Основні методи розв’язування

тригонометричних рівнянь

Мультимедійний підручник розкриває поняття тригонометричного рівняння та

всі основні способи розв’язання тригонометричних рівнянь. Він допоможе

вчителям математики при викладанні теми тригонометричні рівняння і нерівності ” в

10класі , а також учням 10-го класу підготуватися і до ДПА та ЗНО з

математики .Данний матеріал повністю відповідає діючій програмі з математики

(академічний рівень)

Роботу виконали : Панченко Марина та Педан Поліна

учениці 10 класу ліцею природничо-наукового навчання

м. Жовтих Вод. Керівник проекту:

Шкаран Ніна Іванівна- вчитель математики вищої категорії

Означення тригонометричних рівнянь.

Рівняння, які містять змінну під знаком тригонометричної функції, називається тригонометричним.

Як правило, розв’язування тригонометричного рівняння зводиться до розв’язування

рівняння виду sinx=a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a,

які називають найпростішими тригонометричними рівняннями.

22.04.23 4

Розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

Z∈nn, πarcctgaxR,∈aa,ctgx

Z,∈nn, πarctgaxR,∈aa,tgx

Z∈n1),(2n πx1,cosxn, π2x1,cosxn, π2

πx0,cosxЗокрема,

Z∈nn, π2arccosax1,≤aa,cosx

Z∈nn, π22

πx1,sinxn, π2

2

πx1,sinxn, πx0,sinxЗокрема,

Z∈nn, πarcsina(-1)x1,≤aa,sinx n

I.Рівняння, алгебраїчні відносно однієї з тригонометричних функцій.

Приклад 1. Розв’язати рівняння cos2x+3sinx=2Розв’язання:

Враховуючи, що cos2x=1-2sin2 x,дістаємо 1-2sin 2x+3sinx-2=0,тобто 2sin 2x-3sinx+1=0. Нехай sinx=t, тоді рівняння 2t 2 -3t +1=0 маємо розв’язки t=1 та t=|1/2.Отже,sinx=1, або sinx=1/2. Звідси, x= Zn,2

2 n

Znnx n ,6

)1(

Рівняння,які зводяться до алгебраїчних відносно однієї з тригонометричних

функціїПриклад 2. Розв’язати рівняння

8

2cossincossin 33 xxxx

.∈,416

)1-(

,4

)1(4

,2

24,

8

24sin

4

1

,8

22cos2sin

2

1

,8

2)cos(sincossin

1

1

22

Zkk

x

kx

xx

xx

xxxx

k

k

Відповідь:

Приклад 3. Розв'яжіть рівняння 2sin²x-7sinx+3=0 Розв'язанняНехай sinx=t, де |t|≤1, тоді одержемо: 2t²-7t+3=0t1=3 – не задовольняє умову |t|≤1;t2=½.Отже, t2=½ маємо sinx=½, тох=(-1)ⁿ arcsin½ +Пn, nЄZ;х=(-1)ⁿ П/6 +Пn, nЄZ.Відповідь:(-1)ⁿ П/6 +Пn, nЄZ

Приклад 4. Розв'язати рівняння cos²x+3sinx=2 Розв'язання:1- 2sin²x+3sinx-2=0;2sin²x-3sinx+1=0;Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді 2t²-3t+1=0;t1=1 або t2=½Отже, sinx=1 або sinx=½.Звідси x=П/2 +2Пn, nЄZ або x=(-1)ⁿ П/6+Пn,

nЄZ.

Відповідь:П/2 +2Пn, nЄZ; (-1)ⁿ П/6+Пn, nЄZ.

