Дидактичні матеріали з математики для 11 класу рівня стандарту

Міністерство освіти і науки, молоді і спорту України

Головне управління освіти і науки

Черкаської обласної державної адміністрації

Відділ освіти Золотоніської міської ради та виконавчого комітету

Золотоніська гімназія ім. С.Д. Скляренка

Золотоніської міської ради та виконавчого комітету

Бей Оксана Ярославівна, учитель-методист математики

вищої категорії

Навчальний посібник

Дидактичні матеріали

з математики для 11 класу

рівня стандарту

м. Золотоноша

2013

БББ 74.200 (4Укр – 4 Чск)

Н – 84 (Навчально-методичний посібник), 2013 – 55 c.

АВТОР:

Бей Оксана Ярославівна – учитель-методист математики вищої

категорії

РЕЦЕНЗЕНТИ:

Козлова Ольга Миколаївна – методист ЧОІПОПП

Янча Тетяна Василівна – методист відділу освіти Золотоніської міської

ради та виконавчого комітету

Буряк Світлана Дмитрівна – заступник директора з науково-методичної

роботи Золотоніської гімназі ім. С.Д. Скляренка

Схвалено до використання

методичною радою методичного кабінету відділу освіти

Золотоніської міської ради Черкаської області

(протокол №3 від 19.12.2012)

_______________________________________________________________________________________

Золотоніська гімназія ім. С. Д. Скляренка О.Я. Бей

3

Виставка ППД «Освіта Черкащини» Дидактичні матеріали з математики для 11 класу рівня стандарту

ЗМІСТ

ВСТУП .......................................................................................................................... 4

КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ З АЛГЕБРИ ....................................................................... 8

Контрольна робота №1. Показникова та логарифмічна функція ...................... 8

Контрольна робота №2. Похідна та її застосування ........................................ 12

Контрольна робота №3. Інтеграл та його застосування. ................................ 17

Контрольна робота №4. Елементи теорії ймовірності і математичної

статистики ........................................................................................................... 24

Підсумкова контрольна робота ............................................................................ 28

КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ З ГЕОМЕТРІЇ .................................................................. 32

Контрольна робота №1. Координати та вектори у просторі ......................... 32

Контрольна робота №2. Геометричні тіла і поверхні ...................................... 35

Контрольна робота №3. Об’єми геометричних тіл .......................................... 40

Контрольна робота №4. Площі поверхонь геометричних тіл .......................... 45

Підсумкова контрольна робота ............................................................................ 51

СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ .......................................................... 56

_______________________________________________________________________________________


4


ВСТУП

об стати успішним учасником

_______________________________________________________________________________________


5


_______________________________________________________________________________________


6


’

иро сподіваюся, що мій навчальний посібник, знадобиться

_______________________________________________________________________________________


7


вчителям, студентам, учням, а також всім тим, хто прагне отримати глибокі

знання з математики.

_______________________________________________________________________________________


8


КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ З АЛГЕБРИ

Контрольна робота №1

Тема: «Показникова та логарифмічна функція»

І Варіант

1. Розв’язати рівняння:

а)

(2,5 бали)

Відповідь: 16

б)

(2,5 бали)

Відповідь:

2. Розв’язати нерівність (3 бали)

( ) ( )

Відповідь:

3. Розв’язати систему (4 бали)

{ ( )

Відповідь: (1;7), (7;1)

ІІ Варіант


а)

(2,5 бали)


б)

(2,5 бали)

Відповідь:


( )

( )

_______________________________________________________________________________________


9


Відповідь:

)


{

( )

Відповідь: (1;2), (2;1)

ІII Варіант


а)

(2,5 бали)


б)

(2,5 бали)

Відповідь: 27; 81


( )

( )

Відповідь: (

)


{ ( )

Відповідь: (4;1)

ІV Варіант


а)

(2,5 бали)


б) (2,5 бали)

Відповідь: 1000; 0,01


_______________________________________________________________________________________


10


( ) ( )

Відповідь:


{


)

Розв’язки завдань

І Варіант


а)

(2,5 бали)

Розв’язання

О.Д.З.


