1. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera est diseado para cubrir las necesidades de un curso de uno o dos semestres de teora bsica, as como de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Esta nueva edicin incluye captulos relativos a problemas de valores propios y ecuaciones de Sturm-Liouville. Es un texto flexible que proporciona al profesor un amplio panorama para disear un temario del curso haciendo nfasis en teora, metodologa, aplicaciones y mtodos numricos.Cuarta edicin CAMBIOS EN ESTA EDICIN El tema de ecuaciones lineales de segundo orden, se centra ahora en las ecuaciones con coeficientes constantesNuevos proyectos de grupo Introduccin a los sistemas y al anlisis del plano faseNuevo tratamiento de los coeficientes indeterminadosEjercicios revisadosAplicaciones tempranas a los circuitos elctricosEl texto incluye un CD interactivo de ecuaciones diferencialesVistenos en: www.pearsoneducacion.netCuarta edicinCourseCompass es una plataforma para administracin de cursos en lnea que combina los contenidos de Pearson Educacin con la tecnologa de punta de Blackboard. Este libro incluye un curso precargado en CourseCompass, el cual puede personalizar para que se adapte mejor a su programa de clases. Para mayor informacin, revise el prefacio de este libro.

2. CAPITULO RESPUESTAS 20-3412/6/0810:50Pgina B-34http://libreria-universitaria.blogspot.com 3. FORROS NAGLE9/5/0813:58Pgina Bhttp://libreria-universitaria.blogspot.comTABLA BREVE DE INTEGRALES** Nota: Se debe aadir una constante arbitraria a cada frmula. 4. FORROS NAGLE9/5/0813:58Pgina Chttp://libreria-universitaria.blogspot.comTABLA BREVE DE INTEGRALES* (continuacin)si n es un entero positivo.ALGUNAS EXPANSIONES DE SERIES DE POTENCIA (series de Taylor)*Nota: Se debe aadir una constante arbitraria a cada frmula. 5. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina iiihttp://libreria-universitaria.blogspot.comECUACIONES DIFERENCIALES Y PROBLEMAS CON VALORES EN LA FRONTERA cuarta EdicinR. Kent Nagle University of South FloridaEdward B. Saff Vanderbilt UniversityArthur David Snider University of South FloridaTRADUCCIN:scar Alfredo Palmas Velazco Facultad de Ciencias Universidad Nacional Autonma de MxicoREVISIN TCNICA: Ernesto Filio Lpez Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniera y Tecnologas Avanzadas Instituto Politcnico Nacional Ma. Merced Arriaga Gutirrez Profesora del Departamento de Matemticas Universidad de Guadalajara Gerardo Tole Galvis Facultad de Ingeniera y Ciencias Bsicas Ponticia Universidad Javeriana, Bogot, Colombia Oswaldo Rodrguez Daz Universidad Autnoma de Occidente Cali, Colombia 6. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina vi 7. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina ivDatos de catalogacin bibliogrfica NAGLE, R. KENTEcuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera, 4a. ed. PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2005 ISBN: 970-26-0592-X rea: Universitarios Formato: 20 25.5 cmPginas: 816Authorized translation from the English language edition, entitled Fundamentals of differential equations & boundary value problems 4th ed., by R. R. Kent Nagle, Edward B. Saff and Arthur David Snider, published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, Copyright 2004. All rights reserved. ISBN 0-321-14571-2 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, titulada Fundamentals of differential equations & boundary value problems 4a ed., de R. R. Kent Nagle, Edward B. Saff y Arthur David Snider, publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright 2004. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol Editor: Enrique Quintanar Duarte e-mail: enrique.quintanar@pearsoned.com Editor de desarrollo: Jorge Bonilla Talavera Supervisor de produccin: Jos D. Hernndez Garduo Edicin en ingls: Publisher: Greg Tobin Managing Editor: Karen Guardino Acquisitions Editor: William Hoffman Project Editor: Rachel S. Reeve Production Supervisor: Cindy Cody Marketing Manager: Pamela Laskey Marketing Coordinator: Heather Peck Media Producer: Lynne Blaszak Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton Prepress Supervisor: Caroline Fell Media Buyer: Ginny Michaud Cover Designer: Barbara Atkinson Cover Illustration: George V. Kelvin Compositor: Nesbitt Graphics, Inc. CUARTA EDICIN, 2005 D.R. 2005 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco nm. 500 5 piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031 Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN 970-26-0592-X Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06 05 8. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina vDedicado a R. Kent Nagle l dej su huella no slo en estas pginas, sino en todos aquellos que lo conocieron. Era de esa rara clase de matemticos que podran comunicarse con eciencia a todos los niveles, impartiendo su amor por la materia con la misma facilidad a estudiantes de licenciatura, posgrado, bachillerato, maestros de escuelas pblicas y colegas en la Universidad del Sur de Florida. Kent vivi en paz, una paz emanada de la profundidad de su comprensin de la condicin humana y la fuerza de sus ideas acerca de las instituciones familiares, religiosas y educativas. Fue investigador, autor destacado, maestro de escuela elemental cada domingo, esposo y padre dedicado a su familia. Kent era tambin mi estimado amigo y compaero de ejercicio, se fue luchando por mantener el paso con sus altos ideales. E. B. Saff 9. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina viiPrefacioNUESTRO OBJETIVO Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera est diseado para cubrir las necesidades de un curso de uno o dos semestres de teora bsica, as como de aplicaciones de las ecuaciones diferenciales. Con este n, aumentamos nuestro breve texto anterior, incluyendo captulos relativos a problemas de valores propios y ecuaciones de Sturm-Liouville. Hemos tratado de crear un texto exible que proporcione al instructor un amplio panorama para disear un temario del curso (en este prefacio damos ejemplos de tales temarios), para el nfasis del curso (teora, metodologa, aplicaciones y mtodos numricos) y para usar el software comercial.INNOVACIONES PARA ESTA EDICIN En respuesta a las solicitudes de usuarios y revisores, y en reconocimiento de los recientes desarrollos en enseanza y aprendizaje, ofrecemos lo siguiente: Iniciacin guiada a las ecuaciones diferencialesEl captulo 4, Ecuaciones lineales de segundo orden, se centra ahora en las ecuaciones con coecientes constantes. Esta situacin predomina en las aplicaciones. Al restringir la primera exposicin al lector a una situacin en que las soluciones se pueden construir fcilmente, podemos exhibir de manera explcita casi todos los aspectos de la teora lineal. La visin general de esta teora, que aparece en el captulo 6 para quienes quieran aprenderla, es mucho ms fcil de comprender cuando el lector ha logrado dominar los clculos concretos en el caso de coecientes constantes. En el captulo 4 hemos mantenido una seccin cualitativa, la cual gua al lector para especular de manera inteligente sobre el comportamiento aproximado de tipos ms generales de ecuaciones (con coecientes variables y no lineales).vii 10. CAPITULO PRELIMINARES BUENASviii9/5/0813:52Pgina viiiPrefacioNuevo tratamiento de los coecientes indeterminadosAhora se introduce el mtodo de coecientes indeterminados en la seccin 4.4 para no-homogeneidades con un solo trmino, lo cual motiva mejor el mtodo y simplica el procedimiento. Los coecientes indeterminados se revisan en la seccin 4.5, donde se amplan a la suma de trminos no homogneos por medio del principio de superposicin. En la guarda posterior de este texto se reproduce un bosquejo simplicado del procedimiento.Aplicaciones tempranas a los circuitos elctricosLas ecuaciones diferenciales que describen a circuitos RL y RC sencillos son de primer orden, de modo que esta aplicacin se introduce ahora en el captulo 3. El anlisis de circuitos RLC ms complejos permanece en el captulo 5. Un nuevo proyecto al nal del captulo 3 describe el amplicador operacional ideal y muestra cmo un pequeo razonamiento fsico permite a los ingenieros tratar un comportamiento no lineal sin dolor.Nuevos proyectos de grupoAl nal de los captulos adecuados aparecen nuevos proyectos que modelan la oferta y la demanda, el crecimiento de tumores y los amplicadores operacionales (ya mencionados).Introduccin a los sistemas y al anlisis del plano fase: Captulo 5Este captulo ha sido reorganizado para dotar rpidamente al lector de la capacidad para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales mediante el mtodo de eliminacin. Los mtodos numricos se introducen antes de las descripciones del plano fase y los sistemas dinmicos, lo que facilita la comprensin y anima a realizar experimentos computacionales relativos a estos temas.Ejercicios revisadosPara conveniencia de los profesores, algunos de los ejercicios bsicos para construir habilidades han sido modicados (para cambiar las respuestas anteriores obsoletas) y se ha agregado una seleccin de ejercicios con un grado mayor de desafo.PRERREQUISITOS Aunque en algunas universidades el curso de lgebra lineal es un prerrequisito para el curso de ecuaciones diferenciales, muchas escuelas (en especial las de Ingeniera) slo usan el clculo. Con esto en mente, hemos diseado el texto de modo que slo el captulo 6 (Teora de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior) y el captulo 9 (Mtodos matriciales para sistemas lineales) requieran algo ms que el lgebra lineal de bachillerato. Adems, el captulo 9 contiene secciones de repaso sobre matrices y vectores, as como referencias especcas para los resultados ms profundos de la teora del lgebra lineal que se utilizan en esta obra. Tambin escribimos el captulo 5 para dar una introduccin a los sistemas de ecuaciones diferenciales, incluyendo los mtodos de solucin, anlisis de plano fase, aplicaciones, procedimientos numricos y transformaciones de Poincar, que no requieren fundamentos de lgebra lineal.EJEMPLOS DE TEMARIOS Como una gua en bruto para el diseo de un curso en dos semestres que est relacionado con este texto, damos dos ejemplos que pueden servir para una serie de dos cursos de 15 semanas cada uno, con tres horas de clase por semana: el primero enfatiza las aplicaciones y los clculos junto con el anlisis del plano fase; el segundo est diseado para cursos que enfatizan la teora. Como en el texto ms breve, los captulos 1, 2 y 4 son el ncleo del curso del primer semestre. El resto de los captulos es, en su mayor parte, independiente de lo dems. Para los estudiantes que tienen conocimientos de lgebra lineal, el instructor podra reemplazar el captulo 7 (Transformadas de Laplace) o el captulo 8 (Soluciones de ecuaciones diferenciales mediante series) por secciones del captulo 9 (Mtodos matriciales para sistemas lineales). 11. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina ixixPrefacioPrimer semestreMtodos, clculos y aplicacionesTeora de mtodosSegundo semestreAmbos cursosSemanaSeccionesSeccionesSemanaSecciones1.1,1.2,1.3 1.4, 2.2 2.3, 2.4, 3.2 3.4, 3.5, 3.6 3.7, 4.1 4.2, 4.3 4.4, 4.5, 4.6 4.7, 4.8, 4.9 5.1, 5.2, 5.3 5.4, 5.5, 5.6 6.1, 6.2 6.3, 7.2, 7.3 7.4, 7.5, 7.6 7.7, 8.1, 8.2 8.3, 8.41.1,1.2,1.3 1.4, 2.2, 2.3 2.4, 2.5 2.6, 3.2, 3.4 4.2, 4.3 4.4, 4.5, 4.6 4.7, 5.1, 5.2 5.3, 5.4 5.5, 6.1 6.2, 6.3, 6.4 7.2, 7.3, 7.4 7.5, 7.6 7.7, 8.1 8.2, 8.3, 8.4 8.5, 8.61 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151.1, 1.2, 1.3 1.4, 2.2 2.3, 2.4 3.2, 3.4 4.2, 4.3 4.4, 4.5, 4.6 4.7, 5.1, 5.2 7.1, 7.2, 7.3 7.4, 7.5 7.6, 7.7 7.8, 8.2 8.3, 8.5, 8.6 10.2, 10.3 10.4, 10.5 10.6, 10.71 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15CARACTERSTICAS NICAS DE ESTA OBRA Organizacin exibleLa mayor parte del material tiene una naturaleza modular que permite diversas conguraciones y nfasis en el curso (teora, aplicaciones, tcnicas o conceptos).Uso opcional de softwareLa disponibilidad de paquetes de cmputo como MATHCAD, MATHEMATICA, MATLAB y MAPLE proporciona una oportunidad para que el estudiante realice experimentos numricos y enfrente aplicaciones realistas que proporcionen una mejor idea de la materia. En consecuencia, hemos insertado varios ejercicios y proyectos en todo el texto, diseados para que el estudiante utilice el software disponible en el anlisis del plano fase, el clculo de valores propios y las soluciones numricas de varias ecuaciones.Eleccin de aplicacionesDebido a las restricciones de tiempo, es posible que en ciertos cursos no se aborden las secciones que tratan casi exclusivamente de aplicaciones (como las de los captulos 3 y 5). Por tanto, hemos logrado que las secciones de estos captulos sean casi completamente independientes entre s. Para que el profesor tenga ms exibilidad, hemos incorporado varias aplicaciones en los ejercicios de las secciones tericas. Adems, hemos incluido muchos proyectos que trabajan con tales aplicaciones.Proyectos de grupoAl nal de cada captulo aparecen los proyectos de grupo que estn relacionados con el material del captulo. Un proyecto puede implicar una aplicacin ms desaante, profundizar en la teora, o presentar temas ms avanzados de ecuaciones diferenciales. Aunque estos proyectos pueden ser enfrentados por los estudiantes en forma individual, su utilizacin en el saln de clase ha mostrado que el trabajo en grupo le otorga una mayor dimensin a la experiencia de aprendizaje. De hecho, simula la interaccin que tendr lugar en el terreno profesional. 12. CAPITULO PRELIMINARES BUENASx9/5/0813:52Pgina xPrefacioEjercicios de escritura tcnicaLa habilidad de comunicacin es, por supuesto, un aspecto esencial de las actividades profesionales. An as, pocos textos proporcionan la oportunidad para que el lector desarrolle tal habilidad. Es por ello que hemos agregado al nal de la mayor parte de los captulos un conjunto de ejercicios de escritura tcnica, claramente identicados, que invitan al estudiante a crear respuestas documentadas a preguntas que estn relacionadas con los conceptos del captulo. Al hacer esto, se pide a los estudiantes que comparen varios mtodos y presenten ejemplos que apoyen su anlisis.Notas histricasEn todo el texto aparecen notas histricas que se identican con dagas (). Estas notas al pie proporcionan por lo general el nombre de la persona que desarroll la tcnica, la fecha y el contexto de la investigacin original.Problemas de motivacinLa mayor parte de los captulos inicia con el anlisis de un problema de la fsica o la ingeniera que motiva al tema que se presenta, se incluye adems la metodologa.Resumen del captulo y problemas de repasoTodos los captulos principales contienen un conjunto de problemas de repaso, junto con un resumen de los principales conceptos que se presentan.Grcos por computadoraLa mayor parte de las guras del texto fueron generadas mediante una computadora. Los grcos por computadora no slo garantizan una mayor precisin en las ilustraciones, sino que demuestran el uso de la experimentacin numrica en el estudio del comportamiento de las soluciones.DemostracionesAunque los estudiantes ms pragmticos podran eludir las demostraciones, la mayora de los profesores consideran a estas justicaciones como un ingrediente esencial en un libro de texto de ecuaciones diferenciales. Como en cualquier otro texto de este nivel, hay que omitir algunos detalles de las demostraciones. Cuando esto ocurre, sealamos el hecho y hacemos referencia a un problema en los ejercicios o a otro texto. Por conveniencia, el nal de una demostracin se seala mediante el smbolo .Teora linealHemos desarrollado la teora de ecuaciones diferenciales lineales en forma gradual. En el captulo 4 (Ecuaciones lineales de segundo orden) presentamos la teora bsica para las ecuaciones lineales de segundo orden y analizamos varias tcnicas para resolver tales ecuaciones. Las ecuaciones de orden superior se mencionan brevemente en este captulo. En el captulo 6 (Teora de ecuaciones diferenciales lineales de orden superior) se da un anlisis ms detallado de las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior. Para un primer curso que enfatice los mtodos de solucin, basta la presentacin del captulo 4 y se puede omitir el captulo 6.Algoritmos numricosSe presentan varios mtodos numricos para aproximar las soluciones de ecuaciones diferenciales, junto con bosquejos de programas que se pueden ejecutar con facilidad en una computadora. Estos mtodos se presentan de manera temprana en el texto, de modo que los maestros y los estudiantes puedan usarlos para la experimentacin numrica y para enfrentar aplicaciones complejas. La mayor parte de los algoritmos analizados se implantan en el sitio en Internet para este texto.EjerciciosLos ejercicios son abundantes, con diferentes grados de dicultad, desde los problemas rutinarios ms directos, hasta los ms desaantes. Algunas preguntas tericas ms profundas, junto con aplicaciones aparecen por lo general en la parte nal de los conjuntos de ejercicios. En todo el texto hemos incluido problemas y proyectos que requieren una calculadora o una computadora. Estos ejercicios se indican mediante el smbolo !. El software del sitio en 13. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina xiPrefacioxiInternet especialmente diseado para su uso con este texto facilita la solucin de estos problemas numricos. Secciones opcionalesEstas secciones se pueden omitir sin afectar el desarrollo lgico del material. Estn sealadas con un asterisco en la tabla de contenido. Como hemos dicho, las secciones de los captulos 3 y 5 son completamente independientes entre s.Transformadas de LaplaceProporcionamos un captulo detallado sobre transformadas de Laplace (captulo 7), pues ste es un tema recurrente para los ingenieros. Nuestro tratamiento enfatiza los trminos de forzamiento discontinuo e incluye una seccin sobre la funcin delta de Dirac.Series de potenciasLas soluciones en serie de potencias son un tema que en ciertas ocasiones causa ansiedad a los estudiantes. Es probable que esto se deba a una preparacin inadecuada en el clculo, donde el sutil tema de las series convergentes se estudia (con frecuencia) rpidamente. Nuestra solucin consiste en proporcionar una introduccin suave y atractiva a la teora de soluciones en serie de potencias, con una exposicin de las aproximaciones a las soluciones mediante polinomios de Taylor, posponiendo los aspectos sosticados de la convergencia para secciones posteriores. A diferencia de muchos textos, el nuestro proporciona una amplia seccin sobre el mtodo de Frobenius (Seccin 8.6), as como una seccin sobre la determinacin de una solucin linealmente independiente. Aunque hemos dedicado un espacio considerable a las soluciones mediante series de potencias, tambin hemos tenido cuidado en adecuarnos al profesor que slo desea dar una introduccin bsica del tema. Puede lograrse una introduccin al tema de solucin de ecuaciones diferenciales mediante series de potencias y el mtodo de Frobenius abarcado los materiales de las secciones 8.1, 8.2, 8.3 y 8.6.Ecuaciones diferenciales parcialesSe proporciona una introduccin a este tema en el captulo 10, abarcando el mtodo de separacin de variables, series de Fourier, la ecuacin del calor, la ecuacin de onda y la ecuacin de Laplace. Se incluyen ejemplos en dos y tres dimensiones.Plano fase El captulo 5 describe la forma en que puede obtenerse informacin cualitativa para las solu-ciones a sistemas de dos dimensiones con ecuaciones autnomas intratables, observando sus campos de direcciones y los puntos crticos en el plano fase. Con la ayuda del software adecuado, este punto de vista proporciona una alternativa refrescante, casi recreativa, a la metodologa tradicional analtica al analizar las aplicaciones a la mecnica no lineal, las ecuaciones no lineales y la epidemiologa. VibracionesSe proporciona una motivacin para el captulo 4, sobre ecuaciones diferenciales lineales, mediante una seccin introductoria que describe el oscilador masa-resorte. Aprovechamos la familiaridad del lector con los movimientos vibratorios comunes para anticipar la exposicin de los aspectos tericos y analticos de las ecuaciones lineales. Este modelo no slo proporciona una base para el discurso sobre las ecuaciones con coecientes constantes, sino que tambin una interpretacin libre de sus caractersticas nos permite predecir el comportamiento cualitativo de las ecuaciones con coecientes variables o no lineales.Repaso de las ecuaciones algebraicas lineales y las matricesEl captulo sobre mtodos matriciales para los sistemas lineales (captulo 9) comienza con dos secciones introductorias (opcionales) que repasan la teora de los sistemas algebraicos lineales y el lgebra matricial. 14. CAPITULO PRELIMINARES BUENASxii9/5/0813:52Pgina xiiPrefacioSUPLEMENTOS Gua de recursos para el instructor (para la edicin en ingls de esta obra)Contiene respuestas cortas de todos los ejercicios y proyectos de grupo adicionales. ISBN 0-321-17318-XCD-ROM interactivo de ecuaciones diferenciales (para esta edicin en espaol)Por Beverly West (Universidad de Cornell), Steven Strogatz (Universidad de Cornell), Jean Marie McDill (California State Polytechnic University-San Luis Obispo), John Cantwell (Universidad de San Luis) y Hubert Hohn (Massachussetts College of Art). Versin revisada de un popular software directamente ligado al texto. Se centra en la ayuda a los estudiantes para visualizar conceptos. Se extraen aplicaciones de ingeniera, fsica, qumica y biologa. Se puede utilizar en ambientes Windows o Macintosh y se incluye gratuitamente en cada ejemplar.Gua del instructor basada en MAPLE (para la edicin en ingls de esta obra)Por Kenneth Pothoven (Universidad del Sur de Florida). Una coleccin de hojas de trabajo y proyectos de MAPLE para ayudar a los profesores a integrar MAPLE a sus cursos. Tambin disponible mediante nuestro sitio en Internet. ISBN 0-321-17320-1CourseCompassCourseCompass es una plataforma para administracin de cursos en lnea que combina los contenidos de Pearson Educacin con la tecnologa de punta de Blackboard (R). CourseCompass proporciona a los estudiantes y los profesores un punto central de acceso a los recursos multimedia disponibles para el libro de texto. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera incluye un curso precargado en CourseCompass, el cual usted puede personalizar para que se adapte mejor a su programa de clases. Para mayor informacin, visite nuestro sitio Web en www.coursecompass.com o contacte a su representante de ventas de Pearson Educacin 15. