Download pdf - LAVORO E CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA … · moto Lavoro/energia Leggi di conservazione Energia cinetica Energia elastica Energia poten.grav. Lavoro didattico della prof.ssa Anna

Lavoro didattico della prof.ssa Anna Baglivo

Luigi Lecci:www.matematicaescuola.it 62

LAVORO E CONSERVAZIONE DELL’ENERGIA MECCANICA COLLOCAZIONE La seguente unità didattica relativa al “Lavoro” si colloca in una terza classe di un liceo scientifico PNI all’interno di un percorso i cui contenuti possono essere sintetizzati nel seguente schema: grandezze fisiche e loro misura

SVILUPPO DEL MODULO Questo modulo, previsto per una classe 3 di un liceo scientifico, è una proposta flessibile che può adattarsi alle varie situazioni scolastiche. Il concetto di lavoro, il calcolo dell’energia potenziale elastica, il teorema dell’energia cinetica possono poi essere ripresi utilizzando gli strumenti dell’Analisi Matematica in una classe V di liceo. Il tempo previsto è di 15 ore (compreso quello per prove di verifica oggettive) Nelle ore in cui si sviluppa il modulo sono previste ore di verifiche formative e altrettante sono previste per la correzione, i chiarimenti e la discussione di tali prove. Di tale modulo sono stati individuati i prerequisiti e gli obiettivi .

forza

statica

campo

gravitazionale

elettrostatico

dinamica

quantità di moto

cinematica

moto

Lavoro/energia

Leggi di conservazione

Energia cinetica

Energia elastica

Energia poten.grav.



PREREQUISITI � Conoscere le unità di misura e saper eseguire le equivalenze. � Saper impostare un'equazione dimensionale. � Rappresentare graficamente una funzione e descrivere l'andamento di un grafico. � Individuare relazioni di proporzionalità tra le variabili di una funzione. � Saper operare con i vettori. � Conoscere il concetto di forza. � Conoscere le leggi della dinamica. � Conoscere le leggi che regolano la caduta di un grave.

OBIETTIVI SPECIFICI / RISULTATI ATTESI

CONOSCENZE � Conoscere la definizione di lavoro. � Conoscere la definizione di energia cinetica e di energia potenziale. � Conoscere l'enunciato del teorema dell'energia cinetica. � Conoscere la relazione tra lavoro ed energia potenziale. � Conoscere il principio di conservazione dell'energia meccanica. � Conoscere la definizione di potenza.

COMPETENZE � Saper calcolare il lavoro compiuto da una forza. � Saper dimostrare il teorema dell'energia cinetica in alcuni casi particolari. � Saper calcolare l'energia potenziale gravitazionale ed elastica. � Saper ricavare il principio di conservazione dell'energia meccanica. � Saper applicare la definizione di potenza. � Utilizzare formule e leggi nella risoluzione di semplici problemi.

CAPACITA' � Saper scegliere gli strumenti idonei alla risoluzione di un problema. � Saper individuare concetti unificanti e modelli, mettendo in relazione fenomeni diversi

ma concettualmente uguali (concetti di lavoro, energia). � Cogliere i nodi concettuali dell’unità didattica e le mutue relazioni tra la fisica e gli altri

aspetti del sapere:– principi di conservazione (chimica, astronomia…) � Utilizzare ragionamenti di tipo induttivo e procedimenti di tipo ipotetico - deduttivo. � Saper organizzare ed eseguire esperienze di laboratorio con successiva analisi e sintesi

critica dei risultati ottenuti.

ARTICOLAZIONE DELL’UNITA’ DIDATTICA PARTE. 1: Concetto di lavoro

Tempi previsti per questa fase didattica

� 2 ore di lezione per la parte teorica � 2 ore e 20 minuti dedicati alla risoluzione di problemi in classe

PARTE 2: Energia




� 2 di lezione per la parte teorica � 2 ore e 30 minuti dedicati alla risoluzione di problemi in classe

PARTE 3: Legge di conservazione dell’energia meccanica


� 1 ora e 30 minuti di lezione per la parte teorica � 2 ore dedicati alla risoluzione di problemi in classe

PARTE 4: laboratorio Tempi previsti per questa fase didattica

� 1 ora e 30 minuti di lezione di laboratorio Tempi previsti per la verifica sommativa

� 60 minuti

Alla fine di ogni parte (esclusa naturalmente l’ultima) è previsto di dare agli alunni delle schede di lavoro che verranno poi corrette, commentate ed approfondite in classe; saranno seguite da verifiche formative sia scritte che orali, al fine di accertare il livello di apprendimento raggiunto dagli allievi, contemplando sempre attività di recupero in itinere.

METODOLOGIA SPECIFICA � Introduzione dell'argomento mediante la presentazione di una situazione o la

formulazione di una domanda che determini il bisogno di conoscere � Lezioni interattive con discussione guidate; � Lezione frontale per la sistematizzazione concettuale e la formalizzazione matematica; � verifica e valutazione � recupero e approfondimento

L’attività di laboratorio di informatica e di fisica viene utilizzata per determinare una situazione stimolo finalizzata all’introduzione di nuovi concetti o al consolidamento di quelli già acquisiti

STRUMENTI � Libro di testo, riviste e altri libri. � Laboratorio di fisica e di informatica � Utilizzo della lavagna e della lavagna luminosa � schede di lavoro

VERIFICA E VALUTAZIONE Si prevedono verifiche formative in itinere, finalizzate a controllare il livello di acquisizione e a fornire elementi di: valutazione e regolazione della proposta didattica al docente di autovalutazione dell'adeguatezza del proprio impegno allo studente. Le prove di verifica saranno il più possibile diversificate: - test a risposta chiusa per controllare le conoscenze specifiche; - risoluzione di problemi per verificare le competenze applicative;



quesiti a risposta breve e stesura di brevi relazioni per verificare le capacità di concettualizzazione;

- prove orali per verificare le capacità di esprimersi, di definire, di collegare, di cogliere analogie e differenze.

Le competenze finali complessive verranno poi verificate mediante colloqui orali individuali e mediante una verifica scritta (verifica sommativa)

CRITERI DI VALUTAZIONE Per le verifiche orali si valuterà la correttezza e la completezza dei contenuti, l’uso del linguaggio specifico, la sicurezza nell’esposizione. Per i tests a risposta chiusa, si assegnerà un punteggio ad ogni quesito, si sommeranno i punteggi e si elaboreranno statisticamente i risultati con i metodi stabiliti dal Dipartimento. Per la correzione dei problemi, si terranno presenti i seguenti indicatori:

a) correttezza del procedimento risolutivo; b) grado di completezza della soluzione: c) correttezza nei calcoli d) chiarezza dell’esposizione; e) originalità del procedimento risolutivo f) Si potrà attribuire un peso ad ogni indicatore e considerare come punteggio globale la

media ponderata dei punteggi parziali che verranno assegnati ad ogni indicatore g) Per tutte le verifiche si fisserà comunque una soglia di accettabilità che indicherà il

raggiungimento degli obiettivi

RECUPERO Si attiveranno iniziative di recupero:

h) in itinere i) a fine modulo, in parallelo con l’attività di approfondimento. j) Le attività di recupero saranno programmate, mediante esperienze di flessibilità

oraria(suddivisione di una o più classi in gruppi di livello, relativa predisposizione di moduli di recupero) o altre modalità progettate all’interno del POF( corsi pomeridiani di sostegno e recupero, servizio di sportello didattico).

I corsi stessi saranno finalizzati non solo al recupero delle conoscenze, ma anche al recupero delle motivazioni, delle attese, dell’impegno e della riflessione personale, e all’acquisizione consapevole dei processi mentali sul piano metacognitivo. È possibile esplicitare con un procedimento a ritroso conoscenze e competenze, evidenziandole in una mappa concettuale. L’attività di approfondimento può consistere nella trattazione di temi specifici o nella risoluzione di problemi complessi (per esempio problemi proposti alle olimpiadi di fisica)

CONTENUTI Prima di iniziare a sviluppare i contenuti del modulo è bene verificarne i prerequisiti predisponendo una prova strutturata, costituita da quesiti a risposta multipla la cui risposta esatta non è sempre unica.

VERIFICA DEI PREREQUISITI

• Un’automobile ha una velocità di 50 m/s. Quale delle seguenti relazioni è corretta? a. v = 50·103 km/h b. v = 50/3600 km/h c. v = 180 km/h d. 50 km/h



• Qual è l’equazione dimensionale della forza nel S.I.?

a. [ ] [ ]F ML T= 2 b. [ ] [ ]F ML T= −1 2 c. [ ] [ ]F MLT= −2 d. [ ] [ ]F ML T= −1 2

• La grandezza y è funzione della grandezza x. Una serie di misure di x e di y ha dato il seguente risultato:

x 1 2 3 4 5 y 3 12 27 48 75

Quale delle seguenti affermazioni è esatta? a. y è direttamente proporzionale a x. b. y è inversamente proporzionale a x. c. y è proporzionale al quadrato di x. d. y dipende linearmente da x.

• La grandezza y è funzione della grandezza x. Una serie di misure di x e di y ha dato il seguente risultato:

x 1 2 3 4 5 y 10,0 5,0 3,3 2,5 2,0

Quale delle seguenti affermazioni è esatta? a. y è direttamente proporzionale a x. b. y è inversamente proporzionale a x. c. y è proporzionale al quadrato di x. d. y dipende linearmente da x.