б)

(2,5 бали)


О.Д.З.

Виконаємо заміну

Відповідь:


( ) ( )

_______________________________________________________________________________________


11



{

{

{

{

Розв’язки нерівності відсутні

Відповідь:


{ ( )


О.Д.З {

{

{ ( )

Відповідь: (1;7), (7;1)

_______________________________________________________________________________________


12



Тема: «Похідна та її застосування»

І Варіант

1. Обчисліть границі функцій (2 бали)

а)

( )

Відповідь: -2

б)


2. Обчисліть похідні (8 балів)

а) √

Відповідь:

√

б)

Відповідь:

в)

Відповідь:

( )

г)

Відповідь:

3. Напишіть рівняння дотичної до графіка функції ( ) в точці

(2 бали)

Відповідь:

ІI Варіант


а)

( )


_______________________________________________________________________________________


13


б)



а) √

Відповідь:

√

б)

Відповідь:

в)

Відповідь:

( )

г)



(2 бали)


ІII Варіант


а)

( )


б)



а) √

Відповідь:

√

_______________________________________________________________________________________


14


б)

Відповідь:

в)

Відповідь:

( )

г)



(2 бали)


ІV Варіант


а)

( )


б)



а) √

Відповідь:

√

б)

Відповідь:

в)

Відповідь:

( )

г)


_______________________________________________________________________________________


15



(2 бали)



І Варіант


а)

( )


( )


б)


( )



а) √


√

√

Відповідь:

√

б)


Відповідь:

_______________________________________________________________________________________


16


в)


( )( ) ( )

( )

( )

( )

Відповідь:

( )

г)


( )

Відповідь:


(2 бали)


( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Відповідь:

_______________________________________________________________________________________


17



Тема: «Інтеграл та його застосування»

І Варіант

1. Обчислити (6 балів)

а)

∫√

Відповідь: √

б)

∫

Відповідь:

в)

∫


г)

∫(

)

Відповідь: 8,1

2. Знайдіть площу фігури обмеженої лініями (6 балів)

а)

Відповідь:

(кв. од.)

б)

_______________________________________________________________________________________


18


Відповідь: ( )

ІI Варіант


а)

∫√

Відповідь:

б)

∫


в)

∫(

)

Відповідь:

г)

∫



а)


(кв. од.)

б)

Відповідь: (кв од )

_______________________________________________________________________________________


19


ІII Варіант


а)

∫( )


б)

∫


в)

∫


г)

∫(

)

Відповідь:


а)

Відповідь: 4,5 (кв. од.)

б)

Відповідь:

(кв. од.)

ІV Варіант


_______________________________________________________________________________________


20


а)

∫√

Відповідь:

б)

∫


в)

∫(

)

Відповідь:

г)

∫



а)

Відповідь: 36 (кв. од.)

б)

Відповідь:

(кв. од.)


І Варіант


_______________________________________________________________________________________


21


а)

∫√


∫√

∫( )

( )

√( )

√

√

√


б)

∫


∫

Відповідь:

в)

∫


∫

(

)

√


г)

_______________________________________________________________________________________


22


∫(

)


∫(

)

(

)

(

)



а)


Побудуємо фігуру площу якої треба знайти.

- парабола, вітки вниз.

Знайдемо координати вершини параболи:

. (

) - вершина

параболи.

Знайдемо точки перетину параболи з

осями координат:

Вісь ОХ перетинається в точках:

(-1; 0), (4; 0). Вісь ОY перетинається в точці

(0; 4).

Знайдемо межі інтегрування,

розв’язавши рівняння:

.

∫(

) ∫(

)

(

)

(

)

_______________________________________________________________________________________


23


( )

Відповідь:

(кв. од.)

б)


Побудуємо фігуру площу якої

треба знайти.

