Trabajo final matematica 2

MATEMÁTICA II

TRABAJO FORMATIVO MATEMATICO

PROFESOR : SONIA ESCALANTE

CARLOS BRAVO

INTEGRANTES : ACOSTA ALARCÓN, JUAN

CIGARAN RICALDI, GUILLERMO

ESPINOZA BRAVO, JACK

FLORES PUSTELNYKOVA, DIANA

HUAMÁN ESCOBAR, KARINA

JESUSI MIRANDA, IVELISE

PAREDES LENCI, KEYLA

VALDERRAMA SORIANO, LUIS

LIMA – 2014

TFM – Matemática II

2

E-mail: [email protected]

Contraseña: matematica2

PROBLEMAS

INTEGRANTES 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Acosta Alarcón, Juan x

Cigaran Ricaldi, Guillermo x x

Espinoza Bravo, Jack x x

Flores Pustelnykova, Diana x x

Huamán Escobar, Karina x x

Jesusi Miranda, Ivelise x x

Paredes Lenci, Keyla x x

Valderrama Soriano, Luis x x

mailto:[email protected]


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EJERCICIO 1

Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta.

a. Si y = entonces el valor de cuando x = 9 y es 2.

-> …. (*)

Luego sea y= f(x) =

-> f´(x)= 2x+2

Datos: x=9,

En (*): dy

dy = (2*9+2) (0,1)

dy = (20) (0,1) = 2

Es verdadero

b. Si y = entonces y’ =

f(x) =

f´(x) =

f´(x) =

Es verdadero.

c. Si y = (2,5)10,5, entonces

Falso pues Si f(x) = K, donde k es constante.

f´(x)= 0.


4

d. Si f(x) = entonces f´´´(x) =

Sea f(x) = = (2x-5)-1

f´(x)= -2 (2 x -5)-2 (2) = - 2 (2X -5)-2

f´´(x) = 4 (2 x -5)-3 (2) = 8 (2x - 5)-3

f´´´(x) = -24 (2 x -5)-4(2) = -48 (2 x -5)-4 =

Es falso.

EJERCICIO 2

Determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. Justifique su respuesta

a. Si y = , luego siempre se cumple que

Falso, pues si y = x2+ 2x

dy = (2x + 2) dx

b. Si y = (2,5)10,5,

Falso pues Si f(x) = K, donde k es constante.

f´(x)= 0.

c. Si y = f (sen x), entonces

Falso, pues y = f (sen x)

y´= f´ (sen x) cos x


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d. Siempre es cierto que

Sabemos que:

Para nuestro caso g(x) = x

En (*) se obtiene:

o

Verdadera

EJERCICIO 3

En cada uno de los ejercicios siguientes, determine la derivada y’

a.

b.


6

c.

EJERCICIO 4

Los ingenieros de marketing de la empresa SUR S.A. han establecido la demanda

que relaciona la cantidad (q) demandada de luminarias, al precio p

nuevos soles por luminaria.

a. Los agentes de venta han indicado “…cuando q = 900 luminarias, una disminución en

el precio produce un aumento en el ingreso”. ¿Está usted de acuerdo con esta

afirmación? Justifique.

Sea

1º hallaremos:

Sabemos que: = , cuando p = g(q)

Con ello:

Luego si q =900 (dato)

p = 60

La elasticidad de la demanda para g = 900 es


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La demanda es elástica.

Ahora del Ingreso Marginal :

= 60

Tenemos que la demanda es elástica

n= -2 < 1 y

La función ingreso es Creciente.

Ahora, los agentes de venta indicaron cuando q = 900, una disminución en el precio

produce un aumento en el ingreso.

Esto es verdadero, vimos que la demanda es elástica, entonces si disminuimos

precio aumenta la cantidad y vimos que el ingreso marginal

b. Modele la expresión que permita calcular la elasticidad de la demanda en función de

“q”

Ed= , q: cantidad p: precio.


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EJERCICIO 5

Considere la curva definida por la ecuación

a. Modele las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva dada que sean paralelas a la

recta

Sea la recta 3x – 2y + 13 = 0

y = 19x + 13/2

Dónde: m = 19 (pendiente de la recta)

Luego de la curva:

y = 2x3 - 5x + 1

= 6x2 -5 (pendiente de la recta tangente a la curva)

Luego sea (a, b) 6 el punto de tangencia.

= 6a2- 5 = 19

Luego como la recta tangente a la curva es paralela

A la recta y = 19 x +

Luego hallamos b para cada valor de a.


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Reemplazamos en la curva:

(2,7) y (-2,-5) son los puntos de tangencia de la curva.