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina xiiiPrefacioxiiiAGRADECIMIENTOS La aparicin en escena de este libro implic una actividad considerable tras bambalinas. Primero queremos agradecer a las personas que contribuyeron con nuevos proyectos (crecimiento de tumores) y ejercicios (entrega del Tecnecio) para la nueva edicin: Glenn Webb (Universidad Vanderbilt) y Wilfredo Coln (Moftt Cancer Center, Universidad del Sur de Florida). Damos una nota especial de gratitud a Alar Toomre (Massachusetts Institute of Technology), quien no slo proporcion dos proyectos de grupo y una amplia gama de nuevos problemas desaantes, sino que tambin gener el grco que aparece en la pgina 278. Queremos agradecer a Frank Glaser (California State Polytechnic University, Pomona) por muchas de las notas histricas. Tambin estamos en deuda con Herbert E. Rauch (Lockheed Research Laboratory) por su ayuda en la seccin 3.3 sobre calentamiento y enfriamiento de edicios, el proyecto A del captulo 3 sobre acuacultura y otros problemas de aplicacin. Nuestro agradecimiento a Richard H. Elderkin (Pomona Collage), Jerrold Marsden (Universidad de California, Berkeley), T. G. Proctor (Universidad de Clemson) y Philip W. Schaefer (Universidad de Tennessee), quienes leyeron y volvieron a leer el manuscrito del texto original, haciendo numerosas sugerencias que mejoraron en gran medida este libro. Tambin estamos en deuda con todas las personas que revisaron el manuscrito de esta nueva edicin: Amin Boumenir, Universidad del Oeste de Georgia Karen Clark, Colegio de Nueva Jersey Patrick Dowling, Universidad de Miami Sanford Geraci, Northern Virginia Community Collage Scott Gordon, Universidad Estatal del Oeste de Georgia Bonita Lawrence, Universidad Marshall Richard Rubin, Universidad Internacional de Florida Shu-Yi Tu, Universidad de Michigan, Flint E. B. Saff, A. D. Snider E. B. Saff, A. D. Snider 16. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina xiv 17. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina xvContenido1Fundamentos11.2Soluciones y problemas con valores iniciales61.3Campos de direcciones161.41INTRODUCCIN 1.1CaptuloEl mtodo de aproximacin de Euler24Resumen del captulo30Ejercicios de escritura tcnica30Proyectos de grupo para el captulo 131A. Mtodo de series de Taylor31B. Mtodo de Picard32C. Dipolo magntico33D. La recta fase34ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN372.1Introduccin: movimiento de un cuerpo en cada372.2Captulo 2Ecuaciones separables40*Denota secciones opcionales que pueden omitirse sin comprometer el ujo lgico.xv 18. CAPITULO PRELIMINARES BUENASxvi9/5/0813:52Pgina xviContenido2.3Ecuaciones lineales492.4Ecuaciones exactas58*2.5Factores integrantes especiales68*2.6Sustituciones y transformaciones72Resumen del captulo81Problemas de repaso82Ejercicios de escritura tcnica82Proyectos de grupo para el captulo 283A. Ley de Torricelli para el ujo de uidos B. El problema de la barredora de nieve84C. Dos barredoras de nieve84D. Ecuaciones de Clairaut y soluciones singulares85E. Comportamiento asinttico de soluciones de ecuaciones linealesCaptulo 38486MODELOS MATEMTICOS Y MTODOS NUMRICOS QUE IMPLICAN ECUACIONES DE PRIMER ORDEN873.1Modelacin matemtica873.2Anlisis por compartimentos893.3Calentamiento y enfriamiento de edicios1013.4Mecnica de Newton1083.5Circuitos elctricos1183.6Mtodo de Euler mejorado1223.7Mtodos numricos de orden superior: Taylor y Runge-Kutta133Proyectos de grupo para el captulo 3143A. Acuacultura143B. Curva de persecucin144C. Control de una aeronave en un viento cruzado145 19. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina xviiContenidoxviiD. Retroalimentacin y el amplicador operacional E. Controles bang-bang147F. Precio, oferta y demanda148G. Estabilidad de mtodos numricos149H. Duplicacin de periodo y caosCaptulo 4146150ECUACIONES LINEALES DE SEGUNDO ORDEN1524.1Introduccin: El oscilador masa-resorte1524.2Ecuaciones lineales homogneas: La solucin general1584.3Ecuaciones auxiliares con races complejas1674.4Ecuaciones no homogneas: El mtodo de coecientes indeterminados177El principio de superposicin y revisin de los coecientes indeterminados1844.6Variacin de parmetros1924.7Consideraciones cualitativas para ecuaciones con coecientes variables y ecuaciones no lineales196Una mirada de cerca a las vibraciones mecnicas libres208Una mirada de cerca a las vibraciones mecnicas forzadas2184.54.8 4.9Resumen del captulo226Problemas de repaso228Ejercicios de escritura tcnica229Proyectos de grupo para el captulo 4230A. Coecientes indeterminados y aritmtica compleja230B. Una alternativa al mtodo de coecientes indeterminados231C. Mtodo de convolucin232D. Linealizacin de problemas no lineales233 20. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina xviiihttp://libreria-universitaria.blogspot.com xviiiContenidoE. Ecuaciones no lineales que pueden resolverse mediante tcnicas de primer orden F. Reingreso del Apolo235G. Pndulo simple236H. Comportamiento asinttico de las solucionesCaptulo 5234237INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS Y EL ANLISIS DEL PLANO FASE2395.1Tanques interconectados2395.2Mtodo de eliminacin para sistemas con coecientes constantes241mtodos numricos para sistemas y ecuaciones de orden superior2515.4Introduccin al plano fase2625.5Sistemas acoplados masa-resorte2775.6Circuitos elctricos2845.7Sistemas dinmicos, transformaciones de Poincar y caos2905.3Resumen del captulo301Problemas de repaso302Proyectos de grupo para el captulo 5304A. El crecimiento de un tumor304B. Diseo de un sistema de aterrizaje para un viaje interplanetario306C. Objetos que otan307D. Soluciones peridicas de los sistemas de Volterra-Lotka309E. Sistemas hamiltonianos310F. Comportamiento extrao de especies en competencia. Parte I312G. Limpieza de los Grandes Lagos313 21. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina xixContenidoxixTEORA DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE ORDEN SUPERIOR3166.1Teora bsica de las ecuaciones diferenciales lineales3166.2Ecuaciones lineales homogneas con coecientes constantes3256.3Coecientes indeterminados y el mtodo del anulador3326.4Captulo 6Mtodo de variacin de parmetros338Resumen del captulo342Problemas de repaso344Ejercicios de escritura tcnica344Proyectos de grupo para el captulo 6345A. Justicacin del mtodo de coecientes indeterminados B. Vibraciones transversales de una vigaCaptulo 7345 345TRANSFORMADAS DE LAPLACE3477.1Introduccin: un problema de mezclas3477.2Denicin de la transformada de Laplace3517.3Propiedades de la transformada de Laplace3607.4Transformadas inversas de Laplace3667.5Solucin de problemas con valores iniciales3767.6Transformadas de funciones discontinuas y peridicas384*7.7Convolucin398*7.8Impulsos y la funcin delta de Dirac407*7.9Solucin de sistemas lineales mediante transformadas de Laplace414Resumen del captulo417Problemas de repaso418Ejercicios de escritura tcnica419 22. CAPITULO PRELIMINARES BUENASxx9/5/0813:52Pgina xxContenidoProyectos de grupo para el captulo 7421A. Frmulas de Duhamel B. Modelacin mediante la respuesta de frecuencia422C. Determinacin de los parmetros del sistemaCaptulo 8421424SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES MEDIANTE SERIES4258.1Introduccin: la aproximacin polinomial de Taylor4258.2Series de potencias y funciones analticas4318.3Soluciones de ecuaciones diferenciales lineales mediante series de potencias440Ecuaciones con coecientes analticos451Revisin de las ecuaciones de Cauchy-Euler (equidimensionales)4578.6Mtodo de Frobenius4618.7Determinacin de una segunda solucin linealmente independiente473Funciones especiales4838.4 *8.58.8Resumen del captulo496Problemas de repaso497Ejercicios de escritura tcnica498Proyectos de grupo para el captulo 8499A. Soluciones con simetra esfrica de la ecuacin de Schrdinger para el tomo de hidrgeno499B. Ecuacin de Airy500C. Flexin de una torre500D. Resortes vencidos y funciones de Bessel501 23. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina xxiContenidoxxiMTODOS MATRICIALES PARA SISTEMAS LINEALES5039.1Introduccin5039.2Repaso 1: ecuaciones algebraicas lineales5089.3Repaso 2: matrices y vectores5129.4Sistemas lineales en forma normal5249.5Sistemas lineales homogneos con coecientes constantes5339.6Valores propios complejos5459.7Sistemas lineales no homogneos5519.8Captulo 9La funcin exponencial matricial558Resumen del captulo Problemas de repaso570Ejercicios de escritura tcnica571Proyectos de grupo para el captulo 9572A. Sistemas normales desacoplados572B. Mtodo de la transformada de Laplace matricial572C. Sistemas de segundo orden no amortiguados574D. Comportamiento extrao de especies en competencia. Parte IICaptulo 10567575ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES57610.1 Introduccin: un modelo para el ujo de calor57610.2 Mtodo de separacin de variables57910.3 Series de Fourier589 24. CAPITULO PRELIMINARES BUENASxxii9/5/0813:52Pgina xxiiContenido10.4 Series de senos y cosenos de Fourier60710.5 La ecuacin del calor61210.6 La ecuacin de onda62510.7 Ecuacin de Laplace638Resumen del captulo651Ejercicios de escritura tcnica653Proyectos de grupo para el captulo 10654A. Distribucin estacionaria de temperatura en un cilindro circular B. Una solucin de la ecuacin de onda mediante transformada de Laplace655C. Funcin de Green656D. Mtodo numrico para u f en un rectnguloCaptulo 11654658PROBLEMAS DE VALORES PROPIOS Y ECUACIONES DE STURM-LIOUVILLE66111.1 Introduccin: ujo de calor en un alambre no uniforme66111.2 Valores propios y funciones propias66311.3 Problemas regulares de Sturm-Liouville con valores en la frontera67211.4 Problemas no homogneos con valores en la frontera y la alternativa de Fredholm78411.5 Solucin mediante un desarrollo con funciones propias69311.6 Funciones de Green69911.7 Problemas singulares de Sturm-Liouville con valores en la frontera70811.8 Oscilacin y teora de comparacin717Resumen del captulo726Problemas de repaso729 25. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina xxiiiContenidoxxiiiEjercicios de escritura tcnica730Proyectos de grupo para el captulo 11731A. Polinomios de Hermite y el oscilador armnico731B. Espectros continuos y mixtos731C. Teorema de comparacin de Picone732D. Mtodo de tiro733E. Mtodo de diferencias nitas para problemas con valores en la frontera734APNDICESA-1A. Mtodo de NewtonA-1B. Regla de SimpsonA-3C. Regla de CramerA-5D. Mtodo de mnimos cuadradosA-6E. Procedimiento de Runge-Kutta para n ecuacionesA-9RESPUESTAS A LOS PROBLEMAS IMPARESB-1NDICEI-1 26. CAPITULO PRELIMINARES BUENAS9/5/0813:52Pgina xxiv 27. CAPTULO1IntroduccinFUNDAMENTOS En las ciencias y la ingeniera se desarrollan modelos matemticos para comprender mejor los fenmenos fsicos. Con frecuencia, estos modelos producen una ecuacin que contiene algunas derivadas de una funcin incgnita. Esta ecuacin es una ecuacin diferencial. Dos ejemplos de modelos que se desarrollan en clculo son la cada libre de un cuerpo y el decaimiento de una sustancia radiactiva. En el caso de la cada libre, un objeto se libera desde una altura determinada (por encima del nivel del suelo) y cae bajo la fuerza de la gravedad. Podemos aplicar al objeto que cae la segunda ley de Newton, la cual establece que la masa de un objeto por su aceleracin es igual a la fuerza total que acta sobre l. Esto lleva a la ecuacin (vase la gura 1.1)donde m es la masa del objeto, h es la altura sobre el suelo, d2h dt2 es su aceleracin, g es la aceleracin gravitacional (constante) y mg es la fuerza debida a la gravedad. sta es una ecuacin diferencial que contiene la segunda derivada de la altura desconocida h como funcin del tiempo. /21.1Figura 1.1 Manzana en cada libre En este caso suponemos que la gravedad es la nica fuerza que acta sobre el objeto, y que esta fuerza es constante. Otros modelos ms generales considerarn otras fuerzas, como la resistencia del aire.1 28. Captulo 1IntroduccinPor fortuna, es fcil resolver la ecuacin anterior en trminos de h. Basta dividir entre m e integrar dos veces con respecto de t. Es decir,de modo queyVeremos que las constantes de integracin c1 y c2 quedan determinadas si conocemos la altura inicial y la velocidad inicial del objeto. As, tenemos una frmula para la altura del objeto en el instante t. En el caso del decaimiento radiactivo (gura 1.2), partimos de la siguiente premisa: la razn de decaimiento es proporcional a la cantidad de sustancia radiactiva presente. Esto conduce a la ecuacindonde A ( 0) es la cantidad desconocida de sustancia radiactiva que est presente en el instante t y k es la constante de proporcionalidad. Para resolver esta ecuacin diferencial, la escribimos en la forma.2e integramos para obtenerAl despejar A obtenemosFigura 1.2 Decaimiento radiactivo 29. Seccin 1.1Fundamentos3donde C es la combinacin de constantes de integracin eC2 C1. El valor de C, como veremos ms adelante, queda determinado si se tiene la cantidad inicial de sustancia radiactiva. Entonces tenemos una frmula para la cantidad de sustancia radiactiva en cualquier instante futuro t. Aunque los ejemplos anteriores se resolvieron fcilmente mediante mtodos del clculo, nos dan poca idea del estudio de las ecuaciones diferenciales en general. En primer lugar, obsrvese que la solucin de una ecuacin diferencial es una funcin, como h(t) o A(t), no slo un nmero. En segundo lugar, la integracin es una herramienta importante para resolver ecuaciones diferenciales (lo cual no es sorprendente!). En tercer lugar, no podemos esperar obtener una nica solucin a una ecuacin diferencial pues hay unas constantes de integracin arbitrarias. La segunda derivada d2h dt2 en la ecuacin de cada libre da lugar a dos constantes, c1 y c2 y la primera derivada en la ecuacin de decaimiento da lugar, en ltima instancia, a una constante C. Siempre que un modelo matemtico implique la razn de cambio de una variable con respecto de otra, es probable que aparezca una ecuacin diferencial. Por desgracia, en contraste con los ejemplos de la cada libre y el decaimiento radiactivo, la ecuacin diferencial puede ser muy compleja y difcil de analizar. Las ecuaciones diferenciales surgen en una amplia gama de reas, no slo en las ciencias fsicas, sino tambin en campos tan diversos como la economa, la medicina, la psicologa y la investigacin de operaciones. Ahora enumeraremos unos cuantos ejemplos especcos.2/1. Una aplicacin clsica de las ecuaciones diferenciales aparece en el estudio de un circuito elctrico formado por un resistor, un inductor y un capacitor que son excitados por una fuerza electromotriz (vase la gura 1.3). En este caso, al aplicar las leyes de Kirchhoff obtenemos la ecuacin (1) donde L es la inductancia, R es la resistencia, C es la capacitancia, E(t) es la fuerza electromotriz, q(t) es la carga en el capacitor y t es el tiempo.Figura 1.3 Diagrama de un circuito RLC en serie2. En el estudio del equilibrio gravitacional de una estrella, una aplicacin de la ley de gravitacin de Newton y la ley de Stefan-Boltzmann para los gases conduce a la ecuacin de equilibrio (2) donde P es la suma de la presin cintica del gas y la presin por radiacin, r es la Analizaremos las leyes de Kirchhoff en la seccin 3.5. 30. http://libreria-universitaria.blogspot.com Captulo 1Introduccindistancia desde el centro de la estrella, es la densidad de la materia y G es la constante de gravitacin. 3. En psicologa, un modelo del aprendizaje de una tarea implica la ecuacin (3) En este caso, la variable y representa el nivel de habilidad del estudiante como funcin del tiempo t. Las constantes p y n dependen del individuo y la naturaleza de la tarea. 4. En el estudio de las cuerdas vibrantes y la propagacin de ondas, encontramos la ecuacin diferencial parcial (4) donde t representa el tiempo, x la posicin a lo largo de la cuerda, c la rapidez de la onda y u el desplazamiento de la cuerda, que es una funcin del tiempo y la posicin. Para comenzar nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales necesitamos cierta terminologa comn. Si una ecuacin implica la derivada de una variable con respecto de otra, entonces la primera se llama una variable dependiente y la segunda una variable independiente. As, en la ecuacint es la variable independiente y x es la variable dependiente. Nos referimos a a y k como coecientes en la ecuacin (5). En la ecuacinx y y son variables independientes y u es una variable dependiente. Una ecuacin diferencial que slo implica derivadas ordinarias con respecto de una sola variable independiente es una ecuacin diferencial ordinaria. Una ecuacin diferencial que implica derivadas parciales con respecto de ms de una variable independiente es una ecuacin diferencial parcial. La ecuacin (5) es una ecuacin diferencial ordinaria y la ecuacin (6) es una ecuacin diferencial parcial. El orden de una ecuacin diferencial es el orden de las derivadas de orden mximo que aparecen en la ecuacin. La ecuacin (5) es una ecuacin de segundo orden, pues d2x dt2 es la derivada de mximo orden que aparece en la ecuacin. La ecuacin (6) es una ecuacin de primer orden, pues slo contiene derivadas parciales de primer orden. Ser til clasicar las ecuaciones diferenciales ordinarias como lineales y no lineales. Recuerde que las rectas (en dos dimensiones) y los planos (en tres dimensiones) son particularmente fciles de visualizar, en comparacin con objetos no lineales como las curvas cbicas o las supercies cudricas. Por ejemplo, podemos determinar todos los puntos de una recta si slo conocemos dos de ellos. En correspondencia, las ecuaciones diferenciales li/4Nota histrica: Jean le Rond dAlembert (1717-1783) descubri por primera vez esta ecuacin diferencial parcial en 1747. 31. Seccin 1.1Fundamentos5neales son ms susceptibles de resolverse que las no lineales. Las ecuaciones para las rectas ax by c y los planos ax by cz d tienen la caracterstica de que las variables aparecen slo en combinaciones aditivas de sus primeras potencias. Por analoga, una ecuacin diferencial lineal es aquella en que la variable dependiente y y sus derivadas slo aparecen en combinaciones aditivas de sus primeras potencias. Una ecuacin diferencial es lineal si tiene el siguiente formato5 1 15 1(7) donde an(x), an 1(x), . . . , a0(x) y F(x) dependen slo de la variable independiente x. Las combinaciones aditivas pueden tener multiplicadores (coecientes) que dependen de x, sin que haya restricciones sobre la naturaleza de esta dependencia de x. Si una ecuacin diferencial ordinaria no es lineal, entonces se conoce con el nombre de no lineal. Por ejemplo,2es una ecuacin diferencial ordinaria de segundo orden no lineal, debido a la presencia del trmino y3, mientras quees lineal (a pesar del trmino x3). La ecuacines no lineal debido al trmino y dy dx. Aunque la mayor parte de las ecuaciones que probablemente aparezcan en la prctica estn en la categora no lineal, un primer paso importante consiste en trabajar con las ecuaciones lineales, ms sencillas (as como las rectas tangentes ayudan en la comprensin de curvas complicadas al proporcionar aproximaciones locales)./EJ ERCI CI O S1.1En los problemas 1 a 12, damos una ecuacin diferencial junto con el campo o rea donde surge. Clasifquelas como una ecuacin diferencial ordinaria (EDO) o una ecuacin diferencial parcial (EDP), proporcione el orden e indique las variables independientes y dependientes. Si la ecuacin es una ecuacin diferencial ordinaria, indique si la ecuacin es lineal o no lineal.2. (ecuacin de Hermite, mecnica cuntica, oscilador armnico). 3. (competencia entre dos especies, ecologa). 4.(vibraciones mecnicas, circuitos elctricos, sismologa).(ecuacin de Laplace, teora de potencial, electricidad, calor, aerodinmica). 32. 65kp(PIntroduccinp) , donde k y P son constantes(curva logstica, epidemiologa, economa). dx 6. (4 x)(1 x) dt (velocidad de reaccin qumica).22 57.donde C es una constante (problema de la braquistocrona, clculo de variaciones).8. (ecuacin de Kidder, ujo de un gas a travs de un medio poroso). 9. (aerodinmica, anlisis de tensin mecnica). 10. (deexin de vigas). 11.donde k es una constante (sin nuclear).(ecuacin de van der Pol, vlvula triodo). En los problemas 13 a 16, escriba una ecuacin diferencial que se ajuste a la descripcin fsica. 13. La razn de cambio de la poblacin p de bacterias en el instante t es proporcional a la poblacin en el instante t. 14. La velocidad en el instante t de una partcula que se mueve a lo largo de una lnea recta es proporcional a la cuarta potencia de su posicin x. 15. La razn de cambio en la temperatura T del caf en el instante t es proporcional a la diferencia entre la temperatura M del aire en el instante t y la temperatura del caf en el instante t. 16. La razn de cambio de la masa A de sal en el instante t es proporcional al cuadrado de la masa de sal presente en el instante t. 17. Carrera de autos. Dos pilotos, Alison y Kevin, participan en una carrera de arrancones. Parten desde el reposo y luego aceleran a una razn constante. Kevin cubre la ltima cuarta parte de la distancia en 3 segundos, mientras que Alison cubre la ltima tercera parte de la distancia en 4 segundos. Quin gana y por cunto tiempo?SOLUCIONES Y PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Una ecuacin diferencial ordinaria de orden n es una igualdad que relaciona la variable independiente con la n-sima derivada de la variable dependiente (y usualmente tambin derivadas de orden menor). Algunos ejemplos son(segundo orden, x independiente, y dependiente) (segundo orden, t independiente, y dependiente)(cuarto orden, t independiente, x dependiente). Nota histrica: En 1630, Galileo formul el problema de la braquistocrona ( ms corto, tiempo), es decir, determinar una trayectoria hacia abajo, por la cual debe caer una partcula desde un punto dado hasta otro en el menor tiempo posible. Fue propuesto de nuevo por John Bernoulli en 1696 y resuelto por ste al ao siguiente.51.212.5dp dt25.Captulo 1 33. Seccin 1.27Soluciones y problemas con valores inicialesAs, una forma general para una ecuacin de orden n con x independiente, y dependiente, se puede expresar como (1) donde F es una funcin que depende de x, y, y de las derivadas de y hasta de orden n; es decir, depende de x, y, . . . , d ny dx n. Suponemos que la ecuacin es vlida para toda x en un intervalo abierto I (a x b, donde a o b pueden ser innitos). En muchos casos, podemos despejar el trmino de orden mximo d ny dx n y escribir la ecuacin (1) como/, ,/(2) que con frecuencia se preere sobre (1) por razones tericas y de clculo.SOLUCIN EXPLCITADenicin 1. Una funcin f(x) tal que al sustituirla en vez de y en la ecuacin (1) [o (2)] satisface la ecuacin para toda x en el intervalo I es una solucin explcita de la ecuacin en I.x22 5Mostrar que f(x)12E JE M P L 0 1xes una solucin explcita de la ecuacin lineal(3) Las funciones f(x) x2 x 1, f (x) 2x x 2 y f (x) 2 2x toda x 0. Al sustituir f(x) en vez de y en la ecuacin (3) se tiene22 5 0 2 522 52E JE M P L O 2x2x121 5 9Como esto es vlido para cualquier x 0, la funcin f(x) cita de (3) en ( q, 0) y tambin en (0, q). 