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Μια αποκλειστικότητα από το διαδικτυακό τόπο http://lisari.blogspot.gr/ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ ΆΛΓΕΒΡΑΣ Α΄ ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια: Χρήστος Κουστέρης ΠΕΡΙΣΤΕΡΙ 2015 - 16

Σχολικο Βοήθημα Άλγεβρας Α΄ Λυκείου - Χρήστος Κουστέρης

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    2015 - 16

    http://lisari.blogspot.gr/

  • 2

    .

    :

    1 .

    .

    ,

    .

    2 ,

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    3 ,

    1 2 .

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    1 2 .

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    ..

    2

    ..

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    , ..

    , ..

    : 1991

    : 1992, 1993, 1994, 1995, 1996, 1997, 1998

    .

  • :

    1. ......................................................................................... 7 2. ................................................................................................................ 15

    1:

    1.1. ..................................................................... 23 .............................................................................................................. 26

    1.2. ...................................................................................... 33 .............................................................................................................. 36

    2:

    2.1. ........................................................................ 53 .............................................................................................................. 60

    2.2. ......................................................................... 67 .............................................................................................................. 72

    2.3. ............................................................... 81 .............................................................................................................. 89

    2.4. .............................................................................. 96 .............................................................................................................. 98

    3:

    3.1. 1 ......................................................................................... 109

    3.2. x = ................................................................................................ 126

    3.3. 2 ......................................................................................... 129 .............................................................................................................. 133

    4:

    4.1. 1 ........................................................................................ 148 .............................................................................................................. 151

    4.2. 2 ......................................................................................... 162 .............................................................................................................. 164

    5:

    5.1. .......................................................................................................... 175

    5.2. .......................................................................................... 178 .............................................................................................................. 183

    5.3. .......................................................................................... 187 .............................................................................................................. 191

    6:

    6.1. .................................................................................. 204 6.2. ...................................................................... 216 6.3. f(x) = x + ................................................................................. 231

    .248

  • :

    lisari.blogspot.gr

  • :

  • :

    7

    1.

    () ().

    1

    14 .

    2

    3 10.

    3

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    2. - .

    3. - .

    4. - -

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    (1) p(x): x : x 2 0

    p(x) x.

    p(x) .

    p(x) -

    .

    .

  • :

    8

    (2) q(x): x x 1 7

    q(x) x 6 x .

    q(x) -

    .

    =

    .

    1:

    :

    Q:

    Q .

    :

    .

    -

    -

    .

    2:

    :

    Q:

    Q .

    :

    .

    Q ()

    Q Q P Q

    P Q :

    P Q.

    Q .

    P Q P Q

    A

    A

  • :

    9

    :

    i. P : 5 3 (A) p q (A)

    Q: 10 6 ()

    ii. P : 5 3 (A) p q ()

    Q: 10 6 ()

    iii. P : 2 3 () p q (A)

    Q: 4 6 ()

    iv. P : 3 3 2 2 () p q (A)

    Q: 6 6 ()

    p q

    p q -

    .

    :

    P: .

    Q: : =

    Q .

    Q P .

    P Q Q P p q

    p q

    : Q ()

    Q Q

    Q

    Q P Q

    P Q

    Q

    P Q P Q

    A

    A

  • :

    10

    () Q P Q -

    P Q P Q.

    P Q P Q

    A

    A

    :

    2

    2

    2 2

    P : x 3x 0

    Q : x 9 0

    P Q : x 3x x 9 0

    x= 0, x = 3

    Q x = 3, x = -3

    P Q x = 0, x = 3, x= -3

    : Q Q -

    .

    Q Q

    P Q P Q

    A

    A

    -

    :

    .

    1: : x 5

    : x 5

    2: : x 5

    : x 5

  • :

    11

    1

    P Q P Q

    .

    i. P: 12 Q: 7

    ii. P: Q:

    iii. P: 2 1 Q: 4 3

    iv. P: 141 Q: .

    v. P: 12 . Q: 16 4

    vi. P: - 4

    Q: 3

    5

  • :

    12

    2

    )

    1 : 2 > 3

    2 : 20

    3 : To 3 12

    4 :

    5 : 2 2 2 + = + 2 + ,,

    6 : 2= 4

    B) -

    -

    1) 1 2

    2) 2 3

    3) 3 4

    4) 4 5

    5) 5 6

    6) 6 3

    7) 1 3

    8) 1 4

    9) 3 6

    ) -

    -

    -

    1) 1 2

    2) 2 3

    3) 3 4

    4) 4 5

    5) 5 6

    6) 6 3

    7) 1 3

    8) 1 4

    9) 3 6

    ) -

    -

    1) 1 2

    2) 2 3

    3) 3 4

    4) 4 5

    5) 5 6

    6) 6 3

    7) 1 3

    8) 1 4

    9) 3 6

    ) -

    -

    1) 1 2

    2) 2 3

    3) 3 4

    4) 4 5

    5) 5 6

    6) 6 3

    7) 1 3

    8) 1 4

    9) 3 6

  • :

    13

    3

    )

    1. x 1 x 3 0 . x 4

    2. 2x 2x . x 3 x 3

    3. 2x 16 . x 1 x 3

    4. 2x 4 x 0 . x 4 x 4

    5. x 6 x 2 0 . x 0 x 2

    6. 2x 9 . x 4

    7. 2x 16 2x 4x 0

    . x 4 x 4

    . x 2

    . x 6 x 2

    ) x

    i) 2x 4 x 3 0

    ii) 1

    x 5 x 02

    iii) x 4 x x 6 0

    iv) 4x x 1 2 x 9 3x 0

    ) x

    i) 5

    x 1 x 3 x 03

    2x x 6 x 1 0

    ii) x x 2 x 1 x 5 0 x 2 x x 4 x 5 0

  • :

    14

    4

    ) P Q P

    Q

    i. P: 12 Q: 12 3

    ii. P: 3 6 Q: 6 5

    iii. P: -2 Q: -5 - 3

    )

    1P : 3

    2P : 8

    3P : 5

    4P : 4

    ( ) ( )

    1 2P P 1 3P P 3 4P P 1 2P P 2 3P P 3 4P P

  • :

    15

    2.

    -

    ,

    .(Cantor)

    -

    .

    .

    20

    -

    ,

    -

    .

    -

    -

  • :

    16

    :

    1. i.

    .

    A = , , , , ,

    1 7 : = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

    ii. -

    .

    20 80 C : -20,-19,-18,...,80

    : = 0,1,2,3,...

    2.

    -

    .

    .

    :

    x / x

    : x x

    : = x / x > 0

    . -

    : 2;

  • :

    17

    3. Venn Venn :

    . - .

    . -

    .

    /A x x 7 1

    A 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

    -

    =.

    x A x B

    .

    A = 0, 2, - 2

    2B = x R/x x - 4 = 0 0, -2, 2

    2x x - 4 .

    B = -2, 0, 2 . =

    A B

    : A A

    A B B

    A B B

    1

    2

    3

    4 5

    6 7

  • :

    18

    :

    :

    1. , -

    *

    ,

    x / x A x B

    2. , , -

    : A B

    * A B -

    ,

    x / x A x B

    A B

    .

    3.

    x / x A

    4. , :

    -

    A B x / x A x B

  • :

    19

    1.

    . A B B A

    . A A

    . A B

    .

    .

    .

    .

    2.

    .

    . A

    .

    .

    .

    .

    .

    3.

    .

    .

    .

    .

    .

    4.

    .

    .

    .

    .

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    1. 0

    2.

    3. , , 0 3 5 , , , , 0 1 5 6 3

    4. , 1 3 x / x , 1 3

    5. x / x 3 0 A

    6. A x / x 2 16 B , 4 4 A B

    7. A , B , 2 2

    8. :

  • :

    20

    1.

    )

    ) 3 25

    )

    )

    2.

    ) 1625

    ) 313

    ) 22200

    ) 2525

    ) 0,0066655

    ) 121

    3.

    ) -4 2

    ) x x 1 x 4 0

    )

    4. -

    )

    )

    )

    )

    5.

    2,6

    6

    0,325

    14

    2

    2

    13

    4

    6.

    2A x Z / x 81 2x 5 0

    2B x R / x 6 0

    2 x N / x 16 0

  • :

    21

    7.

    ) A 1,2,3,4,5,6,7,8,9

    ) B 3,6,9,12,15,...

    ) 4, 8, 12, 16,...

