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ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Ecuación Ordinaria de la CircunferenciaDados las coordenadas del centro de la circunferencia C (h;k) y el radio "r" de la misma, podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".
Ejemplo:
Hallar la ecuación ORDINARIA de la circunferencia cuyo centro es C(2;6) y con radio r = 4
(x - 2)² + (y - 6)² = 4²
Ecuación Canónica de la CircunferenciaSean ahora las coordenadas del centro de la circunferencia C(0;0) y el radio "r", podemos utilizar la siguiente ecuación para determinar el valor de "y" correspondiente a un valor de "x".
Ejemplo:
Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el origen y con radio r = 3
x ² + y ² = 3²; X2 + Y 2 =9
Ecuación General de la CircunferenciaSi conocemos el centro y el radio de una circunferencia, podemos construir su ecuación ordinaria, y si operamos los cuadrados, obtenemos la forma general de la ecuación de la circunferencia, así:
Prueba:DEMOSTRACION
Ejemplo:
Hallar la ecuación general de la circunferencia con centro C(2;6) y radio r = 4
(x - 2)² + (y - 6)² = 4² ECUACION ORDINARIA
x² - 2(2x) + 2² + y² - 2(6y) + 6² = 4²
x² - 4x + 4 + y² - 12y + 36 = 16
x² + y² - 4x - 12y + 4 + 36 - 16 =0
x² + y² - 4x - 12y + 24 = 0
D = -4 , E = -12 , F = +24
Observaciones:
Dada la ecuación de la circunferencia x² + y² + Dx + Ey + F = 0 se cumple que:
x2 + y2 + Ax + By + C = 0 x² + y² + Dx + Ey + F = 0 Ejercicio: cálculo de la ecuación de una circunferencia Hallar la ecuación de la circunferencia centrada en el punto (5, -2) y de radio 3. Resolución: La distancia de X(x, y) al punto (5, -2) es
Para que el punto esté sobre la circunferencia se ha de verificar:
x2 - 10x + 25 + y2 + 4y + 4 = 9
x2 + y2 - 10x + 4y + 20 = 0 Calcular la ecuación de la circunferencia de centro (1, 1) y que contiene al punto (-2, 3). D=√(X 2−X 1)2+(Y 2−Y 1)2
Resolución:
Así la ecuación es:
x2 - 2x + 1 + y2 - 2y + 1 = 13 x2 + y2 - 2x - 2y - 11 = 0 Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto (3, 4) y es tangente a la recta x - 2y + 3 = 0
Resolución: El radio es la distancia del centro a una recta tangente:
La ecuación es:
x2 - 6x + 9 + y2 - 8y + 16 = 4/5
5x2 + 5y2 - 30x - 40y + 121 = 0 ¿Cuál es la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos (3, 2), (2, 4) y (-1, 1)? Resolución: La ecuación de una circunferencia cualquiera es de la forma x2 + y2 + Ax + By + C = 0 Para que dicha circunferencia contenga a todos los puntos dados, éstos han de verificar la ecuación:
Resolviendo este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas se obtiene:
Así, la ecuación pedida es:
Ecuaciones de la parábola
Sabemos que la geometría analítica estudia las formas o figuras geométricas basadas en ecuaciones y coordenadas definidas sobre un Plano Cartesiano.
Pues bien, una parábola es una forma geométrica.
Esta forma geométrica, la parábola, expresada como una ecuación, cuenta con una serie de elementos o parámetros que son básicos para su descripción, y son:
Vértice (V): Punto de la parábola que coincide con el eje focal (llamado también eje de simetría).
Eje focal (o de simetría) (ef): Línea recta que divide simétricamente a la parábola en dos brazos y pasa por el vértice.
Foco (F): Punto fijo de referencia, que no pertenece a la parábola y que se ubica en el eje focal al interior de los brazos de la misma y a una distancia p del vértice.
Directriz (d): Línea recta perpendicular al eje focal que se ubica a una distancia p del vértice y fuera de los brazos de la parábola.
Distancia focal (p): Parámetro que indica la magnitud de la distancia entre vértice y foco, así como entre vértice y directriz (ambas distancias son iguales).
Cuerda: Segmento de recta que une dos puntos cualesquiera, pertenecientes a la parábola.
Cuerda focal: Cuerda que pasa por el foco.
Lado recto (LR): Cuerda focal que es perpendicular al eje focal.