• Quale delle seguenti affermazioni riguardanti il prodotto scalare di due vettori è esatta? a. Il prodotto scalare di due vettori è uguale al prodotto dei moduli dei due vettori. b. Il prodotto scalare di due vettori è sempre minore del prodotto dei moduli dei due vettori. c. Il prodotto scalare di due vettori è nullo se i due vettori sono tra loro paralleli. d. Il prodotto scalare di due vettori è nullo se i due vettori sono tra loro perpendicolari.

• Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere [V] o false [F] e, nel caso siano false, correggerle

a. Chiamiamo forza tutto ciò che è in grado di produrre deformazione di un corpo o variazione di velocità. [V] [F]

b. La forza è una grandezza scalare. [V] [F] c. Tutte le forze esistenti in natura possono venir ricondotte a quattro diversi tipi di forze fondamentali. [V] [F] d. Dire che la velocità di un corpo è costante significa che, se il corpo è fermo, mentre se

si muove, il moto dovrà necessariamente essere rettilineo uniforme. [V] [F] e. Se su un corpo agisce una forza, la sua velocità aumenta o diminuisce. [V] [F]

f. Il rapporto tra forza applicata e accelerazione prodotta è proporzionale alla massa del corpo. [V] [F]

g. Poichè le forze che rappresentano l’interazione tra due corpi (azione e reazione) sono uguali e contrarie, esse si annullano a vicenda. [V] [F]



PARTE 1: IL LAVORO La struttura di questa prima parte può essere schematizzata con la seguente mappa concettuale: Fase della motivazione La parola “lavoro “ in fisica ha un significato talvolta diverso da quello che viene attribuito nel linguaggio comune. Tuttavia, partendo dal concetto intuitivo di lavoro gli allievi saranno in grado di fornire una personale risposta ai quesiti della seguente scheda di lavoro:

� Cosa s'intende per Lavoro? Indicare dei fenomeni in cui viene compiuto del lavoro. � Mario deve spostare un oggetto di un tratto lungo 10m. Matteo deve spostare lo stesso

oggetto di 20m. Chi dei due fa più “fatica”? � Che cosa accade se Mario e Matteo spostano due oggetti, il primo più pesante del

secondo dello stesso tratto? � Mario e Matteo spostano l’oggetto di un stesso tratto, applicando una forza uguale. Mario

applica la forza parallelamente al suolo, Matteo applica la forza in una direzione che forma un angolo di 60° con il suolo Quale dei due ragazzi fa fatica maggiore?

� Un uomo che sta trasporta con velocità costante una valigia lungo una piano orizzontale

liscio compie lavoro? Si apre quindi una discussione guidata attraverso la quale dal concetto intuitivo di lavoro si giungerà gradualmente alla definizione rigorosa di questa nuova grandezza Si cercherà inoltre di destabilizzare le convinzioni errate che nascono dal significato che viene dato al termine lavoro nel linguaggio ordinario.



E’ intuitivo che per spostare un oggetto di un tratto ∆x si fa più fatica che per spostare dello stesso tratto un oggetto più leggero; lo stesso oggetto richiede più fatica per essere spostato di un tratto più lungo. Le variabili che entrano in gioco nella definizione di lavoro, quale grandezza fisica, sono dunque: forza e spostamento. Inoltre se si applica la spinta parallelamente al terreno con minore fatica si può ottenere lo stesso spostamento. Al lavoro contribuisce quindi anche l’angolo che la forza forma con la direzione dello spostamento. Fase della sistematizzazione. Prima di dare la definizione di lavoro è bene precisare che in fisica è sempre una forza che compie un lavoro, anche se si è soliti dire che il giocatore, il facchino, ecc. compiono un lavoro. Si dà inizialmente la definizione di lavoro in un caso particolare, cioè supponendo la forza costante e supponendo che agisca nella stessa direzione dello spostamento subito dal corpo su cui agisce la forza. In tal caso si definisce lavoro il prodotto dell'intensità F della forza per il modulo S dello spostamento: L = F S Se la direzione della forza e quella dello spostamento non sono parallele ma formano un angolo α si definirà lavoro di una forza costante il prodotto della componente F' della forza lungo la diezione dello spostamento S per lo spostamento stesso, cioè: L = F' S ma F' = F cosα, pertanto si avrà: L = F S cosα Tenendo presente la definizione di prodotto scalare di due vettori, il lavoro si potrà scrivere nella forma:

SFL��

×= Il lavoro di una forza costante

�

F viene in tal modo definito come il prodotto scalare della forza per lo spostamento, ed è perciò una grandezza scalare. Dimensionalmente: [ ] [ ][ ] [ ] [ ]L F S MLT L ML T= = =− −2 2 2 e l'unità di misura nel S.I. che è il joule, definito come: 1 joule = 1 N m Analizzando la formula L = F S cosα si osserva che se

�

F è perpendicolare allo spostamento, essendo cosα = 0 risulta: L = 0, se invece

�

F è parallela allo spostamento, poichè cosα = 1 si ha: L = F S, Il lavoro di una forza è quindi massimo in valore assoluto quando la forza è parallela allo spostamento ed è nullo quando la forza è perpendicolare allo spostamento. A seconda della direzione relativa di forza e spostamento, il lavoro può essere positivo o negativo; il lavoro positivo viene detto lavoro motore, in quanto l'applicazione della forza produce il moto del corpo o un'accelerazione se esso è già in moto: la forza viene detta forza motrice. Il lavoro negativo viene invece detto lavoro resistente e la corrispondente forza, forza resistente, in quanto si oppone al moto. Quando un sasso cade a terra è la forza di gravità che compie un lavoro motore perché agisce sul sasso nello stesso verso dello spostamento. Quando invece il sasso viene sollevato ad una altezza h da terra la nostra forza compie un lavoro motore mentre la forza peso compie un lavoro



resistente; quando si comprime una molla, la forza elastica della molla compie un lavoro resistente che tende a riportarla in condizioni di riposo. Le forze di attrito compiono sempre un lavoro resistente perché si oppongono al moto.

Così, la forza �

F1 avente componente nello stesso verso dello spostamento S�

, compie lavoro motore; mentre le forze

�

F2, con componenti in verso opposto allo spostamento, compie lavoro resistente. In generale, il lavoro è positivo se l'angolo α è acuto, mentre è negativo se α è ottuso. A questo punto si può riprendere in considerazione la scheda fornita all'inizio della lezione ed osservare che un uomo che trasporta una valigia a velocità costante senza alzarla né abbassarla non compie lavoro lungo un piano orizzontale liscio, non compie lavoro poichè la forza che applica (opposta alla forza peso) è perpendicolare allo spostamento (lungo la direzione orizzontale non agisce alcuna forza perchè l’uomo si muove con velocità costante); ciò è in contrasto col senso comune in quanto l'uomo si stanca cioè fa "fatica". Relativamente all’esempio della scheda si osserva anche che la forza applicata da Mario compie lavoro maggiore rispetto a quella applicata da Matteo, ma Matteo fa maggiore fatica poichè sfrutta solo una parte della forza che applica. Si nota quindi che non sempre il concetto intuitivo di lavoro coincide col concetto fisico Verifica formativa La verifica di questa fase può essere effettuata richiedendo di calcolare il lavoro di una forza costante se forza e spostamento hanno la stessa direzione calcolare il lavoro di una forza costante se forza e spostamento hanno direzioni diverse Attività guidata Saranno corretti e discussi gli esercizi assegnati A questo punto ci si chiede come si può determinare il lavoro nell'ipotesi in cui la forza non sia costante. Si può affrontare il problema dal punto di vista grafico. Scheda stimolo 1)Calcolare il lavoro della forza peso quando un corpo cade sulla terra da un’altezza h Rappresentare il lavoro in un grafico (F,s). 5 N se s<4m 2)Data la forza F= 10 N se s>= 4m Trovare il lavoro che compie la forza F per spostare un corpo di 7m a partire dal punto O 3)Calcolare il lavoro che occorre compiere per comprimere una molla di un tratto x partendo dalla posizione di equilibrio Commento del docente Per distanze prossime alla superficie terrestre, la forza di gravità si mantiene costante e vale mg; pertanto il suo grafico nel diagramma forza – spostamento è una retta parallela all’asse degli spostamenti. Il lavoro compiuto dalla forza peso è uguale a mgh e coincide col l’area del rettangolo avente base h e altezza F=mg .