    8. A B

    ) A 2, 1,1,2 B x Z/ 3 x 4

    ) A 5,7,9 B x N/ x 4

    9. A 1,2,3

    10. 1,2,3,4,...,10 , A x / x

    B x / x 8 :

    A B,A B,A ,B ,A B,B A

    11. 1,2,3,4,...,20 , A x / x

    B x / x 3 :

    A B,A B,A ,B ,A B,B A Venn

    12. )

    3A x Z / x 64x 0

    )

    .

    B 2 , 8,8 , 3,4 , 0,8, 8 , 0,64

    13. A 3,4,5,6,9 ,B 3,4,7,9 , 7,6,5,4 .

    A B, A , , , , , , ( )

    14. Venn

    A,B,A B,A B,A ,B ,A B,B A

    .4

    .3 .1 .2 .7 .8

    .9 .5 . 6

    .10

    .11

    .7

    .8

    .9

    A

    B

  • :

    22

    15. ,, ,,,,,

    A ,,, , ,,, , ,,, .

    ) Venn ,,,

    )

    A , ,( ) ,

    16. A B

    ) A 1,2,3 B 3,1,2

    ) A x R / x 3 0 2B x N / x 9 0

    ) A x R / x 5 0 B x R / x 5 0

    17. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

    A 1,2,3,4 ,B 3,4,5,6,8 , 3,4,7,9,10 .

    Venn

    A ,A B,A B,A , , , ,

    18. 1,2,3,4 , 1,4 , 1,3 A B A B

  • :

    23

    1.1. -

    :

    .

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    .

    .. 100C 760mm Hg .

    ) :

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    .

    .. ,

    .

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    .

    .

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    {1, 2, 3, 4, 5, 6}

    1, 2, 3, ...,

    : = {1, 2, ..., }.

    -

    .

    .. = {2, 4, 6} -

    .

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    -

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  • :

    24

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    . -

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    = -

    .

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    = -

    .

    3. . Venn . :

    = .

    4. (). Venn . :

    () = -

    .

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    25

    5. - . Venn .

    :

    - = .

    6. ( - ) ( - ). Venn . -

    :

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    .

    7. ( - ) ( - ). Venn . -

    :

    ( - )( - ) =

    .

    8. , - , -

    = . -

    . Venn -

    .

  • :

    26

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    4. .

    5. .

    6. .

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    8. .

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    11. .

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    27

    15. - .

    16. , 4 .

    17. 5 .

    18. - .

    19. - ,

    20. .

    21. - .

    22. , , -

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    23. -

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    28

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    32. .

    33. : : , : , .

    34. {1}, {2} .

    35. , ,

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    36. .

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    .

    3.

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    4.

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    5.

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    1.

    2.

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    .

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    -

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    33

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    , {1}, {2}, ..., {}

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    f

    22

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    )(N

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    34

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    () = () + () - ()

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    5.

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    2. ,

    Venn.

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    .

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    3. , -

    Venn.

    BAN)B(N)A(NBAN BA .

  • :

    35

    :

    )()(

    N

    BANBAP

    4. ,

    Venn.

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    36

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    4.

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    37

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    47

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    ) i) Venn

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    .

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    1 11 12 13

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    .

    -

    :

  • :

    49

    :

    : 3

    : 3

    6. 1,2,3,4,5,6

    1,2,4,5 2,4,6

    ) N Venn, ,

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    i) A.

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    14.

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    .

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    : 0, 1, 2, 3,

    4, Natu-

    ral.:

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    2 .

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    : , 2

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    2 1 .

    .

    -

    Zahlen .

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    * *, , ,... 1 2 3

    , , , ,... 0 1 2 3

    * , , ,... 1 2 3

    .

    Quotient .

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    .

  • :

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    ) 2,1325252525 .

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    2 : = 2,3 3 333

    = 2,33333... 10 = 23,3333...

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    =9

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    2 : = 2,1325 25 2525

    100 = 213,252525 1000 = 21325,252525

    : 9900 = 21112 21112

    =9900

    .

    .

    -

    .

    .

    :

    :

  • :

    55

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    :

    .

    .

    .

    .

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    1. :

    2. :

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    3. : 0

    4. : 0

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    1. :

    2. :

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    .

    3. : 1

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    , ,,

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  • :

    56

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    1

    0

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    .

    2. : -

    .

    3. .

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    .

    5. 0 0 0

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    6. 0 0 0

    ... 1 2 10 0 2 0 0

    7. i. 1

    ii.

    iii.

    iv.

    v.

    vi.

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    0

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    57

    :

    1.

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    0

    3.

    0

    4.

    , 0

    .

    2 :

    -

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    1.

    2.

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    4.

    5.

    .

    -

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    .

    * -

    .

    1. 2 2 22

    2. 2 2 22

  • :

    58

    3. 2 2

    4. 3 3 2 2 33 3

    5. 3 3 2 2 33 3

    6. 3 3 2 2

    7. 3 3 2 2

    8. 2 2 2 2 2 2 2

    9. 22 2 2

    .

    1

    :

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    2

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    0 0

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    7. 2 2 0 0 0

  • :

    68

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    2. > + > +

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    69

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    3. .

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    5. ,

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    1:

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    .) .

    1

    : 2 2 + 2

    22 2 2 2 + 2 + - 2 0 - 0 .

    =

    :

    22 2 2 2 + 2 + - 2 0 - 0

    : : 0

    0

    0

    0

    2

    < 2 < + 4 < 2 +

    : + 4 - 2 + < 0

    1 + 4 - 2 - 2 = - 2 - 2 - 2 = - 2 - 2 < 0 :

    < 2 - 2 < 0

    > 2 - 2 > 0

    2:

    3

    < +

    < < 2

  • :

    71

    ,

    :

    < + < + 2 < + (1) < + < + + < 2 (2)

    (1) ,(2) ( ) +

    2 < + < 2 < < 2

    x x

    -

    ,

    x x

    -

    , .

    ,

    .

    :

    x , x

    x , x :

    x x ,

    x x ,

    x x ,

    x x ,

  • :

    72

    1. :

    1) x 0 y 0 x y 0

    2) x 0 y 0 x y 0

    3) x 0 y 0 y

    0x

    4) x 0 y 0 xy 0

    5) 2

    1 0

    6) 2 2x y 0 x 0 y 0

    7) 2 2x y 0 x 0 y 0

    8)

    9)

    10) ,

    11) , ,,, 0,

    12) 0

    13) 0

    14) , 0,

    15)

    16) x 3, x 3

    17) *x x 0

    18) 3 x 4 x 3,4

    19) x ,0 0, *x

  • :

    73

    20) x x ,

    2. :

    1) x 0 y 0 x y 0

    2) x 0 y 0 x y 0

    3) x 0 y 0 y

    0x

    4) x 0 y 0 xy 0

    5) 2

    1 0

    6) 2 2x y 0 x 0 y 0

    7) 2 2x y 0 x 0 y 0

    8)

    9)

    10) , ,,, 0,

    11) ,

    12) 0

    13) 0

    14) , 0,

    15)

    16) x 3, x 3

    17) *x x ,0 0,

    18) 3 x 4 x 3,4

  • :

    74

    19) x ,0 0, *x

    20) x x ,

    3.

    1) 2 2 0

    2) 0 0

    3) 0 1 1

    4) 1 0 1 1

    5)

    6) 0,

    7) 3 3 3 3 0 3

    8) 1 1

    0

    9) 1

    0 2

    1

    2

    4.

