Inflatorni kosmološki modeli sa tahionskim i radionskim poljima

INFLATORNI KOSMOLOŠKI MODELI SA TAHIONSKIM I RADIONSKIM POLJIMA

MILAN MILOŠEVIĆ

UNIVERZITET U NIŠUPRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA FIZIKU

- DOKTORSKA DISERTACIJA -

Niš, 15. jun 2017

Mentor: prof. dr Goran Đorđević

SADRŽAJ

• Uvod

• Standardni kosmološki model (SKM)

• Tahionska inflacija

• Randal-Sundrum modeli

• Numerički model i rezultati

• Zaključak

UVOD

• Sredina XX veka – osnove SKM

• Problemi – period ranog svemira

• Početak 80-tih godina – A. Gut i A. Linde• Inflacija - faza eksponencijalnog širenja (uveća 1026 puta)

• Uspešno radi, proces – nepoznat (pre svega početak)

• Teorijski – opisano klasičnom fizikom (jednim ili više skalarnih polja)

• Početak – kvantni efekti kvantna kosmologija

• Procesi koji traju i na rastojanjima – mogućnost p-adične i adelične inflacije, tj. procesa na nearhimedovim prostorima

G.S. Djordjevic, D.D. Dimitrijevic, M. Milosevic, On Canonical Transformation and Tachyon-Like ”Particles” in Inflationary Cosmology, Romanian Journal of Physics. 61 (2016) 99–109.

D.D. Dimitrijevic, G.S. Djordjevic, M. Milosevic, D. Vulcanov, On classical and quantum dynamics of tachyon-like fields and their cosmological implications, AIP Vol. 1634, No. 9 (2014) 9–17.

UVOD

• Popularna klasa modela – skalarno polje sa nestandardnim lagranžijanom, npr. Dirak-Born-Infeldovog (DBI) tipa tahionsko skalarno polje

• Radovi A. Sena (2002) – potencijalna fundamentalna uloga tahionskih polja u teoriji struna i kosmologiji sveta na brani; Senova pretpostavka (Sen’s conjecture)

• G. Gibonsa (2002) – uloga tahiona u kosmologiji• Kofman i Linde – čista tahionska inflacija ne daje

odgovarajuće rezultate za CMB• Razlog – inflacija ne traje dovoljno dugo

• Problem zagrevanja (reheating)

UVOD

• Stir i Vernici (2004) – proširenje opsega parametara u teoriji struna tahionski modeli malo se razlikuju u odnosu na inflatorne modele zasnovane na kanonskoj teoriji skalarnih polja

• Tahionska inflacija se u principu ne može u potpunosti isključiti

• Jednostavni modeli – značajna uloga u kosmologiji sveta na brani

UVOD

• Motivacija - Randal-Sundrum modeli• Dve brane sa suprotnim tenzijama (rastojanje u 5-dim)

• RSI – posmatrač na „negativnoj“ brani

• RSII – posmatrač na „pozitivnoj“ brani

• Fluktuacija rastojanja opisana novim skalarni poljem – radion

• Dinamika same brane – analogna dinamici tahionskog polja

• Dodatna dimenzija neophodna modifikacija Fridmanovih jednačina

• „Eksperimentalno“ testiranje modela upoređivanjem predviđanja sa astronomskim posmatranjima Plank misije

STANDARDNI KOSMOLOŠKI MODEL


• 1915 – A. Ajnštajn (opšta teorija relativnosti)

• 1922 – A. Fridman (rešenja Ajnštajnovih jednačina)

• 1929 – E. Habl – posmatračka potvrda

• 1946 - osnova modela: Ž. Lemetre (ideja), Dž. Gamov

• 1965 – A. Penzias, R. Vilsnon – detekcija CMB

KRATKA ISTORIJA SVEMIRA

OPŠTA TEORIJA RELATIVNOSTI I KOSMOLOGIJA


• Dinamika širenja homogenog i izotropnog svemira• A. Fridman (A. Ajnštajn, V. de Siter, Ž. Lemetr)

• Iz osnovnih postulata TR Ajnštajnove jednačine

• Fridman-Robertson-Vokerova metrika

• Ričijev tenzor i skalar ; tenzor energije-impulsa

2

2 2 2 2 2 2 2 22

( ) sin ,1

drds c dt a t r d d

kr

4

1 8.

