三重积分的概念化三重积分为累次积分三重积分换元法
§5 §5 三重积分三重积分
问题的提出设空间立体 V 的密度函数为 f ( x, y, z )
求立体 V 的质量 M
为了求 V 的质量,仍采用:分割、近似代替、
求和、取极限四个步骤 .
首先把 V 分成 n 个小块 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积记为 iV
一、三重积分的概念
其次在每个小块 Vi 上任取一点 ),,( iii
则 Vi 的质量 iiiii VfM ),,(
然后对每个小块 Vi 的质量求和:
n
iiiii VfM
1
),,(
最后,取极限
n
iiiii
TVfM
10||||
),,(lim
其中 }{max||||0
的直径ini
VT
定义 1 设 f ( x, y, z ) 为定义在三维空间可求体积
区域 V1 , V2 , . . . , Vn , Vi 的体积记为 iV
的有界区域 V 上的有界函数 , 把 V 任意地分成 n 个小
}{max||||0
的直径ini
VT
记在每个小块 Vi 上任取一点 ),,,( iii 若极限
n
iiiii
TVf
10||||
),,(lim
存在,则称 f ( x, y, z ) 在 V 上可积,并称此极限为
f ( x, y, z ) 在 V 上的三重积分,记为
V
Vzyxf d),,( 或 V
zyxzyxf ddd),,(
三重积分具有与二重积分相似可积条件和有关的性质 .
例如 V
Vd V 的体积
设 f ( x, y, z ) 在长方体 ],[],[],[ hedcbaV
上连续,则
h
e
d
c
b
aV
zzyxfyxzyxzyxf d),,(ddddd),,(
二、化三重积分为累次积分
设 }),(),,(),(|),,{( 21 DyxyxzzyxzzyxV
}),()(|),{( 21 bxaxyyxyyxD
则 V
zyxzyxf ddd),,(
z
x
yo
V
D
),(1 yxzz
),(2 yxzz
)(1 xyy
)(2 xyy
),(
),(
2
1
d),,(ddyxz
yxzD
zzyxfyx
),(
),(
)(
)(
2
1
2
1
d),,(ddyxz
yxz
xy
xy
b
azzyxfyx
V
zyxzyxf ddd),,(
其中 V 为三个坐标例 . 计算 ,dddV
zyxx
12 zyx 所围成的闭区域 .
1x
y
z1
21
解
yx
DV
zxyxzyxx21
0dddddd
)1(
0
1
0
21
d)21(dx
yyxxx
D
yxyxx dd)21(
1
0
32 d)2(4
1xxxx
48
1
面及平面
x
y
1
2
1
1
2
x
y
z
O
例 1 计算 V yx
zyx22
ddd
其中 V 为由平面 x = 1, x = 2, z = 0
y = x, z = y 所围的区域 .
