บทที่ 3 ระบบสมการเชิงเสน (14 ชั่วโมง)

3.1 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร (3 ช่ัวโมง) 3.2 การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรและกราฟ (5 ช่ัวโมง) 3.3 โจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปร (6 ช่ัวโมง) เนื้อหาในบทนี้ตองการใหนกัเรียนมีความรูเกี่ยวกับระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่มีสองสมการ และกราฟของระบบสมการ การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชสมบัตขิองการเทากนัและ ใชกราฟของระบบสมการ และนําความรูที่ไดไปแกโจทยปญหา ในบทนี้ไมเนนการฝกทักษะในการหาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชกราฟ ที่นําเสนอไวมเีจตนาเพยีงใหนักเรียนไดรูจกัวิธีการเทานัน้ เพราะปจจบุันมีเครื่องมือที่สามารถแสดงกราฟและคําตอบของระบบสมการใหเหน็ไดโดยงาย เชน เครื่องคํานวณเชิงกราฟ แตในการเรียนเร่ืองนี้ยังตองการใหนกัเรียนไดรูจักใชกราฟเพื่อการวิเคราะหเกี่ยวกับคําตอบของระบบสมการ สําหรับโจทยปญหาในบทนี้ จะเนนเฉพาะโจทยปญหาเกี่ยวกับจํานวน อัตราสวนและรอยละ ระยะทาง อัตราเร็วและเวลา สําหรับโจทยปญหาอื่น ๆ ที่เกี่ยวกับระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร เชน โจทยเกีย่วกับกระแสน้ํา รถไฟ และแรงงานจะเปนสาระที่นักเรยีนจะไดเรียนในหนังสือเรียนสาระ การเรียนรูเพิ่มเติม คณิตศาสตร เลม 2 ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 3 ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป 1. แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรและแปลความหมายกราฟของระบบสมการได 2. นําระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรไปใชแกปญหาได 3. ตระหนกัถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

60

แนวทางในการจัดการเรียนรู 3.1 ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร (3 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1) เขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร และแปลความหมายกราฟของ ระบบสมการได 2) หาคําตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรจากกราฟที่กําหนดใหได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน 1. ครูทบทวนความรูเร่ืองสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่นักเรียนเคยเรียนมาแลวในบทที่ 2 เร่ืองกราฟ อาจใชการอภิปรายซกัถามเกี่ยวกับรูปทั่วไปของสมการเชิงเสนสองตัวแปร ใหนกัเรียนยกตัวอยาง สมการ บอกคูอันดับที่สอดคลองกับสมการและเขียนกราฟของสมการ แลวเพิ่มเตมิความรูเกี่ยวกับการหา คําตอบและกราฟแสดงคําตอบของสมการที่กลาวไวในหวัขอนี้ จากนัน้ใหชวยกันสรุปวาสมการเชิงเสนสองตัวแปร Ax + By + C = 0 เมื่อ A, B, C เปนคาคงตัวที ่A และ B ไมเทากับศูนยพรอมกัน มคีูอันดับ ที่เปนคําตอบมากมายนับไมถวน 2. ครูนําสนทนาเกีย่วกับปญหาที่นักเรยีนพบเห็นในชีวิตประจําวัน เชน ปญหาเกี่ยวกับจํานวนดังเสนอไวในหนังสือเรียน ใหนกัเรียนเห็นความสัมพนัธของปริมาณสองปริมาณ เพื่อนําไปสูระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ซ่ึงระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรที่เราจะศึกษาในหวัขอนี้ เปนระบบสมการเชิงเสนที่มีตัวแปรสองตัวและมีสมการสองสมการเทานั้น 3. การเขียนกราฟของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร ในชั้นนี้ครูควรใหนักเรียนใชกระดาษกราฟ แนะนาํใหนกัเรียนใชมาตราสวนเดียวกันและความยาวตอหนวยเทากันบนแกนทั้งสอง ทั้งนี้เพื่อความสะดวกในการเขียน อาน และแปลความหมายกราฟของระบบสมการ 4. ตัวอยางการใชกราฟหาคําตอบของระบบสมการ นอกจากแสดงการหาคําตอบของระบบ สมการแลว ยงัมีเจตนาใหนกัเรียนไดเห็นวา จํานวนคําตอบของระบบสมการเปนอยางหนึ่งอยางใดใน 3 แบบ คือ มีคําตอบเดียว มีหลายคําตอบ หรือไมมีคาํตอบ 5. การเขียนกราฟในแบบฝกหัด 3.1 ครูควรแนะนําใหนกัเรียนหาคูอันดับที่สอดคลองกับ สมการมาอยางนอย 3 คู ดังที่เคยเรียนมาแลวในเรื่องกราฟ แมวาจะไมมีการแสดงคูอันดับที่สอดคลองกับสมการใหเหน็ในตัวอยาง