2

GR g R T

c

, , , ,R R g R

2 0 0 0

0 0 0ˆ0 0 0

0 0 0

c

pT

p

p

SVEMIR KOJI SE ŠIRI

0v H D

0HS

cr

H

„comoving“ sistem

( )r a t x

pravo rastojanje

faktor skale

rastojanje u„comoving“ sistemu


• Fridmanove jednačine

• Pouzdan model za svemir star i energijama čestica

• SKM: oko 15 problema, najvažniji• Ravna geometrija svemira

• Problem horizonta

• Rešenje – inflacija?! (A. Gut,K. Sato, 1981)

2 22

2

2

8

3

4 3

3

a G kcH

a a

a G p

a c

Prikaz Fridmanovih modela: otvorenog (O) , ravnog (F) izatvorenog (C) svemira u slučaju sa inflacijom i bez nje

A. Linde, Particle Physics and Inflationary Cosmology, (2005) 270.

= −1= 0= 1

INFLACIJA

• Faktor skale (radijus svemira) se tokom povećao za bar puta

• Najjednostavniji model: jedno realno kanonsko skalarno polje (inflaton)

• Uslov inflacije (iz Fridmanovih jednačina)

• Dinamika klasičnog realnog skalarnog polja

• Tenzor energije-impulsa

• Gustina energije i pritisak

21

2( ) 0 0 3 0d d aaH pdt dt

Negativan pritisak, pokreće inflaciju!

24 Pl 1

( )2 2

MS d x g R g V

( ) 2 1 ( ) .2

ST g V

gg

2

2

1 ( )21 ( )2

V

p V

PlPl

19Pl 2

8

8

1,22 10

2,176 10

mM

c GeVm

G c

kg

INFLACIJA

• Vremenska evolucija homogenog skalarnog polja, za FRW metriku Klajn-Gordonova jednačina

• Fridmanova jednačina

• Režim sporog kotrljanja (slow-roll)

• Da bi inflacija trajala dovoljno dugo

3 0,V

H V V

2 22

1 1( )

3 2pl

H VM

222Pl

1( )

3( )

3 0

H VMV

H V

| | | 3 |

| | | |

H

V

"The Inflation Debate“, Scientific American, April 2011Credit: Malcom Godwin; Jen Christiansen

POSMATRAČKI PARAMETRI

• Poslednjih 20 godina posmatrački rezultati za proveru teorijskih istraživanja

• Inflacija – objašnjava fluktuacija u ranom svemiru

• Nezavisno S. Hoking, A. Starobinski i A. Gut

W.H. Kinney, Cosmology, inflation, and the physics of nothing, (2003)

Beginning and End of the Universe, http://www.as.utexas.edu/~gebhardt/u303f16/cos3.html


• Hablovi hijerarhijski parametri(parametri sporog kotrljanja)

• Trajanje inflacije

• Kraj inflacije• Tri nezavisna posmatračka parametra: amplituda skalarnih

perturbacija , količnik tenzora i skalara i skalarnispektralni indeks

*1 0

ln | |, 0,i

i

d Hi

dN H

vrednost Hablovog parametara u proizvoljnoizabranom vremenskom trenutku

2Pl

1( ) ln ln

end end end

end

t t

end

t t

a H VN d a Hdt d d

a M V

1i

( ) 1i end

1

1 2

16

1 2s

r

n


• Satelit Plank(maj 2009 – oktobar 2013)

• (Najnoviji) rezultatiobjavljeni 2016. godine

Planck 2015 results: XIII. Cosmological parameters, Astronomy & Astrophysics. 594 (2016) A13Planck 2015 results. XX. Constraints on inflation, Astronomy & Astrophysics. 594 (2016) A20

TAHIONSKA INFLACIJA

D. Steer, F. Vernizzi, Tachyon inflation: Tests and comparison with single scalar field inflation, Physical Review D. 70 (2004) 43527

M. Milosevic, D.D. Dimitrijevic, G.S. Djordjevic, M.D. Stojanovic, Dynamics of tachyon fields and inflation - comparison of analytical and numerical results with observation, Serbian Astronomical Journal. 192 (2016) 1–8.

