以立体几何的定义、公理和定理为出发点，

认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定

理 .

1. 直线与平面垂直

2. 直线和平面所成的角

3. 二面角的有关概念

4. 平面与平面垂直

[ 思考探究 ]

　　垂直于同一平面的两平面是否平行？

提示：垂直于同一平面的两平面可能平行，也可能相交 .

1. 直线 a⊥ 直线 b， a⊥ 平面 β ，则 b与 β 的位置关系是

( 　　 )

A.b⊥β 　　　　　　　　　 B.b∥ β

C.b⊂ β D.b⊂ β或 b∥ β解析：由垂直和平行的有关性质可知 b⊂ β 或 b∥ β.

答案： D

2.(文 ) 已知直线 a 和两个平面 α， β ，给出下列四个命题： ①若 a∥ α ，则 α 内的任何直线都与 a 平行； ②若 a⊥α ，则 α 内的任何直线都与 a 垂直； ③若 α∥ β ，则 β 内的任何直线都与 α 平行； ④若 α⊥β ，则 β 内的任何直都与 α 垂直 .

则其中 ( 　　 )

A.② 、③为真 B.① 、②为真 C.① 、④为真 D.③ 、④为真

解析：若 a∥ α ，则 α 内的无数直线都与 a 平行，但不是任意一条，即①不正确；若 a⊥α ，则 α 内的任何直线都与 a 垂直，即②正确；若 α∥ β ，则 β 内的任何直线都与α 平行，即③正确；若 α⊥ β ，则 β 内有无数条直线都与 α 垂直，但不是任意一条，即④不正确 .

综上可得②、③为真，故应选 A.

答案： A

(理 ) 在正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中， B1C 与对角面

DD1B1B 所成角的大小是

( 　　 )

A.15° B.30°

C.45° D.60°

解析：如图所示，连结 AC交 BD

于 O 点，易证 AC⊥ 平面 DD1B1B ，

连结 B1O ，则∠ CB1O 即为 B1C 与

对角面所成的角，设正方体边长为 a ，则 B1C ＝

a， CO ＝

a ，∴ sin∠CB1O ＝ .

∴∠CB1O＝ 30°.

答案： B

3. 已知直线 l⊥ 平面 α ，直线 m⊂ 平面 β ，有下列命题：

①α∥ β⇒ l⊥m ；② α⊥β⇒ l∥ m ；

③l∥ m⇒ α⊥β ；④ l⊥m⇒ α∥ β.

其中正确的命题是 ( 　　 )

A.① 与② B.③ 与④

C.② 与④ D.① 与③

解析：对①， l⊥α， α∥ β ⇒ l⊥ β ，又∵ m⊂ β ，∴ l⊥m ，∴①正确；对②， α⊥ β ， l⊥α ，则 l∥ β或 l⊂ β ，∴ l 不一定与 m 平行，∴② 错误；对③，∵ l∥ m， l⊥α ，∴ m⊥α ，又m⊂ β ，∴ α⊥ β ，∴③正确；④错误 .

答案： D

4. 在△ ABC 中，∠ ACB＝ 90°， AB＝ 8 ，∠ ABC＝

60°， PC ⊥

平面 ABC， PC＝ 4，M是 AB 上一个动点，则 PM 的最

小值

为　　　　 .

解析：∵ PC⊥ 平面 ABC， CM⊂ 平面 ABC ，

∴ PC⊥CM ，∴ PM ＝ ＝

要使 PM 最小，只需 CM 最小，此时 CM⊥AB ，

∴ CM ＝ ＝ 2 ，∴ PM 的最小值为 2 .

答案： 2

5. 如图，平面 ABC⊥ 平面 BDC ， ∠BAC ＝∠ BDC＝ 90° ，且 AB＝ AC＝ a ，则 AD ＝　　　　　 .

解析：取 BC 中点 E ，连结 ED、 AE ，∵ AB＝ AC ，∴ AE⊥BC.

∵ 平面 ABC⊥ 平面 BDC ，∴ AE⊥ 平面 BCD.

∴ AE⊥ED.

在 Rt△ ABC和 Rt△ BCD 中，AE＝ ED ＝ BC ＝ a ，∴ AD ＝ ＝ a.

答案： a

1. 证明直线和平面垂直的常用方法：(1) 利用判定定理 .

(2) 利用平行线垂直于平面的传递性 (a b∥ ， a α⊥ ⇒ b α).⊥

(3) 利用面面平行的性质 (a α⊥ ， α β∥ ⇒ a β).⊥

(4) 利用面面垂直的性质 .

