НАЙПРОСТІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ.

РОЗВ′ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ COS X=а

Підготувала вчитель математики-інформатики Мечебилівської ЗОШ І-ІІІ ступенів

Шишова Олена Олександрівна

ДЕВІЗ УРОКУ:

МІЦНІ ЗНАННЯ – ГАРАНТІЯ УСПІХУ Епіграф:

Випереди себе вчорашнього

ЯКІ АСОЦІАЦІЇ ВИКЛИКАЄ У ВАС СЛОВО «УРОК»?

У - успіх… Р - радість… О - обдарованість… К - компетентність…

ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ:

1. Знайдіть помилку:

4

4

43

6

2. Математичний диктант Обчислити:

22arcsin

21arccos

3arctg

21arcsin

23arccos

1arctg

2)

3)

4)

5)

6) 1arctg

1)

Відповідь:

Давайте пригадаємо!Властивості основних тригонометричних функцій

xy cos tgxy xy sin

Область визначення

Область значень

Парність

Періодичність(головний

період)

ctgxy

; ;

; ; 1;1 1;1

kk

2;

2 kk ;

2 2

Парна Непарна Непарна Непарна

y

x0 1-121

0

aarccosa – це таке число косинус якого дорівнює a

1;1a a ;0

21arccos3

= 3

21

3cos

якТак

y

x00

aarccosa – це таке число , косинус якого дорівнює a

1;1a a ;0

21arccos

22arccos

23arccos

1arccos

0arccos

5,1arccos

3arccos= 0

6=

4=

3=2

=

Не існує

Не існує

6

4

32

21 2

232

1-1

Для обчислення арккосинуса від’ємних чисел будем використовувати формулу

Використаємо графічну ілюстрацію для виведення формули:

0

y

x0 1-10

arccos (-a) = – arccos a

arccos(-a)

-a

arccosa arccosa

a

=

y

x 2

2

2

32

3

2

1

-1 3

3– 0

Розв’язати рівняння cosx = 21

Графічний спосіб

xy cos

21y

2

x 3 2 n

x 3

2

2 n nnx ,23

Розв’язати рівняння cosx = 21

Розв’язування рівняння на одиничному колі

21

3 2 n

3– 2 n

nnx ,23

y

x

Розвязати рівняння cosx = aРозвязування рівняння за допомогою формул

a

2 n

2 n

aarccos

aarccos

nnax ,2arccos

y

x0

Розвязати рівняння cosx = 0,3

nnx ,23,0arccos

nnx ,3,0arccos

nnx ,3,0arccos

nnx ,3,0arccos

1

2

ВіРНО!

ПОДУМАЙ!

3

ПОДУМАЙ!

4ПОДУМАЙ

!

5ПОДУМАЙ

!

Розвязати рівняння cosx = 1,6

nnx ,26,1arccos

nnx ,6,1arccos

nnx ,6,1arccos

nnx ,6,1arccos

3

2ВіРНО!

ПОДУМАЙ!

1

ПОДУМАЙ!

4ПОДУМАЙ

!

5ПОДУМАЙ

!

Розв’язати рівняння cosx = - 0,3

nnx ,2)3,0arccos(

nnx ,3,0arccos

nnx ,3,0arccos

nnx ,3,0arccos

1

2

ВіРНО!

ПОДУМАЙ!

3

ПОДУМАЙ!

4ПОДУМАЙ

!

5ПОДУМАЙ

!

Окремі випадки

2 n

cosx = 1 cosx = -1 cosx = 0

0x

1

nnx ,2

0

2 nx

-1

nnx ,2

n2

x

nnx ,2

0

2y

x

y

x00 x

y

Наше завдання :

Звести будь-яке тригонометричне

рівняння до найпростішого

ХАРАКТЕРНА ПОМИЛКА

Розв′язати рівняння:

Учні ділять обидві частини на 4 І отримують наступне:

Груба помилка!!!

,22

1arccos4 kx

21x4cos

01x4cos2 Рівняння переносом доданка і діленням обох частин легко зводиться до найпростішого .

21x4cos

Розділимо обидві частини на 4.

Відповідь : '216kx

t

k24

x4

2k

16x

k2

x33

0x33

cos

Відповідь: kkx ,318

)3(

Рівняння має вже вигляд найпростішого

x33

t

Це окремий випадок рівняння cos t=a a=0

k32

x3

k6

x3

kkx ,318

22

2x2cos

Відповідь:

Рівняння вже має вигляд найпростішого

, але,

можна використати парність функції cos, формули зведення і спростити його.

2

x2t

kkx k ,22arcsin)1(2

22x2

2cos

22x2sin k

4)1(x2 k

2

kkx k ,28

)1(

kkx k ,28

)1(

21xsin

3x5sinxcos

3x5cos

Відповідь:

21x

3x5cos

Тут можна використати формулу косинуса різниці аргументів :

21

3x4cos

Тепер рівняння має вигляд найпростішого.

Розв’язування зручно розбити на два випадки.

k2

3

k23

3x4

k23

2k2

x4 4

6k

6

2k

x

k

k

k

x ,

66

2

ГРАФІЧНИЙ МЕТОД РОЗВ′ЯЗУВАННЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ

y

x

2

2

23

23

22

1

-1

cos ) +0,5 = (x 2 2

x

65

т

y

x

2

2

23

23

22

1

-1

cosx =1+

x=0

x

xy cos1 хy

у

y

x

2

2

23

23

22

1

-1

1cos xy

cosx – 1 = x2

x=0

у

2xy

03cos2 x

362

cos2

x

0xcos2

0sin2sincos2cos xxxx

1варіант 2 варіант

01cos2 x

126

cos

x

1)xcos(

23

2sin

4sin

2cos

4cos

xx

1)

2)

3)

4)

1)

2)

3)

4)

Самостійна робота

• Формули коренів тригонометричних рівнянь;

• Властивості тригонометричних функцій;

• Значення тригонометричних функцій деяких кутів;

• Формули зведення;• Формули додавання;

Що потрібно знати, щоб успішно розв’язувати тригонометричні рівняння:

Пам’ятайте!“Сьогодні – ми вчимося разом:

я, ваш учитель і ви мої учні.

Але в майбутньому учень повинен

перевершити вчителя, інакше в

науці не буде прогресу ”

В.О.Сухомлинский

y

x

2

2

23

23

22

1

-1

т

Оцініть своє самопочуття на уроці, поставивши будь-який значок на графіку функції у= cos х,

який зображений на екрані. Де ви себе відчували під час уроку: на вершині хвилі чи у впадині?

“ Вважай нещасливим той день чи той час,

на протязі якого ти не засвоїв нічого нового і нічого не добавив до своїх знань”

Ян Коменський

Домашнє завдання:• Вивчити: п.31 ст.252,

• Розв’язати: № 773 (поч.і сер.рівень), 777 , 781 (дост.і висок. рівень) ст.255;

• Повторити властивості функції xy sin