СЕМИНАРСКИ РАД тема: Пирамида и Купа
Predmet:METODIKA NASTAVE Student:Zećirović Hilmija MATEMATIKE 2 Broj indeksa: 420/06
Profesor:ZORAN LUČIĆ
Piramida i kupa
ПИРАМИДА
Нека je n≥3, полиедар са n+1 страна од коих је jeдна n-троугао а све остале су троуглови назива се n-тострана пирамида (сл.1).
Површ пирамиде се састоји од површи n-троугла A1,A2 ... An и дела површи роглја коју сачинјавају поврси троглова A1A2O, A2A3O,... An-
1AnO.Ова површ и део простора ограничен нјоме је пирамида.Површ пресеченог многоугла je основа или база пирамиде,дeo површи роглја саставлјен из површи троуглова je бочна површ или омотач пирамиде,површ сваког троугла je бочна страна пирамиде.Странице многоугла су ивице основе,троуглова по којима се секу бочне стране су боцне ивице пирамиде.Врх роглјасте површи у којој се сустичу бочне ивице је брх пирамиде.
Постоје праве и косе пирамиде.Ако су све бочне ивице једнаких дужина,пирамида је прва,иначе је коса.Висина пирамиде је одстојанје врха од основе ако је пирамида права,око њене основе моње да се опише круг; подножје висине налази се у центру тог круга. ако је основа пирамиде правилан многоугао,пирамида је правилна.На пример,ако je у бази једнакостраничан тоугао пирамида је правилна тространа,ако је у бази квадрат,правилна четворострана,шестоугао правилна шестострана.
Висина бочне стране која полази из врха правилне пирамиде назива се апотема и одговара бочно страни.
Пирамиде чије су основе и бочне стране међусобом подударни једнакостранични троуглови и назива се правилан тетраедар.
1
Piramida i kupa
ЗАРУБЛЈЕНА ПИРАМИДА
Ako se n-tostrana piramida preseče sa ravni koja je paralelna ravni osnove dobija se mnogougao homotetičan sa osnovom. Deo piramide između tih homotetičkih površi jeste n-trostrana zarubljena piramida (sl. 3a).
Homotetički mnogouglovi jesu osnove zarubljene piramide, dok njen omotač sačinjavaju trapezi (sl. 3b). Normala S1 S2 na ravni osnove naziva se visina zarubljena piramide.
Zarubljana piramida je prava ako je nastala od prave piramide a pravilna ako je nastala od pravilne piramide. Budući da su obe osnove pravilne piramide, pravilni mnogouglovi, zaključujemo da omotač takve piramide čine jednakokraki trapezi. Visine odgovarajućih trapeza nazivaju se apoteme zarubljene piramide.
III POVRŠINA PIRAMIDE
Površinu piramide obrazuju površina njene osnove i površina bočnih strana koje obrazuju omotač piramide.
Ako sa B označimo površinu baze (osnove) piramide a sa M površinu njenog omotača onda je površina piramide:
Primer 1. Izračunati površinu jednakoivične trostrane piramide (pravilnog tetraedra) ako je poznata ivica a
2
Piramida i kupa
Rešenje: biće
i
gde je prema tome imamo
Primer 2. Prava pravilna četvorostrana piramida ima dužinu 4cm, a visinu 10 cm. Izračunati njenu površinu.
Rešenje: a=4 cm, B=a2 i M=
Gde je
sledi
POVRŠINA ZARUBLJENE PIRAMIDE
Ako površine baze, zarubljene piramide, označimo sa B1 i B2, a površinu omotača sa M, njena površina biće:
Da bi smo izračunali omotač zarubljene piramide moramo izračunati pojedinačnu površinu svih bočnih strana, odnosno moramo izračunati površine trapeza koji čine njen omotač.
Primer 1: Data je prava zarubljena piramida čije su osnove kvadrati (sl.4). Neka je a merni broj ivice donje osnove, b merni broj ivice gornje osnove i h merni broj visine bočne strane. Izračunati površinu piramide.