    - 1

    x x

    1 3 x 5

    2 10 x 3

    3 4 x 12

    4 x 2

    5 x 5

    6 x 3

  • :

    75

    7 x 7

    8 2 x 8

    - 2

    x x

    1 x ,8

    2 x 3,8

    3 x 4,

    4 x , 5

    5 x 4,12

    6 x 3,1

    7 x 2,6

    8 x 3,

    1) :

    ) 2 2 1 ) 24x 1 4x ) 2 2x 2y 12y 4xy

    2) x, y :

    ) 2x 1 2x ) 2 2x 4y 4xy ) 2

    x y 4xy

    3) :

    ) x 4 5(x 1) 15

    ) 3 1 , 3 3

    ) 4 3 ( 3) 4 12

    4) , :

    ) 2 (3 )

    ) 2 21 1 4

    ) 22 2 4 4 4

    5) , : 1 1 1

  • :

    76

    6) 2 4 2( )

    7) x 3 3 2x 3x 2x 6

    8) 2 > 1 ( 1) 2

    9) 2 2 2 2 2

    10) x 2 : 3 2x x 2x 2

    11)

    ) 2 2x 2xy 2y 0

    ) 2 29x 3xy y 0

    12) 2 216x 16xy 4y

    13) 29x 30x 26

    14) 24y 16y 18 0

    15) 2 2x 4x 6y y 13 0

    16) x, y :

    ) 2 2x 4 y 0

    ) 2 2x y 2 2(x y)

    ) 2 21

    9x 3x y y2

    17)

    ) 2 24 9 4 6 2 0

    ) 2 2 25 6 20 13 0

    18) 2 , : ) 1 ) 2 2 2

    19) 1502 1005

    20) 2

    3 3 3(3 2)

    21) 2( ) 2 2 2

  • :

    77

    22) 24 2 1

    22 1

    2

    23) ,, 2 2 2 1 1 1 8

    24) x, y, z :

    2 2 2x 4 y 4 z 4 64xyz 25) 1602 1203

    26) 2 x 3 1 y 2 ,

    :

    ) x y ) 2x 3y ) xy ) 2y

    27) 5 x 3 1 y 7

    ) x y ) x y ) 2x 5y

    28) 2 x 3 3 y 5 :

    ) 12 3x 2y 19

    ) 8 x y 5

    ) 0 x y 3 3

    ) 2 x

    15 y

  • :

    78

    1. 0 1 ,

    ) : 3

    13

    ) :

    0, 3 , 1, , 1

    12

    2. ) 0 , : 1

    2

    15

    ) 0 , : 1

    2

    10

    3. 2 x 3 1 y 2 ,

    :

    ) x y

    5

    ) 2x 3y

    10

    ) x

    y

    10

    4. y. )

    : 2x 4y

    10

    ) 5 x 8 1 y 2

    .

    15

  • :

    79

    5. x y , . x y : 4 x 7

    2 y 3 :

    )

    .

    10

    ) x 1 y ,

    .

    15

    6. , : 2 4 4 3

    :

    ) 2

    12

    ) a

    2 - 2ab 13

    7. :

    K = 2a2 +b2 + 9 = 2(3), ,

    ) :

    K - L = (a2 + 2ab +b2 ) + (a2 - 6a + 9)

    3

    ) : , , .

    10

    ) , =;

    .

    12

    8. x y :

    3 x 5 -2 y -1,,

    :

    ) y - x

    M 12

    ) x

    2 + y2

    M 13

    9. , , >0 >0. :

    . 4

    4

    12

  • :

    80

    . 4 4

    ( )( ) 16

    13

    10. : K = 2a

    2 +b2 = 2, , R

    . : , , .

    12

    . , =.

    13

    11. ) x, y :

    12

    ) x, y :

    13

    (x -1)2 + (y + 3)2 = x2 + y2 - 2x + 6y +10

    x2 + y2 - 2x + 6y +10 = 0

  • :

    81

    2.3.

    .

    .

    .

    :

    , 0

    , 0

    1. : 0

    2. 0 0

    3.

    : 0 ( =

    0 ( >)

    .

    : 0 ( >)

    0 ( =)

    4. 2 2

    5.

    6. :

    7. 0 : x x x

    8. x x x

  • :

    82

    1. , : =

    ( )

    22

    (4 )

    2 22

    (4 ) 2 2 2 2

    H 2 , :

    1 2 1 2 ... ... ,

    2. , 0 :

    =

    22 2 2 2 2

    2 2 2

    3. + + ,

    22 2 22

    2 2 2 2

    2

    2 2

    :

    = ,

    -

    .

    1 2 1 2 ... ...

    (1) -

    1 2 1 2 ... ...

    1 2 ...

    !! To -

    .

  • :

    83

    x x () (x0) ()

    , ,

    .

    ,

    d ,

    : d ,

    , 0

    x2

    0x

    ,

    : , , , , :

    0 0 0 0 0 0

    x x x x 2x x2

    ,

    2

    1

    x :

    0x x 0 0x

    0 0x x d x,x

    0 0x x ,x 0 0x x x

    2

    x :

    0x x 0 0x

    0 0x x d x,x

    0 0x ,x , x , 0 0x x x x

    x0

    -

    x0

    -

  • :

    84

    () ()

    1) .

    2) 0

    3) 0 0

    4) 2 2

    5) 2 2 , ,

    6)

    7)

    8) , ,

    9) 4 4 ,

    10) , : 2013 2015 2013 2015

    11) 2 2

    12) x x x

    13) x y z 0 x y z 0

    14) : 2 2

    , ,

    15) 0

    16) x 0 x 0

    17) 2 2x 1 x 1 x

    18) 2 2x x x 0

  • :

    85

    1) x, y .

    ) x y x y 1 0

    ) x y x 1 y 2 0

    ) x y xy xy

    ) x y x y 0

    ) x y x y 0

    2) :

    3) 0

    4) x y x y

  • :

    86

    1

    -

    2 2x 1 x 1, 2x 1 0 x R

    2 5 2 5, 2 5 0

    -

    2

    x 4

    x 40 x 4 x 4 = x 4

    x 4 < 0 x < 4 x 4 = x + 4

    x 4, x 4x 4 =

    4 x, x 4

    A = x 4 + 6x 7, 0 < x < 4

    x 4 < 0 x < 4 x 4 = (x 4) = 4 x :

    A = x 4 + 6x 7 = 4 x + 6x 7 = 5x 3

    2

  • :

    87

    -

    2 2A = x + 2x + 1 x + 1

    , 22x + 2x + 1 = x + 1 0 x , , 2x + 1 > 0 x

    2 2 2 2A = x + 2x + 1 x + 1 = x + 2x + 1 (x + 1) = 2x

    -

    -

    .

    : > > , :

    A = + +

    > > 0, =

    > > 0, =

    < < 0, = +

    :

    A = + + = + +( + ) = 2 2

    - -

    A = x 2 + 2 x 1

    x 2 : x 2 0 x 2 x 1 x 1 0 x 1

  • :

    88

    .

    x 1 2

    x 2 +

    x 1 + +

    x 1 x + 1 x 1 x 1

    x 2 x + 2 x + 2 x 2

    A = x 2 + 2 x 1

    ) , x 1 = x + 2+ 2( x + 1) = x + 2 2x + 2 = 4 3x

    ) x 1,2 = x + 2+ 2(x 1) = x + 2+ 2x 2 = x

    ) x 2 = x 2+ 2(x 1) = x 2+ 2x 2 = 3x 4

  • :

    89

    1) :

    ) 6 3 ) 3 5 ) 5 ) 11 11

    2) :

    2 2

    A 6 5 5 6

    B 3 8 8 6

    1 2 5 2 x 2 x 4 , x R

    3) :

    ) 2x ) 2x 5 ) = 2 4 22 x x 20 4x 5

    4) 0 :

    A 3 3 2 2

    3 2 2 5

    5) 0 x 2 .

    A x 1 x 2 2 x 2

    B x 2 2x 5 3x

    6) :

    A 3 x , x>3 B= 3x 12 , x>4

    = 5x 5 , x7

    = 2x 12 , x

  • :

    90

    9) :

    A x 7 2, x R B 2x 2 x 1 , x R

    x 2 3x 1, x R 2 x x 1 , x R

    10) 2 2A 4 x 2x 1 x 4 4x

    11) :

    A 2 2 2 2

    12) 4 7 5

    5 3

    x 8x x xA , x 0, x 2

    x 2 x x

    13) ) :

    x 4 1

    x 5 2

    d(x,4) 3

    1,3

    , 5 1,

    d(x,5) 6

    d(x, 1) 2

    4,4

    ) :

    d(x,1) < 2 x - 1< 2 -1 < x < 3

    x + 2>1

    1 < x < 3

    14) .

    d(x, 1) < 3 x - 1< 3 -2 < x < 4 x(-2, 4)

    d(x, -1) < 2

    x - 2 3

    -3 < x < 3

    x(-1, 5)

  • :

    91

    15) d(x,3) 5 x.

    16) d(x,5) d(x, 2) x.

    17) d(,2) d(2,) , .

    18) : x y z

    3, x y z 0x y z

    19) 0

    20) :

    ) x 1 x 1

    x, -1

  • :

    92

    30) x y , 1 1

    x y x y x y x y2 2

    31) :

    32) :

    () x x x

    () x x

    () x x x

    33) : x y x y . ;

    34)

    2

    ( 0) , .

    35)

    1

    :

    ) < 1 )

    1

    36)

    1

    > 1 :

    ) > 1 )

    1

    37) x

    x y

    y

    x y

    x+y< 1.

