View
292
Download
2
Category
Preview:
DESCRIPTION
Основні методи розв ’ язування тригонометричних рівнянь. - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Основні методи розв’язування
тригонометричних рівнянь
Мультимедійний підручник розкриває поняття тригонометричного рівняння та
всі основні способи розв’язання тригонометричних рівнянь. Він допоможе
вчителям математики при викладанні теми тригонометричні рівняння і нерівності ” в
10класі , а також учням 10-го класу підготуватися і до ДПА та ЗНО з
математики .Данний матеріал повністю відповідає діючій програмі з математики
(академічний рівень)
Роботу виконали : Панченко Марина та Педан Поліна
учениці 10 класу ліцею природничо-наукового навчання
м. Жовтих Вод. Керівник проекту:
Шкаран Ніна Іванівна- вчитель математики вищої категорії
Означення тригонометричних рівнянь.
Рівняння, які містять змінну під знаком тригонометричної функції, називається тригонометричним.
Як правило, розв’язування тригонометричного рівняння зводиться до розв’язування
рівняння виду sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a,
які називають найпростішими тригонометричними рівняннями.
22.04.23 4
Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.
Z∈nn, πarcctgaxR,∈aa,ctgx
Z,∈nn, πarctgaxR,∈aa,tgx
Z∈n1),(2n πx1,cosxn, π2x1,cosxn, π2
πx0,cosxЗокрема,
Z∈nn, π2arccosax1,≤aa,cosx
Z∈nn, π22
πx1,sinxn, π2
2
πx1,sinxn, πx0,sinxЗокрема,
Z∈nn, πarcsina(-1)x1,≤aa,sinx n
I.Рівняння, алгебраїчні відносно однієї з тригонометричних функцій.
Приклад 1. Розв’язати рівняння cos2x+3sinx=2Розв’язання:
Враховуючи, що cos2x=1-2sin2 x,дістаємо 1-2sin 2x+3sinx-2=0,тобто 2sin 2x-3sinx+1=0. Нехай sinx=t, тоді рівняння 2t 2 -3t +1=0 маємо розв’язки t=1 та t=|1/2.Отже,sinx=1, або sinx=1/2. Звідси, x= Zn,2
2 n
Znnx n ,6
)1(
Рівняння,які зводяться до алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних
функціїПриклад 2. Розв’язати рівняння
8
2cossincossin 33 xxxx
.∈,416
)1-(
,4
)1(4
,2
24,
8
24sin
4
1
,8
22cos2sin
2
1
,8
2)cos(sincossin
1
1
22
Zkk
x
kx
xx
xx
xxxx
k
k
Відповідь:
Приклад 3. Розв'яжіть рівняння 2sin²x-7sinx+3=0 Розв'язанняНехай sinx=t, де |t|≤1, тоді одержемо: 2t²-7t+3=0t1=3 – не задовольняє умову |t|≤1;t2=½.Отже, t2=½ маємо sinx=½, тох=(-1)ⁿ arcsin½ +Пn, nЄZ;х=(-1)ⁿ П/6 +Пn, nЄZ.Відповідь:(-1)ⁿ П/6 +Пn, nЄZ
Приклад 4. Розв'язати рівняння cos²x+3sinx=2 Розв'язання:1- 2sin²x+3sinx-2=0;2sin²x-3sinx+1=0;Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді 2t²-3t+1=0;t1=1 або t2=½Отже, sinx=1 або sinx=½.Звідси x=П/2 +2Пn, nЄZ або x=(-1)ⁿ П/6+Пn,
nЄZ.
Відповідь:П/2 +2Пn, nЄZ; (-1)ⁿ П/6+Пn, nЄZ.