Rešenje površine piramide biće:
dalje je
pa je dakle
3
Piramida i kupa
Primer 2. Pravilna šestostrana zarubljena piramida (sl.5) ima apotemu h=5 cm, dužinu donje ivice a=8 cm i dužinu gornje ivice osnove b=2 cm. Izračunati njenu površinu.
Rešenje: Pošto je Biće:
pa je, dakle
IV KAVALIJERIJEV PRINCIP
Bonaventura Kavalijeri (1598-1647) bio je italijanski matematičar, profesor Bolonjskog univerziteta i Galilejev učenik. U delu "Geometrija nedeljivih" izložio je tadašnje saznanje matematičke analize, geometrijski zasnovane.
Odigrao je značajnu ulogu u izračunavanju zapremine geometrijskih tela pomoću svog stava koji je u elementarnoj geometriji poznat kao Kavalijerijev princip i glasi:
Ako se dva tela nalaze između paralelnih ravni i ako su jednake površine preseka ovih tela s ma kojom ravni koja je paralelna dvema ravnima, tada su zapremine tih tela jednake(sl. 6).
V ZAPREMINA PIRAMIDE
Ako pravu trostranu piramidu (sl.7) presecima MN,Q
4
Piramida i kupa
i MN, Q1, razložimo na tri trostrane piramide , i dobićemo tri jednake piramide.
Piramide i su jednake, tj. V()=V(), jer imaju jednake osnove (trogao MM1Q, je jednak trouglu MQQ1) i jednake visine (duž spuštena normalno na ravan MQQ1M iz temena N1) jednake su takođe i piramide i jer imaju jednake osnove (trouglovi N1Q1Q i NQN1 su jednaki) i zajedničku visinu (duž spuštenu normalno na ravana NQQ1 N1 iz temena M) tako da su i njihove zapremine jednake. Prema tome, sve tri piramide su međusobno jednake:
V()=V()=V()
Očigledno je, dakle, da svaku trostranu piramidu možemo, dvema njoj jednakim trostranim piramidama dopuniti do trostrane prizme koa će sa datom piramidom imati jednaku osnovu B i visinu H. Pošto je zapremina prizme BH biće:
tako da možemo reći da je zapremina trostrane piramide jednaka trećini proizvoda osnove i visine.
Neka je piramida n-trostrana. Njena osnova je poligon koji se može razložiti na n trouglova 1,2,3...n, a piramida se može razložiti na n trostranih piramida 1,2,3...n sa zajedničkom visinom H. Kako je
i
,
k=1,2,3...n
to je
ili
iz čega zaključujemo da je zapremina svake piramide jednaka trećini proizvoda osnove i visine.
Primer 1. Izračunati zapreminu pravilnog tetraedra ako je data njegova ivica a (sl.8).
5
Piramida i kupa
Rešenje: Pošto je trougao MNQ jednakostraničan biće :
tačka T je težište tog trougla, pa koristeći poznatu osobinu težišta i Pitagorinu teoremu za visinu tetraedra dobijamo
tj.
prema tome zapremina tetraedra će biti
Primer 2. Površina osnove prave pravilne četvorostrane piramide je 16cm2, a površina njenog omotača 40 cm2. Izračunati njenu zapreminu.Rešenje:Pošto je biće odakle sledi da je
Da bismo izračunali H koristimo Pitagorinu
teoremu i dobijamo
Prama tome zapremina će biti
ZAPREMINA ZARUBLJENE PIRAMIDE
Neka je data zarubljena piramida (a) (sl.9), sa osnovama B1 i B2 , visinom H i x odstojanjem vrha O odgovarajuće piramide MNQSO od gornje osnove zarubljene piramide. Pošto je zapremina zarubljene piramide jednaka razlici zapremina dveju "punih" piramida, jedne sa površinom osnove B1 i visinom H+X, a druge sa površinom osnove B2 i visinom X tada je:
imamo
ili
odatle je Kada ovu vrednost sa X stavimo u obrazac
za , imaćemo
6
Piramida i kupa
odnosno
i konačno
Iz toga možemo zaključiti da je zapremina zarubljene piramide jednaka zbiru zapremina triju piramida kojima je visina jednaka visini zarubljene piramide, a njihove osnove su: gornja i donja osnova zarubljene piramide i geometrijska sredine tih osnova.