    38)

    x y1 1

    x+y< 1

    39) 2 2

    1

    + 2

  • :

    93

    42)

    x y1 1

    :

    ) 1 x y 0 ) x

    1 x y

    ) y

    1 x y

    43)

    44)

    45) 1 2 3

    46) x y y z : x z

    47)

    , 3 3 3

    48) :

    ) x y x y xy 0

    ) x y x y xy 0

  • :

    94

    1. A x 1 y 3 x, y ,

    : 1 x 4 2 y 3 .

    :

    ) A x y 2 .

    12

    ) 0 A 4 .

    13

    2. x 1 x 2

    ) 1 x 2 , : A 2x 3

    M 13

    ) x 1 ,

    ( x), .

    M 12

    3. 2x 4 = x 3 x

    .

    ) 2x

  • :

    95

    6. x d x,5 9

    ) .

    5

    ) ,

    x.

    5

    )

    ().

    10

    ) ()

    :

    x 4 x 14 18

    5

    7. , 2, 7 x ,

    2 x 7 .

    ) .

    i) x 2

    4

    ii) x 7

    4

    )

    :

    x 2 x 7

    5

    ) x 2 x 7 .

    5

    ) .

    7

    8. , 5, 9 x .

    ) x 5

    x 9

    10

    ) x 5 x 9 ,

    i) ;

    .

    7

    ii) , x

    .

    . 8

  • :

    96

    2.4.

    x .

    2 = x x = x 0 , 0

    :

    2 ,

    2 , 0

    , , 0

    , 0, 0

    N-

    -

    .

    :

    1 , 2

    x x *, 0, 0 x

    0

    x

    1. 0

    0 :

    2. , 0 :

    i. =

    .

  • :

    97

    ii.

    =

    , 0

    iii. =

    iv. =

    ( )

    iii

    (i)

    1 2, ,...,

    1 2 3 1 2... ...

    :

    0 , :

    * 0 0

    : 3 52x (1) 0x

    :

    35 5

    353 32 2 2

    (2)

    (1), (2) 5

    32 3 52x

    : 2

    2553 3

    ,

  • :

    98

    ()

    ()

    1) , 0, 0 x y x y x y

    2) 0 2

    3) 0 ,

    4) 0, 0 x y

    5) 0

    6) 4

    4 2 5 2 5

    7) 2 x x 0x

    8) 0x

    44

    44

    1x

    x

    9) 2

    13

    3

    10) x 3 26 x x

    11) x 1

    48 2x x

    12) 3 52 2 2

  • :

    99

    1)

    ) 2

    30 ) 2

    2 1x ) 2

    2 3 ) 2

    3 x

    2)

    ) 2( 1) ) 2 2 1 x x ) 2

    5 3 ) 6x

    3)

    ) 4 10 3 10 7 10

    ) 2

    2 3 6 4

    ) 5 52 14 21

    13 5 6

    4)

    ) 50 32 18

    ) 4 63 5 7 8 28

    ) 12 50 8 200 7 450 : 10

    5) :

    ) 50 32 18 ) 4 63 5 7 8 28

    ) 4 6 3 2 5 3 ) 12 50 8 200 7 450 : 10

    ) yx3yx2yx 222 ) 2 24 25

    ) 3 8 7 18 9 72 12 50 ) 3 345 80 5 , 0

    6) 2 2 2 , 2 2 2 , 2 2 x y xy = 2.

    7) 2 2 3 , 2 2 3 , 2 3 x y xy= 1.

    8) 24 54 6 150 96 60

    9) : 2 2

    6 41 7 41 1

    10)

    45 4 5 125 A

    11 8 7 32 128 9 18 B

  • :

    100

    11) 4 2, 3 2 1 x y 2 23 x xy y

    12) 24 2 10 2 6 40 x 18 4 2 8 162 y x y

    13) : 21 13 7 4 5

    14) :

    7 1 5 16 A 256B

    15) A 7 5 x 7 5 y

    2 2 A x xy y

    16) :

    ) 2

    3 3 2 3 3 2 3 2 2 3 1 3 10 2 3

    ) 2 2 2

    3 2 1 3 1 2 2

    17) A 2 2 3 , 2 2 3 2 3

    : 1

    18) 2 26

    6 2 6 2

    19) N

    )4

    3 )

    2

    6 )

    6

    12 )

    1

    3 2 )

    2

    3 7

    20)

    ) 1

    2 3 5 )

    3

    4 7 )

    1

    2 3 5 )

    4

    2 5 3 2

    21) :

    ) 7 5

    7 5

    )

    2 2

    5 2 2

    )

    3 2 4 3

    3 2 2 3

    )

    1 2

    8 5 3

  • :

    101

    22) :

    ) 3 2

    53 2 3 2

    ) 7 7

    67 5 7 5

    ) 3 2 3 2

    103 2 3 2

    23) :

    )

    2 2

    1 1 3 5

    43 5 3 5

    )

    3 3

    1 176

    2 5 2 5

    24) 24 2 10 2 6 40 x 18 4 2 8 162 y

    x y

    25) 3 8 2 12 20

    3 18 2 27 45

    A

    26) 8 3 11

    58 3 8 3

    27) 12 5

    8 2

    5 25

    5 125

    28) :

    ) 3 45 5 ) 3 2 745 5 ) 5 3 5 237 7 7

    29) :

    ) 6 43 3 3 ) 7 83 107 2 3 3

    ) 4 7 85 3 103 3 3 ) 4 234 64 4 4

    30) :

    ) 7 33 3 ) 3 45 5 5 )

    7 381 27 9

    31) :

    ) 64 3 62 8 16 ) 7 1110 155 81 27 3 ) 12 310 43 : 3

  • :

    102

    32) , , 0 ,

    ) 2 233 3 3 9 A

    ) 2 3 3 1 1 3 1 v v v v v vv v vB

    ) 6 8 10

    2 3 43 5418 , 0

    33) :

    ) 11 4 82 2 2 128 2

    ) 4 3 82 2 2 32 2

    ) 4 3 552 2 2 2 2 2 2

    34) 3 33 3 7 2 10 7 2 10 A

    35) 3 33

    2 2 2 2 2

    3 5 2 3 5

    A

    36)

    )4

    8

    4 )

    3

    15

    25 )

    45

    3

    2 2 )

    43

    15

    5 )

    3

    3

    4 5

    40

    37)

    5 3 108 8 8K 3 33 16 5 1 5 1

    38) 21 2 6 9, x>3 A x x

    39) 2 21 2 4 4

    , -1

  • :

    103

    43) 2 3 11

    2 3 11

    )

    ) 16 4 33 A

    44) 7 1 1

    53 2 3 2 2 3

    45) 1 1 1

    11 2 3 2 3 2

    46) :

    ) 1 1

    33 1 3 1

    ) 5 2 5 2

    8 55 2 5 2

    ) 2 2 2

    37 1 7 1

    47) 7 3 2 5

    3 5 5 7 3 7

    A

    48) 3 2 3 2

    3 2 3 2

    A

    49) 2 2

    2 3 5 , 2 3 5

    49 12 5 49 12 5 A

    50) 2 2

    3 5 , 3 5

    14 6 5 14 6 5 A

    51) 13 4 3 31 12 3 A

    52)

    ) 8 2 15 ) 3 2 2 ) 5 2 6 ) 7 2 6

  • :

    104

    53)

    ) 18 8 2 ) 7 4 3 ) 9 80 ) 54 14 5

    54)

    ) 2 3 3 2

    ) 2 3 3 2

    55)

    ) 3 2, 3 ) 26 6 13 17

    56) , 0 : 0

    57) 6 5 6 5 :

    2 22 5 2 39

    58) 2

    2 3 5 2

    2 3 5

    49 12 5 49 12 5

    59) :

    ) 3 6 43 9 81 27 ) 3 4 42 18 4 9 6 243 : 2 3

    ) 6 3 68 2 2 4 32 ) 2 4 3 25 3 3: 3 x x x x x x ) 34 48 2 2 : 2 2 x x ) 5 5 26 6 32 3 : 2 x x x x x x

    60) :

    ) 7 5

    67 5 7 5

    ) 3 1

    2 32

    ) 3223

    1

    23

    1

    ) 2 2 2 2 2 2

    ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

    61) :

    ) 6 2 43 ) 2 2 2 2 ) 6 4 9x x x

    ) 3 32 2 23x x x ) 5 232 2 2 ) 3

    2 9 1

    3 2 4

  • :

    105

    62) :

    ) 4 16 ) 3 3431

    xy x yxy

    ) 3 5 42 2 2

    ) 3 32 3 2

    3 2 3 )

    3 43 3 3 ) 2 3

    3 42 3

    x y y

    y x x

    ) 5 35 5 ) 2 23 3

    2 39 4

    3 2

    y xx y

    x y

    63) :

    ) 3 42 4 16 ) 5 26 3 ) 3 44 23

    ) 3 1 1 2 3 ) 3 62 2 ) 3 23 42 2 2

    ) 4 65 15: ) 38 : 4 ) 2 25 153 :x x x

    ) 11 312 42 : 2 ) 31 2

    4 12 :2 3

    ) 3 6 75 104 :x x x

    2.4:

    1 (2_936)

    : 4 1 4 1 A x x x x ) x A ;

    .