Indicando con L1 = 5*4J il lavoro per spostare il corpo dei primi 4 m e con L2 =10*3 J il lavoro compiuto per spostare il corpo dei successivi 3m si ha: L= L1+ L2 Cioè il lavoro coincide con l’area rappresentata in figura. Il risultato ottenuto si può estendere ad una forza variabile. In tal caso si suddivide lo spostamento in spostamenti infinitesimi ∆Si in modo che, in ognuno di essi la forza si possa ritenere costante. Il lavoro compiuto dalla forza Fi nello spostamento ∆Si è ∆Li = ii SF ∆× e il lavoro totale sarà dato da:

∑=

∆⋅=n

iiii SFL��

Nel caso di una forza variabile solo in modulo, ma con verso e direzioni costanti (come accade per la forza elastica di una molla e per la forza di attrito su un percorso con coefficiente di attrito variabile da punto a punto), la relazione precedente si può scrivere:

L F Si ii

n

==∑ ∆

1

Supponiamo di conoscere la legge F(x) secondo cui varia il modulo della forza in funzione di x e che il grafico di F(x) sia quello rappresentato in figura. Si suddividiamo l’intervallo x2 – x1 in un numero N, sufficientemente grande, di intervallini. in ogni intervallo ∆ xi la forza costante si può ritenere costante e si può considerare come valore della forza la media aritmetica tra il valore F' all'inizio di ∆xi e il valore F’’ alla fine dello stesso intervallo. Si avrà Li = Fi ∆xi, che rappresenta l’area di un rettangolo di lati Fi e ∆xi , area che differisce di pochissimo da quella sottesa dal tratto di curva corrispondente; se le strisce in cui si è suddivisa l’area della figura sono infinitamente strette; gli archi di curva si possono approssimare a dei segmenti , le due aree sono uguali e la differenza è addirittura nulla. Solo in tal caso si può affermare che il lavoro compiuto dalla forza F nello spostamento del corpo dal punto di ascissa x1 a quello di ascissa x2 è misurato dall’area compresa tra la curva, l’asse x e dalle rette x = x1 ed x = x2 .

Si è utilizzato per il calcolo del lavoro un procedimento elementare, ma piuttosto laborioso; il calcolo del lavoro può essere ripreso utilizzando un concetto matematico più semplice da usare: l’integrale definito.

Consideriamo un corpo che si muova sotto l’azione di una forza F lungo una traiettoria qualsiasi dal punto A al punto A’ .sia AA’ = dr. Il lavoro elementare dL=Fx dr = Fds cosα = FT ds essendo FT la componente della Forza lungo la direzione tangente alla traiettoria e ds il modulo dello spostamento infinitesimo. Il lavoro per andare dal punto A al punto B è allora:

∫∫∫ =×==B

A

T

B

A

B

AAB dsFdrFdLL



Questa interpretazione del lavoro come area è utile per il calcolo del lavoro di forze non costanti, come ad esempio la forza elastica. Come applicazione di quanto appena affermato si può far calcolare in classe agli alunni il lavoro compiuto dall’esterno per deformare una molla di un tratto x∆ . La forza elastica è espressa dalla legge di Hooke: F = -kx, la forza esercitata dall’esterno per deformarla sarà kx. Nel piano cartesiano è rappresentata da una retta passante per l’origine. Il lavoro che si deve compiere è dato dall’area del triangolo OAB, cioè:

LOB AB xF

xkx kx=⋅

= = =2 2

1

2

1

22

Il lavoro compiuto dalla forza elastica -kx sarà di segno opposto:

Lkx

= −2

2

A questo punto dopo aver parlato del lavoro è bene far notare che in molti casi è di scarso interesse conoscere il lavoro prodotto da una macchina, ma è più importante sapere in quale intevallo di tempo tale lavoro viene compiuto. Quindi bisogna introdurre una nuova grandezza fisica: la potenza. Si definisce potenza media Pm di una macchina il rapporto tra il lavoro ∆L compiuto e l’intervallo di tempo ∆t nel quale esso viene compiuto, cioè:

PL

tm =∆∆

Si definisce potenza istantanea P di una macchina il valore limite a cui tende la potenza media quando l’intervallo di tempo ∆t tende a zero, cioè:

PL

tt=

→lim∆

∆∆0

La potenza rappresenta la rapidità con cui viene compiuto un dato lavoro. L’ultima relazione scritta in certi casi può essere posta in una forma più comoda; infatti, ricordando la definizione di lavoro e indicando con Fs la componente della forza che produce il lavoro ∆L nella direzione dello spostamento, si ha:

PF S

tF

S

tF v

t

ss

ts= = =

→ →lim lim∆ ∆

∆∆

∆∆0 0

L’equazione dimensionale della potenza è: [ ] [ ] [ ] [ ]P LT ML T T ML T= = =− − − −1 2 2 1 2 3

L’unità di misura nel S.I. è il watt, cioè: 1 1WJ

s= .

Dalla definizione di potenza si ricava che: L = P t da cui si ricava un’altra unità pratica di misura del lavoro, il kilowattora ( kWh ), definito come il lavoro prodotto in un’ora nel caso che la potenza fornita risulti 1 kW. Si ha: 1kWh = 103 W � 3600 s = 3,6 � 106 J Verifica formativa Si somministra una verifica composta da test a risposta multipla per verificare il processo di insegnamento-apprendimento. Si prevedono circa 20 minuti per tale verifica, dopo di che si passa all’autocorrezione e, quindi, si procede con il chiarimento dei concetti che non sono stati acquisiti pienamente dagli alunni. Infine si propongono alcuni esercizi da risolvere alla lavagna



(per esempio si può calcolare il lavoro contro le forze di attrito per spostare un oggetto su una superficie scabra con coefficiente di attrito variabile punto per punto) Proponiamo ora il seguente esercizio che verrà svolto dal docente in classe riguardante questa prima parte: ESERCIZIO (Un convoglio poco sicuro) Una macchina deve trainare due rimorchi A e B di massa mA=350Kg e mB=150Kg, legati tra loro con un cavo di acciaio di massa trascurabile su una strada asfaltata sulla quale il coefficiente di attrito volvente è 0,005. La macchina trainante ha massa 1200Kg. Il rimorchio A è agganciato direttamente alla macchina trainante. Trascurando la resistenza dell’aria, risolvere i seguenti quesiti. 1.1 Il convoglio inizialmente è fermo. La macchina esercita una forza F1 costante per otto

secondi che consente al convoglio di raggiungere la velocità di 10m/s, quindi il convoglio prosegue con velocità costante. Determinare l’accelerazione del convoglio ed il lavoro sviluppato dal motore della macchina nella fase di accelerazione nell’ipotesi che il moto avvenga su un piano orizzontale.

1.2 Determinare la tensione cui è sottoposto il cavo di acciaio durante la fase dell’accelerazione e durante il moto rettilineo uniforme.

1.3 Determinare la potenza sviluppata dal motore della macchina allorché il convoglio sale su una strada inclinata di 25° sul piano orizzontale alla velocità di 24Km/h. Determinare le forze che agiscono sul rimorchio A e la tensione del cavo di acciaio. Soluzione

1.1 Durante la fase di accelerazione la velocità passa da 0m/s a 10m/s; considerato che ciò si verifica in 8s il convoglio si muove con accelerazione di modulo

210 /1,25 /

8

V m sa m s

t s

∆= = =∆

.

Calcolo dello spostamento in fase di accelerazione Tenendo presenti le leggi del moto uniformemente accelerato, il valore dello spostamento ∆S 1 è

2 21 2

1 11,25 (8 ) 40

2 2

mS a t s m

s∆ = ⋅ ⋅∆ = ⋅ ⋅ =

Calcolo dell’intensità della forza sviluppata dal motore della macchina Il motore della macchina durante la fase dell’accelerazione deve sviluppare la forza F1 che deve vincere le forze di attrito che si oppongono al sistema e imprimere allo stesso l’accelerazione a=1,25m/s2. La forza d’attrito, considerato che il moto avviene su un piano orizzontale, è data dal prodotto del peso complessivo del sistema dei tre corpi per il coefficiente di attrito volvente. Quindi

. . .. .

att att att attauto rim A rim BF F F F= + + ( )A B Vm m m g µ= + + ⋅ ⋅

2(1200 350 150) 9,81 0,005 83,4att m

F Kg Ns

= + + ⋅ ⋅ ≈

Applicando la seconda legge della dinamica si evince che la differenza tra F1 e la forza d’attrito uguaglia il prodotto della somma delle masse dei tre corpi per l’accelerazione. Dunque possiamo scrivere



1 ( )attA BF F m m m a− = + + ⋅ ⇒ 1 ( ) ( )A B VF m m m g aµ= + + ⋅ ⋅ + =

2 21700 (9,81 / 0,005 1,25 / ) 2208,4Kg m s m s N⋅ ⋅ + = Calcolo del lavoro sviluppato dal motore in fase di accelerazione

Poiché il motore applica la forza F1=2208,4N per un tratto lungo 40m, il lavoro compiuto è

1 1 1 2208,4 40 88336L F S N m J= ⋅∆ = ⋅ =

1.2 Calcolo della tensione del cavo di acciaio Il cavo d’acciaio è soggetto alla tensione T che permette di imprimere l’accelerazione al rimorchio B. Questa forza deve vincere anche la forza d’attrito che incontra il rimorchio. Dunque deve risultare

..

attrim B BT F m a− = ⋅ ⇒ ( )B VT m g aµ= ⋅ + =

2150 (9,81 0,005 1,25) / 194,9Kg m s N⋅ ⋅ + =

Calcolo della tensione durante il moto rettilineo uniforme Durante questo moto il cavo d’acciaio è soggetto solo alla tensione che serve per vincere la forza di attrito incontrata dal rimorchio. Infatti, questo procede con velocità costante. Dunque

2' 150 9,81 / 0,005 7,4B VT m g Kg m s Nµ= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

