Distribución de Probabilidades

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO P. P. POPULAR DE LA EDUCACION SUPERIORINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”MATURIN-MONAGAS

Tutor:Ing. AMELIA MALAVE

Realizado Por: Henrry NavarroC.I.: V-10.308.539

Maturín, Julio de 2014

Distribución de Probabilidades

Es la que nos indica mediante una lista todos los resultados posibles de un experimento, junto con la probabilidad

correspondiente a cada uno de los resultados.

Tenemos 8 posibles

Resultados

Cuadro de Distribución de Probabilidades

xxx

cxx,xcx,xxc

ccx,cxc,xcc

ccc

Variables AleatoriasEs la cantidad que resulta de un experimento, puede

tomar distintos valor debido al azarSe Clasifican en:

DISCRETAS es aquella que sólo

puede tomar valores enteros

CONTINUASes aquella

que puede tomar todos los valores

posibles dentro de un cierto intervalo

Función de Probabilidad

Ejemplo:

Podemos obtener las frecuencias relativas de las calificaciones de un curso y disponerlas en una tabla:

La Función de Probabilidad es la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor particular:

Asignando un número a cada calificación, y sustituyendo el símbolo de frecuencia relativa por el de probabilidad:

Finalmente tenemos la distribución de probabilidad de la variable"calificación académica en la asignatura X". La distribución deprobabilidad de una variable aleatoria se define como el conjuntode valores de la variable acompañados de sus probabilidades.

Función de DistribuciónSea X una variable aleatoria discreta cuyos valores

suponemos ordenados de menor a mayor. Llamaremos función de distribución de la variable X,

y escribiremos F(x) a la función:F(x) = p(X ≤ x)

La función de distribución asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese

valor.

Ejemplo:

Si añadimos una nueva columna con las probabilidades acumuladas, tenemos la función de distribución de la v.a.

Mediana de una distribución de probabilidades

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana Datos Agrupados

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es

la puntuación central de la misma.2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me = 5

3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.7, 8, 9, 10, 11, 12Me = 9.5

Mediana de una distribución de probabilidades

Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando éstos están ordenados de menor a mayor.

La mediana se representa por Me.

La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.

Cálculo de la mediana para datos No Agrupados

La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias absolutas.Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre

Li es el límite inferior de la clase donde se encuentra la mediana.

es la semisuma de las frecuencias absolutas.

Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la clase mediana

ai es la amplitud de la clase.

La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos

Ejemplo:

fi Fi

[60, 63) 5 5

[63, 66) 18 23

[66, 69) 42 65

[69, 72) 27 92

[72, 75) 8 100

100

Calcular la mediana de una distribución estadística que viene dada por la siguiente tabla:

MediaLa media llamada también valor esperado,

esperanza matemática o simplemente esperanza de unadistribución de probabilidad discreta es la media aritméticaponderada de todos los resultados posibles en los cuales los pesosson las probabilidades respectivas de tales resultados. Se hallamultiplicando cada resultado posible por su probabilidad y sumandolos resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula:

VarianzaLa varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la

media. La varianza mide la dispersión de los resultados alrededor de la media y se hallacalculando las diferencias entre cada uno de los resultados y su media, luego talesdiferencias se elevan al cuadrado y se multiplican por sus respectivas probabilidades, yfinalmente se suman los resultados: es necesario calcular la desviación estándar que seexpresa en las mismas unidades que la variable aleatoria y que por lo tanto tiene unainterpretación más lógica de la dispersión de los resultados alrededor de la media.Se expresa mediante la siguiente fórmula:

Desviación EstándarVarianza

Distribución BinomialEsta distribución aparece de forma natural al realizarrepeticiones independientes de un experimento que tengarespuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o“fracaso”.

1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A(éxito) y su contrario2. La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba aotra. Se representa por p.3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultadosobtenidos anteriormente

n es el número de pruebas de que consta el experimento.

p es la probabilidad de éxito.

La probabilidad de es 1− p, y la representamos por q.

La distribución binomial se suele representar por B(n, p).

Ejemplo:Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan tres caras.

K=3 , n=4 , p=0.5 (50%), q=0.5(50%)

P(X=3)= 4 *0.53*(1-0.5)1

3*(4-3)

= 0.833 La probabilidad de que salgan 3 caras es de 83.33% de probabilidad que salgan 3 caras

Distribución HipergeometricaEn estadística, la distribución hipergeométrica es una delas distribuciones de probabilidad discreta. Estadistribución se utiliza para calcular la probabilidad de unaselección aleatoria de un objeto sin repetición. Aquí, eltamaño de la población es el número total de objetos enel experimento.

Su formula: Donde:

A continuación explicamos:

Ejemplo: En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Sesacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 seanblancas?Tenemos:N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4

Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es decir, la probabilidad de sacar 3 bolas blancas es del 35,3%

Distribución de PoissonLlamada así por su autor Siméon Denis Poisson, probabilista del siglo XIX,representa el número de éxitos independientes que ocurren para intervalosde medida específicos ( tiempos, lugares, espacios) , además con unaprobabilidad de ocurrencia pequeña. Se le llama también; distribución delos "eventos raros" pues se usa como aproximación a la binomial cuando eltamaño de muestra es grande y la proporción de éxitos es pequeña. Esosintervalos de medida pueden referirse a: Tiempo: (Segundo , minuto, hora,día, semana, etc.) Área: (Segmento de línea, pulgada cuadrada, Centímetrocuadrado, entre otras). Volumen:( Litro, galón, onza, entre otras.)

Su formula:

donde:p(x, l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el númeropromedio de ocurrencia de ellos es l

l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o

productoe = 2.718

x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que

ocurra

Ejemplo:

Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día,¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sinfondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera dedos días consecutivos?

a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que

llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.l = 6 cheques sin fondo por díae = 2.718

Es decir la probabilidad de Poisson es de 13.3% de recibir 4cheques sin fondo al día.

b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo quellegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco endos días consecutivosNota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra

forma, debe “hablar” de lo mismo que x.

Es decir la probabilidad de Poisson es de 32.9% de recibir 4cheques sin fondo en dos días consecutivos.

“Todos tomamos distintos caminos en la vida, pero no importa a dónde vayamos, tomamos un poco de cada quien.”---Tim McGraw