    12

    ) A ,

    x .

    13

    2 (2_938)

    . : 33 30 4 .

    12

    . 3 30 36 30 .

    13

  • :

    106

    3 (2_944)

    : x 4 6 x .

    . x ;

    x .

    13

    . x 5 , : 2 6 0 .

    12

    4 (2_947)

    : 2 x 4 x 4 .

    . x ;

    x .

    12

    . x 4 , : 2 2 10 5 13

    5 (2_950)

    : 4 4 1 x x .

    . x ;

    x .

    13

    . x 3 , : 3 2A 1 0

    12

    6 (2_952)

    : 5

    5 2 x

    . x ;

    x .

    13

    . 4x , : 2 46

    12

  • :

    107

    7 (2_955)

    : 6

    2 6

    3 2

    . : 4

    13

    . : 32 ,1 , 2

    12

    8 (2_1276)

    2 24 4 6 9

    2 3

    x x x xK

    x x

    ) x,

    12

    ) 2 3 x , ,

    x

    13

    9 (2_1300)

    :

    6 6 6

    3 62 , 3 , 6

    ) :

    23

    13

    ) : 3 63 6

    .

    12

    10 (2_4311)

  • :

    108

    2

    2 x . 3

    3 2 B x , x

    .

    . x A;

    ( 7)

    . x B;

    ( 8)

    . , 2x ,

    ( 10)

    11 (2_4314)

    3 65, 3, 5 A B :

    . 15 B .

    ( 15)

    . ,A B .

    ( 10)

    12 (2_4316)

    2 3 , 2 3 A B :

    . 1 A B .

    ( 12)

    . 2 2 .

    ( 13)

    13 (2_8173)

    ():

    2 1,41 3 1,73 5 2,24 7 2,64

    . ,

    ( )

    20, 45 80 .

    ( 12)

    .

    :

    3 20 80

    45 5

    ( 13)

  • :

    109

    3.1. 1

    :

    x+ = 0 1

    x.

    .

    x+ = 0

    x+= 0 x

    ( , )

    0 : : x

    x

    0 0 x

    i. 0 0 x 0

    x .

    ii. 0 0 x =

    : x + 2 x + 3 x + 4 x + 5

    + = +3 4 5 6

    1: .. ,

    .

    2: -

    3: ,

    :

    x + 2 x + 3 x + 4 x + 560 + 60 = 60 + 60

    3 4 5 6

    20 (x + 2)+ 15 (x + 3) = 12 (x + 4)+ 10 (x + 5)

    20x + 40+ 15x + 45 = 12x + 48+ 10x + 50

    35x + 85 = 22x + 98 35x 22x = 98 85 13x = 13 x = 1

  • :

    110

    1

    :

    1) 5 x 3 10 2 5x 10x 15 10x

    2) 9 8 x 10 9 x 4 x 1 1 8x

    3) 3 1 2x 4 2 x 4 x

    4) x 1 2x 3

    42 4

    5) x 5 x 2

    4 7

    6) 6x 1 3x 13 5x 4

    53 3 5

    7) 1 x 1 2x 1 1

    (2x )6 3 3 2 3

    8) x 1 3 2(x 2)

    3x 3x 72 4

    9) 3x 2 4x 1 5x 2 x 1

    5 10 8 4

    10) 7x 4 3x 5

    x5 2

    11) x 2 x 3 x 4 x 5

    3 4 5 6

    12) x 1 x 10

    33 6

    13) 3x 1 x 1

    14 4

    14) 1 2x 3 x 2x 5 1 10x

    8 2 4 24

    15) 1 2x 3 x 2x 5 1 10x

    8 2 4 24

    16) 1 2x 3 x 2x 5 1 10x

    8 2 4 24

    1

    :

    1

    1

    0 0 =0

    2 .

  • :

    111

    :

    22 2x x 4 + 2x x 4 + x 4 = 0 x 4 x + 2x+1 = 0 x 4 x+1 = 0

    2x 4 = 0 x 1 = 0

    x 4 x 1 = 0

    x 4 x 1

    2 22x +1 + x 1= 0 x+1 + x 1 x+1 = 0 x+1 x+1 + x 1 = 0

    x +1 2x +1 1 = 0 x +1 2x = 0 x +1= 0 2x = 0 x 1 x 0

    1

    :

    1) 2x x 2 2x x 2 x 2 0

    2) 2

    x 4 x 4 x 6 0

    3) 2x x 3 9 x 3 0

    4) 2 2x x 6 3 x 6 0

    5) 2

    x 5 5 x 7 x 0

    6) 3 2x 2x x 2 0

    7) 3 2x x 6x 6 0

    8) 4 3x 2x 2x 1 0

    9) 3x 7x 6 0

    10) 3 25x 5x 7 1 x

    11) 2 25 x 2x 1 4 x 1

    12) 2 23 x 4 x 1 x 1 x 2

    13) 2 23x 5 9x 25 6x 10 0

    14) 2 2x 3 2x 1 x 9 x 3 0

    15) 2 2x 1 x 2 x 1 2x 4 0

    16) 2 2

    2x 1 x 3 0

    17) 2 2x 1 x 3 x 9 x 1

    18) 2

    2x 1 x 1 0

    19) 3 3 3

    x 4 2x 3 7 3x 0

    20) 3 2 2x 5x 15x 27 x 9

    21) 2 2x 64 x 2 x 4 x 8

    22) 2 3 2x x 25 x 5x 0

    23) x 2 x 3 3x 1 x 2

  • :

    112

    24) 2 2x 10 x 100 0

    25) 2 2x 4 x 16 0

    26) 2 23x x 1 x 2x 1

    27) 2 2x 2 x 2x 1 2x x 1

    28) 4 2 2x x 4 x 1

    29) 2

    2 2x 2x 1 4x 8x 4

    ... .

    .

    :

    22 1 x x 2 1 x x 2 1 x x

    + = + = + =x x x 1 x x x 1 x 1 x x x 1 x x 1

    2 1 x x

    x x 1 x x 1 x x 1x x 1 x x 1

    2 x 1 1 x x x 2 21

    2 x x 1 x x 1 2x 0 x2

    -

    ... x(x 1)

    : x x 1 0 x 0

    x 1 0 x 0 x 1

  • :

    113

    1)

    x 1 4 x 2

    x 1 x 1 x 3 x 3

    2) 2

    2 1 1

    x 3x 3 x x

    3) 2

    x 1 5 3x x 2

    x 1 x 2x 3 x 3

    4) 2

    x 2 4 8

    x 2 x x 2x

    5) 2

    x 1

    x 1 x x

    6) 2

    2

    2x 1 7x 1 2x 3x 45

    3x 3 6x 6 4x 4

    7) 2 2 2

    2 2x x 2 x 4

    9x 4 9x 12x 4 9x 4

    8) 2

    3 4 x 1

    x 2 5x 15 x 5x 6

    9) 2 2 2

    x 2 2 1

    x 1 x 2x 1 x 1

    10) 2

    1 1

    x 2 x 4

    11) x 1 x 6

    2x 1 x 2

    12) 1

    1x

    x1 x

    13)

    12

    x 3 01

    2x 3

    14) 2

    x 12

    x 1 0(x 1)

    xx 1

    15) 1

    31 x

    11

    xx

    16) 1 1 2

    23 x x 3

    1 1x 3 3 x

    17) 2 2

    x 1 20

    x 1 x 2x 1

  • :

    114

    1

    - 1 -

    1

    A x B 1

    ( 1) 2 -

    1 : A 0 (1) B

    xA

    2 : A 0 (1) A x B B 0

    B 0

    2 x 1 2x + 5 = 2 x + 3

    2 x 1 2x + 5 = 2 x + 3 ( )

    2 2 x 2x + 5 = 2x + 6 ( -

    x )

    2 2 x 2x 2x = 5+ 6

    2 2 x 4x = 5+ 6

    2 2 4 x = 5 + 6 ( x )

