DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
1
Dasar‐Dasar Probabilitas
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
2
Ruang Sampel, Titik Sampel danKejadian
Ruang sampel (sample space) atau semesta(universe) merupakan himpunan dari semuahasil (outcome) yang mungkin dari suatupercobaan (experiment)
Titik sampel (sample point) merupakan tiapanggota atau elemen dari ruang sampel
Kejadian (event) merupakan himpunan bagiandari ruang sampel
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
3
Contoh Percobaan, Ruang Sampel danKejadian (#1)
Percobaan: Pelemparan sebuah dadu dan mencatatangka yang muncul
Ruang sampel
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
A = Kejadian munculnya angka genap
A = {2, 4, 6}
B = Kejadian munculnya angka 5 atau lebih
B = {5, 6}
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
Ilustrasi Ruang Sampel, Titik Sampel dan Kejadian padaPercobaan Perlemparan Sebuah Dadu
Ruang sampel
1
2
3
4
5
6A
B
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
5
Contoh Percobaan, Ruang Sampel danKejadian (#2)
Percobaan: Pelemparan dua buah dadu bersamaandan mencatat angka yang muncul
Ruang sampel
S = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), ..., (6, 6)}
A = Kejadian munculnya angka yang sama padakedua dadu
A = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}
B = Kejadian munculnya jumlah angka 10 atau lebih
B = {(4, 6), (5, 5), (5, 6), (6, 4), (6, 5), (6, 6) }
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
6
Contoh Percobaan, Ruang Sampel danKejadian (#3)
Percobaan: Pelemparan tiga koin (uang logam) bersamaan dan mencatat banyaknya muka yang muncul
Ruang sampel
S = {0, 1, 2, 3}
A = Kejadian tidak ada muka yang muncul
A = {0}
B = Kejadian banyaknya muka yang muncul 2 ataukurang
B = {0, 1, 2}
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
7
Contoh Percobaan, Ruang Sampel danKejadian (#4)
Percobaan: Pengamatan terhadap umur (dalam jam) sebuah lampu
Ruang sampel
S = {t|t > 0}
A = Kejadian umur lampu melebihi 10 jam
E = {t|t > 10}
B = Kejadian umur lampu antara 0 dan 250 jamF = {t|0 ≤ t ≤ 250}
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
8
Operasi‐Operasi dalam Kejadian
Irisan (Intersection)
Gabungan (Union)
Komplemen (Complement)
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
9
Irisan Dua Kejadian
Irisan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A ∩ B, merupakan kejadian yang elemennya termasukdalam A dan B
A B
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
10
Gabungan Dua Kejadian
Gabungan dua kejadian A dan B, dinyatakan dengan A ∪ B, merupakan kejadian yang mengandung semua elemen yang termasuk A atau B atau keduanya
A B
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
11
Komplemen Suatu Kejadian
A A’
Komplemen suatu kejadian A, dinyatakan dengan A’, adalah himpunan semua elemen dalam S yang tidaktermasuk dalam A
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
12
Contoh Operasi‐Operasi dalam Kejadian
Percobaan: Pelemparan sebuah dadu dan mencatat angka yang munculRuang sampel
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Kejadian munculnya angka genap, A
A = {2, 4, 6}• Kejadian munculnya angka 5 atau lebih, B
B = {5, 6}
Irisan A dan BA ∩ B = {6}
Gabungan A dan BA ∪ B = {2, 4, 5, 6}
Komplemen dari AA’ = {1, 3, 5}
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
Ilustrasi Operasi‐Operasi Kejadian pada PelemparanSebuah Dadu
Ruang sampel
1
2
3
4
5
6
A ∩ B
A
B
A ∪ B
A’
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
14
Dua Kejadian Saling Terpisah
A ∩ B = ∅A B
Dua kejadian A dan B dikatakan saling terpisah (mutuallyexclusive) jika kejadian‐kejadian tersebut tidak dapatterjadi secara bersamaan
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
15
Contoh Kejadian‐Kejadian Saling Terpisah
Percobaan: Pelemparan sebuah dadu dan mencatatangka yang munculRuang sampel
S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}Kejadian munculnya angka genap, A
A = {2, 4, 6}Kejadian munculnya angka ganjil, B
B = {1, 3, 5}Kejadian A dan B saling terpisah
A ∩ B = ∅
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
Ilustrasi Dua Kejadian Saling Terpisah pada PelemparanSebuah Dadu
Ruang sampel
2 4 6A
B1 3 5
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
17
Penghitungan Titik Sampel
Jika suatu operasi dapat dilakukan dengan n1cara, dan bila untuk setiap cara ini operasikedua dapat dilakukan dengan n2 cara, danbila untuk setiap cara ini operasi ketiga dapatdilakukan dengan n3 cara, dst, maka deretan k operasi dapat dilakukan dengan n1n2...nk cara
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
18
Contoh Penghitungan Titik Sampel
Tiga buah koin (uang logam) dilemparkan sekali.