当直线和平面垂直时，该直线垂直于平面内的任一直线， 常用来证明线线垂直 .

2. 直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的

判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂

直

的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒

线

面平行 .

(2009· 福建高考改编 ) 如图，平行四边形 ABCD 中，∠ DAB＝ 60° ，AB＝ 2， AD＝ 4.将△ CBD沿 BD 折起到△ EBD 的位置，使平面 EBD⊥ 平面 ABD.

求证： AB DE.⊥

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] 　证明：在△ ABD 中，∵ AB＝ 2， AD＝ 4 ，∠ DAB＝ 60° ，∴ BD ＝ ＝ 2 .

∴ AB2＋ BD2＝ AD2 ，∴ AB⊥BD.

又∵平面 EBD⊥ 平面 ABD ，平面 EBD∩ 平面 ABD＝ BD， AB⊂ 平面 ABD ，∴ AB⊥ 平面 EBD.

∵ DE⊂ 平面 EBD ，∴ AB⊥DE.

本例中， ED 与平面 ABD 垂直吗？解：由例 1 知， AB⊥BD ，∵ CD∥ AB ，∴ CD⊥BD ，从而 DE⊥BD.

又∵平面 EBD⊥ 平面 ABD， ED⊂ 平面 EBD ，∴ ED⊥ 平面 ABD.

1. 证明平面与平面垂直的方法主要有：(1) 利用定义证明 . 只需判定两平面所成的二面角为直二面角 即可 .

(2) 利用判定定理 . 在审题时，要注意直观判断哪条直线可能 是垂线，充分利用等腰三角形底边的中线垂直于底边， 勾股定理等结论 .

2. 关于三种垂直关系的转化可结合下图记忆 .

(2009· 江苏高考 ) 如图，在

三棱柱 ABC－ A1B1C1 中， E、 F 分别

是 A1B、 A1C 的中点，点 D在 B1C1 上，

A1D B⊥ 1C. 求证：

(1)EF∥ 平面 ABC ；

(2) 平面 A1FD⊥ 平面 BB1C1C.

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] (1) 因为 E、 F 分别是 A1B、 A1C 的中点，

所以 EF∥ BC ，又 EF⊄ 平面 ABC， BC⊂ 平面 ABC.

所以 EF∥ 平面 ABC.

(2) 因为三棱柱 ABC－ A1B1C1 为直三棱柱，

所以 BB1⊥ 平面 A1B1C1 ，

所以 BB1⊥A1D ，

又 A1D⊥B1C， B1C∩BB1＝ B1.

所以 A1D⊥ 平面 BB1C1C ，

又 A1D⊂ 平面 A1FD ，

所以平面 A1FD⊥ 平面 BB1C1C.

两个平面垂直的性质定理，可以作为直线和平面垂

直的判定定理，当条件中有两个平面垂直时，常添加的

辅助线是在一个平面内作两平面交线的垂线 .

如图①，四边形 ABCD 中， AD BC∥ ， AD＝

AB，∠ BCD＝ 45°，∠ BAD＝ 90° ，将△ ABD 沿对角线BD 折起，记折起后点的位置为 P ，且使平面 PBD⊥ 平面BCD ，如图② .

(1) 求证：平面 PBC⊥ 平面 PDC ；

(2) 在折叠前的四边形 ABCD 中，作 AE BD⊥ 于 E ，过 E作

EF BC⊥ 于 F ，求折起后的图形中∠ PFE 的正切值 .

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] (1) 证明：折叠前，在四边形 ABCD

中， AD∥ BC， AD＝ AB ，∠ BAD＝ 90° ，所以△ ABD 为等腰直角三角形 . 又因为∠ BCD＝ 45° ，所以∠ BDC＝ 90°.

折叠后，因为面 PBD⊥面 BCD ，CD⊥BD ，所以 CD⊥面 PBD.

又因为 PB ⊂面 PBD ，所以 CD⊥PB.

又因为 PB⊥PD， PD∩CD＝ D ，所以 PB⊥面 PDC.

又 PB⊂面 PBC ，故平面 PBC⊥ 平面 PDC.

(2)AE⊥BD， EF⊥BC ，折叠后的位置关系不变，所以 PE⊥BD.

又面 PBD⊥面 BCD ，所以 PE⊥面 BCD ，所以 PE⊥EF.

设 AB＝ AD＝ a ，则 BD ＝ a ，所以 PE ＝ a＝ BE.

在 Rt△ BEF 中，EF＝ BE·sin45° ＝ a× ＝ a.

在 Rt△ PFE 中， tan∠PFE ＝ ＝ ＝ .