Finalmente de la ecuación de la recta: y – yo = m(x- xo)

Se obtiene, m = 19

Ecuaciones de las rectas tangentes a la curva dada y que son paralelas a y = 19x + 13/2

b. Determine los valores de x para los cuales la recta tangente a la curva dada sea

normal a la recta

Sabemos:

= 6x2 – 5 (Por el ejercicio anterior)

(Pendiente de la recta tangente de la curva dada)

Además debemos recordar: si solo si m1.m2 = -1

Si L2: x + y = 3 --> y = -x + 3

m1 = 1

m1 = 1, m1 es la pendiente de la recta tangente a la curva.

6 x2 – 5 = 1


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EJERCICIO 6

El costo total C (en nuevos soles) por fabricar q unidades de un producto, está dado por

a. Determine la variación real del costo cuando el nivel de producción aumenta de 10 a

11 unidades. Interprete su resultado.

C (10) = 10 (10)2 + 30 (10) + 150

= 1000 + 300 + 150 = 1450

C (11) = 10 (11)2 + 30 (11) + 150 = 1690

Esto quiere decir que el costo exacto de producir la unidad 11 es 240.

b. Determine la razón de cambio promedio del ingreso cuando el nivel de producción

disminuye de 15 a 10 unidades.

R.C.P =

R.C.P =

La R.C.P. del costo, cuando el nivel de producción disminuya de 15 a 10 es de 280.

c. Modele la fórmula que permita calcular el costo marginal para cualquier valor de q

CM = C´(q)

CM = 20q + 30

Significa que el costo aproximado de producir una unidad adicional a q es 20q + 30.


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d. Modele la fórmula que permita calcular la razón de cambio relativa del costo para

cualquier nivel de producción.

Razón cambio relativo

(R.C.R) =

R.C.R =

R.C.R =

EJERCICIO 7

TR SRL es una empresa que cuenta dos tipos de unidades de transporte, camiones y

camionetas. El departamento de mantenimiento determina que cuando los camiones

trabajan Q1 horas diarias, y las camionetas trabajan Q2 horas diarias, entonces se puede

generar utilidades definidas por dólares diarios. En la

actualidad, los camiones trabajan L horas diarias y las camionetas N horas diarias.

U (L, N) = 3L2 – 2 N2

a. Modele la fórmula que permita obtener la utilidad marginal con respecto a la

cantidad de horas trabajadas por los camiones.

UM (L) =

b. Modele la expresión que permita calcular la variación aproximada de la utilidad al

aumentar el número de horas de trabajo de las camionetas, en y disminuir el

número de horas de trabajo de los camiones, en .

Recordar:


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En nuestro caso: L1 = L, L2 = L -

= L -

= - (Cumple porque los camiones disminuyeron sus horas de trabajo)

Luego: N1 = N, N2: N +

= N + = (Se incrementa a las camionetas)

Luego: ,

Entonces reemplazando en (*)

dU= (6L) (-

dU= -6L(

c. Modele la expresión que permita calcular la variación real de la utilidad al disminuir

una hora de trabajo de las camionetas, y aumentar dos horas de trabajo de los

camiones.

N: Nº de horas de las camionetas, L: Nº de horas de los camiones

L1 = L

L2 = L + 2

= 2

N1 = N

N2 = N – 1

Luego la variación real de la utilidad es:

U (

= 3

=

=

=

= 12L – 4N + 14


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EJERCICIO 8

Elija

convenientemente

una de las

expresiones

contenidas en la

primera columna y

complete las

proposiciones

presentadas en la

segunda columna,

de modo que sean

verdaderas.

COLUMNA I

COLUMNA II (PROPOSICIONES)

I.

II.

III. 3 *

IV.

a) Luego de derivar la función definida por , se

obtiene

I. 1 II. 2 III. 3 IV. 4

b) Si entonces la variación real de f al

pasar de (1;2) a (2;1) es: __________________

I. positivo

II. negativo

III. cero

IV. no existe

c) Consideremos que la variable q, representa a cantidad de cierto

artículo medido en toneladas, la función ingreso, por las ventas de

dicho artículo (en cientos de dólares) es definida en términos de la

cantidad mediante , luego el ingreso marginal

para cuando la cantidad sea de 4 toneladas, nos resulta un valor:

a. Luego de derivar la función definida por , se obtiene

f (x) = 23x

f’ (x) = Ln(2) 23x (3)

Rpta. III

b. Si entonces la variación real de f al pasar de (1;2) a (2;1) es:

si f (x,y), (x1, y1) = (1, 2)

(x2, y2) = (2, 1)

Z = f (x2, y2) – f (x1, y1)

= f (2, 1) - f (1, 2)

= 22 – 2(2)(1) + 1 – [12 – 3(1) (2) + 1]

= -1 – [-4] = -1 + 4 = 3

Rpta. III


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c. Consideremos que la variable q, representa a cantidad de cierto artículo medido en

toneladas, la función ingreso, por las ventas de dicho artículo (en cientos de dólares) es

definida en términos de la cantidad mediante , luego el ingreso

marginal para cuando la cantidad sea de 4 toneladas, nos resulta un valor :

