1

Опорні факти Геометрія 9 клас

Косинусом, синусом кута α (00 ≤ α ≤ 180

0)

називають відповідно абсцису х і ординату у точки

М одиничного півкола, яка відповідає куту α.

0 ≤ sin α ≤ 1

-1 ≤ cos α ≤ 1

Формули зведення

sin(900 – α) = cos α

cos(900 – α) = sin α

tg(900 – α) = ctg α

ctg(900 – α) = tg α

sin(1800 – α) = sin α

cos(1800 – α) = - cos α

tg(1800 – α) = - tg α

ctg(1800 – α) = - ctg α

Формули

sin2α + cos

2α = 1

2cos1sin

2sin1cos

cos

sintg

sin

cosctg

2

2

cos

11 tg

2

2

sin

11 ctg

tgα ∙ ctgα = 1

α < α/ → C є BD

ADACBDAB

BDBC

coscos /

AC

AB

AD

AB

300

450

600

sin α 2

1

2

2

2

3

cos α 2

3

2

2

2

1

tg α 3

1 1 3

ctg α 3 1 3

1

якщо α ↑, то cos α ↓

якщо α ↑, то sin α ↑

корінь квадратний з номеру

стовпчика поділити на 2

sin

cos

cos

sin

ctg

tg

2

00

300

450

600

900

1200

1350

1500

1800

sin α 0 2

1

2

2

2

3 1

2

3

2

2

2

1 0

cos α 1 2

3

2

2

2

1 0

2

1

2

2

2

3 -1

tg α 0 3

1 1 3 - 3 -1

3

1 0

ctg α - 3 1 3

1 0

3

1 -1 3 -

Метричні співвідношення в прямокутному трикутнику

cc bah 2

cbb c 2

caa c 2

Теотема1: (теорема косинусів)Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі

квадратів двох інших сторін мінус подвоєний добуток цих сторін і косинус кута

між ними.

a2 = b

2 + c

2 – 2bc∙cosα

Теорема 2 (наслідок з теореми косинусів) Нехай а, b і с –

сторони трикутника, причому а – його найбільша

сторона. Якщо a2 < b

2 + c

2, то трикутник є гострокутним.

Якщо a2 > b

2 + c

2, то трикутник є тупокутним. Якщо a

2 =

b2 + c

2, то трикутник є прямокутним.

Теорема 3: Сума квадратів діагоналей

паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх

його сторін.

Формула медіани трикутника

cbb

caa

bah

c

c

cc

середнє геометричне

або

середнє пропорційне

3

ab

cbaac

bcabc

acb

2cos

2cos

2cos

222

222

222

Формули для визначення кутів трикутника за трьома сторонами.

Теорема 4: (теорема синусів) Сторони

трикутника пропорційні синусам

протилежних кутів.

sinsinsin

cba

Лема: Хорда кола

дорівнює добутку діаметра на синус будь-якого вписаного

кута, який спирається на цю хорду.

Наслідок. Радіус описаного

кола трикутника можна

обчислити за формулою

sin2

aR , де а – сторона

трикутника, α – протилежний їй кут.

1. Висоти не

прямокутного трикутника АВС перетинаються в

точці Н. Радіуси кіл описаних навколо трикутників

АНВ, ВНС, АНС, АВС – рівні.

Теорема 5: (формула Ейлера) Відстань d між

центрами вписаного і описаного кіл трикутника

обчислюється за формулою RrRd 22 , де r і R

- відповідно радіуси його вписаного і описаного

кіл.

2. (теорема тангенсів) Відношення суми двох

сторін трикутника до їх різниці дорівнює відношенню тангенсів півсуми

протилежних кутів до тангенса піврізниці тих самих кутів.

2

2

tg

tg

ba

ba

4

3. (теорема Стюарта)

4. (формули Мольвейде) Так

називаються дві пропорції, що являють

собою відношення суми й різниці двох

сторін трикутника до третьої

сторони:

2cos

2sin

;

2sin

2cos

c

ba

c

ba

Розв’язування трикутників

Розв’язати трикутник – це знайти невідомі сторони і кути за відомими його

сторонами і кутами.

1. Розв’язування трикутників за стороною і двома кутами

1) за двома

відомими кутами

знайти величину

третього кута;

2) за теоремою

синусів з відношень

sinsinsin

cba

знайдіть значення

невідомих сторін трикутника.

2. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом між ними

1) за теоремою

косинусів знайдіть невідому

(третю) сторону

трикутника;

2) з теореми косинусів

знайдіть косинуси (двох

інших ) невідомих кутів.

5

3. Розв’язування трикутників за двома сторонами і кутом, протилежним одній із

них

1) за теоремою синусів

знаходимо кут протилежний

другій відомій стороні;

2) за теоремою про суму

кутів трикутників знаходимо

третій кут;

3) за теоремою синусів

знаходимо третю невідому

сторону.