61

3.2 การแกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรและกราฟ (5 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1) แกระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชสมบัตขิองการเทากนัได 2) ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน 1. การหาคาํตอบของระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรโดยใชสมบัตขิองการเทากนั ในที่นีไ้มได แสดงการตรวจสอบคําตอบดวยเหตุผลดังกลาวไวในหนงัสือเรียนหนา 127 ซ่ึงเปนไปตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับสมการ ครูควรย้ํากับนักเรยีนวาหากไมแนใจในการคํานวณ นักเรียนควรตรวจสอบคําตอบใน กระดาษทดโดยไมตองเขียนแสดงการตรวจสอบใหเห็นก็ได 2. ครูทบทวนสมบัติของการเทากันโดยยกตัวอยางประกอบเพื่อใหเห็นจริง ใหนกัเรียนรวมกัน อภิปรายและระบุสมบัติที่นํามาใช พรอมทั้งทําความเขาใจเกีย่วกับสัญลักษณทีใ่ชในขั้นตอนการแกระบบ สมการ เชน 1 + 2 และ 2 × 3 เปนตน 3. ในตัวอยางที่ 1 ถึงตัวอยางที ่3 หลังจากแกระบบสมการโดยใชสมบัติของการเทากันแลว ไดเขียนกราฟของระบบสมการเพื่อตรวจสอบคําตอบ และแสดงใหเห็นวาคําตอบที่อานจากกราฟและจากการคํานวณตรงกนั ในกรณีที่ระบบสมการมีคําตอบมากมายไมจํากัด นกัเรียนตองระบุคําตอบในรูปทั่วไปซึ่ง ในชั้นนีเ้พื่อใหนักเรยีนเขาใจงายขึ้น จึงเขียนคําตอบอยูในรูปคูอันดบัที่ติดคา x เมื่อให x เปนคาคงตัวที่ไม

ทราบคา ดังในตัวอยางที่ 3 เขียนคําตอบอยูในรูป ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

23 x ,x เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ

4. ในตัวอยางที่ 6 ไดแสดงการขจัดตวัแปรโดยใชการแทนคา ซ่ึงการแทนคาที่อางถึงนี้เปนการใชสมบัติของการเทากันอยูหลายขั้นตอน

62

3.3 โจทยสมการเชิงเสนสองตัวแปร (6 ชั่วโมง) จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1) ใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรแกโจทยปญหาได 2) ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 3.3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรยีนการสอน 1. ครูนําเขาสูบทเรียนโดยใชปญหาในกจิกรรมเสนอแนะ 3.3 เพื่อใหนักเรยีนเห็นประโยชนของการใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรมาแกโจทยปญหา ซ่ึงถาใชสมการเชิงเสนตัวแปรเดียวอาจทําไมได หรือถาทําไดก็จะยุงยากมาก ตอจากนั้นใหนกัเรียนรวมกนัวิเคราะหโจทยปญหาเปนขั้นตอนดังที่เสนอเปนตัวอยางไว 2. การแกโจทยปญหาโดยใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรยังตองมีการตรวจสอบคําตอบกับ เงื่อนไขในโจทย ทั้งนี้เพื่อตรวจสอบวาระบบสมการที่หามาไดและการคํานวณถูกตองหรือไม 3. โจทยปญหาบางขออาจตองใชความรูอ่ืน ๆ ที่นักเรยีนเคยทราบมาแลว เชน สัดสวน เพื่อนําไปสูสมการเชิงเสนสองตัวแปรดังในตัวอยางที่ 4 4. กิจกรรม “หาไดอยางไร” แสดงใหเห็นการนําระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรไปใชในการสรางสมการเชิงเสนสองตัวแปรตามเงื่อนไขที่โจทยกําหนดในรูป y = ax + b เมื่อ a และ b เปนคาคงตัว ที่ไมทราบคา ในที่นี้ไดกําหนดคา x และ y มา 2 ชุด เพื่อหาคา a และ b หลังจากไดคา a และ b แลวจะไดสมการเชิงเสนสองตัวแปรตามตองการซึ่งสามารถนําไปใชแกปญหาตอไป สําหรับนักเรียนที่เรียนเร่ืองการแปรผันมาแลว ครูอาจเชื่อมโยงใหเห็นวาโจทยปญหาเกี่ยวกับ การแปรผันบางเรื่อง อาจตองใชความรูในเรื่องระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรมาใชในการแกปญหา ดังตัวอยางในกิจกรรมนี ้