Приклад 5. Розв'яжіть рівняння cos2x-5sinx-3=0; Розв'язання1-2sin²x-5sinx-3=0;2sin²x+5sinx+2=0; Нехай sinx=t, де |t|≤1, тоді2t²+5t+2=0;t1=-2 – не задовольняє умову |t|≤1;t2=-½

Ζn,Ïn6Ï

-1)(:³äïîâ³äü

Ζn,Ïn6Ï

-1)(x;21

-xsin,Îòæå

1n

1n

∈

∈

+

+==

+

+

II.Розв'язування тригонометричних рівнянь за допомогою формул і

розкладанням на множникиПриклад 6. Розв'яжіть рівняння 2sinxcos2x-1+2cos2x-sinx=0; Розв'язання:Згрупуємо додатки в лівій частині рівняння:(2sinxcos2x-sinx)+(2cos2x-1)=0;sinx(2co2x-1)+(2cos2x-1)=0;(2cos2x-1)(sinx-1)=0;2cos2x-1=0; cos2x=½; 2x=±П/3+2Пn, nЄZ;

x=±П/6+Пn, nЄZ sinx=-1; x=-П/2+2Пk,kЄZ; x=-П/2+2Пk, kЄZ;

x=-П/2+2Пk, kЄZ;Відповідь: ±П/6+Пn, nЄZ; -П/2+2Пk, kЄZ.

Приклад 7. Розв'яжіть рівняння 2cosxcos2x=cosx; Розв'язання: cosx(2cos2x-1)=0;cosx=0; x= П/2+Пn, nЄZ; x= П/2+Пn,

nЄZ;2cos2x-1=0; cos2x=½; x=±П/6+Пk,

kЄZ.

Відповідь: П/2+Пn, nЄZ; ±П/6+Пk, kЄZ.

Приклад 8.Розв'яжіть рівняння cos²x+cos²2x+cos²3x+cos²4x=2; Розв'язання:Скористаємося формулами пониження степеня:

4+ cos2x+cos4x+cos6x+cos8x=0;(cos2x+cos8x)+(cos4x+cos6x)=0;2cos5xcos3x+2cos5xcosx=0;2cos5x(cos3x+cosx)=0;2cos5x2cos2xcosx=0;cos5x=0, x= П/10+ Пn/5, nЄZ; cos2x=0, x= П/4+ Пk/2, kЄZ; cosx=0 , x= П/2+ Пm, mЄZ;Відповідь: П/10+ Пn/5, nЄZ; П/4+ Пk/2, kЄZ; П/2+ Пm, mЄZ.

;2=2

x8cos+1+

2x6cos+1

+2

x4cos+1+

2x2cos+1

Приклад 9. Розв'язати рівняння cos7x+sin5x=0; Розв'язання Замінимо дане рівняння рівносильнимcos7x+cos(П/2-5x)=0 і розкладемо ліву частину

на множники:2cos(П/4+x)cos(П/4-6x)=0;Рівняння cos(П/4+x)=0 або cos(П/4-6x)=0 мають

розв'язки x= П/4+Пn і x= П/8+ Пk/6, n, k Є Z, множини яких

не перетинаються.Відповідь: П/4+Пn і П/8+ Пk/6, n, k Є Z

Приклад 10. Розв'яжіть рівняння tgx+ =3 Розв'язання Оскільк и =1+ tg²x, то дане рівняння можна записати так:tgx+(1+tg²x)=3;Звідси tg²x+tgx-2=0.Нехай tgx=t, тоді t²+t-2=0; (t+2)(t-1)=0; t=-2 або t=1.Отримуємо, що дане рівняння рівносильне сукупності

двох рівнянь tgx=1 => x= П/4+Пn, nЄZ tgx=-2 => x= -arctg2+ Пn, nЄZВідповідь: П/4+Пn; -arctg2+ Пn, nЄZ

x²cos

1

x²cos

1

22.04.23 16

III.Рівняння, однорідні відносно sinx та cosx

xтаx

відносностепеняогоnрівняннями

ричнимитригонометиодноріднимназивають

aaaде

xanxxaxa

видуРівняння

n

nnn

cossin

-

,∈n нулю, дорівнюють не однозначно які

числа,-дійсні-,...,,

,0cos...cossinsin

10

1-10

Приклад 11. Розв'яжіть рівняння 7sin²x-8sinxcosx-15cos²x=0; Розв'язання: При cosx=0 рівняння не має коренів, тому

розділимо обидві його частини на cos²x≠0.