32SO LU CINestn denidas paraes una solucin expl-Mostrar que para cualquier eleccin de las constantes c1 y c2, la funcin es una solucin explcita de la ecuacin lineal (4) x12c 1e4c2e2x. Al sustituir f, f y f en9Calculamos f (x) c1e x 2c2e2x y f (x) vez de y, y y y en la ecuacin (4) se tiene05 0120 9 25 9Como la igualdad es vlida para toda x en ( q, q), entonces f(x) c1e x c2e2x es una solucin explcita de (4) en el intervalo ( q, q) para cualquier eleccin de las constantes c1 y c2. 12522SO LU CIN 34. Captulo 1IntroduccinComo veremos en el captulo 2, los mtodos para resolver las ecuaciones diferenciales no siempre proporcionan una solucin explcita de la ecuacin. A veces tendremos que plantear una solucin denida en forma implcita. Consideremos el siguiente ejemplo. E J E MPLO 3Mostrar que la relacin (5) dene de manera implcita una solucin de la ecuacin no lineal (6) en el intervalo (2, q). x3 8. Veamos si f(x) x3 8 es una solucin 8 ), tanto f como df dx estn denidas en (2, q).2 52 y 5 y 6 5que es vlida para toda x en (2, q). [Usted puede vericar que c(x) es una solucin explcita de (6)]. x322yAl despejar y en (5), obtenemos y explcita. Como df dx 3x2 (2 x3 Al sustituirlas en (6) se tiene5SOL UCIN28 tambinSOLUCIN IMPLCITADenicin 2. Se dice que una relacin G(x, y) 0 es una solucin implcita de la ecuacin (1) en el intervalo I si dene una o ms soluciones explcitas en I.58E JE M PLO 4Mostrar que (7) es una solucin implcita de la ecuacin no lineal (8)SOL UCINPrimero observamos que no podemos despejar a y en (7) en trminos de x. Sin embargo, para que se cumpla (7), observamos que cualquier cambio en x requiere un cambio en y, de modo que esperamos que la relacin dena de manera implcita al menos una funcin y(x). Esto es difcil de mostrar directamente, pero puede vericarse con rigor mediante el teorema de la funcin implcita del clculo avanzado, el cual garantiza la existencia de tal funcin y(x) y que adems es diferenciable (vase el problema 30).Vase Vector calculus, J. E. Marsden y A. J. Tromba, quinta edicin (San Francisco: Freeman, 2004). 35. Seccin 1.29Soluciones y problemas con valores inicialesUna vez que sabemos que y es una funcin diferenciable de x, podemos usar la tcnica de derivacin implcita. De hecho, si en (7) derivamos con respecto de x y aplicamos las reglas del producto y de la cadena,oque es idntica a la ecuacin diferencial (8). As, la relacin (7) es una solucin implcita en algn intervalo garantizado por el teorema de la funcin implcita. Vericar que para cada constante C la relacin 4x2y25 2E J E MP L O 5C es una solucin implcita de(9) Gracar las curvas solucin para C 0, 1, 4. (Llamamos a la coleccin de tales soluciones una familia a un parmetro de soluciones).6 6 5Al derivar de manera implcita la ecuacin 4x2y25 2C con respecto de x, tenemosque es equivalente a (9). En la gura 1.4 bosquejamos las soluciones implcitas para C 0, 1, 4. Las curvas son hiprbolas con asntotas comunes y 2x. Observe que las curvas solucin implcitas (con C arbitrario) cubren todo el plano y no se cortan para C 0. Para C 0, la solucin implcita produce las dos soluciones explcitas y 2x y y 2x, ambas pasan por el origen. 5655y2C255 6 65 2Figura 1.4 Soluciones implcitas de 4x2SOLU CIN 36. Captulo 1IntroduccinPara abreviar, a partir de este momento usaremos el trmino solucin para indicar una solucin explcita o implcita. Al inicio de la seccin 1.1 vimos que la solucin de la ecuacin de cada libre de segundo orden implicaba dos constantes arbitrarias de integracin c1, c2:mientras que la solucin de la ecuacin de decaimiento radiactivo de primer orden contena una sola constante C:Es claro que al integrar la sencilla ecuacin de cuarto ordense producen cuatro constantes indeterminadas: . Ms adelante mostraremos que, en general, los mtodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden n necesitan n constantes arbitrarias. En la mayor parte de los casos, podremos evaluar estas constantes si conocemos n valores iniciales y(x0), y (x0), . . . , y(n 1)(x0). 29PROBLEMAS CON VALORES INICIALESDenicin 3. Por un problema con valores iniciales para una ecuacin diferencial de orden nse debe entender: Hallar una solucin de la ecuacin diferencial en un intervalo I que satisfaga en x0 las n condiciones inicialesdonde x0 I y y0, y1, . . . , yn12son constantes dadas.En el caso de una ecuacin de primer orden, las condiciones iniciales se reducen a un nico requisito y(x0)510y0 , 37. Seccin 1.211Soluciones y problemas con valores inicialesy en el caso de una ecuacin de segundo orden, las condiciones iniciales tienen la formaLa terminologa condiciones iniciales proviene de la mecnica, donde la variable independiente x representa el tiempo y se indica como t. Si t0 es el instante inicial, y(t0) y0 representa la posicin inicial de un objeto y y (t0) dt proporciona su velocidad inicial.92sen xy5Mostrar que f(x)5E J E MP L O 6cos x es una solucin del problema con valores iniciales(10) Observe que f(x) sen x cos x, df dx cos x sen x, y d2f dx2 sen x tn denidas en ( q, q). Al sustituir esto en la ecuacin diferencial tenemos1251y52y2 5SO LU CINcos x es-que es vlida para toda x ( q, q). Por tanto, f(x) es una solucin de la ecuacin diferencial (10) en ( q, q). Al vericar las condiciones iniciales, tenemos2[2lo que cumple los requisitos de (10). Por tanto, f(x) es una solucin del problema con valores iniciales dado. x25Como se mostr en el ejemplo 2, la funcin f(x)c1e1E J E MP L O 7c2e2x es una solucin depara cualquier eleccin de las constantes c1 y c2. Determinar c1 y c2 de modo que se cumplan las condiciones inicialespara satisfacer. Para determinar las constantes c1 y c2, calculamos primero df dx para obtener df dx c1e x 2c2e2x. Al sustituir en nuestras condiciones iniciales, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:5yy122Al sumar las dos ltimas ecuaciones tenemos que 3c2 1, de modo que c2 1 3. Como c1 c2 2, tenemos que c1 7 3. Por lo tanto, la solucin del problema con valores iniciales es f(x) (7 3)e x (1 3)e2x. y2525y5y22y55 1SO LU CIN 38. Captulo 1IntroduccinAhora enunciaremos un teorema de existencia y unicidad para problemas de primer orden con valores iniciales. Suponemos que la ecuacin diferencial tiene ya el formatoPor supuesto, el lado derecho f (x, y) debe estar bien denido en el punto inicial x0 con respecto de x y en el valor inicial dado y0 y(x0) con respecto de y. Adems, las hiptesis del teorema piden la continuidad de f y f y para x en cierto intervalo a x b que contenga a x0, y para y en cierto intervalo c y d que contenga a y0. Observe que el conjunto de puntos en el plano xy que satisfacen a x b y c y d forman un rectngulo. La gura 1.5 muestre este rectngulo de continuidad con el punto inicial (x0, y0) en su interior y un bosquejo de la parte de la curva solucin contenida en l., ,, ,, , , , y 5EXISTENCIA Y UNICIDAD DE LA SOLUCINTeorema 1.Dado el problema con valor inicialsupngase que f y f y son funciones continuas en un rectnguloyque contiene al punto (x0, y0). Entonces el problema con valor inicial tiene una nica solucin f(x) en algn intervalo x0 d x x0 d, donde d es un nmero positivo.1 , , 212Figura 1.5 Diagrama para el teorema de existencia y unicidad 39. Seccin 1.213Soluciones y problemas con valores inicialesEl teorema anterior nos dice dos cosas. La primera es que cuando una ecuacin satisface las hiptesis del teorema 1, tenemos la seguridad de que existe una solucin al problema con valor inicial. Naturalmente, es bueno saber si la ecuacin que tratamos de resolver realmente tiene una solucin, antes de perder mucho tiempo tratando de resolverla. La segunda es que, cuando se satisfacen las hiptesis, existe una nica solucin del problema con valor inicial. Esta unicidad nos dice que si podemos determinar una solucin, entonces sta es la nica solucin para el problema con valor inicial. Grcamente, el teorema dice que slo hay una curva solucin que pasa por el punto (x0, y0). En otras palabras, para esta ecuacin de primer orden, no puede ocurrir que se crucen dos soluciones en algn punto del rectngulo. Observe que la existencia y unicidad de la solucin slo es vlida en alguna vecindad (x0 d, x0 d). Por desgracia, el teorema no nos indica el rango (2d) de esta vecindad (slo que es distinto de cero). El problema 18 abunda sobre este aspecto. El problema 19 proporciona un ejemplo de una ecuacin sin solucin. El problema 29 exhibe un problema con valores iniciales para el que la solucin no es nica. Por supuesto, en estos casos no se satisfacen las hiptesis del teorema 1. Al utilizar problemas con valores iniciales para modelar fenmenos fsicos, muchas personas presuponen que las conclusiones del teorema 1 son vlidas. De hecho, para que el problema con valores iniciales sea un modelo razonable, ciertamente esperamos que tenga una solucin, pues desde el punto de vista fsico algo ocurre realmente. Adems, la solucin debe ser nica en aquellos casos en que la repeticin del experimento bajo condiciones idnticas proporciona los mismos resultados. La demostracin del teorema 1 implica la conversin del problema con valores iniciales en una ecuacin integral y el uso del mtodo de Picard para generar una sucesin de aproximaciones sucesivas que convergen a la solucin. La conversin a una ecuacin integral y el mtodo de Picard se analizan en el proyecto B al nal de este captulo.12E JE M P L O 8Para el problema con valor inicial (11) implica el teorema 1 la existencia de una solucin nica? En este caso, f (x, y) x2 xy3 y f y 3xy2. Ambas funciones son continuas en cualquier rectngulo que contenga al punto (1, 6), de modo que se cumplen las hiptesis del teorema 1. Como consecuencia de este teorema, el problema con valor inicial (11) tiene una nica solucin en un intervalo con centro en x 1 de la forma (1 d, 1 d), donde d es un nmero positivo. 2522 55E J E MP L O 91ySO LU CINPara el problema con valor inicial (12) implica el teorema 1 la existencia de una solucin nica?Al menos esto sucede cuando consideramos un modelo determinista, en contraste con un modelo probabilstico. Todas las referencias al captulo 11 corresponden al texto Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems, cuarta edicin. 