Banyaknya titik sampel dalam ruang sampel ?
Koin I dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, muka (M) ataubelakang (B)
Untuk tiap hasil, Koin II dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B
Untuk tiap hasil, Koin III dapat menghasilkan 2 hasil yang mungkin, M atau B
Jumlah titik sampel yang dihasilkan = (2)(2)(2) = 8
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
19
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
20
Permutasi & Kombinasi
Permutasi (Permutation)
Permutasi merupakan susunan dari suatuhimpunan obyek yang dapat dibentuk yang memperhatikan urutan
Kombinasi (Combination)
Kombinasi merupakan susunan dari suatuhimpunan obyek yang dapat dibentuk tanpamemperhatikan urutan
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
21
Permutasi (1)
Banyaknya permutasi n obyek berlainanadalah n!
Banyaknya permutasi n obyek berlainan biladiambil r sekaligus
Banyaknya permutasi n benda berlainan yang disusun melingkar adalah (n – 1)!
( )! !
Prn
nnr −=
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
22
Permutasi (2)
Banyaknya permutasi yang berlainan dari n obyek bila n1 adalah jumlah obyek jenispertama, n2 adalah jumlah obyek jenis kedua, ..., nk jumlah obyek ke‐k adalah
!!!
!
21 knnn
n
L
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
23
Permutasi (3)
Banyaknya cara menyekat n obyek dalam r selbila masing‐masing berisi n1 obyek pada selpertama, n2 obyek pada sel kedua, danseterusnya adalah
dengan n1 + n2 + ... + nr = n
!!!
!
21 rnnn
n
L
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
24
Kombinasi (1)
Kombinasi berkaitan dengan penentuanbanyaknya cara memilih r obyek dari sejumlahn obyek tanpa memperhatikan urutannya.
Kombinasi merupakan sekatan dengan duasel, sel pertama berisi r obyek yang dipilih dan(n – r) obyek sisanya.
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
25
Kombinasi (2)
Jumlah kombinasi dari n obyek yang berlainanjika diambil sebanyak r
( )! !
! C
rnr
nnr −=
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
26
Contoh Kombinasi
Suatu kelas terdiri atas 4 pria dan 3 wanita
Banyaknya panita yang dibentuk yang beranggotakan 2 pria dan1 wanita?
Banyaknya cara memilih 2 dari 4 pria =
Banyaknya cara memilih 1 dari 3 wanita =
Banyaknya panita yang dapat dibentuk = (6)(3) = 18
6!2!2
!442 ==C
3!2!1
!331 ==C
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
27
Probabilitas Kejadian
Probabilitas suatu kejadian merupakan suatuukuran kemungkinan kejadian tersebut terjadi
Probabilitas kejadian A dinyatakan denganP(A)
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
28
Aksioma‐Aksioma Probabilitas Kejadian
0 ≤ P(A) ≤ 1
P(∅) = 0
P(S) = 1
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
29
Probabilitas untuk HasilBerkemungkinan Sama
Jika suatu percobaan dapat menghasilkan N macam hasil yang berkemungkinan sama(equally likely) dan jika tepat terdapat sebanyakn hasil yang berkaitan dengan kejadian A, makaprobabilitas kejadian A adalah
( )N
nAP =
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
30
Contoh Probabilitas untuk HasilBerkemungkinan Sama (#1)
Percobaan pelemparan sebuah dadu
Misal A kejadian munculnya angka genap
Jumlah seluruh hasil yang mungkin N = 6
Jumlah hasil yang mungkin untuk kejadian A, n = 3
Probabilitas kejadian A, P(A) ?
( )2
1
6
3==AP
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
31
Contoh Probabilitas untuk HasilBerkemungkinan Sama (#2)
Percobaan pengambilan selembar kartu dari 52 kartu bridge.
Misal B kejadian terpilihnya kartu heart
Jumlah seluruh hasil yang mungkin N = 52
Jumlah hasil yang mungkin untuk kejadian B, n = 13
Probabilitas kejadian B, P(B) ?
( )4
1
52
13==BP
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
32
Contoh Probabilitas untuk HasilBerkemungkinan Sama (#3)
Dalam suatu kotak, terdapat 4 bola merah dan 6 bola putih.
Jika empat bola diambil secara random, probabilitas terpilih 2 bola merah dan 2 bola putih?