N. Bilic, D.D. Dimitrijevic, G.S. Djordjevic, M. Milosevic, M. Stojanovic, Dynamics of tachyon fields and inflation: Analytical vs numerical solutions, AIP Vol 1722 No 1 (2016) 50002.

TAHIONI – NEKAD I SAD

• Tradicionalno, pojam tahion (grčki ταχύ – brz) -hipotetička čestica, uvek se kreće brzinom većomod brzine svetlosti u vakuumu

• Prva ideja – A. Zomerfeld (1904)

• 1962 - prva detaljna razmatranja

• 1967 – „čestice“ – kvanti polja imaginarne mase• 1969 – ne moraju da se prostiru brže od svetlosti,

nestabilnosti polja

TAHIONI – NEKAD I SAD

• Ne postoji klasično tumačenje

• Nestabilnost potencijal tahionskog polja - na lokalnom maksimumu, a ne u lokalnom minimuma. Vrlo malo narušavanje ove ravnoteže, usled kvantnih fluktuacija, primorava polje da se kotrlja ka lokalnom minimumu.

• U minimumu – kvanti nisu višetahioni, već „obične“ čestice

LAGRANŽIJAN SKALARNOG POLJA -

• U opštem slučaju – proizvoljna funkcija skalarnog polja i kinetičke energije

• Kanonska polja sa potencijalom

,

• Nekanonski model

• DBI lagranžijan

• Specijalni tip – tahionski

TAHIONSKA INFLACIJA

• Realno skalarno polje minimalno kuplovano sa gravitacijom

• Dejstvo

• Lagranžijan i hamiltonijan tahionskog polja

• Prostor – homogen i izotropan, FRW metrika

TAHIONSKA INFLACIJA

• Kao i u slučaju standardnog skalarnog polja i ali:

.

• Fridmanova jednačina:

⁄ .

• Jednačina održanja energije i impulsa, postaje

.

TAHIONSKA INFLACIJA

• Odgovarajućim reskaliranjem pogodno je uvesti bezdimenzionalne jednačine

⁄

• Gde je bezdimenzionalna konstanta , dok je izbor

konstante (napon brane) motivisan teorijom struna

= ⁄

= , = , = .

Jednačina održanja energije i impulsa

Fridmanova jednačina

USLOVI ZA TAHIONSKU INFLACIJU

• Osnovni uslov za ubrzano širenje svemira

• Uslovi sporog kotrljanja

• Približne jednačine

POČETNI USLOVI

• Približni parametri sporog kotrljanja

• Približan broj e-foldova

RANDAL-SUNDRUM MODELI

L. Randall, R. Sundrum, An Alternative to Compactification, Physical Review Letters. 83 (1999) 4690–4693

N. Bilic, G.B. Tupper, AdS braneworld with backreaction, Central European Journal of Physics. 12 (2014) 147–159.

N. Bilic, D. Dimitrijevic, G. Djordjevic, M. Milosevic, Tachyon inflation in an AdS braneworld with back-reaction, International Journal of Modern Physics A. 32 (2017)

SVET NA BRANI

Svet na brani (umetnička vizija). Autor: Dexton Roberts

• T. Kaluca – proširenje OTR na 5-dim prostor-vreme

• Metrika

• Dodatne dimenzije vrlo male

• Druge teorije – nova ideja svet na brani• „naš“ prostor smešten u 3D prostor

(3-brana)

• „uronjen“ u višedimenzionalnimeđuprostor (balk)

RANDAL-SUNDRUM MODELI

• 1999 - Jedan od najjednostavnijih modela

• Dve brane, suprotnog napona, nalaze na naodređenom rastojanju u 5-dim

• RSI – posmatrač na brani sa negativnim naponom, rastojanje do druge brane – intenzitet gravitacije odgovara Njutnovoj gravitacionoj konstanti