- гіпербола. - пряма

паралельна осі ОХ, що перетинає вісь

ОY в точці 4. – пряма паралельна

осі ОY, що перетинає вісь ОX в точці 3.

Знайдемо межі інтегрування,

розв’язавши рівняння:

∫ (

)

( ( )) =

Відповідь: (кв. од.)

_______________________________________________________________________________________


24



Тема: «Елементи теорії ймовірності і математичної статистики»

І Варіант

1. Скільки чотиризначних номерів можна утворити із 6 цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6,

якщо кожна цифра зустрічається один раз? (2 бали)

Відповідь: 360 номерів

2. Розв’яжіть рівняння:

(4 бали)


3. Піднести до степеня: ( ) (3 бали)

Відповідь:

4. У вазі 20 троянд і 10 ромашок. Яка імовірність того, що серед навмання

взятих 5 квіток виявиться 2 ромашки? (3 бали)

Відповідь: 36%

ІІ Варіант

1. У профшколі 9 осіб. Із них треба вибрати голову, заступника, секретаря і

культорга. Скількома способами це можна зробити? (2 бали)

Відповідь: 3024 способами


(4 бали)



Відповідь:

4. У партії із 30 деталей 7 бракованих. Яка імовірність того, що із навмання

взятих 4 деталей 1 бракована? (3 бали)


_______________________________________________________________________________________


25


ІІІ Варіант

1. У команді з плавання 5 осіб. Всього в змаганнях бере участь 25 осіб.

Скількома способами можуть розділитись місця, зайняті членами цієї

команди? (2 бали)

Відповідь: 6375600 способів


(4 бали)



Відповідь:

4. У ящику 8 однакових кубиків, помічених номерами від 1 до 8. Навмання

виймають 5 кубиків. Яка імовірність того, що серед них виявиться кубик

з № 4 та № 5? (3 бали)


ІV Варіант

1. Скільки чотиризначних номерів можна утворити із 5 цифр: 1; 2; 3; 4; 5,




(4 бали)

Відповідь: 6; 11


Відповідь:

4. У коробці 12 білих і 8 червоних кульок. Навмання виймають 5 кульок.

Яка імовірність, що серед них буде 2 червоні? (3 бали)



І Варіант

1. Скільки чотиризначних номерів можна утворити із 6 цифр: 1; 2; 3; 4; 5; 6,


_______________________________________________________________________________________


26



(номерів)



(4 бали)


( )

( )

( )( )

( )

– не задовольняє умову

- не задовольняє умову




( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

Відповідь:

4. У вазі 20 троянд і 10 ромашок. Яка імовірність того, що серед навмання

взятих 5 квіток виявиться 2 ромашки? (3 бали)


Подія А – із 5 квіток 2 ромашки.

_______________________________________________________________________________________


27


( )


_______________________________________________________________________________________


28


Підсумкова контрольна робота

І Варіант

1. Знайти проміжки зростання (спадання) та точки екстремуму функції

( )

(4 бали)

Відповідь: Функція зростає на ( ) ( ), спадає на

( ) ( ). x=-4 – точка максимуму, x=2 – точка мінімуму

2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

(5 балів)


3. Записати рівняння дотичної до графіка функції , що

проходить через точку (3 бали)

Відповідь:

ІI Варіант


( )

(4 бали)




(5 балів)

Відповідь: 9 (кв. од.)



Відповідь:

ІII Варіант


( )

(4 бали)




_______________________________________________________________________________________


29


(5 балів)




Відповідь:


І Варіант


( )

(4 бали)


Область визначення функції:

( ) ( )( ) ( )

( )

( )

( )

( )( )

Функція зростає на ( )і( ),

спадає на ( ) ( ).

x=-4 – точка максимуму,

x=2 – точка мінімуму.


( ) ( ). x=-4 – точка максимуму, x=2 – точка мінімуму.


(5 балів)

_______________________________________________________________________________________


30



Побудуємо фігуру площу якої треба знайти.

- парабола, вітки

вгору. Знайдемо координати вершини

параболи: . ( ) -

вершина параболи.

