴 = −𝐹

𝐴∙ (1 +

𝑢𝐴 ∙ 𝑢0

𝑖22 +

𝑣𝐴 ∙ 𝑣0

𝑖12 )

𝜎𝐴 = −𝐹

𝐴∙ (1 + 0 +

𝑣𝐴 ∙ 𝑣0

𝑖12 )

𝜎𝐴 = −𝐹

𝐴∙ (1 + 0 +

(−7,5) ∙ 7,5

11,75) = 3,78

𝑘𝑁

𝑐𝑚2

7

Zadatak 5: Kratak čelični stub, prikazanog poprečnog preseka, pritisnut je u

tački N0 ekscentričnom aksijalnom silom F=45 kN.

a) Naći glavne centralne momente inercije;

b) Naći odsečke neutralne ose i

nacrtati je, a potom sračunati vrednosti

normalnog napona inacrtati dijagram

napona.

Rešenje:

Težište je na y osi jer je to osa simetrije, tj. xC = 0.

𝐴1 = 15 ∙ 3 = 45 𝑐𝑚2

𝐴2 = 15 ∙ 3 = 45 𝑐𝑚2

𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 = 90 𝑐𝑚2

𝑦1 = 7,5 𝑐𝑚 ; 𝑦2 = 16,5 𝑐𝑚

𝑦𝐶 =𝐴1 ∙ 𝑦1 + 𝐴2 ∙ 𝑦2

𝐴=

45 ∙ 7,5 + 45 ∙ 16,5

90= 12 𝑐𝑚

Momenti inercije: b1=3 cm; h1=15 cm; b2=15 cm; h2=3 cm

𝐼𝑥 = 𝐼𝑥(1)

+ 𝐼𝑥(2)

= [𝐼𝑥1 + (𝑦1 − 𝑦𝐶)2 ∙ 𝐴1] + [𝐼𝑥2 + (𝑦2 − 𝑦𝐶 )2 ∙ 𝐴2]

𝐼𝑥 = [𝑏1 ∙ ℎ1

3

12+ (𝑦1 − 𝑦𝐶)2 ∙ 𝐴1] + [

𝑏2 ∙ ℎ23

12+ (𝑦2 − 𝑦𝐶 )2 ∙ 𝐴2]

𝐼𝑥 = [3 ∙ 153

12+ (7,5 − 12)2 ∙ 45] + [

15 ∙ 33

12+ (16,5 − 12)2 ∙ 45] = 2700 𝑐𝑚4

𝐼𝑦 = 𝐼𝑦(1)

+ 𝐼𝑦(2)

= [𝐼𝑦1 + (𝑥1 − 𝑥𝐶)2 ∙ 𝐴1] + [𝐼𝑦2 + (𝑥2 − 𝑥𝐶)2 ∙ 𝐴2] = 𝐼𝑦1 + 𝐼𝑦2

𝐼𝑦 =𝑏1

3 ∙ ℎ1

12+

𝑏23 ∙ ℎ2

12=

33 ∙ 15

12+

153 ∙ 3

12= 877,5 𝑐𝑚4

Ixy = 0; jer je osa y osa simetrije, pa su x i y glavne ose.

𝐼1 = 𝐼𝑚𝑎𝑥 = 𝐼𝑥 = 2700 𝑐𝑚4 ⇒ (1) ≡ 𝑥 → 𝑖12 =

𝐼1

𝐴=

2700

90= 30 𝑐𝑚2

𝐼2 = 𝐼𝑚𝑖𝑛 = 𝐼𝑦 = 877,5 𝑐𝑚4 ⇒ (2) ≡ 𝑦 → 𝑖22 =

𝐼2

𝐴=

877,5

90= 9,75 𝑐𝑚2

Napadna tačka: u0 = -7,5 cm; v0 = 6 cm; N0(-7,5; 6)

Odsečci neutralne ose:

𝑎0 = −𝑖2

2

𝑢0= −

9,75

−7,5= 1,3 𝑐𝑚 → 𝑛𝑎 𝑜𝑠𝑖 (1)

𝑏0 = −𝑖1

2

𝑣0= −

30

6= −5 𝑐𝑚 → 𝑛𝑎 𝑜𝑠𝑖 (2)

Najudaljenije tačke od neutralne ose n-n su tačke N0 i A.