• RSII – posmatrač na „pozitivnoj“ brani, druga brana na beskonačnom rastojanju

RSI MODEL

x

5x y

0y y l y

N. Bilic, “Braneworld Universe”, 2nd CERN – SEENET-MTP PhD School, Timisoara, December 2016

0 0

RSII MODEL

0y y

0 0

N. Bilic, “Braneworld Universe”, 2nd CERN – SEENET-MTP PhD School, Timisoara, December 2016

x

5x y

DE SITEROVI PROSTORI

• W. De Siter i Ajnštajn (1920-tih) radili zajedno na opisivanju strukture prostor-vremena

• U 2D – sfera (+ krivina), ravan (nula), hiperbolična površ (-)

• Više dimenzija:• de Siterov prostor - pozitivna krivina

• Anti de Siterov prostor – negativna krivina

RSII MODEL

• U opštem slučaju Anti de Siter metrika

• Proširen RSII, uključuje i povratnu reakciju radiona

• Ukupno dejstvo

• Nakon integracije metrike po dodatnoj petoj dimenziji…

2 2 2 2(5) 2 2 22 2

1 11 ( ) ,1 ( )

a babds G dX dX k z x g dx dx dz

k z k z x

1k

Poluprečnik krivineRadionsko polje

RSII MODEL

• Dejstvo 3-brane koja se kreće u balku

• Dejstvo brane

• U odsustvu radiona

• Ukupni lagranžijan

4, , br

1 ,16 2RS d x g g SG

Kanonski normirano radionsko polje

2 4sinh3G

4 indbr

, ,4 2 2 24 4 2 2 3

det

(1 ) 1(1 )

S d x g

gd x g k

k k

Napon brane

Tahionsko polje /kye k

(0) 4br , ,4 41 ,S d x g g

k

2, , 2 2

, , 4 3

1 1 , 1 .2

gg k

N. Bilic, G.B. Tupper, CEJP 12 (2014) 147–159.

RSII MODEL

• U ravnom prostoru, FRW metrika

• Hamiltonov formalizam

, ,

• Hamiltonijan

RSII MODEL

• Hamiltonove jednačine

• Fridmanova jednačina

• U kombinaciji sa jednačinom kontinuiteta daje drugu Fridmanovu jednačinu

3

3

H

H

HH

HH

2

8 21 .3 3

a G GHa k

2

44 ( ) 13GH Gk

8 .3

a GHa

Modifikovana

BEZDIMENZIONALNE JEDNAČINE ZA RSII

• Smene:

4

8 2

8 2

2 8 2

10 2

5 8 2

1 /

4 3 /3

2 1 /

4 3 /3

1 /

h

h

2 2

2 2

8

13 12

Gk

ah

a

2

22

2 2

22 2 3

4

22

4 2 3

1 ,

sinh ,6

2sinh ,

6 3

11 / ,

2

1 1

2 1 /

d

d

p

Bezdimenzionalna konstanta

Hablovparametar

Pritisak

Gustina energije

2 2

( ) 12 6

h p

N h

Dopunske jednačine,rešavaju se uporedo

2

4

/ ,/ ( ), / ( )),

, / ( )

h H kk kk k

USLOVI ZA POČETAK INFLACIJE

• Početni uslovi – iz modela bez radionskog polja

• „Čist“ tahionski potencijal

• Hamiltonijan

• Bezdimenzionalne jednačine

4

8 2

5 8 2

143 .

1h

PROCENA POČETNIH USLOVA

• Na osnovu uslova sporog kotrljanja

• Hablovi hijerarhijski (slow-roll) parametri

• Režim sporog kotrljanja dominira RSII

• Ako se zanemari RSII standardna tahionska inflacija

22 2 2

1 2 4 4

2 12 2 2 2 2

2 2 4 4 4 4

8 1 16 12

8 1 1 112 4 6 6

2 3 2

4 2 26 6

21 2 14 4

1 , 8 , 24 ,6

33 192 , 288 .2

h

2

22

1 2 12

1 4 4, , ,3 3 3

3 8 , .2

h

PROCENA POČETNIH USLOVA

• Kraj inflacije , tj. RSII modifikacija se može zanemariti, važi

• Broj e-foldova

• Broj e-foldova (standardna tahionska inflacija)

• Velika razlika u broju e-foldova RSII kosmologija produžuje period inflacije!!!