Знайдемо точки перетину

параболи з осями координат:

Вісь ОХ

перетинається в точці: (-1; 0). Вісь ОY

перетинається в точці (0; 1).

Знайдемо межі інтегрування, розв’язавши рівняння:

.

∫(

) ∫(

)

(

)

(

)

( )





( ) ( )( )

( )

( ) ( )

_______________________________________________________________________________________


31


Відповідь:

_______________________________________________________________________________________


32


КОНТРОЛЬНІ РОБОТИ З ГЕОМЕТРІЇ


Тема: «Координати та вектори у просторі»

І Варіант

1. На осі y знайдіть точку рівновіддалену від точок A (-3; 7; 2) і B(2; -3; 3).

(3 бали)

Відповідь: (0; 2; 0)

2. Дано три вершини A (1; 4; 2), B(2; -1; 5), C(0; -2; 4) прямокутника ABCD.

Знайдіть координати четвертої вершини D. (4 бали)

Відповідь: (-1; 3; 1)

3. Напишіть рівняння площини, що проходить через точки: A1 (4; 0; 3),

А2(5; 2; 0), А3(3; 1; 2) (5 балів)

Відповідь: x+4y+3z-13=0

ІI Варіант

1. На осі z знайдіть точку рівновіддалену від точок A (-2; 0; 3) і B(0; 2; -1).

(3 бали)


2. Дано три вершини A (1; -2; 7), B(2; 3; 5), D(-1; 3; 6) ромба ABCD.

Знайдіть координати четвертої вершини С. (4 бали)


3. Знайдіть рівняння площини, що проходить через точки: A1 (1; 2; 2), А2(1;

-2; 2), А3(-1; 1; -2) (5 балів)

Відповідь: 2x-z=0

ІIІ Варіант

1. На осі y знайдіть точку, віддалену від точки A (5; -1; 4) на віддаль √ . (3

бали)

Відповідь: (0; -3; 0) і (0; 1; 0)

2. Дано три вершини A (-1; 1; -4), B(-2; 0; 0), C(1; -1; -2) паралелограма

ABCD. Знайдіть координати четвертої вершини D. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________


33


Відповідь: (2; 0; -6)

3. Знайдіть рівняння площини, що проходить через три точки: B1 (-1; 2; 0),

B2(1; -1; 3), B3(0; -1; 2) (5 балів)

Відповідь: 3x-y-3z+5=0

ІV Варіант

1. На осі z знайдіть точку рівновіддалену від точок A (1; 2; 0) і B(-1; -2; 1).

(3 бали)

Відповідь: (0; 0; 0,5)

2. Дано три вершини A (2; -1; 8), B(3; 4; 6), D(0; 4; 6) ромба ABCD.

Знайдіть координати четвертої вершини C. (4 бали)


3. Знайдіть рівняння площини, що проходить через три точки: C1 (2; 3; 0),

C2(-1; 1; -1), C3(0; -2; -1) (5 балів)

Відповідь: 3x+y-11z-9=0


І Варіант

1. На осі y знайдіть точку рівновіддалену від точок A (-3; 7; 2) і B(2; -3; 3).

(3 бали)


Нехай це точка C(0; y; 0); AC=BC.

AC2=(0+3)

2+(y-7)

2+(0-2)

2=9+y

2-14y+49+4=y

2-14y+62;

BC2=(0-2)

2+(y+3)

2+(0-3)

2=4+y

2+6y+9+9=y

2+6y+22;

y2-14y+62= y

2+6y+22;

20y=40;

y=2;

Отже це точка C(0; 2; 0)


2. Дано три вершини A (1; 4; 2), B(2; -1; 5), C(0; -2; 4) прямокутника ABCD.

Знайдіть координати четвертої вершини D. (4 бали)


_______________________________________________________________________________________


34


О – точка перетину діагоналей прямокутника.

O (x; y; z). O – середина AC.

(

).