Одержимо 7tg²x-8tgx-15=0;tgx=-1; => x=-П/4+Пn, nЄZtgx=15/7; => x=-arctg15/7+ Пn, nЄZ

Відповідь:-П/4+Пn; -arctg15/7+ Пn, nЄZ

Приклад 12. Розв'яжіть рівняння 3sin²x+sin2x=2; Розв'язання: Це рівняння не є однорідним. Проте його

можна легко звести до однорідного:3sin²x+2sinxcosx=2(sin²x+cos²x);sin²x+2sinxcosx-2cos²x=0;tg²+2tgx-2=0;tgx=(-1±√3).Відповідь: x= arctg(-1±√3)+ Пn, nЄZ.

Приклад 13. Розв'яжіть рівняння: 2sinx-3cosx=2; Розв'язання :Скористаємося формулами подвійного аргументу

та основною тригонометричною тотожністю:4sinx/2cosx/2 – 3(cos²x/2 - sin²x/2)=

2(cos²x/2+sin²x/2);sin²x/2+4sinx/2cosx/2-5cos2x/2=0.Поділимо обидві частини останнього рівняння на

cos²x/2 і зробимо заміну tgx/2=t. Отримуємо: t²+4t-5=0;t1=1; => x=П/2+ 2Пn; t2=-5; => x=-2arctg5+2Пn, nЄZ.Відповідь: П/2+ 2Пn; -2arctg5+2Пn, nЄZ.

Рівняння виду asinx+bcosx=c (ab≠0)

1≤a

с-≤1-:'

,,.)γsin(

,)γsincosγcos(sin

γsin;γcos

.0≠,

.

22

22

22

2222

22

bумовизаязкирозвмаєяке

рівняннядісталиОтжеba

cxабо

cxxba

виглядіуподаморівнянняТодіba

b

ba

a

baщоОчевидно

кутаодопоміжногВведенняспосібІ

22.04.23 21

.рівнянняквадратнеДістанемо

t+1t-1

=

2x

tg+1

2x

tg-1=xcos;

t+1t2

=

2x

tg+1

2x

tg2=xsin

:кутаополовинногтангенс

черезxcosтаxsinвиразимоіt=2x

tgПозначимо

ипідстановкноїуніверсальняЗастосуван.спосібІІ

2

2

22

2

Приклад 14.Розв’зати рівняння:

І спосіб: Введемо допоможний кут:

ІІ спосіб: Застосуємо універсальну підстановку( b≠-c,втрати розв’язків не буде )

Відповідь:

;2=)xcos21

+xsin23

2(

;1cos6

sinsin6

cos xx

;1)6

sin(

x nєnxn ,23

,226

-x

;Ζ,23

,3

1

2;

3

1

;0132-3;2t1

t-1

1

32,

22

2

2

2

nЄПnП

xx

tgt

ttt

tтодіt

xtg

;,23

nєПnП

x

2,cosxsinx3 =+

V.Рівняння,що розв’язуються за допомогою заміни sinx cosx=t

23

±

1-t=x2sin±тобто,t=xcos+xcosxsin2±sin

,t=)xcos±x(sinто,t=xcos±xsinякщо2222

22

Приклад15. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

отже,це рівняння не має розв’язків.

Відповідь:

0=12+)xcos-x(sin12-x2sin

-1<2

13-=)

4П

-xsin(2=cosx-sinx -13=tпри

,1= tабо -13=t;0=13-t12+ t0,=12+12t-t-1

:рівнянняодержуємотоді,t=xcos-sinНехай.хЄR:ОДЗ

0=12+)xcos-x(sin12-x2sin

1

2122

;,44

-1)(;2

1)

4

П-sin(;1)

4

П-sin(2,1cos-sin n nЄПn

ППxxxxx

;,44

-1)( n nєПnПП

x

Прикалад 16. Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання:

Відповідь:

22.04.23 24

0;0)- t(t0;t-;1-t1 1;-2sin;sincos

:;sincos2sin1222

tttxtxx

xєZОДЗxxx

;xsin+xcos=x2sin+1

1=)4П

-xcos(2;1=xcos+xsin;1=t

-1,=tgx,0=xcos+xsin,0=t

Ζk,Ïk24Ï

4Ï

x

Ζn,Ïn4Ï

-x

∈

∈

++±=

+=

Ζk,Ïk24Ï

4Ï

x;Ζn,Ïn4Ï

-x ∈∈ ++±=+=

VI.Розв’язування рівнянь із врахуванням обмеження функцій

sinx i cosxПриклад 17. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

22.04.23 25

;2=x5sin+xsin

.∈,5

2

10,15sin

∈,22

П x1,sinx

:рівняннюданому у рівносильн

рівнянь,систему язуєморозв'Отже, 1.sin5x та1sinx

одночасно коли випадку,у тому лишебуде Рівність

2. ≤sinx 5 sinx ≤2-

межах в змінюється рівняння частині правійу вираз

то1, ≤sin5x≤ 1- 1; ≤sinx≤1-,

kПkП

xx

nПn

щоВраховуючи

22.04.23 26

;чиселцілихмножиніна

язки'розвмає5Пk2

+10П

=Пn2+2П

рівнянняколи

,тоділишеязки'розвмаєСистема

Ζ∈

∈

∈

n,Ïn22Ï

x:²äïîâ³äü

Ζn,Ïn22Ï

x),n51(5Ï2

10Ï

xòîìó

Ζn,n51kçêè'ðîçâÿìàºìîâèïàäêóöüîìóÓ

+=

+=++=

+=

Приклад 18. Розв’язати рівняння

Розв’язання:

22.04.23 27

;2

1)sin

3

4sin( xП

∈,,,8

7arcsin-1)(,

8

5arcsin-1)(,

8

1arcsin-1)(:

∈,,,8

7arcsin-1)(;

8

7-sin

,8

5arcsin-1)(

8

,5sin

,8

1arcsin-1)(,

8

1sin

.10

,1≤4

3

8

1-1)( ≤1-

'

Ζ∈,4

3

8

1-1)(sin,Ζ∈,

6-1)(sin

3

4

;2

1)sin

3

4sin(

1lkn

1l

k

n

n

nn

lknдеПlxПkxПnxВідповідь

lknдеПlxx

Пkxx

Пnxx

рівняннядістанемоnзначенняхцихПриnтаn

прилишеуєтьсявикористовякаn

умовизалишеязкирозвмаєрівнянняостаннє

nnxзвідкиnПnП

xП

xПмаємо

Приклад 19. Розв’язання рівняння:

Розв'язання:Зведемо рівняння до вигляду

Проте sin π х≤1, а (х-1/2)²+1≥1,тому рівність можлива лише за умови:

sinπx=1, π х= х=

Відповідь:

54-4sin4 2 xxx

1)1/2-(sin 2 xx

;11)1/2-( 2 x nєn,П2

2

П

1/21/2=x

1/2

VII. Тригонометричні рівняння з параметрами

Приклад 20. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:

Відповідь:

a=xsin+xcos

nЄПnа

хТоді

аЄтобтоa

aПxaxx

,22

arccos4

П-

2;2-;1≤2

2)

4cos(;sincos

;'

)∞;2(∪)2;- ∞-(

немаєязківрозв

aЄпри

;')∞;2(∪)2;- ∞-(

,22

arccos4

-2;2-

немаєязківрозвaЄприа

na

xаЄпри

Приклад 21. Розв’язати рівняння:

Розв’язання:Нехай sinx=t,|t|≤1, t²+2(a-1)t-4a=0, D/4=(a-1)²+4a= = a ²-2a+1+4a = (a+1)²≥0;t=-a+1+a+1=2 – не задовільняє умову |t|≤1t=-a+1-a-1 = -2a; |-2a| ≤1; 2|a| ≤1; |a| ≤1/2sinx=-2a; Відповідь: при ає[-½;½],

04a-1)sinx-2(a²xsin

nЄna ,)2arcsin((-1)x 1n Ζ,П)2arcsin((-1)x 1n nєna