解
x
y
21O
D
xy
V yx
zyx22
ddd
y
D yx
zyx
0 22
ddd
x
D
yyx
yxyx
yx
y0 22
2
122 dddd
2
1 022 d|)ln(
2
1xyx x ln2
2
1
若 V 可以表示为:
则三重积分可采用先在区域 Dz 上计算二重积分,再计算一个定积分的方法来计算
V
zyxzyxf ddd),,(
zD
b
ayxzyxfz dd),,(d
zD
yxO
z
a
b
x
y
z例 . 计算
解 : :Vczc
2
2
2
2
2
2
1:c
z
b
y
a
xDz
ab
c zD
z
其中 V 是椭球体 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
V
zyxzI ddd2
V
zyxz ddd2 zD
c
cyxzz ddd 2
zD
c
cyxzz ddd2
c
zc
zabz
0 2
22 d)1(2 3
15
4abc
c
例 3 计算 V
zyxc
z
b
y
a
xI ddd)( 2
2
2
2
2
2
其中 V 是椭球体
解
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
zD
z
y
x
O
V
zyxa
xI ddd2
2
V
zyxc
zddd2
2
zD
c
cyx
c
zz ddd 2
2
z
zD
c
cyxz
c
zddd2
2
c
cz
c
zab
c
zd)1( 2
2
2
2
VV
zyxc
zzyx
b
ydddddd 2
2
2
2
abc15
4
空间中的区域把设变换 uvw
wvuzz
wvuyy
wvuxx
T ,
),,(
),,(
),,(
:
,函数空间中的区域一对一的映射为 VxyzV
),,(),,(),,( wvuzzwvuyywvuxx ,,
内连续且函数函列式的一阶偏导数在V
三、三重积分换元法
Vwvu
w
z
v
z
u
zw
y
v
y
u
yw
x
v
x
u
x
wvu
zyxwvuJ
),,(,0),,(
),,(),,(
V
V
wvuJwvuzwvuywvuxf
zyxzyxf
ddd||)),,(),,,(),,,((
ddd),,(则
1 、柱面坐标变换
z
r
zz
ry
rx
T
20
0
sin
cos
o
x
y
z
常数r
坐标面分别为圆柱面
常数 半平面常数z 垂直于轴 z 的平面
o
z),,( zyx
r)0,,( yx
rr
r
zr
zyxzrJ
100
0cossin
0sincos
),,(
),,(),,(
V
zyxzyxf ddd),,(
V
zrrzrrf ddd),sin,cos(
计算例3 V
dxdydzyx )( 22
.4)(2 22 为边界的区域与是曲面其中 zzyxV
其中 V 为由例 . 计算
xyx 222 0),0(,0 yaazz
解 : 作柱面坐标变换
dcos3
42
0
32
a
及平面
2
a
x
y
z
o
cos2
0
22
0
2
dd2
rra
a
D
zzrdrd0
2 d
V
zyxyxz ddd22
2
9
8a
柱面
cos2r
所围成半圆柱体 .
V
zrrrz ddd
20
0
0
cos
sinsin
cossin
:
r
rz
ry
rx
T
o
xy
z
r ),,( r
坐标面分别为常数r 球面常数 半平面常数 锥面
2. 球坐标变换
V
zyxzyxf ddd),,(
V
rrrrrf dddsin)cos,sinsin,cossin( 2
例 . 计算
解
所围立体 .
其中 V 为锥面
与球面
R
rr0
4 d
)22(5
1 5 R
4
0dsin
2
0d
xy
z
o
4
在球面坐标系下
例 . 计算
解所围立体 .
其中 V 为锥面
与平面
cos
0
2 dsincosh
rrr
4
4h
4
0d
2
0d
xy
z
o
4
解
4
4h
xy
z
o
4
解
4
4h
xy
z
o
4
若平面区域 D 关于 x 轴对称,则下列积分的值为零
若平面区域 D 关于 y 轴对称,则下列积分的值为零
例如,若 D 是以原点为圆心的圆,则
进一步,对于变量的奇、偶函数,
可得到与定积分类似的性质 .
思考思考
若空间区域 V 关于 xy 平面对称,则有:
若空间区域 V 关于 xz 平面对称,则有:
若空间区域 V 关于 yz 平面对称,则有:
例如,若 V 是以原点为球心的球体,则
立体体积 • 曲顶柱体的顶为连续曲面
则其体积为 D
yxyxfV dd),(
• 占有空间有界域 V 的立体的体积为
V
zyxV ddd
例 4 求由圆锥体 cot22 yxz
和球体 2222 )( aazyx
所确定的立体体积,其中 0,2
0 a
x
O y
z
a
解 立体的体积为
cos2
0
2
0
2
0dsinddd
a
V
rrV
0
33
dsincos3
82
a
)cos1(3
4 43
a
例 5 求 V
zyxzI ddd
其中 V 为由 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x 与 0z
所确定的区域 .
解 作广义球坐标变换
cos
sinsin
cossin
:
crz
bry
arx
T
于是 sin2abcrJ
V
VzI d
4
2abc
1
0
22
0
2
0dsincosdd rabcrcr