Occorre determinare la forza sviluppata dal motore della macchina. Nel moto sul piano inclinato, su ciascun corpo, nella direzione del moto, agiscono la forza d’attrito e la componente della forza peso del corpo (parallela al piano inclinato). Il modulo della forza F complessiva che deve sviluppare il motore è dunque uguale alla somma delle forze d’ attrito con la somma delle componenti delle forze peso lungo la direzione del moto. Con α=25° si ha:

// ( )A BP m m m g senα= + + ⋅ ; . ( ) cosatt V A BF m m m gµ α= ⋅ + + ⋅ ⇒

// . 21700 9,81 ( 25 0,005 cos 25 ) 7123,6att

mF P F Kg sen N

s= + = ⋅ ° + ⋅ ° ≈

Calcolo della potenza sviluppata dal motore La potenza sviluppata dal motore in un certo intervallo di tempo per definizione è uguale al rapporto tra il lavoro sviluppato e la misura dell’intervallo di tempo in cui tale lavoro è stato compiuto. Il valore della potenza si può anche determinare direttamente moltiplicando il valore della forza applicata con l’intensità del modulo della velocità ( del convoglio). Infatti, considerato un tratto di strada di misura ∆s, il tempo necessario a percorrerlo con velocità costante di modulo V è ∆t=∆s/V; detta F la forza applicata ( dal motore della macchina) nella direzione e nello stesso verso dello spostamento, il lavoro prodotto è

Lavoro F s F V t= ⋅∆ = ⋅ ⋅∆ e quindi la potenza sviluppata è

Lavoro F V tPotenza W F V

t t

⋅ ⋅ ∆= = = = ⋅∆ ∆

⇒

10007123,6 24 7123,6 24 47,5

3600

Km mW N N Kw

h s= ⋅ = ⋅ ⋅ ≈

Forze che agiscono sul rimorchio A Sul rimorchio A agiscono le seguenti forze:

� La fora F1 trainante esercitata dalla macchina. � La forza di attrito Fatt=µµµµV⋅⋅⋅⋅mAg⋅⋅⋅⋅cosαααα, parallela al piano del moto e diretta nel verso

opposto allo spostamento del convoglio.



� La componente del peso del rimorchio lungo la direzione del piano inclinato; il verso di questa forza è opposto al verso del moto (quindi verso la base del piano):

//A AP m g senα= ⋅ .

� La tensione T esercitata dal cavo dovuta al trascinamento del rimorchio B da parte del rimorchio A. La tensione T è parallela al piano del moto e diretta dal rimorchio A al rimorchio B.

� La forza di reazione vincolare esercitata dal piano d’appoggio in virtù della quale il rimorchio poggia sul piano.

Relativamente alle forze che agiscono sul rimorchio B, fra i moduli delle componenti lungo il piano del moto sussiste la seguente relazione:

//1 . 0att AF F P T− − − =

Calcolo della tensione del cavo La tensione T è la forza che permette la salita del rimorchio sul piano inclinato. Poiché il moto avviene a velocità costante, il modulo della tensione è uguale alla somma della forza d’attrito esercitata dalla strada con la componente della forza peso del rimorchio B parallela al piano. Quindi:

cos 25 25V B BT m g m g senµ= ⋅ ⋅ ° + ⋅ ° ( cos 25 25 )B Vm g senµ= ⋅ ⋅ ° + ° ≈628,6N

PARTE 2: ENERGIA La struttura di questa seconda parte può essere schematizzata con le seguenti mappe concettuali:



Che cosa si intende per energia? Nel linguaggio comune si dice che ha energia una persona dinamica, sempre in movimento, capace di svolgere una grande mole di lavoro di qualunque genere: fisico, intellettuale, ecc.. La definizione di energia che possiamo fornire è l’attitudine di un corpo di produrre lavoro.



La parola “energia”, infatti deriva dal greco energeia che a sua volta deriva da ergon , “lavoro”. L’energia di un oggetto è dunque la quantità di lavoro che esso è in grado di sviluppare; energia e lavoro devono dunque essere omogenee cioè l’energia è misurata in fisica con la stessa unità del lavoro, cioè il joule nel S.I. Il concetto di energia fu introdotto nella scienza all’inizio ‘800 dal fisico inglese Thomas Young(1773-1829), ma fu solo verso la metà del secolo che si arrivò a una chiara comprensione dell’importanza di questo concetto, in seguito agli esperimenti e le speculazioni di tutta una serie di giovani scienziati come Sadi Carnot (1796-1832), Hemann von Helmholtz (1821-1894), Robert Mayer (1814-1878), J. Prescott Joule ( 1818-1889), che in modo indipendente l’uno dall’altro arrivarono a stabilire la legge di conservazione dell’energia. Da allora, in poco tempo, il concetto di energia è diventato uno dei pilastri fondamentali della fisica per la grande varietà di fenomeni capaci di produrre lavoro (moto materiale, calore, suono, luce, elettricità, magnetismo, ecc.) dei quali il principio di conservazione dell’energia fornisce un quadro unificatore. Infatti, tutti questi fenomeni sono riconducibili e misurabili in termini di energia, energia presente in natura in quantità assoluta costante, sebbene mascherata in una pluralità di forme intercambiabili, per cui la scomparsa di energia di un certo tipo è sempre accompagnata dalla comparsa di una uguale quantità di energia di tipo diverso. L’energia si manifesta in diverse forme, in questa fase si parlerà di due tipi fondamentali di energia meccanica: l’energia cinetica e l’energia potenziale. Fase della motivazione Per introdurre l’energia cinetica si possono esaminare semplici fenomeni della vita quotidiana: un urto tra automobili è tanto più violento quanto maggiore è la velocità d’impatto; urtare con lo scooter contro una automobile produce danni maggiori che urtare un altro scooter alla stessa velocità. Da queste considerazioni elementari si deduce che l’energia cinetica è energia di movimento , ed è il lavoro che può compiere un corpo di massa m movendosi a velocità v. Fase della sistematizzazione Consideriamo un corpo di massa m che sotto l’azione di una forza costante

�

F subisce uno spostamento ∆

�

S. Il lavoro compiuto sul corpo, supponendo che

�

F e ∆�

S siano paralleli e tenendo conto del 2° principio della dinamica, è: L = F ∆S = m a ∆S Se la forza viene applicata tra gli istanti t1 e t2 si ha:

av v

t t=

−−

2 1

2 1

e il lavoro si potrà scrivere:

( ) ( )L mv v

t tS m v v

S

tma

S

tv m v v v=

−−

= − = =

= −2 1

2 12 1 2 1∆

∆∆

∆∆

dove v è la velocità media nell’intervallo (t1,t2).

Si può pertanto scrivere vv v

=+1 2

2 e, sostituendo nella relazione precedente, si ricava:

( ) ( )L m v v

v vmv mv= −

+= −2 1

2 1

22

12

2

1

2

1

2

Chiamando energia cinetica la quantità:

2

2

1mvK =

il lavoro si può scrivere come segue:



L = K2 - K1 o anche L = ∆K dove L è il lavoro compiuto dalle forze esterne e ∆K è la variazione di energia cinetica del corpo in esame. La relazione trovata tra lavoro ed energia costituisce il Teorema dell’energia cinetica, il quale afferma che: Il lavoro compiuto su un corpo uguaglia la variazione di energia cinetica del corpo stesso. In altri termini il lavoro è la quantità di energia che può essere trasformata in un fenomeno da una forma in un’altra. Si osserva che se L>0 risulta ∆K>0, cioè se sul corpo viene compiuto lavoro positivo (motore) la sua energia cinetica aumenta, mentre se L<0 risulta ∆K<0, cioè se il lavoro è negativo (resistente), l’energia cinetica del corpo su cui esso viene compiuto diminuisce, cioè il lavoro viene compiuto a spese dell’energia cinetica del corpo. L’energia cinetica è una tipica forma di energia dei corpi in movimento: infatti, se un corpo è in quiete (v=0) risulta K=0, cioè non possiede energia cinetica. Anche il teorema dell’energia cinetica può essere ripreso in una classe V dopo aver trattato il calcolo integrale. Infatti : Consideriamo un corpo che si muova sotto l’azione di una forza F lungo una traiettoria qualsiasi dal punto A al punto B .Risulta:

22

2

1

2

1AB

B

A

B

A

B

A

B

A

T

B

A

B

AAB mvmvvdvmdvdt

dsmds

dt

dvmdsFdrFdLL −=====×== ∫∫∫∫∫∫ -

Attività guidata Verranno proposti e risolti problemi che richiedano l’applicazione dell’espressione del lavoro e dell’energia cinetica. Altri esercizi verranno assegnati come lavoro da svolgere a casa.

