n=N+67 K1 K2 T1 T2 T3

Grupi 2B n n+6 0.1 K1 0.02 K1 0.002 K1

73 79 85 7.9 1.58 0.158

1. Te gjendet funksioni transmetues per gjendjen e hapur dhe te mbyllur sipas

hyrjes dhe sipas shmangies.

- Frunksioni transmetues per gjendjen e hapur.

- Funksioni transmetues per gjendjen e mbyllur

-Funksioni transmetues sipas shmangies

2. Te percaktohen polet e konturit te hapur dhe te mbyllur, te komentohet

vendosja e tyre ne rrafshin e numrave komplekse.

Polet jane rrenjet e polinomit ne emerues duke e barazuar me zero.

-Polet per konturin e hapur

Kemi 3 pole dhe nga zgjidhja e ketij polinomi merren keto rrenje

-6.3289 -0.6329

-0.1266

Kemi 3 rrenje te dala nga ekuacioni karakterisitik ku jane real negativ

-Polet per konturin e mbyllur

-17.6918

5.3017 +12.8208i 5.3017 - 12.8208i

Kemi 3 rrenje te dala nga ekuacioni karakteristik nga te cilat 1 eshte real negativ dhe 2 jane komplekse

Keto rrenje njihen dhe si rrenje te procesit, te cilat jane shume te rendesishme te, ato na japin

informacion te plot per situaten e konturit te mbyllur. Nese do te gjykojme mbi polet i kemi me real

pozitive dhe real negativ. Eksponencat me real negative do te shuhen ,pra nuk do te kemi luhateje.

Eksponencat me real pozitiv do te rriten pambarimisht, pra nuk do te kemi nje stabilizim te sistemit.

Duke gjykuar mbi vendosjen e poleve ne rrafshin e numrave komlekse sistemi jone eshte i

paqendrueshem sepse kemi 2 pole djathtas te cilat perfaqesojne eksponenca qe rriten pambarimisht

ndersa poli me real negativ do te jete sinusoide qe nuk shuhet.

3. Te ndertohet KAF, KLA dhe KLF

Percaktojme KAF

Nga fusha operatore e Laplasit kolojme ne rrafshin e frekuences.

Pjesa reale dhe imagjinare e funksionit

Percaktojme

Percaktojme per pjesen reale dhe imagjinare

Pjesa reale

=0 => 0.26745

Pjesa imagjinare

=0 => (9.638-1.9722 2)=0

0 0.174 0.26745 1.38 2.21064 4.358 ∞

Re( ) 6715 1270.11 0 -238.1652 -99.7499 -20.9796 0

Im( ) 0 -3594.12 - 2643.7 -75.4503 0 9.6157 0

R( ) 6715 4261.03 2643.7 249.8308 99.7499 23.0783 0

φ( ) 0 -70.5 - -17.5 0 24.6 П/2

Ndertojme KLA dhe KLF

Ndertojme KLA-ne

1. G1(s)=6715

L1(ω)=20 log 6715 = 76.54 dB

Pjerresia 0dB/dec φ1= 0

2. G2(s) = 1 / 7.9s + 1

L2(ω)=20 log (R/ω)= 20 log = - 20 log

,126.0:/20)(

126.0;0:/0)(

126.09.7

1

)(2

1

decdBL

decdBL

sek

L

pr

φ2= -artg 7.9 ω

3. G3(s) = 1 / 1.58s + 1

L3(ω)= 20 log (R/ω)= 20 log = - 20 log

,63.0.....:/20)(

63.0;0........:0)(

63.058.1

1

)(3

1

perdecdbL

perL

sek

L

pr

φ3= -artg 1.58 ω

4. G4(s) = 1 / 0.158s+1

L4(ω)= 20 log (R/ω)= 20 log = - 20 log

,33.6.....:/20)(

33.6;0........:0)(

33.6158.0

1

)(4

1

perdecdbL

perL

sek

L

pr

φ4 = -artg 0.158 ω

Ndertojme KLF-ne

ω 10-2

10-1

100

101

102

103

∞

φ1 0 0 0 0 0 0 0

φ2 -4.5 -38.3 -82.78 -89.27 -89.9 -89.99 -90

φ3 -0.91 -8.978 -57.67 -86.37 -89.63 -89.99 -90

φ4 -0.09 -0.91 -8.978 -57.67 -86.37 -89.63 -90

φ -5.5 -48.18 -149.4 -233.3 -265.9 -269.61 -270

4. Te ndertohet KAF , KLA dhe KLF ne ambientin MATLAB

KLA, KLF

KAF

KAF e afruar

5. Te studiohet qendrushmeria e sistemit te mbyllur me dy kriteret algjebrike

.Te gjendet koeficienti kritik K per gjendjen e hapur dhe te arsyetohet per

qendrushmerin e sistemit te mbyllur.