Нехай D (x'; y

'; z

'). O – середина BD, маємо

Отже D(-1; 3; 1)

Відповідь: (-1; 3; 1)

3. Напишіть рівняння площини, що проходить через точки: A1 (4; 0; 3),

А2(5; 2; 0), А3(3; 1; 2) (5 балів)


( ) ( ) ( )

( )

{

{

{

( ) ( ). Рівняння площини x+4y+3z+d=0. A1 – належить

площині, тому 4+0+9+d=0; d=-13.

Отже рівняння площини: x+4y+3z-13=0

Відповідь: x+4y+3z-13=0

_______________________________________________________________________________________


35



Тема: «Геометричні тіла і поверхні»

І Варіант

1. У правильну чотирикутну піраміду, плоский кут при вершині якої

дорівнює , вписано кулю радіуса r. Знайдіть сторону основи піраміди. (6

балів)


)

√

2. Знайти радіус кулі, описаної навколо правильної чотирикутної призми зі

стороною основи а і вистою h. (6 балів)


ІI Варіант

1. У правильну шестикутну піраміду, кут між висотою і апофемою якої

дорівнює , вписано кулю радіуса r. Знайдіть апофему піраміди. (6 балів)


2. Навколо прямої призми з висотою h, в основі якої лежить рівнобедрений

трикутник з основою а і прилеглим до неї кутом , описано кулю.

Знайдіть її радіус. (6 балів)


ІII Варіант

1. У правильну трикутну піраміду, вписано кулю радіуса r. Знайдіть

сторону основи піраміди, якщо кут між висотою і бічною гранню

дорівнює . (6 балів)

Відповідь: ( )√

2. Знайдіть радіус кулі, описаної навколо правильної шестикутної призми зі

стороною основи а і висотою h. (6 балів)


_______________________________________________________________________________________


36


ІV Варіант

1. У правильну чотирикутну піраміду, кут між висотою і апофемою якої

дорівнює , вписано кулю радіуса r. Знайдіть апофему піраміди. (6 балів)


2. Знайдіть радіус кулі, описаної навколо правильної трикутної призми зі

стороною основи а і висотою h. (6 балів)

Відповідь:

√

√

_______________________________________________________________________________________


37



І Варіант

1. У правильну чотирикутну піраміду, плоский кут при вершині якої

дорівнює , вписано кулю радіуса r. Знайдіть сторону основи піраміди. (6

балів)


SABCD – правильна чотирикутна піраміда, SO1 – її висота, О – центр

вписаної кулі. ; ON=OO1=r.

Нехай сторона основи дорівнює а.

. Із

( )

. Із ( )

√ √

√

;

√

.

, як прямокутні за гострим кутом.

_______________________________________________________________________________________


38


√

;

√

√

( )

√


)

√

2. Знайти радіус кулі, описаної навколо правильної чотирикутної призми зі

стороною основи а і вистою h. (6 балів)


ABCDA1B1C1D1 – правильна чотирикутна призма. AB=BC=CD=AD=a;

O1O2=h; O – центр кулі. OO2=OO1=

. AO1=

√

.

_______________________________________________________________________________________


39


Із ( ) √

√

√


_______________________________________________________________________________________


40



Тема: «Об’єми геометричних тіл»

І Варіант

1. Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого рівна S1. Площі

діагональних перерізів дорівнюють S2 і S3. Знайдіть об’єм паралелепіпеда

(4 бали)

Відповідь:

√

2. В правильній шестикутній призмі діагональ найбільшого діагонального

перерізу рівна d і утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм

призми. (4 бали)


3. За висотою h правильного тетраедра знайти його об’єм. (4 бали)


IІ Варіант

1. В прямому паралелепіпеді сторони основи 4 і 6 см., утворюють кут 600.

Більша діагональ паралелепіпеда утворює з площиною основи кут 450.

Знайдіть об’єм паралелепіпеда. (4 бали)


2. Основа призми – трикутник зі сторонами 8, 9 і 11 см. Знайдіть об’єм

призми, якщо її висота рівна найбільшій висоті основи. (4 бали)


3. Основа піраміди DABC – трикутник, у якого .