ENERGIA POTENZIALE Il teorema dell’energia cinetica afferma che il lavoro compiuto su un corpo da forze esterne è uguale alla variazione di energia cinetica. Immaginiamo allora di sollevare lentamente un corpo da terra portandolo ad una quota z1 in modo che la sua velocità resti costante, oppure di comprimere lentamente una molla vincolata ad una estremità. Abbiamo compiuto un lavoro, ma non osserviamo variazioni di velocità degli oggetti considerati. Siamo di fronte allora ad una nuova forma di energia che non è legata al movimento, ma alla nuova posizione dei corpi. Il corpo sollevato da terra o la molla compressa durante il sollevamento o la compressione hanno immagazzinato energia che viene rilasciata sotto forma di energia cinetica durante la caduta o la estensione della molla. A questa energia, che dipende solo dalla posizione, presente come potenziale capacità di compiere lavoro, si attribuisce la qualificazione di energia potenziale Tale energia dipende dal fatto che in entrambi gli esempi abbiamo compiuto un lavoro sugli oggetti contrastando una forza:quella gravitazionale e quella elastica. L’energia potenziale immagazzinata dai corpi dipende proprio dalla presenza di queste forze che agiscono su di essi. Per calcolare l’espressione dell’energia potenziale,si può proporre il seguente problema: Problema



Calcolare il lavoro compiuto dalla forza peso quando un corpo di massa m cade dal punto A ad altezza hA dal suolo ad un punto B ad altezza hB Che cosa succede se il corpo segue il percorso ACB? Commento del docente Il lavoro della forza peso per spostare il corpo da A a B è: L= mg (hA – hB ) =mg hA -mg hB Seguendo il percorso ACB si ottiene lo stesso risultato: Infatti, lungo il tratto AC: L = mg lcosα= mg (hA – hB ) ) =mg hA -mg hB lungo il tratto BC il lavoro è nullo essendo la forza perpendicolare allo spostamento. Si può dimostrare che il lavoro non cambia se il corpo passa da A a B, seguendo una traiettoria qualsiasi; il lavoro compiuto dalla forza di gravità quando un corpo viene spostato dipende solo dalla posizione iniziale e finale del corpo e non dal particolare percorso seguito. Una forza per la quale il lavoro compiuto non dipende dal particolare percorso seguito, ma solo dalle posizioni estreme si dice posizionale o conservativa. Pertanto, si può rappresentare il lavoro delle forze di gravità, introducendo una funzione della posizione, cioè l’energia potenziale di gravità ad una altezza h dal suolo U = m g h + c tale che si abbia; L = UA - UB = - ∆U con ∆U = variazione di energia potenziale tra le quote hA e hB. Dalla relazione trovata risulta che durante il sollevamento del corpo essendo ∆U>0, sarà L<0, ovvero le forze di gravità hanno compiuto un lavoro resistente, opponendosi al sollevamento del corpo. Si osserva infine che se viene attribuito convenzionalmente energia potenziale nulla al livello del suolo, l’energia potenziale di un corpo di massa m a quota h è U = m g h Il lavoro calcolato precedentemente è quello compiuto dalla forze di gravità, se il lavoro viene compiuto dall’esterno questo è: Lest = ∆U ciò significa che si ha un aumento di energia potenziale che verrà restituita nel momento in cui si lascerà cadere l’oggetto a terra. Attività guidata A questo punto gli allievi dovrebbero essere in grado di trovare espressione dell’energia potenziale elastica. Si partirà da quanto già appreso per il calcolo del lavoro per forze non costanti cioè dal calcolo del lavoro come area.



Se si vuole allungare la molla con velocità costante dalla posizione x1 alla posizione x2 bisogna applicare una forza dall’esterno pari a F = k x; il lavoro compiuto sarà l’area del trapezio in figura, cioè:

L kx kxesterno = −1

2

1

222

12

Il lavoro compiuto dalla molla è lo stesso, ma cambiato di segno, cioè:

L kx kxmolla = −1

2

1

212

22

Chiamando energia potenziale elastica della molla la quantità:

U kx=1

22

si ha: L = - ∆U cioè si ritrova lo stesso risultato valido per la forza di gravità, cioè il lavoro compiuto da una forza è uguale e opposto alla variazione di energia potenziale del corpo su cui la forza agisce. Si ricava, quindi, che anche la forza elastica è conservativa. Si può notare che la deformazione della molla compare al quadrato, pertanto una molla allungata di un tratto x immagazzina la stessa energia potenziale elastica di una molla identica compressa dello stesso tratto x, tale energia viene restituita all’esterno quando la molla è libera di tornare nella posizione di equilibrio. C’è da notare ancora che si è convenuto di assegnare valore zero all’energia potenziale elastica della molla a riposo, cioè per x = 0. L’energia elastica delle molle è molto sfruttata, infatti se si comprime una molla e la si tiene compressa con un fermo, quando la si lascia libera, essa scatta e può compiere lavoro, come accade nelle molle degli orologi o dei giocattoli a ricarica, nei quali l’energia elastica della molla viene utilizzata per compiere lavoro sul bilanciere o per mettere in moto un giocattolo. Altri corpi, oltre alle molle, si comportano allo stesso modo, pur avendo configurazioni differenti. Ad esempio, nell’arco l’energia immagazzinata durante la tensione della corda viene impiegata per conferire energia cinetica alla freccia.

PARTE 3: LEGGE DI CONSERVAZIONE DELL’ ENERGIA MECCANICA



Mediante lezione frontale si dimostra il principio di conservazione dell’energia e se ne farà subito una verifica sperimentale nel laboratorio di fisica. Se si considera un corpo in movimento questo possiede energia cinetica, la cui variazione è uguale al lavoro compiuto dalle forze agenti. Se tali forze sono conservative il corpo possiede energia potenziale, la cui variazione cambiata di segno è uguale al lavoro compiuto dalle forze. Quindi per il teorema dell’energia cinetica si può scrivere: L = K2 - K1 se le forze sono conservative si può scrivere: L = U1 - U2 confrontando le due formule si ha: K2 - K1 = U1 - U2 cioè: K1 + U1 = K2 + U2 Se ora chiamiamo energia meccanica totale E di un corpo la somma della sua energia cinetica e della sua energia potenziale: E = K + U la relazione precedente diventa: E1 = E2 ossia E = K + U = costante che costituisce il principio di conservazione dell’energia meccanica; cioè l’energia meccanica totale di un sistema isolato soggetto a sole forze conservative si mantiene costante. E’ fondamentale il requisito che il sistema sia isolato, in quanto in caso contrario eventuali apporti di energia dall’esterno farebbero variare l’energia totale del sistema. Scheda di lavoro

a) Se invece di far cadere la pallina, la si lancia verso il basso, la variazione di energia cinetica è la stessa? Perché?



b) Facendo cadere un foglio di carta aperto è valida la legge di conservazione dell’energia meccanica?

c) Un corpo di massa 10Kg. È posto su una mensola situata a 3m. dal pavimento, il quale si trova a 4m. dal suolo. Qual è la sua energia potenziale rispetto al pavimento e rispetto al suolo? Cosa ti suggeriscono i risultati ottenuti?

d) Un corpo di massa 10 kg., viene lasciato cadere da un’altezza in cui si ha un’energia potenziale di 980J. Quando giunge a terra ha una velocità di 10m/s. cade in assenza di aria? Perché?

e) Un paracadutista che si lascia cadere da un aereo, cadendo raggiunge una velocità massima, detta velocità limite. Quale delle seguenti asserzioni è corretta?

f) La velocità limite è raggiunta quando alla diminuzione dell’energia potenziale non corrisponde più un aumento di energia cinetica.

g) La velocità limite è raggiunta quando qualche vincolo impedisce l’ulteriore diminuzione dell’energia potenziale. Se sì, quale?.

h) La velocità limite viene raggiunta quando l’energia potenziale si è tutta “consumata. La discussione delle risposte serve a sottolineare che: � La conservazione dell’energia meccanica è valida nel caso in cui non ci sia scambio di

energia tra il sistema fisico e l’esterno, cioè il sistema è isolato(nella caduta di un corpo il sistema fisico è costituito dal corpo e la Terra)

� La conservazione dell’energia è indipendente dal sistema di riferimento. Prima di far svolgere ai ragazzi la scheda di lavoro diamo dei semplici esempi riguardanti la conservazione dell’energia meccanica: Consideriamo un corpo che cade lungo un piano inclinato, di lunghezza l ed altezza massima h : AB=l AC=h h = l senθ Osserviamo che la componente lungo AB della forza peso compie lavoro non nullo, ossia L = mg l senθ ⇒ L = mgh ≡ Ua

quindi il corpo in A possiede un’energia potenziale Ua pari a quella posseduta da un corpo in caduta libera. Forza elastica

θ

Ah

B C



Consideriamo ora un corpo di massa m soggetto ad una forza elastica di richiamo. Sappiamo già dalla cinematica che se lo si sposta dalla posizione di equilibrio e poi viene lasciato libero, esso si muove di un moto oscillatorio armonico. Anche in questo caso l’energia meccanica totale, data dalla somma dell’energia cinetica e di quella elastica, si conserva ossia: 1 m v a

2 + 1 k xa2 = 1 m v a

2 + 1 k x a 2

2 2 2 2

⇒ va = k xb

m Conservazione dell’energia meccanica nel pendolo semplice: Dopo aver richiamato dalla cinematica le proprietà del pendolo semplice, tralasciando l’attrito con l’aria e ricordando che la tensione T del filo non compie lavoro (perché perpendicolare allo spostamento ) possiamo schematizzare tale sistema fisico come in figura :

h h = l – l cosθo = l ( 1- cosθo ) sulla massa m non agisce solo la forza peso P = mg e quindi si ha: EP = 1 mvP