40. http://libreria-universitaria.blogspot.com Captulo 1En este caso, f (x, y) 3y2 3 y f y 2y 1 3. Por desgracia, f y no es continua, ni siquiera est cuando y 0. En consecuencia, no hay un rectngulo que contenga a (2, 0) donde f y f y sean continuas. Como no se cumplen las hiptesis del teorema 1, no podemos usarlo para determinar si el problema con valor inicial tiene o no una solucin nica. Se puede ver que este problema con valor inicial no tiene una solucin nica. Los detalles aparecen en el problema 29. y25yy5 5SOL UC INIntroducciny14yEn el ejemplo 9, suponga que la condicin inicial se cambia por y(2) 1. Entonces, como f y f y son continuas en cualquier rectngulo que contiene al punto (2, 1) pero no corta el eje x, digamos R {(x, y): 0 x 10, 0 y 5}, el teorema 1 implica que este nuevo problema con valor inicial tiene una nica solucin en algn intervalo en torno de x 2.55, ,y51.2 51. (a) Muestre que f(x) cita de, ,E J E R C ICI O S2x3 es una solucin expl7. 8.en el intervalo ( q, q). (b) Muestre que f(x) ex x es una solucin explcita de2 5 2en el intervalo ( q, q). x 1 es una solucin (c) Muestre que f(x) x2 2 2 2 2y en el intervalo explcita de x d y dx (0, q). x 3 0 es una solucin 2. (a) Muestre que y2 implcita de dy dx 1 (2y) en el intervalo ( q, 3). (b) Muestre que xy3 xy3 sen x 1 es una solucin implcita deEn los problemas 9 a 13, determine si la relacin dada es una solucin implcita de la ecuacin diferencial correspondiente. Suponga que la relacin realmente dene a y de manera implcita como funcin de x, y utilice la derivacin implcita. 9. 10. 11. 12.25 y 2 525 2 y 25 y 5 2 1213. en el intervalo (0, p 2).y1 25 2 / 56.15.14.5 1 / 53.14. Muestre que f(x) c1 sen x c2 cos x es una soy 0 para cualquier eleccin lucin de d2y dx2 c2 cos x de las constantes c1 y c2. As, c1 sen x es una familia a dos parmetros de soluciones de la ecuacin diferencial. 1 es una solucin de 15. Muestre que f(x) Ce3x 3 para cualquier eleccin de la consdy dx 3y tante C. As, Ce3x 1 es una familia a un parmetro de soluciones de la ecuacin diferencial. Graque1En los problemas 3 a 8, determine si la funcin dada es una solucin de la ecuacin diferencial correspondiente. 41. 522. Verique que la funcin f(x) solucin dec1ex1varias de las curvas solucin usando los mismos ejes de coordenadas. 16. Verique que x2 cy2 1, donde c es una constante arbitraria distinta de cero, es una familia a un parmetro de soluciones implcitas de15Soluciones y problemas con valores iniciales2x2Seccin 1.2c2ees una51para cualquier eleccin de las constantes c1 y c2. Determine c1 y c2 de modo que se satisfagan las siguientes condiciones iniciales. y graque varias de las curvas solucin usando los mismos ejes de coordenadas. 17. Verique que f(x) 2 (1 ce x), donde c es una constante arbitraria, es una familia a un parmetro de soluciones de(a) (b) En los problemas 23 a 28, determine si el teorema 1 implica que el problema con valor inicial dado tiene una solucin nica.2y523. Graque las curvas solucin correspondientes a c 0, 1, 2 usando los mismos ejes de coordenadas. 18. Si c 0 entonces demuestre que la funcin f(x) (c2 x2) 1 es una solucin del problema con valor 1 c2 en el intervalo inicial dy dx 2xy2, y(0) c x c. Observe que esta solucin no es acotada conforme x tiende a c. As, la solucin existe en el intervalo ( d, d) con d c, pero no para una d mayor. Esto ilustra el hecho de que en el teorema 1, el intervalo de existencia puede ser demasiado pequeo (si c es pequeo) o bastante grande (si c es grande). Observe adems que la propia ecuacin dy dx 2xy2 o su valor inicial no nos dan indicios de que la solucin explota en x c. 19. Muestre que la ecuacin (dy dx)2 y2 3 0 no tiene solucin (con valores reales). 20. Determine los valores de m para los que la funcin f(x) emx es una solucin de la ecuacin dada.524.525.28. 29. (a) Para el problema con valor inicial (12) del ejemplo 9, muestre que f1(x) 0 y f2(x) (x 2)3 son soluciones. Por lo tanto, el problema con valor inicial no tiene una solucin nica. (b) Para el problema con valor inicial y 3y2 3, 7 y(0) 10 , existe una nica solucin en una vecindad de x 0? 30. Teorema de la funcin implcita. Sea G(x, y) una funcin con primeras derivadas parciales continuas en el rectngulo R {(x, y): a x b, c y d} que contiene al punto (x0, y0). Si G(x0, y0) 0 y la derivada parcial Gy(x0, y0) 0, entonces existe una funcin diferenciable y f(x), denida en cierto intervalo I (x0 d, x0 d) que satisface G(x, f(x)) 0 para toda x I. El teorema de la funcin implcita proporciona condiciones bajo las cuales la relacin G(x, y) 0 dene a y como funcin de x de manera implcita. Use el teorema de la funcin implcita para mostrar que la relacin x y e xy 0, que se presenta en el5955 , ,5, ,25y5 1 165y5551[ 2 521. Determine los valores de m para los que la funcin f(x) xm es una solucin de la ecuacin dada.y5(b)5(a)27.2 5y5 2 6 , , 2 5 y 5 2 2 . 6 6 (a)26.55 1 1(b) 42. Introduccin2(13)(b) Muestre que cuando x0 0, la ecuacin (13) no podra tener una solucin en una vecindad de x x0 que satisfaga y(x0) 0. (c) Muestre que hay dos soluciones distintas de (13) que satisfacen y(0) 0 (vase la gura 1.4 de la pgina 9).5ejemplo 4, dene de manera implcita a y como funcin de x cerca del punto (0, 1). 31. Considere la ecuacin del ejemplo 5,5Captulo 1165(a) Implica el teorema 1 la existencia de una solucin nica a (13) que satisfaga y(x0) 0?5CAMPOS DE DIRECCIONES Es claro que el teorema de existencia y unicidad que se analiz en la seccin 1.2 tiene gran valor, pero se queda corto al no decirnos algo acerca de la naturaleza de la solucin de una ecuacin diferencial. Por razones prcticas, necesitamos saber el valor de la solucin en un cierto punto, o los intervalos donde la solucin sea creciente, o los puntos donde la solucin alcanza un valor mximo. Ciertamente, contar con una representacin explcita (una frmula) para la solucin sera de gran ayuda para responder a estas preguntas. Sin embargo, para muchas de las ecuaciones diferenciales que probablemente hallar el lector en aplicaciones del mundo real, ser imposible hallar tal frmula. Adems, aunque tuvisemos la suerte de obtener una solucin implcita, sera difcil usar esta relacin para determinar una forma explcita. As, debemos basarnos en otros mtodos para analizar o aproximar la solucin. Una tcnica til para visualizar (gracar) las soluciones de una ecuacin diferencial de primer orden consiste en bosquejar el campo de direcciones de la ecuacin. Para describir este mtodo, necesitamos una observacin general: una ecuacin de primer ordenespecica una pendiente en cada punto del plano xy donde f est denida. En otras palabras, proporciona la direccin que debe tener una solucin de la ecuacin en cada punto. Consideremos, por ejemplo, la ecuacin (1) La grca de la solucin de (1) que pasa por el punto ( 2, 1) debe tener pendiente ( 2)2 1 3 en ese punto, y una solucin que pase por ( 1, 1) debe tener pendiente cero en ese punto. Un bosquejo con pequeos segmentos de recta trazados en diversos puntos del plano xy para mostrar la pendiente de la curva solucin en el punto correspondiente es un campo de direcciones de la ecuacin diferencial. Como el campo de direcciones indica el ujo de las soluciones, facilita el trazo de cualquier solucin particular (como la solucin de un problema con valor inicial). En la gura 1.6(a) bosquejamos el campo de direcciones de la ecuacin (1) y en la gura 1.6(b) trazamos varias curvas solucin con lneas grises. En la gura 1.7 aparecen otros patrones interesantes de campos de direcciones. En la gura 1.7(a) est el patrn de la ecuacin de decaimiento radiactivo dy dx 2y (recuerde que en la seccin 1.1 analizamos esta ecuacin bajo la forma dA dt kA). Los patrones del ujo muestran que todas las soluciones tienden en forma asinttica al semieje positivo de las x conforme x crece. En otras palabras, cualquier material que decaiga de acuerdo con esta ley se reduce a prcticamente nada. Esto es consistente con la frmula solucin que se dedujo con anterioridad,2225y25y25 21.3 43. (b) Soluciones de dy dxx2(b) Campo de direcciones de dy dxy2yyyy/x252 5y25Figura 1.7 (a) Campo de direcciones de dy dxx2yFigura 1.6 (a) Campo de direcciones de dy dx17Campos de direcciones2 5Seccin 1.3yDel campo de direcciones de la gura 1.7(b) podemos anticipar que todas las soluciones y x tambin tienden al eje x cuando x tiende a innito (ms o menos innito, de de dy dx hecho). Pero es ms interesante la observacin de que ninguna solucin puede cruzar el eje y; y(x) explota cuando x tiende a cero por cualquier direccin. Excepcin: al analizar ms de cerca, parece que la funcin y(x) 0 podra pasar por su barrera. De hecho, en el problema 19 le pedimos al lector que muestre que las soluciones de esta ecuacin diferencial estn dadas por y C x, con C una constante arbitraria. As, divergen en x 0, a menos que C 0./ 255/ 5/5 44. Captulo 1IntroduccinInterpretemos el teorema de existencia y unicidad de la seccin 1.2 para estos campos de direcciones. Para la gura 1.7(a), donde dy dx f (x, y) 2y, elegimos un punto de partida x0 y un valor inicial y(x0) y0, como en la gura 1.8(a). Como el lado derecho f (x, y) 2y es continuamente derivable para toda x y y, podemos encerrar cualquier punto inicial (x0, y0) en un rectngulo de continuidad. Concluimos que la ecuacin tiene una nica curva solucin que pasa por (x0, y0), como se muestra en la gura. Para la ecuacin255/525el lado derecho f (x, y) y x no cumple las condiciones de continuidad cuando x 0 (es decir, para los puntos del eje y). Sin embargo, para cualquier punto de partida x0 distinto de cero y cualquier valor inicial y(x0) y0, podemos encerrar a (x0, y0) en un rectngulo de continuidad que excluya al eje y, como en la gura 1.8(b). As, podemos garantizar que una nica curva solucin pasa por tal punto. El campo de direcciones para la ecuacin/ 2555es intrigante, pues el ejemplo 9 de la seccin 1.2 mostr que no se cumplen las hiptesis del teorema 1 en cualquier rectngulo que contenga al punto inicial x0 2, y0 0. De hecho, el problema 29 de esa seccin demostr que se viola la unicidad, exhibiendo dos soluciones, y(x) 0 y y(x) (x 2)3, que pasan por (2, 0). La gura 1.9(a) muestra este campo de direcciones, y la gura 1.9(b) demuestra la forma en que ambas curvas solucin pueden negociar con xito este patrn de ujo.552 5(b) Una solucin para dy dxy2yy x2525Figura 1.8 (a) Una solucin para dy dxyy18 45. 3y2/3 (b) Soluciones para dy dxy5Figura 1.9 (a) Campo de direcciones de dy dx19Campos de direcciones5Seccin 1.33y2/3yEs claro que un bosquejo del campo de direcciones de una ecuacin diferencial de primer orden puede ser til para visualizar las soluciones. Sin embargo, este bosquejo no basta para trazar, sin ambigedad, la curva solucin que pasa por un punto inicial dado (x0, y0). Por ejemplo, si tratamos de trazar una de las curvas solucin de la gura 1.6(b) de la pgina 17, podramos resbalar hacia una curva adyacente. Para las situaciones sin unicidad, como en la gura 1.9(b), al negociar el ujo a lo largo de la curva y (x 2)3 y llegar al punto de inexin, uno no puede decidir si dar la vuelta o (literalmente) salirse por la tangente (y 0).2 55E J E MP L O 1La ecuacin logstica para la poblacin p (en miles) de cierta especie en el instante t est dada por (2) (Por supuesto, p es no negativa. La interpretacin de los trminos en la ecuacin logstica se analiza en la seccin 3.2). Del campo de direcciones bosquejado en la gura 1.10 de la pgina 20, responder lo siguiente.5(a) Si la poblacin inicial es 3000 (es decir, p(0) la poblacin lmite lmt q p(t)?3), qu se puede decir acerca de1(b) Puede una poblacin de 1000 declinar hasta 500? (c) Puede una poblacin de 1000 crecer hasta 3000? (a) El campo de direcciones indica que todas las curvas solucin [distintas de p(t) 0] tender a la recta horizontal p 2 cuando t q; es decir, esta recta es una asntota para todas las soluciones positivas. As, lmt q p(t) 2.5115SO LU CIN 46. Captulo 1IntroduccinFigura 1.10 Campo de direcciones para la ecuacin logstica(b) El campo de direcciones muestra adems que las poblaciones mayores de 2000 decrecern poco a poco, mientras que aquellas menores de 2000 aumentarn. En particular, una poblacin de 1000 nunca puede disminuir hasta 500. (c) Como se mencion en la parte (b), una poblacin de 1000 aumentar con el tiempo. Pero el campo de direcciones indica que nunca puede llegar a 2000 o a algn valor mayor; es decir, la curva solucin nunca puede cruzar la recta p 2. De hecho, la funcin constante p(t) 2 es una solucin de la ecuacin (2), y la parte de unicidad del teorema 1, pgina 12, prohbe las intersecciones entre las curvas solucin. 