Para ilustrar las definiciones anteriores, veamos la siguiente gráfica de una parábola:
En el Plano Cartesiano una parábola puede tener su vértice en cualquier par de coordenadas y puede estar orientada hacia arriba, hacia abajo o hacia la izquierda o la derecha.
Ecuaciones de la parábola con vértice en el origen
Primeramente, estudiaremos la ecuación de la parábola para los casos en que su vértice esté en el origen (coordenadas (0, 0) del Plano Cartesiano), y según esto, tenemos cuatro posibilidades de ecuación y cada una es característica.
Para iniciar nuestra explicación empezaremos con la parábola cuyo vértice está en el origen, su eje focal o de simetría coincide con el eje de las X (abscisas) y que está orientada (se abre) hacia la derecha.
Por definición, sabemos que, en una parábola la distancia entre un punto “P” (no confundir con el “parámetro p”), cualquiera de coordenadas (x, y), y el foco “F” será igual a la distancia entre la directriz (D) y dicho punto, como vemos en la figura:
De lo anterior resulta:
(trazo PD igual al trazo PF)
El trazo PD nace en el punto (x, y) y termina en el punto (–p, y) y podemos usar la fórmula para calcular distancia entre dos puntos:
El trazo PF nace en el punto (x, y) y termina en el punto (p, 0), y también podemos
usar la fórmula para calcular la distancia entre ellos:
Sustituyendo en la expresión de distancias resulta:
Elevando ambos miembros de la ecuación al cuadrado y desarrollando, se tiene:
(x + p)2 = (x – p)2 + y2
x2 + 2px + p2 = x2 – 2px + p2 + y2
x2 + 2px + p2 – x2 + 2px – p2 = y2
Simplificando términos semejantes y reordenando la expresión, se obtiene:
y2 = 4pxque es ecuación de la parábola en su forma ordinaria o canónica.
Esta ecuación tiene leves variaciones según sea la orientación de la parábola (hacia donde se abre).
Veamos ahora las cuatro posibilidades:
Primera posibilidad
La que ya vimos, cuando la parábola se abre hacia la derecha (sentido positivo) en el eje de las abscisas “X”
Ecuación de la parábola y2 = 4px
Ecuación de la directriz x + p = 0
Segunda posibilidad
Cuando la parábola se abre hacia la izquierda (sentido negativo) del eje de las abscisas “X”.
Ecuación de la parábola y2 = –4px
Ecuación de la directriz x – p = 0
Tercera posibilidad
Cuando la parábola se abre hacia arriba (sentido positivo) en el eje de las ordenadas “Y” .
Ecuación de la parábola x2 = 4py
Ecuación de la directriz y + p = 0
Cuarta posibilidad
Cuando la parábola se abre hacia abajo (sentido negativo) en el eje de las ordenadas “Y”.
Ecuación de la parábola x2 = –4py
Ecuación de la directriz y – p = 0
Información importante:
El parámetro p (que marca la distancia focal) señala la distancia entre el foco y el vértice, que es igual a la distancia entre el vértice y la directriz.
Si en la ecuación de la parábola la incógnita x es la elevada al cuadrado, significa que la curvatura de la misma se abre hacia arriba o hacia abajo, dependiendo del signo del parámetro p.
Cuando el parámetro p es positivo, la parábola se abre “hacia arriba” y cuando es negativo se abre “hacia abajo”.
Ahora, si en la ecuación de la parábola la incógnita y es la elevada al cuadrado, la curvatura de la misma será hacia la derecha o hacia la izquierda. En este caso, cuando el parámetro p es positivo, la parábola se abre “hacia la derecha” y cuando es negativo se abre “hacia la izquierda”.
Longitud del lado recto (LR)
Tal como dedujimos la ecuación anterior, es posible deducir la ecuación que nos permita calcular la longitud del lado recto (cuerda que pasa por el foco, perpendicular al eje focal o de simetría):
No desarrollaremos el camino y sólo diremos, para recordar, que el lado recto es igual a 4p.
Ejemplo:
Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y que contiene al punto B(3, 4), además su eje de simetría (o eje focal) es paralelo al eje X.