    2 + 2 x = 2 3 1

    :

    1 :

    2 + 2 0 2 0 + 2 0 2 2

    (1)

    2 3x =

    2 + 2

    ( (1) x ())

    3

    x =+ 2

    ( -2 )

    2 :

    2 2 = 0 2 = 0 + 2 = 0 = 2 = 2

    = 2 (1) 0 x = 0 = 2 (1) 0 x = 20

  • :

    115

    1

    1) :

    . x 4

    . 2 x 1

    . 2 4 x 7

    . 4 x 0

    2)

    . 1 x 1

    . 1 x

    . x x 1

    . 1 x 1

    3)

    . 2( 2)x 4

    . 4 2( 16)x 4

    . 3 2( 9 9)x ( 1)( 3)

    . 2 2( 1) x 5 4

    4) :

    . 2 2 x x 4 3

    . 1 x 9 2 2x 2

    . 3 x 4x 2 . 2 x x 1

    5)

    . 2 2 x 3x 9

    . 2 2 x 4 16 4 x 2x

    . 2 2 x 4 4

    . 2

    x 2 x 1 3

    6)

    . 29 x 4x 3 2

    . 2 x 1 6x 2 5x 1

    . 2 x 1 4 4x 1 5

    . 3 x 1 3 4 2x

  • :

    116

    7)

    . 2 2x

    . 2 x 1 x 2 1 3 2

    . 2 2 x 1 4x 2 6

    . 2 x 2 3 x 1

    8)

    . 2 x 2 3 x 1

    . 24 x 1 x 2

    . x 8x 2 1 x 10

    . 2 x 2 3 x 1

    9) 2 2 2 x(x 1) 5 6 (x 1) 4x, .

    :

    )

    )

    )

    10) 22x 4 (1 x), . :

    )

    ) x = 2

    11) 2 x 2 1 2x ,

    x 6 5x 3 .

    12) 3 x 1 2 .

    .

    13) 3 x 2 4

    .

    14) , , 2(x 1) 2x

    x

    15) ) 3 3 3(x 1) (3 2x) (x 2) 0 (1)

    ) (1) x ( 1) (x 2)

    16) 2 (x 1) x(2 ) 1

    2 x 1 (x 1) .

    17) , 2x 5 2x 6 : ) 1

    ) 1

  • :

    117

    1 :

    x (x) -

    x

    > 0 : A x x x

    = 0 x 0

    < 0 A x

    . 3x 6 = 3 3x 6 = 3 3x = 9 x = 3 3x 6 = 3 3x = 3 x = 1

    . 2x 10 = 0 2x 10 = 0 2x = 10 x = 5

    . 4x 7 = 2

    2 :

    A x B x

    A x B x

    A x B x

    2x 6 = x 10 2x 6 = x 10 x = 4

    16

    2x 6 = x 10 2x 6 = -x +10 x =3

    3 :

    A x B x B x 0 1

    A x B x 2

    A x B x

    A x B x 3

    (2), (3) -

    (1)

    2x 10 = x 3

    : x 3 0 x 3 1

    2x 10 = x 3

    2x 10 = x 3 2x 10 = x + 3

    2x x = 10 3 3x = 10 + 3

    x =7 7 3 13 13x = 3

    3 3

  • :

    118

    4 :

    x B x 0 A x 0 B x 0

    2

    2

    x x 6 0x 6x 0 x 0 x 6

    x 6x x 1 0

    x 1 0 x 1 x 1

    4 :

    1 2 1A x A x ... A x 0 A x 0 2A x 0 .

    A x 0

    5 :

    :

    i. : 3 x 1 6 x 1 2 x 1 8 (1)

    x 1 -

    x 1 ,

    .

    : x 1 y 0 (1) :

    3y 5 y 2 y 8 3y 6 y 2 y 8 y 4

    1 .

    x 1 4 x 5

    x 1 4

    x 1 4 x 3

    ii. : 3 x x

    1 1 x 3 12 3

    :

    3 x x 3 :

    3 x x 3 1 x 3 1 x 3 x 3

    x 3x x 3

    13 3 3

    (1) : x 3 x 3

    1 x 32 3

  • :

    119

    x 3 0

    1 3 2 1 6 12 3

    0 x 3 1

    6 :

    :

    .

    x 0 x x (1) : x x 8 x 4

    x 0

    x 0 (1) : x x 8 0 x 8

    7 : (

    )

    -

    8 :

    :

    x 1 1 3 x 1 4 x 1 4 x-1=-4x 4

    x 2 1 3 x 3

    x 1 1 3 x 1 2

  • :

    120

    1) :

    . x 2 7

    . 2x 6 10

    . 4 x 8

    . 1092x 4 7

    2) :

    . x 9

    . 2x 4 6

    . x 4 0

    . 3x 6 0

    3) :

    . x 3

    . 2 x 4

    . 3x 4 5

    . 10x 5 45

    4) :

    . x 9

    . 2x 4 6

    . x 4 0

    . 3x 6 0

    5) :

    . 2 x 3 10

    . 2x 9 0

    . 3x 1 1

    . 1 2x 7

    6) :

    . 2x 7 5 x

    . 3x 1 2x 5

    . 4 x 5x 6

    . x 2 x 1

  • :

    121

    7) :

    . x 2 x 3

    . x 1

    2x 2

    . 2 x 2 3 x 2

    . 11 3x

    13x 2

    8) :

    . 3 2 x 2 x 1 0

    . 2x 1 3 x

    3 2

    . 2 x 3 x 5

    . x 1 3x 2

    04 6

    9) :

    . x 3 2x 7

    . x 5 3x 1

    . 2x 5 4 x

    . 2 4 x x 3 0

    10) :

    . x 3 1

    . x 2 4

    . 5 2x 1 4

    . 1 3 2x 6

    . 3 2 x 5

    . x 3 5 1

    . 7 2x 3 6 4

    11) :

    . x 1

    x 12

    . 2 x 3 x 2 1 x

    4 2 2

    . x 3 x 3

    52 3

    . 2 x 3 5 x 3 3 x 1

    3 2 3

  • :

    122

    12) :

    . 3x 4 1 3x 4

    2 33 3

    . x 1 2 1 x x 1 3

    3 4 4

    . 6 2x x 37

    3 x3 2 4

    . x 2 6 3x11

    2 20 5

    . 3 3x 9 31 3 x

    13)

    . x 1

    x 12

    . x 2 1 x x 4 x 2 1 x 3 2 x x 2 x 1

    . 22x 3 x 14 2 x 4 x 4 2 x 4

    . 2

    x 2 x 2 2 x 3 2 x x 5

    14) :

    . 4 x 1 1

    75

    . 3 5 1 2x

    36

    . x 1 x 1

    42 3

    . x 24 x 24 x 24

    242 3 6

    . x 8

    2 x 8 53

    15) :

    . x 2

    1 2 x5

    . 3 2x 5 1 6 2x 5 4

    2x 52 7

    . 3x 1 4 3x 1 15

    . 6 2x 1 2 4x 2 8

    . x 2 4 2x

    12 3

  • :

    123

    16) :

    . x 2 2x 4 0

    . x 1 x 2 0

    . 3x 3 x 1 x 1

    . 2x 3 x 3x 0

    17) :

    . x 2 1

    . 6 3x 1 4

    . x 3 5

    . x 1 2 3

    . x 1 2 2

    18)

    . x 7 2 2x 5 8

    . 2 5x 5 2x 7

    . x 2 x 1 1 1 x

    . x 2 x 2 3x 1

    19) :

    . 3 x 1 2

    . 2 2x 4 x 16 0

    . x 2 2x

    . x 1 3 7

    20)

    . x 2 5 6

    . 12 x 3 x 4

    . 2 2x 2x 1 x 1 0

    21) :

    . 2

    2

    9 x 5 12 x 1 9 108 x 36x

    3 x 1 2 6 x 4(9x 1)

    . 1

    21

    1x 1

    . 2

    x 1 3 4

    x 3 x 1 x 3 x 4 x 3

    . 2

    x 63 2

    x x 2 x 2 x

  • :

    124

    1) 1

    2 ,

    20m

    15m.

    ;

    2) 60%. 50ml -

    70%. ml .

    3) , . , 10 ,

    5 20 .

    .

    4) 200ml 18%. ml

    10%;

    5) , , - -

    : 2 ,

    5/4 ,

    46. .

    6) 34 7 . :

    )

    ) ;

    7) , 20 40.

    8) 30 32. -

    .

    9) 18 -

    .