2f

1 f 2 f f2

8 8( ) ( ) 1, ( ) .3

h

2 2

2 40 0

1 .8 36

N

2

st.tach 20

1.8

N

st.tach20

95, 0,25

330NN

NUMERIČKI MODEL

ALATI

• C/C++ (izračunavanje) i GNU Plot (grafički prikaz)

• Biblioteke• GNU Scientific Library

• Gnuplot-iostream

• Numeričke metode• Generator pseudoslučajnih brojeva

• Keš-Karpov Runge-Kuta metod (4 i 5 reda)

• Metod polovljenja intervala (bisection)

(PSEUDO)ALGORITAM


• Skalarni spektralni indeks i količnik tenzora i skalarau prvom redu u odnosu na parametre

• U drugom redu u odnosu na parametre razlikuje

• gde je konstanta , dok je za

tahionsku inflaciju u standardnoj kosmologiji, i za Randal-Sundrum kosmologiju

1 2 12

1 2 1 1 2 2 3

16 1 2 ,1 2 2 2 3 2 .s

r Cn C C

REZULTATI

DINAMIKA TAHIONSKE INFLACIJE

855

N

43

182

1 31 2 2

( )8( ) ( )

x C eC e

Analitičko rešenjeNumeričko rešenje

POSMATRAČKI PARAMETRI ( , ),

Originalni rezultati: numerički izračunate vrednosti posmatračkih parametara i u poređenju sa rezultatima Plank kolaboracije. Na slici levo prikazano je 70% izračunatih rezultata dok se na slici desno nalazi 35% ukupnog broja rezultata. Zelena isprekidana linija (levo) označava oblast Planck TT+lowPmerenja. Crvena puna linija označava približnu relaciju

POSMATRAČKI PARAMETRI ( , )

• Po 25000 parova slobodnih parametara u istom interval

• U opsegu grafika nalazi se 64% rezultata za i 72% rezultata za . Najbolji rezultati za dobijeni su za

2

1

1( )

( )

cosh( )

x

x

e

x

U x

U

45 1201 25

N

8515 25N

DINAMIKA POLJA U RSII MODELU

• Vremenska evolucija polja i Hablovih hijerarhijskih parametara

0 0 0 02, 0,25, 0, 4, 0


• 10000 parova, slobodni parametri:

• Približne relacije:• RS model

• Tahionski model (FRW)

0

60 1201 12

0 0,5

N

32 17 sr n

16(1 )3 sr n

ZAVISNOST VREDNOSTI ( , ) OD , ,

• 65% unutar na grafiku, 12% unutar

0 0

60 120, 0,51 12, 0,5

0 0,5, 0.05

N N


• Izračunate vrednosti parametara su za RSII model sa radionom(plavo), tahionskim potencijalom u RSII kosmologiji (zeleno) i tahionskim potencijalom u kosmologiji sa standardnom Fridmanovom jednačinom (crno)

NAJBOLJE SLAGANJE ( , ) I MERENJA

0

85 1101 8

0 0,5

N

0

60 1202

0 0,25

N

0

115 1201,250.05

N

ZAKLJUČAK

• Istraživanja su motivisana pre svega RSII modelom i razmatrana je uloga tahionskog polja u kosmološkoj inflaciji u standardnoj kosmologiji i u okviru RS modela.

• Osnovni cilj istraživanja - izračunavanje posmatračkih parametara inflacije za RSII model i njihovo upoređivanje sa rezultatima posmatranja.

ZAKLJUČAK

• Rezultat – očigledno dodatni član koji se za RSII model javlja u Fridmanovoj jednačini ima značajan pozitivan efekat na vrednost posmatračkih parametara i doprinosi da su dobijene vrednosti znatno bliže izmerenim vrednostima.

• Treba naglasiti: razmatrani model, za razliku od većine drugih inflatornih modela u literaturi u kojima su potencijal i parametri proizvoljno izabrani na način da rezultati što bolje odgovaraju posmatranjima, zasnovan na fundamentalnoj dinamici brana koja je opisana potencijalom sa samo jednim slobodnim parametrom.