2 UP = mg l – mg l cosθ 2 In particolare nei punti A e B si ha EA = 0 UA = mgh = mg l – mg l cosθo

A B

XA=O XB=O

A

B

P

C

θo θ



EB = 1 mvB2 UB = mg hB = 0

2 Per il principio di conservazione dell’energia meccanica si ha UA - UB = EB - EA ⇒ mg l – mg l cosθo = 1 m vB

2 2 ⇒ vB = √ 2gl ( 1-cosθo )



PARTE 4: LABORATORIO Ora ci si sposta nel laboratorio di fisica per una verifica sperimentale. Il dispositivo illustrato nella figura accanto può essere utilizzato per una verifica del principio di conservazione dell’energia meccanica. Si prende una molla scarica e la si appende verticalmente a un sostegno segnando su un’apposita scala la posizione di equilibrio 0; poi si appende alla molla una massa nota m e si segna sulla stessa scala la posizione 3 in corrispondenza della posizione di equilibrio così ottenuta; la distanza x tra le due posizioni consente di determinare la costante elastica della molla attraverso la relazione kx = mg. Poi si solleva l’estremo inferiore della molla con la massa m sempre appesa all’incirca a metà strada tra la posizione 0 e quella 3 e si segna sulla scala la posizione 1, quindi si lascia la molla libera di oscillare verticalmente. Essa oscillerà dalla posizione 1, corrispondente alla massima compressione, alla posizione 2, corrispondente al massimo allungamento, posizione che verrà segnata sulla scala. Il centro di oscillazione si troverà in corrispondenza alla posizione di equilibrio 3. A questo punto si può applicare il principio di conservazione dell’energia: nella posizione 1 la molla è deformata di un tratto x0 rispetto alla posizione 0 a molla scarica; nella posizione 2 è deformata invece di un tratto x1; in entrambe le posizioni, che sono anche punti di inversione del moto, l’ energia cinetica della massa m è nulla, perciò si potrà scrivere che quando la massa m passa dalla posizione 1 a quella 2 la sua energia potenziale di gravità diminuisce di mgh, mentre l’energia potenziale elastica della molla

deve aumentare da 202

1kx a 2

12

1kx . Il principio di conservazione

dell’energia richiede che le due variazioni siano uguali, cioè:

( ( ) )1(2

10

20

21 xxmgxxk −=− .

L’esperimento consiste nel verificare la validità della relazione precedente. Si ripetono più volte le misure di x0 e di x1 in modo da ridurre gli errori di misura e si assumono come valori quelli medi ricavati dalle misure ripetute. Si ripete poi l’esperimento cambiando il valore della massa m e l’ampiezza delle oscillazioni. In questa lezione si raccolgono solo i dati, nella successiva si può andare nel laboratorio di informatica per trasferirli in un foglio elettronico (Excel) per elaborarli ed esaminare così se è valido il principio di conservazione dell’energia meccanica entro gli errori di misura sperimentali.(Discutere insieme del laboratorio di informatica) Come compito a casa si può far stilare una relazione sull’esperimento svolto.



APPROFONDIMENTI CURVE DELL'ENERGIA POTENZIALE ED EQUIPOTENZIALI Consideriamo una palla metallica, che rotola su una pista simile a una montagna russa. Inizialmente la palla è ferma nel punto A. Poiché l'altezza nel punto A è y = h, l'energia meccanica iniziale della palla è Eo = mgh. Se l'attrito e le altre forze non conservative possono essere trascurati l'energia meccanica della palla rimane fissata al valore Eo per tutta la durata del suo moto. Perciò: E = U + K = Eo Quando la palla si muove, la sua energia potenziale di volta in volta diminuisce e aumenta seguendo l'andamento della pista. Infatti l'energia potenziale gravitazionale, U = mgy, è direttamente proporzionale alla quota della pista, y. Quindi, la pista stessa rappresenta un grafico dell'energia potenziale di un oggetto che si muove su di essa. Ciò è mostrato chiaramente in figura a lato L'andamento dell’energia potenziale U, riportata sull'asse verticale, riproduce proprio quello della pista della figura precedente in cui abbiamo indicato con una linea orizzontale il valore Eo, che rappresenta l'energia costante della palla. Dovendo la somma delle energie potenziale e cinetica essere sempre uguale a Eo segue che K è la differenza tra l'energia totale Eo e l'energia potenziale, individuata sulla curva, come rappresentato in figura . L'analisi di un grafico dell'energia come quello della figura sopra riportata fornisce una grande quantità di informazioni sul moto di un oggetto. Nel punto B l'energia potenziale ha il suo valore minimo e perciò l'energia cinetica ha in quel punto il suo massimo valore. Nel punto C l'energia potenziale è aumentata, comportando una corrispondente diminuzione dell'energia cinetica. Man mano che la palla prosegue nel moto sulla pista, il grafico mostra che l'energia potenziale cresce finché, nel punto D, raggiunge di nuovo un valore uguale all'energia totale Eo. In questo punto l'energia cinetica è zero e la palla si ferma per un istante. Quindi «si volta» e inizia a muoversi verso sinistra,



tornando al punto A dove si ferma ancora, cambia verso e inizia un nuovo ciclo. I punti A e D vengono chiamati punti di inversione del moto. Osserviamo punti di inversione anche nel moto di una massa attaccata a una molla, come mostrato in figura A, dove la massa spinta nella posizione x = A è rilasciata da ferma; in figura

B, invece, è mostrata l'energia potenziale del sistema, U = 2

2

1kx . Far partire il sistema in questo

modo fornisce un'energia iniziale Eo = 2

2

1kA indicata dalla linea orizzontale. Amano a mano che

la massa si muove verso sinistra, il modulo della sua velocità cresce,raggiungendo un massimo nel punto

in cui l’energia potenziale è minima, in x = 0. Se non agiscono le forze non conservative, la massa continua verso x = -A, dove si ferma momentaneamente prima di ritornare in x = A. FORMA GENERALE DEL PRINCIPIO DI CONSERVAZIONE DELL’ ENERGIA E SUA

APPLICAZIONE ALLA RICERCA DELLA RELAZIONE TRA SPAZI O DI FRENATA E VELOCITA’ DEL VEICOLO

Nell’approfondimento si amplierà il principio di conservazione dell’energia finora visto solo per forze conservative. Le forze che non ammettono energia potenziale e per le quali quindi il lavoro compiuto dipende dal particolare percorso seguito vengono dette forze dissipative. Anche per tali forze si può enunciare una nuova forma del principio di conservazione dell’energia, che finora si è visto solo per forze conservative. A tal fine si considera il teorema dell’energia cinetica e si indica con Lc il lavoro delle forze conservative e con Ld quello delle forze dissipative, si ha: L = Lc + Ld = ∆K ma Lc = - ∆U, pertanto si ha: L = - ∆U + Ld = ∆K ossia: Ld = ∆U + ∆K o anche Ld = ∆E Tale relazione è una formulazione più generale del principio di conservazione dell’energia quando su un corpo agiscono anche forze dissipative, il quale dice: la variazione di energia meccanica totale di un corpo uguaglia il lavoro compiuto su esso dalle forze dissipative. Poichè le forze dissipative compiono sempre un lavoro resistente, quindi negativo si avrà sempre una variazione di energia meccanica negativa, cioè una diminuzione di energia meccanica del corpo su cui agiscono. Se, per esempio si considera una sferetta che scende a terra lungo un piano inclinato scabro, l’energia potenziale, che aveva all’inizio, non verrà trasformata tutta in energia



cinetica alla base del piano a causa delle forze di attrito che sono forze dissipative. Nella maggior parte dei casi il lavoro delle forze dissipative compare sotto una nuova forma di energia detta energia termica o calore che provoca il riscaldamento del corpo in moto. Il principio di conservazione può essere ancora generalizzato, soprattutto in particolari fenomeni fisici relativi al mondo microscopico se si tiene conto che la materia si può trasformare in energia o viceversa, in base a quanto postulato dalla teoria della relatività di Einstein e verificato sperimentalmente in molti fenomeni, cioè: E = m0c

2 dove E rappresenta la quantità di energia, m0 la massa e c la velocità della luce. Tenendo conto di tutto quello che è stato detto, il principio di conservazione dell’energia assume la forma: ∆E + Q + m0c

2 = 0 che è la più completa, in quanto tiene conto di tutte le possibili trasformazioni dall’una all’altra forma di energia. Come applicazione del principio di conservazione dell’energia quando si è in presenza di forze dissipative, si può far calcolare agli studenti lo spazio di frenata di un veicolo in funzione della sua velocità. Per trovare tale relazione si tiene conto che: Ld = ∆K + ∆U se la strada è pianeggiante ∆U = 0. Poichè l’automobile si ferma si avrà: ∆K = K2 - K1 = =0 - mv2/2 = - mv2/2. Il lavoro delle forze di attrito è dato da: Ld = - µ m g ∆S, dove ∆S = spazio di frenata. Quindi la relazione Ld = ∆K + ∆U si potrà scrivere: - µ m g ∆S = - mv2/2 cioè:

∆Sv

g=

2

2µ. Da qui si vede che ∆S è proporzionale al quadrato della velocità.