Kriteri Hurwitz thote:

Nje kontur i mbyllur me ekuacionin karakteristik F(S)=0 do te emertohet si konture i

qendrushem kur plotesohen kushtet e nevojshme dhe te domozdoshme qe, per an>0 , te gjithe

minoret e fituar sipas diagonales kryesore te jene pozitiv.

T1= 7.9 T2= 1.58 T3= 0.158 K1= 79 K2= 85

F(S)= T1*T2*T3*s3+(T1T2+T2T3+T3T1)s

2+(T1+T2+T3)s+1+K1*K2

= 7.9*1.58*0.158s3+(7.9*1.58+1.58*0.158+7.9*0.158)s

2+(7.9+1.58+0.158)s+1+79*85

=

a3>0 Δ1=a2>0

Δ2=

Sistemi eshte i pa qendrushem

Qe sistemi te jet i qendrushem duhet qe koeficenti K te jete me i vogel se koeficienti kritik .

Llgarisim koeficientin kritik.

Koeficienti kritik Kkr

Kriteri Rauth thot:

Qe nje konture i mbyllur i nje kontrolli automatik te jete i qendrushem duhet dhe mjaftone qe

. elementet e kolones se pare te tabeles se Rauthit te jene pozitive.

Ndertojme tabelen

1)- Kriteri i pare , te gjithe koeficientet te jene pozitive ---plotesohet

2)- Kushte i nevojshem , koeficenti i kolones se pare duhet te jene pozitiv.

Llogarisim koeficentin e kollones

b2 = 0

c1 = (b1*a0 - a2*b2) / b1 = 6716

Kushti i dyte nuk plotesohet sistemi nuk eshte i pendrushem

Studiojme konturin e mbyllur per gjendjen e hapure ne kufi te qendrueshmeris me kriterin Rauth si

dhe percaktoim koeficentin kritik per kete gjendje

Ndertoim tabelen

Rreshti 1 1.9722 9.638 0

Rreshti 2 13.9798 1 + 6715 kp 0

Rreshti 3 b 0 0

Rreshti 4 1 + 6715 kp 0 0

Ku b

b = 13.775 – 1374.07 kp

Qe konturi i mbyllur te jete i qendrushem duhet dhe mjaftone qe kolona e pare majtas te jete me shenje

pozitive pra b > 0 ose 13.775 – 1374.07 kp > 0 pra dele qe kp < 0.010025 dhe gjithashtu

1 + 6715 kp > 0 ose 6715 kp > -1 pra marim kp > 0.000149

Perfundimishte duhet koeficenti kp = 0.010025 konturi paraqet situat kritike

Kkr = 6715 kp = 6715 0.010025 = 67.34

6. Te ndertohen pergjigjet kalimtare si dhe KAF per koeficent k<Kkr , k=Kkr

, k>Kkr Pergjigja kalimtare per koeficent k>Kkr

num=6715 ; eme=[1.9722 13.9798 9.638 68.34]; sys=tf(num,eme) step (num,eme)

yf=dcgain(num,eme) hold on impulse(sys) hold off nuk stabilizohet

Pergjigja kalimtare per koeficent k=Kkr

num=6715 ; eme=[1.972232 13.979845 9.638345 68.32];

sys=tf(num,eme) step (num,eme)

hold on impulse(sys) hold off

Pergjigja kalimtare per koeficent k<Kkr

num=6715 ; eme=[1.9722 13.9798 9.638 13.34]; sys=tf(num,eme) step (num,eme)

yf=dcgain(num,eme) hold on impulse(sys) hold off Stabilizohet ne piken 504.1291

7. Te analizohet qendrushmeria me karakteristikat e frekuences

Kriteri i Argumentit

F(S)= 1.9722 s

3 + 13.9798 s

2 +9.638 s + 1+k

F(jω)= 1.9722 (jω)3 + 13.9798 (jω)

2 +9.638 jω + 1+k

F(jω)= -1.9722 jω3 - 13.9798 ω

2 + 9.638 jω + 1+k

F(jω)= D(jω) + k(jω)

Ndajme pjeset reale me ate imagjinare

U(ωk)=Kkr=13.9798 2.2112 – 1= 67.34

Kkr = 67.34

Vlersimi i kriterit te Argumentit

Ekuacioni karakteristik i dhene eshte i rendit n=3 . dhke ditur qe kemi dy rrenje nga e djathta

Perkatesishte :