Primer 1. Pravilna četvorostrana zarubljene piramida ima visinu H i apotemu h. Dužine osnovnih ivica su i c, a bočne b. Izračunaj zapreminu zarubljene piramide ako je ,
Rešenje.
Ako je
sledi:
V=?
Da bismo dobili visinu piramide koristimo trapez (osni) presek čija je visina jednaka visini piramide, osnovne ivice su dijagonale osnova piramide, a bočne ivice su bočne ivice piramide.
7
Piramida i kupa
sa slike se vidi da je:
Iz
osenčenog trougla sledi
Zapremina zarubljene piramide je
VI KUPA
Geometrijsko telo ograničeno pravom konusnom površi i jednom ravni koja ne prolazi kroz vrh površi, a normalna je na njenu osu, naziva se prava kupa (sl. 10a)
Kupa je prava ako je osa normalna na ravan osnove; inače je kosa (sl.10b)
Deo presečene ravni ograničen konusnom površi (krug) je osnova kupe, a deo konusne površi između vrha i osnove je omotač kupe. Izvodnice konusne površi koje pripadaju omotaču kupe nazivaju se izvodnice kupe. Rastojanje između vrha i ravni osnove kupe je visina kupa, a duž koja spaja vrh sa središtem osnove osa kupe.
Osa prave kupe je ujedno i njena visina.
8
Piramida i kupa
VII ZARUBLJENA KUPA
Telo koje nastaje presecanjem kupaste površi sa dve ravni naziva se zarubljena kupa (sl. 11)
Ona je ograničena dvema kružnim površima, tzv. osnovama i delom konusne površi između njih koja čini omotač zarubljene kupe.
Zarubljena kupa je prava ako je nastala od prave kupe.
Prava koja spaja središta osnova i koja je ujedno i visina prave zarubljene kupe naziva se osa zarubljene kupe.
Kao obrtna tela, kupa se dobija obrtanjem pravouglog trougla oko jedne njegove katete (sl. 12a), a zarubljena kupa obrtanjem pravouglog trapeza oko stranice na koju naležu pravi uglovi (sl.12b).
VIII POVRŠINA KUPE
Neka je r poluprečnik osnove kupe, H visina, a s izvodnica (sl.13a), površina kupe je zbir površine njene osnove i površine njenog omotača. Ako je B površina baze (osnove), a M površina omotača, tada je:
Jasno je . Može se pokazati da se omotač kupe može uvek razviti u deo ravne površi koja ima oblik kružnog isečka, poluprečnika s, a kome je odgovarajući luk jednak obimu osnove kupe (sl.13b), tako da je
prema tome
9
Piramida i kupa
odnosno površina kupe je
U slučaju da je izvodnica s jednaka prečniku osnove onda je i , tako da je osni presek kupe jednakostranični trougao (sl.14) i obično se takva kupa zove jednakostranična kupa.
POVRŠINA ZARUBLJENA KUPE
Neka je R poluprečnik donje osnove, r poluprečnik gornje osnove, h visina i s izvodnica zarubljene kupe (sl.15a) površina zarubljene kupe ja zbir površina njenih osnova i površine njenog omotača. Ako je B1 površina donje osnove, B2 površina gornje osnove i M površina omotača onda je:
Jasno je i . Može se pokazati da se omotač zarubljene kupe uvek može razviti u deo ravne površi koji je jednak razlici površina dvaju kružnih isečaka, kao što pokazuje (sl.15b).
prema tome
Odnosno površina zarubljene piramide je:
Primer 1. Visina jednakostranične kupe je H. Odrediti njenu površinu.
Rešenje: Koda jednakostranične kupe
Po Pitagorinoj teoremi
odatle je
10
Piramida i kupa
pošto je s=2r biće
Primer 2. Izračunati površinu prave zarubljene kupe visine H=3cm i sa poluprečnicima osnove R=6 i r=2.