63

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรม คําตอบแบบฝกหัด 3.1

1. 1)

2

6

4

จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมกา

2)

--2 -4

-4

-6

-6

-8

y + x = -2

-8

จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมกา

Y

6

7

รเชิงเสนสองตัวแปรนีม้ีค

2

2 4

4 6 8

6 8 0 2 2y + 2x = -4

Y

รเชิงเสนสองตัวแปรนีม้ีห

X

2

2

4

4

6

8

8

0

- -2 -4

-4

-6

-

-8

-8

2x + 3y =

x + 2y =

ําตอบเดียว

X

ลายคําตอบ

64

3)

2

2 4

4

6 8 0 -2

-2 -4

-4

-6

-6

-8

2x – 6y = 8

x – 3y = 6

-8

6 8

Y X

จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนีไ้มมีคําตอบ 4)

2

2 4

4 6

6 8

8

0 -2

-2 -4

-4

-6

-6 -8

-8

4x + 2y = -6

2x + y = -3

Y

X

จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนีม้ีหลายคําตอบ

65

5)

4

6

8

จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการ 6)

-2-2 -4

-4

-6

-6-8

-8

2x – 3y – 14 = 0

3x + 2y = 8

จากกราฟ จะเห็นวาระบบสมการ 2. 1) มีคําตอบ 2) ไมมีคําตอบ 3) มีคําตอบเดียว คือ (2, 1)

Y

2

2 4

6 8 2y – x = 6

6 0

2y = x – 4

เชิงเสนสองตัวแปรนีไ้มมีค

2

2 4

4 6

6 8

8

0

Y

เชิงเสนสองตัวแปรนีม้ีคําต

X

4

8

-2 -2 -4

-

-

-6

-

-8

ําตอบ

X

อบเดียว

66

4) มีคําตอบเดียว คือ (3, -3) 5) มีคําตอบเดียว คือ (-2, 3) 6) มีคําตอบ

คําตอบแบบฝกหัด 3.2

1. 1) คําตอบคือ (1, 1)

2

2 4

4 6

6 8

8

0 -2

-2 -4

-4

-6

-6 -8

-8

3x + 2y = 5

x + 7y = 8 (1, 1)

Y

X 2) คําตอบคือ (2, -1)

8

2

2 4

4

6 0 -2

-2 -4

-4

-6

-6 -8

-8

3x – y = 7 4x – 3y – 11 = 0

(2, -1)

6 8

Y

X

67

3) คําตอบคือ (-4, -3)

2

2 4

4 6

6 8

8

0 -2

-2 -4

-4

-6

-6 -8

-8

3x + 4y = -24

3x – 4y = 0

(-4, -3)

Y

X

4) ไมมีคําตอบ

2

2 4

4 6 8

6 8 0 -2

-2 -4

-4

-6

-6

-8

2x + 4y – 5 = 0

x + 2y – 1 = 0

-8

Y

X

68

5) ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรมีคําตอบมากมายไมจํากัดอยูในรูป ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