S2 = 5.3017 +12.8208i

S3 = 5.3017 - 12.8208i

l = 2

ndryshimi i argumentit do te jete

Qendrushmeria per konturin e mbyllur do te jete kur polet te jene te gjithe nga e majta e boshtit

imagjinare pra l=0 dhe do te kishim

p

Sistemi eshte i pa qendrushem

Kriteri Nyquist

Duhet qe amplituda per gjendjen e hapur te jete

per , do te kaloj ne piken (-1,j0)

-1.9722 jω3 - 13.9798 ω

2 + 9.638 jω + 1= - kr

=>

ω=0

E zevendesojme te ekuacioni 1

=> kr=67.34

8. Te ndertohet vendi gjometrik i rrenjeve , te vleresohet koeficienti kritik.

Hapi 1.

Funksioni trasmetues ne gjendje standarte

Hapi 2.

Polet dhe zerot

n=3 S+0.1266=0 => P1= - 0.1266

S+0.6329=0 => P2= - 0.6329

S+6.329 =0 => P3= - 6.329

Numri i poleve ne origjin = 0

Numri i zerove m=0

Hapi 3.

Vendosja e poleve dhe zerove ne planin kompleks S

Hapi 4.

Percaktojme segmentin e VGJR-se

Hapi 5.

Numri i trajektoreve te VGJR-es eshte

n + – m = 3 + 0 – 0 = 3 Kemi 3 trajektore

Hapi 6.

Percaktimi i asimtotave duke percaktuar pikeprerjet ne boshtin real

K= n + – m – 1 = 3 + 0 – 0 – 1= 2

K= 0 1 2 –

K= 0 –

K= 1–

K= 2–

Hapi 7 .

Pikeprerja e VGJR-se ne boshtin real

B(s) = 1

A(s)=(7.9s+1)(1.58s+1)(0.158s+1)= 1.9722 s3 + 13.9798 s

2 +9.638 s + 1

dA / ds= 5.9166s2 + 27.9596s + 9.638

dallori b2 – 4ac = (27.9596)

2 – 4 5.9166 9.638 = 781.739 – 228.096 = 553.64

rrenjet

S1 - > perfshihet , ndodhet brenda segmentit te VGJR-es

Hapi 8 .

Pikeprerja e VGJR-es me boshtin imagjinar

Re [A(jω)] Im [B(jω)] – Re [B(jω)] Im [A(jω)] = 0

Re [A(jω)] = (1-13.9798ω2)

Im [B(jω)] = (9.638ω-1.9722ω3)

Re [B(jω)] = 1

Im [A(jω)] = 0

Pra kemi

0 – 1 (9.638ω – 1.9722ω3) =>

Hapi 9 .

Vlersimi i koeficientit kritik

9. Te ndertohet vendi gjometrik i rrenjeve, te vleresohet koeficenti kritik me

ane te softit MATLAB

>> num=[0 0 0 6715] ; eme=[1.9722 13.9798 9.638 1];

>> k=0:1:67.32;

>> r=rlocus(num,eme,k);

>> plot(r,'x')

Rrenjet e sistemit me ndryshimin e parametrit k

Vlersime Nga ndertimet e bera me rritjen e K , trajektoret largohen nga polet e sistemi te hapur .

Nderkaq mund te flasim per 2 polet dominuese qe ndodhen mbi trajektoren afer boshtit imagjinar,

Ky cift i konjnuguar influencon ne kararkterin e pergjigjes kalimtare. Ky cift percakton luhatjet pasi

fut komponentet sinusoidale dhe cossinusoidale ndersa i treti shuhet me eksponence renese.

Nga trajektoret e ndertuara verehet qe me rritjen e k-se polet S1 dhe S2 largohen ne menyre te simetrie

ne lidhje me boshtin real ndersa S3 cvendoset majtas drejt ne real.

10 . Perfundime

Detyra kishte te bente me studimin e nje konturi te mbyllur te kontrollit automatik

-Ne fillim kemi gjetur funksionin transmetues per gjendjen e hapur

-Kemi gjetur funksionin transmetues per gjendjen e mbyllur

-Kemi gjetur funksionin transmetues sipas sgmangies

-Kemi ndertuar KAF , KLA dhe KLF , gjithashtu edhe n.p.m ambjentit MATLAB

-Kemi studiuar qendrueshmerine me kriteret algjebrike dhe te frekuences dhe kemi nxjerre se

sistemi eshte i paqendrueshem

Dhe koeficienti kritik i qendrueshmerise eshte kkr=67.32 dhe per k<kk sistemi eshte i qendrueshem

-Kemi ndertuar vendin gjeometrik te rrenjeve,dhe n.p.m ambientit MATLAB