I(x) = I’(x)

= 20 –

Luego piden: IM (4):

IM (4) = 20 –

Es positivo Rpta : I

EJERCICIO 9

Las proyecciones del número de postulantes que tiene cada año la USIL, es una función

de los gastos que se hace en publicidad por radio y televisión. La función que expresa

esta función viene dada por:

Considere que la variable Q representa el número de postulantes, x es la variable que

representa la cantidad de dinero destinado a la publicidad en televisión e y es la variable

que representa la cantidad que se gasta en publicidad por radio (x e se expresa en miles

de nuevos soles). Este año la universidad ha destinado S/.60 000 a la publicidad por

televisión y S/. 30 000 a la publicidad por radio.

Q: # de postulantes

x : cantidad de dinero para publicidad en tv.

y : cantidad de dinero para publicidad en radio

x,y se expresa en miles de soles

Este año se ha destinado S/. 60,000 para la publicidad en TV

S/. 30,000 para la publicidad en radio

x = 60, y = 30


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a. Estime en cuanto varía aproximadamente el número de postulantes, si se hubieran

asignado S/. 2000 más a la publicidad por televisión, manteniéndose en S/. 30 000

para la publicidad en radio.

Solución:

El incremento de S/2000 sería x2 = 62

Recordar:

dQ = (400 – 4x – 5y) + (600 – 2y – 5y)

dQ = (400 – 4(60) – 5(30)) (2)

dQ= 20

Varía aprox. en 20 postulantes.

b. Estime en cuanto varía aproximadamente el número de postulantes, si se hubieran

asignado S/. 3000 menos a la publicidad por radio, manteniéndose en S/. 60 000 a la

publicidad por televisión.

, dado que se le asigna a y2 tres mil soles menos

Sabemos que x= 60, y = 30

Por lo anterior:

dQ= , como

dQ= … (*)

De lo anterior:

= 600 – 2y – 5x


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Luego reemplazamos: x = 60, y = 30, en (*)

dQ = 600 – 2(30) – 5 (60)) (-3) = -720

Varía aprox. en 720 personas.

c. Si para el próximo año se asignan S/. 63 000 a la publicidad por televisión y S/.32 000

a la publicidad por radio. Estime el efecto aproximado sobre el número de

postulantes que tendría la universidad para el próximo año.

Sea X1= 60

Y1= 30

Dato: X2 = 63

Y2 = 32

Luego de:

dQ =

dQ = (400 – 4x – 5y) ….(*)

Luego reemplazamos: x = 60, y =30;

En (*):

dQ = (400 – 4(60) – 5(30))3 + (600 – 2(30) – 5(60))2

= 30 + 480 = 510

Varía aprox. en 510 personas respecto a la actualidad.


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EJERCICIO 10

Se tiene la siguiente función de producción P (K; L) = 20 K1/2L3/4, en donde L representa la

fuerza laboral y K al capital invertido.

a. Simplifique la siguiente expresión

Sea P (K, L) = 20 K1/2 L3/4

Luego reemplazando en la expresión:

E= 10 K ½ L3/4 + 15 K1/2 L3/4

E= 25 K1/2 L3/4

b. En caso L = 4 y K = 1. Calcule la expresión

Se tiene la función de producción

P (K, L) = 20 K1/2 L3/4, L: La fuerza laboral

K: Capital invertido

Hallar usando las derivadas parciales del ejercicio anterior


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EJERCICIO 11

Considere que q1 y q2 representan el número de unidades vendidas de los productos A y

B (respectivamente) de una compañía. Se sabe que los ingresos semanales (en dólares),

se definen por:

I (q1; q2) = - 20q12 – 25q2

2 – 20q1q2 + 20 000q1 + 16 000q2,

a. Calcule (200; 150) y 2 (200; 150)

Luego:

b. Interprete los resultados obtenidos en (a)

i) significa que el ingreso aumentara en $9000 semanales si la venta del producto A

aumenta en unidad y la venta del producto B permanece constante.

ii) significa que el ingreso aumentara en $ 4 500 semanales, si la venta del producto B

aumenta en unidad y la venta del producto A permanece cte.

c. Considerando los resultados del ítem (a), el gerente de producción afirme “...a la

compañía, le conviene aumentar la producción de A, sin alterar la producción de B”

¿Está usted de acuerdo con la afirmación? Justifique.