Resolución:
El punto B (3, 4) nos indica que
X = 3
Y = 4
Sustituyendo las coordenadas del punto B en la ecuación
Entonces la ecuación será
Y el Foco estará en el punto 4/3, 0
Vemos que 4/3 corresponde al valor de p, y como la directriz está a la misma distancia de p respecto al vértice, pero hacia el lado contrario, entonces, la directriz será:
Una parábola es el conjunto de todos los puntos P en un plano que equidistan(Que están a la misma distancia) de un Punto fijo F(el foco) y una recta fija D(la directriz) que están en el plano.
El punto F se conoce como el foco de la parábola, y la recta D es su Directriz. En consecuencia, una parábola es el conjunto de puntos P Para los que:
d(F,d) = d(P,D)
La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco y de una recta fija llamada directriz.
El lugar geométrico de los puntos cuya relación de distancias a un punto y una recta fijos es constante, recibe el nombre de sección cónica o simplemente cónica, la cual resulta de la intersección de un cono (circular recto) y un plano. El punto fijo se llama foco de la cónica, la recta fija directriz y la relación constante excentricidad que, normalmente, se representa por la letra e. Las secciones cónicas se clasifican en tres categorías, según su forma y propiedades. Estas se establecen de acuerdo con los valores de la excentricidad e.
Si e < 1, la cónica se llama elipse. Si e = 1, la cónica se llama parábola. Si e > 1, la cónica se llama hipérbola.
Se llama parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. En otras palabras, la parábola es el conjunto de todos los puntos p del plano que están a la misma distancia de un punto fijo llamado foco (F) y de una recta fija llamada directriz (D).
La distancia entre el foco y la directriz de una parábola recibe el nombre de parámetro de la parábola "p".
La recta que pasa por el foco (F) y es perpendicular a la directriz (D), se denomina eje de simetría de la parábola. El punto de intersección de la parábola con su eje de simetría se llama vértice (V).
Lado RectoAl segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por el foco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.
La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.
Ecuación de la ParábolaCon despeje en Y:
En esta gráfica muestra como la parábola abre en el eje de las x, a causa de la y esta elevada al cuadrado, al ser signo positivo ó signo negativo la respuesta siempre va a dar positivo haciendo que la parábola abra para la derecha.
Parabola que abre en el eje de las x
Con despeje en X:
En esta gráfica muestra como la parábola abre en el eje de las y, a causa de que la x esta elevada al cuadrado, al ser signo positivo o signo negativo la respuesta siempre va a dar positivo haciendo que la parábola siempre abra para arriba.
Parabola que abre en el eje de las y
con foco en el eje X:
con foco en el eje Y:
Demostración:
La directriz es una recta vertical "d" de una ecuación lo igualamos a "0" y nos
queda
Dado un punto P(x,y) del plano, su distancia al foco es d(P,F)=
Ahora debemos igualar las ecuaciones:
elevando todo al cuadrado nos da
desarrollamos
luego eliminamos
Determinación de la ecuación de una parábola que cumple condiciones prescritas(a) Encuentra la ecuación de una parábola que tenga vértice en el origen, abra a la derecha y pase por el punto P(7, -3).
Una ecuación de una parábola con vértice en el origen que abre a la derecha es de forma para algún número . si P(7, -3) está en la gráfica, entonces podemos
sustituir 7 por y -3 por para encontrar :
, o bien, .
Por tanto, una ecuación de la parábola es .
(b) Halla el foco de la parábola.
El foco está a una distancia a la derecha del vértice. Como , tenemos:
.
Así, el foco tiene las coordenadas .
Ejemplo # 1
Encontrar el foco y la directriz de y dibujarla
Foco = Directriz
Ejemplo # 2
Parábola con vértice en (h,k)Si se desplaza una parábola con vértice en el origen h unidades de manera horizontal y luego k unidades de manera vertical, el resultado de esto es una parábola con vértice en (h,k) y eje de simetría paralelo a uno de los ejes coordenados.
Si consideramos una ecuación normal de una parábola (de la forma ) y sustituimos por y por , entonces:
se convierte en .
Ahora el vértice ya no se encuentra en si no que se encuentra corrido a .
Ejemplo # 3
tenemos la ecuación
VérticeFoco = Directriz
EJEMPLOS
Ecuación reducida de la parábola
Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Ecuación reducida de la parábola de eje vertical
Dada la parábola , calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Dada la parábola
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Ecuación de la parábola
Dada la parábola
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
Ecuación de la parábola de eje vertical
Dada la parábola
, calcular su vértice, su foco y la recta directriz.