    10) 317 - 2 68.

  • :

    125

    11) 7. - 9 .

    .

    12) 234 - 10, 12 14 . ;

    13) 2/3 . 1, 22. -

    .

    14) 1000 20% 25% . 230. -

    ;

    15) .

    90km/h 110km/h.

    ) 1200km;

    ) ;

    16) 3 5 .

    ;

    17) 15 , . 2 1,4. -

    27;

  • :

    126

    1 (2_485)

    2 x x 1 , .

    i. :

    ( ) ( 1 x 1 ,1)

    ii.

    .

    iii.

    ; .

    ( 9)

    2 (2_507)

    : 2 2 9 x 3 , 1

    ) ,

    .

    6

    ) , 1

    .

    9

    ) , 1

    4

    10

    3 (2_1055)

    : 2 1 x 1 2 , R

    ) 1 1 .

    ( 12)

    ) ;

    .

    ( 13)

  • :

    127

    4 (2_3382)

    3 5

    A5 3 5 3

    . A 4

    12

    . x A 1

    13

    5 (2_4302)

    2 3 x 9 , .

    . :

    i) 1 .

    ( 5)

    ii) 3 .

    ( 8)

    . ,

    .

    ( 12)

    6 (4_2084)

    , , ,

    d cm

    (d+1)cm.

    ) , d,

    .

    6

    ) 200

    128 , :

    i) .

    12

    ii) .

    7

  • :

    128

    1) 3 5

    5 3 5 3

    () =4

    ( 12)

    () x A 1

    ( 13)

    2) 2 2 3 x 9

    ()

    i) 1

    ( 5)

    ii) 3

    ( 8)

    ()

    ( 12)

  • :

    126

    3.2. x =

    x = , > 0

    , x = > 0

    x = , < 0

    x = , < 0 .

    4 4 4x = 10 x = 10 x = 10

    4x = 10

    3 3x = 10 x = 10

    103 33x = 10 x = 10 x =

  • :

    127

    1)

    ) 99x 0 ) 8x 2 ) 3x 7

    ) 7x 9 ) 12x 3

    2)

    ) 5x 0 ) 5x 2 ) 4x 4

    ) 11x 1 ) 20x 1

    3)

    ) 3x 8 0 ) 3x 8 0 ) 2x 8 0 ) 2x 8 0

    4)

    ) 3x 27 0 ) 38x 1 0 ) 416x 81 0 ) 64x 12 0

    5)

    ) 6x 4 ) 12x 10 0 ) 5x 7 ) 5x 5

    6)

    ) 216x 1 0 ) 38x 27 0 ) 532x 243 0 ) 327x 8 0

    7)

    ) 4

    2x 1 3 ) 4

    2x 1 81 ) 3

    x 2 27 ) 3

    x 4 8

    8)

    ) 5

    2 x 32 ) 33 x 125 ) 4

    4 x 8 ) 3

    x 3 1

    9)

    ) 7 8x 1 x 1 0 ) 5 4x 32 x 81 0

    10)

    ) 3 2 3x x 9 x 125 0 ) 2 6 5 5x 5 x 3 x 2 x 1 0

    11)

    ) 7 37x 7x 0 ) 10 58x 32x

    ) 8 481x 16x ) 9 364x 27x 0

    12) :

    ) 2 58x x 0 ) 3x

    2x2

    ) 5x x 0 ) 3

    x 1 8 0

    ) 7 48x x 0 ) 4

    x 1 16

  • :

    128

    ) 336x x ) 23x 5 x 0

    ) 4 2x 8x 0 ) 4

    x 1 5 x 1 0

    13) :

    ) 2

    3x 4 ) 1 1

    2 3x 1 x 1

    ) 3

    4x 27

    ) 1

    32x 1 x

    14)

    ) 5 2x x 0 )

    7 22x 64x 0 ) 6 42x 5x 0

    15)

    ) 8 3x x 0 ) 13 9x x 0

    ) 14 122x 4x 0 ) 12 5x 8x 0 16)

    ) 2 58x x 0 ) 5x 2x 0

    ) 52x 4x 0 ) 4x 8x 0

    17)

    ) 4

    2x 1 1 ) 3

    2x 3 27

    ) 3

    11 125 0

    x

    )

    182

    2 9 0x

    18) , :

    ) 4x 16 ) 6 2x

    ) 5 10x )

    3 6x

  • :

    129

    3.3. 2

    2x + x + = 0 * ,

    2 x , ,

    .

    2 ,x +x + = 0 0

    2 0 x x ( 0 )

    2 0 x x

    2 22

    x x

    ( )

    2 2

    2

    2 22

    2 4 4 x x

    ( 2

    + ) 2 2

    2

    4

    2 4

    x

    : 2

    02

    x

    24 0 2 4

    .

    2 4 , .

    : 2

    21

    2 4

    x

    0 (1) :

    22 4

    x

    22 4

    x

    2

    x

    2

    x

    0 (1) : 2

    0 02 2 2

    x x x

    02

    x

    0

    2 x

    2 x

    2 x

    () 2

    0 (1) !!! ( )

    :

  • :

    130

    2 0 x x , 0 :

    i. 1

    2

    x

    22

    x

    0

    ii. 2

    x

    0

    iii. 0

    1

    = 0 2x + x + = 0 , 0 -

    .

    26x + x = 0 x 6x +1 = 0 x = 0 6x +1 = 0 x = 0 1

    x6

    = 0 26x + x+0 = 0 , = 6, = 1, = 0

    2 2 = 4 = 1 4 6 0 = 1 > 0

    1

    1,2

    2

    x = 01 1 1 1

    x = = = 26 12

    1x =

    6

    2

    = 0 2x + = 0 , 0 ,

    2x 9 = 0

    x = 3

    x 3 x + 3 = 0

    x = 3

    2 2 2x 9 = 0 x = 9 x = 9 x = 3 x = 9 x = 3 x = 3

    : 22x +4 = 0 : 2 22x = 4 x = 2

    .

  • :

    131

    2x + x + = 0 , 0

    1

    2x 5x+6 = 0 , 2

    = 5 4 1 6 = 25 24 = 1 > 0

    1,2 1

    5 1x = x = 2

    2 1 2x = 3

    2

    24x 4x+1= 0 , 2

    = 4 4 4 1 = 16 16 = 0

    4 1x = x =

    2 4 2

    3 2x +2x+5 = 0 , 2= 2 4 1 5 = 4 20 = 16 < 0

    2x +2x+5 = 0 .

    Vietta

    2x + x + = 0 , 0 x1, x2 .

    S 1 2x + x P 1 2x x :

    1 2

    S = x + x =

    1 2

    = x x =

    2 0 , 0 x x :

    12

    x

    22

    x

    1 2

    2

    2 2 2 2

    S x x

    2 2 22 2

    1 2 2 2 2

    2 2

    2 2

    4

    2 2 4 4 4

    4 4

    4 4

    x x

  • :

    132

    2x + x + = 0 , 0 x1,

    x2 2x Sx+P= 0 S, P

    .

    2 0, 0 x x

    2 2 20 0 0

    x x x x x Sx P

    1 2

    S x x

    1 2 x x

  • :

    133

    2 1)

    ) 2 0 x x ) 22 8x x ) 22 7 0 x x

    ) 2 23 2( 7 ) x x x x ) 24 25 0 x ) 23 7 0 x x

    ) 22 8 0 x ) 2 8 x x

    2)

    ) 29 4 0 x ) 27 21x x ) 26 36 0 x x

    ) 2 5 0 x ) 23 5 0 x x ) 2

    2 16 x

    ) 22 7 0 x ) 2 2 0 x

    3)

    ) 23 4 0 x ) 22 12 0 x x ) 2

    1 3 x

    ) 2

    3 6 4 0 x

    4) :

    ) 24 25 0 x ) 23 7 0 x x

    ) 22 3 0 x x ) 2 9x

    ) 2 4 0 x ) 2 4x x

    ) 2 15y ) 2 8 x x

    ) 22 8 0 x ) 2 9 0 x

    5) :

    ) 2 9 0 x ) 2 16 0 x ) 2 3 0 x ) 2 6x

    ) 24 5 0 x x ) 24 15 0 x x ) 2 6x ) 2 8 0 x x

    6) :

    ) 2 4 3 0 x x ) 2 2 3 0 x x

    ) 26 13 6 x x ) 23 5 0 x x

    ) 22 5 3 0 x x ) 225 30 9 x x

    7)