ZAKLJUČAK

• Mogućnost za istraživanja složenijih modela. Proširivanje modela drugim efektima, npr. prisustvo materije u prostoru između brana, vodi ka drugim oblicima (tahionskog) potencijala i potpuno drugačijim efektima i rezultatima.

• Softverska rešenja koja su razvijena tokom izrade ove disertacije mogu se na relativno lak način izmeniti i dopuniti za primenu na drugim kosmološkim modelima, bez obzira da li su to modeli za standardnu inflaciju sa jednim skalarnim poljem, za inflaciju sa tahionskim poljem, kosmologiju sveta na brani, ili pak neki modeli zasnovani na modifikovanoj teoriji gravitacije i slično.

HVALA!

• prof. dr Goranu Đorđeviću, mentoru, na predlogu teme i velikoj pomoći tokom izrade doktorske disertacije i doktorskih studija.

• prof. dr Nevenku Biliću, (Institut Ruđer Bošković, Zagreb) na velikoj pomoći u preciziranju teme istraživanja, mnogobrojnim savetima, kao i velikoj i izuzetno značajnoj pomoći tokom celokupnog istraživanja i izrade doktorske disertacije.

• dr Dragoljubu Dimitrijeviću na korisnim savetima i pomoći u radu i podršci tokom zajedničkih istraživanja

• Prof. dr Draganu Gajiću, što me je zainteresovao za studije fizike i mnogobrojnim savetima tokom prethodnih godina

• Vladimiru Figaru i Nikoli Tataru (Filozofski fakultet, Niš) na pomoći u prevođenju na engleski jezik, kad god je trebalo.

• Svima sa Departmana za fiziku PMF-a• Projekti: MPNTR 176021 “Vidljiva i nevidljiva materija u bliskim galaksijama”,

SEENET-MTP – ICTP PRJ09 “Cosmology and Strings”

NAJVAŽNIJE REFERENCE• N. Bilic, G.B. Tupper, AdS braneworld with backreaction, Cent. Eur. J. Phys. 12 (2014) 147–159.

• D. Steer, F. Vernizzi, Tachyon inflation: Tests and comparison with single scalar field inflation, Phys. Rev. D. 70 (2004) 43527.

• P.A.R. Ade, N. Aghanim, M. Arnaud, F. Arroja, M. Ashdown, J. Aumont, et al., Planck 2015 results: XX. Constraints on inflation, Astron. Astrophys. 594 (2016) A20.

• L. Randall, R. Sundrum, Large Mass Hierarchy from a Small Extra Dimension, Physical Review Letters. 83 (1999) 3370–3373; L. Randall, R. Sundrum, An Alternative to Compactification, Physical Review Letters. 83 (1999) 4690–4693.

• N. Bilic, D.D. Dimitrijevic, G.S. Djordjevic, M. Milosevic, Tachyon inflation in an AdS braneworld with back-reaction, International Journal of Modern Physics A. 32 (2017) 1750039.

• M. Milosevic, D.D. Dimitrijevic, G.S. Djordjevic, M.D. Stojanovic, Dynamics of tachyon fields and inflation -comparison of analytical and numerical results with observation, Serbian Astronomical Journal. 192 (2016) 1–8.

• M. Milosevic, G.S. Djordjevic, Tachyonic Inflation on (non-)Archimedean Spaces, Facta Universitatis (Niš) Series: Physics, Chemistry and Technology. 14 (2016) 257–274.

• N. Bilic, D.D. Dimitrijevic, G.S. Djordjevic, M. Milosevic, M. Stojanovic, Dynamics of tachyon fields and inflation: Analytical vs numerical solutions, AIP Vol 1722 No 1 (2016) 50002.

• G.S. Djordjevic, D.D. Dimitrijevic, M. Milosevic, On Canonical Transformation and Tachyon-Like ”Particles” in Inflationary Cosmology, Romanian Journal of Physics. 61 (2016) 99–109.

• D.D. Dimitrijevic, G.S. Djordjevic, M. Milosevic, Classicalization and quantization of tachyon-like matter on (non)archimedean spaces, Romanian Reports in Physics. 68 (2016) 5–18.

Science

Inflatorni kosmološki modeli sa tahionskim i radionskim poljima