高考中对直线与平面所成的角及二面角的考查是热点之一，有时在客观题中考查，更多的是在解答题中考查 .

　　求这两种空间角的步骤：根据线面角的定义或二面角的平面角的定义，作 (找 ) 出该角，再解三角形求出该角，步骤是作 (找 )―→认 (指 ) ―→

求 .

在客观题中，也可用射影法：设斜线段 AB 在平面 α 内的射影为 A B′ ′， AB与 α 所成角为 θ ，则 cosθ ＝ .

设△ ABC 在平面 α 内的射影三角形为△ A B C′ ′ ′ ，平面 ABC

与 α 所成角为 θ ，则 cosθ ＝ .

(2010· 安阳模拟 ) 三棱锥 P －ABC 中， PC、 AC、 BC 两两垂直，BC＝ PC＝ 1， AC＝ 2， E、 F、 G 分别是 AB、 AC、 AP 的中点 .

(1) 证明：平面 GFE∥ 平面 PCB ；(2) 求二面角 B－ AP－ C 的正切值 .

[ 思路点拨 ]

[ 课堂笔记 ] (1) 证明：因为 E、 F、 G 分别是 AB、

AC、 AP 的中点，所以 EF∥ BC， GF∥ CP.

因为 EF， GF⊄ 平面 PCB.

所以 EF∥ 平面 PCB， GF∥ 平面 PCB.

又 EF∩GF＝ F ，所以平面 GFE∥ 平面 PCB.

(2)∵ BC⊥PC， BC⊥CA ，且 PC∩AC＝ C ，∴ BC⊥ 平面 PAC.

过点 C作 CH⊥PA于 H 点，连结 HB ，则易证 HB⊥PA ，∴∠BHC 即为二面角 B－ AP－ C 的平面角 .

在 Rt△ ACP 中， AP ＝ ＝ ， HC ＝

＝ ( 等积 ).

∴ tan∠BHC ＝ ＝ ＝ .

　 近年来开放型问题不断在高考试题中出现，这说明高考对学生的能力要求越来越高，这也符合新课标的理念，因而在复习过程中要善于对问题进行探究 . 立体几何中结合垂直关系，设计开放型试题将是新课标高考命题的一个动向 .

[ 考题印证 ]

(2009·浙江高考 )(12分 ) 如图，平面 PAC⊥ 平面 ABC，△ ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形，E， F， O 分别为 PA， PB， AC 的中点， AC＝ 16， PA

＝ PC＝ 10.

(1)设 G是 OC 的中点，证明： FG∥ 平面 BOE ； (2) 证明：在△ ABO 内存在一点 M ，使 FM⊥ 平面 BOE ，并求点 M到 OA、 OB 的距离 .

【证明】 (1) 如图，取 PE 的中点为 H ，连结 HG、 HF. (1┄┄ 分 )

因为点 E， O， G， H 分别是 PA ，AC， OC， PE 的中点，┄┄┄┄(2分 )

所以 HG OE∥ ， HF EB.∥

因此平面 FGH∥ 平面 BOE.

因为 FG 在平面 FGH 内， 所以 FG∥ 平面 BOE.

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄(4分 )

(2) 在平面 OAP 内，过点 P 作PN OE⊥ ，交 OA 于点 N ，交 OE 于点 Q. 连结 BN ，过点 F作 FM PN∥ ，交 BN 于点 M. (5┄┄┄ 分 )

下证 FM⊥ 平面 BOE.

由题意，得 OB⊥ 平面 PAC ， 所以 OB PN⊥ ，又因为 PN OE⊥ ，所以 PN⊥ 平面 BOE.

因此 FM⊥ 平面 BOE. (7┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 分 )

在 Rt OAP△ 中，OE ＝ PA＝ 5， PQ ＝ ，

cos NPO∠ ＝ ＝ ，

ON＝ OP·tan NPO∠ ＝ ＜ OA ，

所以点 N 在线段 OA上 . (9┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 分 )

因为 F是 PB 的中点，所以 M是 BN 的中点 . (10┄┄ 分 )

因此点 M在△ AOB 内，点 M到 OA， OB 的距离分别为

OB＝ 4 ， ON ＝ . (12┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 分 )

　 [自主体验 ]

如图所示，已知长方体 ABCD －

A1B1C1D1 的底面 ABCD 为正方形， E 为

线段 AD1 的中点， F 为线段 BD1 的中点 .