5Observe que el campo de direcciones en la gura 1.10 tiene la agradable caracterstica de que las pendientes no dependen de t; es decir, el patrn de pendientes es el mismo a lo largo de cada recta vertical. Lo mismo es cierto para las guras 1.8(a) y 1.9. sta es la propiedad fundamental de las llamadas ecuaciones autnomas y f (y), donde el lado derecho es una funcin slo de la variable dependiente. En el Proyecto D analizaremos estas ecuaciones con mayor detalle. El bosquejo a mano del campo de direcciones para una ecuacin diferencial es con frecuencia una tarea tediosa. Por fortuna, se dispone de varios programas para esta tarea. Sin embargo, si tal bosquejo es necesario, el mtodo de isclinas puede ser til para reducir el trabajo.59El mtodo de isclinas Una isclina para la ecuacin diferenciales un conjunto de puntos en el plano xy donde todas las soluciones tienen la misma pendiente dy dx; as, es una curva de nivel de la funcin f (x, y). Por ejemplo, si/(3)las isclinas son simplemente las curvas (lneas rectas) x y c o y x c. En este caso, c es una constante arbitraria. Pero c se puede interpretar como el valor numrico de la pendiente dy dx de cada curva solucin al cruzar la isclina. (Observe que c no es la pendiente de la propia isclina; esta pendiente es, claramente, 1). La gura 1.11(a) muestra las isclinas de la ecuacin (3).1 255 12y20 47. xy (b) Campo de direcciones de yx1 59Figura 1.11 (a) Isclinas para y21Campos de direccionesy (c) Soluciones de yx1 59Seccin 1.3y1 59Para implantar el mtodo de isclinas y bosquejar los campos de direcciones, trazamos pequeos segmentos con pendiente c a lo largo de la isclina f (x, y) c para unos cuantos valores de c. Si borramos las curvas isclinas subyacentes, los segmentos constituyen una parte del campo de direcciones para la ecuacin diferencial. La gura 1.11(b) muestra este proceso para las isclinas de la gura 1.11(a), y la gura 1.11(c) despliega algunas curvas solucin.5Observacin. Las propias isclinas no siempre son lneas rectas. Para la ecuacin (1) al principio de esta seccin (pgina 16), son parbolas x2 y c. Cuando las curvas isclinas son complejas, este mtodo no es prctico.5 2 48. IntroduccinEJ ER C I C I O S1.31. El campo de direcciones de dy dx en la gura 1.12.y2x son curvas65(a) Verique las lneas rectas y solucin, siempre que x 0.4x y aparece5Captulo 1y22(b) Bosqueje la curva solucin con condicin inicial y(0) 2.5(c) Bosqueje la curva solucin con condicin inicial y(2) 1.5(d) Qu puede decir acerca del comportamiento de las soluciones anteriores cuando x q? Y cuando x q?12x1 52Figura 1.13 Campo de direcciones de dy dxyydad en un medio viscoso est dado por la ecuacin 12 5dy dty . 8A partir del campo de direcciones de la gura 1.14, bosqueje las soluciones con las condiciones iniciales y(0) 5, 8 y 15. Por qu el valor y 8 se conoce como la velocidad terminal?55y2x4x yy1 52. El campo de direcciones de dy dx en la gura 1.13.5Figura 1.12 Campo de direcciones de dy dxy aparecey(a) Bosqueje la curva solucin que pasa por (0, 2). A partir de este bosquejo, escriba la ecuacin para la solucin.2(b) Bosqueje la curva solucin que pasa por ( 1, 3).2(c) Qu puede decir acerca de la solucin en la parte (b) cuando x q? Y cuando x q? dy Figura 1.14 Campo de direcciones de dt12 5213. Un modelo para la velocidad y en el instante t de cierto objeto que cae bajo la inuencia de la grave-y 8 49. Seccin 1.3(b) Si la poblacin inicial es 3000 [es decir, p(0) 3], qu puede decir acerca de la poblacin lmite lmt q p(t)? (c) Si p(0) 1.5, cul es el valor de lmt q p(t)? (d) Si p(0) 0.5, cul es el valor de lmt q p(t)? (e) Puede una poblacin de 900 crecer hasta 1100? 8. El movimiento de un conjunto de partculas que se mueve a lo largo del eje x est determinado por la ecuacin diferencial55 5donde x(t) denota la posicin de la partcula en el instante t. (a) Si una partcula reside en x 1 cuando t 2, cul es su velocidad en ese instante? (b) Muestre que la aceleracin de una partcula est dada por55(c) Si una partcula est en x 2 cuando t 2.5, puede llegar a la posicin x 1 en algn instante posterior? (tx)(t2xt1 1x3552 5 2[Sugerencia: t355(a) Bosqueje el campo de direcciones usando un paquete de cmputo o el mtodo de isclinas. (b) Si la poblacin inicial es 2000 [es decir, p(0) 2], qu puede decir acerca de la poblacin lmite lmt q p(t)? (c) Si p(0) 0.5, cul es el valor de lmt q p(t)? (d) Podra una poblacin de 3000 disminuir hasta 500? 6. Considere la ecuacin diferencial1Trace de nuevo el campo de direcciones de la gura 1.14 para incorporar esta dependencia con respecto de y3. Bosqueje las soluciones con condiciones iniciales y(0) 0, 1, 2, 3. Cul es la velocidad terminal en este caso? 5. La ecuacin logstica para la poblacin de cierta especie (en miles) est dada por1 14. Si la fuerza viscosa del problema 3 no es lineal, un posible modelo sera dado mediante la ecuacin diferencial23Campos de direccionesx2)].9. Sea f(x) la solucin del problema con valor inicial5115(a) Muestre que f (x) 1 f (x) 1 x f(x). (b) Justique que la grca de f es decreciente para x cercano a cero y que cuando x crece desde (a) Una curva solucin pasa por el punto (1, p 2). cero, f(x) decrece hasta que cruza la recta y x, Cul es su pendiente en ese punto? donde su derivada es cero. (b) Justique que cada curva solucin es creciente (c) Sea x* la abscisa del punto donde la curva solupara x 1. cin y f(x) cruza la recta y x. Considere el (c) Muestre que la segunda derivada de cada solusigno de f (x*) y justique que f tiene un mcin satisface nimo relativo en x*. (d) Qu puede decir acerca de la grca de y . f(x) para x x*? (e) Verique que y x 1 es una solucin de dy dx (d) Una curva solucin pasa por (0, 0). Demuestre x y y explique por qu la grca de f(x) siemque la curva tiene un mnimo relativo en (0, 0). pre est por arriba de la recta y x 1. 7. Considere la ecuacin diferencial (f ) Bosqueje el campo de direcciones para dy dx x y usando el mtodo de isclinas o un paquete de cmputo. (g) Bosqueje la solucin y f(x) usando el campo de direcciones de la parte (f). para la poblacin p (en miles) de cierta especie en el instante t. 10. Use un paquete de cmputo para bosquejar el campo ! de direcciones de las siguientes ecuaciones diferen(a) Bosqueje el campo de direcciones usando un paciales. Bosqueje algunas de las curvas solucin. quete de cmputo o el mtodo de isclinas.1 2 5 9 5 0y5505 / 5/2 52 5.5.22 55 50. http://libreria-universitaria.blogspot.com17. A partir de un bosquejo del campo de direcciones, qu se puede decir acerca del comportamiento cuando x q de una solucin a lo siguiente?sen x . sen y . sen x sen y . x2 2y2 . x2 2y2 .y(0) y(0) y(0) y(0) y(0) y(0)1 40 11 . . . 1 . . .19. Escriba la ecuacin diferencial dy dx formay x en lae integre ambos lados para obtener la solucin y C x para una constante arbitraria C.y2x , y , x y , x y , 2x2 y , x 2y ,5EL MTODO DE APROXIMACIN DE EULER El mtodo de Euler (o mtodo de la recta tangente) es un procedimiento que permite construir aproximaciones a las soluciones de un problema con valor inicial, para una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden(1) Se podra describir como una implantacin mecnica o computarizada del procedimiento informal para bosquejar a mano la curva solucin a partir de una imagen del campo de direcciones. Como tal, permanece sujeto al error cuando se pasa una curva solucin a otra. Sin embargo, bajo condiciones bastante generales, las iteraciones del procedimiento convergen a soluciones reales. El mtodo se ilustra en la gura 1.15 de la pgina 25. Partiendo del punto inicial (x0, y0), seguimos la lnea recta con pendiente f (x0, y0), la recta tangente, por una cierta distancia hasta el punto (x1, y1). Luego cambiamos la pendiente por el valor f (x1, y1) y seguimos esta recta hasta (x2, y2). De esta forma, construimos aproximaciones poligonales (lneas quebradas) de la solucin. Al tomar espacios cada vez menores entre los puntos (con lo cual utilizamos ms puntos), es de esperar que lleguemos a la solucin real. Para ser ms precisos, supongamos que el problema con valor inicial (1) tiene una nica solucin f(x) en cierto intervalo con centro en x0. Sea h un nmero positivo jo (llamado el tamao del paso) y considerando los puntos equidistantesLa construccin de los valores yn que aproximan los valores de la solucin f(xn) procede de la manera siguiente. En el punto (x0, y0), la pendiente de la solucin de (1) est dada por dy dx f (x0, y0). Por lo tanto, la recta tangente a la curva solucin en el punto inicial (x0, y0) esyEl smbolo :signica se dene como.55y y y y y y1.4dx dx dx dx dx dx1 5 2 5 y 5 y 25 5 5dy dy dy dy dy dy5 5 25 5 5 2511. 12. 13. 14. 15. 16.18. A partir de un bosquejo del campo de direcciones, qu se puede decir acerca del comportamiento cuando x q de una solucin a lo siguiente?yy y y y yEn los problemas 11 a 16, trace las isclinas con sus marcadores de direccin y bosqueje varias curvas solucin, incluyendo la curva que satisface las condiciones iniciales dadas.25dx dx dx dx dxydy dy dy dy dy2 5 1 5 5 5 5(a) (b) (c) (d) (e)Introduccin1Captulo 1124 51. Seccin 1.425El mtodo de aproximacin de EulerFigura 1.15 Aproximacin mediante poligonales dada por el mtodo de Eulerx01 5Usamos esta recta tangente para aproximar f(x) y vemos que para el punto x1hAhora partimos del punto (x1, y1) para construir la recta con pendiente dada por el campo de direcciones en el punto (x1, y1); es decir, con pendiente igual a f (x1, y1). Si seguimos esta recta [a saber, y y1 (x x1) f (x1, y1)] al pasar de x1 a x2 x1 h, obtenemos la aproximacin1 52 1 5Al repetir el proceso (como se ilustra en la gura 1.15), obtenemosetc. Este sencillo procedimiento es el mtodo de Euler y se puede resumir mediante la frmula recursiva (2) (3) Utilice el mtodo de Euler con tamao del paso h blema con valor inicial5E J E MP L O 10.1 para aproximar la solucin del pro-(4)51, y04, h5En este caso, x01.1, 1.2, 1.3, 1.4 y 1.5. 