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Sí, porque esas unidades vendidas general mayor ingreso

EJERCICIO 12

Determine el valor de verdad de las siguientes preposiciones. Justifique.

a. Es cierto que el determinante de la matriz

Verdadero

b. El único punto crítico de la función f(x; y) = x3 – 3x + y2 - 2 es (1; 1)

= 3x2 – 3 = 0

=2y = 0

3x2 – 3 = 0 2y = 0

X2 = 1 y =0

X = ± 1

(1,0) Y (-1,0) son los puntos críticos. Falso

c. Si f(x; y) = e2y-x entonces siempre se cumple que fxy (x; y) = 2e2y-x

Falso


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EJERCICIO 13

Sea f una función definida por f(x; y) = x2 + y3. Modele la matriz Hessiana de f.

Si

Modele la matriz BA, si es posible.

Se cumple x = zey - ez. Modele una expresión para la derivada parcial

a. Modele la matriz Hessiana de f

Hf =

b. Modele la matriz BA

c. Modele

X = ZeY - ez


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0 = zey - ez – x = f(x1 y1 z) y z = f(x, y)

Podemos aplicar que

Hallaremos

i) y

ii) = ey - ez

En (y):

= …… y z

EJERCICIO 14

Sea f una función de dos variables definida por

f (x; y) = 12x – x3- 4y2.

a. Verifique que los puntos críticos de función son (2; 0) y (-2; 0). Solo se considerará el

procedimiento de justificación.

fx = 12 – 3x2 = 0

= fy = -8y = 0

Desarrollamos el sistema formado

12 – 3x2= 0 // - 8y = 0

12 = 3x2

X = ± 2 // y = 0

Los puntos críticos son


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(2,0) ^ (-2,0)

b. Clasifíquelos los puntos críticos, como máximos, mínimos o puntos sillas.

fxx = -6x

fyy = - 8

fxy = fyx = 0

= (-6x) (-8) = 48 x

Entonces evaluando en (2,0)

= 48 (2) = 96 >0

Y fxx (2,0) es un max. Relativo

Ahora en (-2, 0)

= 48 (-2) = -96 < 0

No es un extremo relativo, es un punto silla.

EJERCICIO 15

JR S.A. es una empresa de confecciones textiles y tiene cautivo el mercado, con dos

modelos de camisas.

Modelo de camisa tipo clásico, su costo de fabricación es S/.30 por unidad.

Modelo de camisa tipo moderno, su costo de fabricación es de S/. 40 por unidad.

El departamento de marketing indica que, si modelo clásico de camisa se vende a “Y”

nuevos soles por unidad y si el modelo se vende a “X” nuevos soles por unidad,

entonces el impacto diario será:

Ventas diarias del modelo de camisa clásico es (70 - 5y + 4y) unidades y


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Ventas diarias por el modelo de camisa moderno es (80 + 6y – 7x) unidades x

Costo Modelo clásico se vende a : y

Y el modelo moderno se vende a: x

Las ventas serían diarias:

Tipo clásico: (70 – 5y + 4x)

Tipo moderno (80 + 6y – 7x)

a) Determine el precio de cada modelo para obtener la máxima utilidad determina la

máxima utilidad:

U = U Tipo Clásico + Utipo Moderno

U Tipo Clásico = Itipo Clásico – Ctipo clásico

= (70 – 5y + 4x) y –(30) y

= 70 y – 5y2 + 4xy – 30y

Utipo Clásico = -5y2 + 4xy + 40 y ….(*)

Utipo Moderno = Itipo Moderno - Ctipo Moderno

= (80 + 6y – 7x) x – 40Xx

= 80 x + 6 xy – 7x2 – 40x

Utipo moderno = -7x2 + 6xy + 40 x…. (**)

Luego de U = Utipo clásico + Utipo moderno

U = -5y + 4xy+ 40y – 7x2 + 6xy + 40x

Ahora hallamos los puntos críticos de la función U

UX= 4y – 14x + 6y + 40 = 0

UY = -0y + 4x + 40 + 6x = 0


24

i) 4y – 14x + 6Y + 40 = 0

10y + 40 – 14 x = 0

5y = 7x - 20

……. (1)

ii) -10 y + 4x + 6x = 0

10 x + 40 – 10 y = 0

x + y = y….(2)

De (1) y (2) :

= x + 4

7x – 20 = 5x + 20

2x = 40

x = 20

y = 24

Punto crítico (20,24)

Luego lo clasificaremos:

UXX (20, 24) = -14

UYY (20, 24) = -10

UXY (20, 24) = UYX (20, 24) = 10

Hf (20, 24) =

HF (20, 24) = (-14) (-10) – 102

= 140 – 100 = 40 >0

Y vemos q Uxy (20, 24) < 0

Por lo tanto alcanza un máximo relativo en (20, 24)


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b) Hallar la utilidad máxima

U (x, y) = - 5y2 + 4 xy + 40 y – 7x2 + 6xy + 40 x

U(X, Y) = -5Y2 – 7X2 + 10 xy + 40 y + 40 x

Reemplazamos el punto crítico (x, y) = (20, 24) en nuestra función U

U (20, 24) = S/. 880.00

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Trabajo final matematica 2