(1) 求证： EF∥ 平面 ABCD ；

(2)设M 为线段 C1C 的中点，当 的比值为多少

时， DF⊥ 平面 D1MB ，并说明理由

解： (1) 证明：∵ E、 F 分别是

AD1和 BD1 的中点，

∴ EF∥ AB ，又 EF⊄ 平面 ABCD ，

AB⊂ 平面 ABCD ，

∴ EF∥ 平面 ABCD.

(2) 设 ＝ λ(λ＞ 0)， AD＝ a ，

则 DD1＝ λa ，连结 MF.

若 DF⊥ 平面 D1MB ，

则有 DF⊥D1B， DF⊥FM.

在 Rt△ BDD1 中，

DF ＝

＝ ＝ .

又 F、M 分别是 BD1， CC1 的中点，易证 FM ＝ a ，

又 DM ＝ ＝ a ，

∴在 Rt△ DFM 中， DF2＋ FM2＝ DM2 ，

即 ，

解得 λ2＝ 2 ，∴ λ ＝ ，

即当 ＝ 时， DF⊥ 平面 D1MB.

1.(2010· 三亚模拟 ) 若两直线 a与 b异面，则过 a 且与 b

垂直的

平面 ( 　

)

A. 有且只有一个　　　　　　 B.至多有一个

C. 有无数多个 D. 一定不存在

解析：当 a⊥b 时，存在一个过 a 且与 b 垂直的平面；若 a

与 b 不垂直，则不存在这样的平面 .

答案： B

2. 下列三个命题，其中正确命题的个数为 ( 　 )

① 平面 α∥ 平面 β ，平面 β⊥ 平面 γ ，则 α⊥γ ； ② 平面 α∥ 平面 β ，平面 β∥ 平面 γ ，则 α∥ γ ； ③ 平面 α⊥ 平面 β ，平面 β⊥ 平面 γ ，则 α⊥γ.

A.1 B.2

C.3 D.0解析：①正确；②正确；③错误 .

答案： B

3. 已知直线 a， b 和平面 α， β ，且 a⊥α， b⊥ β ，那么 α⊥ β 是 a⊥b 的 ( 　 )

A. 充分但不必要条件 B.必要但不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析：若 α⊥ β ，由 a⊥α 则容易推出 a⊂ β 或 a∥ β ，而 b⊥β ，于是 a⊥b ；若 a⊥b ，则容易推出 α⊥ β ，故 α⊥ β是 a⊥b 的充分必要条件 .

答案： C

4. 正四棱锥 S－ ABCD 的底面边长为 2 ，高为 2， E 是边

BC 的中

点，动点 P 在表面上运动，并且总保持 PE⊥AC ，则动

点 P

的轨迹的周长为 ( 　

)

解析：依题意知，动点 P 的轨迹为如图

所示的三角形 EFG ，容易求得， EF ＝

BD ＝ ， GE＝ GF ＝ SB ＝ ，

所以轨迹的周长为 ＋ .

答案： C

5. 正方体 ABCD－ A1B1C1D1 中， M、 N 分别是棱 AA1和

AB 上的

点，若∠ B1MN 是直角，则∠ C1MN ＝　　　　 .

解析：如图所示，由正方体性质可知

B1C1⊥MN ，又 MB1⊥MN ，

∴ MN⊥ 平面 MB1C1.

∵ C1M⊂ 平面 MB1C1 ，

∴ C1M⊥MN ，

即∠ C1MN＝ 90°答案： 90°

6.(2010· 苏北三市联考 ) 如图，

在正方体 ABCD－ A1B1C1D1

中， M、 N、 G 分别是 A1A ，

D1C， AD 的中点 . 求证：

(1)MN∥ 平面 ABCD ；

(2)MN⊥ 平面 B1BG.

证明： (1)取 CD 的中点记为 E ，

连 NE， AE.

由 N， E 分别为 CD1与 CD 的中点可得

NE∥ D1D且 NE ＝ D1D ，

又 AM∥ D1D且 AM ＝ D1D

所以 AM∥ EN且 AM＝ EN ，即四边形 AMNE 为平行四边

形，

所以 MN∥ AE ，

又 AE⊂面 ABCD ，所以 MN∥面 ABCD.

(2)由 AG＝ DE ，∠ BAG ＝∠ ADE＝ 90°， DA＝ AB

可得△ EDA 与△ GAB全等 .

所以∠ ABG ＝∠ DAE ，又∠ DAE＋∠ AED＝ 90° ，∠ AED ＝∠ BAF ，所以∠ BAF＋∠ ABG＝ 90° ，所以 AE⊥BG ，

又 BB1⊥AE ，所以 AE⊥面 B1BG ，

又MN∥ AE ，所以 MN⊥ 平面 B1BG.