0.1 y f (x, y)5As, la frmula recursiva (3) para yn esComo y1 es una aproximacin de f(x1), no se puede garantizar que esta recta sea tangente a la curva solucin y f(x).5SO LU CIN5 5en los puntos x 52. Captulo 1IntroduccinAl sustituir n5Al hacer n1 se tiene50, obtenemosSi continuamos de esta forma, obtenemos los resultados de la tabla 1.1. Como comparacin, hemos incluido el valor exacto (hasta cinco cifras decimales) de la solucin f(x) (x2 7)2 16 de (4), la que puede obtenerse mediante separacin de variables (vase la seccin 2.2). Como era de esperar, la aproximacin se deteriora cuando x se aleja de 1. 5yCLCULOS PARA y = xTABLA 1.11y , y(1) = 4nxnMtodo de EulerValor exacto0 1 2 3 4 51 1.1 1.2 1.3 1.4 1.54 4.2 4.42543 4.67787 4.95904 5.270814 4.21276 4.45210 4.71976 5.01760 5.34766Dado el problema con valor inicial (1) y un punto especco x, cmo utilizar el mtodo de Euler para aproximar f(x)? Partiendo de x0, podemos dar un paso gigante que llegue hasta x, o podemos considerar varios pasos pequeos para llegar hasta l. Si quisiramos dar N pasos, entonces hacemos h (x x0) N, de modo que el tamao del paso h y el nmero de pasos N estn relacionados de una manera especca. Por ejemplo, si x0 1.5 y queremos aproximar f(2) usando 10 pasos, entonces h (2 1.5) 10 0.05. Es de esperar que mientras ms pasos consideremos, mejor ser la aproximacin. (Pero recuerde que ms pasos signican ms clculos y con ello un mayor error por redondeo).y5y2 52 5Utilice el mtodo de Euler para aproximar la solucin del problema con valor inicial (5) en x51, considerando 1, 2, 4, 8 y 16 pasos.Observacin. Note que la solucin de (5) es simplemente f(x) ex, de modo que el mtodo de Euler generar aproximaciones algebraicas del nmero trascendente e 2.71828 .55E JE M PLO 2526 53. 0 y y05Para obtener aproximaciones en x 1 N. Para N 1, tenemos554, f(x4)1 con N pasos, consideramos el tamao del paso hf(1) y2. En este caso, obtenemos55Para N2, f(x2)1. La frmula recursiva del mtodo de Euler es5yPara N5y, x05En este caso, f (x, y)5f(1) y4, donde. (En los clculos anteriores redondeamos a cinco cifras decimales). De manera anloga, al considerar N 8 y 16 obtenemos estimaciones cada vez mejores de f(1). Estas aproximaciones aparecen en la tabla 1.2. Como comparacin, la gura 1.16 de la pgina 28 muestra las aproximaciones poligonales de ex usando el mtodo de Euler con h 1 4 (N 4) y h 1 8 (N 8). Observe que el menor tamao del paso proporciona la mejor aproximacin. 5y55y5TABLA 1.25MTODO DE EULER PARA y = y, y(0) = 1NhAproximacin de f(1) e1 2 4 8 161.0 0.5 0.25 0.125 0.06252.0 2.25 2.44141 2.56578 2.637935SO LU CIN27El mtodo de aproximacin de Euler5Seccin 1.4Qu tan bueno (o malo) es el mtodo de Euler? Al juzgar un esquema numrico, debemos partir de dos preguntas fundamentales. Converge tal mtodo? Y, en tal caso, cul es la razn de convergencia? Estos importantes aspectos se analizan en la seccin 3.6, donde se presentan algunas mejoras al mtodo de Euler (vanse tambin los problemas 12 y 13). 54. Introduccin1.4en t 1, usando 1, 2, 4 y 8 pasos. 8. Utilice el mtodo de Euler para aproximar la solucin del problema con valor inicial y(0) 0 y 1 sen y , en x p, usando 1, 2, 4 y 8 pasos. 9. Utilice el mtodo de Euler con h 0.1 para aproximar la solucin del problema con valor inicial555 2 595en el intervalo 1 x 2. Compare estas aproximaciones con la solucin real y 1 x (verique!) y25# #55 5 5 255 51.2, 1.4, 1.6 y 1.8.2 59En los problemas 1 a 4, utilice el mtodo de Euler para aproximar la solucin del problema con valor inicial dado, en los puntos x 0.1, 0.2, 0.3, 0.4 y 0.5 usando un tamao del paso 0.1 (h 0.1). 1. dy dx x y , y(0) 1. 2. dy dx x y, y(0) 4 . 3. dy dx y(2 y) , y(0) 3 . 4. dy dx x y , y(0) 1 . 5. Utilice el mtodo de Euler con tamao del paso h 0.2 para aproximar la solucin del problema con valor inicial5culadora o computadora. Tambin ser conveniente que el lector escriba un programa para resolver problemas con valores iniciales mediante el mtodo de Euler. (Recuerde que todos los clculos trigonomtricos se hacen en radianes).6. Utilice el mtodo de Euler con tamao del paso h 0.1 para aproximar la solucin del problema con valor inicial y(1) 0 y x y2 , en los puntos x 1.1, 1.2, 1.3, 1.4 y 1.5. 7. Utilice el mtodo de Euler para aproximar la solucin del problema con valor inicial5! En muchos de los problemas siguientes ser til una cal-1 5 2 5 25 5 yy5y y y yen los puntos x1 4y1 85E J E R C ICI O S5Figura 1.16 Aproximaciones de ex usando el mtodo de Euler con hyCaptulo 1y28 55. Seccin 1.45en el intervalo 0 x 1. Compare estas aproximaciones con la solucin real y e x x 1 (verique!) gracando la aproximacin poligonal y la solucin real en el mismo sistema de coordenadas. 11. Utilice el mtodo de Euler con 20 pasos para aproximar la solucin del problema con valor inicial2 125# #en t 1. Compare la aproximacin con la solucin real x tan t (verique!) evaluada en t 1. 12. En el ejemplo 2 se aproxima el nmero trascendente e usando el mtodo de Euler para resolver el problema con valor inicial5 55Muestre que la aproximacin de Euler yn obtenemos mediante el tamao del paso 1 n est dada por la frmulaen el intervalo 0 x 2. (La explicacin del errtico resultado aparece en el problema 18 de los ejercicios 1.2).# #gracando la aproximacin poligonal y la solucin real en el mismo sistema de coordenadas. 10. Utilice el mtodo de Euler con h 0.1 para aproximar la solucin del problema con valor inicial29El mtodo de aproximacin de EulerIntercambio de calor. En esencia, hay dos mecanismos mediante los que un cuerpo fsico intercambia calor con su ambiente. La transferencia de calor por contacto a travs de la supercie del cuerpo es controlada por la diferencia entre las temperaturas del cuerpo y del ambiente; esto se conoce como la ley de enfriamiento de Newton. Sin embargo, la transferencia de calor tambin se debe a la radiacin trmica, que de acuerdo con la ley de radiacin de Stefan es controlada por la diferencia entre las cuartas potencias de estas temperaturas. En la mayor parte de los casos, uno de estos modos domina al otro. Los problemas 15 y 16 invitan al lector a simular cada modo de manera numrica para un conjunto dado de condiciones iniciales. 15. Ley de enfriamiento de Newton. La ley de enfriamiento de Newton establece que la razn de cambio en la temperatura T(t) de un cuerpo es proporcional a la diferencia entre la temperatura del medio M(t) y la temperatura del cuerpo. Es decir,ydonde K es una constante. Sea K 1 (minutos) 1 y consideremos constante a la temperatura del medio, M(t) 70F. Si el cuerpo tiene una temperatura inicial de 100F, utilice el mtodo de Euler con h 0.1 para aproximar la temperatura del cuerpo despus de (a) 1 minuto. (b) 2 minutos. 16. Ley de radiacin de Stefan. La ley de radiacin de Stefan establece que la razn de cambio en la temperatura de un cuerpo a T(t) grados en un medio a M(t) grados es proporcional a M 4 T 4; es decir,25Recuerde de sus cursos de clculo que5donde K es una constante. Sea K (40) 4 y supongamos que la temperatura del medio es constante, M(t) 70F. Si T(0) 100F, utilice el mtodo de Euler con h 0.1 para aproximar T(1) y T(2).2555y[Sugerencia: Use la regla de lHpital y el desarrollo de Maclaurin para ln(1 t)]. 14. Use el mtodo de Euler con h 0.5, 0.1, 0.05 y 0.01 para aproximar la solucin del problema con valor inicial2por lo que el mtodo de Euler converge (tericamente) al valor correcto. 13. Demuestre que la razn de convergencia del mtodo de Euler en el problema 12 es comparable con 1 n, mostrando que51 56. 30Captulo 1IntroduccinRESUMEN DEL CAPTULO En este captulo presentamos cierta terminologa bsica de las ecuaciones diferenciales. El orden de una ecuacin diferencial es el mximo orden de derivacin presente en ella. El tema de este texto son las ecuaciones diferenciales ordinarias, que implican derivadas con respecto de una sola variable independiente. Tales ecuaciones se clasican como lineales o no lineales. Una solucin explcita de una ecuacin diferencial es una funcin de la variable independiente que satisface la ecuacin en algn intervalo. Una solucin implcita es una relacin entre las variables dependiente e independiente que dene de manera implcita una funcin que es una solucin explcita. Por lo general, una ecuacin diferencial tiene una innidad de soluciones. En contraste, existen teoremas que nos garantizan la existencia de una solucin nica para ciertos problemas con valores iniciales en donde uno debe hallar una solucin de la ecuacin diferencial que adems satisfaga ciertas condiciones iniciales dadas. Para una ecuacin de orden n, estas condiciones se reeren a los valores de la solucin y de sus primeras n 1 derivadas en algn punto. Aunque uno no pueda determinar soluciones explcitas de una ecuacin diferencial, se pueden usar varias tcnicas como ayuda para analizar las soluciones. Uno de estos mtodos para ecuaciones de primer orden ve a la ecuacin diferencial dy dx f (x, y) como algo que especica direcciones (pendientes) en los puntos del plano. El conglomerado de tales pendientes es el campo de direcciones para la ecuacin. El hecho de conocer el ujo de soluciones es til para bosquejar la solucin de un problema con valor inicial. Adems, al llevar a cabo este mtodo en forma algebraica obtenemos aproximaciones numricas de la solucin deseada. Este proceso numrico se llama mtodo de Euler.25yEJ ER C I C I O S DE E SCR I TURA TCNICA 1. Elija cuatro campos (por ejemplo, astronoma, geologa, biologa y economa) y para cada campo analice una situacin donde se apliquen ecuaciones diferenciales para resolver un problema. Elija ejemplos diferentes a los de la seccin 1.1. 2. Compare las distintas clases de soluciones que se analizaron en este captulo (explcitas, implcitas, grcas y numricas). Cules son las ventajas y las desventajas de cada uno? 57. Proyectos de grupo para el captulo 1P R OY E C T O S D E G R U P O PA R A E L C A P T U L OA.311Mtodo de series de Taylor! El mtodo de Euler se basa en que la recta tangente proporciona una buena aproximacin local de la funcin. Pero por qu restringirnos a aproximaciones lineales cuando disponemos de aproximaciones mediante polinomios de orden superior? Por ejemplo, podemos usar el polinomio de Taylor de grado n en torno de x x0, denido por5Este polinomio es la n-sima suma parcial de la representacin en serie de TaylorPara determinar la serie de Taylor de la solucin f(x) del problema con valor inicialslo necesitamos determinar los valores de la derivada de f (suponiendo que existen) en x0; es decir, f(x0), f (x0), . . . . La condicin inicial proporciona el primer valor f(x0) y0. Usamos la ecuacin y f (x, y) para hallar f (x0) f (x0, y0). Para determinar f (x0) derivamos la ecuacin y f (x, y) de manera implcita con respecto de x para obtener 590595959con lo que podemos calcular f (x0). 0(a) Calcule los polinomios de Taylor de grado 4 para las soluciones de los problemas con valores iniciales dados. Use estos polinomios de Taylor para aproximar la solucin en x 1. 5(b) Compare el uso del mtodo de Euler con el de las series de Taylor para aproximar la solucin f(x) del problema con valor inicialPara esto, complete la tabla 1.3 de la pgina 32. D las aproximaciones para f(1) y f(3) redondeando a milsimos. Verique que f(x) sen x e x y use esta frmula y una calculadora o tablas para determinar los valores exactos de f(x) redondeados a milsimos. Por ltimo, decida cul de los primeros cuatro mtodos de la tabla 1.3 proporcionar la mejor aproximacin de f(10) y justique su eleccin. (Recuerde