Знайдіть об’єм піраміди, якщо бічне ребро AD перпендикулярне до

площини основи і кут між площинами . (4 бали)

Відповідь:

IIІ Варіант

1. Основою похилого паралелепіпеда є квадрат зі стороною a, а бічні грані -

ромби з гострими кутами по 600. Знайдіть об’єм паралелепіпеда (4 бали)

_______________________________________________________________________________________


41


Відповідь:

√

2. Основою похилої призми є прямокутний трикутник з катетами 6 і 8 см.

Бічна грань, що проходить через гіпотенузу основи, має площу 200 см2 і

перпендикулярна до основи. Знайдіть об’єм призми. (4 бали)


3. Основа піраміди – ромб з тупим кутом і меншою діагоналлю d.

Висота піраміди проходить через точку перетину діагоналей ромба.

Знайдіть об’єм піраміди, якщо більше бічне ребро нахилене до площини

основи під кутом . (4 бали)

Відповідь:

IV Варіант

1. Основою прямокутного паралелепіпеда є квадрат площею 18 см2.

Знайдіть об’єм паралелепіпеда, якщо його діагональ дорівнює 10 см. (4

бали)

Відповідь:

2. Основою прямої призми є прямокутний трикутник з гострим кутом і

радіусом описаного кола R. Діагональ бічної грані, що містить гіпотенузу,

нахилена до площини основи під кутом . Знайдіть об’єм призми. (4

бали)

Відповідь:

3. У правильній трикутній піраміді апофема дорівнює 8 см і утворює з

висотою кут 300. Знайти об’єм піраміди. (4 бали)

Відповідь:


І Варіант

1. Основою прямого паралелепіпеда є ромб, площа якого рівна S1. Площі

діагональних перерізів дорівнюють S2 і S3. Знайдіть об’єм паралелепіпеда

(4 бали)

_______________________________________________________________________________________


42



ABCDA1B1C1D1 – даний прямий паралелепіпед. ABCD – ромб.

.

Нехай . Тоді:

{

{

;

√

√

√ .

; S= √

√

√ .

Відповідь:

√

2. В правильній шестикутній призмі діагональ найбільшого діагонального

перерізу рівна d і утворює з площиною основи кут . Знайдіть об’єм

призми. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________


43



ABCDEFA1B1C1D1E1F1 – правильна шестикутна призма. AA1D1D –

найбільший діагональний переріз, АD1 – його діагональ.

.

.

√

√

√

√

√


3. За висотою h правильного тетраедра знайти його об’єм. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________


44



SABC – правильний тетраедр. SO – його висота. Нехай сторона

тетраедра рівна a.

√ (за умовою).

√

√

√

√


_______________________________________________________________________________________


45



Тема: «Площі поверхонь геометричних тіл»

І Варіант

1. Відрізок, що з’єднує центр основи циліндра із точкою кола іншої основи

дорівнює b і утворює зі своєю проекцією на основу кут . Знайти повну

поверхню циліндра. (4 бали)


2. Конус з вистою 4 см вписано в піраміду, основою якої є рівнобедрений

трикутник. Точка дотику основи конуса до бічної сторони трикутника

ділить її на відрізки 7 см і 5 см, рахуючи від його вершини. Знайдіть

бічну поверхню конуса. (4 бали)

Відповідь:

√

3. Два перерізи кулі мають одну спільну точку, а їх площини утворюють

між собою кут 900. Площі утворених перерізів рівні

.