Приклад 5. Розв'яжіть рівняння cos2x-5sinx-3=0; Розв'язання1-2sin²x-5sinx-3=0;2sin²x+5sinx+2=0; Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді2t²+5t+2=0;t1=-2 – не задовольняє умову |t|≤1;t2=-½
Ζn,Ïn6Ï
-1)(:³äïîâ³äü
Ζn,Ïn6Ï
-1)(x;21
-xsin,Îòæå
1n
1n
∈
∈
+
+==
+
+
II.Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою формул і
розкладанням на множникиПриклад 6. Розв'яжіть рівняння 2sinxcos2x-1+2cos2x-sinx=0; Розв'язання:Згрупуємо додатки в лівій частині рівняння:(2sinxcos2x-sinx)+(2cos2x-1)=0;sinx(2co2x-1)+(2cos2x-1)=0;(2cos2x-1)(sinx-1)=0;2cos2x-1=0; cos2x=½; 2x=±П/3+2Пn, nЄZ;
x=±П/6+Пn, nЄZ sinx=-1; x=-П/2+2Пk,kЄZ; x=-П/2+2Пk, kЄZ;
x=-П/2+2Пk, kЄZ;Відповідь: ±П/6+Пn, nЄZ; -П/2+2Пk, kЄZ.
Приклад 7. Розв'яжіть рівняння 2cosxcos2x=cosx; Розв'язання: cosx(2cos2x-1)=0;cosx=0; x= П/2+Пn, nЄZ; x= П/2+Пn,
nЄZ;2cos2x-1=0; cos2x=½; x=±П/6+Пk,
kЄZ.
Відповідь: П/2+Пn, nЄZ; ±П/6+Пk, kЄZ.
Приклад 8.Розв'яжіть рівняння cos²x+cos²2x+cos²3x+cos²4x=2; Розв'язання:Скористаємося формулами пониження степеня:
4+ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x=0;(cos2x+cos8x)+(cos4x+cos6x)=0;2cos5xcos3x+2cos5xcosx=0;2cos5x(cos3x+cosx)=0;2cos5x2cos2xcosx=0;cos5x=0, x= П/10+ Пn/5, nЄZ; cos2x=0, x= П/4+ Пk/2, kЄZ; cosx=0 , x= П/2+ Пm, mЄZ;Відповідь: П/10+ Пn/5, nЄZ; П/4+ Пk/2, kЄZ; П/2+ Пm, mЄZ.
;2=2
x8cos+1+
2x6cos+1
+2
x4cos+1+
2x2cos+1
Приклад 9. Розв'язати рівняння cos7x+sin5x=0; Розв'язання Замінимо дане рівняння рівносильнимcos7x+cos(П/2-5x)=0 і розкладемо ліву частину
на множники:2cos(П/4+x)cos(П/4-6x)=0;Рівняння cos(П/4+x)=0 або cos(П/4-6x)=0 мають
розв'язки x= П/4+Пn і x= П/8+ Пk/6, n, k Є Z, множини яких
не перетинаються.Відповідь: П/4+Пn і П/8+ Пk/6, n, k Є Z
Приклад 10. Розв'яжіть рівняння tgx+ =3 Розв'язання Оскільк и =1+ tg²x, то дане рівняння можна записати так:tgx+(1+tg²x)=3;Звідси tg²x+tgx-2=0.Нехай tgx=t, тоді t²+t-2=0; (t+2)(t-1)=0; t=-2 або t=1.Отримуємо, що дане рівняння рівносильне сукупності
двох рівнянь tgx=1 => x= П/4+Пn, nЄZ tgx=-2 => x= -arctg2+ Пn, nЄZВідповідь: П/4+Пn; -arctg2+ Пn, nЄZ
x²cos
1
x²cos
1
22.04.23 16
III.Рівняння, однорідні відносно sinx та cosx
xтаx
відносностепеняогоnрівняннями
ричнимитригонометиодноріднимназивають
aaaде
xanxxaxa
видуРівняння
n
nnn
cossin
-
,∈n нулю, дорівнюють не однозначно які
числа,-дійсні-,...,,
,0cos...cossinsin
10
1-10
Приклад 11. Розв'яжіть рівняння 7sin²x-8sinxcosx-15cos²x=0; Розв'язання: При cosx=0 рівняння не має коренів, тому
розділимо обидві його частини на cos²x≠0.