    ) 22 12 18 0 x x ) 22 5 1 0 x x

    ) 2 4 9 0 x x ) 2 4 3 0 x x

    ) 2 2 3 0 x x ) 23 5 0 x x

    8)

    ) 23 5 8 0 x x ) 2 1 0 x x ) 29 30 25 0 x x

    ) 218 15 18 0 x x ) 26 12 0 x x ) 24 4 1 0 x x

    9)

    ) 22 ( 3) 5 x x x ) 23 2 1 7 x x x x ) 2(7 3) 5 2 2 x x x x

  • :

    134

    10)

    ) 2

    2 2 (6 ) 2(3 10) x x x x

    ) 2 2

    4 1 9 1 x x

    ) 3 6 1 5 10 1 x x x x

    11)

    ) 1 3 2 6 x x x

    ) 2 1 1 2 0 x x x

    ) 2 3 5 2 1 3 x x x x

    ) 2

    2 3 1 1 2 x x x x x

    12)

    ) 2 2 2 3 3 0 x x ) 25 3 1 0 x x

    13)

    ) 2 3 1 3 0 x x ) 2 2 1 2 0 x x

    14)

    ) 2 6 5 30 0 x x ) 2 6 2 12 0 x x

    15)

    ) 23 5 12 0 x x ) 2 4 3 9 0 x x

    ) 22 2 2 1 0 x x

    16) :

    ) 21

    3 (1 ) (1 2 ) 12

    x x x ) 2 2 2 1 x x

    ) 23 2 0,5 0 x x ) 2 52 5 1 02

    x x

    ) 21

    22

    x x ) 2 182 2 2 03

    x x

    17)

    ) 22 ( 3) 5 x x x

    ) 2(7 3) 5 2 2 x x x x

    ) 2( 2) 2 (6 ) 2(3 10) x x x x

    ) 2 2(4 1) 9 ( 1) x x

    ) (4 6) ( 1) (5x 10) ( 1) x x x

  • :

    135

    18) :

    ) ( 1) 3(2 ) 6 x x x

    ) (2 1)( 1) 1 0 x x x

    ) ( 2)(3 5) (2 1)( 3) x x x x

    ) 22 ( 3) ( 1) ( 1)( 2) x x x x x

    ) (5 1)(3 2) (1 5 )(3 7) (2 15 )(1 5 ) x x x x x x

    19)

    ) 2 22 0 x x ) 2 23 10 0 x x ) 2 2 6 0 x x

    20)

    ) 2 27 10 0 x x ) 2 22 0 x x

    21)

    ) 2 ( ) 0 x x

    ) 2 2 22 0 x x

    ) 2 2 2( ) x 0, , 0 x

  • :

    136

    2 1)

    2 4 6 ( 1) x x

    2) 22 2 3 0 x x . :

    ) 2

    )

    )

    3) 2 6 4 1 0 x x . :

    ) 2

    )

    )

    4)

    2 3 ( 3) 0 x x -1

    5) 22 2 1 x x :

    )

    )

    )

    6) 23 5 3 0 x x . :

    ) 2

    )

    )

    ) 305 ;

    7) 2 3 2 0 x x . 5

    8)

    ) 2 ( 1) 0 x x

    ) 2( 1) 1 0, 1 x x

    ) 21 1 0, x x

    9)

    ) 2 1 0 x kx ) 22 2( 1) 0 x k x k

  • :

    137

    10)

    ) 2 ( 1) 0 x x ) 2 ( 1) 0 x x

    11)

    ) 2 2 1 0 x x ) 2 22 3 2 0 x x

    12) 28 2 2 8 0 x x .

    : () 2 () ()

  • :

    138

    2

    1)

    ) 4 24 11 3 0 x x ) 4 29 35 4 0 x x ) 4 23 2 0 x x

    2)

    ) 4 25 6 0 x x ) 4 23 54 0 x x ) 4 24 8 0 x x

    3)

    ) 4 26 8 0 x x ) 4 23 4 0 x x ) 4 26 17 12 0 x x

    4)

    ) 6 3 2 0 x x ) 8 4 12 0 x x ) 6 32 5 3 0 x x

    5)

    ) 2 5 6 0 x x ) 2 4 21 0 x x ) 2

    1 4 1 45 0 x x

    6) :

    ) 2

    3 2 0 x x ) 23 2 5 0 x x

    ) 2( 3) 3 3 4 0 x x ) 2 3 3 0 x x x

    ) 2 6 0 x x ) 23 2 1 3 0 x x

    7) :

    ) 2 3 2 0 x x ) 4 22 8 0 x x

    ) 2

    2 3 0 x x ) 11 30 0 x x

    ) 22 4 3 4 x x x ) 23 32 1 x x

    8)

    ) 4 23 3 0 x x ) 5 4 3 28 10 4 5 x x x x

    ) 4 25 4 0 x x ) 6 37 8 0 x x

    9)

    ) 2

    2 1 2 1 6 0 x x ) 2

    1 1 2 0 x x

    10) :

    ) 2( 3) 3 2 x x ) 4 24 3 1 0 x x

    ) 2(2 1) 5 2 1 6 0 x x ) 4 24 4 1 0 x x

    ) 2 2 11 10 0 x x x x ) 4 25 2 3 0 x x

  • :

    139

    11) :

    ) 22( 1) 3( 1) 1 0 x x ) 4 2 6 0 x x

    ) 2 3 2 x x ) 4 25 4 0 x x

    ) 4 22 5 3 0 x x ) 4 26 9 0 x x

    12) :

    ) 2

    3 2 0 x x ) 23 2 5 0 x x

    ) 2( 3) 3 3 4 0 x x ) 2 3 3 0 x x x

    ) 2 6 0 x x ) 23 2 1 3 0 x x

    13)

    ) 2 8 7 0 x x ) 2 3 4 0 x x

    ) 2

    1 4 3 1 x x

    14)

    ) 2

    3 5 2 5 5 0 x x )

    2

    52 1 5 2 0

    2 2

    x x

    15)

    ) 2

    2 25 7 5 7 2 0 x x x x

    ) 2

    2 22 28 5 28 3 0 x x

    16)

    )2 1 3 9 6 3

    2 2 4 3 6

    x x x

    x x x )

    2

    2 1 2

    1

    x x x x

    ) 2 2 2

    1 1 2 1

    2 2 4

    x x x

    x x x x x

    17) :

    ) 1 11

    1 2 4

    x x

    x x )

    1 1 5 1

    2 6 1

    x x x x

    ) 2 2 3

    2

    1 2 3 3 1

    1

    x x x

    x x x x

    18)

    )2

    2

    3 1 2 1 2

    1

    x x x

    x x x x )

    2

    2 1 4

    2 2 2

    x x x

    ) 2 3 2

    30 7 18 13

    1 1 1

    x

    x x x x

  • :

    140

    1) :

    ) 2 6 8 0 x x ) 2 8 15 0 x x ) 2 12 0 x x ) 23 7 2 0 x x

    2) :

    () 2 6 5 0 x x () 26 17 5 0 x x

    () 2 6 0 x x () 22 5 8 0 x x

    () 22 5 12 0 x x () 2 2 5 3 0 x x

    () 22 11 15 0 x x () 25 2 3 2 5 3 0 x x 3) 2

    ) 1

    4x 2

    3x ) 1

    4x 2

    1

    4x ) 1 6 x 2 8x

    4) 2 2 2 0 x x 1 2,x x .

    :

    1 2

    A x x 1 2

    B x x 2 21 2

    x x 3 321

    x x

    5) x1, x2 2 5 3 0 x x , ,

    :

    1 2

    x x 1 2

    x x 2 21 2

    x x 1 2

    1 1

    x x

    6) 2 ( 1) 0 x x . x1, x2

    : 2 2 2 21 1 2 1 2 2

    3 7 7 3 2 x x x x x x .

    7) 2 22 7 0, x x 1 2,x x .

    2 21 2

    18 x x

    8) 2

    ) -2 3 ) 0,6 0,8 ) 1

    2 -3

    9) x1, x2 2 0 x x

    :

    ) 2 21 2x x ) 3 3

    1 2x x ) 1 2

    2 1

    x x

    x x

    10) x1, x2 2 5 3 0 x x

    :

    ) 2 21 2x x ) 3 3

    1 2x x ) 4 4

    1 2x x

    ) 1 2

    2 1

    x x

    x x )

    1 2

    2 2

    1 3 1 3

    x x ) 3 2 3 2

    1 1 2 2 1 22 3 2 3 x x x x x x

  • :

    141

    11) 2 3 2 3 , 3 2 3 .

    12)