Esercizi proposti Lo svolgimento dei seguenti esercizi sarà proposto come preparazione al compito in classe Sono previste domande a risposta chiusa e numerosi quesiti affinché i ragazzi possano verificare le loro conoscenze, competenze e capacità. CONOSCENZE 1) Quale delle seguenti affermazioni, riguardanti il lavoro di una forza applicata a un punto

materiale, è errata? a. Il lavoro è positivo se la forza compie un lavoro motore. b. Il lavoro è negativo se l’angolo formato dalla direzione della forza con la direzione dello

spostamento è ottuso. c. Il lavoro è una grandezza vettoriale, in quanto sia la forza sia lo spostamento sono grandezze

vettoriali. d. La forza centripeta non compie lavoro in quanto è costantemente normale alla direzione del

moto. 2) Due automobili in movimento sono ostacolate da forze resistenti uguali e viaggiano a

velocità diverse v e v’. Dette P e P’ le potenze fornite dai motori, quale delle seguenti relazioni è esatta?

a. P = P’ = 0 b. P = P’ c. P/P’ = v/v’ d. P/P’ = v’/v

3) Un corpo di massa m si muove a velocità v. Un secondo corpo di massa m/2 si muove a velocità 2v. Se Ec ed Ec

’ sono le energie cinetiche rispettivamente del primo e del secondo corpo, possiamo affermare che sussiste la relazione:

a. Ec’ = 2Ec b. Ec

’ = Ec c. 2Ec’ = Ec d. Ec

’ = 4Ec 4) L’energia potenziale gravitazionale di un grave lanciato verticalmente verso l’alto con velocità

v subisce un incremento massimo ∆U. Qual è l’incremento massimo dell’energia potenziale gravitazionale, se il grave viene lanciato verticalmente verso l’alto con velocità 2v? (Si trascuri la resistenza dell’aria.) a. 2∆U b. 4∆U c. ∆U/2 d. ∆U/4

5) Per allungare una molla di costante elastica k di un tratto x si compie un lavoro L. Possiamo

affermare che per allungare una molla di costante elastica k/2 di un tratto 2x è necessario compiere un lavoro:

a. 2L b. L/2 c. 4L d. L/4 COMPETENZE 6) Un uomo trascina un carrello tirando l’asta con una forza F = 30 N inclinata di 45°

sull’orizzontale; quale lavoro compie l’uomo per spostare il carrello di ∆s = 20m? 7) Se nell’esercizio precedente il coefficiente di attrito tra carrello e strada è µ = 0,1, e il carrello

ha una massa m = 15 kg, qual è il lavoro compiuto contro le forze di attrito? 8) Un oggetto viene trascinato su una superficie scabra il cui coefficiente di attrito varia da un punto all’altro. Il grafico della forza di attrito è indicato in figura. Calcolare il lavoro compiuto contro le forze di attrito per spostare l’oggetto da x1=2m a x2= 5m. 9) Un uomo vuole sollevare da terra una valigia di massa m fino ad altezza h; ricavare le

espressioni del lavoro che l’uomo deve compiere nei seguenti due casi:



a. la valigia viene sollevata a velocità costante; b. viene sollevata con accelerazione pari a quella di gravità.

10) Un’automobile avente una massa m=1000kg si muove su un rettilineo con velocità v=108

km/h. Determinare la forza costante capace di frenare l’automobile in modo da arrestarla in uno spazio s=200m.

11) Un motore della potenza di 3 kW è capace d’innalzare in 5s un corpo a un’altezza di 15m.

Calcolare il peso del corpo. 12) Un arciere esercita una forza F=25kgf per incoccare una freccia di massa m=120g. Il centro

della corda viene spostato all’indietro di un tratto d=30cm. Trascurando la massa dell’arco e della corda, calcolare l’energia potenziale elastica immagazzinata nell’arco teso e la velocità con cui la freccia lascia l’arco.

13) Un corpo di massa 20g scivola senza attrito partendo da fermo dalla estremità di un piano

inclinato di 30° e lungo 9,8m. Calcolare la velocità con cui il corpo arriva sulla base del piano e il lavoro compiuto dalla forza di gravità.

CAPACITA’ 14) Una delle principali attrattive del Luna Park è il “giro della morte”, un esercizio acrobatico

nel quale un ciclista percorre una pista circolare disposta in un piano verticale: a un certo punto il ciclista si trova a testa in giù, ma, se la velocità è abbastanza alta, esso non precipita. Sapendo che la pista ha un raggio r=4m e trascurando gli attriti, calcolare la minima velocità vA con la quale il ciclista deve affrontare la pista nel punto A per non precipitare.



Liceo Scientifico Statale “G. Stampacchia” Tricase

Oggetto: Compito di Fisica – Classe 3-D\PNI Tema: Dinamica- Conservazione dell’energia- Forza d’attrito – Teorema dell’energia cinetica- Energia immagazzinata in una molla.

Problema_1 Un trapezista ha massa 60Kg ed è agganciato ad una funicella inestensibile di massa trascurabile lunga 5m. Il secondo estremo della funicella è agganciato al sostegno O. Il trapezista si lascia cadere con velocità iniziale nulla dalla piattaforma collocata alla stessa altezza del punto O rispetto al suolo.

1. Descrivere il moto del trapezista. 2. Determinare la velocità del trapezista e la tensione della funicella quanto il trapezista si

troverà sulla verticale per O. 3. Determinare la velocità del trapezista quando la funicella forma un angolo di 45° con la

verticale per O. 4. Determinare l’angolo che la funicella forma con la verticale per O quando il modulo della

velocità del trapezista è uguale alla metà del valore massimo raggiungibile.

Problema_2 Si colloca in cima ad un piano scabro, inclinato di 45° rispetto al piano orizzontale, un blocco di legno di 2Kg. Tra le superfici a contatto sussiste un coefficiente di attrito statico µs=0,5 ed un coefficiente di attrito dinamico µd=0,3.

1) Verificare che il blocco lasciato libero scende lungo il piano.

2) Nell’ipotesi che il piano inclinato sia lungo 76 cm, determinare il modulo della velocità con cui il blocco giunge alla base del piano.

3) Una volta sul piano orizzontale, il blocco prosegue il suo moto su una superficie liscia fino a scontrarsi con una molla, bloccata in un estremo, avente costante elastica k=200N/m . Determinare la compressione della molla.

Tempo di lavoro 60 minuti



Soluzione Problema_1 Un trapezista ha massa 60Kg ed è agganciato ad una funicella inestensibile di massa trascurabile lunga 5m. Il secondo estremo della funicella è agganciato al sostegno O. Il trapezista si lascia cadere con velocità iniziale nulla dalla piattaforma collocata alla stessa altezza del punto O rispetto al suolo.

5. Descrivere il moto del trapezista. 6. Determinare la velocità del trapezista e la tensione della funicella quanto il trapezista si

troverà sulla verticale per O. Soluzione

1. Il problema in esame si risolve agevolmente applicando il principio di conservazione dell’energia. Poiché nel testo non si fa alcuna ipotesi su eventuali attriti supponiamo che questi siano trascurabili. Il trapezista descriverà un moto circolare perché è vincolato dalla funicella. La sua distanza dal centro O di rotazione è costante. E’ immediato riconoscere che partendo dal punto A arriverà nel punto B collocato alla stessa quota di A; B è il secondo estremo del diametro della semicirconferenza di centro O. Il moto avviene per effetto della forza gravitazionale (forza peso del trapezista) che è conservativa e si conserva l’energia meccanica complessiva perché sono trascurabili gli attriti. Una volta giunto in B il trapezista ridiscenderà per ritornare in A. Il moto continuerà con le stesse caratteristiche. Precisiamo che il modulo della velocità è variabile.

2. Poniamo uguale a zero l’energia gravitazionale sul piano orizzontale passante per il punto L, punto più in basso per il quale passa il baricentro del trapezista (vedi figura). Poniamo R=5m la misura della funicella. Nella posizione A il trapezista ha velocità nulla e la sua energia potenziale gravitazionale vale U=mgR. Quando passerà dal punto L è nulla l’energia potenziale gravitazionale e l’energia meccanica del trapezista sarà uguale alla sola energia cinetica. Sussiste la seguente uguaglianza

21

2mv mgR= ⇒ 2v gR= 19,90ms−= (1)

Calcolo della tensione della funicella nel punto L Nella posizione L sul trapezista agiscono due forze dirette lungo la verticale: la forza peso

mg��

diretta verso il basso e la tensione della funicella T��

diretta verso l’alto. Indicata con

a�

l’accelerazione del trapezista nell’istante in cui passa da L, per la seconda legge della dinamica possiamo scrivere l’uguaglianza

mg T ma+ =��

(2)

Dalla quale si deduce che anche l’accelerazione è diretta lungo la verticale, più precisamente, è diretta verso il centro O (accelerazione centripeta). Possiamo scrivere la (2) in forma scalare secondo un asse verticale orientato verso l’alto. Si ottiene:

mg T ma− + = ⇒ ( )T m g a= + (2.1)

Ricordiamo ora che in un moto curvilineo il modulo dell’accelerazione centripeta è



2

c

va

R= (3)

e tenendo conto dell’espressione (1) per il modulo della velocità lineare si può scrivere

2

c

va

R= =

( )2

22

gRg

R=

Il valore della tensione T è allora

( 2 )T m g g= + 3mg= .