Rešenje: Dužina izvodnice je. tj.
po formuli za površinu
IX ZAPREMINA KUPE
Ako kupu i piramidu sa osnovama jednakih površina koje leže u istoj ravni i sa jednakim visinama H presečemo sa ravni koja je paralelna ravni prema Kavalirijevom principu uvidećemo da kupa i piramida imaju jednake zapremine (sl.16).
Iz toga zaključujemo da je zapremina kupe jednaka trećini proizvoda površine osnove i visine.
tj.
U slučaju da imamo jednakostraničnu kupu (sl.14) s=2r pa je odakle je
ZAPREMINA ZARUBLJENE KUPE
11
Piramida i kupa
Ako zarubljenu kupu dopunimo do kupe sa vrhom V (sl.17) zapremina zarubljene kupe biće jednaka razlici zapremina dve kupe – jedne sa poluprečnikom osnove R i visinom (0V)=H+X i druge sa poluprečnikom osnove Vr i visinom (01V)=X, tako da je zapremina
i konačno
Primer 1. Odrediti zapreminu prave kupe poluprečnika osnove r=12 cm i visine H=18 cm.
Rešenje: Po formuli za zapreminu
biće
Primer 2. Odrediti zapreminu prave kupe sa površinom osnove B=9cm2 i površinom omotača M=24cm2.
Rešenje: B=9cm2
prema formuli B=r2 sledi 9= r2, r=3M=24cm2
prema formuli M= rs sledi 24=3s, s=8prema Pitagorinoj teoremi visina će biti
zapremina će biti
Primer 3. Data je kocka sa ivicom dužine . Oko donje osnovice kocke opisana je kružnica, a u gornju osnovu upisana je kružnica. Te kružnice određuju donju i gornju osnovu jedne zarubljene kupe. Odredi njenu zapreminu.
Rešenje: Visina kupe je H= poluprečnik donje osnove ,
a poluprečnik gornje osnove . Prema formuli za zapreminu
Primer 4. Odredi zapreminu prave zarubljene kupe ako su poluprečnici njenih osnova R=7cm i r=2cm, a površina P=170cm2.
12
Piramida i kupa
Rešenje: Iz formule sledi
prema Pitagorinoj teoremi
zapremina će biti
X UZAJAMNI ODNOS KUPE I PIRAMIDE
Ako je osnova piramide mnogougao upisan u osnovu kupe, a vrh piramide je istovremeno i vrh kupe, kažemo da je piramida upisana u kupu (sl.17).
Ako temena pravouglog mnogougla ABCDE, koji je upisan u osnovu prave kupe, spojimo sa vrhom kupe V dobićemo pravilnu piramidu upisanu u kupu. Kada se broj n stranica upisanog pravilnog mnogougla neograničeno udvostručava njegov obim Pn teži granici koja je jednaka obimu kružnice u koju je mnogougao upisan. Apotema piramide hn teži pri tome granici koja je jednaka dužini izvodnice s=(VB) kupe. Prema tome, kad n neograničeno raste an teži nuli, a razlika s=hn takođe
teži nuli pri tome, hn teži svojoj graničnoj vrednosti s. Površina
omotača piramide teži granici koja je jednaka poluproizvodu obima osnove i apoteme kupe. Tu granicu uzimamo za površinu omotača kupe.
XI PRIMENA KUPE I PIRAMIDE
Kombinacija geometrijskih tela obrađena u ovom radu, ima praktičnu primenu u arhitekturi, građevinarstvu i dr. graditeljskim delatnostima. Iz mnoštva takvih kombinacija izdvajam tri koje ću ilustrovati sa tri primera.
Zarubljena kupa i kupa imaju iste osnove kojima se dodiruju. Ako se visina kupe i zarubljene kupe odnose kao 3:2 i ako su
13
Piramida i kupa
poluprečnici osnova zarubljene kupe R=10cm i r=4cm, a izvodnica s=10cm izračunati zapreminu tako nastalog tela.
Izvodnica prave zarubljene kupe je s=5 cm, a poluprečnici osnova su r=5 cm i r1=2 cm. U kupu je upisana pravilna zarubljena četvorostrana piramida tako da je donja osnova piramide upisana u donju osnovu kupe, a gornja osnova u gornju osnovu kupe. Izračunati zapreminu piramide.