Одержимо 7tg²x-8tgx-15=0;tgx=-1; => x=-П/4+Пn, nЄZtgx=15/7; => x=-arctg15/7+ Пn, nЄZ
Відповідь:-П/4+Пn; -arctg15/7+ Пn, nЄZ
Приклад 12. Розв'яжіть рівняння 3sin²x+sin2x=2; Розв'язання: Це рівняння не є однорідним. Проте його
можна легко звести до однорідного:3sin²x+2sinxcosx=2(sin²x+cos²x);sin²x+2sinxcosx-2cos²x=0;tg²+2tgx-2=0;tgx=(-1±√3).Відповідь: x= arctg(-1±√3)+ Пn, nЄZ.
Приклад 13. Розв'яжіть рівняння: 2sinx-3cosx=2; Розв'язання :Скористаємося формулами подвійного аргументу
та основною тригонометричною тотожністю:4sinx/2cosx/2 – 3(cos²x/2 - sin²x/2)=
2(cos²x/2+sin²x/2);sin²x/2+4sinx/2cosx/2-5cos2x/2=0.Поділимо обидві частини останнього рівняння на
cos²x/2 і зробимо заміну tgx/2=t. Отримуємо: t²+4t-5=0;t1=1; => x=П/2+ 2Пn; t2=-5; => x=-2arctg5+2Пn, nЄZ.Відповідь: П/2+ 2Пn; -2arctg5+2Пn, nЄZ.
Рівняння виду asinx+bcosx=c (ab≠0)
1≤a
с-≤1-:'
,,.)γsin(
,)γsincosγcos(sin
γsin;γcos
.0≠,
.
22
22
22
2222
22
bумовизаязкирозвмаєяке
рівняннядісталиОтжеba
cxабо
cxxba
виглядіуподаморівнянняТодіba
b
ba
a
baщоОчевидно
кутаодопоміжногВведенняспосібІ
22.04.23 21
.рівнянняквадратнеДістанемо
t+1t-1
=
2x
tg+1
2x
tg-1=xcos;
t+1t2
=
2x
tg+1
2x
tg2=xsin
:кутаополовинногтангенс
черезxcosтаxsinвиразимоіt=2x
tgПозначимо
ипідстановкноїуніверсальняЗастосуван.спосібІІ
2
2
22
2
Приклад 14.Розв’зати рівняння:
І спосіб: Введемо допоможний кут:
ІІ спосіб: Застосуємо універсальну підстановку( b≠-c,втрати розв’язків не буде )
Відповідь:
;2=)xcos21
+xsin23
2(
;1cos6
sinsin6
cos xx
;1)6
sin(
x nєnxn ,23
,226
-x
;Ζ,23
,3
1
2;
3
1
;0132-3;2t1
t-1
1
32,
22
2
2
2
nЄПnП
xx
tgt
ttt
tтодіt
xtg
;,23
nєПnП
x
2,cosxsinx3 =+
V.Рівняння,що розв’язуються за допомогою заміни sinx cosx=t
23
±
1-t=x2sin±тобто,t=xcos+xcosxsin2±sin
,t=)xcos±x(sinто,t=xcos±xsinякщо2222
22
Приклад15. Розв’язати рівняння:
Розв’язання:
отже,це рівняння не має розв’язків.
