Автор: Гордиенок Максим ИгоревичГимназия №50, 11 «Г» класс

Научный руководитель:Конон Павел Николаевич,

преподаватель математики гимназии №50,кандидат физико-математических наук, доцент

Математическая постановка задачи выглядит следующим образом:Дана прямая l и не пересекающий её отрезок AB. Найти на прямой l такие точки P, для которых угол APB, имеет наибольшую возможную величину.Результаты могут быть применены в вопросах наилучшей наблюдаемости объектов в военном деле, строительстве, в проблемах размещения смотровых площадок

Далее рассмотрим часть прямой l по одну сторону от точки O - точки пересечения прямой AB с l. Проведем дугу ACB, касающуюся этой части прямой. Тогда из точки касания P₁ отрезок AB виден под наибольшим углом, т.к. любая точка прямой l, отличная от P₁, лежит вне сегмента, стягиваемого дугой ACB и угол AMB<AP₁B (рис.3).По другую сторону от точки O также найдется такая точка P₂, из которой отрезок AB будет виден под наибольшим углом. Эта точка снова является точкой касания прямой и одной из дуг рассматриваемого семейства.

Экстремумы функции f₁ (x) – корни уравнения:

решениями которого являются:

а также корни уравнения:

Во втором аналитическом методе используется полученное геометрическое решение задачи и теорема о касательной и секущей ОМ2= ОА*ОВ (рис. 3),что также приводит к полученным выше результатам, а именно: точка наилучшего наблюдения на прямой - это точка с координатой x2

Рассмотрим случай, когда наблюдатель движется по плоской кривой линии l (рис.4). Отметим, что эта линия может не являться графиком некоторой функции.

Приближенно траекторию движения заменяем отрезками ломаной. При увеличении числа ломаных получаем более точные решения задачи.

Задачу можно сформулировать также следующим образом. Пусть наблюдатель (материальная точка) движется по плоской непрерывной кривой, заданной функцией . Исследуем, в какой точке кривой угол обзора отрезка AB наибольший и определим его величину.

С целью наглядной записи выражений обозначим:

Экстремумы функции y=g(x) находятся из условия y’=0 или

где

Рассмотрена и решена задача о наилучшей обозримости покоящегося объекта со стороны наблюдателя, находящегося в произвольных точках кривой. Предложены методы ее решения, когда наблюдение за объектом происходит из точек прямой, ломаной, произвольной кривой и графика некоторой непрерывной функции.

В работе исследованы геометрический и аналитические способы нахождения наилучшей обозримости плоского объекта со стороны наблюдателя, перемещающегося по прямой, проведено их сравнение.

Рассмотрены задачи наилучшей наблюдаемости объекта при движении точки по плоской кривой. В первом случае, когда кривая может не являться графиком некоторой функции, предложен приближенный метод разбиения траектории наблюдателя на отрезки ломаных. Если траекторией является ломаная, то получается точное решение. Рассмотрен частный пример.

В заключительной части работы решена задача определения положения и максимального угла наблюдения при перемещении наблюдателя по траектории, заданной непрерывной функцией у= f(x). На основе изложенной теории решены частные задачи.