A = kejadian terpilih 2 bola merah dan 2 bola putih
Jumlah cara memilih 2 dari 4 bola merah =
Jumlah cara memilih 2 dari 6 bola putih =
Jumlah cara memilih 4 dari 10 bola =
6!2!2
!442 ==C
15!4!2
!662 ==C
210!6!4
!10104 ==C
( ) ( )( )( ) 7
3
210
156==AP
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
33
Hukum‐Hukum Probabilitas
Jika A dan B dua kejadian sembarang, maka
P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(A∩ B)
Jika A dan B kejadian yang saling terpisah, maka
P(A∪ B) = P(A) + P(B)
Jika A dan A’ adalah kejadian salingberkomplemen, maka
P(A’) = 1 – P(A)
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
34
Probabilitas Bersyarat
Probabilitas bersyarat (conditional probability) B jika diketahui A
( ) ( )( )
( ) 0 jika ;| >∩
= APAP
BAPABP
Kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan
( ) ( ) ( ) ( ) ( )BAPBPABPAPBAP || ==∩
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
35
Contoh Probabilitas Bersyarat (#1)
M = pria terpilih
E = orang terpilih berstatus bekerja
Bekerja Tak Bekerja
Pria 460 40
Wanita 140 260
( )
( )
( )30
23
32
4523|
45
23
900
460
3
2
900
600
==
==∩
==
EMP
MEP
EP
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
36
Contoh Probabilitas Bersyarat (#2)
Diberikan sekumpulan kartu bridge yang terdiri atas 52 kartu.
Dua buah kartu diambil satu per satu tanpa pengembalian
Probabilitas kartu heart terpilih pada dua pengambilan ?
A1 = kejadian kartu heart yang terambil pada pengambilan I
A2 = kejadian kartu heart yang terambil pada pengambilan II
( )
( )
( )17
1
17
4
4
1
17
4
51
124
1
52
13
21
2
1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩
==
==
AAP
AP
AP
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
37
52 Kartu,13 heart
39 Nonheart
51 Kartu12 Heart
39 Nonheart
51 Kartu13 Heart
38 Nonheart
( )4
1
52
131 ==AP
( )17
4
51
12| 12 ==AAP
( )17
1
17
4
4
121 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩ AAP
( )68
13
17
13
4
1'21 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩ AAP
( )68
13
51
13
4
3' 21 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩AAP
( )68
38
51
38
4
3'' 21 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩AAP
A1
A’1
A2
A’2
A2
A’2
( )17
13
51
39|' 12 ==AAP
( )4
3
52
39'1 ==AP
( )51
13'| 12 =AAP
( )51
38'|' 12 =AAP
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
38
Contoh Probabilitas Bersyarat (#3)
Kotak pertama terdiri atas 4 bola putih dan 3 bola hitam, dankotak kedua terdiri atas 3 bola putih dan 5 bola hitam.
Sebuah bola diambil dari kotak pertama dan ditempatkan (tanpaterlihat) ke kotak kedua.
Probabilitas bahwa sebuah yang diambil dari kotak kedua adalahhitam?
H1 = kejadian bola hitam yang terpilih dari kotak I
P1 = kejadian bola putih yang terpilih dari kotak I
H2 = kejadian bola hitam yang terpilih dari kotak II
P2 = kejadian bola putih yang terpilih dari kotak II
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
39
( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )6338
95
74
96
73
121121
21212121
||
=
+=
+=∩+∩=∩∪∩
PHPPPHHPHP
HPPHHPHPHHP
Kotak I4P, 3H
Kotak II3P,6H
Kotak II4P,5H
( )7
31 =HP
( )7
41 =PP
( )9
6| 12 =HHP
( )9
3| 12 =HPP
( )9
5| 12 =PHP
( )9
4| 12 =PPP
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩
9
6
7
321 HHP
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩
9
3
7
321 PHP
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩
9
5
7
421 HPP
( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩
9
4
7
421 PPP
H1
P1
H2
P2
H2
P2
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
40
Kejadian‐Kejadian Saling Bebas
Kejadian‐kejadian A dan B saling bebas(independent) jika
( ) ( ) ( )BPAPBAP =∩
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
41
Contoh Kejadian‐Kejadian Bebas (#1)
Diberikan sekumpulan kartu bridge yang terdiri atas 52 kartu.
Dua buah kartu diambil satu per satu dengan pengembalian
Probabilitas kartu heart terpilih pada dua pengambilan ?