Відповідь:
0=12+)xcos-x(sin12-x2sin
-1<2
13-=)
4П
-xsin(2=cosx-sinx -13=tпри
,1= tабо -13=t;0=13-t12+ t0,=12+12t-t-1
:рівнянняодержуємотоді,t=xcos-sinНехай.хЄR:ОДЗ
0=12+)xcos-x(sin12-x2sin
1
2122
;,44
-1)(;2
1)
4
П-sin(;1)
4
П-sin(2,1cos-sin n nЄПn
ППxxxxx
;,44
-1)( n nєПnПП
x
Прикалад 16. Розв’яжіть рівняння:
Розв’язання:
Відповідь:
22.04.23 24
0;0)- t(t0;t-;1-t1 1;-2sin;sincos
:;sincos2sin1222
tttxtxx
xєZОДЗxxx
;xsin+xcos=x2sin+1
1=)4П
-xcos(2;1=xcos+xsin;1=t
-1,=tgx,0=xcos+xsin,0=t
Ζk,Ïk24Ï
4Ï
x
Ζn,Ïn4Ï
-x
∈
∈
++±=
+=
Ζk,Ïk24Ï
4Ï
x;Ζn,Ïn4Ï
-x ∈∈ ++±=+=
VI.Розв’язування рівнянь із врахуванням обмеження функцій
sinx i cosxПриклад 17. Розв’язати рівняння:
Розв’язання:
22.04.23 25
;2=x5sin+xsin
.∈,5
2
10,15sin
∈,22
П x1,sinx
:рівняннюданому у рівносильн
рівнянь,систему язуєморозв'Отже, 1.sin5x та1sinx
одночасно коли випадку,у тому лишебуде Рівність
2. ≤sinx 5 sinx ≤2-
межах в змінюється рівняння частині правійу вираз
то1, ≤sin5x≤ 1- 1; ≤sinx≤1-,
kПkП
xx
nПn
щоВраховуючи
22.04.23 26
;чиселцілихмножиніна
язки'розвмає5Пk2
+10П
=Пn2+2П
рівнянняколи
,тоділишеязки'розвмаєСистема
Ζ∈
∈
∈
n,Ïn22Ï
x:²äïîâ³äü
Ζn,Ïn22Ï
x),n51(5Ï2
10Ï
xòîìó
Ζn,n51kçêè'ðîçâÿìàºìîâèïàäêóöüîìóÓ
+=
+=++=
+=
Приклад 18. Розв’язати рівняння
Розв’язання:
22.04.23 27
;2
1)sin
3
4sin( xП
∈,,,8
7arcsin-1)(,
8
5arcsin-1)(,
8
1arcsin-1)(:
∈,,,8
7arcsin-1)(;
8
7-sin
,8
5arcsin-1)(
8
,5sin
,8
1arcsin-1)(,
8
1sin
.10
,1≤4
3
8
1-1)( ≤1-
'
Ζ∈,4
3
8
1-1)(sin,Ζ∈,
6-1)(sin
3
4
;2
1)sin
3
4sin(
1lkn
1l
k
n
n
nn
lknдеПlxПkxПnxВідповідь
lknдеПlxx
Пkxx
Пnxx
рівняннядістанемоnзначенняхцихПриnтаn
прилишеуєтьсявикористовякаn
умовизалишеязкирозвмаєрівнянняостаннє
nnxзвідкиnПnП
xП
xПмаємо
Приклад 19. Розв’язання рівняння:
Розв'язання:Зведемо рівняння до вигляду
Проте sin π х≤1, а (х-1/2)²+1≥1,тому рівність можлива лише за умови:
sinπx=1, π х= х=
Відповідь:
54-4sin4 2 xxx
1)1/2-(sin 2 xx
;11)1/2-( 2 x nєn,П2
2
П
1/21/2=x
1/2
VII. Тригонометричні рівняння з параметрами
Приклад 20. Розв’язати рівняння:
Розв’язання:
Відповідь:
a=xsin+xcos
nЄПnа
хТоді
аЄтобтоa
aПxaxx
,22
arccos4
П-
2;2-;1≤2
2)
4cos(;sincos
;'
)∞;2(∪)2;- ∞-(
немаєязківрозв
aЄпри
;')∞;2(∪)2;- ∞-(
,22
arccos4
-2;2-
немаєязківрозвaЄприа
na
xаЄпри
Приклад 21. Розв’язати рівняння:
Розв’язання:Нехай sinx=t,|t|≤1, t²+2(a-1)t-4a=0, D/4=(a-1)²+4a= = a ²-2a+1+4a = (a+1)²≥0;t=-a+1+a+1=2 – не задовільняє умову |t|≤1t=-a+1-a-1 = -2a; |-2a| ≤1; 2|a| ≤1; |a| ≤1/2sinx=-2a; Відповідь: при ає[-½;½],
04a-1)sinx-2(a²xsin
nЄna ,)2arcsin((-1)x 1n Ζ,П)2arcsin((-1)x 1n nєna
Recommended