312 4x ,x

เมื่อ x แทนจาํนวนจริงใด ๆ

6) คําตอบคือ ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

121 ,12

5

x = 34 y + 3

Y

X 2

2 4

4 6 8

0 6 8 -2

-2 -4

-4

-6

-6 -8

-8 4x – 3y = 12

x + y = 12

x – 3y = 16

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

121

,125

-1

1

1

0 -1

Y

X

69

7) ไมมีคําตอบ Y

8) ระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปรนี้มีคําตอบมากมายไมจาํกัดอยูในรูป (x, 2x – 4) เมื่อ x แทนจาํนวนจริงใด ๆ

2. 1) (29, 36) 2) ไมมีคําตอบ

3) มีคําตอบมากมายไมจาํกัดอยูในรูป ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

22x 4 ,x เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ

X 2

2 4

4 6 8

6 8 0 -2

-2 -4

-4

-6

-6

-6x + 9y = -12

-8

2x – 3y = 5 -8

y – 2x = -4

x – 12 y = 2

-8 -6 -4 8 6

2

2 4

4 6 8

0 -2

-2

-4 -6 -8

Y

X

70

4) (5, -3)

5) มีคําตอบมากมายไมจาํกัดอยูในรูป ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −

312 4x ,x เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ

6) (1.1, -0.2)

7) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛

1911 ,19

31

8) ไมมีคําตอบ

9) มีคําตอบมากมายไมจาํกัดอยูในรูป ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

97 4x ,x เมื่อ x แทนจํานวนจริงใด ๆ

10) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ 3 ,2

1-

11) (0, 3)

12) ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ 2- ,2

9-

คําตอบแบบฝกหัด 3.3

1. 15 และ 25

2. 95 แนวคิด ให x แทนเลขโดดในหลักสิบ y แทนเลขโดดในหลักหนวย จํานวนที่มีสองหลักที่ตองการคือ 10x + y เมื่อสลับหลักของเลขโดดทั้งสอง จะได จํานวนใหมเปน 10y + x จะไดระบบสมการเปน x – y = 4 ------------ 1 (10x + y) + (10y + x) = 154 ------------ 2 3. มะลิซ้ือสมโอผลเล็ก 20 ผล ผลใหญ 10 ผล 4. 105 องศา, 32 องศา และ 43 องศา 5. ติ๊กมีเหรียญสิบบาท 80 เหรียญ และมีเหรียญหนึ่งบาท 120 เหรียญ 6. ความยาวรอบรูปของรูปส่ีเหล่ียมจัตุรัสเทากับ 48 เซนติเมตร ความยาวรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมดานเทา เทากับ 24 เซนติเมตร

71

7. ในสระนี้มีดอกบัว 3 ดอก และนกกระจาบ 4 ตัว แนวคิด ให x แทนจํานวนนกกระจาบทั้งหมด และ y แทนจํานวนดอกบวัท้ังหมด ถานกจับดอกบัวดอกละ 1 ตัว จะตองมีนกที่จับดอกบวัอยู y ตัว แตโจทยบอกวา เหลือนก 1 ตัวท่ีไมมีบัวจับ จะได x – y = 1 ------------- 1 ถานกจับดอกบัวดอกละ 2 ตัว จะมีบัวท่ีนกจับอยู 2

x ดอก แตโจทยบอกวา เหลือดอกบัว 1 ดอกที่ไมมีนกจับ จะได y – 2

x = 1 ------------- 2 8. แสนดีออมเงินได 764 บาท เสาวนียออมเงนิได 588 บาท 9. รัตนานําเงินฝากธนาคาร 40,000 บาท และนําไปลงทนุ 80,000 บาท 10. พอคาใชกาแฟชนิดราคากิโลกรัมละ 170 บาท 25 กิโลกรัม ใชกาแฟชนิดราคากิโลกรัมละ 150 บาท 5 กิโลกรัม 11. แมคาขายสมชนิดแรกได 64 กิโลกรัม ขายสมชนิดที่สองได 6 กิโลกรัม 12. อัตราสวนของขาวกลองตอขาวมันปูโดยนํ้าหนักเปน 7 : 4 13. 12.30 น. 14. 1) 35 กิโลเมตรตอช่ัวโมง 2) 26.25 กโิลเมตร 15. 1) อนขับรถยนตดวยอัตราเร็ว 80 กิโลเมตรตอช่ัวโมง เอกขับรถยนตดวยอัตราเร็ว 90 กิโลเมตรตอช่ัวโมง 2) 120 กิโลเมตร