8

Normalni napon:

uA = 7,5 cm; vA = 3 cm; A(7,5; 3)

𝜎𝐴 = −𝐹

𝐴∙ (1 +

𝑢0 ∙ 𝑢𝐴

𝑖22 +

𝑣0 ∙ 𝑣𝐴

𝑖12 )

𝜎𝐴 = −45

90∙ (1 +

(−7,5) ∙ 7,5

9,75+

6 ∙ 3

30)

𝜎𝐴 = 2,08𝑘𝑁

𝑐𝑚2= 20,8 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝑁0= −

𝐹

𝐴∙ (1 +

𝑢0 ∙ 𝑢0

𝑖22 +

𝑣0 ∙ 𝑣0

𝑖12 )

𝜎𝑁0= −

415

9∙ (1 +

(−7,5)2

9,75+

62

30)

𝜎𝑁0= −3,98

𝑘𝑁

𝑐𝑚2= −39,8 𝑀𝑃𝑎

𝜎𝐶 = −𝐹

𝐴= −

45

90

𝜎𝐶 = −0,5𝑘𝑁

𝑐𝑚2 = −5 𝑀𝑃𝑎

9

ZADACI IZ STATIČKI NEODREĐENIH NOSAČA

Zadatak 1: Dati statički neodređeni nosač, raspona l=2m, opterećen je

kontinualnim opterećenjem q=20kN/m. Odrediti prekobrojnu nepoznatu

reaktivnu silu metodom superpozicije. Zatim odrediti ostale nepoznate

reaktivne sile.

Rešenje: 1232;3 jnkjn

Metoda superpozicije

Uklanjanja se pokretni oslonac C i dodaje vertikalna sile FC koja treba da

spreči pomeranje u vertikalnom pravcu kao kada je oslonac C postojao.

Dopunska jednačina: 00)()( CF

C

q

CCfff .......(1)

- za gredu opterećenu kontinualnim opterećenjem (str.75):

BBB

qlf q

C

17,4

384

2205

384

5 44

)(

- za gredu opterećenu silom na polovini raspona

(str.73):

B

F

B

F

B

Flf CCF

CC

167,0

48

2)(

48

33)(

(zamenjeni su podaci: CFFmkNqml ,/20,2 )

(1)→ kNFFBB

F

BCC

C 25167,0

17,40167,017,4/0

167,017,4

Statički uslovi ravnoteže (sa početne slike), uzimajući da je kNlqFq

40220 :

kNFFFF

FFFFY

FFFM

BBBB

BCqAi

qCBA

5,72

151520152040252)1(

)2......(0,0

)1.......(0112,0

kNFFFAAA

5,705,705,72540)2(

Zadatak 2: Dati statički neodređeni nosač, raspona l=4m, opterećen je

kontinualnim opterećenjem q=2kN/m. Odrediti prekobrojnu nepoznatu

reaktivnu silu metodom superpozicije. Zatim odrediti ostale nepoznate

reaktivne sile.

Rešenje: 1232;3 jnkjn

Metoda superpozicije

Uklanjanja se pokretni oslonac B i dodaje vertikalna sile FB koja treba

da spreči pomeranje u vertikalnom pravcu kao kada je oslonac B

postojao.

Dopunska jednačina:

00)()( BF

B

q

BBfff .......(1)

- za konzolu opterećenu silom na kraju

raspona (str.78):

B

F

B

F

B

Flf BBF

BB

33,21

3

4)(

3

33)(

- za konzolu opterećenu kontinualnim opterećenjem (str.79):

l/2 l/2

BC

q

A B

l/2l/2

q

10

BBB

qlf q

B

67,54

384

4241

384

41 44

)(

(zamenjeni su podaci: BFFmkNqml ,/2,4 )

(1)→ kNFFBB

F

BBB

B 56,233,21

67,54033,2167,54/0

33,2167,54

Statički uslovi ravnoteže (sa početne slike), uzimajući da je kNl

qFq 4222

:

kNmMMM

FFFY

FFMM

AAA

BqAi

qBAA

76,1076,101224,10)1(

)2......(0,0

)1.......(034,0

kNFFFAAA

44,1044,1056,24)2(

Zadatak 3: Dati statički neodređeni nosač, raspona l=4m, opterećen je

kontinualnim opterećenjem q=10kN/m. Odrediti prekobrojnu nepoznatu

reaktivnu silu metodom tri momenta. Zatim odrediti ostale nepoznate

reaktivne sile.