Conclusione La tensione della funicella è pari a tre volte il peso del trapezista. Sostituendo i valori alle grandezze si ha:

23 60 9.81

mT Kg

s= ⋅ ⋅ 1766N≈

3. Determinare la velocità del trapezista quando la funicella forma un angolo di 45° con la verticale per O.

In Fig.2 è indicata con C una delle due posizioni nelle quali la funicella che regge il trapezista forma un angolo di 45° con la verticale per il centro O. Il trapezista sta scendendo. Nella posizione indicata il trapezista possiede energia cinetica ed energia potenziale gravitazionale e la loro somma è uguale all’energia potenziale gravitazionale iniziale. Per quanto riguarda il valore dell’energia potenziale gravitazionale residua, notiamo che vale

gU mg LH= ⋅ ( )cos45mg R R= − ° =

21

2mgR

−

Indicando con V1 il modulo della velocità in C sussiste l’uguaglianza

c gE U+ = 21

1 21

2 2mV mgR

+ −

mgR=

Risolvendo l’equazione nell’incognita V1 si ricava

1 2V gR= 2

9,81 5 2m

ms

≈ ⋅ ⋅ 8,33m

s≈

4. Determinare l’angolo che la funicella forma con la verticale per O quando il modulo della velocità del trapezista è uguale alla metà del valore massimo raggiungibile. Il trapezista raggiunge la velocità massima quando passa per il punto L, cioè per la verticale per il centro O di rotazione. Questo valore è stato calcolato nel quesito n.2 e risulta

max 2V gR= .

Abbiamo già precisato che il moto del trapezista è oscillatorio intorno al punto O; nella fase di ritorno da B verso A, quando il trapezista ripasserà da una qualsiasi posizione P, la velocità avrà lo stesso modulo della velocità posseduta nello stesso punto nella fase di



“andata” mentre il verso sarà opposto. Sia P la posizione nella fase di andata da A verso B, durante la discesa, nella quale la velocità sia max / 2V . Indichiamo con P’ la proiezione

ortogonale di P sulla verticale per O e con α l’angolo formato dalla funicella con la stessa verticale. Il valore dell’energia potenziale gravitazione posseduta dal trapezista nella posizione P è

'gU mg LP= ⋅ = ( )1 cosmgR α−

La relazione dedotta dalla conservazione dell’energia meccanica, uguagliando l’energia nella posizione OP all’energia iniziale posseduta in A, è:

c gE U+ = ( )211 cos

2 PmV mgR α+ − mgR= ⇒21

cos2 PV gR α=

Poiché deve essere

max

2p

VV =

2

2

gR= ⇒

2

2P

gRV =

e quindi si deve verificare l’uguaglianza 1

cos2 2

gRgR α⋅ = ⇒

1cos

4α α= ⇒ ⇒ arccos(0,25) 75 31'α = ≈ °



Problema_2 Si colloca in cima ad un piano scabro, inclinato di 45° rispetto al piano orizzontale, un blocco di legno di 2Kg. Tra le superfici a contatto sussiste un coefficiente di attrito statico µs=0,5 ed un coefficiente di attrito dinamico µd=0,3.

1) Verificare che il blocco lasciato libero scende lungo il piano.

2) Nell’ipotesi che il piano inclinato sia lungo 76 cm, determinare il modulo della velocità con cui il blocco giunge alla base del piano.

3) Una volta sul piano orizzontale, il blocco prosegue il suo moto su una superficie liscia fino a scontrarsi con una molla, bloccata in un estremo, avente costante elastica k= 200N/m . Determinare la compressione della molla.

Soluzione 1 Una volta lasciato libero il blocco sul piano

inclinato su di esso agisce la forza peso e la

reazione R��

vincolare del piano. Il piano è scabro, dunque è in grado di esercitare una forza d’attrito che tende ad ostacolare il moto. Il blocco rimane fermo sul piano inclinato se la componente del peso parallela al piano d’appoggio ha modulo minore o uguale a quello della forza d’attrito. Si chiede di verificare che il blocco si muoverà, quindi occorre provare che risulta: P//>R//

Ricordiamo che se il piano è inclinato dell’angolo α rispetto al piano orizzontale allora la componente del peso del blocco parallela al piano d’appoggio ha modulo

//P mg senα= ⋅��

,

mentre il modulo della componente perpendicolare allo stesso piano è

cosP mg α⊥ = ⋅��

La forza d’attrito che si esercita tra il blocco ed il piano, finché il blocco rimane fermo, è il prodotto del coefficiente di attrito statico con la componente del peso che preme perpendicolarmente sul piano, quindi

.att sF Pµ ⊥= ⋅��

coss mgµ α= ⋅ ⋅

Calcolo dei valori

// 45P mg sen= ⋅ °��

2

22 9,81

2

mKg

s= ⋅ ⋅ 13,87N≈



. cos45att sF mgµ= ⋅ ⋅ °2

20,5 2 9,81

2

mKg

s= ⋅ ⋅ ⋅ 6,94N≈

Poiché Fatt<P// il blocco scivolerà lungo il piano. 2 Sul blocco, una volta in moto, lungo la direzione del moto agiscono la forza di attrito

dinamico

. cos45datt dF mgµ= ⋅ ⋅ °

che si oppone al moto ed ancora la componente della forza peso parallela al piano inclinato:

// 45P mg sen= ⋅ °��

L’intensità della forza risultante nel verso del moto è

// .d

attP F− =��

45 cos45dmg sen mgµ⋅ ° − ⋅ ⋅ ° = ( )13,87 4,16N− =9,71N

Calcolo della velocità con cui il blocco giunge alla base del piano Possiamo applicare il teorema dell’energia cinetica per determinare la velocità richiesta. Infatti, il lavoro svolto dalla risultante delle forze che agiscono su un corpo in moto è uguale alla variazione dell’energia cinetica che il corpo subisce. Ebbene, visto che il corpo è inizialmente fermo e che la risultante delle forze durante il moto è costante, parallela al piano del moto e diretta nello stesso verso, conoscendo la lunghezza l del piano inclinato possiamo scrivere:

2//

1( )

2 f attmV P F l= − ⋅ ⇒ //2( )attf

P F lV

m

− ⋅= 2 9,71 0,76

2

N m

Kg

⋅ ⋅≈

2,72m

s≈

3 Poiché il blocco si muove su un piano orizzontale liscio il suo moto sarà rettilineo uniforme finché non si scontrerà con la molla indicata. Arriverà dunque all’impatto con velocità parallela al piano di scorrimento e con

energia cinetica pari a 21

2 fmV .

Durante il processo di compressione della molla l’energia meccanica si trasforma gradualmente da energia di movimento in energia elastica immagazzinata dalla molla. Indicata con ∆x la misura della compressione della molla quando il blocco sarà stato arrestato sussiste l’uguaglianza

2 21 1

2 2fmV k x= ∆ ⇒ f

mx V

k∆ = ⋅

Sostituendo i valori delle grandezze note si ha

1

22,72

200

m Kgx

s Nm−∆ = ⋅ 27,2cm≈

Per le valutazioni assegnate agli allievi vedere la relativa scheda



Frequenze delle fasce dei voti

4%

20%

44%

16%

8%8%

[0;4,5]]4,5;5,5]]5,5;6,5]]6,5;7,5]]7,5;8,5[[8,5;10]



CONCLUSIONI ED AUTOVALUTAZIONE A conclusione di questo biennio di formazione credo di poter affermare di aver imparato molte cose a me ancora sconosciute. La scuola, infatti, mi ha fornito nozioni che non riguardano solo le materie disciplinari, ma anche materie trasversali, lontane dalla mia formazione universitaria, ma necessarie per formare la figura di un insegnante educatore, che non deve solo avere conoscenze della disciplina di sua competenza, ma deve avere anche capacità di riflessione ed autocritica, di comprensione e di sostegno nei confronti degli alunni. Anche i laboratori didattici mi sono stati utili per approfondire la conoscenza di alcune applicazioni di programmi. Senza dubbio, comunque, l’attività più interessante e quella a mio avviso più formativa è stata il tirocinio diretto a scuola, a stretto contatto con il mondo dei docenti e degli alunni. Essendo stata una tirocinante 270 h ed avendo avuto un tutor molto disponibile, ho avuto la possibilità di partecipare attivamente all’attività didattica in tutte le sue forme ed espressioni. Non essendo ancora un’insegnante, e non essendo più una alunna, mi sono trovata a cavallo tra questi due mondi, e ciò mi ha dato la possibilità di vedere e studiare le esigenze dei ragazzi, di ascoltare i discorsi degli insegnanti in sala professori, di confrontare le mie osservazioni personali sulle classi, che mi erano state assegnate con il mio tutor. Sono certa dunque che la scuola di specializzazione, e in particolar modo il tirocinio diretto, mi hanno fatto acquisire quelle conoscenze e competenze che mi permetteranno di affrontare il mondo della scuola con più professionalità e meno timore.



BIBLIOGRAFIA

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Corvi Editori (2004) � A. Trifone, M. Bergamini, Le coniche e le trasformazioni nel piano cartesiano, Zanichelli

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