72

คําตอบกิจกรรม “หาไดอยางไร”

สมการแสดงความสัมพันธระหวางรายไดแตละเดือนกับยอดขายตลอดเดือนเปน y = 0.05x + 7,200 เมื่อ x แทนยอดขายตลอดเดือน และ y แทนรายไดแตละเดอืน เขาจะมีรายได 19,725 บาท

แนวคิด ให x แทนยอดขายตลอดเดือน y แทนรายไดแตละเดอืน a แทนเปอรเซ็นตจากยอดขายตลอดเดือน b แทนเงินเดือน ใหสมการแสดงความสัมพนัธระหวางรายไดแตละเดือนกับยอดขายตลอดเดือนไดเปน y = ax +b เดือนแรกมีรายได 15,000 บาท จากยอดขาย 156,000 บาท จะได 15,000 = 156,000a + b ---------- 1 และเดือนที่สองมีรายได 17,200 บาท จากยอดขาย 200,000 บาท จะได 17,000 = 200,000a + b ---------- 2

73

กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

74

กิจกรรมเสนอแนะ 3.3

กิจกรรมนี้เสนอไวเพื่อใชจูงใจใหนักเรยีนเห็นประโยชนและขั้นตอนของการแกโจทย ปญหาโดยใชระบบสมการเชิงเสนสองตัวแปร

หลานและปูสนทนากัน หลานพยายามถามอายุของคุณปู แตปูไมตอบตรง ๆ กลับบอกวา “ปจจุบันครึ่งหนึ่งของอายุของปูเทากับส่ีเทาของอายุของหลานลบออกเสีย 6 และอีก 6 ปขางหนา อายุของปูก็จะเปนหาเทาของอายุของหลาน” นักเรียนคิดวาปจจุบันปูอายุเทาไร

คําตอบกิจกรรม

ปจจุบันปูมีอายุ 84 ป ข้ันตอนการแกโจทยปญหาโดยใชระบบสมการอาจทําได 5 ข้ันตอน ดังนี ้ 1) วิเคราะหโจทยปญหา โจทยถามอะไร : อายุปจจุบันของคุณปู โจทยกําหนดอะไร : ปจจุบันครึ่งหนึ่งของอายุของปูเทากับ 4 เทาของอายุของหลาน ลบดวย 6 และอีก 6 ปขางหนา อายุของปูจะเปน 5 เทาของ อายุของหลาน 2) กําหนดตวัแปร ใหปจจบัุนปูมีอายุ x ป หลานมีอาย ุ y ป 3) เขียนระบบสมการ จะได 2

x = 4y – 6 ---------- 1 และ x + 6 = 5(y + 6) ---------- 2 4) แกระบบสมการ จากสมการ 1 จะได x = 8y – 12 ---------- 3 แทน x ดวย 8y – 12 ในสมการ 2 จะได (8y – 12) + 6 = 5(y + 6) 8y – 6 = 5y + 30 3y = 36 y = 12 แทน y ดวย 12 ในสมการ 3 จะได

75

x = 8(12) – 12 = 84 5) ตรวจสอบคําตอบ ถาปจจุบันปูมีอายุ 84 ป และหลานอายุ 12 ป คร่ึงหนึ่งของอายุของปูเทากบั 2

84 = 42 ป ส่ีเทาของอายุของหลานลบออกเสีย 6 เทากับ 4 × 12 = 48 ป จะได 42 = 48 – 6 อีก 6 ปขางหนา ปูจะมีอาย ุ 84 + 6 = 90 ป และหลานจะมีอายุ 12 + 6 = 18 ป จะได 90 = 5 × 18 ซ่ึงเปนจริงตามเงื่อนไขในโจทย ดังนั้น ปจจุบันปูมีอายุ 84 ป