Rešenje:

1232;3 jnkjn

Metoda tri momenta

Pošto je k=1, potrebno je formirati jednu gredu na tri oslonca i napisati

jednačinu:

)1.........(062022220

00

62

)(

q

dC

dCsl

lddddlsll

BM

MMMM

βαBlMllMlM

Za desnu gredu (koristeći izraz za nagib sa str. 75):

BBml

B

ql q

d24

80

24

2102,

24

3

)(

3

kNMMB

BM CCC 5,28

20208

24

8068)1(

Za levu gredu AC može se pisati:

kN,,

F,FF,

FM,M

AAA

ACC

2512

525220252

020

Statički uslovi ravnoteže (sa početne slike),

uzimajući da je kNl

qFq 202102

:

kNFFFF

FFFFY

FFFM

CCCC

BCqAi

qCAB

5,122

25252025202025)1(

)2......(0,0

)1.......(0124,0

kNFFFBBB

75,8075,805,122025,1)2(

l/2 l/2

A BC

q

11

Zadatak 4: Čelična konzola dužine 2,4 m,

opterećena je, prema slici, kontinualnim

opterećenjem q=10 kN/m i silom F=10 kN.

Odrediti prekobrojnu reaktivnu silu a)metodom tri

momenta i b)metodom superpozicije.

Rešenje: 𝐹 = 10 𝑘𝑁; 𝑞 = 10 𝑘𝑁

𝑚

𝑛 = 3(𝐹𝐴, 𝑀𝐴 , 𝐹𝐵); 𝑗 = 2 (∑ 𝑌𝑖 = 0; ∑ 𝑀 = 0)

→ 𝑘 = 𝑛 − 𝑗 = 1

a) Metoda tri momenta:

𝑀𝐵 = 𝐹 ∙ 0,4 = 10 ∙ 0,4 = 4 𝑘𝑁𝑚

𝑀𝑙 ∙ 𝑙𝑙 + 2 ∙ 𝑀𝑠 ∙ (𝑙𝑙 + 𝑙𝑑) + 𝑀𝑑 ∙ 𝑙𝑑 = 6 ∙ 𝔹 ∙ (∑ 𝛼𝑑 − ∑ 𝛽𝑙)

0 + 2 ∙ 𝑀𝐴 ∙ (0 + 2) + 4 ∙ 2 = 6 ∙ 𝔹 ∙ (𝛼𝑑𝑞

− 0)

G6 (na str.6 u dodatku): 𝛼𝑑 = 𝛼𝑑(𝑞) =

𝑞 ∙ 𝑙𝑑3

24 ∙ 𝔹=

10 ∙ 23

24 ∙ 𝔹

4 ∙ 𝑀𝐴 + 8 = 6 ∙ 𝔹 ∙80

24 ∙ 𝔹⇒ 4 ∙ 𝑀𝐴 = −8 + 20 ⇒ 𝑀𝐴 = 3 𝑘𝑁𝑚

Cela greda: 𝐹𝑞 = 𝑞 ∙ 2 = 20 𝑘𝑁

∑ 𝑀𝐴 = 0; 𝑀𝐴 − 𝐹𝑞 ∙ 1 + 𝐹𝐵 ∙ 2 − 𝐹 ∙ 2,4 = 0 ⇒ 𝐹𝐵 = 20,5 𝑘𝑁

∑ 𝑌𝑖 = 0; 𝐹𝐴 − 𝐹𝑞 + 𝐹𝐵 − 𝐹 = 0 ⇒ 𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 = 30 ⇒ 𝐹𝐴 = 9,5 𝑘𝑁

b) Metoda superpozicije:

Uklještenje je zamenjeno nepokretnim osloncem,

tako da dopunska jednačina glasi:

𝛼𝐴 = 0

𝛼𝐴 = 𝛼𝐴(𝑀𝐴) + 𝛼𝐴

(𝑞) + 𝛼𝐴(𝑀𝐵) = 0

G11: 𝛼 = −𝑀∙𝑙

3∙𝔹→ 𝛼𝐴

𝑀𝐴 = −𝑀𝐴 ∙2

3∙𝔹

G6: 𝛼 =𝑞∙𝑙3

24∙𝔹→ 𝛼𝐴

𝑞 =10∙23

24∙𝔹

G12: 𝛼 = −𝑀∙𝑙

6∙𝔹→ 𝛼𝐴

𝑀𝐵 = −4∙2

6∙𝔹

−2 ∙ 𝑀𝐴

3 ∙ 𝔹+

80

24 ∙ 𝔹−

8

6 ∙ 𝔹= 0/∙ 24 ∙ 𝔹

−2 ∙ 𝑀𝐴 ∙ 8 + 80 − 32 = 0

−16 ∙ 𝑀𝐴 = −48

𝑀𝐴 = 3 𝑘𝑁𝑚

Dalje se pristupa rešavanju na isti način kao kod metode tri momenta.

Cela greda: 𝐹𝑞 = 𝑞 ∙ 2 = 20 𝑘𝑁

∑ 𝑀𝐴 = 0; 𝑀𝐴 − 𝐹𝑞 ∙ 1 + 𝐹𝐵 ∙ 2 − 𝐹 ∙ 2,4 = 0 ⇒ 𝐹𝐵 = 20,5 𝑘𝑁

∑ 𝑌𝑖 = 0; 𝐹𝐴 − 𝐹𝑞 + 𝐹𝐵 − 𝐹 = 0 ⇒ 𝐹𝐴 + 𝐹𝐵 = 30 ⇒ 𝐹𝐴 = 9,5 𝑘𝑁

12

ZADACI IZ IZVIJANJA

Zadatak 1: Stub visine h napravljen je od profila U20. Naći

kritičnu silu za dve različite visine: a) h=1,8 m; b) h=1 m,

ako je materijal Č0460 (Rp=180 Mpa; E=21*104 MPa).

Rešenje:

Iz tablica za profil U20: A=32,2 cm2; Imin=Iy=148 cm

4

𝑖𝑚𝑖𝑛 = √𝐼𝑚𝑖𝑛

𝐴= √

148

32,2= 2,14 𝑐𝑚

Granična vitkost štapa:

𝜆𝑝 = 𝜋√𝐸

𝑅𝑝= 𝜋√

21 ∙ 104

180= 107,3

a) Redukovana dužina izvijanja: 𝑙𝑟 = 2 ∙ ℎ = 3,6 𝑚

Vitkost štapa:

𝜆𝑟 =𝑙𝑟

𝑖𝑚𝑖𝑛=

360

2,14= 168 > 𝜆𝑝 → 𝑂𝑗𝑙𝑒𝑟𝑜𝑣 𝑜𝑏𝑟𝑎𝑧𝑎𝑐

𝐹𝑘 =𝜋2 ∙ 𝐸 ∙ 𝐼𝑚𝑖𝑛

𝑙𝑟2 =

𝜋2 ∙ 2,1 ∙ 104 ∙ 148

3602= 236,7 𝑘𝑁

𝐸 = 21 ∙ 104 𝑀𝑃𝑎 = 2,1 ∙ 104 𝑘𝑁

𝑐𝑚2; 𝑙𝑟 = 3,6 𝑚 = 360 𝑐𝑚

b) Redukovana dužina izvijanja: 𝑙𝑟 = 2 ∙ ℎ = 2 𝑚

Vitkost štapa:

𝜆𝑟 =𝑙𝑟

𝑖𝑚𝑖𝑛=

200

2,14= 93,46 < 𝜆𝑝 → 𝑇𝑒𝑡𝑚𝑎𝑗𝑒𝑟𝑜𝑣 𝑜𝑏𝑟𝑎𝑧𝑎𝑐

Iz tablica za Č0460: 𝜎𝑘 = 32 − 0,1 ∙ 𝜆𝑟

𝜎𝑘 = 32 − 0,1 ∙ 93,46 = 22,65 𝑘𝑁

𝑐𝑚2= 226,5 𝑀𝑃𝑎

𝐹𝑘 = 𝜎𝑘 ∙ 𝐴 = 22,65 ∙ 32,2 = 729,3 𝑘𝑁