14
Piramida i kupa
Pravougli trougao sa katetama dužine , , obrće se oko hipotenuze. Odrediti površinu dobijenog tela.
15
Piramida i kupa
XII ZADACI
1. Izračunaj površinu pravilne trostrane piramide kod koje osnovna ivica ima dužinu 3m, a bočna 5m
2. Osnovna ivica pravilne četvorostrane piramide ima dužinu . Površina dijagonalnog preseka te piramide jednaka je površini baze. Odrediti površinu omotače piramide.
3. Centar gornje osnove kocke je vrh, a temena donje osnove su osnova temena četvorostrane piramide upisane u koku. Dužina ivice kocke . Izračunaj površinu omotača piramide.
16
Piramida i kupa
?M
aH
aa
4. Izračunaj dužinu osnovne ivice i apotemu pravilne trostrane piramide ako je dužina bočne ivice 10 cm, i površina omotača 144 cm2.
5. Visina pravilne četvorosrtane piramide je H=12 cm, a dijagonala njene osnove ima dužinu 8 cm. Odredi zapreminu piramide.
17
Piramida i kupa
6. Osnova piramide je pravougaonik, a podnožje visine je u preseku dijagonale osnove. Izračunaj zapreminu piramide: ako osnovne ivice imaju dužine 6 cm i 8 cm, a dužina bočne ivice je 13 cm.
7. Izračunaj površinu i zapreminu pravilne četvorostrane zarubljene piramide ako je , i
8. Osnovne ivice pravilne četvorostrane zarubljene piramide imaju dužine i . Apotema piramide je h=6 cm. Odrediti površinu piramide.
18
Piramida i kupa
9. Rezervoar dubine 3m ima obli zarubljene piramide čije su osnove pravougaonici. Ivice gornje osnove imaju dužinu 30m i 15m, a donja osnove 20m i 10m. Koliko litara vode može da stane u rezervoar.
10. Zapremina prave kupe je V=145 dm3, a izvodnica je četiri puta veća od poluprečnika osnove. Izračunaj površinu kupe.
11. Osni presek prave kupe je jednakokraki trougao sa osnovicom dužine 12 cm i krakom dužine 10 cm. Nađi zapreminu kupe.
12. Odredi zapreminu prave kupe sa površinom osnove B=9cm2 i površinom omotača M=24cm2.
19
Piramida i kupa
13. Odrediti dužinu izvodnice prave zarubljene kupe sa visinom H=15 cm i poluprečnicima osnove R=13 cm i r=5 cm.
14. Poluprečnici osnove prave zarubljene kupe su 3 cm i 7 cm, a dužina izvodnice je 7cm. Odrediti površinu osnog preseka.
15. Izvodniva prave zarubljene kupe zaklapa sa osnovom ugao =600. Poluprečnici osnove su R=9 cm i r=3 cm. Odredi zapreminu i površinu kupe.
20
Piramida i kupa
16. Odredi zapreminu prave zarubljene kupe ako su poluprečnici njenih osnova R=7 cm i r=2 cm, a površina P=170cm3.
21
Piramida i kupa
SADRŽAJ
I Piramida 1II Zarubljena piramida 2III Površina piramide 2 Površina zarubljene piramide 3IV Kavalijerijev princip 4 V Zapremina piramide 5 Zapremina zarubljene piramide 6VI Kupa 8VII Zarubljena kupa 9VIII Površina kupe 9 Površina zarubljene kupe 10 IX Zapremina kupe 11 Zapremina zarubljene kupe 12X Uzajamni odnos kupe i piramide 13 XI Primena kupe i piramide 14XII Zadaci 16
LITERATURA
22
Piramida i kupa
1. Dr E. Stipanić,Matematika (za III i IV razred gimnazije društveno-jezičkog smera),Beograd 1969. godine 2. G.Vojvodić,Đ.Paunić,R.Tošić, Matematika (za III razred
srednje škole),Beograd 1999. godine
23