Знайдіть площу поверхні кулі. (4 бали)

Відповідь:

ІІ Варіант

1. Хорда основи циліндра рівна a. Відрізок, що сполучає центр іншої основи

з серединою даної хорди, дорівнює d і утворює з площиною основи кут

. Знайти бічну поверхню циліндра. (4 бали)


2. Конус описано навколо піраміди, в основі якої лежить прямокутний

трикутник з катетами 4 см і √ см. Твірні конуса, що проходять через

кінці гіпотенузи утворюють між собою кут 1200. Знайти повну поверхню

конуса. (4 бали)

Відповідь:

( √ )


між собою кут 600. Одна з них проходить через центр кулі. Площа

_______________________________________________________________________________________


46


перерізу кулі, утвореного іншою площиною дорівнює 49 . Знайдіть

площу поверхні кулі. (4 бали)

Відповідь:


1. Хорда основи циліндра рівна a і стягує дугу 2 . Відстань від центра

іншої основи до цієї хорди рівна d. Знайти повну поверхню циліндра. (4

бали)

Відповідь:

( √

2. Конус описано навколо піраміди, в основі якої лежить прямокутний

трикутник з катетами 4 см і √ см. Твірні конуса, що проходять через

кінці гіпотенузи утворюють між собою кут 1200. Знайти повну поверхню

конуса. (4 бали)

Відповідь:

( √ )

3. Кулю перетнуто площиною. Діаметр утвореного перерізу, площа якого

рівна 36 , видно з центра кулі під кутом 1200. Знайдіть площу

поверхні кулі. (4 бали)


ІV Варіант

1. Діагональ осьового перерізу циліндра l, а кут між діагоналлю перерізу і

віссю циліндра – . Знайти бічну поверхню циліндра. (4 бали)

Відповідь:

2. Два діаметри основи конуса перетинають під кутом 600. Відрізок, що

з’єднує їх кінці лежить проти заданого кута, рівний 6 см. Знайти повну

поверхню конуса, якщо його висота рівна 8 см. (4 бали)

Відповідь:

3. Площа поверхні кулі 400 . На якій відстані від центра кулі проведено

переріз, площа якого 64 (4 бали)

Відповідь: .

_______________________________________________________________________________________


47



І Варіант

1. Відрізок, що з’єднує центр основи циліндра із точкою кола іншої основи

дорівнює b і утворює зі своєю проекцією на основу кут . Знайти повну

поверхню циліндра. (4 бали)


Згідно умови OA=b; .

( ) .

Із ( ) .

( ) ( )


2. Конус з вистою 4 см. вписано в піраміду, основою якої є рівнобедрений

трикутник. Точка дотику основи конуса до бічної сторони трикутника

ділить її на відрізки 7 см. і 5 см., рахуючи від його вершини. Знайдіть

бічну поверхню конуса. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________


48



SO – висота конуса вписаного в піраміду, трикутник ABC –

рівнобедрений. N – точка дотику основи конуса до бічної сторони трикутника

ABC. SO=4 см; AN=7см; NC=5 см.

AC=7+5=12 (см). AK=7 см; KB=5 см; BM=KB, CM=NC , як відрізки

дотичних, продених до кола з однієї точки. BM=MC=5 см; BC=10 см. ON=r;

√ ( )( )( )

√

( )( )(

( )

√

√

.

_______________________________________________________________________________________


49


, як радіус до дотичної. За теоремою про три перпендикуляри

. Із ( ) √ √

√

√

√

Відповідь:

√


між собою кут 900. Площі утворених перерізів рівні

.

Знайдіть площу поверхні кулі. (4 бали)


O – центр кулі, О1, О2 – центри перерізів кулі, які мають одну спільну

точку – B.

√

√

√

√

√

_______________________________________________________________________________________


50


Відповідь:

_______________________________________________________________________________________


51


Підсумкова контрольна робота

І Варіант

1. Висота правильної трикутної піраміди рівна h, а двогранний кут при ребрі

основи - . Знайдіть об’єм кулі, вписаної в дану піраміду. (4 бали)

Відповідь:

2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб із стороною а і тупим кутом .