4. Розв’язування трикутників за трьома сторонами

Якщо виконується

нерівність трикутників, за

теоремою косинусів:

cos2

cos2

cos2

222

222

222

abbac

accab

bccba

Теорема 6: Площа трикутника дорівнює пів

добутку двох його сторін і синуса кута між ними

sin2

1abS

Теорема 7: (формула Герона) Площу S трикутника

АВС можна обчислити за формулою

cpbpappS , де a, b, c – сторони трикутника, р – його півпериметр.

Теорема 8: Площу S трикутника АВС можна

обчислити за формулою R

abcS

4 , де a, b, c – сторони

трикутника, R – радіус описаного кола трикутника

АВС.

5. Формула радіуса кола описаного навколо

трикутника

S

abcR

4

6

Теорема 9: Площа трикутника дорівнює добутку

його півпериметра на радіус вписаного кола: prS

6. Формула радіуса кола вписаного в трикутник

cba

Sr

2

Теорема 10: Площа описаного многокутника дорівнює

добутку його півпериметра на радіус вписаного кола: prS

Теорема 11: Площу S

паралелограма можна

обчислити за формулою

sinabS , де a, b – сусідні сторони

паралелограма, α – кут між ними.

Теорема 12: Площа опуклого

чотирикутника дорівнює пів добутку його

діагоналей і синуса кута між ними.

7. Площу трикутника модна обчислити за

формулою sinsinsin2 2RS

8. cossin22sin

9. abS2

1 , S – площа трикутника, a, b –

довжини його сусідніх сторін.

10. Довжину бісектриси трикутника АВС

можна обчислити за формулою cb

bc

la

2cos2

7

Многокутник називають правильним, якщо у нього всі сторони і всі кути

рівні.

Теорема 13: Правильний многокутник є опуклим

многокутником.

Теорема 14: Будь-який правильний многокутник є одночасно

вписаним і описаним, причому центри його описаного і

вписаного кіл збігаються.

Формули радіусів вписаних та описаних кіл в правильний п-кутник

ntg

ar

n

aR n

nn

n 00 1802

;180

sin2

Формула для обчислення довжини кола C = 2πR (R – радіус кола)

Формула для обчислення довжини дуги кола 0

0

180

Rnl

Формула для обчислення площі круга 2RS

Формула для обчислення площі сектора 0

02

360

nRS

n = 3 n = 4 n = 6

R 3

3a

2

4a

6a

r 32

3a

2

4a

2

36a

8

Декартові координати на площині

А(х1; у1), В(х2; у2)

Відстань між

точками:

212

2

12 yyxxd

Координата середини

відрізка, С є АВ,

С(х0; у0)

2;

2

210

210

yyy

xxx

Координата точки, що ділить відрізок у відношенні С є АВ, АС : СВ = λ, С(х0; у0)

1;

1

210

210

yyy

xxx

11. Точки А(х1; у1), В(х2; у2), С(х3; у3) є вершинами трикутника АВС. Координата

точки М(х; у) перетину медіан цього трикутника обчислюється за формулою

3;

3

321321 yyyy

xxxx

.

Рівняння кола: 222Rbyax (О(a; b) – центр кола,

R – радіус кола)

Рівняння еліпса: 12

2

2

2

b

y

a

x (a >b, a

2 – b

2 = c

2)

Рівняння гіперболи: 12

2

2

2

b

y

a

x(b

2 = c

2 – a

2)

Рівняння прямої: cbyax

Рівняння Значення а, b, с Графік cbyax b ≠ 0, а, с – будь-які невертикальна пряма cbyax b = 0, a ≠ 0, с – будь-яке вертикальна пряма cbyax a = b = c = 0 уся координатна пряма cbyax a = b = 0, c ≠ 0 порожня множина

Рівняння прямої: bkxy (k – кутовий коефіцієнт)

tgk , α – кут, який утворює пряма з додатним

напрямом осі абсцис.

9

12. Якщо прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2 паралельні,

то k1 = k2, b1 ≠ b2.

Теорема 13: Прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2 є

паралельними тоді і тільки тоді, коли k1 = k2, b1 ≠ b2

13. Якщо α < 900, то k > 0.

14. Якщо α > 900, то k < 0.

15. Рівняння прямої з даним кутовим коефіцієнтом, яка проходить через дану

точку М(х0; у0) 00 yxxky

16. Рівняння прямої, яка проходить через задані точки А(х1; у1), В(х2; у2)

12

1

12

1

yy

yy

xx

xx

Теорема 14: Прямі y = k1x + b1, y = k2x + b2

перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли k1k2 = - 1 .

17. Відстань від точки

М(х0; у0) до прямої , заданої

рівнянням ах + by + c = 0, обчислюється за формулою

22

00

ba

cbyaxq

18. (формула Лейбніца) Нехай медіани трикутника

АВС перетинаються в точці М. Для довільної точки Х

виконується рівність

ХА2 + ХВ

2 + ХС

2 = МА

2 + МВ

2 + СМ

2 + 3ХМ

2

19. ГМТ, різниця квадратів відстаней від яких до

двох даних точок А і В є величиною сталою.