ELIPSEDefinición: una elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. Sea F1

y F2 dos puntos del plano y sea d una constante mayor que la distancia F1 F2. Un punto Q pertenece a la elipse de focos F1 y F2 si: F1 Q + F2 Q = d = 2a donde a es el semieje mayor de la elipse.

ELEMENTOS DE LA ELIPSE

Vértices : A, B, C, D Distancia Focal : F1 F2 = 2 cEje mayor o focal : AB = 2 aFocos : F1 y F2

Eje menor : CD = 2 b Centro : C

Perímetro de una elipse en función de la longitud de sus ejes (a y b) es:

π (A + B), donde:A = (a + b) / 2; y B = raíz[ (a² + b²) / 2 ]

En la siguiente grafica complementamos los elementos de la elipsea) En el triangulo OAF2 se cumple a²= b²+c²b) Los vértices de la elipse son A1(-a, 0), A2(a, 0), B1(0, -b), B2(0, b).c) Los focos de la elipse son F1(-c, 0), F2(c, 0),d) Los vértices cortan aleje en X en a y –ae) Los vértices cortan al eje en Y en b y –b

ECUACIÓN DE UNA ELIPSELa ecuación de la circunferencia es x2 + y2 = r2. Si ambos lados se dividen

por r2: (x2/r2) + (y2/r2) = 1La ecuación de una elipse es esa misma con una pequeña modificación:

(x2/a2) + (y2/b2) = 1

CONSTRUCCIÓN DE UNA ELIPSEUn truco sencillo para construir una elipse consiste es colocar un clavo o alfiler

en cada foco de la elipse.

Luego anudamos un hilo, de acuerdo al limite que deseemos lograr o bien ajustándolo en la medida máxima. Tomamos un lápiz y lo deslizamos perpendicularmente a la hoja con el límite que nos permite el hilo y así le damos forma a la elipse. Fácil, no? Esta es la idea para graficar la elipse en nuestro Jardín Elipsoidal.

EJERCICIOS RESUELTOSEJERCICIO 01. Dibujar la elipse (x2/64) + (y2/16) = 1Solución: Ya sabemos que la elipse corta a los ejes en x=±8 y en y=±4. Añadimos algunos puntos: (a) Escoger y = 2. Luego de la ecuación (x2/64) + (4/16) = 1. Restamos 1/4 en ambos lados (x2/64) =3/4 Extraemos la raíz cuadrada x/8 = √(3)/√(4) = 1.732/2 = 0.866 de la cual x = 6.93 con una exactitud razonable. (b) Escoger y = 3. Luego de la ecuación (x2/64) + (9/16) = 1. Restamos 9/16 en ambos lados (x2/64) =7/16 Extraemos la raíz cuadrada x/8 = √(7)/√(16) = 2.6457/4 = 0.6674 de la cual, aproximadamente, x = 5.29 De nuevo, x e y pueden ser de cualquier signo. Obtenemos 12 puntos, suficientes para una gráfica tosca: x 8 6.93 5.29 0 -5.29 -6.93 -8 --6.93 -5.29 0 5.29 6.93 ( 8 )

y 0 2 3 4 3 3 0 -2 -3 -4 -3 -2 ( 0 )

EJERCICIO 02. Halle la ecuación de la elipse que tiene su centro en (0, 0) y cuyos focos son los puntos F (3, 0) y F’(-3, 0), además el intercepto de la gráfica con el eje x es el punto (5, 0). Solución: Como la elipse corta al eje x en el punto (5, 0) se deduce que a = 5 y como c = 3 se tiene que, y por tanto

. De esta forma, los vértices de la elipse son los puntos V1 (5, 0), V2 (-5, 0), V3 (0, 4) y V4

(0, -4). Además, su ecuación viene dada por:

EJERCICIO 04. Halla la ecuación de la elipse que se origina en el papel milimetrado del jardín elipsoidal.

EJERCICIO 05. Trazar la elipse cuya ecuación viene dada por: 25x2 + 4y2 = 100 Solución: La ecuación: 25x2 + 4y2 = 100, puede escribirse en las formas equivalentes:

125

²4² =+ yx

(porqué?) La última ecuación corresponde a una elipse centrada en el origen cuyo eje mayor es b = 5 y eje menor es a = 2. Además, los focos de la elipse están localizados sobre el eje y.

De otro lado, , de donde y en consecuencia, los focos se encuentran localizados en

los puntos y . Además, los vértices de la elipse son los puntos: V1(2, 0), V2(5, 0), V3(-2, 0) y V4(-5, 0).

EJERCICIO 06. Determine el centro, los vértices, los focos y dibujar la elipse que tiene por ecuación: 4x2 + y2 –16x + 2y + 13 = 0 Solución: La ecuación dada se puede escribir en las formas equivalentes:

(Complementación de cuadrado)

(Factorización y simplificación)

(Dividiendo por 4) Esta última ecuación corresponde a la elipse cuyo centro es el punto C(2, -1), semiejes;a = 1 y b = 2. Como a < b, el eje focal es paralelo al eje y y tiene por ecuación x = 2 (ver fig. 6.5.10.). Los vértices son los puntos V1(2, 1), V2(2, -3), V3(3, -1) y V4(1, -1).

Como , se tiene que los

focos están localizados en los puntos y .