A1 = kejadian kartu heart yang terambil pada pengambilan I
A2 = kejadian kartu heart yang terambil pada pengambilan II
( )
( )
( )16
1
4
1
4
1
4
1
52
134
1
52
13
21
2
1
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩
==
==
AAP
AP
AP
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
42
( )4
1
52
131 ==AP
( )4
1
52
13| 12 ==AAP
( )16
1
4
1
4
121 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩ AAP
( )16
3
4
3
4
1'21 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩ AAP
( )16
3
4
1
4
3' 21 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩AAP
( )16
9
4
3
4
3'' 21 =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=∩AAP
A1
A’1
A2
A’2
A2
A’2
( )4
3
52
39|' 12 ==AAP
( )4
3
52
39'1 ==AP
( )4
1
52
13'| 12 ==AAP
( )4
3
52
39'|' 12 ==AAP
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
43
Contoh Kejadian‐Kejadian Bebas (#2)
Sebuah koin (uang logam) yang seimbang dilempar tiga kali.
Probabilitas mendapatkan 2 muka (M) dan 1 belakang (B) ?
Ruang sampel
S = {MMM, MMB, MBM, MBB, BMM, BMB, BBM, BBB}
A = kejadian muncul 2 M dan 1 B
A = {MMB, MBM, BMM}
P(A) = P(MMB) + P(MBM) + P(BMM)
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
44
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( ) 8
381
81
81
81
21
21
21
81
21
21
21
81
21
21
21
=++=
===∩∩=
===∩∩=
===∩∩=
AP
MPMPBPMMBPBMMP
MPBPMPMBMPMBMP
BPMPMPBMMPMMBP
2
1)( =MP
2
1)( =MP
2
1)( =MP
8
1
2
1
2
1
2
1)( =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=MMMP
8
1
2
1
2
1
2
1)( =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=MMBP
8
1
2
1
2
1
2
1)( =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=MBMP
8
1
2
1
2
1
2
1)( =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=MBBP
8
1
2
1
2
1
2
1)( =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=BMMP
8
1
2
1
2
1
2
1)( =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=BMBP
8
1
2
1
2
1
2
1)( =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=BBMP
8
1
2
1
2
1
2
1)( =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=BBBP
2
1)( =BP
2
1)( =BP
2
1)( =MP
2
1)( =BP
2
1)( =BP
2
1)( =MP
2
1)( =BP
2
1)( =MP
2
1)( =BP
2
1)( =MP
2
1)( =BP
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
45
Aturan Bayes (1)
( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )'|'|
|
'|
'
'
|
BAPBPBAPBP
BAPBP
ABPABP
ABPABP
ABPABPAP
ABABA
AP
ABPABP
+=
∩+∩∩
=
∩+∩=
∩∪∩=
∩=
B
A
B’
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
46
Aturan Bayes (2)
( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )∑
∑
=
=
=
∩
∩=
n
iii
ii
n
ii
ii
BAPBP
BAPBP
ABP
ABPABP
1
1
|
|
|B1 B2
B3B4B5
A
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
47
Contoh Aturan Bayes
Dua orang dicalonkan menjadi Bupati. Probabilitas Pak Anu terpilih adalah 0,6; P(A1) = 0,6.Probabilitas Pak Badu terpilih adalah 0,4; P(A2) = 0,4.Jika Pak Anu terpilih, probabilitas kenaikan pajak adalah 0,8; P(B1|A1) = 0,8.Jika Pak Badu terpilih, probabilitas kenaikan pajak adalah 0,1; P(B1|A2) = 0,1.Jika ternyata diketahui terjadi kenaikan pajak, probabilitas bahwa Pak Baduyang terpilih, P(A2|B1)
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )( ) ( )( )0769,0
1,04,08,06,0
1,04,0
||
|
|
212111
212
1211
1212
=+
=
+=
∩+∩∩
=
ABPAPABPAP
ABPAP
BAPBAP
BAPBAP
DASAR‐DASAR PROBABILITASSuprayogi
48
Contoh Pohon Probabilitas
A1
A2
P(A1) = 0,6
P(A2) = 0,4
P(B1| A1) = 0,8
P(B2| A1) = 0,2
P(B1| A2) = 0,1
P(B2| A2) = 0,9
P(A1 ∩ B1) = (0,8)(0,6) = 0,48
P(A1 ∩ B2) = (0,2)(0,6) = 0,12
P(A2 ∩ B1) = (0,1)(0,4) = 0,04
P(A2 ∩ B2) = (0,9)(0,4) = 0,36
B1
B2
B1
B2
( ) ( )( )
( )( ) ( )
0769,0
04,048,0
04,0
|
1211
2
1
1212
=+
=
∩+∩∩
=
∩=
BAPBAP
BAP
BP
BAPBAP