Більша діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом

. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда. (4 бали)

Відповідь: √ √

3. Точка А знаходиться на відстані 9 см від площини а. похилі AB і AC

утворюють із площиною а кути 450 і 60

0, а кут між проекціями похилих

на площину а рівний 1500. Знайдіть відстань між точками B і C. (4 бали)


ІІ Варіант

1. Апофема правильної трикутної піраміди рівна h, а двогранний кут при

ребрі основи - . Знайдіть площу поверхні сфери, вписаної в дану

піраміду. (4 бали)

Відповідь:

2. Основою прямої призми є ромб із діагоналями 10 см і 24 см. Менша

діагональ призми рівна 26 см. Обчисліть площу бічної поверхні призми.

(4 бали)


3. З точки M до площини а проведено похилі MB і MC , які утворюють із

площиною а кути по 300. Знайдіть відстань від точки M до площини а,

якщо , а BC=8 см. (4 бали)



1. Висота правильної чотирикутної піраміди рівна h, а двогранний кут при

ребрі основи - . Знайдіть об’єм кулі, вписаної в дану піраміду. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________


52


Відповідь:

2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб із стороною а і гострим кутом

. Менша діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під

кутом . Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда (4 бали)


3. Точка K знаходиться на відстані 6 см від площини а. похилі KA і KB

утворюють із площиною а кути 450 і 30

0, а кут між похилими рівний 135

0.

Знайдіть відстань між точками B і А. (4 бали)


_______________________________________________________________________________________


53



І Варіант

1. Висота правильної трикутної піраміди рівна h, а двогранний кут при ребрі

основи - . Знайдіть об’єм кулі, вписаної в дану піраміду. (4 бали)


SABC – правильна трикутна піраміда. SO=h; . За теоремою

про три перпендикуляри

- центр вписаної кулі.

Відповідь:

2. Основою прямого паралелепіпеда є ромб із стороною а і тупим кутом .

Більша діагональ паралелепіпеда нахилена до площини основи під кутом

. Знайдіть площу бічної поверхні паралелепіпеда. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________


54



ABCDA1B1C1D1 – прямий паралелепіпед. ABCD – ромб,

= AC – більша діагональ основи.

.

√ √ √ √

√ √ √ √

√ √


3. Точка А знаходиться на відстані 9 см від площини . похилі AB і AC

утворюють із площиною кути 450 і 60

0, а кут між проекціями похилих

на площину рівний 1500. Знайдіть відстань між точками B і C. (4 бали)

_______________________________________________________________________________________


55



( ) √ ( )

√

√ √ ( ) √ √

√ ( )


_______________________________________________________________________________________


56


СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1. Бурда М.І., Бішеніна О.Я., Вашуленко О.П., Прокопенко Н.С. Збірник

завдань для державної підсумкової атестації з математики. 11 клас. –

Харків: Гімназія, 2008.

2. Веселовський С.Б, Рябчинськая В.Д. Дидактиктические материалы по

геометрии для 11 класса. – Москва: Просвещение, 1992.

3. Возняк Г.М., Возняк О.Г. Збірник задач з геометрії для 10-11 класів. –

Київ: Освіта, 1993.

4. Гоєва Т.Г. Зошит для самостійних і контрольних робіт. Геометрія, 11. –

Харків: 2004.

5. Істер О.С., Глобін О.І., Панкратова І.Є. Збірник завдань для державної

підсумкової атестації з математики. 11 клас. – Київ: Центр навчально-

методичної літератури, 2011.

6. Лоповок Л.М. Збірник задач з геометрії для 10-11 класів. – Київ: Освіта,

1993.

7. Підручна М.В., Янченко Г.М., Гринчишин Я.Г. Дидактичні матеріали з

геометрії для 11 класу. – Тернопіль: Підручники і посібники, 1996.

8. Рябчинська В.Д. Дидактичні матеріали з алгебри і початків аналізу для

10-11 класів. – Київ: Освіта, 1993.

9. Старова О.О., Маркова І.С. Готуємось до підсумкової атестації,

зовнішнього незалежного оцінювання. – Харків: Видавнича група

«Основа», 2008.

Education

Дидактичні матеріали з математики для 11 класу рівня стандарту